വീട് › വിവിധ › ഒരു വിമാന രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക. നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ

ഒരു വിമാന രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക. നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ

നമ്മൾ ഇപ്പോൾ ഇന്റഗ്രൽ കാൽക്കുലസിന്റെ പ്രയോഗങ്ങളുടെ പരിഗണനയിലേക്ക് തിരിയുന്നു. ഈ പാഠത്തിൽ, ഞങ്ങൾ സാധാരണവും ഏറ്റവും സാധാരണവുമായ ഒരു ജോലി വിശകലനം ചെയ്യും. ഒരു നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പരന്ന രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നു. അവസാനമായി, ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അർത്ഥം തേടുന്ന എല്ലാവരും - അവർ അത് കണ്ടെത്തട്ടെ. നിങ്ങൾക്കറിയില്ല. യഥാർത്ഥ ജീവിതത്തിൽ, പ്രാഥമിക ഫംഗ്ഷനുകളുള്ള ഒരു വേനൽക്കാല കോട്ടേജ് നിങ്ങൾ ഏകദേശം കണക്കാക്കുകയും ഒരു പ്രത്യേക ഇന്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് അതിന്റെ പ്രദേശം കണ്ടെത്തുകയും വേണം.

മെറ്റീരിയൽ വിജയകരമായി മാസ്റ്റർ ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്യണം:

1) കുറഞ്ഞത് ഒരു ഇന്റർമീഡിയറ്റ് തലത്തിലെങ്കിലും അനിശ്ചിത ഇന്റഗ്രൽ മനസ്സിലാക്കുക. അതിനാൽ, ഡമ്മികൾ ആദ്യം പാഠം വായിക്കണം അല്ല.

2) ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാനും കൃത്യമായ ഇന്റഗ്രൽ കണക്കാക്കാനും കഴിയും. ഊഷ്മളമായി ഉണ്ടാക്കുക സൗഹൃദ ബന്ധങ്ങൾകൃത്യമായ ഇന്റഗ്രലുകൾ പേജിൽ കാണാം നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ. പരിഹാര ഉദാഹരണങ്ങൾ. "ഒരു നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് ഏരിയ കണക്കാക്കുക" എന്ന ടാസ്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു ഡ്രോയിംഗിന്റെ നിർമ്മാണം ഉൾക്കൊള്ളുന്നുഅതിനാൽ, നിങ്ങളുടെ അറിവും ഡ്രോയിംഗ് കഴിവുകളും ഒരു അടിയന്തിര പ്രശ്നമായിരിക്കും. ചുരുങ്ങിയത്, ഒരു നേർരേഖയും പരവലയവും ഒരു ഹൈപ്പർബോളയും നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയണം.

നമുക്ക് ഒരു കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം. ചില ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു പരന്ന രൂപമാണ് കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡ് വൈ = എഫ്(x), അക്ഷം OXവരികളും x = എ; x = ബി.

ഒരു കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം സംഖ്യാപരമായി ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്

ഏതൊരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിനും (നിലവിലുള്ളത്) വളരെ നല്ല ജ്യാമിതീയ അർത്ഥമുണ്ട്. പാഠത്തിൽ നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ. പരിഹാര ഉദാഹരണങ്ങൾഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യഘടകം ഒരു സംഖ്യയാണെന്ന് ഞങ്ങൾ പറഞ്ഞു. ഇപ്പോൾ മറ്റൊന്ന് പറയേണ്ട സമയമായി ഉപയോഗപ്രദമായ വസ്തുത. ജ്യാമിതിയുടെ വീക്ഷണകോണിൽ, കൃത്യമായ അവിഭാജ്യഘടകം ഏരിയയാണ്. അതാണ്, നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ (അതു നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ) ജ്യാമിതീയമായി ചില രൂപങ്ങളുടെ വിസ്തൃതിയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത പരിഗണിക്കുക

ഇന്റഗ്രാൻഡ്

വിമാനത്തിൽ ഒരു വക്രം നിർവചിക്കുന്നു (ആവശ്യമെങ്കിൽ അത് വരയ്ക്കാം), കൂടാതെ കൃത്യമായ ഇന്റഗ്രൽ തന്നെ സംഖ്യാപരമായി ബന്ധപ്പെട്ട കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 1

, , , .

ഇതൊരു സാധാരണ ടാസ്ക് പ്രസ്താവനയാണ്. തീരുമാനത്തിന്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം ഒരു ഡ്രോയിംഗിന്റെ നിർമ്മാണമാണ്. മാത്രമല്ല, ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കണം വലത്.

ഒരു ബ്ലൂപ്രിന്റ് നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഓർഡർ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു: ആദ്യംഎല്ലാ ലൈനുകളും നിർമ്മിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് (എന്തെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ) മാത്രം പിന്നെ- പരാബോളകൾ, ഹൈപ്പർബോളുകൾ, മറ്റ് പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകൾ. പോയിന്റ്വൈസ് നിർമ്മാണത്തിന്റെ സാങ്കേതികത ഇതിൽ കാണാം റഫറൻസ് മെറ്റീരിയൽ പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകളും ഗുണങ്ങളും. ഞങ്ങളുടെ പാഠവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് വളരെ ഉപയോഗപ്രദമായ മെറ്റീരിയലും അവിടെ നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും - ഒരു പരവലയം എങ്ങനെ വേഗത്തിൽ നിർമ്മിക്കാം.

ഈ പ്രശ്നത്തിൽ, പരിഹാരം ഇതുപോലെയാകാം.

നമുക്ക് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം (സമവാക്യം ശ്രദ്ധിക്കുക വൈ= 0 അക്ഷം വ്യക്തമാക്കുന്നു OX):

ഞങ്ങൾ കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡ് വിരിയിക്കില്ല, ഏത് പ്രദേശമാണെന്ന് ഇവിടെ വ്യക്തമാണ് ചോദ്യത്തിൽ. പരിഹാരം ഇതുപോലെ തുടരുന്നു:

ഇടവേളയിൽ [-2; 1] ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് വൈ = x 2 + 2 സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു അച്ചുതണ്ടിന് മുകളിൽOX, അതുകൊണ്ടാണ്:

ഉത്തരം: .

കൃത്യമായ ഇന്റഗ്രൽ കണക്കാക്കാനും ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാനും ആർക്കാണ് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളത്

പ്രഭാഷണം റഫർ ചെയ്യുക നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ. പരിഹാര ഉദാഹരണങ്ങൾ. ടാസ്ക് പൂർത്തിയാക്കിയ ശേഷം, ഡ്രോയിംഗ് നോക്കി ഉത്തരം യഥാർത്ഥമാണോ എന്ന് കണ്ടെത്തുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും ഉപയോഗപ്രദമാണ്. IN ഈ കാര്യം“കണ്ണുകൊണ്ട്” ഞങ്ങൾ ഡ്രോയിംഗിലെ സെല്ലുകളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കുന്നു - ശരി, ഏകദേശം 9 ടൈപ്പ് ചെയ്യും, അത് ശരിയാണെന്ന് തോന്നുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ഉണ്ടെങ്കിൽ, പറയുക: 20 ചതുരശ്ര യൂണിറ്റുകൾ, പിന്നെ, വ്യക്തമായും, എവിടെയെങ്കിലും ഒരു തെറ്റ് സംഭവിച്ചു - 20 സെല്ലുകൾ സംശയാസ്പദമായ കണക്കുമായി യോജിക്കുന്നില്ല, പരമാവധി ഒരു ഡസൻ. ഉത്തരം നെഗറ്റീവ് ആയി മാറിയെങ്കിൽ, ടാസ്‌കും തെറ്റായി പരിഹരിച്ചു.

