വിപരീത ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷൻ ഡെറിവേറ്റീവ് കാൽക്കുലേറ്റർ. ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ
ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കുകൂട്ടൽ- ലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ ഒന്ന് ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസ്. ലളിതമായ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു പട്ടിക ചുവടെയുണ്ട്. കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ വ്യത്യാസ നിയമങ്ങൾക്കായി, മറ്റ് പാഠങ്ങൾ കാണുക:- എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക
ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ
1. ഒരു സംഖ്യയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യമാണ്с´ = 0
ഉദാഹരണം:
5´ = 0
വിശദീകരണം:
ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ആർഗ്യുമെന്റ് മാറുമ്പോൾ അതിന്റെ മൂല്യം മാറുന്ന നിരക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കാണിക്കുന്നു. ഒരു സാഹചര്യത്തിലും സംഖ്യ ഒരു തരത്തിലും മാറാത്തതിനാൽ, അതിന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യമാണ്.
2. ഒരു വേരിയബിളിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്ഒന്നിന് തുല്യം
x´ = 1
വിശദീകരണം:
ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ (x) ഓരോ വർദ്ധനവിലും, ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം (കണക്കെടുപ്പിന്റെ ഫലം) അതേ അളവിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു. അതിനാൽ, y = x ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യത്തിലെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക് ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ മൂല്യത്തിലെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്കിന് തുല്യമാണ്.
3. ഒരു വേരിയബിളിന്റെയും ഒരു ഘടകത്തിന്റെയും ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ ഘടകത്തിന് തുല്യമാണ്
сx´ = с
ഉദാഹരണം:
(3x) = 3
(2x) = 2
വിശദീകരണം:
IN ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഓരോ തവണയും ഫംഗ്ഷൻ ആർഗ്യുമെന്റ് മാറുന്നു ( എക്സ്) അതിന്റെ മൂല്യം (y) വർദ്ധിക്കുന്നു കൂടെഒരിക്കല്. അതിനാൽ, ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്കുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യത്തിന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക് കൃത്യമായി മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ് കൂടെ.
അത് എവിടെ നിന്നാണ് പിന്തുടരുന്നത്
(cx + b)" = സി
അതായത് y=kx+b എന്ന ലീനിയർ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ രേഖയുടെ (k) ചരിവിന് തുല്യമാണ്.
4. ഒരു വേരിയബിളിന്റെ മോഡുലോ ഡെറിവേറ്റീവ്ഈ വേരിയബിളിന്റെ ഘടകം അതിന്റെ മോഡുലസിന് തുല്യമാണ്
|x|"= x / |x| x ≠ 0 നൽകിയിട്ടുണ്ട്
വിശദീകരണം:
ഒരു വേരിയബിളിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് (ഫോർമുല 2 കാണുക) ഒന്നിന് തുല്യമായതിനാൽ, മൊഡ്യൂളിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത്, ഉത്ഭവസ്ഥാനം കടക്കുമ്പോൾ ഫംഗ്ഷന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്കിന്റെ മൂല്യം വിപരീതമായി മാറുമ്പോൾ (ഒരു ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കാൻ ശ്രമിക്കുക. ഫംഗ്ഷന്റെ y = |x| നിങ്ങൾക്കായി കാണുക, ഇതാണ് കൃത്യമായ മൂല്യം x / |x| എന്ന പദപ്രയോഗം നൽകുന്നു. x എപ്പോൾ< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - ഒന്ന്. അതായത്, x എന്ന വേരിയബിളിന്റെ നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്ക്, ആർഗ്യുമെന്റിലെ ഓരോ വർദ്ധനവിലും, ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം കൃത്യമായി അതേ മൂല്യത്തിൽ കുറയുന്നു, പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്ക്, നേരെമറിച്ച്, അത് വർദ്ധിക്കുന്നു, പക്ഷേ അതേ മൂല്യത്തിൽ .
5. ഒരു പവർ എന്ന വേരിയബിളിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്ഈ ശക്തിയുടെ ഒരു സംഖ്യയുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യവും ഒരു വേരിയബിളിന്റെ പവർ ഒന്ന് കുറച്ചതും
(x c)"= cx c-1, x c, cx c-1 എന്നിവ നിർവചിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ c ≠ 0
ഉദാഹരണം:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
ഫോർമുല ഓർമ്മിക്കാൻ:
വേരിയബിളിന്റെ ഡിഗ്രി ഒരു ഘടകമായി താഴേക്ക് നീക്കുക, തുടർന്ന് ഡിഗ്രി തന്നെ ഒന്ന് കുറയ്ക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, x 2-ന് - രണ്ടും x-നേക്കാൾ മുന്നിലായിരുന്നു, തുടർന്ന് കുറച്ച പവർ (2-1 = 1) ഞങ്ങൾക്ക് 2x നൽകി. x 3 നും ഇതുതന്നെ സംഭവിച്ചു - ഞങ്ങൾ ട്രിപ്പിൾ "താഴേയ്ക്ക് നീക്കുക", അത് ഒന്നായി കുറയ്ക്കുക, ഒരു ക്യൂബിന് പകരം നമുക്ക് ഒരു ചതുരം ഉണ്ട്, അതായത് 3x 2. അല്പം "അശാസ്ത്രീയം" എന്നാൽ ഓർക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്.
6.ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
ഉദാഹരണം:
ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ നെഗറ്റീവ് ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം
(1/x)" = (x -1)", തുടർന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയുടെ റൂൾ 5-ൽ നിന്ന് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാവുന്നതാണ്
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് അനിയന്ത്രിതമായ ബിരുദത്തിന്റെ ഒരു വേരിയബിളിനൊപ്പംഡിനോമിനേറ്ററിൽ
(1 / x c)" = - c / x c+1
ഉദാഹരണം:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. റൂട്ടിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്(സ്ക്വയർ റൂട്ടിന് കീഴിലുള്ള വേരിയബിളിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്)
(√x)" = 1 / (2√x)അല്ലെങ്കിൽ 1/2 x -1/2
ഉദാഹരണം:
(√x)" = (x 1/2)" അർത്ഥമാക്കുന്നത് നിങ്ങൾക്ക് റൂൾ 5-ൽ നിന്ന് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാം എന്നാണ്
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)
9. ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ടിന് കീഴിലുള്ള ഒരു വേരിയബിളിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)
നിർവ്വചനം.\(y = f(x)\) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ \(x_0\) എന്ന പോയിന്റ് അടങ്ങുന്ന ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ നിർവചിക്കട്ടെ. ആർഗ്യുമെന്റിന് ഒരു ഇൻക്രിമെന്റ് \(\Delta x \) നൽകാം, അത് ഈ ഇടവേളയിൽ നിന്ന് പുറത്തുപോകില്ല. \(\Delta y \) (\(x_0 \) എന്ന പോയിന്റിൽ നിന്ന് \(x_0 + \Delta x \) എന്ന പോയിന്റിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ) ഫംഗ്ഷന്റെ അനുബന്ധ ഇൻക്രിമെന്റ് കണ്ടെത്തി \(\frac(\Delta) ബന്ധം രചിക്കാം y)(\ഡെൽറ്റ x) \). \(\Delta x \rightarrow 0\) എന്നതിൽ ഈ അനുപാതത്തിന് ഒരു പരിധിയുണ്ടെങ്കിൽ, നിർദ്ദിഷ്ട പരിധിയെ വിളിക്കുന്നു ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്\(x_0 \) പോയിന്റിൽ \(y=f(x) \) കൂടാതെ \(f"(x_0) \) സൂചിപ്പിക്കുക.
