Таны өмнө гурван хаалга байна. Монти Холлын парадокс - сонголт хийх магадлал нэмэгдэж байгаагийн тайлбар

Сугалааны тухай

Энэ тоглоом удаан хугацааны туршид олон нийтийн шинж чанартай болж, салшгүй хэсэг болсон орчин үеийн амьдрал. Хэдийгээр сугалаа улам бүр өргөжин тэлж байгаа ч олон хүмүүс үүнийг зүгээр л баяжих арга гэж үздэг. Үнэгүй, найдвартай биш байг. Нөгөөтэйгүүр, Жек Лондонгийн баатруудын нэг тэмдэглэснээр мөрийтэй тоглоомБаримтуудыг тооцохгүй байж болохгүй - хүмүүс заримдаа азтай байдаг.

Кейсийн математик. Магадлалын онолын түүх

Александр Буфетов

Физик-математикийн шинжлэх ухааны доктор, хөтлөгчийн лекцийн хуулбар, видео бичлэг судлаачСтекловын нэрэмжит Математикийн хүрээлэн, IPTP RAS-ийн тэргүүлэх эрдэм шинжилгээний ажилтан, Эдийн засгийн дээд сургуулийн Математикийн факультетийн профессор, судалгааны захирал Үндэсний төв Шинжлэх ухааны судалгаа 2014 оны 2-р сарын 6-нд Полит.ругийн олон нийтийн лекцүүдийн нэг хэсэг болох Францад (CNRS) Александр Буфетов.

Тогтмол байдлын хуурмаг: Санамсаргүй байдал яагаад байгалийн бус юм шиг санагддаг вэ?

Бидний санамсаргүй, тогтмол, боломжгүй зүйлийн талаархи санаа нь статистик, магадлалын онолын мэдээллээс ихэвчлэн зөрж байдаг. "Төгс бус боломж. Санамсаргүй алгоритмууд яагаад ийм хачирхалтай харагддаг, iPod дээр дууг "санамсаргүй" холих нь юу болдог, хувьцааны шинжээчийн амжилтыг юу тодорхойлдог талаар Америкийн физикч, шинжлэх ухааныг дэлгэрүүлэгч Леонард Млодинов ярьжээ. Онол ба практик номноос хэсэгчлэн нийтэлжээ.

Детерминизм

Детерминизм бол шинжлэх ухааны ерөнхий ойлголт ба философиДэлхий дээр болж буй бүх үзэгдэл, үйл явцын учир шалтгаан, зүй тогтол, удамшлын холбоо, харилцан үйлчлэл, нөхцөл байдлын тухай.

Бурхан бол статистик юм

Беркли дэх Калифорнийн Их Сургуулийн статистикийн профессор Дебора Нолан оюутнуудаасаа эхлээд харахад маш хачирхалтай даалгавар хийхийг шаарджээ. Эхний бүлэг нь зоосыг зуун удаа шидэж, үр дүнг бичих ёстой: толгой эсвэл сүүл. Хоёр дахь нь түүнийг зоос шидэж байна гэж төсөөлж, мөн олон зуун "төсөөллийн" үр дүнгийн жагсаалтыг гаргах ёстой.

Детерминизм гэж юу вэ

Хэрэв системийн анхны нөхцөлүүд мэдэгдэж байгаа бол байгалийн хуулиудыг ашиглан түүний эцсийн төлөвийг урьдчилан таамаглах боломжтой.

Сонгодог сүйт бүсгүйн асуудал

Хусейн-Заде С.М.

Зеногийн парадокс

Сансар огторгуйн нэг цэгээс нөгөө цэгт хүрэх боломжтой юу? Эртний Грекийн философич Зено Елеа энэ хөдөлгөөнийг огт хийх боломжгүй гэж үздэг байсан ч тэр үүнийг хэрхэн маргасан бэ? Колм Келлер Зеногийн алдарт парадоксыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар ярьж байна.

Хязгааргүй олонлогийн парадоксууд

Хязгааргүй олон өрөөтэй зочид буудлыг төсөөлөөд үз дээ. Ирээдүйн зочдод хязгааргүй тооны автобус ирдэг. Гэхдээ бүгдийг нь байрлуулах нь тийм ч хялбар биш юм. Энэ бол эцэс төгсгөлгүй бэрхшээл бөгөөд зочдод эцэс төгсгөлгүй ядардаг. Хэрэв та даалгавраа даван туулж чадахгүй бол хязгааргүй их мөнгө алдаж болно! Юу хийх вэ?

Хүүхдийн өндөр нь эцэг эхийн өндрөөс хамаардаг

Мэдээжийн хэрэг залуу эцэг эхчүүд хүүхдээ насанд хүрсэн хойноо хэр өндөр болохыг мэдэхийг хүсдэг. Математик статистик нь зөвхөн аав, ээжийн өндрийг үндэслэн хүүхдийн өндрийг ойролцоогоор тооцоолох энгийн шугаман хамаарлыг санал болгож, мөн ийм тооцооны үнэн зөвийг харуулж чадна.

Монти Холлын парадокс бол магадлалын онолын хамгийн алдартай парадокс юм. Үүний олон хувилбар байдаг, жишээлбэл, гурван хоригдлын парадокс. Мөн энэ парадоксын олон тайлбар, тайлбар байдаг. Гэхдээ энд би зөвхөн албан ёсны тайлбар биш, Монти Холл болон түүн шиг хүмүүсийн парадокс юу болж байгааг "бие махбодийн" үндэслэлээр харуулахыг хүсч байна.

Сонгодог үг хэллэг нь:

"Чи тоглоомонд байна. Таны өмнө гурван хаалга байна. Тэдний нэг нь шагналтай. Хөтлөгч таныг шагнал хаана байгааг таахыг урьж байна. Та аль нэг хаалгыг зааж өгнө (санамсаргүй байдлаар).

