ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ക്യൂബ് റൊട്ടേഷൻ. എല്ലാവർക്കുമായി എല്ലാത്തിനും

മനുഷ്യ മസ്തിഷ്കത്തിന്റെ പരിണാമം ത്രിമാന സ്ഥലത്താണ് നടന്നത്. അതിനാൽ, മൂന്നിൽ കൂടുതൽ അളവുകളുള്ള ഇടങ്ങൾ നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാൻ പ്രയാസമാണ്. വാസ്തവത്തിൽ, മനുഷ്യ മസ്തിഷ്കത്തിന് മൂന്നിൽ കൂടുതൽ അളവുകളുള്ള ജ്യാമിതീയ വസ്തുക്കളെ സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല. അതേ സമയം, മൂന്ന് മാത്രമല്ല, രണ്ട്, ഒന്ന് അളവുകൾ ഉള്ള ജ്യാമിതീയ വസ്തുക്കളെ നമുക്ക് എളുപ്പത്തിൽ സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയും.

ഏകമാനവും ദ്വിമാനവുമായ ഇടങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസവും സാമ്യവും അതുപോലെ ദ്വിമാന, ത്രിമാന സ്‌പെയ്‌സുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസവും സാമ്യവും ഉയർന്ന അളവിലുള്ള ഇടങ്ങളിൽ നിന്ന് നമ്മെ അകറ്റുന്ന നിഗൂഢതയുടെ സ്‌ക്രീൻ ചെറുതായി തുറക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു. ഈ സാമ്യം എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, വളരെ ലളിതമായ ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഒബ്ജക്റ്റ് പരിഗണിക്കുക - ഒരു ഹൈപ്പർക്യൂബ്, അതായത് ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ക്യൂബ്. വ്യക്തമായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു പ്രത്യേക പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു, അതായത്, ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ക്യൂബിന്റെ ചതുര മുഖങ്ങളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കുക. എല്ലാ തുടർ പരിഗണനകളും വളരെ അയവുള്ളതായിരിക്കും, യാതൊരു തെളിവുമില്ലാതെ, തികച്ചും സാമ്യം വഴി.

ഒരു സാധാരണ ക്യൂബിൽ നിന്ന് ഒരു ഹൈപ്പർക്യൂബ് എങ്ങനെ നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, ഒരു സാധാരണ ചതുരത്തിൽ നിന്ന് ഒരു സാധാരണ ക്യൂബ് എങ്ങനെ നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾ ആദ്യം നോക്കണം. ഈ മെറ്റീരിയലിന്റെ അവതരണത്തിലെ ഒറിജിനാലിറ്റിക്കായി, ഞങ്ങൾ ഇവിടെ ഒരു സാധാരണ ചതുരത്തെ സബ്‌ക്യൂബ് എന്ന് വിളിക്കും (അതിനെ ഒരു സക്യൂബസുമായി ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുകയുമില്ല).

ഒരു സബ്ക്യൂബിൽ നിന്ന് ഒരു ക്യൂബ് നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, സബ്ക്യൂബിന്റെ തലത്തിലേക്ക് ലംബമായ ഒരു ദിശയിൽ സബ്ക്യൂബ് നീട്ടേണ്ടതുണ്ട്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പ്രാരംഭ സബ്‌ക്യൂബിന്റെ ഓരോ വശത്തുനിന്നും ഒരു സബ്‌ക്യൂബ് വളരും, ഇത് ക്യൂബിന്റെ ദ്വിമാന മുഖമാണ്, ഇത് ക്യൂബിന്റെ ത്രിമാന വോളിയം നാല് വശങ്ങളിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തും, ഓരോ ദിശയ്ക്കും ലംബമായി രണ്ട് സബ്ക്യൂബിന്റെ തലം. പുതിയ മൂന്നാമത്തെ അക്ഷത്തിൽ ക്യൂബിന്റെ ത്രിമാന വോളിയം പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന രണ്ട് ഉപക്യൂബുകളും ഉണ്ട്. നമ്മുടെ സബ്ക്യൂബ് യഥാർത്ഥത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ദ്വിമാന മുഖവും ക്യൂബിന്റെ നിർമ്മാണത്തിനൊടുവിൽ സബ്ക്യൂബ് വന്ന ക്യൂബിന്റെ ദ്വിമാന മുഖവുമാണ് ഇത്.

നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ വായിച്ചത് അമിതമായ വിശദമായും ധാരാളം വ്യക്തതകളോടെയും അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. നല്ല കാരണത്താലും. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ അത്തരമൊരു ട്രിക്ക് ചെയ്യും, മുമ്പത്തെ വാചകത്തിലെ ചില വാക്കുകൾ ഞങ്ങൾ ഔപചാരികമായി ഈ രീതിയിൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കും:
ക്യൂബ് -> ഹൈപ്പർക്യൂബ്
സബ്ക്യൂബ് -> ക്യൂബ്
വിമാനം -> വോളിയം
മൂന്നാമത് -> നാലാമത്
ദ്വിമാന -> ത്രിമാന
നാല് -> ആറ്
ത്രിമാന -> നാല്-മാനം
രണ്ട് -> മൂന്ന്
വിമാനം -> സ്ഥലം

തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന അർത്ഥവത്തായ വാചകം ലഭിക്കുന്നു, അത് മേലിൽ കൂടുതൽ വിശദമായി തോന്നുന്നില്ല.

ഒരു ക്യൂബിൽ നിന്ന് ഒരു ഹൈപ്പർക്യൂബ് നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, നാലാമത്തെ അളവിന്റെ ദിശയിലുള്ള ക്യൂബിന്റെ വോളിയത്തിന് ലംബമായ ഒരു ദിശയിൽ നിങ്ങൾ ക്യൂബ് നീട്ടേണ്ടതുണ്ട്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒറിജിനൽ ക്യൂബിന്റെ ഓരോ വശത്തുനിന്നും ഒരു ക്യൂബ് വളരും, ഇത് ഹൈപ്പർക്യൂബിന്റെ ലാറ്ററൽ ത്രിമാന മുഖമാണ്, ഇത് ഹൈപ്പർക്യൂബിന്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അളവ് ആറ് വശങ്ങളിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തും, ഓരോ ദിശയ്ക്കും മൂന്ന് ലംബമായി. ക്യൂബിന്റെ ഇടം. പുതിയ നാലാമത്തെ അക്ഷത്തിൽ ഹൈപ്പർക്യൂബിന്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അളവ് പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന രണ്ട് ക്യൂബുകളും ഉണ്ട്. നമ്മുടെ ക്യൂബ് യഥാർത്ഥത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ത്രിമാന മുഖവും ഹൈപ്പർക്യൂബിന്റെ നിർമ്മാണത്തിനൊടുവിൽ ക്യൂബ് വന്ന ഹൈപ്പർക്യൂബിന്റെ ആ ത്രിമാന മുഖവുമാണ് ഇത്.

ഒരു ഹൈപ്പർക്യൂബിന്റെ നിർമ്മാണത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ശരിയായ വിവരണം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചുവെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ആത്മവിശ്വാസം ഉള്ളത് എന്തുകൊണ്ട്? അതെ, കാരണം പദങ്ങളുടെ അതേ ഔപചാരികമായ പകരം വയ്ക്കുന്നതിലൂടെ ഒരു ചതുരത്തിന്റെ നിർമ്മാണത്തിന്റെ വിവരണത്തിൽ നിന്ന് ഒരു ക്യൂബിന്റെ നിർമ്മാണത്തിന്റെ ഒരു വിവരണം നമുക്ക് ലഭിക്കും. (നിങ്ങൾക്കായി ഇത് പരിശോധിക്കുക.)

ക്യൂബിന്റെ ഓരോ വശത്തുനിന്നും മറ്റൊരു ത്രിമാന ക്യൂബ് വളരുകയാണെങ്കിൽ, പ്രാരംഭ ക്യൂബിന്റെ ഓരോ അരികിൽ നിന്നും ഒരു മുഖം വളരണമെന്ന് ഇപ്പോൾ വ്യക്തമാണ്. മൊത്തത്തിൽ, ക്യൂബിന് 12 അരികുകൾ ഉണ്ട്, അതായത് ത്രിമാന സ്ഥലത്തിന്റെ മൂന്ന് അക്ഷങ്ങൾക്കൊപ്പം ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വോളിയം പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന ആ 6 ക്യൂബുകളിൽ അധികമായി 12 പുതിയ മുഖങ്ങൾ (സബ്ക്യൂബുകൾ) ദൃശ്യമാകും. നാലാമത്തെ അക്ഷത്തിൽ താഴെയും മുകളിലും നിന്ന് ഈ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വോളിയത്തെ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന രണ്ട് ക്യൂബുകൾ കൂടി അവശേഷിക്കുന്നു. ഈ ക്യൂബുകളിൽ ഓരോന്നിനും 6 മുഖങ്ങളുണ്ട്.

മൊത്തത്തിൽ, ഹൈപ്പർക്യൂബിന് 12+6+6=24 ചതുര മുഖങ്ങളുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി.

ഇനിപ്പറയുന്ന ചിത്രം ഒരു ഹൈപ്പർക്യൂബിന്റെ ലോജിക്കൽ ഘടന കാണിക്കുന്നു. ത്രിമാന സ്ഥലത്തേക്ക് ഒരു ഹൈപ്പർക്യൂബിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ പോലെയാണിത്. ഇത് വാരിയെല്ലുകളുടെ ഒരു ത്രിമാന ഫ്രെയിം നിർമ്മിക്കുന്നു. ചിത്രത്തിൽ, സ്വാഭാവികമായും, ഒരു വിമാനത്തിലേക്ക് ഈ ഫ്രെയിമിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ നിങ്ങൾ കാണുന്നു.

ഈ ഫ്രെയിമിൽ, അകത്തെ ക്യൂബ് നിർമ്മാണം ആരംഭിച്ച പ്രാരംഭ ക്യൂബ് പോലെയാണ്, ഇത് താഴെ നിന്ന് നാലാമത്തെ അക്ഷത്തിൽ ഹൈപ്പർക്യൂബിന്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വോളിയം പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നു. അളവിന്റെ നാലാമത്തെ അക്ഷത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഈ പ്രാരംഭ ക്യൂബ് മുകളിലേക്ക് നീട്ടുകയും അത് ബാഹ്യ ക്യൂബിലേക്ക് പോകുകയും ചെയ്യുന്നു. അതിനാൽ ഈ ചിത്രത്തിൽ നിന്നുള്ള ബാഹ്യവും ആന്തരികവുമായ ക്യൂബുകൾ അളവിന്റെ നാലാമത്തെ അക്ഷത്തിൽ ഹൈപ്പർക്യൂബിനെ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നു.