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
ഡെറിവേറ്റീവിനെ സൂചിപ്പിക്കാൻ y എന്ന ചിഹ്നം പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്, ശ്രദ്ധിക്കുക, y" = f(x) എന്നത് ഒരു പുതിയ ഫംഗ്ഷനാണ്, എന്നാൽ മുകളിൽ പറഞ്ഞ പരിധി നിലനിൽക്കുന്ന x എല്ലാ പോയിന്റുകളിലും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന y = f(x) എന്ന ഫംഗ്ഷനുമായി സ്വാഭാവികമായും ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഈ പ്രവർത്തനത്തെ ഇങ്ങനെ വിളിക്കുന്നു: y = f(x) ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്.
ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥംതാഴെ പറയുന്നു. y-അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമല്ലാത്ത abscissa x=a ഉപയോഗിച്ച് പോയിന്റിലെ y = f(x) എന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെന്റ് വരയ്ക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, f(a) ടാൻജന്റെ ചരിവ് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. :
\(k = f"(a)\)
\(k = tg(a) \), അപ്പോൾ തുല്യത \(f"(a) = tan(a) \) ശരിയാണ്.
ഏകദേശ തുല്യതയുടെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനം ഇപ്പോൾ നമുക്ക് വ്യാഖ്യാനിക്കാം. \(y = f(x)\) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് ഒരു പ്രത്യേക പോയിന്റിൽ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
ഇതിനർത്ഥം x പോയിന്റിന് സമീപം ഏകദേശ തുല്യത \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \ approx f"(x)\), അതായത് \(\Delta y \ approx f"(x) \cdot\ ഡെൽറ്റ x\). തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഏകദേശ സമത്വത്തിന്റെ അർത്ഥവത്തായ അർത്ഥം ഇപ്രകാരമാണ്: ഫംഗ്ഷന്റെ വർദ്ധനവ് ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ വർദ്ധനവിന് “ഏതാണ്ട് ആനുപാതികമാണ്”, കൂടാതെ ആനുപാതികതയുടെ ഗുണകം ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിലെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ മൂല്യമാണ് x. ഉദാഹരണത്തിന്, \(y = x^2\) ഫംഗ്‌ഷനായി ഏകദേശ തുല്യത \(\Delta y \ approx 2x \cdot \Delta x \) സാധുവാണ്. ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനം ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വിശകലനം ചെയ്താൽ, അത് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നതായി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും.
നമുക്ക് അത് രൂപപ്പെടുത്താം.
y = f(x) എന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?
1. \(x\) മൂല്യം ശരിയാക്കുക, \(f(x)\) കണ്ടെത്തുക
2. ആർഗ്യുമെന്റിന് \(x\) ഒരു ഇൻക്രിമെന്റ് നൽകുക \(\Delta x\), പോകുക പുതിയ പോയിന്റ്\(x+ \Delta x \), കണ്ടെത്തുക \(f(x+ \Delta x) \)
3. ഫംഗ്ഷന്റെ വർദ്ധനവ് കണ്ടെത്തുക: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. ബന്ധം സൃഷ്ടിക്കുക \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. കണക്കാക്കുക $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ഈ പരിധി x പോയിന്റിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്.
y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് x എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിനെ x ബിന്ദുവിൽ ഡിഫറൻഷ്യബിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. y = f(x) എന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള നടപടിക്രമത്തെ വിളിക്കുന്നു വ്യത്യാസംഫംഗ്ഷനുകൾ y = f(x).
നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ചോദ്യം ചർച്ച ചെയ്യാം: പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ തുടർച്ചയും വ്യത്യാസവും എങ്ങനെയാണ്?
y = f(x) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ x എന്ന ബിന്ദുവിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ M(x; f(x)) എന്ന പോയിന്റിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെന്റ് വരയ്ക്കാം, കൂടാതെ, ടാൻജെന്റിന്റെ കോണീയ ഗുണകം f "(x) ന് തുല്യമാണ്. അത്തരമൊരു ഗ്രാഫിന് "ബ്രേക്ക്" ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. പോയിന്റ് M-ൽ, അതായത്, പോയിന്റ് x-ൽ പ്രവർത്തനം തുടർച്ചയായിരിക്കണം.
ഇവ "കൈയ്യിൽ" വാദങ്ങളായിരുന്നു. നമുക്ക് കൂടുതൽ കർശനമായ ന്യായവാദം നൽകാം. x എന്ന ബിന്ദുവിൽ y = f(x) ഫംഗ്ഷൻ വേർതിരിക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ, ഏകദേശ തുല്യത \(\Delta y \ approx f"(x) \cdot \Delta x \) പിടിക്കുന്നു. ഈ സമത്വത്തിലാണെങ്കിൽ \(\Delta x \) പൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു, തുടർന്ന് \(\Delta y \) പൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കും, ഇത് ഒരു ബിന്ദുവിലെ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ തുടർച്ചയുടെ അവസ്ഥയാണ്.
അതിനാൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ x എന്ന ബിന്ദുവിൽ വേർതിരിക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ, ആ ബിന്ദുവിൽ അത് തുടർച്ചയായിരിക്കും.
വിപരീത പ്രസ്താവന ശരിയല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്: ഫംഗ്ഷൻ y = |x| എല്ലായിടത്തും തുടർച്ചയായാണ്, പ്രത്യേകിച്ച് x = 0 എന്ന പോയിന്റിൽ, എന്നാൽ "ജംഗ്ഷൻ പോയിന്റിൽ" (0; 0) ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റ് നിലവിലില്ല. ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെന്റ് വരയ്ക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, ആ ഘട്ടത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലില്ല.
ഒരു ഉദാഹരണം കൂടി. \(y=\sqrt(x)\) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ, x = 0 എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഉൾപ്പെടെ, മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയിലും തുടർച്ചയായി തുടരുന്നു. കൂടാതെ x = 0 എന്ന പോയിന്റിൽ ഉൾപ്പെടെ, ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റ് ഏത് പോയിന്റിലും നിലവിലുണ്ട്. എന്നാൽ ഈ ഘട്ടത്തിൽ ടാൻജെന്റ് y-അക്ഷവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അതായത്, അത് abscissa അക്ഷത്തിന് ലംബമാണ്, അതിന്റെ സമവാക്യത്തിന് x = 0 രൂപമുണ്ട്. ചരിവ് ഗുണകംഅത്തരമൊരു വരി ഇല്ല, അതിനർത്ഥം \(f"(0) \) നിലവിലില്ല എന്നാണ്
അതിനാൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഒരു പുതിയ പ്രോപ്പർട്ടി ഞങ്ങൾ പരിചയപ്പെട്ടു - വ്യത്യസ്തത. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് അത് വ്യത്യസ്തമാണെന്ന് എങ്ങനെ നിഗമനം ചെയ്യാം?
ഉത്തരം യഥാർത്ഥത്തിൽ മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഒരു ഘട്ടത്തിൽ abscissa അക്ഷത്തിന് ലംബമല്ലാത്ത ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെന്റ് വരയ്ക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്ഷൻ വ്യത്യസ്തമാണ്. ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റ് നിലവിലില്ലെങ്കിലോ അത് അബ്സിസ്സ അക്ഷത്തിന് ലംബമാണെങ്കിൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്ഷൻ വേർതിരിക്കാനാവില്ല.