ഉദാഹരണം 2

വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക xy = 4, x = 2, x= 4 ഒപ്പം അച്ചുതണ്ട് OX.

ഇത് സ്വയം ചെയ്യേണ്ട ഒരു ഉദാഹരണമാണ്. പൂർണ്ണമായ പരിഹാരവും പാഠത്തിന്റെ അവസാനം ഉത്തരവും.

കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യണം അച്ചുതണ്ടിന് കീഴിൽOX?

ഉദാഹരണം 3

വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക വൈ = e-x, x= 1 ഒപ്പം കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളും.

പരിഹാരം: നമുക്ക് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം:

ഒരു curvilinear trapezoid ആണെങ്കിൽ പൂർണ്ണമായും അച്ചുതണ്ടിന് കീഴിൽ OX , അപ്പോൾ അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം:

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ:

ശ്രദ്ധ! രണ്ട് തരത്തിലുള്ള ജോലികൾ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുത്:

1) ജ്യാമിതീയ അർത്ഥമില്ലാതെ ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ ഘടകത്തെ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെട്ടാൽ, അത് നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കാം.

2) ഒരു നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെട്ടാൽ, ആ പ്രദേശം എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആണ്! അതുകൊണ്ടാണ് ഇപ്പോൾ പരിഗണിച്ച ഫോർമുലയിൽ മൈനസ് ദൃശ്യമാകുന്നത്.

പ്രായോഗികമായി, മിക്കപ്പോഴും ഈ ചിത്രം മുകളിലും താഴെയുമുള്ള അർദ്ധവിമാനങ്ങളിലാണ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത്, അതിനാൽ, ലളിതമായ സ്കൂൾ പ്രശ്നങ്ങളിൽ നിന്ന്, ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ അർത്ഥവത്തായ ഉദാഹരണങ്ങളിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.

ഉദാഹരണം 4

വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു വിമാനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക വൈ = 2x – x 2 , വൈ = -x.

പരിഹാരം: ആദ്യം നിങ്ങൾ ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കണം. ഏരിയ പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഒരു ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ലൈനുകളുടെ ഇന്റർസെക്ഷൻ പോയിന്റുകളിൽ ഞങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ താൽപ്പര്യമുണ്ട്. പരവലയത്തിന്റെ കവല പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക വൈ = 2x – x 2 നേരെയും വൈ = -x. ഇത് രണ്ട് തരത്തിൽ ചെയ്യാം. ആദ്യ വഴി വിശകലനമാണ്. ഞങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു:

അതിനാൽ ഏകീകരണത്തിന്റെ താഴ്ന്ന പരിധി എ= 0, സംയോജനത്തിന്റെ ഉയർന്ന പരിധി ബി= 3. പോയിന്റ് ബൈ പോയിന്റ് ലൈനുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നത് പലപ്പോഴും കൂടുതൽ ലാഭകരവും വേഗവുമാണ്, അതേസമയം സംയോജനത്തിന്റെ പരിധികൾ "സ്വയം" എന്നപോലെ കണ്ടെത്തുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഗ്രാഫ് ആവശ്യത്തിന് വലുതാണെങ്കിൽ, അല്ലെങ്കിൽ ത്രെഡ് ചെയ്ത നിർമ്മാണം സംയോജനത്തിന്റെ പരിധികൾ വെളിപ്പെടുത്തിയില്ലെങ്കിൽ (അവ ഫ്രാക്ഷണൽ അല്ലെങ്കിൽ അയുക്തികമാകാം) പരിധികൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള വിശകലന രീതി ചിലപ്പോൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ചുമതലയിലേക്ക് മടങ്ങുന്നു: ആദ്യം ഒരു നേർരേഖ നിർമ്മിക്കുന്നത് കൂടുതൽ യുക്തിസഹമാണ്, അതിനുശേഷം മാത്രമേ ഒരു പരവലയമുള്ളൂ. നമുക്ക് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം:

പോയിന്റ്വൈസ് നിർമ്മാണത്തിൽ, സംയോജനത്തിന്റെ പരിധികൾ മിക്കപ്പോഴും "യാന്ത്രികമായി" കണ്ടെത്തുമെന്ന് ഞങ്ങൾ ആവർത്തിക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ പ്രവർത്തന സൂത്രവാക്യം:

വിഭാഗത്തിലാണെങ്കിൽ [ എ; ബി] ചില തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനം എഫ്(x) അതിലും വലുതോ തുല്യമോചില തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനം ജി(x), തുടർന്ന് അനുബന്ധ രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം:

ഇവിടെ, ചിത്രം എവിടെയാണെന്ന് ചിന്തിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല - അക്ഷത്തിന് മുകളിലോ അക്ഷത്തിന് താഴെയോ, പക്ഷേ ഏത് ചാർട്ടാണ് മുകളിലുള്ളത് എന്നത് പ്രധാനമാണ്(മറ്റൊരു ഗ്രാഫുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്), കൂടാതെ ഏതാണ് താഴെയുള്ളത്.

പരിഗണനയിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, സെഗ്‌മെന്റിൽ പരവലയം നേർരേഖയ്ക്ക് മുകളിലായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്നുവെന്നത് വ്യക്തമാണ്, അതിനാൽ 2 മുതൽ x – x 2 കുറയ്ക്കണം - x.

പരിഹാരത്തിന്റെ പൂർത്തീകരണം ഇതുപോലെയാകാം:

ആവശ്യമുള്ള ചിത്രം ഒരു പരവലയത്താൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു വൈ = 2x – x 2 മുകളിലും നേരെയും വൈ = -xതാഴെ നിന്ന്.

സെഗ്മെന്റ് 2 ൽ x – x 2 ≥ -x. അനുബന്ധ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്:

ഉത്തരം: .

വാസ്തവത്തിൽ, താഴത്തെ അർദ്ധ-തലത്തിലുള്ള ഒരു കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ സ്കൂൾ ഫോർമുല (ഉദാഹരണ നമ്പർ 3 കാണുക) പ്രത്യേക കേസ്സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

അച്ചുതണ്ട് മുതൽ OXസമവാക്യം നൽകിയിട്ടുണ്ട് വൈ= 0, കൂടാതെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ജി(x) അക്ഷത്തിന് താഴെ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു OX, അത്

ഇപ്പോൾ ഒരു സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം 5

ഉദാഹരണം 6

വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

ഒരു പ്രത്യേക ഇന്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് പ്രദേശം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനിടയിൽ, ചിലപ്പോൾ ഒരു രസകരമായ സംഭവം സംഭവിക്കുന്നു. ഡ്രോയിംഗ് ശരിയായി നിർമ്മിച്ചു, കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ശരിയായിരുന്നു, പക്ഷേ, അശ്രദ്ധ കാരണം, ... തെറ്റായ രൂപത്തിന്റെ പ്രദേശം കണ്ടെത്തി.

