ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ നിശിതകോണിന്റെ സൈൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നത്. മട്ട ത്രികോണം
നിർദ്ദേശങ്ങൾ
നിങ്ങൾക്ക് കോസൈൻ കണ്ടെത്തണമെങ്കിൽ കോൺഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ത്രികോണത്തിൽ, നിങ്ങൾ കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്:
ആംഗിൾ നിശിതമാണെങ്കിൽ: cos? = (a2 + b2 - c2)/(2ab);
കോൺ ആണെങ്കിൽ: cos? = (c2 – a2 – b2)/(2ab), ഇവിടെ a, b എന്നത് കോണിനോട് ചേർന്നുള്ള വശങ്ങളുടെ നീളമാണ്, c എന്നത് മൂലയ്ക്ക് എതിർവശത്തുള്ള വശത്തിന്റെ നീളമാണ്.
കോസൈനിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര നൊട്ടേഷൻ കോസ് ആണ്.
കോസൈൻ മൂല്യം 1-ൽ കൂടുതലും -1-ൽ കുറവും ആയിരിക്കരുത്.
ഉറവിടങ്ങൾ:
- ഒരു കോണിന്റെ കോസൈൻ എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം
- യൂണിറ്റ് സർക്കിളിലെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ
കോസൈൻകോണിന്റെ അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനമാണ്. വിവിധ അക്ഷങ്ങളിലേക്ക് വെക്റ്ററുകളുടെ പ്രൊജക്ഷനുകൾ നിർണ്ണയിക്കുമ്പോൾ വെക്റ്റർ ബീജഗണിതത്തിൽ കോസൈൻ നിർണ്ണയിക്കാനുള്ള കഴിവ് ഉപയോഗപ്രദമാണ്.
നിർദ്ദേശങ്ങൾ
сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)
യഥാക്രമം 3, 4, 5 മില്ലീമീറ്ററുകൾക്ക് തുല്യമായ a, b, c വശങ്ങളുള്ള ഒരു ത്രികോണമുണ്ട്.
കണ്ടെത്തുക കോസൈൻവലിയ വശങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ.
ഒരു വശത്തിന് എതിർവശത്തുള്ള കോണിനെ നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം?
сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0.8
ഉത്തരം: 0.8.
ത്രികോണം വലത് കോണിലാണെങ്കിൽ, കണ്ടെത്തുക കോസൈൻഒരു കോണിന് ഏതെങ്കിലും രണ്ട് വശങ്ങളുടെ നീളം അറിഞ്ഞാൽ മതി ( കോസൈൻവലത് കോണാണ് 0).
a, b, c എന്നീ വശങ്ങളുള്ള ഒരു വലത് ത്രികോണം ഉണ്ടാകട്ടെ, ഇവിടെ c എന്നത് ഹൈപ്പോടെനസ് ആണ്.
എല്ലാ ഓപ്ഷനുകളും നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം:
(ത്രികോണത്തിന്റെ) a, b എന്നീ വശങ്ങളുടെ നീളം അറിയാമെങ്കിൽ cos?
നമുക്ക് പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം കൂടി ഉപയോഗിക്കാം:
сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)
തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സൂത്രവാക്യം ശരിയാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഉദാഹരണം 1-ൽ നിന്ന് അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, അതായത്.
ചില അടിസ്ഥാന കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തിയ ശേഷം, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
അതുപോലെ കണ്ടെത്തി കോസൈൻഒരു ദീർഘചതുരത്തിൽ ത്രികോണംമറ്റ് സന്ദർഭങ്ങളിൽ:
അറിയപ്പെടുന്ന a, c (ഹൈപ്പോട്ടീനസും എതിർ വശവും), cos കണ്ടെത്തണോ?
сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?)) =(2*с?-2*а?)/(2*с*v(s?-а?))=v(с?-а?)/с.
ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് a=3, c=5 എന്നീ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
അറിയപ്പെടുന്ന ബി, സി (ഹൈപ്പോട്ടീനസും തൊട്ടടുത്തുള്ള കാലും).
കോസ് കണ്ടെത്തണോ?
സമാനമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ വരുത്തിയ ശേഷം (ഉദാഹരണങ്ങൾ 2, 3 എന്നിവയിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു), ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ അത് നേടുന്നു കോസൈൻവി ത്രികോണംവളരെ ലളിതമായ ഒരു ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:
ഉരുത്തിരിഞ്ഞ ഫോർമുലയുടെ ലാളിത്യം ലളിതമായി വിശദീകരിക്കാൻ കഴിയും: വാസ്തവത്തിൽ, മൂലയോട് ചേർന്നാണോ? കാൽ ഹൈപ്പോടെനസിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ആണ്, അതിന്റെ നീളം cos കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ഹൈപ്പോടെനസിന്റെ നീളത്തിന് തുല്യമാണോ?.
ആദ്യ ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് b=4, c=5 എന്നീ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
ഇതിനർത്ഥം നമ്മുടെ എല്ലാ ഫോർമുലകളും ശരിയാണ് എന്നാണ്.
നുറുങ്ങ് 5: ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ ഒരു നിശിത കോണിനെ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം
നേരിട്ട് കാർബോണിക്ചരിത്രപരമായ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് ത്രികോണം ഒരുപക്ഷേ ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായ ഒന്നാണ്. ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾ. പൈതഗോറിയൻ "പാന്റ്സിന്" "യുറീക്ക" യുമായി മാത്രമേ മത്സരിക്കാൻ കഴിയൂ! ആർക്കിമിഡീസ്.
നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും
- - ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഡ്രോയിംഗ്;
- - ഭരണാധികാരി;
- - പ്രൊട്രാക്ടർ
നിർദ്ദേശങ്ങൾ
ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180 ഡിഗ്രിയാണ്. ഒരു ദീർഘചതുരത്തിൽ ത്രികോണംഒരു ആംഗിൾ (നേരായ) എല്ലായ്പ്പോഴും 90 ഡിഗ്രി ആയിരിക്കും, ബാക്കിയുള്ളവ നിശിതമാണ്, അതായത്. ഓരോന്നിനും 90 ഡിഗ്രിയിൽ താഴെ. ഒരു ചതുരാകൃതിയിൽ ഏത് കോണാണെന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ ത്രികോണംനേരായതാണ്, ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ അളക്കാനും ഏറ്റവും വലുത് നിർണ്ണയിക്കാനും ഒരു ഭരണാധികാരി ഉപയോഗിക്കുക. ഇത് ഹൈപ്പോട്ടെനസ് (എബി) ആണ്, ഇത് വലത് കോണിന് (സി) എതിർവശത്താണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്. ശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് വശങ്ങൾ ഒരു വലത് കോണും കാലുകളും (AC, BC) ഉണ്ടാക്കുന്നു.
ഏത് കോണാണ് നിശിതമെന്ന് നിങ്ങൾ നിർണ്ണയിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, ഗണിത സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ആംഗിൾ കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് ഒന്നുകിൽ ഒരു പ്രൊട്രാക്റ്റർ ഉപയോഗിക്കാം.
ഒരു പ്രൊട്രാക്റ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ആംഗിൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ, അതിന്റെ മുകൾഭാഗം (അതിനെ A എന്ന അക്ഷരത്തിൽ സൂചിപ്പിക്കാം) പ്രോട്രാക്ടറിന്റെ മധ്യഭാഗത്തുള്ള ഭരണാധികാരിയിൽ ഒരു പ്രത്യേക അടയാളം ഉപയോഗിച്ച് വിന്യസിക്കുക; ലെഗ് എസി അതിന്റെ മുകളിലെ അരികുമായി പൊരുത്തപ്പെടണം. പ്രൊട്രാക്ടറിന്റെ അർദ്ധവൃത്താകൃതിയിലുള്ള ഭാഗത്ത് AB എന്ന ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ പോയിന്റ് അടയാളപ്പെടുത്തുക. ഈ പോയിന്റിലെ മൂല്യം ഡിഗ്രിയിലെ കോണുമായി യോജിക്കുന്നു. പ്രൊട്രാക്ടറിൽ 2 മൂല്യങ്ങൾ സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അതിനായി ന്യൂനകോണ്നിങ്ങൾ ചെറിയ ഒന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്, മണ്ടന്മാർക്ക് - വലുത്.
ബ്രാഡിസ് റഫറൻസ് ബുക്കുകളിൽ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം കണ്ടെത്തുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യാ മൂല്യം ഏത് കോണുമായി യോജിക്കുന്നുവെന്ന് നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്യുക. ഞങ്ങളുടെ മുത്തശ്ശിമാർ ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ചു.