Монти Холл Парадоксын томъёолол

Хөтлөгч нь шагнал хаана байгааг мэддэг. Тэр таны үзүүлсэн хаалгыг онгойлгохгүй. Гэхдээ энэ нь танд ямар ч шагналгүй үлдсэн нэг хаалгыг нээж өгдөг. Асуулт бол сонголтоо өөрчлөх үү, эсвэл өмнөх шийдвэртээ үлдэх үү?

Хэрэв та сонголтоо өөрчилвөл ялах магадлал нэмэгдэх болно!

Нөхцөл байдлын парадокс нь ойлгомжтой. Бүх зүйл санамсаргүй юм шиг санагддаг. Та бодлоо өөрчилсөн эсэх нь хамаагүй. Гэхдээ тийм биш.

Энэхүү парадоксын мөн чанарын "физик" тайлбар

Эхлээд математикийн нарийн ширийн зүйл рүү орохгүй, харин нөхцөл байдлыг үл тоомсорлон харцгаая.

Энэ тоглоомонд та зөвхөн эхлээд л хийдэг санамсаргүй сонголт. Дараа нь хөтлөгч танд хэлэх болно Нэмэлт мэдээлэл , энэ нь танд ялах боломжийг нэмэгдүүлэх боломжийг олгодог.

Сургагч багш танд нэмэлт мэдээллийг хэрхэн өгдөг вэ? Маш энгийн. Энэ нь нээгдэж байгааг анхаарна уу ямар чхаалга.

Энгийн байхын тулд (хэдийгээр үүнд зальтай байдлын нэг хэсэг байгаа ч гэсэн) илүү магадлалтай нөхцөл байдлыг авч үзье: та шагналгүй хаалга руу заав. Дараа нь, үлдсэн хаалганы цаана, шагнал Байна. Удирдагч нь сонголтгүй гэсэн үг. Энэ нь маш тодорхой хаалгыг нээж өгдөг. (Та нэг рүү нь заав, нөгөөгийн ард шагнал байгаа, эзэн онгойлгож болох ганц л хаалга үлдлээ.)

Чухамхүү утга учиртай сонголт хийх мөчид тэр танд ашиглах боломжтой мэдээллийг өгдөг.

IN Энэ тохиолдолд, мэдээллийг ашиглах нь та шийдвэрээ өөрчлөх явдал юм.

Дашрамд хэлэхэд, таны хоёр дахь сонголт аль хэдийн байна санамсаргүй биш(эсвэл эхний сонголт шиг санамсаргүй биш). Эцсийн эцэст, та хаалттай хаалгануудаас сонгох бөгөөд нэг нь аль хэдийн нээлттэй байна дур зоргоороо биш.

Үнэндээ эдгээр маргааны дараа та бодлоо өөрчилсөн нь дээр гэсэн мэдрэмж төрж магадгүй юм. Үнэхээр тийм. Үүнийг илүү албан ёсоор харуулъя.

Монти Холлын парадоксын илүү албан ёсны тайлбар

Үнэн хэрэгтээ таны санамсаргүй сонголт нь бүх хаалгыг хоёр бүлэгт хуваадаг. Таны сонгосон хаалганы ард шагнал 1/3 магадлалтай, нөгөө хоёрын ард 2/3 магадлалтай байрлана. Одоо хост өөрчлөлт хийдэг: тэр хоёр дахь бүлэгт нэг хаалгыг нээдэг. Одоо бүх 2/3 магадлал нь зөвхөн хоёр хаалганы бүлгийн хаалттай хаалганд хамаарна.

Одоо бодлоо өөрчлөх нь танд илүү ашигтай болох нь тодорхой байна.

Хэдийгээр мэдээжийн хэрэг танд алдах боломж байсаар байна.

Гэхдээ сонголтоо өөрчилснөөр ялах магадлал нэмэгдэнэ.

Монти Холлын парадокс

Монти Холлын парадокс бол магадлалын асуудал бөгөөд түүний шийдэл нь (зарим хүмүүсийн үзэж байгаагаар) нийтлэг ойлголттой зөрчилддөг. Даалгаврын томъёолол:

Та гурван хаалганы аль нэгийг сонгох ёстой тоглоомын оролцогч болсон гэж төсөөлөөд үз дээ. Нэг хаалганы ард машин, нөгөө хоёр хаалганы цаана ямаа байна.
Та хаалгануудын аль нэгийг сонго, жишээлбэл, 1-р хаалга, үүний дараа машин хаана, ямаа хаана байгааг мэддэг гэрийн эзэн үлдсэн нэг хаалгыг онгойлгоно, жишээлбэл, 3-р хаалга, түүний ард ямаа байгаа.

Монти Холлын парадокс. Хамгийн буруу математик

Үүний дараа тэр танаас сонголтоо өөрчилж, 2 дугаар хаалгыг сонгох уу гэж асууна.
Хөтлөгчийн саналыг хүлээн авч сонголтоо өөрчилбөл таны машин хожих магадлал нэмэгдэх үү?

Асуудлыг шийдэхдээ хоёр сонголт нь бие даасан байдаг тул сонголт өөрчлөгдөхөд магадлал өөрчлөгдөхгүй гэж андуурдаг. Үнэн хэрэгтээ энэ нь тийм биш гэдгийг та Bayes томъёог санаж эсвэл доорх симуляцийн үр дүнгээс харж болно.

Энд: "стратеги 1" - сонголтыг өөрчлөхгүй, "стратеги 2" - сонголтыг өөрчил. Онолын хувьд 3 хаалгатай тохиолдолд магадлалын тархалт 33.(3)% ба 66.(6)% байна. Тоон симуляци нь ижил төстэй үр дүнг өгөх ёстой.

Холбоосууд

Монти Холлын парадокс- магадлалын онолын хэсгийн даалгавар, түүнийг шийдвэрлэхэд нийтлэг ойлголттой зөрчилддөг.

Гарал үүсэл[ засварлах | вики текстийг засварлах]

1963 оны сүүлээр цацагдсан шинэ ток шоугарчигтай "Хэлэлцээ хийцгээе" ("Let's make a хэлэлцээр"). Асуултын хувилбарын дагуу үзэгчдээс зөв хариулт өгсөн үзэгчид шинэ бооцоо тавих замаар үржүүлэх боломжтой байсан ч одоо байгаа хожсон мөнгөө эрсдэлд оруулж, шагнал хүртэв. Шоуг үүсгэн байгуулагчид нь Стефан Хатосу, Монти Холл нар байсан бөгөөд сүүлийнх нь олон жилийн турш байнгын хөтлөгч болсон юм.