ഉദാഹരണം 7

നമുക്ക് ആദ്യം വരയ്ക്കാം:

നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ട പ്രദേശം നീല നിറത്തിലാണ്.(അവസ്ഥ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നോക്കുക - കണക്ക് എങ്ങനെ പരിമിതമാണ്!). എന്നാൽ പ്രായോഗികമായി, അശ്രദ്ധ കാരണം, ഷേഡുള്ള രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തണമെന്ന് അവർ പലപ്പോഴും തീരുമാനിക്കുന്നു. പച്ച നിറത്തിൽ!

ഈ ഉദാഹരണം ഉപയോഗപ്രദമാണ്, അതിൽ ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം രണ്ട് കൃത്യമായ ഇന്റഗ്രലുകൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു. ശരിക്കും:

1) സെഗ്മെന്റിൽ [-1; 1] ആക്സിലിന് മുകളിൽ OXഗ്രാഫ് നേരായതാണ് വൈ = x+1;

2) അക്ഷത്തിന് മുകളിലുള്ള സെഗ്മെന്റിൽ OXഹൈപ്പർബോളയുടെ ഗ്രാഫ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു വൈ = (2/x).

പ്രദേശങ്ങൾ ചേർക്കാൻ കഴിയുമെന്നത് വളരെ വ്യക്തമാണ്, അതിനാൽ:

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 8

വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക

സമവാക്യങ്ങൾ "സ്കൂൾ" രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കാം

കൂടാതെ ലൈൻ ഡ്രോയിംഗ് ചെയ്യുക:

ഞങ്ങളുടെ ഉയർന്ന പരിധി "നല്ലത്" ആണെന്ന് ഡ്രോയിംഗിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയും: ബി = 1.

എന്നാൽ കുറഞ്ഞ പരിധി എന്താണ്? ഇതൊരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്, പക്ഷേ എന്താണ്?

ഒരുപക്ഷേ, എ=(-1/3)? എന്നാൽ ഡ്രോയിംഗ് തികഞ്ഞ കൃത്യതയോടെയാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത് എന്നതിന്റെ ഉറപ്പ് എവിടെയാണ്, അത് മാറിയേക്കാം എ=(-1/4). ഗ്രാഫ് ശരിയാക്കിയില്ലെങ്കിലോ?

അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഒരാൾ കൂടുതൽ സമയം ചെലവഴിക്കുകയും സംയോജനത്തിന്റെ പരിധികൾ വിശകലനപരമായി പരിഷ്കരിക്കുകയും വേണം.

ഗ്രാഫുകളുടെ ഇന്റർസെക്ഷൻ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു:

അതിനാൽ, എ=(-1/3).

ഇനിയുള്ള പരിഹാരം നിസ്സാരമാണ്. പകരം വയ്ക്കുന്നതിലും അടയാളങ്ങളിലും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകരുത് എന്നതാണ് പ്രധാന കാര്യം. ഇവിടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ എളുപ്പമല്ല. വിഭാഗത്തിൽ

, ,

അനുബന്ധ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്:

ഉത്തരം:

പാഠത്തിന്റെ സമാപനത്തിൽ, കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള രണ്ട് ജോലികൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.

ഉദാഹരണം 9

പരിഹാരം: ഡ്രോയിംഗിൽ ഈ ചിത്രം വരയ്ക്കുക.

പോയിന്റ്-ബൈ-പോയിന്റ് ഡ്രോയിംഗിനായി, നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് രൂപം sinusoids. പൊതുവേ, എല്ലാ പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെയും ഗ്രാഫുകളും സൈനിന്റെ ചില മൂല്യങ്ങളും അറിയുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്. അവ മൂല്യങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ കാണാം ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ . ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ (ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ), ഒരു സ്കീമാറ്റിക് ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കാൻ അനുവദിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിൽ ഗ്രാഫുകളും സംയോജന പരിധികളും തത്വത്തിൽ ശരിയായി പ്രദർശിപ്പിക്കണം.

ഇവിടെ സംയോജന പരിധികളിൽ പ്രശ്നങ്ങളൊന്നുമില്ല, അവ വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്നു:

- "x" പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് "പൈ" ആയി മാറുന്നു. ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ തീരുമാനം എടുക്കുന്നു:

സെഗ്മെന്റിൽ, ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് വൈ= പാപം 3 xഅക്ഷത്തിന് മുകളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു OX, അതുകൊണ്ടാണ്:

(1) സൈനുകളും കോസൈനുകളും വിചിത്ര ശക്തികളിൽ എങ്ങനെ സംയോജിപ്പിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പാഠത്തിൽ കാണാൻ കഴിയും ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സംയോജനം. ഞങ്ങൾ ഒരു സൈൻ പിഞ്ച് ചെയ്യുന്നു.

(2) ഫോമിൽ ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി ഐഡന്റിറ്റി ഉപയോഗിക്കുന്നു

(3) നമുക്ക് വേരിയബിൾ മാറ്റാം ടി= കോസ് x, പിന്നെ: അക്ഷത്തിന് മുകളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, അങ്ങനെ:

കുറിപ്പ്:ക്യൂബിലെ സ്‌പർശകത്തിന്റെ അവിഭാജ്യഘടകം എങ്ങനെയാണ് എടുക്കുന്നതെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക, ഇവിടെ അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി ഐഡന്റിറ്റിയുടെ അനന്തരഫലമാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്

വാസ്തവത്തിൽ, ഒരു രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് അനിശ്ചിതവും നിശ്ചിതവുമായ അവിഭാജ്യത്തെക്കുറിച്ച് വളരെയധികം അറിവ് ആവശ്യമില്ല. "ഒരു നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് ഏരിയ കണക്കാക്കുക" എന്ന ടാസ്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു ഡ്രോയിംഗിന്റെ നിർമ്മാണം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അതിനാൽ നിങ്ങളുടെ അറിവും ഡ്രോയിംഗ് കഴിവുകളും കൂടുതൽ പ്രസക്തമായ ഒരു പ്രശ്നമായിരിക്കും. ഇക്കാര്യത്തിൽ, പ്രധാന പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകളുടെ മെമ്മറി പുതുക്കാൻ ഇത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്, കൂടാതെ, കുറഞ്ഞത്, ഒരു നേർരേഖയും ഒരു ഹൈപ്പർബോളയും നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും.

ഈ ഇടവേളയിൽ അടയാളം മാറ്റാത്ത ഒരു സെഗ്‌മെന്റിലെ ഒരു അച്ചുതണ്ട്, നേർരേഖകൾ, തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഗ്രാഫ് എന്നിവയാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു പരന്ന രൂപമാണ് ഒരു കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡ്. ഈ കണക്ക് സ്ഥിതിചെയ്യട്ടെ കുറവല്ല abscissa:

പിന്നെ ഒരു കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം സംഖ്യാപരമായി ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഏതൊരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിനും (നിലവിലുള്ളത്) വളരെ നല്ല ജ്യാമിതീയ അർത്ഥമുണ്ട്.

ജ്യാമിതിയുടെ കാര്യത്തിൽ, കൃത്യമായ അവിഭാജ്യഘടകം ഏരിയയാണ്.