വ്യത്യാസത്തിന്റെ നിയമങ്ങൾ
ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു വ്യത്യാസം. ഈ പ്രവർത്തനം നടത്തുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ പലപ്പോഴും ഘടകങ്ങൾ, തുകകൾ, ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ, അതുപോലെ "ഫംഗ്ഷനുകളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ", അതായത് സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ എന്നിവയിൽ പ്രവർത്തിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഈ ജോലി എളുപ്പമാക്കുന്ന ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താനാകും. C ഒരു സ്ഥിരാങ്കം ആണെങ്കിൽ f=f(x), g=g(x) ചില ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്‌ഷനുകളാണെങ്കിൽ, ഇനിപ്പറയുന്നവ ശരിയാണ് വ്യത്യസ്തത നിയമങ്ങൾ:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
ചില ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക
$$ \ഇടത്(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \ഇടത്(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $ആദ്യ നില
ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. സമഗ്രമായ ഗൈഡ് (2019)
ഒരു കുന്നിൻ പ്രദേശത്തുകൂടി കടന്നുപോകുന്ന നേരായ പാത നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം. അതായത്, അത് മുകളിലേക്കും താഴേക്കും പോകുന്നു, പക്ഷേ വലത്തോട്ടോ ഇടത്തോട്ടോ തിരിയുന്നില്ല. അച്ചുതണ്ട് റോഡിലൂടെയും ലംബമായും തിരശ്ചീനമായി നയിക്കുകയാണെങ്കിൽ, റോഡ് ലൈൻ ചില തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുമായി വളരെ സാമ്യമുള്ളതായിരിക്കും:
അക്ഷം പൂജ്യം ഉയരത്തിന്റെ ഒരു നിശ്ചിത തലമാണ്; ജീവിതത്തിൽ നമ്മൾ സമുദ്രനിരപ്പ് ഉപയോഗിക്കുന്നു.
അത്തരമൊരു പാതയിലൂടെ മുന്നോട്ട് പോകുമ്പോൾ, നമ്മളും മുകളിലേക്കോ താഴേക്കോ നീങ്ങുന്നു. നമുക്ക് ഇങ്ങനെയും പറയാം: ആർഗ്യുമെന്റ് മാറുമ്പോൾ (അബ്സിസ്സ അച്ചുതണ്ടിലൂടെയുള്ള ചലനം), ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം മാറുന്നു (ഓർഡിനേറ്റ് അച്ചുതണ്ടിലൂടെയുള്ള ചലനം). നമ്മുടെ റോഡിന്റെ “കുത്തനെ” എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കാമെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ചിന്തിക്കാം? ഇത് ഏത് തരത്തിലുള്ള മൂല്യമായിരിക്കും? ഇത് വളരെ ലളിതമാണ്: ഒരു നിശ്ചിത ദൂരം മുന്നോട്ട് പോകുമ്പോൾ ഉയരം എത്രമാത്രം മാറും. തീർച്ചയായും, റോഡിന്റെ വിവിധ ഭാഗങ്ങളിൽ, ഒരു കിലോമീറ്റർ മുന്നോട്ട് (x-അക്ഷത്തിലൂടെ) നീങ്ങുമ്പോൾ, സമുദ്രനിരപ്പുമായി (y-അക്ഷത്തിൽ) ആപേക്ഷികമായി ഞങ്ങൾ വ്യത്യസ്ത മീറ്ററുകൾ ഉയരുകയോ കുറയുകയോ ചെയ്യും.
നമുക്ക് പുരോഗതി സൂചിപ്പിക്കാം ("ഡെൽറ്റ x" വായിക്കുക).
ഗ്രീക്ക് അക്ഷരം (ഡെൽറ്റ) സാധാരണയായി ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ "മാറ്റം" എന്നർത്ഥമുള്ള ഒരു ഉപസർഗ്ഗമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. അതായത് - ഇത് അളവിൽ മാറ്റം, - ഒരു മാറ്റം; അപ്പോൾ അതെന്താണ്? അത് ശരിയാണ്, അളവിലുള്ള മാറ്റം.
പ്രധാനപ്പെട്ടത്: ഒരു പദപ്രയോഗം ഒരൊറ്റ മൊത്തത്തിലുള്ള ഒരു വേരിയബിൾ ആണ്. ഒരിക്കലും "ഡെൽറ്റ" "x" അല്ലെങ്കിൽ മറ്റേതെങ്കിലും അക്ഷരത്തിൽ നിന്ന് വേർതിരിക്കരുത്! അതായത്, ഉദാഹരണത്തിന്, .
അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ തിരശ്ചീനമായി മുന്നോട്ട് പോയി. ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫുമായി നമ്മൾ റോഡിന്റെ വരി താരതമ്യം ചെയ്താൽ, പിന്നെ എങ്ങനെയാണ് ഉയർച്ചയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്? തീർച്ചയായും, . അതായത്, നാം മുന്നോട്ട് പോകുമ്പോൾ, നാം ഉയരത്തിൽ ഉയരുന്നു.
മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്: തുടക്കത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഉയരത്തിലായിരുന്നുവെങ്കിൽ, നീങ്ങിയ ശേഷം ഞങ്ങൾ ഉയരത്തിൽ കണ്ടെത്തി. അവസാന പോയിന്റ് ആരംഭ പോയിന്റിനേക്കാൾ താഴ്ന്നതാണെങ്കിൽ, അത് നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കും - ഇതിനർത്ഥം നമ്മൾ ആരോഹണമല്ല, അവരോഹണമാണ്.
നമുക്ക് "കുത്തനെ"യിലേക്ക് മടങ്ങാം: ഒരു യൂണിറ്റ് ദൂരം മുന്നോട്ട് പോകുമ്പോൾ ഉയരം എത്രത്തോളം (കുത്തനെ) വർദ്ധിക്കുന്നുവെന്ന് കാണിക്കുന്ന ഒരു മൂല്യമാണിത്:
റോഡിന്റെ ചില ഭാഗത്ത്, ഒരു കിലോമീറ്റർ മുന്നോട്ട് പോകുമ്പോൾ, റോഡ് ഒരു കിലോമീറ്റർ ഉയരുമെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. അപ്പോൾ ഈ സ്ഥലത്തെ ചരിവ് തുല്യമാണ്. റോഡ് മീറ്ററോളം മുന്നോട്ട് പോകുമ്പോൾ, കിലോമീറ്ററോളം ഇടിഞ്ഞാലോ? അപ്പോൾ ചരിവ് തുല്യമാണ്.
ഇനി നമുക്ക് ഒരു കുന്നിൻ മുകളിൽ നോക്കാം. ഉച്ചകോടിക്ക് അര കിലോമീറ്റർ മുമ്പുള്ള ഭാഗത്തിന്റെ തുടക്കവും അതിന് ശേഷം അര കിലോമീറ്റർ അവസാനവും എടുത്താൽ, ഉയരം ഏതാണ്ട് തുല്യമാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും.
അതായത്, ഞങ്ങളുടെ യുക്തി അനുസരിച്ച്, ഇവിടെ ചരിവ് ഏതാണ്ട് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് മാറുന്നു, അത് വ്യക്തമായി ശരിയല്ല. കിലോമീറ്ററുകളോളം ദൂരത്തിൽ പലതും മാറാം. കുത്തനെയുള്ള കൂടുതൽ മതിയായതും കൃത്യവുമായ വിലയിരുത്തലിനായി ചെറിയ പ്രദേശങ്ങൾ പരിഗണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ ഒരു മീറ്റർ നീങ്ങുമ്പോൾ ഉയരത്തിലെ മാറ്റം അളക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഫലം കൂടുതൽ കൃത്യതയുള്ളതായിരിക്കും. എന്നാൽ ഈ കൃത്യത പോലും നമുക്ക് മതിയാകില്ല - എല്ലാത്തിനുമുപരി, റോഡിന് നടുവിൽ ഒരു തൂണുണ്ടെങ്കിൽ, നമുക്ക് അത് കടന്നുപോകാം. അപ്പോൾ ഏത് ദൂരം തിരഞ്ഞെടുക്കണം? സെന്റീമീറ്റർ? മില്ലിമീറ്റർ? കുറവ് നല്ലത്!