Оролцогчдод хийх ажлын нэг нь гурван хаалганы нэгний ард байрлах Гранд шагналын зураг зурах явдал байв. Үлдсэн хоёр хүний ​​хувьд урамшууллын шагналууд байсан бөгөөд хөтлөгч нь тэдний байршлын дарааллыг мэддэг байв. Оролцогч шоунаас авсан бүх хожсон мөнгөө бооцоо тавих замаар ялагчийн хаалгыг тодорхойлох ёстой байв.

Таалагч дугаарыг шийдэхэд гэрийн эзэн үлдсэн хаалгануудын нэгийг онгойлгож, ард нь урамшууллын шагнал байсан бөгөөд тоглогчид анх сонгосон хаалгыг өөрчлөхийг санал болгов.

Томъёо[ засварлах | вики текстийг засварлах]

Тусгай асуудлын хувьд парадоксыг анх 1975 онд Америкийн статистикч, хөтлөгч Монти Холлд Стив Селвин тавьсан юм: Оролцогч урам зоригтойгоор хаалгыг онгойлгоод өөрчлөгдвөл Гран при шагналыг хүртэх боломж өөрчлөгдөх үү гэсэн асуултыг тавьжээ. түүний сонголт? Энэ үйл явдлын дараа "Монти Холлын парадокс" гэсэн ойлголт гарч ирэв.

1990 онд парадоксын хамгийн түгээмэл хувилбарыг Парад сэтгүүлд ("Parade" сэтгүүл) жишээ болгон нийтлэв.

“Та хоёр хаалганы ард ямаа, гурав дахь хаалганы ард машин байгаа гэсэн гурван хаалганы аль нэгийг нь илүүд үзэх ёстой телевизийн тоглолтонд өөрийгөө төсөөлөөд үз дээ. Сонголт хийх үед, жишээ нь, ялалтын хаалга нь нэгдүгээрт байна гэж үзвэл гэрийн эзэн үлдсэн хоёр хаалганы аль нэгийг, жишээлбэл, гурав дахь хаалганы нэгийг онгойлгож, түүний ард ямаа байдаг. Тэгвэл танд сонголтоо өөр хаалга руу өөрчлөх боломж олгосон уу? Та сонголтоо нэг дугаараас хоёр дугаар хаалга болгон өөрчилснөөр машин хожих боломжоо нэмэгдүүлж чадах уу?"

Энэ үг хэллэг нь хялбаршуулсан хувилбар юм, учир нь Машин хаана байгааг яг таг мэддэг, оролцогчийг алдах сонирхолтой хөтлөгчийн нөлөөллийн хүчин зүйл хэвээр байна.

Асуудлыг цэвэр математикийн шинж чанартай болгохын тулд урамшууллын шагналтай хаалга онгойлгох, анхны сонголтыг өөрчлөх чадварыг салшгүй нөхцөл болгон нэвтрүүлэх замаар хүний ​​хүчин зүйлийг арилгах шаардлагатай байна.

Шийдэл[ засварлах | вики текстийг засварлах]

Анхны харцаар магадлалыг харьцуулж үзвэл хаалганы дугаарыг өөрчлөх нь ямар ч давуу тал өгөхгүй, учир нь. бүх гурван сонголт нь ялах 1/3 боломж (ойролцоогоор. 33,33% гурван хаалга тус бүр дээр). Үүний зэрэгцээ аль нэг хаалгыг онгойлгох нь үлдсэн хоёр хаалганы боломжид нөлөөлөхгүй бөгөөд тэдний боломж 1/2-оос 1/2 (үлдсэн хоёр хаалга тус бүрд 50%) болно. Тоглогчийн хаалга сонгох, гэрийн эзэн хаалгыг сонгох нь бие биедээ нөлөөлдөггүй хоёр бие даасан үйл явдал гэсэн таамаглал дээр үндэслэсэн. Үнэн хэрэгтээ үйл явдлын бүх дарааллыг бүхэлд нь авч үзэх шаардлагатай. Магадлалын онолын дагуу эхний сонгосон хаалганы боломж тоглоомын эхнээс төгсгөл хүртэл үргэлж 1/3 (ойролцоогоор 33.33%), үлдсэн хоёр хаалга нь нийт 1/3 + 1 байна. /3 = 2/3 (ойролцоогоор 66.66%). Үлдсэн хоёр хаалганы аль нэгийг онгойлгоход түүний боломж 0% болж (урамшууллын шагнал нь цаана нь нуугдаж байна), үр дүнд нь сонгогдоогүй хаалгыг хаах магадлал 66.66% болно, өөрөөр хэлбэл. анхныхаасаа хоёр дахин их.

Сонголтын үр дүнг ойлгоход хялбар болгохын тулд сонголтуудын тоо илүү, жишээлбэл, мянга байх өөр нөхцөл байдлыг авч үзэж болно. Ялах сонголтыг сонгох магадлал 1/1000 (0.1%) байх болно. Үлдсэн есөн зуун ерэн есөн сонголтоос есөн зуун ерэн найм буруу нь дараа нь нээгдсэн тохиолдолд сонгогдоогүй есөн зуун ерэн есөн сонголтоос нэг хаалга үлдэх магадлал нь өмнөх хувилбараас өндөр байх нь тодорхой болно. зөвхөн нэгийг нь эхэнд сонгосон.

дурдсан[ засварлах | вики текстийг засварлах]

"Хорин нэгэн" (Роберт Лукетичийн кино), "Клутёп" (Сергей Лукьяненкогийн зохиол), "4исла" (Телевизийн цуврал), "Шөнийн нууцлаг аллага" зэрэг кинонуудаас Монти Холлын парадоксын тухай дурдагдаж болно. Нохой" (Марк Хэддоны зохиолууд), "XKCD" (комик ном), MythBusters (ТВ ​​шоу).