അതാണ്,നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ ഘടകം (അത് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ) ചില രൂപങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണവുമായി ജ്യാമിതീയമായി യോജിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ ഘടകം പരിഗണിക്കുക. ഇന്റഗ്രാൻഡ് അച്ചുതണ്ടിന് മുകളിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന തലത്തിലെ ഒരു വക്രത്തെ നിർവചിക്കുന്നു (ആഗ്രഹിക്കുന്നവർക്ക് ഡ്രോയിംഗ് പൂർത്തിയാക്കാൻ കഴിയും), കൂടാതെ കൃത്യമായ ഇന്റഗ്രൽ തന്നെ സംഖ്യാപരമായി ബന്ധപ്പെട്ട കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 1

ഇതൊരു സാധാരണ ടാസ്ക് പ്രസ്താവനയാണ്. ആദ്യം ഒപ്പം നിർണായക പോയിന്റ്പരിഹാരങ്ങൾ - ഒരു ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കുക. മാത്രമല്ല, ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കണം വലത്.

ഈ പ്രശ്നത്തിൽ, പരിഹാരം ഇതുപോലെയാകാം.
നമുക്ക് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം (സമവാക്യം അക്ഷത്തെ നിർവചിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക):

സെഗ്മെന്റിൽ, ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു അച്ചുതണ്ടിന് മുകളിൽ, അതുകൊണ്ടാണ്:

ഉത്തരം:

ടാസ്ക് പൂർത്തിയാക്കിയ ശേഷം, ഡ്രോയിംഗ് നോക്കി ഉത്തരം യഥാർത്ഥമാണോ എന്ന് കണ്ടെത്തുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും ഉപയോഗപ്രദമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, "കണ്ണുകൊണ്ട്" ഞങ്ങൾ ഡ്രോയിംഗിലെ സെല്ലുകളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കുന്നു - ശരി, ഏകദേശം 9 ടൈപ്പ് ചെയ്യും, അത് ശരിയാണെന്ന് തോന്നുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ഉണ്ടെങ്കിൽ, പറയുക: 20 ചതുരശ്ര യൂണിറ്റുകൾ, അപ്പോൾ, വ്യക്തമായും, എവിടെയെങ്കിലും ഒരു തെറ്റ് സംഭവിച്ചു - 20 സെല്ലുകൾ സംശയാസ്പദമായ കണക്കുമായി യോജിക്കുന്നില്ല, പരമാവധി ഒരു ഡസൻ. ഉത്തരം നെഗറ്റീവ് ആയി മാറിയെങ്കിൽ, ടാസ്‌കും തെറ്റായി പരിഹരിച്ചു.

ഉദാഹരണം 3

വരകളും കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളും കൊണ്ട് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം: നമുക്ക് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം:

കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നുണ്ടെങ്കിൽ അച്ചുതണ്ടിന് കീഴിൽ(കുറഞ്ഞപക്ഷം ഉയർന്നതല്ലനൽകിയ അക്ഷം), തുടർന്ന് അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം:

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ:

ശ്രദ്ധ! രണ്ട് തരത്തിലുള്ള ജോലികൾ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുത്:

ഉദാഹരണം 4

വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു പരന്ന രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം: ആദ്യം നിങ്ങൾ ഡ്രോയിംഗ് പൂർത്തിയാക്കേണ്ടതുണ്ട്. പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, ഏരിയ പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഒരു ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ലൈനുകളുടെ ഇന്റർസെക്ഷൻ പോയിന്റുകളിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്. പരവലയത്തിന്റെയും രേഖയുടെയും വിഭജന പോയിന്റുകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. ഇത് രണ്ട് തരത്തിൽ ചെയ്യാം. ആദ്യ വഴി വിശകലനമാണ്. ഞങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു:

അതിനാൽ, സംയോജനത്തിന്റെ താഴ്ന്ന പരിധി, സംയോജനത്തിന്റെ ഉയർന്ന പരിധി.

സാധ്യമെങ്കിൽ ഈ രീതി ഉപയോഗിക്കാതിരിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്..

പോയിന്റ് ബൈ പോയിന്റ് ലൈനുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നത് കൂടുതൽ ലാഭകരവും വേഗതയുള്ളതുമാണ്, അതേസമയം സംയോജനത്തിന്റെ പരിധികൾ "സ്വയം" എന്നപോലെ കണ്ടെത്തുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഗ്രാഫ് ആവശ്യത്തിന് വലുതാണെങ്കിൽ, അല്ലെങ്കിൽ ത്രെഡ് ചെയ്ത നിർമ്മാണം സംയോജനത്തിന്റെ പരിധികൾ വെളിപ്പെടുത്തിയില്ലെങ്കിൽ (അവ ഫ്രാക്ഷണൽ അല്ലെങ്കിൽ അയുക്തികമാകാം) പരിധികൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള വിശകലന രീതി ചിലപ്പോൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. കൂടാതെ, ഞങ്ങൾ അത്തരമൊരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കും.

ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ചുമതലയിലേക്ക് മടങ്ങുന്നു: ആദ്യം ഒരു നേർരേഖ നിർമ്മിക്കുന്നത് കൂടുതൽ യുക്തിസഹമാണ്, അതിനുശേഷം മാത്രമേ ഒരു പരവലയമുള്ളൂ. നമുക്ക് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം:

ഇപ്പോൾ പ്രവർത്തന സൂത്രവാക്യം: ഇടവേളയിൽ എന്തെങ്കിലും തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനം ഉണ്ടെങ്കിൽ അതിലും വലുതോ തുല്യമോചില തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനം, പിന്നെ ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം, ചാർട്ട്-ലിമിറ്റഡ്ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെയും നേർരേഖകളുടെയും , ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും:

ഈ ചിത്രം എവിടെയാണെന്ന് ചിന്തിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല - അക്ഷത്തിന് മുകളിലോ അക്ഷത്തിന് താഴെയോ, ഏകദേശം പറഞ്ഞാൽ, ഏത് ചാർട്ടാണ് മുകളിലുള്ളത് എന്നത് പ്രധാനമാണ്(മറ്റൊരു ഗ്രാഫുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്), കൂടാതെ ഏതാണ് താഴെയുള്ളത്.

പരിഗണനയിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, സെഗ്‌മെന്റിൽ പരവലയം നേർരേഖയ്ക്ക് മുകളിലാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതിനാൽ അതിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരത്തിന്റെ പൂർത്തീകരണം ഇതുപോലെയാകാം:

ആവശ്യമുള്ള ചിത്രം മുകളിൽ നിന്ന് ഒരു പരവലയവും താഴെ നിന്ന് ഒരു നേർരേഖയും കൊണ്ട് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.
സെഗ്മെന്റിൽ, അനുബന്ധ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്:

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 4

വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക, , , .

പരിഹാരം: ആദ്യം നമുക്ക് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം:

നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ട പ്രദേശം നീല നിറത്തിലാണ്.(അവസ്ഥ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നോക്കുക - കണക്ക് എങ്ങനെ പരിമിതമാണ്!). എന്നാൽ പ്രായോഗികമായി, അശ്രദ്ധ കാരണം, പച്ച നിറത്തിൽ ഷേഡുള്ള രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ട ഒരു "തടസ്സം" പലപ്പോഴും സംഭവിക്കാറുണ്ട്!