നമ്മുടേതിൽ ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്ന പ്രവർത്തനത്തോടൊപ്പം എടുത്താൽ മതി. ഉദാഹരണത്തിന്, അന്തർനിർമ്മിത വിൻഡോസ് കാൽക്കുലേറ്റർ. "കാൽക്കുലേറ്റർ" ആപ്ലിക്കേഷൻ സമാരംഭിക്കുക, "കാഴ്ച" മെനു ഇനത്തിൽ, "എഞ്ചിനീയറിംഗ്" തിരഞ്ഞെടുക്കുക. ആവശ്യമുള്ള കോണിന്റെ സൈൻ കണക്കാക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0.5
കാൽക്കുലേറ്റർ ഡിസ്‌പ്ലേയിലെ INV ബട്ടണിൽ ക്ലിക്കുചെയ്‌ത് കാൽക്കുലേറ്ററിനെ വിപരീത പ്രവർത്തന മോഡിലേക്ക് മാറ്റുക, തുടർന്ന് ആർക്‌സൈൻ ഫംഗ്‌ഷൻ ബട്ടണിൽ ക്ലിക്കുചെയ്യുക (ഡിസ്‌പ്ലേയിൽ സിൻ മൈനസ് ആദ്യ പവർ എന്ന് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു). കണക്കുകൂട്ടൽ വിൻഡോയിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന സന്ദേശം ദൃശ്യമാകും: asind (0.5) = 30. I.e. ആവശ്യമുള്ള കോണിന്റെ മൂല്യം 30 ഡിഗ്രിയാണ്.
ഉറവിടങ്ങൾ:
- ബ്രാഡിസ് ടേബിളുകൾ (സൈനുകൾ, കോസൈനുകൾ)
ഒരു കോണിന്റെ മൂന്നാം വശവും രണ്ട് വശങ്ങളും കണ്ടെത്തേണ്ടിവരുമ്പോൾ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം മിക്കപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്. എന്നിരുന്നാലും, ചിലപ്പോൾ പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥ മറ്റൊരു തരത്തിൽ സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു: നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂന്ന് വശങ്ങളുള്ള ഒരു ആംഗിൾ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.
നിർദ്ദേശങ്ങൾ
രണ്ട് വശങ്ങളുടെ നീളവും ഒരു കോണിന്റെ മൂല്യവും അറിയാവുന്ന ഒരു ത്രികോണം നിങ്ങൾക്ക് നൽകിയിട്ടുണ്ടെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക. ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ എല്ലാ കോണുകളും പരസ്പരം തുല്യമല്ല, അതിന്റെ വശങ്ങളും വലുപ്പത്തിൽ വ്യത്യസ്തമാണ്. ആംഗിൾ γ ത്രികോണത്തിന്റെ വശത്തിന് എതിർവശത്താണ്, AB എന്ന് നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു, ഇതാണ് ഈ ചിത്രം. ഈ കോണിലൂടെയും, ശേഷിക്കുന്ന എസി, ബിസി വശങ്ങളിലൂടെയും, കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് അജ്ഞാതമായ ത്രികോണത്തിന്റെ വശം കണ്ടെത്താനാകും, അതിൽ നിന്ന് താഴെ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, ഇവിടെ a=BC, b=AB, c=AC
കോസൈൻ സിദ്ധാന്തത്തെ പൊതുവൽക്കരിച്ച പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഇപ്പോൾ ചിത്രത്തിന്റെ മൂന്ന് വശങ്ങളും നൽകിയിട്ടുണ്ടെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക, എന്നാൽ അതിന്റെ ആംഗിൾ γ അജ്ഞാതമാണ്. a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ എന്ന ഫോം അറിഞ്ഞുകൊണ്ട്, ഈ പദപ്രയോഗം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുക, അങ്ങനെ ആവശ്യമുള്ള മൂല്യം ആംഗിൾ γ: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2 ആയി മാറുന്നു.
തുടർന്ന് മുകളിലുള്ള സമവാക്യം അല്പം വ്യത്യസ്തമായ രൂപത്തിൽ ഇടുക: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
ഈ പദപ്രയോഗം താഴെയുള്ള ഒന്നിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യണം: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
ഫോർമുലയിൽ നമ്പറുകൾ മാറ്റി കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുക മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത്.
γ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്ന കോസൈൻ കണ്ടെത്താൻ, അത് ആർക്ക് കോസൈൻ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ത്രികോണമിതിയുടെ വിപരീതമായി പ്രകടിപ്പിക്കണം. m എന്ന സംഖ്യയുടെ ആർക്ക് കോസൈൻ γ കോണിന്റെ മൂല്യമാണ്, അതിന് γ കോണിന്റെ കോസൈൻ m ന് തുല്യമാണ്. y=arccos m എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ കുറയുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, കോണിന്റെ കോസൈൻ γ ഒരു പകുതിക്ക് തുല്യമാണെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക. അപ്പോൾ ആംഗിൾ γ ആർക്ക് കോസൈനിലൂടെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവചിക്കാം:
γ = ആർക്കോസ്, m = ആർക്കോസ് 1/2 = 60°, ഇവിടെ m = 1/2.
സമാനമായ രീതിയിൽ, ത്രികോണത്തിന്റെ ശേഷിക്കുന്ന കോണുകൾ അതിന്റെ മറ്റ് രണ്ട് അജ്ഞാത വശങ്ങളുമായി നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും.
സൈനും കോസൈനും "ഡയറക്ട്" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന രണ്ട് ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്. മറ്റുള്ളവരേക്കാൾ കൂടുതൽ തവണ കണക്കാക്കേണ്ടവയാണ് അവ, ഇന്ന് ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ നമുക്ക് ഓരോരുത്തർക്കും ഗണ്യമായ ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്. ഏറ്റവും കൂടുതൽ ചിലത് ചുവടെയുണ്ട് ലളിതമായ വഴികൾ.
നിർദ്ദേശങ്ങൾ
കണക്കുകൂട്ടാൻ മറ്റ് മാർഗങ്ങളൊന്നും ലഭ്യമല്ലെങ്കിൽ ഒരു പ്രൊട്രാക്ടർ, പെൻസിൽ, ഒരു കടലാസ് എന്നിവ ഉപയോഗിക്കുക. കോസൈനിന്റെ നിർവചനങ്ങളിലൊന്ന് ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ നിശിത കോണുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു - ഇത് ഈ കോണിന് എതിർവശത്തുള്ള കാലിന്റെ നീളവും നീളവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്. ഒരു ത്രികോണം വരയ്ക്കുക, അതിൽ ഒന്ന് വലത് (90°) ആണ്, മറ്റൊന്ന് നിങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്ന കോണാണ്. വശങ്ങളുടെ നീളം പ്രശ്നമല്ല - നിങ്ങൾക്ക് അളക്കാൻ കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമായ രീതിയിൽ അവ വരയ്ക്കുക. ആവശ്യമുള്ള കാലിന്റെയും ഹൈപ്പോടെനസിന്റെയും നീളം അളക്കുക, സൗകര്യപ്രദമായ രീതിയിൽ ആദ്യത്തേത് രണ്ടാമത്തേത് കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.
അർത്ഥത്തിനുള്ള അവസരം പ്രയോജനപ്പെടുത്തുക ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾനിങ്ങൾക്ക് ഇന്റർനെറ്റ് ആക്സസ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിഗ്മ സെർച്ച് എഞ്ചിനിൽ നിർമ്മിച്ച കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച്. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് 20 ° കോണിന്റെ കോസൈൻ കണക്കാക്കണമെങ്കിൽ, ലോഡ് ചെയ്യുന്നതിലൂടെ ഹോം പേജ്സേവനം http://nigma.ru, തിരയൽ അന്വേഷണ ഫീൽഡിൽ "cosine 20" എന്ന് ടൈപ്പ് ചെയ്ത് "കണ്ടെത്തുക!" ബട്ടൺ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക. നിങ്ങൾക്ക് “ഡിഗ്രികൾ” ഒഴിവാക്കി “കോസൈൻ” എന്ന വാക്ക് കോസ് ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം - ഏത് സാഹചര്യത്തിലും, തിരയൽ എഞ്ചിൻ ഫലം കൃത്യമായി 15 ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങളിൽ (0.939692620785908) കാണിക്കും.
ഓപ്പറേറ്റിംഗ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഇൻസ്റ്റാൾ ചെയ്ത സ്റ്റാൻഡേർഡ് പ്രോഗ്രാം തുറക്കുക വിൻഡോസ് സിസ്റ്റം, ഇന്റർനെറ്റ് ആക്സസ് ഇല്ലെങ്കിൽ. നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും, ഉദാഹരണത്തിന്, win, r കീകൾ ഒരേസമയം അമർത്തി, തുടർന്ന് calc കമാൻഡ് നൽകി OK ബട്ടണിൽ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക. ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ, ഇവിടെ "എഞ്ചിനീയറിംഗ്" അല്ലെങ്കിൽ "ശാസ്ത്രീയ" (OS പതിപ്പിനെ ആശ്രയിച്ച്) എന്ന് വിളിക്കുന്ന ഒരു ഇന്റർഫേസ് ഉണ്ട് - കാൽക്കുലേറ്റർ മെനുവിലെ "കാഴ്ച" വിഭാഗത്തിൽ ആവശ്യമുള്ള ഇനം തിരഞ്ഞെടുക്കുക. ഇതിനുശേഷം, ആംഗിൾ മൂല്യം നൽകുക, പ്രോഗ്രാം ഇന്റർഫേസിലെ cos ബട്ടണിൽ ക്ലിക്കുചെയ്യുക.
വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വീഡിയോ
ടിപ്പ് 8: ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ കോണുകൾ എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കും
കോണുകളും വശങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ചില ബന്ധങ്ങളാണ് ദീർഘചതുരത്തിന്റെ സവിശേഷത. അവയിൽ ചിലതിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ അറിയുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് മറ്റുള്ളവ കണക്കാക്കാം. ഈ ആവശ്യത്തിനായി, ജ്യാമിതിയുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങളെയും സിദ്ധാന്തങ്ങളെയും അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
ടാൻജെന്റ് (tg x), കോട്ടാൻജെന്റ് (ctg x) എന്നിവയ്ക്കുള്ള റഫറൻസ് ഡാറ്റ. ജ്യാമിതീയ നിർവ്വചനം, പ്രോപ്പർട്ടികൾ, ഗ്രാഫുകൾ, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ. സ്പർശനങ്ങളുടെയും കോട്ടാൻജെന്റുകളുടെയും പട്ടിക, ഡെറിവേറ്റീവുകൾ, ഇന്റഗ്രലുകൾ, ശ്രേണി വിപുലീകരണങ്ങൾ. സങ്കീർണ്ണമായ വേരിയബിളുകളിലൂടെയുള്ള പ്രകടനങ്ങൾ. ഹൈപ്പർബോളിക് ഫംഗ്ഷനുകളുമായുള്ള ബന്ധം.
ജ്യാമിതീയ നിർവ്വചനം
|BD| - പോയിന്റ് എയിൽ കേന്ദ്രമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആർക്ക് നീളം.
α എന്നത് റേഡിയനിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന കോണാണ്.
ടാൻജെന്റ് ( ടാൻ α) ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ ഹൈപ്പോടെനസിനും കാലിനും ഇടയിലുള്ള കോണിന്റെ α അനുസരിച്ചുള്ള ഒരു ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനമാണ്, എതിർ കാലിന്റെ നീളത്തിന്റെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ് |BC| തൊട്ടടുത്തുള്ള കാലിന്റെ നീളം വരെ |AB| .
കോട്ടാൻജെന്റ് ( ctg α) ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ ഹൈപ്പോട്ടീനസിനും കാലിനും ഇടയിലുള്ള കോണിന്റെ α അനുസരിച്ച്, തൊട്ടടുത്തുള്ള കാലിന്റെ നീളത്തിന്റെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമായ ഒരു ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനമാണ് |AB| എതിർ കാലിന്റെ നീളം വരെ |BC| .
ടാൻജെന്റ്
എവിടെ എൻ- മുഴുവൻ.
പാശ്ചാത്യ സാഹിത്യത്തിൽ, സ്പർശനത്തെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു:
.
;
;
.
ടാൻജെന്റ് ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ്, y = ടാൻ x
കോട്ടാൻജെന്റ്
എവിടെ എൻ- മുഴുവൻ.
പാശ്ചാത്യ സാഹിത്യത്തിൽ, cotangent ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു:
.
ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷനുകളും അംഗീകരിക്കപ്പെടുന്നു:
;
;
.
കോട്ടാൻജെന്റ് ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ്, y = ctg x
ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ
ആനുകാലികത
ഫംഗ്‌ഷനുകൾ y = tg xഒപ്പം y = ctg xπ കാലഘട്ടത്തോടുകൂടിയ ആനുകാലികമാണ്.
സമത്വം
ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് ഫംഗ്‌ഷനുകൾ വിചിത്രമാണ്.
നിർവചനത്തിന്റെയും മൂല്യങ്ങളുടെയും മേഖലകൾ, വർദ്ധിക്കുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു
ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് ഫംഗ്‌ഷനുകൾ അവയുടെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ തുടർച്ചയായാണ് (തുടർച്ചയുടെ തെളിവ് കാണുക). ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവയുടെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ പട്ടികയിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു ( എൻ- മുഴുവൻ).
| y = tg x | y = ctg x | |
| വ്യാപ്തിയും തുടർച്ചയും | ||
| മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന | - | |
| അവരോഹണം | - | |
| അതിരുകൾ | - | - |
| പൂജ്യങ്ങൾ, y = 0 | ||
| x = ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷം ഉപയോഗിച്ച് പോയിന്റുകൾ തടസ്സപ്പെടുത്തുക 0 | y = 0 | - |
സൂത്രവാക്യങ്ങൾ
സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവ ഉപയോഗിച്ചുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ
;
;
;
;
;
തുകയിൽ നിന്നും വ്യത്യാസത്തിൽ നിന്നും ടാൻജെന്റിനും കോട്ടാൻജെന്റിനുമുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ
ബാക്കിയുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ ലഭിക്കും, ഉദാഹരണത്തിന്
സ്പർശനങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം
ടാൻജന്റുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കും വ്യത്യാസത്തിനുമുള്ള ഫോർമുല
ഈ പട്ടിക ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ചില മൂല്യങ്ങൾക്കായി സ്പർശനങ്ങളുടെയും കോട്ടാഞ്ചന്റുകളുടെയും മൂല്യങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു. 
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ
ഹൈപ്പർബോളിക് ഫംഗ്ഷനുകളിലൂടെയുള്ള പ്രകടനങ്ങൾ
;
;
ഡെറിവേറ്റീവുകൾ
; .
.
ഫംഗ്‌ഷന്റെ x വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് n-ആം ഓർഡറിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്:
.
സ്പർശനത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ >>> ; കോട്ടാൻജെന്റിന് >>>
ഇന്റഗ്രലുകൾ
സീരീസ് വിപുലീകരണങ്ങൾ
x ന്റെ ശക്തികളിൽ ടാൻജെന്റിന്റെ വികാസം ലഭിക്കുന്നതിന്, ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കായി ഒരു പവർ സീരീസിലെ വികാസത്തിന്റെ നിരവധി നിബന്ധനകൾ നിങ്ങൾ എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്. പാപം xഒപ്പം cos xഈ ബഹുപദങ്ങളെ പരസ്പരം വിഭജിക്കുക, . ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നു.
യിൽ.
യിൽ.
എവിടെ Bn- ബെർണൂലി നമ്പറുകൾ. ആവർത്തന ബന്ധത്തിൽ നിന്ന് അവ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:
;
;
എവിടെ .
അല്ലെങ്കിൽ ലാപ്ലേസിന്റെ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്: 
വിപരീത പ്രവർത്തനങ്ങൾ
വിപരീത പ്രവർത്തനങ്ങൾടാൻജന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവ യഥാക്രമം ആർക്റ്റാൻജെന്റ്, ആർക്കോടാൻജെന്റ് എന്നിവയാണ്.
ആർക്റ്റാൻജെന്റ്, ആർക്ട്ജി
, എവിടെ എൻ- മുഴുവൻ.
ആർക്കോടാൻജന്റ്, ആർക്ക്സിടിജി
, എവിടെ എൻ- മുഴുവൻ.
റഫറൻസുകൾ:
ഐ.എൻ. ബ്രോൺസ്റ്റീൻ, കെ.എ. സെമെൻഡയേവ്, എഞ്ചിനീയർമാർക്കും കോളേജ് വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുമുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ കൈപ്പുസ്തകം, "ലാൻ", 2009.
ജി. കോൺ, ശാസ്ത്രജ്ഞർക്കും എഞ്ചിനീയർമാർക്കുമുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ കൈപ്പുസ്തകം, 2012.
സൈൻ അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്, ഇതിന്റെ ഉപയോഗം ജ്യാമിതിയിൽ മാത്രം ഒതുങ്ങുന്നില്ല. എഞ്ചിനീയറിംഗ് കാൽക്കുലേറ്ററുകൾ പോലെയുള്ള ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷനുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ടേബിളുകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും കൈയിലുണ്ടാകില്ല, കൂടാതെ സൈൻ കണക്കാക്കുന്നത് ചിലപ്പോൾ വിവിധ പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ആവശ്യമാണ്. പൊതുവേ, സൈൻ കണക്കാക്കുന്നത് ഡ്രോയിംഗ് കഴിവുകളും ത്രികോണമിതി ഐഡന്റിറ്റികളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവും ഏകീകരിക്കാൻ സഹായിക്കും.
ഭരണാധികാരിയും പെൻസിലും ഉള്ള ഗെയിമുകൾ
ഒരു ലളിതമായ ജോലി: കടലാസിൽ വരച്ച കോണിന്റെ സൈൻ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? പരിഹരിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സാധാരണ ഭരണാധികാരി, ഒരു ത്രികോണം (അല്ലെങ്കിൽ കോമ്പസ്), ഒരു പെൻസിൽ എന്നിവ ആവശ്യമാണ്. ഒരു കോണിന്റെ സൈൻ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ മാർഗ്ഗം, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിദൂരമായ കാൽഭാഗത്തെ വലത് കോണുള്ള നീളമുള്ള വശം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക എന്നതാണ് - ഹൈപ്പോടെനസ്. അതിനാൽ, കോണിന്റെ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് ഏകപക്ഷീയമായ അകലത്തിൽ കിരണങ്ങളിലൊന്നിലേക്ക് ലംബമായി ഒരു രേഖ വരച്ച് നിങ്ങൾ ആദ്യം ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ ആകൃതിയിലേക്ക് നിശിതകോണം പൂർത്തിയാക്കേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് കൃത്യമായി 90 ° ഒരു ആംഗിൾ നിലനിർത്തേണ്ടതുണ്ട്, അതിന് നമുക്ക് ഒരു ക്ലറിക്കൽ ത്രികോണം ആവശ്യമാണ്.