Мөн үзнэ үү[ засварлах | вики текстийг засварлах]

Зурган дээр анх санал болгосон гурван хаалганаас хоёр хаалттай хаалганы аль нэгийг сонгох үйл явц харагдаж байна

Комбинаторикийн асуудлын шийдлийн жишээ

Комбинаторикхүн бүрийн тулгардаг шинжлэх ухаан юм Өдөр тутмын амьдрал: анги цэвэрлэх 3 үйлчлэгчийг хэдэн янзаар сонгох эсвэл өгөгдсөн үсгүүдээс үг хийх хэдэн арга.

Ерөнхийдөө комбинаторик нь өгөгдсөн объектуудаас тодорхой нөхцлийн дагуу хэдэн өөр хослол хийж болохыг тооцоолох боломжийг олгодог (ижил эсвэл өөр).

Шинжлэх ухааны хувьд комбинаторик нь 16-р зуунд үүссэн бөгөөд одоо оюутан бүр (мөн ихэвчлэн сургуулийн сурагчид) үүнийг судалж байна. Тэд сэлгэлт, байршуулалт, хослол (давталттай эсвэл давтагдахгүй) гэсэн ойлголтуудыг судалж эхэлдэг бөгөөд та доорх сэдвүүдийн асуудлуудыг олох болно. Комбинаторикийн хамгийн алдартай дүрмүүд бол нийлбэр ба үржвэрийн дүрмүүд бөгөөд эдгээрийг ердийн комбинатори бодлогод ихэвчлэн ашигладаг.

Доор та ердийн даалгавруудыг шийдвэрлэхэд туслах хослолын үзэл баримтлал, дүрмийн шийдэл бүхий даалгаврын хэд хэдэн жишээг олох болно. Хэрэв даалгавар хийхэд бэрхшээлтэй байвал комбинаторикийн шалгалтыг захиалаарай.

Онлайн шийдэл бүхий комбинаторикийн асуудлууд

Даалгавар 1.Ээж нь 2 алим, 3 лийртэй. Тэр 5 өдөр дараалан өдөр бүр нэг ширхэг жимс өгдөг. Үүнийг хэдэн аргаар хийж болох вэ?

Комбинаторикийн асуудлын шийдэл 1 (pdf, 35 Kb)

Даалгавар 2.Аж ахуйн нэгж нь хүйс харгалзахгүйгээр нэг мэргэжлээр 4 эмэгтэй, өөр чиглэлээр - 6 эрэгтэй, гурав дахь нь - 3 ажилтанд ажил өгөх боломжтой. 6 эмэгтэй, 8 эрэгтэй гэсэн 14 өргөдөл гаргагч байгаа бол сул орон тоог хэдэн аргаар нөхөх вэ?

Комбинаторик 2 дахь асуудлын шийдэл (pdf, 39 Kb)

Даалгавар 3.Суудлын галт тэргэнд 9 вагон байдаг. 4 хүнийг галт тэргэнд хэдэн янзаар суулгаж болох вэ?

Комбинаторик 3 дахь асуудлын шийдэл (pdf, 33 Kb)

Даалгавар 4.Бүлэгт 9 хүн байна. Дэд бүлэгт 2-оос доошгүй хүн орсон тохиолдолд хэдэн өөр дэд бүлгүүдийг үүсгэж болох вэ?

Комбинаторикийн асуудлын шийдэл 4 (pdf, 34 Kb)

Даалгавар 5. 20 сурагчтай бүлгийг 3 багт хуваах ба эхний багт 3 хүн, хоёрдугаарт - 5, гурав дахь нь - 12. Үүнийг хэдэн аргаар хийж болох вэ.

Комбинаторикийн асуудлын шийдэл 5 (pdf, 37 Kb)

Даалгавар 6.Багийн бүрэлдэхүүнд оролцохын тулд дасгалжуулагч 10 хөвгөөс 5 хөвгүүнийг сонгон шалгаруулна.Хэрэв багт тодорхой 2 хөвгүүнийг оруулах шаардлагатай бол хэдэн аргаар багийг бүрдүүлэх вэ?

6-р шийдэл бүхий комбинаторикийн бодлого (pdf, 33 Kb)

Даалгавар 7.Тэмцээнд 15 шатарчин оролцсон бөгөөд тус бүр өөр хоорондоо нэг өрөг тоглов. Энэ тэмцээнд хэдэн тоглолт хийсэн бэ?

7-р шийдэл бүхий комбинаторикийн бодлого (pdf, 37 Kb)

Даалгавар 8. 3, 5, 7, 11, 13, 17 тоонуудаас хэдэн өөр бутархай үүсгэх вэ, тэгвэл бутархай бүр 2-ыг агуулна. янз бүрийн тоо? Тэдгээрийн хэд нь зөв бутархай байх вэ?

8-р шийдэл бүхий комбинаторикийн бодлого (pdf, 32 Kb)

Даалгавар 9.Хорус, Институт гэдэг үгэнд байгаа үсгүүдийг цэгцлэхэд хичнээн үг гарах вэ?

9-р шийдэл бүхий комбинаторикийн бодлого (pdf, 32 Kb)

Даалгавар 10. 1-ээс 1,000,000 хүртэлх ямар тоонууд илүү вэ: нэгж тохиолдох, эсвэл тохиолдохгүй байх уу?

10-р шийдэл бүхий комбинаторикийн бодлого (pdf, 39 Kb)

Бэлэн жишээнүүд

Комбинаторикийн шийдэгдсэн асуудлууд хэрэгтэй байна уу? Хөтөчөөс олох:

Магадлалын онол дахь асуудлын бусад шийдлүүд

Тодорхой банкир гурван хаалттай хайрцагны аль нэгийг сонгохыг санал болгож байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Тэдний нэг нь 50 цент, нөгөөд нь нэг доллар, гурав дахь нь 10 мянган доллар. Та алийг нь ч сонгосон шагнал болгон авах болно.