ഈ ഉദാഹരണം ഉപയോഗപ്രദമാണ്, അതിൽ ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം രണ്ട് കൃത്യമായ ഇന്റഗ്രലുകൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു.

ശരിക്കും:

1) അക്ഷത്തിന് മുകളിലുള്ള സെഗ്മെന്റിൽ ഒരു നേർരേഖ ഗ്രാഫ് ഉണ്ട്;

2) അക്ഷത്തിന് മുകളിലുള്ള സെഗ്മെന്റിൽ ഒരു ഹൈപ്പർബോള ഗ്രാഫ് ഉണ്ട്.

പ്രദേശങ്ങൾ ചേർക്കാൻ കഴിയുമെന്നത് വളരെ വ്യക്തമാണ്, അതിനാൽ:

സൈറ്റിൽ ഗണിത സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ ചേർക്കാം?

നിങ്ങൾക്ക് എപ്പോഴെങ്കിലും ഒരു വെബ് പേജിലേക്ക് ഒന്നോ രണ്ടോ ഗണിത സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ചേർക്കണമെങ്കിൽ, ലേഖനത്തിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഇത് ചെയ്യാനുള്ള എളുപ്പവഴി: വോൾഫ്രാം ആൽഫ യാന്ത്രികമായി സൃഷ്ടിക്കുന്ന ചിത്രങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ ഗണിത സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സൈറ്റിലേക്ക് എളുപ്പത്തിൽ തിരുകുന്നു. ലാളിത്യം കൂടാതെ, ഈ സാർവത്രിക രീതി തിരയൽ എഞ്ചിനുകളിൽ സൈറ്റിന്റെ ദൃശ്യപരത മെച്ചപ്പെടുത്താൻ സഹായിക്കും. ഇത് വളരെക്കാലമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു (ഇത് എന്നേക്കും പ്രവർത്തിക്കുമെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു), പക്ഷേ ഇത് ധാർമ്മികമായി കാലഹരണപ്പെട്ടതാണ്.

നിങ്ങളുടെ സൈറ്റിൽ നിങ്ങൾ നിരന്തരം ഗണിത സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ, MathML, LaTeX അല്ലെങ്കിൽ ASCIIMathML മാർക്ക്അപ്പ് ഉപയോഗിച്ച് വെബ് ബ്രൗസറുകളിൽ ഗണിത നൊട്ടേഷൻ പ്രദർശിപ്പിക്കുന്ന പ്രത്യേക JavaScript ലൈബ്രറിയായ MathJax ഉപയോഗിക്കാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

MathJax ഉപയോഗിച്ച് തുടങ്ങാൻ രണ്ട് വഴികളുണ്ട്: (1) ഒരു ലളിതമായ കോഡ് ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങളുടെ സൈറ്റിലേക്ക് ഒരു MathJax സ്ക്രിപ്റ്റ് വേഗത്തിൽ കണക്റ്റുചെയ്യാനാകും, അത് ശരിയായ സമയത്ത് ഒരു റിമോട്ട് സെർവറിൽ നിന്ന് സ്വയമേവ ലോഡ് ചെയ്യും (സെർവറുകളുടെ പട്ടിക); (2) നിങ്ങളുടെ സെർവറിലേക്ക് ഒരു റിമോട്ട് സെർവറിൽ നിന്ന് MathJax സ്‌ക്രിപ്റ്റ് അപ്‌ലോഡ് ചെയ്‌ത് നിങ്ങളുടെ സൈറ്റിന്റെ എല്ലാ പേജുകളിലേക്കും അത് കണക്‌റ്റ് ചെയ്യുക. രണ്ടാമത്തെ രീതി കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണവും സമയമെടുക്കുന്നതുമാണ്, നിങ്ങളുടെ സൈറ്റിന്റെ പേജുകൾ ലോഡുചെയ്യുന്നത് വേഗത്തിലാക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കും, ചില കാരണങ്ങളാൽ പാരന്റ് MathJax സെർവർ താൽക്കാലികമായി ലഭ്യമല്ലെങ്കിൽ, ഇത് നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം സൈറ്റിനെ ഒരു തരത്തിലും ബാധിക്കില്ല. ഈ ഗുണങ്ങൾ ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, ഞാൻ ആദ്യ രീതി തിരഞ്ഞെടുത്തു, കാരണം ഇത് ലളിതവും വേഗതയേറിയതും സാങ്കേതിക വൈദഗ്ധ്യം ആവശ്യമില്ല. എന്റെ ഉദാഹരണം പിന്തുടരുക, 5 മിനിറ്റിനുള്ളിൽ നിങ്ങൾക്ക് നിങ്ങളുടെ വെബ്‌സൈറ്റിൽ MathJax-ന്റെ എല്ലാ സവിശേഷതകളും ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയും.

പ്രധാന MathJax വെബ്‌സൈറ്റിൽ നിന്നോ ഡോക്യുമെന്റേഷൻ പേജിൽ നിന്നോ എടുത്ത രണ്ട് കോഡ് ഓപ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു റിമോട്ട് സെർവറിൽ നിന്ന് MathJax ലൈബ്രറി സ്ക്രിപ്റ്റ് കണക്റ്റുചെയ്യാനാകും:

ഈ കോഡ് ഓപ്‌ഷനുകളിലൊന്ന് നിങ്ങളുടെ വെബ് പേജിന്റെ കോഡിലേക്ക് പകർത്തി ഒട്ടിക്കേണ്ടതുണ്ട്, വെയിലത്ത് ടാഗുകൾക്കിടയിൽ ഒപ്പംഅല്ലെങ്കിൽ ടാഗിന് തൊട്ടുപിന്നാലെ . ആദ്യ ഓപ്ഷൻ അനുസരിച്ച്, MathJax വേഗത്തിൽ ലോഡുചെയ്യുകയും പേജിന്റെ വേഗത കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ ഓപ്ഷൻ MathJax-ന്റെ ഏറ്റവും പുതിയ പതിപ്പുകൾ സ്വയമേവ ട്രാക്ക് ചെയ്യുകയും ലോഡ് ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു. നിങ്ങൾ ആദ്യ കോഡ് ചേർക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് ഇടയ്ക്കിടെ അപ്ഡേറ്റ് ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. നിങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ കോഡ് ഒട്ടിച്ചാൽ, പേജുകൾ കൂടുതൽ സാവധാനത്തിൽ ലോഡുചെയ്യും, പക്ഷേ നിങ്ങൾ MathJax അപ്‌ഡേറ്റുകൾ നിരന്തരം നിരീക്ഷിക്കേണ്ടതില്ല.

MathJax കണക്റ്റുചെയ്യാനുള്ള എളുപ്പവഴി Blogger-ലോ WordPress-ലോ ആണ്: സൈറ്റ് കൺട്രോൾ പാനലിൽ, മൂന്നാം കക്ഷി JavaScript കോഡ് ചേർക്കാൻ രൂപകൽപ്പന ചെയ്‌ത ഒരു വിജറ്റ് ചേർക്കുക, മുകളിലെ ലോഡ് കോഡിന്റെ ആദ്യ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടാമത്തെ പതിപ്പ് അതിലേക്ക് പകർത്തി വിജറ്റ് അടുത്ത് വയ്ക്കുക. ടെംപ്ലേറ്റിന്റെ ആരംഭം (വഴിയിൽ, ഇത് ആവശ്യമില്ല , കാരണം MathJax സ്ക്രിപ്റ്റ് അസമന്വിതമായി ലോഡ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു). അത്രയേയുള്ളൂ. ഇപ്പോൾ MathML, LaTeX, ASCIIMathML മാർക്ക്അപ്പ് സിന്റാക്സ് എന്നിവ പഠിക്കുക, നിങ്ങളുടെ വെബ് പേജുകളിൽ ഗണിത സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുത്താൻ നിങ്ങൾ തയ്യാറാണ്.