ഒരു കോമ്പസ് ഉപയോഗിക്കുന്നത് കുറച്ചുകൂടി കൃത്യമാണ്, പക്ഷേ കൂടുതൽ സമയമെടുക്കും. ഒരു കിരണത്തിൽ, നിങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത അകലത്തിൽ 2 പോയിന്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തേണ്ടതുണ്ട്, കോമ്പസിൽ ഒരു റേഡിയസ് പോയിന്റുകൾക്കിടയിലുള്ള ദൂരത്തിന് ഏകദേശം തുല്യമായി സജ്ജമാക്കുക, കൂടാതെ ഈ വരികളുടെ കവലകൾ ലഭിക്കുന്നതുവരെ ഈ പോയിന്റുകളിൽ കേന്ദ്രങ്ങളുള്ള അർദ്ധവൃത്തങ്ങൾ വരയ്ക്കുക. ഞങ്ങളുടെ സർക്കിളുകളുടെ വിഭജന പോയിന്റുകൾ പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ, നമ്മുടെ കോണിന്റെ കിരണത്തിന് കർശനമായ ലംബമായി നമുക്ക് ലഭിക്കും; മറ്റൊരു കിരണവുമായി വിഭജിക്കുന്നത് വരെ രേഖ നീട്ടുക എന്നതാണ് അവശേഷിക്കുന്നത്.
തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ത്രികോണത്തിൽ, കോണിന് എതിർവശത്തുള്ള വശവും കിരണങ്ങളിലൊന്നിൽ നീളമുള്ള വശവും അളക്കാൻ നിങ്ങൾ ഒരു ഭരണാധികാരി ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അക്യൂട്ട് ആംഗിളിന്റെ സൈനിന്റെ ആവശ്യമുള്ള മൂല്യമായിരിക്കും ആദ്യ മാനത്തിന്റെ അനുപാതം രണ്ടാമത്തേത്.
90°യിൽ കൂടുതലുള്ള ഒരു കോണിനായി സൈൻ കണ്ടെത്തുക
ഒരു മങ്ങിയ കോണിന്, ജോലി കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. നമുക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള കോണിന്റെ കിരണങ്ങളിലൊന്ന് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നേർരേഖ രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിന് ഒരു ഭരണാധികാരി ഉപയോഗിച്ച് വിപരീത ദിശയിലുള്ള ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് ഒരു കിരണം വരയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന അക്യൂട്ട് ആംഗിൾ മുകളിൽ വിവരിച്ചതുപോലെ പരിഗണിക്കണം; 180° റിവേഴ്സ് ആംഗിൾ രൂപപ്പെടുന്ന തൊട്ടടുത്ത കോണുകളുടെ സൈനുകൾ തുല്യമാണ്.
മറ്റ് ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സൈൻ കണക്കാക്കുന്നു
കൂടാതെ, കോണിന്റെ മറ്റ് ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളമെങ്കിലും അറിയാമെങ്കിൽ സൈൻ കണക്കാക്കുന്നത് സാധ്യമാണ്. ത്രികോണമിതി ഐഡന്റിറ്റികൾ ഇതിന് നമ്മെ സഹായിക്കും. നമുക്ക് സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.
ഒരു കോണിന്റെ അറിയപ്പെടുന്ന കോസൈൻ ഉപയോഗിച്ച് സൈൻ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ആദ്യത്തെ ത്രികോണമിതി ഐഡന്റിറ്റി, ഒരേ കോണിലെ സൈനിന്റെയും കോസൈന്റെയും ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഒന്നിന് തുല്യമാണെന്ന് പ്രസ്താവിക്കുന്നു.
ഒരു കോണിന്റെ അറിയപ്പെടുന്ന ടാൻജെന്റ് ഉപയോഗിച്ച് സൈൻ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? വിദൂര വശത്തെ അടുത്തുള്ള വശം കൊണ്ട് ഹരിച്ചോ അല്ലെങ്കിൽ സൈനിനെ കോസൈൻ കൊണ്ട് ഹരിച്ചോ ടാൻജെന്റ് ലഭിക്കും. അങ്ങനെ, സൈൻ കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ് എന്നിവയുടെ ഉൽപ്പന്നമായിരിക്കും, സൈനിന്റെ ചതുരം ഈ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ വർഗ്ഗമായിരിക്കും. ആദ്യത്തെ ത്രികോണമിതി ഐഡന്റിറ്റി അനുസരിച്ച് ഏകത്വവും ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സൈനും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ സ്‌ക്വയർഡ് കോസൈനെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, കൂടാതെ ലളിതമായ കൃത്രിമത്വങ്ങളിലൂടെ, സ്‌ക്വയർ സൈനിന്റെ കണക്കുകൂട്ടലിലേക്ക് ഞങ്ങൾ സമവാക്യം കുറയ്ക്കുന്നു; അതനുസരിച്ച്, സൈൻ കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾ ലഭിച്ച ഫലത്തിന്റെ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്.
ഒരു കോണിന്റെ അറിയപ്പെടുന്ന കോട്ടാൻജെന്റ് ഉപയോഗിച്ച് സൈൻ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? കോണിനോട് ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള കാലിന്റെ നീളം ദൂരെയുള്ള ഒന്നിന്റെ നീളം കൊണ്ട് ഹരിച്ചുകൊണ്ട് കോടാൻജെന്റിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാം, അതുപോലെ തന്നെ കോസൈനെ സൈനാൽ ഹരിച്ചാൽ, അതായത്, ടാൻജെന്റിന് വിപരീതമായ ഒരു ഫംഗ്ഷനാണ് കോട്ടാൻജെന്റ്. 1 എന്ന നമ്പറിലേക്ക്. സൈൻ കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് tg α = 1 / ctg α എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ടാൻജെന്റ് കണക്കാക്കുകയും രണ്ടാമത്തെ ഓപ്ഷനിൽ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്യാം. ടാൻജെന്റുമായുള്ള സാമ്യം വഴി നിങ്ങൾക്ക് നേരിട്ടുള്ള സൂത്രവാക്യം നേടാനും കഴിയും, അത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും.
ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് വശങ്ങളിലെ സൈൻ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം
എതിർകോണിന്റെ കോസൈനിന്റെ ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് അറിയപ്പെടുന്ന രണ്ട് വശങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരു വലത് ത്രികോണം മാത്രമല്ല, ഏത് ത്രികോണത്തിന്റെയും അജ്ഞാത വശത്തിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഒരു ഫോർമുലയുണ്ട്. അവൾ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു.
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഒരു ശാഖയായ ത്രികോണമിതിയുടെ പ്രധാന വിഭാഗങ്ങളാണ് സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നീ ആശയങ്ങൾ, കോണിന്റെ നിർവചനവുമായി അഭേദ്യമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഈ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വൈദഗ്ധ്യത്തിന് ഫോർമുലകളുടെയും സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെയും ഓർമ്മപ്പെടുത്തലും മനസ്സിലാക്കലും ആവശ്യമാണ്, അതുപോലെ തന്നെ വികസിത സ്പേഷ്യൽ ചിന്തയും ആവശ്യമാണ്. അതുകൊണ്ടാണ് ത്രികോണമിതി കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പലപ്പോഴും സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്കും വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നത്. അവയെ മറികടക്കാൻ, ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളും സൂത്രവാക്യങ്ങളും നിങ്ങൾ കൂടുതൽ പരിചയപ്പെടണം.
ത്രികോണമിതിയിലെ ആശയങ്ങൾ
ത്രികോണമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ മനസിലാക്കാൻ, ഒരു വലത് ത്രികോണവും ഒരു വൃത്തത്തിലെ കോണും എന്താണെന്നും എല്ലാ അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി കണക്കുകൂട്ടലുകളും അവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്നും നിങ്ങൾ ആദ്യം മനസ്സിലാക്കണം. കോണുകളിൽ ഒന്ന് 90 ഡിഗ്രി അളക്കുന്ന ഒരു ത്രികോണം ചതുരാകൃതിയിലാണ്. ചരിത്രപരമായി, വാസ്തുവിദ്യ, നാവിഗേഷൻ, കല, ജ്യോതിശാസ്ത്രം എന്നിവയിലെ ആളുകൾ പലപ്പോഴും ഈ കണക്ക് ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. അതനുസരിച്ച്, ഈ കണക്കിന്റെ സവിശേഷതകൾ പഠിക്കുകയും വിശകലനം ചെയ്യുകയും ചെയ്തുകൊണ്ട്, ആളുകൾ അതിന്റെ പാരാമീറ്ററുകളുടെ അനുബന്ധ അനുപാതങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ തുടങ്ങി.