ഈ രണ്ട് ക്യൂബുകൾക്കിടയിൽ നിങ്ങൾക്ക് 6 പുതിയ ക്യൂബുകൾ കൂടി കാണാൻ കഴിയും, അവ ആദ്യ രണ്ട് മുഖങ്ങളെ സ്പർശിക്കുന്നു. ഈ ആറ് ക്യൂബുകൾ നമ്മുടെ ഹൈപ്പർക്യൂബിനെ ത്രിമാന സ്ഥലത്തിന്റെ മൂന്ന് അക്ഷങ്ങളിൽ ബന്ധിപ്പിച്ചു. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഈ ത്രിമാന ഫ്രെയിമിലെ ആന്തരികവും ബാഹ്യവുമായ സമചതുരങ്ങളായ ആദ്യത്തെ രണ്ട് ക്യൂബുകളുമായി അവർ സമ്പർക്കം പുലർത്തുക മാത്രമല്ല, അവ പരസ്പരം സമ്പർക്കം പുലർത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.

നിങ്ങൾക്ക് ചിത്രത്തിൽ നേരിട്ട് കണക്കാക്കാനും ഹൈപ്പർക്യൂബിന് ശരിക്കും 24 മുഖങ്ങളുണ്ടെന്ന് ഉറപ്പാക്കാനും കഴിയും. എന്നാൽ ഈ ചോദ്യം ഉയരുന്നു. ത്രിമാന സ്‌പെയ്‌സിലുള്ള ഈ ഹൈപ്പർക്യൂബ് ഫ്രെയിം, വിടവുകളില്ലാതെ എട്ട് ത്രിമാന ക്യൂബുകൾ കൊണ്ട് നിറഞ്ഞിരിക്കുന്നു. ഒരു ഹൈപ്പർക്യൂബിന്റെ ഈ ത്രിമാന പ്രൊജക്ഷനിൽ നിന്ന് ഒരു യഥാർത്ഥ ഹൈപ്പർക്യൂബ് നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഈ ഫ്രെയിം ഉള്ളിലേക്ക് തിരിയേണ്ടതുണ്ട്, അങ്ങനെ എല്ലാ 8 ക്യൂബുകളും 4-ഡൈമൻഷണൽ വോളിയം ബന്ധിപ്പിക്കും.

ഇതുപോലെയാണ് ചെയ്തിരിക്കുന്നത്. ഞങ്ങളെ സന്ദർശിക്കാൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സ്ഥലത്തെ താമസക്കാരനെ ഞങ്ങൾ ക്ഷണിക്കുകയും ഞങ്ങളെ സഹായിക്കാൻ അവനോട് ആവശ്യപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു. അവൻ ഈ ഫ്രെയിമിന്റെ ആന്തരിക ക്യൂബ് പിടിച്ചെടുക്കുകയും നമ്മുടെ ത്രിമാന സ്ഥലത്തിന് ലംബമായ നാലാമത്തെ മാനത്തിന്റെ ദിശയിലേക്ക് നീക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. നമ്മുടെ ത്രിമാന സ്ഥലത്ത്, ആന്തരിക ഫ്രെയിം മുഴുവൻ അപ്രത്യക്ഷമായതും ബാഹ്യ ക്യൂബിന്റെ ഫ്രെയിം മാത്രം അവശേഷിക്കുന്നതും പോലെയാണ് ഞങ്ങൾ അത് കാണുന്നത്.

കൂടാതെ, ഞങ്ങളുടെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അസിസ്റ്റന്റ് വേദനയില്ലാത്ത പ്രസവത്തിനായി മെറ്റേണിറ്റി ഹോസ്പിറ്റലുകളിൽ തന്റെ സഹായം വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു, എന്നാൽ കുഞ്ഞ് വയറ്റിൽ നിന്ന് അപ്രത്യക്ഷമാകുകയും സമാന്തര ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് അവസാനിക്കുകയും ചെയ്യുമെന്ന പ്രതീക്ഷയിൽ ഞങ്ങളുടെ ഗർഭിണികൾ ഭയപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യക്തിയെ വിനയപൂർവ്വം നിരസിക്കുന്നു.

ഹൈപ്പർക്യൂബ് ഫ്രെയിം ഉള്ളിലേക്ക് തിരിച്ചപ്പോൾ നമ്മുടെ ചില ക്യൂബുകൾ വേർപിരിഞ്ഞോ എന്ന ചോദ്യം ഞങ്ങളെ അമ്പരപ്പിക്കുന്നു. എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഒരു ഹൈപ്പർക്യൂബിന് ചുറ്റുമുള്ള ചില ത്രിമാന ക്യൂബുകൾ ഫ്രെയിമിൽ അയൽക്കാരെ അവരുടെ മുഖങ്ങൾ കൊണ്ട് സ്പർശിച്ചാൽ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ക്യൂബ് ഫ്രെയിമിനെ അകത്തേക്ക് തിരിക്കുകയാണെങ്കിൽ അവയും ഇതേ മുഖങ്ങളിൽ സ്പർശിക്കുമോ?

നമുക്ക് വീണ്ടും താഴ്ന്ന അളവുകളുടെ ഇടങ്ങളുമായുള്ള സാമ്യത്തിലേക്ക് തിരിയാം. ഇനിപ്പറയുന്ന ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു തലത്തിലേക്ക് ഒരു ത്രിമാന ക്യൂബിന്റെ പ്രൊജക്ഷനുമായി ഹൈപ്പർക്യൂബ് ഫ്രെയിമിന്റെ ചിത്രം താരതമ്യം ചെയ്യുക.

ദ്വിമാന ബഹിരാകാശ നിവാസികൾ ഒരു വിമാനത്തിലേക്ക് ഒരു ക്യൂബിന്റെ പ്രൊജക്ഷനായി ഒരു വിമാനത്തിൽ ഒരു ഫ്രെയിം നിർമ്മിക്കുകയും ഈ ഫ്രെയിം ഉള്ളിലേക്ക് തിരിക്കാൻ ത്രിമാന നിവാസികളായ ഞങ്ങളെ ക്ഷണിക്കുകയും ചെയ്തു. ഞങ്ങൾ ആന്തരിക ചതുരത്തിന്റെ നാല് ലംബങ്ങൾ എടുത്ത് അവയെ വിമാനത്തിലേക്ക് ലംബമായി നീക്കുന്നു. ദ്വിമാന നിവാസികൾ മുഴുവൻ ആന്തരിക ഫ്രെയിമിന്റെ പൂർണ്ണമായ തിരോധാനം കാണുന്നു, കൂടാതെ അവർ ബാഹ്യ ചതുരത്തിന്റെ ഫ്രെയിം മാത്രം അവശേഷിക്കുന്നു. അത്തരമൊരു പ്രവർത്തനത്തിലൂടെ, അവയുടെ അരികുകളുമായി സമ്പർക്കം പുലർത്തിയിരുന്ന എല്ലാ സ്ക്വയറുകളും ഒരേ അരികുകളിൽ സ്പർശിക്കുന്നത് തുടരുന്നു.

അതിനാൽ, ഹൈപ്പർക്യൂബിന്റെ ഫ്രെയിം പുറത്തേക്ക് തിരിക്കുമ്പോൾ ഹൈപ്പർക്യൂബിന്റെ ലോജിക്കൽ സ്കീമും ലംഘിക്കപ്പെടില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഹൈപ്പർക്യൂബിന്റെ ചതുര മുഖങ്ങളുടെ എണ്ണം വർദ്ധിക്കുകയില്ല, അത് ഇപ്പോഴും 24 ന് തുല്യമായിരിക്കും. ഇത് തീർച്ചയായും , ഒരു തെളിവും അല്ല, മറിച്ച് തികച്ചും സാമ്യമുള്ള ഒരു ഊഹം മാത്രമാണ്.

നിങ്ങൾ ഇവിടെ വായിച്ച എല്ലാത്തിനും ശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പഞ്ചമാന ക്യൂബിന്റെ ലോജിക്കൽ ചട്ടക്കൂട് എളുപ്പത്തിൽ വരയ്ക്കാനും അതിന്റെ ലംബങ്ങൾ, അരികുകൾ, മുഖങ്ങൾ, ക്യൂബുകൾ, ഹൈപ്പർക്യൂബുകൾ എന്നിവയുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കാനും കഴിയും. ഇത് ഒട്ടും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല.

നാല് അളവുകൾ അല്ലെങ്കിൽ നാല് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉള്ള ഒരു പ്രപഞ്ചം, മൂന്ന് പ്രപഞ്ചം പോലെ തൃപ്തികരമല്ല. പ്രപഞ്ചം നിർമ്മിക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ എല്ലാ വിവരങ്ങളും ഞങ്ങളുടെ പക്കലില്ലെന്ന് നമുക്ക് പറയാം, കാരണം പഴയ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിന്റെ മൂന്ന് കോർഡിനേറ്റുകളോ പുതിയതിന്റെ നാല് കോർഡിനേറ്റുകളോ വിവരിക്കാൻ പര്യാപ്തമല്ല. ആകെപ്രപഞ്ചത്തിലെ വിവിധ പ്രതിഭാസങ്ങൾ.

വിവിധ അളവുകളുടെ "ക്യൂബുകൾ" ക്രമത്തിൽ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ഒരു വരിയിലെ ഏകമാന ക്യൂബ് ഒരു സെഗ്‌മെന്റാണ്. ദ്വിമാന - ഒരു ചതുരം. ചതുരത്തിന്റെ അതിർത്തിയിൽ നാല് പോയിന്റുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു - കൊടുമുടികൾഒപ്പം നാല് ഭാഗങ്ങൾ - വാരിയെല്ലുകൾഅങ്ങനെ, ഒരു ചതുരത്തിന് അതിന്റെ അതിർത്തിയിൽ രണ്ട് തരം മൂലകങ്ങളുണ്ട്: പോയിന്റുകളും സെഗ്മെന്റുകളും. ഒരു ത്രിമാന ക്യൂബിന്റെ അതിർത്തിയിൽ മൂന്ന് തരം ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു: ലംബങ്ങൾ - അവയിൽ 8 ഉണ്ട്, അരികുകൾ (സെഗ്‌മെന്റുകൾ) - അവയിൽ 12 മുഖങ്ങളും മുഖങ്ങളും ഉണ്ട് (ചതുരങ്ങൾ) - അവയിൽ 6 എണ്ണം ഉണ്ട്. AB ദ്വിമാന ചതുര ABCD യുടെ മുഖമായി വർത്തിക്കുന്നു, ചതുരം ABCDHEFG ക്യൂബിന്റെ വശമാണ്, അത് നാലിന്റെ വശമായിരിക്കും. -ഡൈമൻഷണൽ ഹൈപ്പർക്യൂബ്.

ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഹൈപ്പർക്യൂബിൽ, അങ്ങനെ 16 ലംബങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കും: യഥാർത്ഥ ക്യൂബിന്റെ 8 ലംബങ്ങളും നാലാമത്തെ മാനത്തിലേക്ക് മാറ്റിയതിൽ 8 ഉം. ഇതിന് 32 അരികുകൾ ഉണ്ട് - 12 ഓരോന്നും യഥാർത്ഥ ക്യൂബിന്റെ പ്രാരംഭവും അവസാനവുമായ സ്ഥാനങ്ങൾ നൽകുന്നു, കൂടാതെ മറ്റൊരു 8 അരികുകൾ അതിന്റെ എട്ട് ലംബങ്ങളെ "വരയ്ക്കുന്നു", അവ നാലാമത്തെ അളവിലേക്ക് നീങ്ങി. ഹൈപ്പർക്യൂബിന്റെ മുഖങ്ങളിലും ഇതേ ന്യായവാദം നടത്താം. ദ്വിമാന സ്ഥലത്ത് ഒരെണ്ണം മാത്രമേയുള്ളൂ (ചതുരം തന്നെ), ഒരു ക്യൂബിന് അവയിൽ 6 എണ്ണം ഉണ്ട് (ചലിപ്പിച്ച ചതുരത്തിൽ നിന്ന് രണ്ട് മുഖങ്ങളും അതിന്റെ വശങ്ങൾ വിവരിക്കുന്ന നാലെണ്ണവും കൂടി). ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഹൈപ്പർക്യൂബിന് 24 ചതുര മുഖങ്ങളുണ്ട് - യഥാർത്ഥ ക്യൂബിന്റെ 12 ചതുരങ്ങൾ രണ്ട് സ്ഥാനങ്ങളിലും അതിന്റെ പന്ത്രണ്ട് അരികുകളിൽ നിന്ന് 12 ചതുരങ്ങളിലും.

ക്യൂബ് അളവ്	അതിർത്തിയുടെ അളവ്
2 ചതുരം
4 ടെസെറാക്ട്

കോർഡിനേറ്റ് ചെയ്യുന്നുചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഇടം.

ഒരു വരിയിലെ ഒരു ബിന്ദുവിനെ ഒരു സംഖ്യയായും, ഒരു വിമാനത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിനെ ജോടി സംഖ്യകളായും, ത്രിമാന സ്ഥലത്തെ ഒരു ബിന്ദു സംഖ്യകളുടെ ട്രിപ്പിൾ ആയും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഈ സാങ്കൽപ്പിക സ്ഥലത്ത് ഒരു ബിന്ദുവിനെ സംഖ്യകളുടെ നാലിരട്ടിയായി നിർവചിച്ച് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സ്ഥലത്തിന്റെ ജ്യാമിതി നിർമ്മിക്കുന്നത് തികച്ചും സ്വാഭാവികമാണ്.

ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ക്യൂബിന്റെ ദ്വിമാന മുഖം, രണ്ട് കോർഡിനേറ്റുകൾക്ക് 0 മുതൽ 1 വരെയുള്ള സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും എടുക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു കൂട്ടം പോയിന്റാണ്, മറ്റ് രണ്ടെണ്ണം സ്ഥിരമാണ് (ഒന്നുകിൽ 0 അല്ലെങ്കിൽ 1 ന് തുല്യമാണ്).

ത്രിമാന മുഖം മൂന്ന് കോർഡിനേറ്റുകൾ 0 മുതൽ 1 വരെ സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും എടുക്കുന്ന പോയിന്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ക്യൂബ്, ഒന്ന് സ്ഥിരമാണ് (0 അല്ലെങ്കിൽ 1 ന് തുല്യമാണ്).

വിവിധ അളവുകളുള്ള ക്യൂബുകളുടെ വികസനം.

ഞങ്ങൾ ഒരു സെഗ്‌മെന്റ് എടുക്കുന്നു, ഒരു സെഗ്‌മെന്റ് എല്ലാ വശങ്ങളിലും സ്ഥാപിക്കുക, മറ്റൊന്ന് ഏതെങ്കിലും ഒന്നിലേക്ക് അറ്റാച്ചുചെയ്യുക, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ വലത് സെഗ്‌മെന്റിലേക്ക്.

ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ചതുര സ്‌കാൻ ലഭിച്ചു.

ഞങ്ങൾ ഒരു ചതുരം എടുക്കുന്നു, എല്ലാ വശങ്ങളിലും ഒരു ചതുരം സ്ഥാപിക്കുക, മറ്റൊന്നിലേക്ക് മറ്റൊന്ന് അറ്റാച്ചുചെയ്യുക, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ താഴെയുള്ള ചതുരത്തിലേക്ക്.

ഇത് ഒരു ത്രിമാന ക്യൂബിന്റെ വികസനമാണ്.

നാല് ഡൈമൻഷണൽ ക്യൂബ്

ഞങ്ങൾ ഒരു ക്യൂബ് എടുക്കുന്നു, എല്ലാ വശങ്ങളിലും ഒരു ക്യൂബ് സ്ഥാപിക്കുക, ഈ താഴത്തെ ക്യൂബിൽ ഏതെങ്കിലും ഒന്നിലേക്ക് മറ്റൊന്ന് ഘടിപ്പിക്കുക.

ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ക്യൂബിന്റെ വികസനം

നമുക്ക് അത് സങ്കൽപ്പിക്കാം ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ക്യൂബ്വയർ കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ച ഒരു ഉറുമ്പ് ശീർഷത്തിൽ ഇരിക്കുന്നു (1;1;1;1), തുടർന്ന് ഒരു ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് ഉറുമ്പ് അരികുകളിൽ ഇഴയേണ്ടി വരും.

ചോദ്യം: ശീർഷകത്തിലേക്ക് (0;0;0;0) എത്താൻ അയാൾക്ക് എത്ര അരികുകൾ ഇഴഞ്ഞു നീങ്ങേണ്ടിവരും?

4 അരികുകളിൽ, അതായത്, ശീർഷം (0;0;0;0) ഒരു നാലാമത്തെ ഓർഡർ ശീർഷമാണ്, 1 അരികിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നതിലൂടെ അയാൾക്ക് 0 കോർഡിനേറ്റുകളിൽ ഒന്നുള്ള ഒരു ശീർഷത്തിലെത്താം, ഇത് ഒരു ഒന്നാം ക്രമ ശീർഷമാണ്, 2 അരികുകളിൽ കൂടി കടന്നുപോകുമ്പോൾ, 2 പൂജ്യങ്ങൾ ഉള്ള ലംബങ്ങളിൽ എത്താൻ കഴിയും, അവിടെ 2 പൂജ്യങ്ങൾ 2-ആം ഓർഡറിന്റെ ലംബങ്ങളാണ്, അത്തരം 6 ലംബങ്ങളുണ്ട്, 3 അരികുകളിൽ കൂടി കടന്നുപോകുമ്പോൾ, അവൻ 3 കോർഡിനേറ്റുകൾ പൂജ്യമുള്ള ലംബങ്ങളിൽ എത്തും, ഇവയുടെ ലംബങ്ങളാണ് മൂന്നാമത്തെ ഓർഡർ.

മൾട്ടിഡൈമൻഷണൽ സ്പേസിൽ മറ്റ് ക്യൂബുകൾ ഉണ്ട്. ടെസെറാക്റ്റിന് പുറമേ, നിങ്ങൾക്ക് വലിയ അളവിലുള്ള ക്യൂബുകൾ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും. പഞ്ചമാന ക്യൂബിന്റെ മാതൃക ഒരു പെന്ററാക്ടാണ്.ഒരു പെന്ററാക്റ്റിന് 32 ലംബങ്ങൾ, 80 അരികുകൾ, 80 മുഖങ്ങൾ, 40 ക്യൂബുകൾ, 10 ടെസെറാക്ടുകൾ എന്നിവയുണ്ട്.

കലാകാരന്മാർ, സംവിധായകർ, ശിൽപികൾ, ശാസ്ത്രജ്ഞർ എന്നിവർ മൾട്ടിഡൈമൻഷണൽ ക്യൂബിനെ വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

പല സയൻസ് ഫിക്ഷൻ എഴുത്തുകാരും അവരുടെ കൃതികളിൽ ടെസറാക്ടിനെ വിവരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, റോബർട്ട് ആൻസൺ ഹെയ്ൻലൈൻ (1907-1988) അദ്ദേഹത്തിന്റെ മൂന്ന് നോൺ-ഫിക്ഷൻ കഥകളിലെങ്കിലും ഹൈപ്പർക്യൂബുകളെ പരാമർശിച്ചു. "ദി ഹൗസ് ഓഫ് ഫോർ ഡൈമെൻഷൻസ്" എന്ന കൃതിയിൽ, ഒരു ടെസറാക്റ്റ് തുറക്കുന്നതുപോലെ നിർമ്മിച്ച ഒരു വീടിനെ അദ്ദേഹം വിവരിച്ചു.

ഹൈപ്പർക്യൂബിൽ കുടുങ്ങിയ എട്ട് അപരിചിതരെ കേന്ദ്രീകരിച്ചാണ് ക്യൂബ് 2 എന്ന സിനിമയുടെ ഇതിവൃത്തം.

« ക്രൂശീകരണം" സാൽവഡോർ ഡാലി, 1954 (1951). ഡാലിയുടെ സർറിയലിസം നമ്മുടെ യാഥാർത്ഥ്യവും മറ്റ് ലോകവും, പ്രത്യേകിച്ച്, 4-ഡൈമൻഷണൽ ലോകവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിന്റെ പോയിന്റുകൾ തേടി. അതിനാൽ, ഒരു വശത്ത്, ഇത് അതിശയകരമാണ്, മറുവശത്ത്, ക്രിസ്ത്യൻ കുരിശ് രൂപപ്പെടുത്തുന്ന ക്യൂബുകളുടെ ജ്യാമിതീയ രൂപം ഒരു 4-ഡൈമൻഷണൽ ക്യൂബിന്റെ 3-മാന വികസനത്തിന്റെ ഒരു ചിത്രമാണ് എന്നതിൽ അതിശയിക്കാനില്ല. ടെസറാക്ട്.