Та санамсаргүй байдлаар сонгож, хайрцгийн дугаар 1 гэж хэлээрэй. Тэгээд дараа нь банкир (мэдээжийн хэрэг, бүх зүйл хаана байгааг мэддэг) таны нүдний өмнө нэг доллартай хайрцгийг онгойлгож (энэ нь №2 гэж бодъё), дараа нь тэр танд анх сонгосон хайрцгийг өөрчлөхийг санал болгож байна. 1-ээс №3 хайрцагт.

Та бодлоо өөрчлөх ёстой юу? Энэ нь таны 10 мянгыг авах боломжийг нэмэгдүүлэх үү?

Энэ бол Монти Холлын парадокс - магадлалын онолын асуудал бөгөөд түүний шийдэл нь эхлээд харахад нийтлэг ойлголттой зөрчилддөг. 1975 оноос хойш энэ асуудалд хүмүүс толгойгоо маажих болсон.

Энэхүү парадоксыг Америкийн алдартай телевизийн "Let's make a Deal" шоуны хөтлөгчийн нэрээр нэрлэсэн байна. Энэхүү телевизийн шоу нь ижил төстэй дүрмүүдтэй байсан бөгөөд зөвхөн оролцогчид хаалгыг сонгосон бөгөөд хоёр нь ямаа нууж, гурав дахь нь Кадиллак байв.

Ихэнх тоглогчид хоёр хаалга хаалттай, нэгнийх нь ард Кадиллак байсан бол түүнийг авах магадлал 50-50 байна гэж тайлбарлаж байсан.Мэдээж, нэг хаалга онгойлгож, таныг бодлоо өөрчлөхийг урих үед тэр эхэлдэг шинэ тоглоом. Та бодлоо өөрчилсөн ч бай, үгүй ​​ч бай таны боломж 50 хувь байх болно. Тэгэхээр тийм үү?

Энэ нь тийм биш нь харагдаж байна. Үнэн хэрэгтээ бодлоо өөрчилснөөр та амжилтанд хүрэх боломжоо хоёр дахин нэмэгдүүлнэ. Яагаад?

Энэ хариултын хамгийн энгийн тайлбар бол дараах бодол юм. Сонголтыг өөрчлөхгүйгээр машин хожихын тулд тоглогч машины ард зогсож буй хаалгыг нэн даруй таах ёстой. Үүний магадлал 1/3 байна. Хэрэв тоглогч эхлээд ямаагаа араас нь хаалгыг цохих юм бол (мөн энэ үйл явдлын магадлал нь 2/3, хоёр ямаа, зөвхөн нэг машин байгаа тул) тэр бодлоо өөрчилж машинаа ялах нь гарцаагүй. мөн нэг ямаа үлдсэн бөгөөд гэрийн эзэн ямаатай аль хэдийн хаалга онгойлгосон байна.

Тиймээс, сонголтоо өөрчлөхгүйгээр тоглогч эхний ялах магадлал 1/3 хэвээр байх бөгөөд эхний сонголтыг өөрчлөхөд тоглогч эхэндээ буруу таамаглаагүй үлдсэн магадлалаас хоёр дахин илүү давуу талтай болно.

Мөн хоёр үйл явдлыг солих замаар зөн совингийн тайлбарыг хийж болно. Эхний үйл явдал бол тоглогч хаалгаа солих шийдвэр, хоёр дахь үйл явдал нь нэмэлт хаалга нээх явдал юм. Нэмэлт хаалгыг онгойлгох нь тоглогчдод ямар ч зүйл өгөхгүй тул үүнийг хүлээн зөвшөөрөх боломжтой шинэ мэдээлэл(баримт бичгийг энэ нийтлэлээс үзнэ үү). Дараа нь асуудлыг дараах томъёогоор багасгаж болно. Цагийн эхний мөчид тоглогч хаалгыг хоёр бүлэгт хуваадаг: эхний бүлэгт нэг хаалга (түүний сонгосон), хоёр дахь бүлэгт хоёр үлдсэн хаалга байна. Дараагийн мөчид тоглогч бүлгүүдийн хооронд сонголт хийдэг. Эхний бүлэгт ялах магадлал 1/3, хоёрдугаар бүлгийн хувьд 2/3 байх нь ойлгомжтой. Тоглогч хоёр дахь бүлгийг сонгоно. Хоёр дахь бүлэгт тэрээр хоёр хаалгыг онгойлгож чадна. Нэгийг нь хөтлөгч, хоёр дахь нь тоглогч өөрөө нээдэг.

"Хамгийн ойлгомжтой" тайлбарыг өгөхийг хичээцгээе. Асуудлыг дахин томъёол: Шударга хөтлөгч тоглогчид гурван хаалганы аль нэгний ард машин байгааг мэдэгдэж, эхлээд хаалганы аль нэгийг зааж, дараа нь хоёр үйлдлийн аль нэгийг сонгохыг санал болгож байна: заасан хаалгыг нээнэ үү. Хуучин томъёолол, үүнийг "сонголтоо битгий өөрчил" гэж нэрлэдэг) эсвэл нөгөө хоёрыг нь нээ (хуучин үгээр бол энэ нь зүгээр л "сонголтыг өөрчлөх" болно. Бодоод үз, энэ бол ойлгох түлхүүр юм!). Энэ тохиолдолд машин авах магадлал хоёр дахин өндөр тул тоглогч хоёр үйлдлийн хоёр дахь үйлдлийг сонгох нь тодорхой байна. Хөтлөгч нь "ямаа үзүүлсэн" үйлдлийг сонгохоосоо өмнө ч гэсэн сонголт хийхэд тус болохгүй бөгөөд үүнд саад болохгүй, учир нь хоёр хаалганы нэгний ард ямаа үргэлж байдаг бөгөөд хөтлөгч үүнийг хэзээ ч харуулах болно. тоглолтын үеэр, тиймээс тоглогч энэ ямаа дээр байж болох ба үзэхгүй. Тоглогчийн ажил бол хэрэв тэр хоёр дахь үйлдлийг сонгосон бол хоёр хаалганы аль нэгийг нь онгойлгож, нөгөөг нь онгойлгох асуудлаас аварсанд нь гэрийн эзэнд "баярлалаа" гэж хэлэх явдал юм. За, эсвэл бүр илүү хялбар. Энэ байдлыг олон арван тоглогчтой ижил төстэй процедурыг хийж байгаа эзэн талаас нь төсөөлье. Тэр хаалганы цаана юу байдгийг маш сайн мэддэг тул дунджаар гурваас хоёр тохиолдолд тоглогч "буруу" хаалгыг сонгосон болохыг урьдчилан хардаг. Тиймээс түүний хувьд эхний хаалгыг онгойлгосны дараа сонголтоо өөрчлөх нь зөв стратеги гэсэн парадокс байхгүй нь гарцаагүй: эцэст нь гурваас хоёр тохиолдолд тоглогч студиэс шинэ машинаар явах болно.