വലത് ത്രികോണങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രധാന വിഭാഗങ്ങൾ ഹൈപ്പോടെൻസും കാലുകളുമാണ്. വലത് കോണിന് എതിർവശത്തുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വശമാണ് ഹൈപ്പോടെനസ്. കാലുകൾ, യഥാക്രമം, മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളാണ്. ഏതൊരു ത്രികോണത്തിന്റെയും കോണുകളുടെ ആകെത്തുക എപ്പോഴും 180 ഡിഗ്രിയാണ്.
സ്കൂളിൽ പഠിക്കാത്ത ത്രികോണമിതിയുടെ ഒരു വിഭാഗമാണ് സ്ഫെറിക്കൽ ത്രികോണമിതി, എന്നാൽ ജ്യോതിശാസ്ത്രം, ജിയോഡെസി തുടങ്ങിയ പ്രായോഗിക ശാസ്ത്രങ്ങളിൽ ശാസ്ത്രജ്ഞർ ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ത്രികോണമിതിയിലെ ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ പ്രത്യേകത, അതിന് എപ്പോഴും 180 ഡിഗ്രിയിൽ കൂടുതലുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയാണ്.
ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകൾ
ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ, ഒരു കോണിന്റെ സൈൻ എന്നത് ആവശ്യമുള്ള കോണിന്റെ എതിർവശത്തുള്ള കാലിന്റെ അനുപാതവും ത്രികോണത്തിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസും ആണ്. അതനുസരിച്ച്, കോസൈൻ എന്നത് തൊട്ടടുത്തുള്ള കാലിന്റെയും ഹൈപ്പോടെനസിന്റെയും അനുപാതമാണ്. ഈ രണ്ട് മൂല്യങ്ങൾക്കും എല്ലായ്പ്പോഴും ഒന്നിൽ താഴെ കാന്തിമാനമുണ്ട്, കാരണം ഹൈപ്പോടെനസ് എല്ലായ്പ്പോഴും കാലിനേക്കാൾ നീളമുള്ളതാണ്.
ഒരു കോണിന്റെ ടാൻജെന്റ് എന്നത് ആവശ്യമുള്ള കോണിന്റെ തൊട്ടടുത്ത ഭാഗത്തേക്കുള്ള എതിർ വശത്തിന്റെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമായ മൂല്യമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ കോസൈനിലേക്കുള്ള സൈൻ. Cotangent, അതാകട്ടെ, ആവശ്യമുള്ള കോണിന്റെ തൊട്ടടുത്ത ഭാഗത്തിന്റെ എതിർ വശത്തിന്റെ അനുപാതമാണ്. ഒരു കോണിന്റെ കോടാൻജെന്റ് ഒന്നിനെ ടാൻജെന്റ് മൂല്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാലും ലഭിക്കും.
യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ
ജ്യാമിതിയിലെ ഒരു യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ ഒരു വൃത്തമാണ്, അതിന്റെ ആരം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്. അത്തരമൊരു വൃത്തം ഒരു കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, സർക്കിളിന്റെ മധ്യഭാഗം ഉത്ഭവ സ്ഥാനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ റേഡിയസ് വെക്റ്ററിന്റെ പ്രാരംഭ സ്ഥാനം എക്സ് അക്ഷത്തിന്റെ (അബ്സിസ്സ ആക്സിസ്) പോസിറ്റീവ് ദിശയിൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. സർക്കിളിലെ ഓരോ പോയിന്റിനും രണ്ട് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്: XX, YY, അതായത്, abscissa, ordinate എന്നിവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ. XX തലത്തിലെ സർക്കിളിലെ ഏതെങ്കിലും പോയിന്റ് തിരഞ്ഞെടുത്ത് അതിൽ നിന്ന് abscissa അക്ഷത്തിലേക്ക് ഒരു ലംബമായി ഇടുന്നതിലൂടെ, X അക്ഷത്തിലേക്ക് വരച്ച ലംബമായ തിരഞ്ഞെടുത്ത ബിന്ദുവിലേക്ക് (C എന്ന അക്ഷരം സൂചിപ്പിക്കുന്നു) ആരം രൂപപ്പെടുത്തിയ ഒരു വലത് ത്രികോണം നമുക്ക് ലഭിക്കും. (വിഭജന പോയിന്റിനെ G എന്ന അക്ഷരം സൂചിപ്പിക്കുന്നു), കൂടാതെ സെഗ്‌മെന്റ് ഉത്ഭവത്തിനും (ബിന്ദു A അക്ഷരത്താൽ നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു) G എന്ന കവല പോയിന്റിനും ഇടയിലുള്ള abscissa അക്ഷമാണ്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ത്രികോണം ACG ഒരു വൃത്തത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്ത ഒരു വലത് ത്രികോണമാണ്, ഇവിടെ AG എന്നത് ഹൈപ്പോടെൻസും AC, GC എന്നിവ കാലുകളുമാണ്. സർക്കിൾ എസിയുടെ ആരത്തിനും എജി എന്ന പദവിയുള്ള അബ്സിസ്സ അക്ഷത്തിന്റെ സെഗ്‌മെന്റിനും ഇടയിലുള്ള കോണിനെ α (ആൽഫ) എന്ന് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, cos α = AG/AC. AC എന്നത് യൂണിറ്റ് സർക്കിളിന്റെ ആരം ആണെന്നും അത് ഒന്നിന് തുല്യമാണെന്നും കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, അത് cos α=AG ആയി മാറുന്നു. അതുപോലെ, sin α=CG.
കൂടാതെ, ഈ ഡാറ്റ അറിയുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് സർക്കിളിലെ പോയിന്റ് C യുടെ കോർഡിനേറ്റ് നിർണ്ണയിക്കാനാകും, കാരണം cos α=AG, sin α=CG, അതായത് പോയിന്റ് C ഉണ്ട് കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകി(cos α; sin α). ടാൻജെന്റ് സൈനിന്റെയും കോസൈന്റെയും അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് അറിയുമ്പോൾ, നമുക്ക് ടാൻ α = y/x, cot α = x/y എന്നിവ നിർണ്ണയിക്കാനാകും. ഒരു നെഗറ്റീവ് കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ കോണുകൾ പരിഗണിക്കുന്നതിലൂടെ, ചില കോണുകളുടെ സൈൻ, കോസൈൻ മൂല്യങ്ങൾ നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കണക്കാക്കാം.
കണക്കുകൂട്ടലുകളും അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളും
ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തന മൂല്യങ്ങൾ
യൂണിറ്റ് സർക്കിളിലൂടെയുള്ള ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകളുടെ സാരാംശം പരിഗണിച്ച്, ചില കോണുകൾക്കായി ഈ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താനാകും. മൂല്യങ്ങൾ ചുവടെയുള്ള പട്ടികയിൽ പട്ടികപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.
ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി ഐഡന്റിറ്റികൾ
ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു അജ്ഞാത മൂല്യം ഉള്ള സമവാക്യങ്ങളെ ത്രികോണമിതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മൂല്യം sin x = α, k ഉള്ള ഐഡന്റിറ്റികൾ - ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യ:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
- sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
- sin x = a, |a| > 1, പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.
- sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
cos x = a മൂല്യമുള്ള ഐഡന്റിറ്റികൾ, ഇവിടെ k എന്നത് ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x = -1, x = π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.
- cos x = a, |a| ≦ 1, x = ± ആർക്കോസ് α + 2πk.
tg x = a മൂല്യമുള്ള ഐഡന്റിറ്റികൾ, ഇവിടെ k എന്നത് ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്:
- ടാൻ x = 0, x = π/2 + πk.
- ടാൻ x = a, x = arctan α + πk.
ctg x = a മൂല്യമുള്ള ഐഡന്റിറ്റികൾ, ഇവിടെ k എന്നത് ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്:
- cot x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x = a, x = arcctg α + πk.
റിഡക്ഷൻ ഫോർമുലകൾ
സ്ഥിരമായ ഫോർമുലകളുടെ ഈ വിഭാഗം നിങ്ങൾക്ക് ഫോമിന്റെ ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകളിൽ നിന്ന് ഒരു ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഫംഗ്ഷനുകളിലേക്ക് നീങ്ങാൻ കഴിയുന്ന രീതികളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതായത്, ഏതെങ്കിലും മൂല്യത്തിന്റെ ഒരു കോണിന്റെ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവ കോണിന്റെ അനുബന്ധ സൂചകങ്ങളിലേക്ക് കുറയ്ക്കുക. കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ കൂടുതൽ സൗകര്യത്തിനായി 0 മുതൽ 90 ഡിഗ്രി വരെയുള്ള ഇടവേള.
ഒരു കോണിന്റെ സൈനിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = sin α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = sin α.
കോണിന്റെ കോസൈനിനായി:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
മുകളിൽ പറഞ്ഞ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ ഉപയോഗം രണ്ട് നിയമങ്ങൾക്ക് വിധേയമായി സാധ്യമാണ്. ആദ്യം, കോണിനെ ഒരു മൂല്യമായി (π/2 ± a) അല്ലെങ്കിൽ (3π/2 ± a) പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം മാറുന്നു:
- പാപത്തിൽ നിന്ന് കോസിലേക്ക്;
- കോസ് മുതൽ പാപം വരെ;
- tg മുതൽ ctg വരെ;
- ctg മുതൽ tg വരെ.
കോണിനെ (π ± a) അല്ലെങ്കിൽ (2π ± a) ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം മാറ്റമില്ലാതെ തുടരും.