IN യഥാർത്ഥ ജീവിതംഅടുത്തുള്ള മില്ലിമീറ്ററിലേക്കുള്ള ദൂരം അളക്കുന്നത് ആവശ്യത്തിലധികം ആണ്. എന്നാൽ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ എല്ലായ്പ്പോഴും പൂർണതയ്ക്കായി പരിശ്രമിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ആശയം കണ്ടുപിടിച്ചു അനന്തമായ, അതായത്, കേവല മൂല്യം നമുക്ക് പേരുനൽകാൻ കഴിയുന്ന ഏതൊരു സംഖ്യയേക്കാളും കുറവാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ പറയുന്നു: ഒരു ട്രില്യൺ! എത്ര കുറവ്? നിങ്ങൾ ഈ സംഖ്യയെ ഹരിച്ചാൽ - അത് ഇതിലും കുറവായിരിക്കും. ഇത്യാദി. ഒരു അളവ് അനന്തമാണെന്ന് എഴുതണമെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ഇങ്ങനെ എഴുതുന്നു: ("x പൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത" എന്ന് ഞങ്ങൾ വായിക്കുന്നു). മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ് ഈ സംഖ്യ പൂജ്യമല്ലെന്ന്!എന്നാൽ അതിനോട് വളരെ അടുത്താണ്. നിങ്ങൾക്ക് ഇത് വിഭജിക്കാം എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.
ഇൻഫിനിറ്റസിമലിന് വിപരീതമായ ആശയം അനന്തമായി വലുതാണ് (). നിങ്ങൾ അസമത്വങ്ങളിൽ പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ ഇതിനകം തന്നെ ഇത് കണ്ടിട്ടുണ്ടാകും: ഈ സംഖ്യ നിങ്ങൾക്ക് ചിന്തിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഏത് സംഖ്യയേക്കാളും വലുതാണ്. സാധ്യമായ ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയാണെങ്കിൽ, അതിനെ രണ്ടായി ഗുണിച്ചാൽ അതിലും വലിയ സംഖ്യ നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും. അനന്തത സംഭവിക്കുന്നതിലും വലുതാണ്. വാസ്തവത്തിൽ, അനന്തമായി വലുതും അനന്തമായി ചെറുതും പരസ്പരം വിപരീതമാണ്, അതായത് at, തിരിച്ചും: at.
ഇനി നമുക്ക് നമ്മുടെ വഴിയിലേക്ക് മടങ്ങാം. പാതയുടെ അനന്തമായ ഒരു വിഭാഗത്തിനായി കണക്കാക്കിയ ചരിവാണ് അനുയോജ്യമായി കണക്കാക്കിയ ചരിവ്, അതായത്:
അനന്തമായ സ്ഥാനചലനം കൊണ്ട്, ഉയരത്തിലെ മാറ്റവും അനന്തമായിരിക്കുമെന്ന് ഞാൻ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു. എന്നാൽ അനന്തസൂക്ഷ്മമായത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ. നിങ്ങൾ അനന്തമായ സംഖ്യകളെ പരസ്പരം വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സാധാരണ സംഖ്യ ലഭിക്കും, ഉദാഹരണത്തിന്, . അതായത്, ഒരു ചെറിയ മൂല്യം മറ്റൊന്നിനേക്കാൾ ഇരട്ടി വലുതായിരിക്കും.
ഇതെല്ലാം എന്തിനുവേണ്ടിയാണ്? റോഡ്, കുത്തനെയുള്ള ... ഞങ്ങൾ ഒരു കാർ റാലിയിൽ പോകുന്നില്ല, പക്ഷേ ഞങ്ങൾ ഗണിതം പഠിപ്പിക്കുകയാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ എല്ലാം ഒരേപോലെയാണ്, വ്യത്യസ്തമായി മാത്രമേ വിളിക്കൂ.
ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന ആശയം
ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്നത് ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ അനന്തമായ ഇൻക്രിമെന്റിന്റെ ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഇൻക്രിമെന്റിന്റെയും ഫംഗ്ഷന്റെ വർദ്ധനവിന്റെയും അനുപാതമാണ്.
ക്രമാതീതമായിഗണിതത്തിൽ അവർ മാറ്റത്തെ വിളിക്കുന്നു. അച്ചുതണ്ടിലൂടെ നീങ്ങുമ്പോൾ ആർഗ്യുമെന്റ് () എത്രത്തോളം മാറുന്നു എന്നതിനെ വിളിക്കുന്നു വാദം വർദ്ധനവ്അച്ചുതണ്ടിലൂടെ ഒരു ദൂരത്തിലൂടെ മുന്നോട്ട് പോകുമ്പോൾ ഫംഗ്ഷൻ (ഉയരം) എത്രമാത്രം മാറിയിരിക്കുന്നു എന്ന് വിളിക്കുന്നു പ്രവർത്തന വർദ്ധനവ്നിയുക്തമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
അതിനാൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എപ്പോൾ എന്നതിന്റെ അനുപാതമാണ്. ഫംഗ്ഷന്റെ അതേ അക്ഷരം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, മുകളിൽ വലതുവശത്തുള്ള ഒരു പ്രൈം ഉപയോഗിച്ച് മാത്രം: അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി. അതിനാൽ, ഈ നൊട്ടേഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് ഫോർമുല എഴുതാം:
റോഡുമായുള്ള സാമ്യം പോലെ, ഇവിടെ പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുമ്പോൾ, ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് ആണ്, അത് കുറയുമ്പോൾ അത് നെഗറ്റീവ് ആണ്.
ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമോ? തീർച്ചയായും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു പരന്ന തിരശ്ചീന റോഡിലൂടെയാണ് വാഹനമോടിക്കുന്നതെങ്കിൽ, കുത്തനെയുള്ളത് പൂജ്യമാണ്. ഇത് ശരിയാണ്, ഉയരം ഒട്ടും മാറില്ല. ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ കാര്യവും അങ്ങനെയാണ്: സ്ഥിരമായ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ (സ്ഥിരമായ) ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്:
അത്തരം ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ വർദ്ധനവ് ഏതിനും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ.
കുന്നിൻ മുകളിലെ ഉദാഹരണം ഓർക്കാം. സെഗ്‌മെന്റിന്റെ അറ്റങ്ങൾ ശീർഷത്തിന്റെ എതിർ വശങ്ങളിലായി ക്രമീകരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഇത് കണ്ടെത്തി, അറ്റത്തെ ഉയരം തുല്യമായി മാറും, അതായത്, സെഗ്‌മെന്റ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണ്:
എന്നാൽ വലിയ ഭാഗങ്ങൾ കൃത്യമല്ലാത്ത അളവെടുപ്പിന്റെ അടയാളമാണ്. നമ്മുടെ സെഗ്‌മെന്റ് സമാന്തരമായി ഉയർത്തും, തുടർന്ന് അതിന്റെ നീളം കുറയും.
ഒടുവിൽ, നമ്മൾ മുകളിലേക്ക് അനന്തമായി അടുക്കുമ്പോൾ, സെഗ്‌മെന്റിന്റെ നീളം അനന്തമായി തീരും. എന്നാൽ അതേ സമയം, അത് അച്ചുതണ്ടിന് സമാന്തരമായി തുടർന്നു, അതായത്, അതിന്റെ അറ്റത്തുള്ള ഉയരങ്ങളിലെ വ്യത്യാസം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് (അത് പ്രവണത കാണിക്കുന്നില്ല, പക്ഷേ തുല്യമാണ്). അതിനാൽ ഡെറിവേറ്റീവ്
ഇത് ഇങ്ങനെ മനസ്സിലാക്കാം: നമ്മൾ ഏറ്റവും മുകളിൽ നിൽക്കുമ്പോൾ, ഇടത്തോട്ടോ വലത്തോട്ടോ ഉള്ള ഒരു ചെറിയ ഷിഫ്റ്റ് നമ്മുടെ ഉയരത്തെ നിസ്സാരമായി മാറ്റുന്നു.