ഏതെങ്കിലും ഫ്രാക്റ്റൽ ഒരു നിശ്ചിത നിയമമനുസരിച്ചാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, അത് തുടർച്ചയായി പരിധിയില്ലാത്ത തവണ പ്രയോഗിക്കുന്നു. അത്തരം ഓരോ സമയത്തെയും ആവർത്തനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

മെംഗർ സ്പോഞ്ച് നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ആവർത്തന അൽഗോരിതം വളരെ ലളിതമാണ്: വശം 1 ഉള്ള യഥാർത്ഥ ക്യൂബിനെ അതിന്റെ മുഖങ്ങൾക്ക് സമാന്തരമായി 27 തുല്യ ക്യൂബുകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരു സെൻട്രൽ ക്യൂബും അതിനോട് ചേർന്നുള്ള 6 ക്യൂബുകളും അതിൽ നിന്ന് നീക്കംചെയ്യുന്നു. ശേഷിക്കുന്ന 20 ചെറിയ ക്യൂബുകൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു സെറ്റായി ഇത് മാറുന്നു. ഈ ക്യൂബുകളിൽ ഓരോന്നിലും ഇത് ചെയ്യുന്നതിലൂടെ, 400 ചെറിയ ക്യൂബുകൾ അടങ്ങിയ ഒരു സെറ്റ് നമുക്ക് ലഭിക്കും. ഈ പ്രക്രിയ അനിശ്ചിതമായി തുടരുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് മെംഗർ സ്പോഞ്ച് ലഭിക്കും.

ഇരട്ട ഇന്റഗ്രൽ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള യഥാർത്ഥ പ്രക്രിയ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കാനും അതിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം പരിചയപ്പെടാനും തുടങ്ങുന്നു.

ഇരട്ട ഇന്റഗ്രൽ ഒരു ഫ്ലാറ്റ് ഫിഗറിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് (ഏകീകരണ മേഖല) സംഖ്യാപരമായി തുല്യമാണ്. ഈ ഏറ്റവും ലളിതമായ രൂപംരണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ പ്രവർത്തനം ഒന്നിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ ഇരട്ട അവിഭാജ്യമാണ്: .

ആദ്യം നമുക്ക് പ്രശ്നം പരിഗണിക്കാം പൊതുവായ കാഴ്ച. ഇത് ശരിക്കും എത്ര ലളിതമാണെന്ന് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ആശ്ചര്യപ്പെടും! വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു പരന്ന രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം നമുക്ക് കണക്കാക്കാം. കൃത്യതയ്ക്കായി, ഞങ്ങൾ അത് ഇടവേളയിൽ അനുമാനിക്കുന്നു. ഈ ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം സംഖ്യാപരമായി ഇതിന് തുല്യമാണ്:

ഡ്രോയിംഗിലെ പ്രദേശം നമുക്ക് ചിത്രീകരിക്കാം:

പ്രദേശം മറികടക്കുന്നതിനുള്ള ആദ്യ മാർഗം നമുക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കാം:

അങ്ങനെ:

ഉടൻ തന്നെ ഒരു പ്രധാന സാങ്കേതിക തന്ത്രം: ആവർത്തിച്ചുള്ള ഇന്റഗ്രലുകൾ പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കാം. ആദ്യം ആന്തരിക ഇന്റഗ്രൽ, പിന്നെ ബാഹ്യ ഇന്റഗ്രൽ. ടീപ്പോട്ടുകളിൽ തുടക്കക്കാർക്ക് ഈ രീതി വളരെ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

1) ഇന്റേണൽ ഇന്റഗ്രൽ കണക്കാക്കുക, അതേസമയം "y" എന്ന വേരിയബിളിലൂടെയാണ് സംയോജനം നടത്തുന്നത്:

ഇവിടെ അനിശ്ചിതത്വ സംയോജനം ഏറ്റവും ലളിതമാണ്, തുടർന്ന് നിസ്സാരമായ ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഒരേയൊരു വ്യത്യാസമുണ്ട് സംയോജനത്തിന്റെ പരിധി അക്കങ്ങളല്ല, മറിച്ച് പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്. ആദ്യം, ഞങ്ങൾ മുകളിലെ പരിധി "y" (ആന്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ) ആയി മാറ്റി, തുടർന്ന് താഴ്ന്ന പരിധി

2) ആദ്യ ഖണ്ഡികയിൽ ലഭിച്ച ഫലം ബാഹ്യ ഇന്റഗ്രലിലേക്ക് പകരം വയ്ക്കണം:

മുഴുവൻ പരിഹാരത്തിനും കൂടുതൽ കോം‌പാക്റ്റ് നൊട്ടേഷൻ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫോർമുല - "സാധാരണ" നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഫ്ലാറ്റ് ഫിഗറിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തന സൂത്രവാക്യമാണിത്! പാഠം കാണുക ഒരു നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് ഏരിയ കണക്കാക്കുന്നു, ഓരോ തിരിവിലും അവൾ അവിടെയുണ്ട്!

അതാണ്, ഇരട്ട ഇന്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് ഏരിയ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം അല്പം വ്യത്യസ്തമാണ്ഒരു നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് പ്രദേശം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തിൽ നിന്ന്!വാസ്തവത്തിൽ, അവർ ഒന്നുതന്നെയാണ്!

അതനുസരിച്ച്, ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാകരുത്! വാസ്തവത്തിൽ, നിങ്ങൾ ഈ പ്രശ്നം ആവർത്തിച്ച് നേരിട്ടതിനാൽ ഞാൻ നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കില്ല.

ഉദാഹരണം 9

പരിഹാരം:ഡ്രോയിംഗിലെ പ്രദേശം നമുക്ക് ചിത്രീകരിക്കാം:

പ്രദേശത്തിന്റെ യാത്രയുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന ക്രമം നമുക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കാം:

ഇവിടെയും താഴെയും, ഒരു പ്രദേശം എങ്ങനെ സഞ്ചരിക്കാം എന്നതിലേക്ക് ഞാൻ പോകുന്നില്ല, കാരണം ആദ്യ ഖണ്ഡിക വളരെ വിശദമായിരുന്നു.

അങ്ങനെ:

ഞാൻ ഇതിനകം സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, തുടക്കക്കാർക്ക് ആവർത്തിച്ചുള്ള ഇന്റഗ്രലുകൾ വെവ്വേറെ കണക്കാക്കുന്നതാണ് നല്ലത്, ഞാൻ അതേ രീതി പാലിക്കും:

1) ആദ്യം, ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ ആന്തരിക ഇന്റഗ്രൽ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു:

2) ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ ലഭിച്ച ഫലം ബാഹ്യ ഇന്റഗ്രലിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

പോയിന്റ് 2 യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു നിശ്ചിത ഇന്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പരന്ന രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുകയാണ്.