ഒക്ടോബർ 21 ന്, പെൻസിൽവാനിയ സ്റ്റേറ്റ് യൂണിവേഴ്സിറ്റിയിലെ ഗണിതശാസ്ത്ര വിഭാഗം "ഒക്ടാക്യൂബ്" എന്ന അസാധാരണമായ ഒരു ശിൽപം അനാച്ഛാദനം ചെയ്തു. ത്രിമാന സ്‌പേസിലെ ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ജ്യാമിതീയ വസ്തുവിന്റെ ചിത്രമാണിത്. ശിൽപത്തിന്റെ രചയിതാവായ പ്രൊഫസർ അഡ്രിയാൻ ഒക്നിയാനു പറയുന്നതനുസരിച്ച് മനോഹരമായ രൂപംചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപങ്ങളുടെ ത്രിമാന പ്രൊജക്ഷനുകൾ മുമ്പ് ഉണ്ടാക്കിയിരുന്നെങ്കിലും, ഫലത്തിൽ അല്ലെങ്കിൽ ഭൗതികമായോ, ലോകത്ത് ഈ ഇനം നിലവിലില്ല.

പൊതുവേ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ നാല്, അഞ്ച്, അതിലും കൂടുതൽ ബഹുമുഖ വസ്തുക്കളുമായി എളുപ്പത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു, പക്ഷേ അവയെ ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് ചിത്രീകരിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്. "ഒക്ടാക്യൂബ്", എല്ലാ സമാന രൂപങ്ങളെയും പോലെ, യഥാർത്ഥത്തിൽ ചതുരാകൃതിയിലുള്ളതല്ല. ഇതിനെ ഒരു ഭൂപടവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്താം - ഭൂഗോളത്തിന്റെ ത്രിമാന ഉപരിതലത്തിന്റെ ഒരു പരന്ന പേപ്പറിലേക്ക് പ്രൊജക്ഷൻ.

ഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ ഉപയോഗിച്ച് റേഡിയൽ സ്റ്റീരിയോഗ്രാഫി ഉപയോഗിച്ച് ഒക്നിയാനു ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപത്തിന്റെ ത്രിമാന പ്രൊജക്ഷൻ ലഭിച്ചു. അതേ സമയം, യഥാർത്ഥ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപത്തിന്റെ സമമിതി സംരക്ഷിക്കപ്പെട്ടു. ശില്പത്തിന് 24 ലംബങ്ങളും 96 മുഖങ്ങളുമുണ്ട്. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സ്ഥലത്ത്, ഒരു രൂപത്തിന്റെ അരികുകൾ നേരായവയാണ്, എന്നാൽ പ്രൊജക്ഷനിൽ അവ വളഞ്ഞതാണ്. ത്രിമാന പ്രൊജക്ഷന്റെ മുഖങ്ങളും യഥാർത്ഥ രൂപവും തമ്മിലുള്ള കോണുകൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്.

പെൻസിൽവാനിയ സ്റ്റേറ്റ് യൂണിവേഴ്സിറ്റിയിലെ എൻജിനീയറിങ് വർക്ക്ഷോപ്പുകളിൽ സ്റ്റെയിൻലെസ് സ്റ്റീൽ ഉപയോഗിച്ചാണ് ഒക്ടാക്യൂബ് നിർമ്മിച്ചത്. ഗണിതശാസ്ത്ര ഫാക്കൽറ്റിയുടെ നവീകരിച്ച മക്അലിസ്റ്റർ കെട്ടിടത്തിലാണ് ശിൽപം സ്ഥാപിച്ചത്.

റെനെ ഡെസ്കാർട്ടസ്, ഹെർമൻ മിങ്കോവ്സ്കി തുടങ്ങിയ പല ശാസ്ത്രജ്ഞർക്കും മൾട്ടിഡൈമൻഷണൽ സ്പേസ് താൽപ്പര്യമായിരുന്നു. ഇന്ന്, ഈ വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് വർദ്ധിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്നു. നമ്മുടെ കാലത്തെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരെയും ഗവേഷകരെയും കണ്ടുപിടുത്തക്കാരെയും അവരുടെ ലക്ഷ്യങ്ങൾ കൈവരിക്കുന്നതിനും ശാസ്ത്രത്തെ മുന്നോട്ട് കൊണ്ടുപോകുന്നതിനും ഇത് സഹായിക്കുന്നു. ബഹുമുഖ ബഹിരാകാശത്തിലേക്കുള്ള ഒരു ചുവടുവയ്പ്പ് മനുഷ്യരാശിയുടെ പുതിയ, കൂടുതൽ വികസിത യുഗത്തിലേക്കുള്ള ഒരു ചുവടുവെപ്പാണ്.

τέσσαρες ἀκτίνες - നാല് കിരണങ്ങൾ) - 4-ഡൈമൻഷണൽ ഹൈപ്പർക്യൂബ്- 4-ഡൈമൻഷണൽ സ്പേസിലെ അനലോഗ്.

ചിത്രം ത്രിമാന സ്‌പെയ്‌സിലേക്ക് ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ക്യൂബിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ () ആണ്.

3-ൽ കൂടുതൽ അളവുകളുള്ള കേസുകൾക്ക് ക്യൂബിന്റെ സാമാന്യവൽക്കരണം എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഹൈപ്പർക്യൂബ് അല്ലെങ്കിൽ (en: പോളിടോപ്പുകൾ അളക്കുക). ഔപചാരികമായി, ഒരു ഹൈപ്പർക്യൂബ് നാല് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു.

ഈ ലേഖനം പ്രധാനമായും 4-മാനത്തെ വിവരിക്കുന്നു ഹൈപ്പർക്യൂബ്, വിളിച്ചു ടെസറാക്ട്.

ജനപ്രിയ വിവരണം

നമ്മുടെ ത്രിമാന ഇടം വിടാതെ ഒരു ഹൈപ്പർക്യൂബ് എങ്ങനെയായിരിക്കുമെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം.

ഏകമാനമായ "സ്പേസിൽ" - ഒരു വരിയിൽ - ഞങ്ങൾ എൽ നീളമുള്ള AB തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. ദ്വിമാന സ്ഥലത്ത്, AB-ൽ നിന്ന് L അകലെ, അതിന് സമാന്തരമായി ഞങ്ങൾ ഒരു സെഗ്മെന്റ് DC വരച്ച് അവയുടെ അറ്റങ്ങൾ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു. ഫലം ഒരു ചതുര ABCD ആണ്. വിമാനം ഉപയോഗിച്ച് ഈ പ്രവർത്തനം ആവർത്തിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ത്രിമാന ക്യൂബ് ABCDHEFG ലഭിക്കും. ക്യൂബിനെ നാലാമത്തെ മാനത്തിൽ (ആദ്യത്തെ മൂന്നിന് ലംബമായി!) ദൂരം L കൊണ്ട് നീക്കിയാൽ നമുക്ക് ഒരു ഹൈപ്പർക്യൂബ് ലഭിക്കും.

ഒരു ദ്വിമാന ചതുര ABCD യുടെ മുഖമായി AB വർത്തിക്കുന്നു, ചതുരം ABCDHEFG എന്ന ക്യൂബിന്റെ ഒരു വശമായി വർത്തിക്കുന്നു, ഇത് ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഹൈപ്പർക്യൂബിന്റെ ഒരു വശമായിരിക്കും. ഒരു നേർരേഖ സെഗ്‌മെന്റിന് രണ്ട് അതിർത്തി പോയിന്റുകൾ ഉണ്ട്, ഒരു ചതുരത്തിന് നാല് ലംബങ്ങളുണ്ട്, ഒരു ക്യൂബിന് എട്ട് ഉണ്ട്. ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഹൈപ്പർക്യൂബിൽ, അങ്ങനെ 16 ലംബങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കും: യഥാർത്ഥ ക്യൂബിന്റെ 8 ലംബങ്ങളും നാലാമത്തെ മാനത്തിലേക്ക് മാറ്റിയതിൽ 8 ഉം. ഇതിന് 32 അരികുകൾ ഉണ്ട് - 12 ഓരോന്നും യഥാർത്ഥ ക്യൂബിന്റെ പ്രാരംഭവും അവസാനവുമായ സ്ഥാനങ്ങൾ നൽകുന്നു, കൂടാതെ മറ്റൊരു 8 അരികുകൾ അതിന്റെ എട്ട് ലംബങ്ങളെ "വരയ്ക്കുന്നു", അവ നാലാമത്തെ അളവിലേക്ക് നീങ്ങി. ഹൈപ്പർക്യൂബിന്റെ മുഖങ്ങളിലും ഇതേ ന്യായവാദം നടത്താം. ദ്വിമാന സ്ഥലത്ത് ഒരെണ്ണം മാത്രമേയുള്ളൂ (ചതുരം തന്നെ), ഒരു ക്യൂബിന് അവയിൽ 6 എണ്ണം ഉണ്ട് (ചലിപ്പിച്ച ചതുരത്തിൽ നിന്ന് രണ്ട് മുഖങ്ങളും അതിന്റെ വശങ്ങൾ വിവരിക്കുന്ന നാലെണ്ണവും കൂടി). ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഹൈപ്പർക്യൂബിന് 24 ചതുര മുഖങ്ങളുണ്ട് - യഥാർത്ഥ ക്യൂബിന്റെ 12 ചതുരങ്ങൾ രണ്ട് സ്ഥാനങ്ങളിലും അതിന്റെ പന്ത്രണ്ട് അരികുകളിൽ നിന്ന് 12 ചതുരങ്ങളിലും.

സമാനമായ രീതിയിൽ, വലിയ അളവിലുള്ള ഹൈപ്പർക്യൂബുകൾക്കായുള്ള ഞങ്ങളുടെ ന്യായവാദം തുടരാം, എന്നാൽ ത്രിമാന സ്ഥലത്തെ താമസക്കാരായ നമുക്ക് ഇത് എങ്ങനെ കാണപ്പെടുമെന്ന് കാണുന്നത് കൂടുതൽ രസകരമാണ്. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഹൈപ്പർക്യൂബ്. ഇതിനായി ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരിചിതമായ അനലോഗ് രീതി ഉപയോഗിക്കും.