Эцэст нь хэлэхэд хамгийн "гэнэн" нотолгоо. Сонголтынхоо талд зогссон хүнийг "Зөрүүд", удирдагчийн зааврыг дагадаг хүнийг "Анхаарал" гэж нэрлэ. Дараа нь зөрүүд нь эхлээд машинаа таасан бол (1/3), Анхааралтай нь - эхлээд ямаагаа алдаж, цохисон бол (2/3) ялна. Эцсийн эцэст, зөвхөн энэ тохиолдолд тэр машинтай хаалга руу чиглүүлэх болно.

Монти Холл, шоуны продюсер, хөтлөгч Хэлэлцээр хийцгээе 1963-1991 он хүртэл.

1990 онд энэ асуудал, түүний шийдлийг Америкийн Парад сэтгүүлд нийтлэв. Энэхүү нийтлэл нь олон хүн шинжлэх ухааны зэрэгтэй байсан уншигчдын дургүйцлийг хүргэсэн.

Гол гомдол нь асуудлын бүх нөхцөлийг заагаагүй бөгөөд аливаа нюанс үр дүнд нөлөөлж болзошгүй юм. Жишээлбэл, тоглогч эхний алхам дээр машин сонгосон тохиолдолд л хост шийдвэрийг өөрчлөхийг санал болгож болно. Ийм нөхцөлд анхны сонголтыг өөрчлөх нь баталгаатай алдагдалд хүргэх нь ойлгомжтой.

Гэсэн хэдий ч Монти Холл телевизийн шоуны бүх хугацаанд бодлоо өөрчилсөн хүмүүс хоёр дахин олон удаа хожсон:

Шийдлээ өөрчилсөн 30 тоглогчоос Кадиллак 18-д нь буюу 60%-ийг хожсон.

Сонголттой үлдсэн 30 тоглогчоос 11-ийг нь Кадиллак хожсон буюу ойролцоогоор 36%

Тиймээс шийдвэрт өгсөн үндэслэл нь хэчнээн логикгүй мэт санагдаж байсан ч практик дээр батлагддаг.

Хаалганы тоог нэмэгдүүлэх

Юу болж байгаагийн мөн чанарыг ойлгоход хялбар болгохын тулд тоглогч урд нь гурван хаалга биш, жишээлбэл, зуугаа харсан тохиолдолд авч үзэж болно. Үүний зэрэгцээ нэг хаалганы цаана машин, нөгөө 99-ийн цаана ямаа байна. Тоглогч хаалгануудын аль нэгийг сонгодог бол 99% тохиолдолд тэр ямаатай хаалгыг сонгох бөгөөд тэр даруй машинтай хаалгыг сонгох магадлал маш бага байдаг - тэдгээр нь 1% байна. Үүний дараа гэрийн эзэн ямаатай 98 хаалгыг нээж, тоглогчоос үлдсэн хаалгыг сонгохыг хүсдэг. Энэ тохиолдолд тоглогч нэн даруй зөв хаалгыг сонгох магадлал маш бага тул 99% тохиолдолд машин энэ үлдсэн хаалганы ард байх болно. Ийм нөхцөлд ухаалаг сэтгэдэг тоглогч удирдагчийн саналыг үргэлж хүлээж авах нь ойлгомжтой.

Хаалганы тоог нэмэгдүүлэхийн тулд асуулт ихэвчлэн гарч ирдэг: хэрэв анхны асуудалд удирдагч гурваас нэг хаалгыг онгойлгодог бол (өөрөөр хэлбэл 1/3 нь). нийтхаалга), яагаад бид 100 хаалганы хувьд гэрийн эзэн 33 биш, харин ямаагаар 98 хаалга онгойлгох болно гэж яагаад тооцох ёстой вэ? Энэ бодол нь Монти Холлын парадокс нь нөхцөл байдлын талаарх зөн совинтой зөрчилддөг гол шалтгаануудын нэг юм. 98 хаалгыг онгойлгох нь зөв байх болно, учир нь зайлшгүй нөхцөлДаалгавар бол зохицуулагчийн санал болгож буй тоглогчийн хувьд зөвхөн нэг өөр сонголттой байх явдал юм. Тиймээс, даалгаврууд ижил байхын тулд 4 хаалгатай бол удирдагч 2 хаалга, 5 хаалгатай бол 3 хаалга онгойлгож, нэг хаалганаас өөр онгойлгоогүй нэг хаалга байх ёстой. тоглогч эхлээд сонгосон. Хэрэв сургагч багш цөөхөн хаалга нээвэл даалгавар нь Монти Холлын анхны даалгавартай адил байхаа болино.