ഉത്തരം:

അത്തരമൊരു മണ്ടത്തരവും നിഷ്കളങ്കവുമായ ഒരു ജോലി ഇതാ.

ഒരു സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള രസകരമായ ഉദാഹരണം:

ഉദാഹരണം 10

ഇരട്ട ഇന്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച്, വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു തലം രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക, ,

സാമ്പിൾ സാമ്പിൾപാഠത്തിന്റെ അവസാനം പരിഹാരം അന്തിമമാക്കുന്നു.

ഉദാഹരണങ്ങൾ 9-10-ൽ, പ്രദേശം ബൈപാസ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ആദ്യ മാർഗം ഉപയോഗിക്കുന്നത് കൂടുതൽ ലാഭകരമാണ്, ജിജ്ഞാസയുള്ള വായനക്കാർക്ക്, വഴിയിൽ, ബൈപാസിന്റെ ക്രമം മാറ്റാനും രണ്ടാമത്തെ രീതിയിൽ പ്രദേശങ്ങൾ കണക്കാക്കാനും കഴിയും. നിങ്ങൾ ഒരു തെറ്റ് ചെയ്യുന്നില്ലെങ്കിൽ, സ്വാഭാവികമായും, അതേ ഏരിയ മൂല്യങ്ങൾ ലഭിക്കും.

എന്നാൽ ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, പ്രദേശം ബൈപാസ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള രണ്ടാമത്തെ മാർഗം കൂടുതൽ ഫലപ്രദമാണ്, കൂടാതെ യുവ നെർഡിന്റെ കോഴ്സിന്റെ സമാപനത്തിൽ, ഈ വിഷയത്തിൽ കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ കൂടി നോക്കാം:

ഉദാഹരണം 11

ഇരട്ട ഇന്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച്, വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു തലം രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം:രണ്ട് പരവലയങ്ങൾ അവയുടെ വശത്ത് കിടക്കുന്ന കാറ്റിനൊപ്പം ഞങ്ങൾ കാത്തിരിക്കുകയാണ്. പുഞ്ചിരിക്കേണ്ടതില്ല, ഒന്നിലധികം ഇന്റഗ്രലുകളിൽ സമാനമായ കാര്യങ്ങൾ പലപ്പോഴും കണ്ടുമുട്ടാറുണ്ട്.

ഒരു ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കാനുള്ള എളുപ്പവഴി എന്താണ്?

നമുക്ക് പരവലയത്തെ രണ്ട് പ്രവർത്തനങ്ങളായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം:
- മുകളിലെ ശാഖയും - താഴത്തെ ശാഖയും.

അതുപോലെ, ഒരു പരവലയത്തെ മുകളിലും താഴെയുമായി സങ്കൽപ്പിക്കുക ശാഖകൾ.

അടുത്തതായി, പോയിന്റ്-ബൈ-പോയിന്റ് പ്ലോട്ടിംഗ് ഡ്രൈവുകൾ, അത്തരമൊരു വിചിത്രമായ രൂപത്തിന് കാരണമാകുന്നു:

ഫോർമുല അനുസരിച്ച് ഇരട്ട ഇന്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ചാണ് ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നത്:

പ്രദേശം മറികടക്കാൻ ഞങ്ങൾ ആദ്യ വഴി തിരഞ്ഞെടുത്താൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? ആദ്യം, ഈ പ്രദേശം രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കേണ്ടതുണ്ട്. രണ്ടാമതായി, ഈ സങ്കടകരമായ ചിത്രം ഞങ്ങൾ നിരീക്ഷിക്കും: . ഇന്റഗ്രലുകൾ, തീർച്ചയായും, ഒരു സൂപ്പർ കോംപ്ലക്സ് ലെവലിൽ അല്ല, പക്ഷേ ... ഒരു പഴയ ഗണിതശാസ്ത്ര ചൊല്ലുണ്ട്: വേരുകളോട് സൗഹൃദമുള്ളവർക്ക് ഒരു സെറ്റ് ഓഫ് ആവശ്യമില്ല.

അതിനാൽ, വ്യവസ്ഥയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന തെറ്റിദ്ധാരണയിൽ നിന്ന്, ഞങ്ങൾ വിപരീത പ്രവർത്തനങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:

വിപരീത പ്രവർത്തനങ്ങൾവി ഈ ഉദാഹരണംഇലകൾ, അക്രോൺസ്, ശാഖകൾ, വേരുകൾ എന്നിവയില്ലാതെ അവ ഉടനടി മുഴുവൻ പരവലയവും സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന നേട്ടമുണ്ട്.

രണ്ടാമത്തെ രീതി അനുസരിച്ച്, പ്രദേശത്തിന്റെ സഞ്ചാരം ഇനിപ്പറയുന്നതായിരിക്കും:

അങ്ങനെ:

അവർ പറയുന്നതുപോലെ, വ്യത്യാസം അനുഭവിക്കുക.

1) ഞങ്ങൾ ആന്തരിക ഇന്റഗ്രൽ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു:

ഞങ്ങൾ ഫലം ബാഹ്യ ഇന്റഗ്രലിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

"y" എന്ന വേരിയബിളിന് മേലുള്ള സംയോജനം ലജ്ജാകരമായിരിക്കരുത്, "zyu" എന്ന അക്ഷരം ഉണ്ടെങ്കിൽ - അതിന് മുകളിൽ സംയോജിപ്പിക്കുന്നത് വളരെ മികച്ചതായിരിക്കും. പാഠത്തിന്റെ രണ്ടാം ഖണ്ഡിക ആരാണ് വായിച്ചതെങ്കിലും വിപ്ലവത്തിന്റെ ഒരു ശരീരത്തിന്റെ അളവ് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം, "y" ന് മേലുള്ള സംയോജനത്തിൽ അയാൾക്ക് ചെറിയ നാണക്കേട് അനുഭവപ്പെടില്ല.

ആദ്യ ഘട്ടത്തിലേക്കും ശ്രദ്ധിക്കുക: ഇന്റഗ്രാൻഡ് ഈവൻ ആണ്, കൂടാതെ ഇന്റഗ്രേഷൻ സെഗ്‌മെന്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, സെഗ്മെന്റ് പകുതിയായി കുറയ്ക്കാം, ഫലം ഇരട്ടിയാക്കാം. ഈ സാങ്കേതികതപാഠത്തിൽ വിശദമായി അഭിപ്രായപ്പെട്ടു ഫലപ്രദമായ രീതികൾഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ.

എന്ത് ചേർക്കണം.... എല്ലാം!

ഉത്തരം:

നിങ്ങളുടെ ഇന്റഗ്രേഷൻ ടെക്നിക് പരിശോധിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് കണക്കുകൂട്ടാൻ ശ്രമിക്കാം . ഉത്തരം കൃത്യമായിരിക്കണം.

ഉദാഹരണം 12

ഇരട്ട ഇന്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച്, വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു തലം രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക

ഇത് സ്വയം ചെയ്യേണ്ട ഒരു ഉദാഹരണമാണ്. പ്രദേശം മറികടക്കാൻ നിങ്ങൾ ആദ്യ മാർഗം ഉപയോഗിക്കാൻ ശ്രമിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ചിത്രം ഇനി രണ്ടായി വിഭജിക്കില്ല, മൂന്ന് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കപ്പെടും എന്നത് ശ്രദ്ധേയമാണ്! അതനുസരിച്ച്, നമുക്ക് മൂന്ന് ജോഡി ആവർത്തിച്ചുള്ള ഇന്റഗ്രലുകൾ ലഭിക്കും. ചിലപ്പോൾ അത് സംഭവിക്കുന്നു.