നമുക്ക് ABCDHEFG വയർ ക്യൂബ് എടുത്ത് അരികിൽ നിന്ന് ഒരു കണ്ണുകൊണ്ട് നോക്കാം. ഞങ്ങൾ കാണുകയും വിമാനത്തിൽ രണ്ട് ചതുരങ്ങൾ വരയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം (അതിന്റെ അടുത്തുള്ളതും വിദൂരവുമായ അരികുകൾ), നാല് വരികളാൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു - വശത്തെ അരികുകൾ. അതുപോലെ, ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഹൈപ്പർക്യൂബ് രണ്ട് ക്യൂബിക് "ബോക്സുകൾ" പരസ്പരം തിരുകുകയും എട്ട് അരികുകളാൽ ബന്ധിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, "ബോക്സുകൾ" തന്നെ - ത്രിമാന മുഖങ്ങൾ - "ഞങ്ങളുടെ" സ്ഥലത്തേക്ക് പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യപ്പെടും, അവയെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന വരികൾ നാലാമത്തെ മാനത്തിൽ നീട്ടും. ക്യൂബ് പ്രൊജക്ഷനിലല്ല, ഒരു സ്പേഷ്യൽ ഇമേജിൽ സങ്കൽപ്പിക്കാനും നിങ്ങൾക്ക് ശ്രമിക്കാം.

ഒരു ചതുരം മുഖത്തിന്റെ നീളം കൊണ്ട് ത്രിമാന ക്യൂബ് രൂപപ്പെടുന്നതുപോലെ, നാലാമത്തെ മാനത്തിലേക്ക് മാറിയ ഒരു ക്യൂബ് ഒരു ഹൈപ്പർക്യൂബ് ഉണ്ടാക്കും. ഇത് എട്ട് ക്യൂബുകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു, ഇത് കാഴ്ചപ്പാടിൽ ചില സങ്കീർണ്ണമായ രൂപങ്ങൾ പോലെ കാണപ്പെടും. "നമ്മുടെ" സ്ഥലത്ത് അവശേഷിക്കുന്ന ഭാഗം വരച്ചിരിക്കുന്നു ഉറച്ച വരകൾ, ഹൈപ്പർസ്‌പേസിലേക്ക് പോയത് ഡോട്ട് ഇട്ടിരിക്കുന്നു. ഒരു ത്രിമാന ക്യൂബിനെ അനന്തമായ ഫ്ലാറ്റ് സ്ക്വയറുകളായി "മുറിക്കാൻ" കഴിയുന്നതുപോലെ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഹൈപ്പർക്യൂബിൽ തന്നെ അനന്തമായ ക്യൂബുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ഒരു ത്രിമാന ക്യൂബിന്റെ എട്ട് മുഖങ്ങൾ മുറിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് അതിനെ വിഘടിപ്പിക്കാം പരന്ന രൂപം- സ്കാൻ ചെയ്യുക. ഇതിന് യഥാർത്ഥ മുഖത്തിന്റെ ഓരോ വശത്തും ഒരു ചതുരം ഉണ്ടായിരിക്കും, കൂടാതെ ഒന്ന് കൂടി - അതിന് എതിർവശത്തുള്ള മുഖം. ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഹൈപ്പർക്യൂബിന്റെ ത്രിമാന വികസനത്തിൽ യഥാർത്ഥ ക്യൂബ്, അതിൽ നിന്ന് "വളരുന്ന" ആറ് ക്യൂബുകൾ, കൂടാതെ ഒന്ന് കൂടി - അവസാന "ഹൈപ്പർഫേസ്" എന്നിവ അടങ്ങിയിരിക്കും.

ടെസെറാക്ടിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഗുണങ്ങളുടെ ഒരു വിപുലീകരണമാണ് ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾ 4-ഡൈമൻഷണൽ സ്‌പെയ്‌സിലേക്കുള്ള ചെറിയ അളവുകൾ, ചുവടെയുള്ള പട്ടികയിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഇടം എന്താണെന്ന് വിശദീകരിച്ചുകൊണ്ട് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം.

ഇതൊരു ഏകമാന ഇടമാണ്, അതായത് OX അക്ഷം. അതിലെ ഏത് പോയിന്റും ഒരു കോർഡിനേറ്റിന്റെ സവിശേഷതയാണ്.

ഇനി OX അക്ഷത്തിന് ലംബമായി OY അക്ഷം വരയ്ക്കാം. അതിനാൽ നമുക്ക് ഒരു ദ്വിമാന ഇടം ലഭിക്കുന്നു, അതായത് XOY വിമാനം. ഇതിലെ ഏത് പോയിന്റും രണ്ട് കോർഡിനേറ്റുകളാൽ സവിശേഷതയാണ് - അബ്സിസ്സയും ഓർഡിനേറ്റും.

OX, OY അക്ഷങ്ങൾക്ക് ലംബമായി OZ അക്ഷം വരയ്ക്കാം. ഫലം ഒരു ത്രിമാന ഇടമാണ്, അതിൽ ഏത് പോയിന്റിലും ഒരു അബ്സിസ്സയും ഓർഡിനേറ്റും പ്രയോഗിക്കുന്നു.

നാലാമത്തെ അക്ഷമായ OQ, ഒരേ സമയം OX, OY, OZ എന്നീ അക്ഷങ്ങൾക്ക് ലംബമായിരിക്കണം എന്നത് യുക്തിസഹമാണ്. എന്നാൽ നമുക്ക് അത്തരമൊരു അച്ചുതണ്ട് കൃത്യമായി നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയില്ല, അതിനാൽ നമുക്ക് അത് സങ്കൽപ്പിക്കാൻ മാത്രമേ കഴിയൂ. ചതുര് മാന സ്‌പെയ്‌സിലെ ഓരോ പോയിന്റിനും നാല് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്: x, y, z, q.

ഇനി എങ്ങനെയാണ് ചതുര് മാന ക്യൂബ് പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടതെന്ന് നോക്കാം.

ചിത്രം ഏകമാന സ്ഥലത്ത് ഒരു ചിത്രം കാണിക്കുന്നു - ഒരു ലൈൻ.

നിങ്ങൾ OY അക്ഷത്തിൽ ഈ വരിയുടെ സമാന്തര വിവർത്തനം നടത്തുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന രണ്ട് വരികളുടെ അനുബന്ധ അറ്റങ്ങൾ ബന്ധിപ്പിക്കുകയും ചെയ്താൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ചതുരം ലഭിക്കും.

അതുപോലെ, നിങ്ങൾ OZ അക്ഷത്തിൽ സമാന്തരമായി സമാന്തരമായി വിവർത്തനം ചെയ്യുകയും അനുബന്ധ ലംബങ്ങൾ ബന്ധിപ്പിക്കുകയും ചെയ്താൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ക്യൂബ് ലഭിക്കും.

ഞങ്ങൾ OQ അക്ഷത്തിൽ സമാന്തരമായി ക്യൂബിന്റെ ഒരു വിവർത്തനം നടത്തുകയും ഈ രണ്ട് ക്യൂബുകളുടെയും ലംബങ്ങൾ ബന്ധിപ്പിക്കുകയും ചെയ്താൽ, നമുക്ക് ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ക്യൂബ് ലഭിക്കും. വഴിയിൽ, അതിനെ വിളിക്കുന്നു ടെസറാക്ട്.

ഒരു വിമാനത്തിൽ ഒരു ക്യൂബ് വരയ്ക്കാൻ, നിങ്ങൾക്കത് ആവശ്യമാണ് പദ്ധതി. ദൃശ്യപരമായി ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

അത് ഉപരിതലത്തിന് മുകളിൽ വായുവിൽ തൂങ്ങിക്കിടക്കുന്നുവെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക വയർഫ്രെയിം മോഡൽക്യൂബ്, അതായത്, "വയർ കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ചത്" പോലെ, അതിന് മുകളിൽ ഒരു ലൈറ്റ് ബൾബ്. നിങ്ങൾ ലൈറ്റ് ബൾബ് ഓണാക്കിയാൽ, പെൻസിൽ ഉപയോഗിച്ച് ക്യൂബിന്റെ നിഴൽ കണ്ടെത്തുക, തുടർന്ന് ലൈറ്റ് ബൾബ് ഓഫ് ചെയ്യുക, ക്യൂബിന്റെ ഒരു പ്രൊജക്ഷൻ ഉപരിതലത്തിൽ ചിത്രീകരിക്കപ്പെടും.

കുറച്ചുകൂടി സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നിലേക്ക് പോകാം. ലൈറ്റ് ബൾബ് ഉപയോഗിച്ച് ഡ്രോയിംഗിലേക്ക് വീണ്ടും നോക്കുക: നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, എല്ലാ കിരണങ്ങളും ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഒത്തുചേരുന്നു. ഇത് വിളിക്കപ്പെടുന്നത് അപ്രത്യക്ഷമാകുന്ന പോയിന്റ്നിർമ്മിക്കാനും ഉപയോഗിക്കുന്നു കാഴ്ചപ്പാട് പ്രൊജക്ഷൻ(കൂടാതെ, എല്ലാ കിരണങ്ങളും പരസ്പരം സമാന്തരമായിരിക്കുമ്പോൾ ഇത് സമാന്തരമായി സംഭവിക്കുന്നു. വോളിയത്തിന്റെ സംവേദനം സൃഷ്ടിക്കപ്പെടുന്നില്ല, പക്ഷേ അത് ഭാരം കുറഞ്ഞതാണ്, കൂടാതെ, വാനിഷിംഗ് പോയിന്റ് പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്ത വസ്തുവിൽ നിന്ന് വളരെ അകലെയാണെങ്കിൽ, അപ്പോൾ ഈ രണ്ട് പ്രൊജക്ഷനുകളും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം വളരെ കുറവാണ്). ഒരു വാനിഷിംഗ് പോയിന്റ് ഉപയോഗിച്ച് തന്നിരിക്കുന്ന തലത്തിലേക്ക് ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റ് പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്ന പോയിന്റിലൂടെയും നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിന്റിലൂടെയും ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്, തുടർന്ന് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന നേർരേഖയുടെയും തലത്തിന്റെയും വിഭജന പോയിന്റ് കണ്ടെത്തുക. കൂടുതൽ പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യുന്നതിനായി സങ്കീർണ്ണമായ ചിത്രം, പറയുക, ഒരു ക്യൂബ്, നിങ്ങൾ അതിന്റെ ഓരോ ലംബങ്ങളും പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യണം, തുടർന്ന് അനുബന്ധ പോയിന്റുകൾ ബന്ധിപ്പിക്കുക. എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ് സബ്‌സ്‌പെയ്‌സിലേക്ക് സ്പേസ് പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം 3D->2D മാത്രമല്ല, 4D->3D യുടെ കാര്യത്തിലേക്ക് സാമാന്യവൽക്കരിക്കാം.

ഞാൻ പറഞ്ഞതുപോലെ, ടെസറാക്റ്റ് പോലെ OQ അക്ഷം എങ്ങനെയായിരിക്കുമെന്ന് നമുക്ക് കൃത്യമായി സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല. എന്നാൽ അതിനെ ഒരു വോളിയത്തിലേക്ക് പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്‌ത് കമ്പ്യൂട്ടർ സ്‌ക്രീനിൽ വരച്ചാൽ നമുക്ക് പരിമിതമായ ആശയം ലഭിക്കും!