Олон хаалгатай тохиолдолд гэрийн эзэн нэг хаалгыг биш, хэд хэдэн хаалгыг хааж орхиод тоглогчдод аль нэгийг нь сонгохыг санал болгосон ч гэсэн анхны сонголтоо өөрчлөх үед тоглогчийн машин ялах магадлал өндөр байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. тийм ч их биш ч гэсэн нэмэгдсээр байна. Жишээлбэл, тоглогч зуугаас нэг хаалгыг сонгож, дараа нь чиглүүлэгч үлдсэн хаалгануудаас зөвхөн нэгийг нь нээж, тоглогчийг сонголтоо өөрчлөхийг урьсан нөхцөл байдлыг авч үзье. Үүний зэрэгцээ, машиныг тоглогчийн сонгосон хаалганы ард байх магадлал ижил хэвээр байна - 1/100, үлдсэн хаалгануудын хувьд боломж өөрчлөгдөнө: машин үлдсэн хаалганы аль нэгний ард байх нийт магадлал ( 99/100) нь одоо 99 хаалган дээр биш, харин 98 гэсэн тоогоор тархсан. Тиймээс эдгээр хаалга бүрийн цаана машин олох магадлал 1/100 биш, харин 99/9800 байх болно. Магадлалын өсөлт нь ойролцоогоор 1% байх болно.

Мод боломжит шийдлүүдТоглогч ба хост, үр дүн бүрийн магадлалыг харуулж байна. Илүү албан ёсоор бол шийдвэрийн модыг ашиглан тоглоомын хувилбарыг дүрсэлж болно. Эхний хоёр тохиолдолд тоглогч ямаа байгаа хаалгыг анх сонгоход сонголтыг өөрчлөх нь ялалтад хүргэдэг. Сүүлийн хоёр тохиолдолд тоглогч машинтай хаалгыг анх сонгоход сонголтоо өөрчлөх нь алдагдалд хүргэдэг.

Хэрэв та ойлгохгүй хэвээр байгаа бол томъёонууд руу нулимж, зүгээр л хэлээрэйстатистикийн бүх зүйлийг шалгах. Өөр нэг боломжит тайлбар:

• Сонгосон хаалгыг байнга солих стратегитай тоглогч эхлээд машиныхаа ард байрлах хаалгыг сонгосон тохиолдолд л хожигдох болно.
• Эхний оролдлогоор машин сонгох магадлал 3-ын нэг (эсвэл 33%) байдаг тул тоглогч сонголтоо өөрчилсөн тохиолдолд машин сонгохгүй байх магадлал мөн 3-ын нэг (эсвэл 33%) байна.
• Энэ нь хаалгыг өөрчлөх стратегийг ашигласан тоглогч 66% эсвэл хоёроос гурав хүртэлх магадлалаар ялна гэсэн үг юм.
• Энэ нь стратеги нь сонголтоо болгон өөрчлөхгүй байх тоглогчийг ялах боломжийг хоёр дахин нэмэгдүүлэх болно.

Одоо хүртэл итгэхгүй байна уу? Та №1 хаалгыг сонгосон гэж бодъё. Энд бүгд байна боломжит сонголтуудэнэ тохиолдолд юу тохиолдож болох вэ.

"Худал гурван төрөл байдаг: худал, илт худалболон статистик. Марк Твейн Их Британийн Ерөнхий сайд Бенжамин Дисраэлитэй холбосон энэ хэллэг нь математикийн хуулиудад олонхийн хандлагыг илэрхийлдэг. Үнэхээр магадлалын онол заримдаа шиддэг гайхалтай баримтууд, анхны харцаар итгэхэд бэрх бөгөөд шинжлэх ухаанаар батлагдсан. "Онол ба практик" нь хамгийн алдартай парадоксуудыг эргэн санав.

Монти Холлын асуудал

Энэхүү даалгаврыг MIT-ийн зальтай профессор "Хорин нэг" кинонд оюутнуудад санал болгожээ. Зөв хариулт өгч байна Гол дүрЛас Вегас дахь казиног ялж буй гайхалтай залуу математикчдын багт элсэв.

Сонгодог хэллэг нь дараах байдалтай байна: "Монти Холлын зохион байгуулдаг Америкийн алдарт "Let's Make a Deal" шоунд оролцохыг санал болгосон тоглогч гурван хаалганы аль нэгийг нь сонгох хэрэгтэй гэж бодъё. Хоёр хаалганы цаана ямаа, нэгний ард гол шагнал, машин, хөтлөгч нь шагналын байршлыг мэддэг. Тоглогч сонголтоо хийсний дараа чиглүүлэгч нь ямаа байгаа үлдсэн хаалгануудын нэгийг нээж, тоглогчийг бодлоо өөрчлөхийг урьдаг. Тоглогч зөвшөөрөх ёстой юу эсвэл анхны сонголтоо хадгалсан нь дээр үү?"

Ердийн үндэслэлийг энд харуулав: гэрийн эзэн нэг хаалгыг онгойлгож, ямааг үзүүлсний дараа тоглогч хоёр хаалганы аль нэгийг сонгох ёстой. Машин тэдний нэгний ард байгаа тул үүнийг таамаглах магадлал ½ байна. Тиймээс сонголтоо өөрчлөх үү, үгүй ​​юу гэсэн ялгаа байхгүй. Гэсэн хэдий ч магадлалын онол нь шийдвэрээ өөрчилснөөр ялах боломжоо нэмэгдүүлэх боломжтой гэж хэлдэг. Яагаад ийм байдгийг харцгаая.

Үүнийг хийхийн тулд нэг алхам буцацгаая. Бид анхны сонголтоо хийхдээ хаалгыг хоёр хэсэгт хуваасан: нэг нь сонгосон, нөгөө нь хоёр. Мэдээжийн хэрэг, машин "манай" хаалганы ард нуугдаж байх магадлал ⅓ - тус тус машин үлдсэн хоёр хаалганы нэгний ард ⅔ магадлалтай байна. Сургагч багш эдгээр хаалгануудын нэгний ард ямаа байгаа гэж хэлэхэд эдгээр ⅔ боломжууд хоёр дахь хаалган дээр унадаг. Энэ нь тоглогчийн сонголтыг хоёр хаалга болгон бууруулж, нэг хаалганы ард (анхны сонгосон) машин ⅓ магадлалтай, нөгөөгийн ард ⅔ магадлалтай байна. Сонголт нь тодорхой болно. Энэ нь мэдээжийн хэрэг, тоглогч анхнаасаа машинтай хаалгыг сонгож болно гэдгийг үгүйсгэхгүй.