രണ്ടാമതായി, കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ അടയാളം മാറില്ല: ഇത് തുടക്കത്തിൽ പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, അത് അങ്ങനെ തന്നെ തുടരുന്നു. നെഗറ്റീവ് ഫംഗ്ഷനുകൾക്കും സമാനമാണ്.
കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ
ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ്, കോടാൻജെന്റ് എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങളും രണ്ട് ഭ്രമണ കോണുകളുടെ വ്യത്യാസവും അവയുടെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. സാധാരണയായി കോണുകളെ α, β എന്നിങ്ങനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- ടാൻ (α ± β) = (tg α ± ടാൻ β) / (1 ∓ ടാൻ α * ടാൻ β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഏത് കോണിലും α, β എന്നിവയ്ക്ക് സാധുതയുള്ളതാണ്.
ഇരട്ട, ട്രിപ്പിൾ ആംഗിൾ ഫോർമുലകൾ
ഇരട്ട, ട്രിപ്പിൾ ആംഗിൾ ത്രികോണമിതി ഫോർമുലകൾ യഥാക്രമം 2α, 3α കോണുകളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളെ α കോണിന്റെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങളാണ്. കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2 α.
- tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
- cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
തുകയിൽ നിന്ന് ഉൽപ്പന്നത്തിലേക്കുള്ള മാറ്റം
2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), ഈ ഫോർമുല ലളിതമാക്കി, നമുക്ക് sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α - β)/2 എന്ന ഐഡന്റിറ്റി ലഭിക്കും. അതുപോലെ sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α - β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നിന്ന് തുകയിലേക്കുള്ള മാറ്റം
ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിലേക്കുള്ള തുകയുടെ പരിവർത്തനത്തിന്റെ ഐഡന്റിറ്റികളിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
ഡിഗ്രി റിഡക്ഷൻ ഫോർമുലകൾ
ഈ ഐഡന്റിറ്റികളിൽ, സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ ചതുരവും ക്യൂബിക് ശക്തികളും ഒന്നിലധികം കോണിന്റെ ആദ്യ ശക്തിയുടെ സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
യൂണിവേഴ്സൽ സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ
സാർവത്രിക ത്രികോണമിതി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഒരു അർദ്ധകോണിന്റെ ടാൻജെന്റിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.
- sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), x = π + 2πn;
- cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), ഇവിടെ x = π + 2πn;
- tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), ഇവിടെ x = π + 2πn;
- cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), x = π + 2πn കൂടെ.
പ്രത്യേക കേസുകൾ
ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളുടെ പ്രത്യേക കേസുകൾ ചുവടെ നൽകിയിരിക്കുന്നു (k എന്നത് ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്).
സൈനിനുള്ള പദാർഥങ്ങൾ:
| പാപം x മൂല്യം | x മൂല്യം |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk അല്ലെങ്കിൽ 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk അല്ലെങ്കിൽ -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk അല്ലെങ്കിൽ 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk അല്ലെങ്കിൽ -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk അല്ലെങ്കിൽ 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk അല്ലെങ്കിൽ -2π/3 + 2πk |
കോസൈനിനുള്ള ഘടകഭാഗങ്ങൾ:
| cos x മൂല്യം | x മൂല്യം |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
സ്പർശനത്തിനുള്ള ഘടകങ്ങൾ:
| tg x മൂല്യം | x മൂല്യം |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
കോട്ടാൻജെന്റിനുള്ള ഘടകഭാഗങ്ങൾ:
| ctg x മൂല്യം | x മൂല്യം |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
സിദ്ധാന്തങ്ങൾ
സൈനുകളുടെ സിദ്ധാന്തം
സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ രണ്ട് പതിപ്പുകളുണ്ട് - ലളിതവും വിപുലീകൃതവും. ലളിതമായ സൈൻ സിദ്ധാന്തം: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, a, b, c ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ, α, β, γ എന്നിവ യഥാക്രമം വിപരീത കോണുകളാണ്.
ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ത്രികോണത്തിനായുള്ള വിപുലീകൃത സൈൻ സിദ്ധാന്തം: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. ഈ ഐഡന്റിറ്റിയിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന ത്രികോണം ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന വൃത്തത്തിന്റെ ആരത്തെ R സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം
ഐഡന്റിറ്റി ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രദർശിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. ഫോർമുലയിൽ, a, b, c ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ, α എന്നത് a വശത്തിന് എതിർ കോണാണ്.
ടാൻജന്റ് സിദ്ധാന്തം
ഫോർമുല രണ്ട് കോണുകളുടെ സ്പർശനങ്ങളും അവയ്‌ക്കെതിരായ വശങ്ങളുടെ നീളവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. വശങ്ങൾ a, b, c എന്ന് ലേബൽ ചെയ്‌തിരിക്കുന്നു, അനുബന്ധ വിപരീത കോണുകൾ α, β, γ എന്നിവയാണ്. ടാൻജെന്റ് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഫോർമുല: (a - b) / (a+b) = tan ((α - β)/2) / tan((α + β)/2).
കോട്ടാൻജെന്റ് സിദ്ധാന്തം
ഒരു ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആരം അതിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളവുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു. a, b, c എന്നിവ ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളും A, B, C എന്നിവ യഥാക്രമം അവയ്‌ക്കെതിരായ കോണുകളാണെങ്കിൽ, r എന്നത് ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിന്റെ ആരവും p എന്നത് ത്രികോണത്തിന്റെ അർദ്ധപരിധിയുമാണ്, ഇനിപ്പറയുന്നവ ഐഡന്റിറ്റികൾ സാധുവാണ്:
- കട്ടിൽ A/2 = (p-a)/r;
- കട്ടിൽ B/2 = (p-b)/r;
- കട്ടിൽ C/2 = (p-c)/r.
അപേക്ഷ
ത്രികോണമിതി - മാത്രമല്ല സൈദ്ധാന്തിക ശാസ്ത്രംഗണിത സൂത്രവാക്യങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അതിന്റെ ഗുണങ്ങളും സിദ്ധാന്തങ്ങളും നിയമങ്ങളും വിവിധ വ്യവസായങ്ങൾ പ്രായോഗികമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. മനുഷ്യ പ്രവർത്തനം- ജ്യോതിശാസ്ത്രം, വായു, കടൽ നാവിഗേഷൻ, സംഗീത സിദ്ധാന്തം, ജിയോഡെസി, രസതന്ത്രം, ശബ്ദശാസ്ത്രം, ഒപ്റ്റിക്സ്, ഇലക്ട്രോണിക്സ്, ആർക്കിടെക്ചർ, ഇക്കണോമിക്സ്, മെക്കാനിക്കൽ എഞ്ചിനീയറിംഗ്, അളക്കുന്ന ജോലി, കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സ്, കാർട്ടോഗ്രഫി, സമുദ്രശാസ്ത്രം, കൂടാതെ മറ്റു പലതും.
സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവയാണ് ത്രികോണമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ, ഇതിന്റെ സഹായത്തോടെ ഒരു ത്രികോണത്തിലെ കോണുകളും നീളവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി പ്രകടിപ്പിക്കാനും ഐഡന്റിറ്റികൾ, സിദ്ധാന്തങ്ങൾ, നിയമങ്ങൾ എന്നിവയിലൂടെ ആവശ്യമായ അളവുകൾ കണ്ടെത്താനും കഴിയും.
എന്താണ് സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ്, ഒരു കോണിന്റെ കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവ ഒരു വലത് ത്രികോണം മനസ്സിലാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.
ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളെ എന്താണ് വിളിക്കുന്നത്? അത് ശരിയാണ്, ഹൈപ്പോടെൻസും കാലുകളും: വലത് കോണിന് എതിർവശത്തായി കിടക്കുന്ന വശമാണ് ഹൈപ്പോടെനസ് (ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ ഇതാണ് വശം \(AC\)); കാലുകൾ എന്നത് ശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് വശങ്ങളാണ് \(AB\), \(BC\) (വലത് കോണിനോട് ചേർന്നുള്ളവ), കൂടാതെ \(BC\) കോണുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കാലുകൾ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ലെഗ് \(AB\) ആണ് തൊട്ടടുത്തുള്ള കാൽ, കാൽ \(BC\) എതിർവശത്താണ്. അതിനാൽ, ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാം: ഒരു കോണിന്റെ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്താണ്?
കോണിന്റെ സൈൻ- ഇത് വിപരീത (വിദൂര) കാലിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ അനുപാതമാണ്.
ഞങ്ങളുടെ ത്രികോണത്തിൽ:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
കോണിന്റെ കോസൈൻ- ഇത് തൊട്ടടുത്തുള്ള (അടുത്തുള്ള) കാലിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ അനുപാതമാണ്.
ഞങ്ങളുടെ ത്രികോണത്തിൽ:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
കോണിന്റെ ടാൻജെന്റ്- ഇത് എതിർ (വിദൂര) വശത്തിന്റെ തൊട്ടടുത്തുള്ള (അടുത്തുള്ള) അനുപാതമാണ്.