ഇനി നമുക്ക് ടെസറാക്റ്റ് പ്രൊജക്ഷനെ കുറിച്ച് പറയാം.

ഇടതുവശത്ത് വിമാനത്തിലേക്ക് ക്യൂബിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ഉണ്ട്, വലതുവശത്ത് വോളിയത്തിലേക്ക് ടെസെറാക്റ്റ് ഉണ്ട്. അവ തികച്ചും സമാനമാണ്: ഒരു ക്യൂബിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ചെറുതും വലുതുമായ രണ്ട് ചതുരങ്ങൾ പോലെ കാണപ്പെടുന്നു, ഒന്ന് മറ്റൊന്നിനുള്ളിൽ, അവയുടെ അനുബന്ധ ലംബങ്ങൾ വരകളാൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ടെസറാക്ടിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ചെറുതും വലുതുമായ രണ്ട് ക്യൂബുകൾ പോലെ കാണപ്പെടുന്നു, ഒന്ന് മറ്റൊന്നിനുള്ളിൽ, അവയുടെ അനുബന്ധ ലംബങ്ങൾ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. എന്നാൽ നാമെല്ലാവരും ക്യൂബ് കണ്ടിട്ടുണ്ട്, ചെറിയ ചതുരവും വലുതും, ചെറിയ ചതുരത്തിന്റെ മുകളിൽ, താഴെ, വലത്തോട്ടും ഇടത്തോട്ടും ഉള്ള നാല് ട്രപസോയിഡുകൾ യഥാർത്ഥത്തിൽ ചതുരങ്ങളാണെന്നും അവ തുല്യമാണെന്നും നമുക്ക് ആത്മവിശ്വാസത്തോടെ പറയാൻ കഴിയും. . ടെസറാക്ടിനും അങ്ങനെ തന്നെയുണ്ട്. ഒരു വലിയ ക്യൂബ്, ഒരു ചെറിയ ക്യൂബ്, ഒരു ചെറിയ ക്യൂബിന്റെ വശങ്ങളിൽ വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ ആറ് പിരമിഡുകൾ - ഇവയെല്ലാം സമചതുരങ്ങളാണ്, അവ തുല്യമാണ്.

എന്റെ പ്രോഗ്രാമിന് ഒരു ടെസറാക്ടിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ഒരു വോളിയത്തിലേക്ക് വരയ്ക്കാൻ മാത്രമല്ല, അത് തിരിക്കാനും കഴിയും. ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യുന്നുവെന്ന് നോക്കാം.

ആദ്യം, അത് എന്താണെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളോട് പറയും വിമാനത്തിന് സമാന്തരമായി ഭ്രമണം.

ക്യൂബ് OZ അക്ഷത്തിന് ചുറ്റും കറങ്ങുന്നതായി സങ്കൽപ്പിക്കുക. അപ്പോൾ അതിന്റെ ഓരോ ശീർഷകങ്ങളും OZ അക്ഷത്തിന് ചുറ്റുമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തെ വിവരിക്കുന്നു.

വൃത്തം ഒരു പരന്ന രൂപമാണ്. ഈ ഓരോ സർക്കിളുകളുടെയും വിമാനങ്ങൾ പരസ്പരം സമാന്തരമാണ്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ XOY വിമാനത്തിന് സമാന്തരമാണ്. അതായത്, OZ അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റുമുള്ള ഭ്രമണത്തെക്കുറിച്ച് മാത്രമല്ല, XOY തലത്തിന് സമാന്തരമായ ഭ്രമണത്തെക്കുറിച്ചും നമുക്ക് സംസാരിക്കാം. നമ്മൾ കാണുന്നതുപോലെ, XOY അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി ഭ്രമണം ചെയ്യുന്ന പോയിന്റുകൾക്ക്, അബ്സിസ്സയും ഓർഡിനേറ്റും മാത്രം മാറ്റുന്നു, അതേസമയം ആപ്ലിക്കേഷൻ അവശേഷിക്കുന്നു. മാറ്റമില്ല, വാസ്തവത്തിൽ, ത്രിമാന സ്ഥലവുമായി ഇടപെടുമ്പോൾ മാത്രമേ നമുക്ക് ഒരു നേർരേഖയ്ക്ക് ചുറ്റുമുള്ള ഭ്രമണത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാൻ കഴിയൂ. ദ്വിമാന സ്ഥലത്ത് എല്ലാം ഒരു ബിന്ദുവിന് ചുറ്റും കറങ്ങുന്നു, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സ്ഥലത്ത് എല്ലാം ഒരു തലത്തിന് ചുറ്റും കറങ്ങുന്നു, പഞ്ചമാന സ്ഥലത്ത് നമ്മൾ ഒരു വോളിയത്തിന് ചുറ്റുമുള്ള ഭ്രമണത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നു. ഒരു ബിന്ദുവിന് ചുറ്റുമുള്ള ഭ്രമണം നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, ഒരു വിമാനത്തിനും വോളിയത്തിനും ചുറ്റുമുള്ള ഭ്രമണം അചിന്തനീയമാണ്. വിമാനത്തിന് സമാന്തരമായ ഭ്രമണത്തെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ സംസാരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഏത് n-ഡൈമൻഷണൽ സ്പേസിലും ഒരു പോയിന്റിന് തലത്തിന് സമാന്തരമായി തിരിക്കാൻ കഴിയും.

റൊട്ടേഷൻ മാട്രിക്സിനെ കുറിച്ച് നിങ്ങളിൽ പലരും കേട്ടിട്ടുണ്ടാകും. അത് കൊണ്ട് പോയിന്റ് ഗുണിച്ചാൽ, നമുക്ക് ഒരു ആംഗിൾ ഫൈ ഉപയോഗിച്ച് തലത്തിന് സമാന്തരമായി കറങ്ങുന്ന ഒരു പോയിന്റ് ലഭിക്കും. ദ്വിമാന സ്ഥലത്തിന് ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

എങ്ങനെ ഗുണിക്കാം: ഒരു ആംഗിൾ ഫൈ കൊണ്ട് ഭ്രമണം ചെയ്യുന്ന ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ x = യഥാർത്ഥ ബിന്ദുവിന്റെ ആംഗിൾ phi*ig ന്റെ മൈനസ് സൈനിന്റെ യഥാർത്ഥ പോയിന്റിന്റെ phi*ix കോണിന്റെ കോസൈൻ;
ഒരു ആംഗിൾ ഫൈ കൊണ്ട് തിരിക്കുന്ന ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ ig = ആംഗിളിന്റെ സൈൻ phi * ix യഥാർത്ഥ പോയിന്റിന്റെ കോസൈനും ആംഗിളിന്റെ കോസൈൻ phi * ig യഥാർത്ഥ പോയിന്റിന്റെ കോസൈനും.
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, Xa, Ya എന്നിവ തിരിക്കേണ്ട പോയിന്റിന്റെ അബ്‌സിസ്സയും ഓർഡിനേറ്റും ആണ്, Xa`, Ya` എന്നിവ ഇതിനകം കറക്കിയ പോയിന്റിന്റെ അബ്‌സിസ്സയും ഓർഡിനേറ്റും ആണ്.

ത്രിമാന സ്ഥലത്തിനായി, ഈ മാട്രിക്സ് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പൊതുവൽക്കരിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

XOY വിമാനത്തിന് സമാന്തരമായി ഭ്രമണം. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, Z കോർഡിനേറ്റ് മാറില്ല, എന്നാൽ X, Y എന്നിവ മാത്രമേ മാറുന്നുള്ളൂ
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (പ്രധാനമായും, Za`=Za)

XOZ വിമാനത്തിന് സമാന്തരമായി ഭ്രമണം. പുതിയതായി ഒന്നുമില്ല,
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (പ്രധാനമായും, Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

ഒപ്പം മൂന്നാമത്തെ മാട്രിക്സും.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (പ്രധാനമായും, Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya - sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za

നാലാമത്തെ മാനത്തിന് അവ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:


എന്താണ് വർദ്ധിപ്പിക്കേണ്ടതെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം മനസ്സിലായിട്ടുണ്ടെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു, അതിനാൽ ഞാൻ വീണ്ടും വിശദാംശങ്ങളിലേക്ക് പോകുന്നില്ല. എന്നാൽ ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് ഒരു വിമാനത്തിന് സമാന്തരമായി ഭ്രമണം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഒരു മാട്രിക്സ് പോലെയാണ് ഇത് ചെയ്യുന്നത് എന്ന് ഞാൻ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു! അവ രണ്ടും ഓർഡിനേറ്റും പ്രയോഗവും മാത്രം മാറ്റുന്നു, മറ്റ് കോർഡിനേറ്റുകളെ സ്പർശിക്കരുത്, അതിനാൽ ഇത് ത്രിമാന കേസിൽ ഉപയോഗിക്കാം, നാലാമത്തെ കോർഡിനേറ്റിൽ ശ്രദ്ധിക്കുന്നില്ല.

എന്നാൽ പ്രൊജക്ഷൻ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, എല്ലാം അത്ര ലളിതമല്ല. എത്ര ഫോറങ്ങൾ വായിച്ചാലും പ്രൊജക്ഷൻ രീതികളൊന്നും എനിക്ക് ഫലിച്ചില്ല. പ്രൊജക്ഷൻ ത്രിമാനമായി കാണപ്പെടാത്തതിനാൽ സമാന്തരമായത് എനിക്ക് അനുയോജ്യമല്ല. ചില പ്രൊജക്ഷൻ ഫോർമുലകളിൽ, ഒരു പോയിന്റ് കണ്ടെത്തുന്നതിന് നിങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട് (അവ പരിഹരിക്കാൻ ഒരു കമ്പ്യൂട്ടറിനെ എങ്ങനെ പഠിപ്പിക്കണമെന്ന് എനിക്കറിയില്ല), മറ്റുള്ളവ എനിക്ക് മനസ്സിലായില്ല ... പൊതുവേ, ഞാൻ തീരുമാനിച്ചു. എന്റെ സ്വന്തം വഴി വരൂ. ഈ ആവശ്യത്തിനായി, 2D->1D പ്രൊജക്ഷൻ പരിഗണിക്കുക.

pov എന്നാൽ "വ്യൂ പോയിന്റ്", ptp എന്നാൽ "പ്രോജക്ടിലേക്കുള്ള പോയിന്റ്" (പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യേണ്ട പോയിന്റ്), ptp` എന്നത് OX അക്ഷത്തിൽ ആവശ്യമുള്ള പോയിന്റാണ്.