പൂർണ്ണമായും ബീജഗണിത വിശദീകരണവും ഉണ്ട്: ശീർഷത്തിന്റെ ഇടതുവശത്ത് പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു, വലതുവശത്ത് അത് കുറയുന്നു. നമ്മൾ നേരത്തെ കണ്ടെത്തിയതുപോലെ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുമ്പോൾ, ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് ആണ്, അത് കുറയുമ്പോൾ അത് നെഗറ്റീവ് ആണ്. എന്നാൽ അത് സുഗമമായി മാറുന്നു, കുതിച്ചുചാട്ടമില്ലാതെ (റോഡ് അതിന്റെ ചരിവ് എവിടെയും കുത്തനെ മാറ്റാത്തതിനാൽ). അതിനാൽ, നെഗറ്റീവ്, പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്കിടയിൽ ഉണ്ടായിരിക്കണം. ഫംഗ്ഷൻ കൂടുകയോ കുറയുകയോ ചെയ്യാത്തിടത്ത് ആയിരിക്കും - ശീർഷ ബിന്ദുവിൽ.
തൊട്ടിയുടെ കാര്യത്തിലും ഇത് സത്യമാണ് (ഇടതുവശത്തുള്ള പ്രവർത്തനം കുറയുകയും വലതുവശത്ത് വർദ്ധിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന പ്രദേശം):
ഇൻക്രിമെന്റുകളെക്കുറിച്ച് കുറച്ചുകൂടി.
അതിനാൽ ഞങ്ങൾ വാദം മാഗ്നിറ്റ്യൂഡിലേക്ക് മാറ്റുന്നു. ഏത് മൂല്യത്തിൽ നിന്നാണ് നമ്മൾ മാറുന്നത്? അത് (വാദം) ഇപ്പോൾ എന്തായിത്തീർന്നു? നമുക്ക് ഏത് പോയിന്റും തിരഞ്ഞെടുക്കാം, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ അതിൽ നിന്ന് നൃത്തം ചെയ്യും.
ഒരു കോർഡിനേറ്റ് ഉള്ള ഒരു പോയിന്റ് പരിഗണിക്കുക. അതിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം തുല്യമാണ്. തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ അതേ ഇൻക്രിമെന്റ് ചെയ്യുന്നു: ഞങ്ങൾ കോർഡിനേറ്റ് വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നു. ഇപ്പോൾ എന്താണ് വാദം? വളരെ എളുപ്പം: . ഇപ്പോൾ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ മൂല്യം എന്താണ്? വാദം പോകുന്നിടത്ത്, ഫംഗ്‌ഷനും പോകുന്നു: . ഫംഗ്ഷൻ ഇൻക്രിമെന്റിനെക്കുറിച്ച്? പുതിയതായി ഒന്നുമില്ല: ഇത് ഇപ്പോഴും ഫംഗ്ഷൻ മാറിയ തുകയാണ്:
ഇൻക്രിമെന്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ പരിശീലിക്കുക:
- ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഇൻക്രിമെന്റ് തുല്യമായിരിക്കുമ്പോൾ ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ വർദ്ധനവ് കണ്ടെത്തുക.
- ഒരു ഘട്ടത്തിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ കാര്യത്തിനും ഇത് ബാധകമാണ്.
പരിഹാരങ്ങൾ:
IN വ്യത്യസ്ത പോയിന്റുകൾഒരേ ആർഗ്യുമെന്റ് ഇൻക്രിമെന്റിൽ, ഫംഗ്ഷൻ ഇൻക്രിമെന്റ് വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. ഇതിനർത്ഥം ഓരോ പോയിന്റിലെയും ഡെറിവേറ്റീവ് വ്യത്യസ്തമാണ് (ഞങ്ങൾ ഇത് തുടക്കത്തിൽ തന്നെ ചർച്ച ചെയ്തു - റോഡിന്റെ കുത്തനെ വ്യത്യസ്ത പോയിന്റുകളിൽ വ്യത്യസ്തമാണ്). അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് എഴുതുമ്പോൾ, ഏത് ഘട്ടത്തിലാണ് നമ്മൾ സൂചിപ്പിക്കേണ്ടത്:
പവർ ഫംഗ്ഷൻ.
ആർഗ്യുമെന്റ് ഒരു പരിധിവരെ (ലോജിക്കൽ, അല്ലേ?) ഉള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷനാണ് പവർ ഫംഗ്ഷൻ.
മാത്രമല്ല - ഒരു പരിധി വരെ: .
ഏറ്റവും ലളിതമായ കേസ്- ഇപ്പോഴാണ് ഘാതം:
ഒരു ഘട്ടത്തിൽ അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം. ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനം നമുക്ക് ഓർക്കാം:
അതിനാൽ വാദം മാറുന്നു. പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വർദ്ധനവ് എന്താണ്?
ഇതാണ് ഇൻക്രിമെന്റ്. എന്നാൽ ഏത് ഘട്ടത്തിലും ഒരു ഫംഗ്ഷൻ അതിന്റെ വാദത്തിന് തുല്യമാണ്. അതുകൊണ്ടാണ്:
ഡെറിവേറ്റീവ് ഇതിന് തുല്യമാണ്:
ഇതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഇതിന് തുല്യമാണ്:
ബി) ഇപ്പോൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക (): .
ഇനി അത് ഓർക്കാം. ഇതിനർത്ഥം, ഇൻക്രിമെന്റിന്റെ മൂല്യം അവഗണിക്കപ്പെടാം, കാരണം അത് അനന്തമാണ്, അതിനാൽ മറ്റൊരു പദത്തിന്റെ പശ്ചാത്തലത്തിൽ ഇത് നിസ്സാരമാണ്:
അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ മറ്റൊരു നിയമം കൊണ്ടുവന്നു:
സി) ഞങ്ങൾ ലോജിക്കൽ സീരീസ് തുടരുന്നു:
ഈ പദപ്രയോഗം വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ ലളിതമാക്കാം: തുകയുടെ ക്യൂബിന്റെ സംക്ഷിപ്ത ഗുണനത്തിനുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആദ്യ ബ്രാക്കറ്റ് തുറക്കുക, അല്ലെങ്കിൽ ക്യൂബ് ഫോർമുലയുടെ വ്യത്യാസം ഉപയോഗിച്ച് മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യുക. നിർദ്ദേശിച്ച ഏതെങ്കിലും രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഇത് സ്വയം ചെയ്യാൻ ശ്രമിക്കുക.
അതിനാൽ, എനിക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ ലഭിച്ചു:
അത് വീണ്ടും ഓർക്കാം. ഇനിപ്പറയുന്നവ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന എല്ലാ നിബന്ധനകളും നമുക്ക് അവഗണിക്കാം എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം:
നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: .
d) വലിയ അധികാരങ്ങൾക്ക് സമാനമായ നിയമങ്ങൾ ലഭിക്കും:
e) ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ എക്‌സ്‌പോണന്റ് ഉള്ള ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷനായി ഈ നിയമം സാമാന്യവൽക്കരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഇത് മാറുന്നു, ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ പോലുമില്ല:
| (2) |
റൂൾ ഇനിപ്പറയുന്ന വാക്കുകളിൽ രൂപപ്പെടുത്താം: "ഡിഗ്രി ഒരു ഗുണകമായി മുന്നോട്ട് കൊണ്ടുവരുന്നു, തുടർന്ന് കുറയ്ക്കുന്നു."
ഞങ്ങൾ ഈ നിയമം പിന്നീട് തെളിയിക്കും (ഏതാണ്ട് അവസാനം). ഇനി ഏതാനും ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം. പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക:
- (രണ്ടു തരത്തിൽ: ഫോർമുല വഴിയും ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനം ഉപയോഗിച്ചും - ഫംഗ്ഷന്റെ വർദ്ധനവ് കണക്കാക്കുന്നതിലൂടെ);
- . വിശ്വസിച്ചാലും ഇല്ലെങ്കിലും ഇതൊരു പവർ ഫങ്ഷനാണ്. നിങ്ങൾക്ക് “ഇതെങ്ങനെ? എവിടെയാണ് ഡിഗ്രി?", "" വിഷയം ഓർക്കുക!
അതെ, അതെ, റൂട്ടും ഒരു ഡിഗ്രിയാണ്, ഫ്രാക്ഷണൽ മാത്രം: .