ഞങ്ങളുടെ ത്രികോണത്തിൽ:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
കോണിന്റെ കോട്ടാൻജെന്റ്- ഇത് തൊട്ടടുത്തുള്ള (അടുത്തുള്ള) കാലിന്റെ വിപരീത (ദൂരെ) അനുപാതമാണ്.
ഞങ്ങളുടെ ത്രികോണത്തിൽ:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
ഈ നിർവചനങ്ങൾ ആവശ്യമാണ് ഓർക്കുക! ഏത് കാലായി വിഭജിക്കണമെന്ന് ഓർമ്മിക്കുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അത് വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട് ടാൻജെന്റ്ഒപ്പം കോട്ടാൻജെന്റ്കാലുകൾ മാത്രം ഇരിക്കുന്നു, ഹൈപ്പോടെനസ് മാത്രമേ ദൃശ്യമാകൂ സൈനസ്ഒപ്പം കോസൈൻ. തുടർന്ന് നിങ്ങൾക്ക് അസോസിയേഷനുകളുടെ ഒരു ശൃംഖലയുമായി വരാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇത്:
കോസൈൻ→ടച്ച്→ടച്ച്→സമീപം;
കോട്ടാൻജെന്റ്→ടച്ച്→ടച്ച്→സമീപം.
ഒന്നാമതായി, സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവ ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ അനുപാതം ഈ വശങ്ങളുടെ നീളത്തെ (ഒരേ കോണിൽ) ആശ്രയിക്കുന്നില്ലെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കേണ്ടതുണ്ട്. വിശ്വസിക്കരുത്? തുടർന്ന് ചിത്രം നോക്കി ഉറപ്പാക്കുക:
ഉദാഹരണത്തിന്, \(\beta \) കോണിന്റെ കോസൈൻ പരിഗണിക്കുക. നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഒരു ത്രികോണത്തിൽ നിന്ന് \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), എന്നാൽ നമുക്ക് \(\beta \) കോണിന്റെ കോസൈൻ ത്രികോണത്തിൽ നിന്ന് \(AHI \) കണക്കാക്കാം : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). നിങ്ങൾ കാണുന്നു, വശങ്ങളുടെ നീളം വ്യത്യസ്തമാണ്, എന്നാൽ ഒരു കോണിന്റെ കോസൈന്റെ മൂല്യം ഒന്നുതന്നെയാണ്. അതിനാൽ, സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ കോണിന്റെ വ്യാപ്തിയെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.
നിങ്ങൾ നിർവചനങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുകയാണെങ്കിൽ, മുന്നോട്ട് പോയി അവയെ ഏകീകരിക്കുക!
ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന \(ABC \) ത്രികോണത്തിനായി, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു \(\sin \\alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \\alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \\alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)
ശരി, നിങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിച്ചോ? എന്നിട്ട് സ്വയം ശ്രമിക്കുക: \(\beta \) കോണിലും ഇത് തന്നെ കണക്കാക്കുക.
ഉത്തരങ്ങൾ: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
യൂണിറ്റ് (ത്രികോണമിതി) വൃത്തം
ഡിഗ്രികളുടെയും റേഡിയൻസിന്റെയും ആശയങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കി, \(1\) ന് തുല്യമായ ആരമുള്ള ഒരു വൃത്തം ഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ചു. അത്തരമൊരു വൃത്തത്തെ വിളിക്കുന്നു സിംഗിൾ. ത്രികോണമിതി പഠിക്കുമ്പോൾ ഇത് വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാകും. അതിനാൽ, നമുക്ക് ഇത് കുറച്ചുകൂടി വിശദമായി നോക്കാം.
നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഈ സർക്കിൾ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത് കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലാണ്. സർക്കിളിന്റെ ആരം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, അതേസമയം സർക്കിളിന്റെ മധ്യഭാഗം കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവസ്ഥാനത്താണ്, ആരം വെക്റ്ററിന്റെ പ്രാരംഭ സ്ഥാനം \(x\) അക്ഷത്തിന്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിൽ ഉറപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു (ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഇത് ആരം \(AB\)).
സർക്കിളിലെ ഓരോ പോയിന്റും രണ്ട് സംഖ്യകളോട് യോജിക്കുന്നു: \(x\) അക്ഷത്തോടൊപ്പമുള്ള കോർഡിനേറ്റ്, \(y\) അക്ഷത്തിനൊപ്പം കോർഡിനേറ്റ്. എന്താണ് ഈ കോർഡിനേറ്റ് നമ്പറുകൾ? പൊതുവേ, അവർ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്ന വിഷയവുമായി എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്? ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന വലത് ത്രികോണത്തെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ ഓർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്. മുകളിലുള്ള ചിത്രത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് വലത് ത്രികോണങ്ങൾ കാണാം. ത്രികോണം പരിഗണിക്കുക \(ACG\) . \(CG\) \(x\) അക്ഷത്തിന് ലംബമായതിനാൽ ഇത് ദീർഘചതുരമാണ്.
എന്താണ് \(\cos \\alpha \) ത്രികോണം \(ACG \)? അത് ശരിയാണ് \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). കൂടാതെ, \(AC\) എന്നത് യൂണിറ്റ് സർക്കിളിന്റെ ആരം ആണെന്ന് നമുക്കറിയാം, അതായത് \(AC=1\) . ഈ മൂല്യം കോസൈനിനുള്ള നമ്മുടെ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം. എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് ഇതാ:
\(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
\(എസിജി \) ത്രികോണത്തിൽ നിന്നുള്ള \(\sin \\alpha \) എന്താണ്? ശരി, തീർച്ചയായും, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! ഈ ഫോർമുലയിലേക്ക് \(AC\) റേഡിയസിന്റെ മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച് നേടുക:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
അപ്പോൾ, സർക്കിളിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന \(C\) പോയിന്റ് എന്താണ് ഏകോപിപ്പിക്കുന്നതെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പറയാമോ? ശരി, വഴിയില്ലേ? \(\cos \\alpha \) ഉം \(\sin \alpha \) യും വെറും സംഖ്യകളാണെന്ന് നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കിയാലോ? \(\cos \alpha \) ഏത് കോർഡിനേറ്റുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു? ശരി, തീർച്ചയായും, കോർഡിനേറ്റ് \(x\)! കൂടാതെ \(\sin \alpha \) ഏത് കോർഡിനേറ്റുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു? അത് ശരിയാണ്, ഏകോപിപ്പിക്കുക \(y\)! അതിനാൽ പോയിന്റ് \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
അപ്പോൾ \(tg \alpha \) ഒപ്പം \(ctg \alpha \) എന്താണ് തുല്യം? അത് ശരിയാണ്, നമുക്ക് ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവയുടെ അനുബന്ധ നിർവചനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അത് നേടാം \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha)=\dfrac(y)(x) \), എ \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
ആംഗിൾ വലുതാണെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ ചിത്രത്തിൽ പോലെ:
എന്താണ് മാറിയത് ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ? നമുക്ക് അത് കണ്ടുപിടിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നമുക്ക് വീണ്ടും ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലേക്ക് തിരിയാം. ഒരു വലത് ത്രികോണം പരിഗണിക്കുക \((((A)_(1))((C)_(1))G \) : ആംഗിൾ (കോണിനോട് ചേർന്ന് \(\beta \) ). ഒരു കോണിനുള്ള സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവയുടെ മൂല്യം എന്താണ് \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? അത് ശരിയാണ്, ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അനുബന്ധ നിർവചനങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പാലിക്കുന്നു:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\ cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac((((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))(A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)
ശരി, നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, കോണിന്റെ സൈനിന്റെ മൂല്യം ഇപ്പോഴും കോർഡിനേറ്റുമായി യോജിക്കുന്നു \(y\) ; കോണിന്റെ കോസൈന്റെ മൂല്യം - കോർഡിനേറ്റ് \(x\) ; അനുബന്ധ അനുപാതങ്ങളിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങളും. അങ്ങനെ, ഈ ബന്ധങ്ങൾ ആരം വെക്റ്ററിന്റെ ഏത് ഭ്രമണത്തിനും ബാധകമാണ്.
ആരം വെക്‌ടറിന്റെ പ്രാരംഭ സ്ഥാനം \(x\) അക്ഷത്തിന്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിലാണെന്ന് ഇതിനകം സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഇതുവരെ നമ്മൾ ഈ വെക്‌ടറിനെ എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ തിരിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഘടികാരദിശയിൽ തിരിക്കുകയാണെങ്കിൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? അസാധാരണമായ ഒന്നുമില്ല, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യത്തിന്റെ ഒരു കോണും ലഭിക്കും, പക്ഷേ അത് നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കും. അങ്ങനെ, ആരം വെക്റ്റർ എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ തിരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കും പോസിറ്റീവ് കോണുകൾ, ഘടികാരദിശയിൽ തിരിക്കുമ്പോൾ - നെഗറ്റീവ്.