കോണുകൾ povptpB, ptpptp`A എന്നിവ സമാനമാണ് (ഡോട്ടിട്ട രേഖ OX അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണ്, നേർരേഖ povptp ഒരു സെക്കന്റ് ആണ്).
ptp` എന്ന പോയിന്റിന്റെ x, ptp`A എന്ന സെഗ്‌മെന്റിന്റെ ദൈർഘ്യം മൈനസ് പോയിന്റിന്റെ x-ന് തുല്യമാണ്. ഈ സെഗ്‌മെന്റ് ptpptp`A എന്ന ത്രികോണത്തിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്താനാകും: ptp`A = ptpA/tangent of ptpptp`A. povptpB എന്ന ത്രികോണത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഈ ടാൻജെന്റ് കണ്ടെത്താം: tangent ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
ഉത്തരം: Xptp`=Xptp-Yptp/കോണിന്റെ ptpptp`A ന്റെ ടാൻജെന്റ്.

ഈ അൽഗോരിതം ഞാൻ ഇവിടെ വിശദമായി വിവരിച്ചില്ല, കാരണം സൂത്രവാക്യം അല്പം മാറുമ്പോൾ ധാരാളം പ്രത്യേക കേസുകൾ ഉണ്ട്. ആർക്കെങ്കിലും താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ, പ്രോഗ്രാമിന്റെ സോഴ്സ് കോഡ് നോക്കുക, എല്ലാം അവിടെ അഭിപ്രായങ്ങളിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഒരു തലത്തിലേക്ക് ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് ഒരു പോയിന്റ് പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യുന്നതിന്, XOZ, YOZ എന്നീ രണ്ട് വിമാനങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയും അവയിൽ ഓരോന്നിനും ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സ്ഥലത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ, മൂന്ന് വിമാനങ്ങൾ പരിഗണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്: XOQ, YOQ, ZOQ.

അവസാനമായി, പ്രോഗ്രാമിനെക്കുറിച്ച്. ഇത് ഇതുപോലെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു: ഉപയോക്താവ് നൽകിയ കമാൻഡുകളെ ആശ്രയിച്ച് tesseract-ന്റെ പതിനാറ് ശീർഷകങ്ങൾ ആരംഭിക്കുക, അത് തിരിക്കുക -> അത് വോളിയത്തിലേക്ക് പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യുക -> ഉപയോക്താവ് നൽകിയ കമാൻഡുകൾ അനുസരിച്ച്, അതിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ -> പ്രോജക്റ്റ് തിരിക്കുക വിമാനം -> വരയ്ക്കുക.

പ്രൊജക്ഷനുകളും റൊട്ടേഷനുകളും ഞാൻ തന്നെ എഴുതി. ഞാൻ വിവരിച്ച ഫോർമുലകൾക്കനുസൃതമായി അവ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ഓപ്പൺജിഎൽ ലൈബ്രറി ലൈനുകൾ വരയ്ക്കുകയും കളർ മിക്സിംഗ് കൈകാര്യം ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു. ടെസറാക്റ്റ് വെർട്ടീസുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഈ രീതിയിൽ കണക്കാക്കുന്നു:

ഉത്ഭവവും ദൈർഘ്യവും 2 - (1) ഉം (-1) കേന്ദ്രീകരിച്ചുള്ള ഒരു വരിയുടെ ലംബങ്ങളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ;
- " - " - ചതുരം - " - " - കൂടാതെ നീളം 2 ന്റെ അറ്റം:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) കൂടാതെ (-1; -1);
- " - " - ക്യൂബ് - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, OY അക്ഷത്തിന് മുകളിലുള്ള ഒരു വരിയും OY അക്ഷത്തിന് താഴെയുള്ള ഒരു വരിയുമാണ് ചതുരം; ഒരു ക്യൂബ് XOY പ്ലെയിനിന് മുന്നിൽ ഒരു ചതുരവും പിന്നിൽ ഒന്ന്; XOYZ വോളിയത്തിന്റെ മറുവശത്തുള്ള ഒരു ക്യൂബ് ആണ് ടെസെറാക്റ്റ്, ഈ വശത്ത് ഒന്ന്. എന്നാൽ ഒന്നിന്റെയും മൈനസിന്റെയും ഈ ആൾട്ടർനേഷൻ ഒരു കോളത്തിൽ എഴുതിയാൽ മനസ്സിലാക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്.

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

ആദ്യ നിരയിൽ, ഒന്ന്, മൈനസ് ഒന്ന് എന്നിവ ഒന്നിടവിട്ട്. രണ്ടാമത്തെ നിരയിൽ, ആദ്യം രണ്ട് പ്ലസ് ഉണ്ട്, പിന്നെ രണ്ട് മൈനസുകൾ. മൂന്നാമത്തേതിൽ - നാല് പ്ലസ് വൺ, തുടർന്ന് നാല് മൈനസ്. ഇവ ക്യൂബിന്റെ ശിഖരങ്ങളായിരുന്നു. ടെസറാക്ടിൽ അവയിൽ രണ്ടിരട്ടിയുണ്ട്, അതിനാൽ അവ പ്രഖ്യാപിക്കാൻ ഒരു ലൂപ്പ് എഴുതേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അല്ലാത്തപക്ഷം ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്.

എന്റെ പ്രോഗ്രാമിന് അനഗ്ലിഫ് വരയ്ക്കാനും കഴിയും. 3D ഗ്ലാസുകളുടെ സന്തോഷമുള്ള ഉടമകൾക്ക് ഒരു സ്റ്റീരിയോസ്കോപ്പിക് ചിത്രം നിരീക്ഷിക്കാൻ കഴിയും. ഒരു ചിത്രം വരയ്ക്കുന്നതിൽ തന്ത്രപ്രധാനമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല; വലത്, ഇടത് കണ്ണുകൾക്കായി നിങ്ങൾ വിമാനത്തിലേക്ക് രണ്ട് പ്രൊജക്ഷനുകൾ വരയ്ക്കുക. എന്നാൽ പ്രോഗ്രാം കൂടുതൽ ദൃശ്യപരവും രസകരവുമാണ്, ഏറ്റവും പ്രധാനമായി, ഇത് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ലോകത്തെക്കുറിച്ചുള്ള മികച്ച ആശയം നൽകുന്നു.

ചുവപ്പ് നിറത്തിലുള്ള അരികുകളിൽ ഒന്നിന്റെ പ്രകാശം കുറഞ്ഞ പ്രധാന പ്രവർത്തനങ്ങൾ, അതിലൂടെ തിരിവുകൾ നന്നായി കാണാൻ കഴിയും, അതുപോലെ തന്നെ ചെറിയ സൗകര്യങ്ങൾ - "കണ്ണ്" പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ നിയന്ത്രണം, തിരിവിന്റെ വേഗത വർദ്ധിപ്പിക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

പ്രോഗ്രാം, സോഴ്സ് കോഡ്, ഉപയോഗത്തിനുള്ള നിർദ്ദേശങ്ങൾ എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് ആർക്കൈവ് ചെയ്യുക.

ജ്യാമിതിയിൽ ഹൈപ്പർക്യൂബ്- ഈ എൻ-ഒരു ചതുരത്തിന്റെ ഡൈമൻഷണൽ സാമ്യം ( എൻ= 2) ഒപ്പം ക്യൂബ് ( എൻ= 3). ചിത്രത്തിന്റെ എതിർ അരികുകളിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന സമാന്തര വരകളുടെ ഗ്രൂപ്പുകൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു അടഞ്ഞ കോൺവെക്സ് രൂപമാണിത്, കൂടാതെ വലത് കോണുകളിൽ പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഈ കണക്ക് എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു ടെസറാക്ട്(ടെസറാക്ട്). ക്യൂബ് ചതുരത്തിലുള്ളതുപോലെ ടെസെറാക്റ്റ് ക്യൂബിലേക്കാണ്. കൂടുതൽ ഔപചാരികമായി, എട്ട് ക്യുബിക് സെല്ലുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു സാധാരണ കോൺവെക്സ് ഫോർ-ഡൈമൻഷണൽ പോളിടോപ്പ് (പോളിഹെഡ്രോൺ) എന്ന് ടെസറാക്ടിനെ വിശേഷിപ്പിക്കാം.

ഓക്‌സ്‌ഫോർഡ് ഇംഗ്ലീഷ് നിഘണ്ടു പ്രകാരം, 1888-ൽ ചാൾസ് ഹോവാർഡ് ഹിന്റൺ "ടെസെറാക്റ്റ്" എന്ന വാക്ക് സൃഷ്ടിച്ചു, കൂടാതെ "എ ന്യൂ എറ ഓഫ് ചിന്ത" എന്ന തന്റെ പുസ്തകത്തിൽ ഉപയോഗിച്ചു. ഗ്രീക്ക് പദമായ "τεσσερες ακτινες" ("നാല് കിരണങ്ങൾ"), നാല് കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ നിന്നാണ് ഈ വാക്ക് ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്. കൂടാതെ, ചില സ്രോതസ്സുകളിൽ, അതേ കണക്ക് വിളിച്ചിരുന്നു ടെട്രാക്യൂബ്(ടെട്രാക്യൂബ്).

എൻ-ഡൈമൻഷണൽ ഹൈപ്പർക്യൂബ് എന്നും വിളിക്കുന്നു n-ക്യൂബ്.

ഒരു പോയിന്റ് ഡൈമൻഷൻ 0 ന്റെ ഒരു ഹൈപ്പർക്യൂബ് ആണ്. നിങ്ങൾ പോയിന്റിനെ ഒരു യൂണിറ്റ് നീളം കൊണ്ട് മാറ്റുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് യൂണിറ്റ് നീളത്തിന്റെ ഒരു സെഗ്‌മെന്റ് ലഭിക്കും - ഡൈമൻഷൻ 1 ന്റെ ഒരു ഹൈപ്പർക്യൂബ്. കൂടാതെ, നിങ്ങൾ സെഗ്‌മെന്റിനെ ഒരു യൂണിറ്റ് നീളം കൊണ്ട് ലംബമായ ദിശയിലേക്ക് മാറ്റുകയാണെങ്കിൽ. സെഗ്‌മെന്റിന്റെ ദിശയിലേക്ക്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ക്യൂബ് ലഭിക്കും - ഡൈമൻഷൻ 2-ന്റെ ഒരു ഹൈപ്പർക്യൂബ്. ചതുരത്തിന്റെ തലത്തിലേക്ക് ലംബമായ ദിശയിൽ ചതുരത്തെ ഒരു യൂണിറ്റ് നീളത്തിൽ മാറ്റുമ്പോൾ, ഒരു ക്യൂബ് ലഭിക്കും - അളവിന്റെ ഒരു ഹൈപ്പർക്യൂബ് 3. ഈ പ്രക്രിയ എത്ര അളവുകളിലേക്കും സാമാന്യവൽക്കരിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ നാലാമത്തെ മാനത്തിൽ ഒരു ക്യൂബിനെ ഒരു യൂണിറ്റ് നീളത്തിൽ നീക്കിയാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ടെസെറാക്റ്റ് ലഭിക്കും.