അങ്ങനെ നമ്മുടെ സ്ക്വയർ റൂട്ട്- ഇത് ഒരു സൂചകമുള്ള ഒരു ബിരുദം മാത്രമാണ്:
.
അടുത്തിടെ പഠിച്ച ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവിനായി തിരയുന്നു:ഈ സമയത്ത് അത് വീണ്ടും വ്യക്തമല്ലെങ്കിൽ, വിഷയം "" ആവർത്തിക്കുക!!! (ഒരു നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണന്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രി)
- . ഇപ്പോൾ ഘാതം:
ഇപ്പോൾ നിർവചനത്തിലൂടെ (നിങ്ങൾ ഇതുവരെ മറന്നോ?):
;
.
ഇപ്പോൾ, പതിവുപോലെ, അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന പദത്തെ ഞങ്ങൾ അവഗണിക്കുന്നു:
. - . മുമ്പത്തെ കേസുകളുടെ സംയോജനം: .
ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ.
ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ നിന്നുള്ള ഒരു വസ്തുത ഞങ്ങൾ ഇവിടെ ഉപയോഗിക്കും:
ആവിഷ്കാരത്തോടെ.
ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിന്റെ ആദ്യ വർഷത്തിൽ നിങ്ങൾ തെളിവ് പഠിക്കും (അവിടെയെത്താൻ, നിങ്ങൾ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ വിജയിക്കേണ്ടതുണ്ട്). ഇപ്പോൾ ഞാൻ അത് ഗ്രാഫിക്കായി കാണിക്കും:
ഫംഗ്ഷൻ നിലവിലില്ലാത്തപ്പോൾ - ഗ്രാഫിലെ പോയിന്റ് വെട്ടിക്കളയുന്നത് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. എന്നാൽ മൂല്യത്തോട് അടുക്കുന്തോറും ഫംഗ്ഷൻ അതിനോട് അടുക്കും.ഇതാണ് “ലക്ഷ്യം”.
കൂടാതെ, ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഈ നിയമം പരിശോധിക്കാവുന്നതാണ്. അതെ, അതെ, ലജ്ജിക്കരുത്, ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ എടുക്കുക, ഞങ്ങൾ ഇതുവരെ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ ഇല്ല.
അതിനാൽ, നമുക്ക് ശ്രമിക്കാം: ;
നിങ്ങളുടെ കാൽക്കുലേറ്റർ റേഡിയൻസ് മോഡിലേക്ക് മാറ്റാൻ മറക്കരുത്!
തുടങ്ങിയവ. കുറവ്, ദി അടുത്ത മൂല്യംബന്ധം
a) പ്രവർത്തനം പരിഗണിക്കുക. പതിവുപോലെ, നമുക്ക് അതിന്റെ വർദ്ധനവ് കണ്ടെത്താം:
നമുക്ക് സൈനുകളുടെ വ്യത്യാസം ഒരു ഉൽപ്പന്നമാക്കി മാറ്റാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു ("" വിഷയം ഓർക്കുക): .
ഇപ്പോൾ ഡെറിവേറ്റീവ്:
നമുക്ക് ഒരു പകരം വയ്ക്കാം: . അനന്തരമാനത്തിന് അത് അനന്തസൂക്ഷ്മമാണ്: . എന്നതിന്റെ പദപ്രയോഗം രൂപമെടുക്കുന്നു:
ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ അത് പ്രയോഗത്തോടെ ഓർക്കുന്നു. കൂടാതെ, തുകയിൽ (അതായത്, at) ഒരു അനന്തമായ അളവ് അവഗണിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും.
അതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം ലഭിക്കും: സൈനിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കോസൈന് തുല്യമാണ്:
ഇവ അടിസ്ഥാന ("പട്ടിക") ഡെറിവേറ്റീവുകളാണ്. ഇവിടെ അവർ ഒരു പട്ടികയിൽ ഉണ്ട്:
പിന്നീട് ഞങ്ങൾ അവയിലേക്ക് കുറച്ച് കൂടി ചേർക്കും, എന്നാൽ ഇവയാണ് ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടത്, കാരണം അവ മിക്കപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു.
പരിശീലിക്കുക:
- ഒരു പോയിന്റിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക;
- ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരങ്ങൾ:
- ആദ്യം, നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം പൊതുവായ കാഴ്ച, തുടർന്ന് അതിന്റെ മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:
;
. - ഇവിടെ നമുക്ക് ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷന് സമാനമായ ഒന്ന് ഉണ്ട്. നമുക്ക് അവളെ കൊണ്ടുവരാൻ ശ്രമിക്കാം
സാധാരണ കാഴ്ച:
.
കൊള്ളാം, ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം:
.
. - . Eeeeeee..... എന്താ ഇത്????
ശരി, നിങ്ങൾ പറഞ്ഞത് ശരിയാണ്, അത്തരം ഡെറിവേറ്റീവുകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്തണമെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ഇതുവരെ അറിയില്ല. ഇവിടെ നമുക്ക് നിരവധി തരം ഫംഗ്ഷനുകളുടെ സംയോജനമുണ്ട്. അവരോടൊപ്പം പ്രവർത്തിക്കാൻ, നിങ്ങൾ കുറച്ച് നിയമങ്ങൾ കൂടി പഠിക്കേണ്ടതുണ്ട്:
എക്‌സ്‌പോണന്റ്, നാച്ചുറൽ ലോഗരിതം.
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ട്, അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരേ സമയം ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഇതിനെ "എക്‌സ്‌പോണന്റ്" എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷനാണ്
ഈ ഫംഗ്ഷന്റെ അടിസ്ഥാനം - ഒരു സ്ഥിരാങ്കം - ഒരു അനന്ത ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയാണ്, അതായത്, ഒരു അവിവേക സംഖ്യ (ഉദാഹരണത്തിന്). ഇതിനെ "യൂലർ നമ്പർ" എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിനാലാണ് ഇത് ഒരു അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.
അതിനാൽ, നിയമം:
ഓർക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്.
ശരി, നമുക്ക് അധികം പോകരുത്, നമുക്ക് വിപരീത പ്രവർത്തനം ഉടൻ പരിഗണിക്കാം. ഏത് ഫംഗ്ഷന്റെ വിപരീതമാണ് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ? ലോഗരിതം:
ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, അടിസ്ഥാനം സംഖ്യയാണ്:
അത്തരമൊരു ലോഗരിതം (അതായത്, ഒരു അടിത്തറയുള്ള ഒരു ലോഗരിതം) "സ്വാഭാവികം" എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിനായി ഞങ്ങൾ ഒരു പ്രത്യേക നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു: പകരം ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു.
ഇത് എന്തിന് തുല്യമാണ്? തീർച്ചയായും, .
സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവും വളരെ ലളിതമാണ്:
ഉദാഹരണങ്ങൾ:
- ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക.
- പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്താണ്?
ഉത്തരങ്ങൾ: എക്സിബിറ്റർ ഒപ്പം സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം- ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ കാര്യത്തിൽ ഫംഗ്ഷനുകൾ അദ്വിതീയമായി ലളിതമാണ്. മറ്റേതെങ്കിലും അടിത്തറയുള്ള എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്ക് വ്യത്യസ്തമായ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടായിരിക്കും, അത് ഞങ്ങൾ ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോയ ശേഷം പിന്നീട് വിശകലനം ചെയ്യും.
വ്യത്യാസത്തിന്റെ നിയമങ്ങൾ
എന്തിന്റെ നിയമങ്ങൾ? വീണ്ടും ഒരു പുതിയ പദം, വീണ്ടും?!...
വ്യത്യാസംഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയാണ്.