മാസ്റ്റർ ക്ലാസ് അവസാനിച്ചു, ഗ്രാൻഡ്മാസ്റ്റർ തലത്തിലേക്ക് നീങ്ങാനുള്ള സമയമാണിത് - ഇരട്ട ഇന്റഗ്രൽ എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം? പരിഹാര ഉദാഹരണങ്ങൾ. രണ്ടാമത്തെ ലേഖനത്തിൽ ഞാൻ അത്ര ഭ്രാന്തനാകാതിരിക്കാൻ ശ്രമിക്കും =)

ഞാൻ നിങ്ങൾക്കു വിജയം നേരുന്നു!

പരിഹാരങ്ങളും ഉത്തരങ്ങളും:

ഉദാഹരണം 2:പരിഹാരം: ഒരു പ്രദേശം വരയ്ക്കുക ഡ്രോയിംഗിൽ:

പ്രദേശത്തിന്റെ യാത്രയുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന ക്രമം നമുക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കാം:

അങ്ങനെ:
നമുക്ക് വിപരീത പ്രവർത്തനങ്ങളിലേക്ക് പോകാം:

അങ്ങനെ:
ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 4:പരിഹാരം: നമുക്ക് നേരിട്ടുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളിലേക്ക് പോകാം:

നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗ് നടപ്പിലാക്കാം:

പ്രദേശത്തിന്റെ സഞ്ചാര ക്രമം മാറ്റാം:

ഉത്തരം:

എ)

പരിഹാരം.

തീരുമാനത്തിന്റെ ആദ്യത്തേതും പ്രധാനപ്പെട്ടതുമായ നിമിഷം ഒരു ഡ്രോയിംഗിന്റെ നിർമ്മാണമാണ്.

നമുക്ക് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം:

സമവാക്യം y=0 x-അക്ഷം സജ്ജമാക്കുന്നു;

- x=-2 ഒപ്പം x=1 - നേരായ, അച്ചുതണ്ടിന് സമാന്തരമായി OU;

- y \u003d x 2 +2 - ഒരു പരവലയം, അതിന്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു, പോയിന്റിൽ ഒരു ശീർഷകം (0;2).

അഭിപ്രായം.ഒരു പരവലയം നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അതിന്റെ കവലയുടെ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ ഇത് മതിയാകും, അതായത്. ഇടുന്നു x=0 അച്ചുതണ്ടുമായി കവല കണ്ടെത്തുക ഒ.യു ഉചിതം തീരുമാനിക്കുന്നതും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, അച്ചുതണ്ടുമായി കവല കണ്ടെത്തുക ഓ .

സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പരവലയത്തിന്റെ ശീർഷകം കണ്ടെത്താം:

നിങ്ങൾക്ക് വരികൾ വരയ്ക്കാനും പോയിന്റ് ബൈ പോയിന്റ് ചെയ്യാനും കഴിയും.

ഇടവേളയിൽ [-2;1] ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് y=x 2 +2 സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത് അച്ചുതണ്ടിന് മുകളിൽ കാള , അതുകൊണ്ടാണ്:

ഉത്തരം: എസ് \u003d 9 ചതുരശ്ര യൂണിറ്റുകൾ

കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യണം അച്ചുതണ്ടിന് കീഴിൽ ഓ?

b)വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക y=-e x , x=1 കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളും.

പരിഹാരം.

നമുക്ക് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം.

ഒരു curvilinear trapezoid ആണെങ്കിൽ പൂർണ്ണമായും അച്ചുതണ്ടിന് കീഴിൽ ഓ , അപ്പോൾ അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം:

ഉത്തരം: എസ്=(ഇ-1) ചതുരശ്ര യൂണിറ്റ്" 1.72 ചതുരശ്ര യൂണിറ്റ്

ശ്രദ്ധ! രണ്ട് തരത്തിലുള്ള ജോലികൾ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുത്:

പ്രായോഗികമായി, മിക്കപ്പോഴും ചിത്രം മുകളിലും താഴെയുമുള്ള അർദ്ധവിമാനങ്ങളിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്.

കൂടെ)വരകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു വിമാനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

പരിഹാരം.

ആദ്യം നിങ്ങൾ ഒരു ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്. പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, ഏരിയ പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഒരു ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ലൈനുകളുടെ ഇന്റർസെക്ഷൻ പോയിന്റുകളിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്. പരവലയത്തിന്റെ കവല പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക നേരിട്ടും ഇത് രണ്ട് തരത്തിൽ ചെയ്യാം. ആദ്യ വഴി വിശകലനമാണ്.

ഞങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു:

അതിനാൽ ഏകീകരണത്തിന്റെ താഴ്ന്ന പരിധി a=0 , സംയോജനത്തിന്റെ ഉയർന്ന പരിധി b=3 .

ഞങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന വരികൾ നിർമ്മിക്കുന്നു: 1. പരാബോള - പോയിന്റിൽ വെർട്ടെക്സ് (1;1); അച്ചുതണ്ട് കവല ഓ -പോയിന്റുകൾ (0;0), (0;2). 2. നേർരേഖ - 2-ഉം 4-ഉം കോർഡിനേറ്റ് കോണുകളുടെ ബൈസെക്ടർ. ഇപ്പോൾ ശ്രദ്ധിക്കുക! വിഭാഗത്തിലാണെങ്കിൽ [ എ;ബി] ചില തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനം f(x)ചില തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങളേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ g(x), അപ്പോൾ അനുബന്ധ രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം: .

ചിത്രം എവിടെയാണ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത് എന്നത് പ്രശ്നമല്ല - അക്ഷത്തിന് മുകളിലോ അക്ഷത്തിന് താഴെയോ, എന്നാൽ ഏത് ചാർട്ട് ഉയർന്നതാണ് (മറ്റൊരു ചാർട്ടുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ), ഏതാണ് ചുവടെയുള്ളത് എന്നത് പ്രധാനമാണ്. പരിഗണനയിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, സെഗ്‌മെന്റിൽ പരവലയം നേർരേഖയ്ക്ക് മുകളിലാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതിനാൽ അതിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പോയിന്റ് ബൈ പോയിന്റ് ലൈനുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നത് സാധ്യമാണ്, അതേസമയം സംയോജനത്തിന്റെ പരിധികൾ "സ്വയം" എന്നപോലെ കണ്ടെത്തുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഗ്രാഫ് ആവശ്യത്തിന് വലുതാണെങ്കിൽ, അല്ലെങ്കിൽ ത്രെഡ് ചെയ്ത നിർമ്മാണം സംയോജനത്തിന്റെ പരിധികൾ വെളിപ്പെടുത്തിയില്ലെങ്കിൽ (അവ ഫ്രാക്ഷണൽ അല്ലെങ്കിൽ അയുക്തികമാകാം) പരിധികൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള വിശകലന രീതി ചിലപ്പോൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്.