ഹൈപ്പർക്യൂബ് കുടുംബം ഏത് അളവിലും പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ചുരുക്കം സാധാരണ പോളിഹെഡ്രകളിൽ ഒന്നാണ്.

ഒരു ഹൈപ്പർക്യൂബിന്റെ ഘടകങ്ങൾ

ഡൈമൻഷൻ ഹൈപ്പർക്യൂബ് എൻ 2 ഉണ്ട് എൻ"വശങ്ങൾ" (ഏകമാന രേഖയ്ക്ക് 2 പോയിന്റ് ഉണ്ട്; ദ്വിമാന ചതുരത്തിന് 4 വശങ്ങളുണ്ട്; ത്രിമാന ക്യൂബിന് 6 മുഖങ്ങളുണ്ട്; ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ടെസറാക്ടിന് 8 സെല്ലുകളുണ്ട്). ഒരു ഹൈപ്പർക്യൂബിന്റെ ലംബങ്ങളുടെ (പോയിന്റ്) എണ്ണം 2 ആണ് എൻ(ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ക്യൂബിന് - 2 3 ലംബങ്ങൾ).

അളവ് എം-അതിർത്തിയിലെ ഡൈമൻഷണൽ ഹൈപ്പർക്യൂബുകൾ എൻ-ക്യൂബ് തുല്യമാണ്

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഹൈപ്പർക്യൂബിന്റെ അതിർത്തിയിൽ 8 ക്യൂബുകൾ, 24 ചതുരങ്ങൾ, 32 അരികുകൾ, 16 ലംബങ്ങൾ എന്നിവയുണ്ട്.

ഹൈപ്പർക്യൂബുകളുടെ ഘടകങ്ങൾ

n-ക്യൂബ്	പേര്	വെർട്ടക്സ് (0-മുഖം)	എഡ്ജ് (1-മുഖം)	എഡ്ജ് (2-മുഖം)	സെൽ (3-മുഖം)	(4-മുഖം)	(5-മുഖം)	(6-വശങ്ങളുള്ള)	(7-മുഖം)	(8-മുഖം)
0-ക്യൂബ്	ഡോട്ട്	1
1-ക്യൂബ്	ലൈൻ സെഗ്മെന്റ്	2	1
2-ക്യൂബ്	സമചതുരം Samachathuram	4	4	1
3-ക്യൂബ്	ക്യൂബ്	8	12	6	1
4-ക്യൂബ്	ടെസറാക്റ്റ്	16	32	24	8	1
5-ക്യൂബ്	പെന്ററാക്റ്റ്	32	80	80	40	10	1
6-ക്യൂബ്	ഹെക്‌സെറാക്റ്റ്	64	192	240	160	60	12	1
7-ക്യൂബ്	ഹെപ്റ്ററാക്റ്റ്	128	448	672	560	280	84	14	1
8-ക്യൂബ്	ഒക്ടരാക്റ്റ്	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-ക്യൂബ്	Eneract	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

ഒരു വിമാനത്തിലേക്കുള്ള പ്രൊജക്ഷൻ

ഒരു ഹൈപ്പർക്യൂബിന്റെ രൂപീകരണം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

• A, B എന്നീ രണ്ട് പോയിൻറുകൾ ബന്ധിപ്പിച്ച് AB എന്ന ലൈൻ സെഗ്‌മെന്റ് ഉണ്ടാക്കാം.
• രണ്ട് സമാന്തര സെഗ്‌മെന്റുകൾ എബിയും സിഡിയും ബന്ധിപ്പിച്ച് ഒരു സ്‌ക്വയർ എബിസിഡി രൂപപ്പെടുത്താം.
• ABCD, EFGH എന്നീ രണ്ട് സമാന്തര സ്ക്വയറുകളെ ബന്ധിപ്പിച്ച് ABCDEFGH ക്യൂബ് ഉണ്ടാക്കാം.
• ABCDEFGH, IJKLMNOP എന്നീ രണ്ട് സമാന്തര ക്യൂബുകളെ ബന്ധിപ്പിച്ച് ABCDEFGHIJKLMNOP എന്ന ഹൈപ്പർക്യൂബ് രൂപപ്പെടുത്താം.

പിന്നീടുള്ള ഘടന ദൃശ്യവൽക്കരിക്കാൻ എളുപ്പമല്ല, പക്ഷേ അതിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ദ്വിമാന അല്ലെങ്കിൽ ത്രിമാന സ്ഥലത്തേക്ക് ചിത്രീകരിക്കാൻ കഴിയും. മാത്രമല്ല, പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്ത ലംബങ്ങളുടെ സ്ഥാനങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നതിലൂടെ ഒരു ദ്വിമാന തലത്തിലേക്കുള്ള പ്രൊജക്ഷനുകൾ കൂടുതൽ ഉപയോഗപ്രദമാകും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ടെസെരാക്റ്റിനുള്ളിലെ മൂലകങ്ങളുടെ സ്പേഷ്യൽ ബന്ധങ്ങളെ ഇനി പ്രതിഫലിപ്പിക്കാത്ത ഇമേജുകൾ നേടാനാകും, പക്ഷേ ചുവടെയുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളിലെന്നപോലെ വെർട്ടെക്സ് കണക്ഷനുകളുടെ ഘടന ചിത്രീകരിക്കുക.

തത്വത്തിൽ, രണ്ട് ക്യൂബുകൾ ചേർന്ന് ഒരു ടെസറാക്റ്റ് എങ്ങനെ രൂപപ്പെടുന്നുവെന്ന് ആദ്യ ചിത്രം കാണിക്കുന്നു. ഈ സ്കീം രണ്ട് സ്ക്വയറുകളിൽ നിന്ന് ഒരു ക്യൂബ് സൃഷ്ടിക്കുന്നതിനുള്ള സ്കീമിന് സമാനമാണ്. ടെസറാക്ടിന്റെ എല്ലാ അരികുകളും ഒരേ നീളമാണെന്ന് രണ്ടാമത്തെ ഡയഗ്രം കാണിക്കുന്നു. പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ക്യൂബുകൾക്കായി തിരയാനും ഈ സ്കീം നിങ്ങളെ പ്രേരിപ്പിക്കുന്നു. മൂന്നാമത്തെ ഡയഗ്രാമിൽ, ടെസെറാക്റ്റിന്റെ ലംബങ്ങൾ താഴത്തെ പോയിന്റുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ മുഖങ്ങളിലുള്ള ദൂരത്തിന് അനുസൃതമായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു. ഈ സ്കീം രസകരമാണ്, കാരണം സമാന്തര കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് ഓർഗനൈസുചെയ്യുമ്പോൾ പ്രോസസറുകൾ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള നെറ്റ്‌വർക്ക് ടോപ്പോളജിയുടെ അടിസ്ഥാന സ്കീമായി ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു: ഏതെങ്കിലും രണ്ട് നോഡുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം 4 എഡ്ജ് നീളത്തിൽ കവിയരുത്, കൂടാതെ ലോഡ് ബാലൻസ് ചെയ്യുന്നതിന് നിരവധി വ്യത്യസ്ത പാതകളുണ്ട്.

കലയിൽ ഹൈപ്പർക്യൂബ്

1940 മുതൽ സയൻസ് ഫിക്ഷൻ സാഹിത്യത്തിൽ ഹൈപ്പർക്യൂബ് പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു, "ആൻഡ് ഹി ബിൽറ്റ് എ ക്രൂക്ക്ഡ് ഹൗസ്" എന്ന കഥയിൽ റോബർട്ട് ഹെയ്ൻലൈൻ ഒരു ടെസറാക്റ്റ് സ്കാനിന്റെ രൂപത്തിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു വീടിനെ വിവരിച്ചപ്പോൾ. കഥയിൽ, ഈ അടുത്തത്, ഈ വീട് തകർന്നു, ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ടെസറാക്ടായി മാറുന്നു. ഇതിനുശേഷം, ഹൈപ്പർക്യൂബ് നിരവധി പുസ്തകങ്ങളിലും ചെറുകഥകളിലും പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു.

ക്യൂബ് 2: ഹൈപ്പർക്യൂബ് എന്ന സിനിമ ഹൈപ്പർക്യൂബുകളുടെ ശൃംഖലയിൽ കുടുങ്ങിയ എട്ട് പേരെക്കുറിച്ചാണ്.

സാൽവഡോർ ഡാലിയുടെ "ക്രൂസിഫിക്‌ഷൻ (കോർപ്പസ് ഹൈപ്പർക്യൂബസ്)", 1954 ലെ പെയിന്റിംഗ്, ഒരു ടെസറാക്റ്റ് സ്കാനിൽ ക്രൂശിക്കപ്പെട്ട യേശുവിനെ ചിത്രീകരിക്കുന്നു. ന്യൂയോർക്കിലെ മെട്രോപൊളിറ്റൻ മ്യൂസിയം ഓഫ് ആർട്ടിൽ ഈ ചിത്രം കാണാം.

ഉപസംഹാരം

ഒരു ഹൈപ്പർക്യൂബ് ഏറ്റവും ലളിതമായ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വസ്തുക്കളിൽ ഒന്നാണ്, അതിൽ നിന്ന് നാലാമത്തെ മാനത്തിന്റെ സങ്കീർണ്ണതയും അസാധാരണത്വവും കാണാൻ കഴിയും. ത്രിമാനങ്ങളിൽ അസാധ്യമെന്ന് തോന്നുന്നത് നാലിൽ സാധ്യമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, അസാധ്യമായ കണക്കുകൾ. അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, നാല് അളവിലുള്ള അസാധ്യമായ ത്രികോണത്തിന്റെ ബാറുകൾ വലത് കോണുകളിൽ ബന്ധിപ്പിക്കും. ഈ കണക്ക് എല്ലാ വ്യൂവിംഗ് പോയിന്റുകളിൽ നിന്നും ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും, ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് അസാധ്യമായ ഒരു ത്രികോണം നടപ്പിലാക്കുന്നതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി വികലമാകില്ല (കാണുക.