അത്രയേയുള്ളൂ. ഈ പ്രക്രിയയെ ഒറ്റവാക്കിൽ മറ്റെന്താണ് വിളിക്കാൻ കഴിയുക? ഡെറിവേറ്റീവ് അല്ല... ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഡിഫറൻഷ്യലിനെ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ അതേ ഇൻക്രിമെന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ പദം ലാറ്റിൻ വ്യത്യാസത്തിൽ നിന്നാണ് വന്നത് - വ്യത്യാസം. ഇവിടെ.
ഈ നിയമങ്ങളെല്ലാം ഉരുത്തിരിയുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിക്കും, ഉദാഹരണത്തിന്, കൂടാതെ. അവരുടെ ഇൻക്രിമെന്റുകൾക്കായി ഞങ്ങൾക്ക് ഫോർമുലകളും ആവശ്യമാണ്:
ആകെ 5 നിയമങ്ങളുണ്ട്.
സ്ഥിരാങ്കം ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുന്നു.
എങ്കിൽ - ചില സ്ഥിരമായ സംഖ്യ (സ്ഥിരമായത്), പിന്നെ.
വ്യക്തമായും, ഈ നിയമം വ്യത്യാസത്തിനും പ്രവർത്തിക്കുന്നു: .
നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. അത് അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായിരിക്കട്ടെ.
ഉദാഹരണങ്ങൾ.
പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക:
- ഒരു ഘട്ടത്തിൽ;
- ഒരു ഘട്ടത്തിൽ;
- ഒരു ഘട്ടത്തിൽ;
- പോയിന്റിൽ.
പരിഹാരങ്ങൾ:
- (ഇത് മുതൽ എല്ലാ പോയിന്റുകളിലും ഡെറിവേറ്റീവ് ഒന്നുതന്നെയാണ് രേഖീയ പ്രവർത്തനം, ഓർക്കുന്നുണ്ടോ?);
ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
ഇവിടെ എല്ലാം സമാനമാണ്: നമുക്ക് പ്രവേശിക്കാം പുതിയ സവിശേഷതഅതിന്റെ വർദ്ധനവ് കണ്ടെത്തുക:
ഡെറിവേറ്റീവ്:
ഉദാഹരണങ്ങൾ:
- ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക കൂടാതെ;
- ഒരു പോയിന്റിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരങ്ങൾ:
ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ ഇപ്പോൾ നിങ്ങളുടെ അറിവ് മതിയാകും, അല്ലാതെ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളല്ല (അത് എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾ ഇതുവരെ മറന്നോ?).
അതിനാൽ, കുറച്ച് നമ്പർ എവിടെയാണ്.
ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാം, അതിനാൽ ഞങ്ങളുടെ ഫംഗ്ഷൻ ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് ചുരുക്കാൻ ശ്രമിക്കാം:
ഇതിനായി ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും ലളിതമായ നിയമം: . അപ്പോൾ:
നന്നായി, അത് പ്രവർത്തിച്ചു. ഇപ്പോൾ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുക, ഈ ഫംഗ്ഷൻ സങ്കീർണ്ണമാണെന്ന് മറക്കരുത്.
സംഭവിച്ചത്?
ഇവിടെ, സ്വയം പരിശോധിക്കുക:
ഫോർമുല ഒരു എക്‌സ്‌പോണന്റിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനോട് വളരെ സാമ്യമുള്ളതായി മാറി: അത് അതേപടി തുടരുന്നു, ഒരു ഘടകം മാത്രം പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു, അത് ഒരു സംഖ്യ മാത്രമാണ്, പക്ഷേ ഒരു വേരിയബിളല്ല.
ഉദാഹരണങ്ങൾ:
പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക:
ഉത്തരങ്ങൾ:
ഇത് ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഇല്ലാതെ കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്ത ഒരു സംഖ്യയാണ്, അതായത്, ഇത് ഇനി എഴുതാൻ കഴിയില്ല. ലളിതമായ രൂപത്തിൽ. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഇത് ഈ രൂപത്തിൽ ഉത്തരത്തിൽ വിടുന്നു.
ഒരു ലോഗരിതമിക് ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
ഇത് ഇവിടെ സമാനമാണ്: സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാം:
അതിനാൽ, മറ്റൊരു അടിത്തറയുള്ള ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഉദാഹരണത്തിന്:
നമുക്ക് ഈ ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഒരു ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം എങ്ങനെ മാറ്റാം? ഈ ഫോർമുല നിങ്ങൾ ഓർക്കുമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു:
ഇപ്പോൾ മാത്രം ഞങ്ങൾ പകരം എഴുതും:
ഡിനോമിനേറ്റർ കേവലം ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണ് (ഒരു സ്ഥിരമായ സംഖ്യ, ഒരു വേരിയബിൾ ഇല്ലാതെ). ഡെറിവേറ്റീവ് വളരെ ലളിതമായി ലഭിക്കുന്നു:
ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഒരിക്കലും കണ്ടെത്തിയിട്ടില്ല, പക്ഷേ അവ അറിയുന്നത് അമിതമായിരിക്കില്ല.
സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്.
എന്താണ് "സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനം"? ഇല്ല, ഇത് ഒരു ലോഗരിതം അല്ല, ഒരു ആർക്റ്റാൻജന്റ് അല്ല. ഈ ഫംഗ്ഷനുകൾ മനസ്സിലാക്കാൻ ബുദ്ധിമുട്ടാണ് (ലോഗരിതം ബുദ്ധിമുട്ടാണെന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നുണ്ടെങ്കിലും, “ലോഗരിതം” എന്ന വിഷയം വായിക്കുക, നിങ്ങൾക്ക് സുഖം തോന്നും), എന്നാൽ ഗണിതശാസ്ത്ര വീക്ഷണകോണിൽ, “സങ്കീർണ്ണം” എന്ന വാക്കിന് “ബുദ്ധിമുട്ട്” എന്നല്ല അർത്ഥമാക്കുന്നത്.
ഒരു ചെറിയ കൺവെയർ ബെൽറ്റ് സങ്കൽപ്പിക്കുക: രണ്ട് ആളുകൾ ഇരുന്ന് ചില വസ്തുക്കൾ ഉപയോഗിച്ച് ചില പ്രവർത്തനങ്ങൾ ചെയ്യുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യത്തേത് ഒരു ചോക്ലേറ്റ് ബാർ ഒരു റാപ്പറിൽ പൊതിയുന്നു, രണ്ടാമത്തേത് ഒരു റിബൺ ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു. ഫലം ഒരു സംയോജിത വസ്തുവാണ്: ഒരു ചോക്ലേറ്റ് ബാർ പൊതിഞ്ഞ് ഒരു റിബൺ കൊണ്ട് ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരു ചോക്ലേറ്റ് ബാർ കഴിക്കാൻ, നിങ്ങൾ വിപരീത ക്രമത്തിൽ വിപരീത ഘട്ടങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.
നമുക്ക് സമാനമായ ഒരു ഗണിത പൈപ്പ്ലൈൻ സൃഷ്ടിക്കാം: ആദ്യം നമ്മൾ ഒരു സംഖ്യയുടെ കോസൈൻ കണ്ടെത്തും, തുടർന്ന് തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു നമ്പർ (ചോക്കലേറ്റ്) നൽകിയിരിക്കുന്നു, ഞാൻ അതിന്റെ കോസൈൻ (റാപ്പർ) കണ്ടെത്തുന്നു, എന്നിട്ട് എനിക്ക് കിട്ടിയത് നിങ്ങൾ സ്ക്വയർ ചെയ്യുക (അത് ഒരു റിബൺ ഉപയോഗിച്ച് കെട്ടുക). എന്ത് സംഭവിച്ചു? ഫംഗ്ഷൻ. ഇത് ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ ഫംഗ്ഷന്റെ ഒരു ഉദാഹരണമാണ്: എപ്പോൾ, അതിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ വേരിയബിളുമായി നേരിട്ട് ആദ്യ പ്രവർത്തനം നടത്തുന്നു, തുടർന്ന് ആദ്യത്തേതിൽ നിന്ന് ഫലമുണ്ടാക്കുന്ന രണ്ടാമത്തെ പ്രവർത്തനം.