അതിനാൽ, സർക്കിളിന് ചുറ്റുമുള്ള ആരം വെക്റ്ററിന്റെ മുഴുവൻ വിപ്ലവവും \(360()^\circ \) അല്ലെങ്കിൽ \(2\pi \) ആണെന്ന് നമുക്കറിയാം. റേഡിയസ് വെക്റ്ററിനെ \(390()^\circ \) അല്ലെങ്കിൽ \(-1140()^\circ \) ഉപയോഗിച്ച് തിരിക്കാൻ കഴിയുമോ? ശരി, തീർച്ചയായും നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും! ആദ്യ കേസിൽ, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), അങ്ങനെ, ആരം വെക്റ്റർ ഒരു പൂർണ്ണ വിപ്ലവം നടത്തി \(30()^\circ \) അല്ലെങ്കിൽ \(\dfrac(\pi )(6) \) സ്ഥാനത്ത് നിർത്തും.
രണ്ടാമത്തെ കേസിൽ, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), അതായത് റേഡിയസ് വെക്റ്റർ മൂന്ന് പൂർണ്ണ വിപ്ലവങ്ങൾ നടത്തി \(-60()^\circ \) അല്ലെങ്കിൽ \(-\dfrac(\pi )(3) \) സ്ഥാനത്ത് നിർത്തും.
അതിനാൽ, മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം \(360()^\circ \cdot m \) അല്ലെങ്കിൽ \(2\pi \cdot m \) (ഇവിടെ \(m \) ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്) റേഡിയസ് വെക്റ്ററിന്റെ അതേ സ്ഥാനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.
ചുവടെയുള്ള ചിത്രം ആംഗിൾ കാണിക്കുന്നു \(\beta =-60()^\circ \) . ഒരേ ചിത്രം കോണുമായി യോജിക്കുന്നു \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)തുടങ്ങിയവ. ഈ ലിസ്റ്റ് അനിശ്ചിതമായി തുടരാം. ഈ കോണുകളെല്ലാം പൊതുവായ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് എഴുതാം \(\beta +360()^\circ \cdot m\)അല്ലെങ്കിൽ \(\beta +2\pi \cdot m \) (ഇവിടെ \(m \) ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
ഇപ്പോൾ, അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ നിർവചനങ്ങൾ അറിയുകയും യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ ഉപയോഗിച്ച്, മൂല്യങ്ങൾ എന്താണെന്ന് ഉത്തരം നൽകാൻ ശ്രമിക്കുക:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
നിങ്ങളെ സഹായിക്കാൻ ഒരു യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ ഇതാ:
ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടോ? അപ്പോൾ നമുക്ക് അത് മനസ്സിലാക്കാം. അതിനാൽ ഞങ്ങൾക്കത് അറിയാം:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array)\)
ഇവിടെ നിന്ന്, ചില ആംഗിൾ അളവുകൾക്ക് അനുയോജ്യമായ പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ശരി, നമുക്ക് ക്രമത്തിൽ ആരംഭിക്കാം: മൂലയിൽ \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള ഒരു പോയിന്റുമായി യോജിക്കുന്നു \(\ഇടത്(0;1 \വലത്) \) , അതിനാൽ:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- നിലവിലില്ല;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
കൂടാതെ, അതേ യുക്തിക്ക് അനുസൃതമായി, മൂലകൾ ഉള്ളതായി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിന്റുകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു \(\ഇടത്(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \വലത്) \), യഥാക്രമം. ഇത് അറിയുന്നതിലൂടെ, അനുബന്ധ പോയിന്റുകളിൽ ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. ആദ്യം ഇത് സ്വയം പരീക്ഷിക്കുക, തുടർന്ന് ഉത്തരങ്ങൾ പരിശോധിക്കുക.
ഉത്തരങ്ങൾ:
\(\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- നിലവിലില്ല
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- നിലവിലില്ല
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- നിലവിലില്ല
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- നിലവിലില്ല
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
അതിനാൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടിക ഉണ്ടാക്കാം:
ഈ മൂല്യങ്ങളെല്ലാം ഓർത്തിരിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. യൂണിറ്റ് സർക്കിളിലെ പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളും ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങളും തമ്മിലുള്ള കത്തിടപാടുകൾ ഓർമ്മിച്ചാൽ മതി:
\(\ഇടത്. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(നിങ്ങൾ അത് ഓർക്കണം അല്ലെങ്കിൽ പ്രദർശിപ്പിക്കാൻ കഴിയണം!! \) !}
എന്നാൽ കോണുകളുടെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)ചുവടെയുള്ള പട്ടികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നത്, നിങ്ങൾ ഓർക്കണം:
ഭയപ്പെടേണ്ട, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് അനുയോജ്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ലളിതമായ ഓർമ്മപ്പെടുത്തലിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം കാണിക്കും:
ഈ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നതിന്, കോണിന്റെ മൂന്ന് അളവുകൾക്കും സൈൻ മൂല്യങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ് ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), അതുപോലെ \(30()^\circ \) എന്നതിലെ കോണിന്റെ ടാൻജെന്റിന്റെ മൂല്യം. ഈ \(4\) മൂല്യങ്ങൾ അറിയുന്നത്, മുഴുവൻ പട്ടികയും പുനഃസ്ഥാപിക്കുന്നത് വളരെ ലളിതമാണ് - കോസൈൻ മൂല്യങ്ങൾ അമ്പടയാളങ്ങൾക്ക് അനുസൃതമായി കൈമാറ്റം ചെയ്യപ്പെടുന്നു, അതായത്:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \ അവസാനം(അറേ) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), ഇത് അറിയുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് മൂല്യങ്ങൾ പുനഃസ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയും \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). ന്യൂമറേറ്റർ "\(1 \)" \(\text(tg)\ 45()^\circ \\) മായി യോജിക്കും കൂടാതെ "\(\sqrt(\text(3)) \)" \(\text (tg)\ 60()^\circ \\) . ചിത്രത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന അമ്പുകൾക്ക് അനുസൃതമായി കോട്ടാൻജെന്റ് മൂല്യങ്ങൾ കൈമാറ്റം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. നിങ്ങൾ ഇത് മനസിലാക്കുകയും അമ്പടയാളങ്ങളുള്ള ഡയഗ്രം ഓർമ്മിക്കുകയും ചെയ്താൽ, പട്ടികയിൽ നിന്ന് \(4\) മൂല്യങ്ങൾ മാത്രം ഓർമ്മിച്ചാൽ മതിയാകും.
ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ
സർക്കിളിന്റെ കേന്ദ്രത്തിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളും അതിന്റെ ആരവും ഭ്രമണകോണും അറിഞ്ഞുകൊണ്ട് ഒരു വൃത്തത്തിൽ ഒരു പോയിന്റ് (അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ) കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമോ? ശരി, തീർച്ചയായും നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും! ഒരു പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു പൊതു സൂത്രവാക്യം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് മുന്നിൽ ഒരു സർക്കിൾ ഇതാ:
ഞങ്ങൾക്ക് ആ പോയിന്റ് നൽകിയിരിക്കുന്നു \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- സർക്കിളിന്റെ മധ്യഭാഗം. വൃത്തത്തിന്റെ ആരം \(1.5\) ആണ്. \(O\) പോയിന്റ് \(\ഡെൽറ്റ \) ഡിഗ്രി കൊണ്ട് തിരിക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിച്ച \(P\) പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ, \(P\) പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റ് \(x\) സെഗ്‌മെന്റിന്റെ നീളവുമായി യോജിക്കുന്നു \(TP=UQ=UK+KQ\) . സെഗ്‌മെന്റിന്റെ നീളം \(UK\) സർക്കിളിന്റെ മധ്യഭാഗത്തിന്റെ കോർഡിനേറ്റിനോട് യോജിക്കുന്നു, അതായത്, അത് \(3\) ന് തുല്യമാണ്. സെഗ്‌മെന്റിന്റെ ദൈർഘ്യം \(KQ\) കോസൈന്റെ നിർവചനം ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കാം:
\(\cos \\delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).
അപ്പോൾ നമുക്ക് അത് പോയിന്റ് \(P\) കോർഡിനേറ്റ് ഉണ്ട് \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).
അതേ ലോജിക് ഉപയോഗിച്ച്, \(P\) എന്ന പോയിന്റിനുള്ള y കോർഡിനേറ്റിന്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. അങ്ങനെ,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).
അതിനാൽ, ഇൻ പൊതുവായ കാഴ്ചപോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ സൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), എവിടെ
\((((x)_(0)),((y)_(0)) \) - സർക്കിളിന്റെ കേന്ദ്രത്തിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ,
\(r\) - വൃത്തത്തിന്റെ ആരം,
\(\ഡെൽറ്റ \) - വെക്റ്റർ ആരത്തിന്റെ ഭ്രമണ കോൺ.
നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്ന യൂണിറ്റ് സർക്കിളിനായി, ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഗണ്യമായി കുറയുന്നു, കാരണം കേന്ദ്രത്തിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ പൂജ്യത്തിനും ആരം ഒന്നിനും തുല്യമാണ്:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =0+1\cdot \cos \\delta =\cos \\delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \\delta =\sin \\delta \end(array) \)
നിങ്ങളുടെ ബ്രൗസറിൽ Javascript പ്രവർത്തനരഹിതമാക്കിയിരിക്കുന്നു.കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താൻ, നിങ്ങൾ ActiveX നിയന്ത്രണങ്ങൾ പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കണം!