റിവേഴ്‌സ് ഓർഡറിൽ നമുക്ക് ഒരേ ഘട്ടങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ ചെയ്യാൻ കഴിയും: ആദ്യം നിങ്ങൾ അത് സ്ക്വയർ ചെയ്യുക, തുടർന്ന് ലഭിച്ച സംഖ്യയുടെ കോസൈൻ ഞാൻ നോക്കുന്നു: . ഫലം എല്ലായ്പ്പോഴും വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും എന്ന് ഊഹിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. പ്രധാന സവിശേഷതസങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ: പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമം മാറുമ്പോൾ, പ്രവർത്തനം മാറുന്നു.
മറ്റൊരു വാക്കിൽ, ഒരു കോംപ്ലക്സ് ഫംഗ്ഷൻ എന്നത് മറ്റൊരു ഫംഗ്ഷനാണ്: .
ആദ്യ ഉദാഹരണത്തിന്, .
രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണം: (അതേ കാര്യം). .
നമ്മൾ അവസാനം ചെയ്യുന്ന പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കും "ബാഹ്യ" പ്രവർത്തനം, കൂടാതെ ആദ്യം നടത്തിയ പ്രവർത്തനം - അതനുസരിച്ച് "ആന്തരിക" പ്രവർത്തനം(ഇവ അനൗപചാരിക പേരുകളാണ്, ലളിതമായ ഭാഷയിൽ മെറ്റീരിയൽ വിശദീകരിക്കാൻ മാത്രമാണ് ഞാൻ അവ ഉപയോഗിക്കുന്നത്).
ഏത് ഫംഗ്ഷൻ ബാഹ്യമാണെന്നും ഏത് ആന്തരികമാണെന്നും സ്വയം നിർണ്ണയിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക:
ഉത്തരങ്ങൾ:ആന്തരികവും ബാഹ്യവുമായ ഫംഗ്ഷനുകൾ വേർതിരിക്കുന്നത് വേരിയബിളുകൾ മാറ്റുന്നതിന് സമാനമാണ്: ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഫംഗ്ഷനിൽ
- ഞങ്ങൾ ആദ്യം എന്ത് പ്രവർത്തനം നടത്തും? ആദ്യം, നമുക്ക് സൈൻ കണക്കാക്കാം, അതിനുശേഷം മാത്രമേ അത് ക്യൂബ് ചെയ്യുക. ഇതിനർത്ഥം ഇത് ഒരു ആന്തരിക പ്രവർത്തനമാണ്, പക്ഷേ ബാഹ്യമാണ്.
യഥാർത്ഥ പ്രവർത്തനം അവയുടെ ഘടനയാണ്: . - ആന്തരിക:; ബാഹ്യ:.
പരീക്ഷ: . - ആന്തരിക:; ബാഹ്യ:.
പരീക്ഷ: . - ആന്തരിക:; ബാഹ്യ:.
പരീക്ഷ: . - ആന്തരിക:; ബാഹ്യ:.
പരീക്ഷ: .
ഞങ്ങൾ വേരിയബിളുകൾ മാറ്റി ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നേടുന്നു.
ശരി, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ചോക്ലേറ്റ് ബാർ എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റ് ചെയ്‌ത് ഡെറിവേറ്റീവിനായി നോക്കും. നടപടിക്രമം എല്ലായ്പ്പോഴും വിപരീതമാണ്: ആദ്യം നമ്മൾ ബാഹ്യ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനായി തിരയുന്നു, തുടർന്ന് ആന്തരിക പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച് ഫലത്തെ ഗുണിക്കുക. യഥാർത്ഥ ഉദാഹരണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:
മറ്റൊരു ഉദാഹരണം:
അതിനാൽ, നമുക്ക് ഒടുവിൽ ഔദ്യോഗിക നിയമം രൂപപ്പെടുത്താം:
സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:
ഇത് ലളിതമായി തോന്നുന്നു, അല്ലേ?
ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിശോധിക്കാം:
പരിഹാരങ്ങൾ:
1) ആന്തരിക:;
ബാഹ്യ:;
2) ആന്തരിക:;
(ഇപ്പോൾ അത് മുറിക്കാൻ ശ്രമിക്കരുത്! കോസൈനിന്റെ അടിയിൽ നിന്ന് ഒന്നും പുറത്തുവരുന്നില്ല, ഓർക്കുന്നുണ്ടോ?)
3) ആന്തരിക:;
ബാഹ്യ:;
ഇതൊരു ത്രീ-ലെവൽ കോംപ്ലക്സ് ഫംഗ്‌ഷനാണെന്ന് ഉടനടി വ്യക്തമാണ്: എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഇത് ഇതിനകം തന്നെ ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനമാണ്, കൂടാതെ ഞങ്ങൾ അതിൽ നിന്ന് റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നു, അതായത്, ഞങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ പ്രവർത്തനം ചെയ്യുന്നു (ഞങ്ങൾ ഒരു ചോക്ലേറ്റ് ഇട്ടു റാപ്പറും ബ്രീഫ്കേസിൽ ഒരു റിബണും). എന്നാൽ ഭയപ്പെടാൻ ഒരു കാരണവുമില്ല: ഞങ്ങൾ ഇപ്പോഴും ഈ ഫംഗ്ഷൻ പതിവുപോലെ അതേ ക്രമത്തിൽ "അൺപാക്ക്" ചെയ്യും: അവസാനം മുതൽ.
അതായത്, ആദ്യം നമ്മൾ റൂട്ട്, പിന്നെ കോസൈൻ, പിന്നെ ബ്രാക്കറ്റിലെ എക്സ്പ്രഷൻ എന്നിവയെ വേർതിരിക്കുന്നു. എന്നിട്ട് ഞങ്ങൾ അതെല്ലാം ഗുണിക്കുന്നു.
അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, പ്രവർത്തനങ്ങൾ എണ്ണുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. അതായത്, നമുക്ക് അറിയാവുന്നത് സങ്കൽപ്പിക്കാം. ഈ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഏത് ക്രമത്തിലാണ് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നത്? നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം:
പ്രവർത്തനം പിന്നീട് നടപ്പിലാക്കുന്നു, കൂടുതൽ "ബാഹ്യ" അനുബന്ധ ഫംഗ്ഷൻ ആയിരിക്കും. പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമം മുമ്പത്തേതിന് സമാനമാണ്:
ഇവിടെ നെസ്റ്റിംഗ് സാധാരണയായി 4-ലെവൽ ആണ്. നമുക്ക് പ്രവർത്തന ഗതി നിർണ്ണയിക്കാം.
1. റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ. .
2. റൂട്ട്. .
3. സൈൻ. .
4. ചതുരം. .
5. എല്ലാം ഒരുമിച്ച് ചേർക്കുന്നു:
ഡെറിവേറ്റീവ്. പ്രധാന കാര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംക്ഷിപ്തമായി
ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്- ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ അനന്തമായ ഇൻക്രിമെന്റിന്റെ ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഇൻക്രിമെന്റിന്റെ ഫംഗ്ഷന്റെ വർദ്ധനവിന്റെ അനുപാതം:
അടിസ്ഥാന ഡെറിവേറ്റീവുകൾ:
വ്യത്യാസത്തിന്റെ നിയമങ്ങൾ:
സ്ഥിരാങ്കം ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുന്നു:
തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ്:
ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്:
ഘടകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്:
ഒരു സങ്കീർണ്ണ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്:
സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:
- ഞങ്ങൾ "ആന്തരിക" ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കുകയും അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.
- ഞങ്ങൾ "ബാഹ്യ" ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കുകയും അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.
- ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും പോയിന്റുകളുടെ ഫലങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഗുണിക്കുന്നു.