Гурван хоригдлын даалгавар

Гурван хоригдлын парадокс нь Монти Холлын асуудалтай төстэй боловч үйл явдал илүү гайхалтай орчинд өрнөдөг. Гурван хоригдол (А, Б, В) цаазаар авах ял оноож, ганцаарчлан хорих ялаар шийтгүүлж байна. Засаг дарга санамсаргүй байдлаар нэгийг нь сонгож, түүнд өршөөл үзүүлдэг. Тэр гурвын хэн нь өршөөгдөж байгааг харгалзагч мэддэг ч нууцалж байгаарай. Хоригдол А харгалзагчаас заавал цаазаар авах ялыг (өөрөөсөө гадна) хоёр дахь хоригдлын нэрийг хэлэхийг хүсэв: "Хэрвээ Б өршөөгдвөл С-г цаазлана гэж хэлээрэй. Хэрэв С өршөөгдвөл Б-г цаазлана гэж хэлээрэй. Хэрэв тэд хоёулаа цаазлагдсан ч надад өршөөл үзүүлсэн бол зоос шидээд энэ хоёр нэрийн аль нэгийг хэл. Хоригдол Б-г цаазлана гэж харгалзагч хэлж байна.А хоригдол баярлах ёстой юу?

Тийм ээ. Эцсийн эцэст, энэ мэдээллийг авахаас өмнө хоригдол А-ийн үхэх магадлал ⅔ байсан бөгөөд одоо нөгөө хоёр хоригдлын нэгийг нь цаазлахыг мэдэж байгаа нь түүнийг цаазлах магадлал ½ болж буурсан гэсэн үг юм. Гэвч үнэн хэрэгтээ А хоригдол шинэ зүйл сураагүй: хэрэв түүнийг өршөөгөөгүй бол өөр хоригдлын нэрийг хэлнэ, үлдсэн хоёрын нэг нь цаазлагдах болно гэдгийг тэр аль хэдийн мэдэж байсан. Хэрэв тэр азтай байсан бөгөөд цаазаар авах ялыг цуцалсан бол тэр сонсох болно санамсаргүй нэр B эсвэл C. Тиймээс түүний аврах боломж ямар ч байдлаар өөрчлөгдөөгүй.

Одоо үлдсэн хоригдлуудын нэг нь хоригдол А-ийн асуулт болон хариултын талаар мэдсэн гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ нь түүний өршөөл үзүүлэх магадлалын талаархи санаа бодлыг өөрчлөх болно.

Хэрвээ хоригдол Б энэ яриаг сонсвол гарцаагүй цаазлуулна гэдгээ мэдэх болно. Хэрэв хоригдол Б бол түүнийг өршөөх магадлал ⅔ болно. Яагаад ийм болсон бэ? Хоригдол А ямар ч мэдээлэл аваагүй бөгөөд өршөөлд хамрагдах магадлал ⅓ хэвээр байна. Хоригдол Б өршөөлд хамрагдахгүй нь гарцаагүй, магадлал нь 0. Гурав дахь хоригдол суллагдах магадлал ⅔ байна гэсэн үг.

Хоёр дугтуйны парадокс

Энэхүү парадокс нь математикч Мартин Гарднерийн ачаар алдаршсан бөгөөд дараах байдлаар томьёолжээ: "Та болон найздаа хоёр дугтуй санал болгосны нэг нь тодорхой хэмжээний Х мөнгө, нөгөөд нь хоёр дахин их мөнгө орсон байна гэж бодъё. Та бие даан дугтуй нээж, мөнгөө тоолж, дараа нь сольж болно. Дугтуйнууд нь адилхан тул бага хэмжээтэй дугтуй авах магадлал ½ байна. Та дугтуй нээгээд дотор нь 10 доллар оллоо гэж бодъё. Тиймээс таны найзын дугтуйнд 5 эсвэл 20 доллар байх магадлалтай. Хэрэв та солилцоо хийхээр шийдсэн бол эцсийн дүнгийн математик хүлээлтийг тооцоолж болно, өөрөөр хэлбэл түүний дундаж утгыг тооцоолж болно. Энэ нь 1/2х$5+1/2х20=$12.5 байна. Тиймээс солилцоо нь танд ашигтай. Найз чинь яг ийм байдлаар маргах байх. Гэхдээ солилцоо нь та хоёрт ашиг тусаа өгөхгүй нь ойлгомжтой. Алдаа нь юу вэ?

Хачирхалтай нь та дугтуйгаа нээх хүртэл магадлалууд шударга байх болно: дугтуйнаасаа X-г олох магадлал 50 хувь, дугтуйнаасаа 2X-ыг олох магадлал 50 хувь байна. Мөн эрүүл ухаанаар танд байгаа мөнгөний талаарх мэдээлэл нь хоёр дахь дугтуйны агуулгад нөлөөлөх боломжгүй гэдгийг харуулж байна.

Гэсэн хэдий ч, дугтуйг нээмэгц байдал эрс өөрчлөгдөнө (энэ парадокс нь Шредингерийн муурны түүхтэй зарим талаараа төстэй бөгөөд ажиглагч байгаа нь нөхцөл байдалд нөлөөлдөг). Баримт нь парадокс нөхцөлийг дагаж мөрдөхийн тулд хоёр дахь дугтуйнаас таныхаас их эсвэл бага хэмжээг олох магадлал ижил байх ёстой. Гэхдээ тэгээс хязгааргүй хүртэлх энэ нийлбэрийн аль ч утга нь адилхан магадлалтай. Хэрэв боломжуудын тоо тэнцүү байх юм бол тэдгээр нь хязгааргүй болно. Мөн энэ нь боломжгүй юм.

Тодорхой болгохын тулд та дугтуйнаасаа нэг цент олсон гэж төсөөлж болно. Мэдээжийн хэрэг, хоёр дахь дугтуйнд үнийн дүнгийн талыг багтааж болохгүй.

Парадоксын шийдлийн талаарх хэлэлцүүлэг одоогоор үргэлжилж байгаа нь сонин байна. Үүний зэрэгцээ парадоксыг дотроос нь тайлбарлах, хөгжүүлэх оролдлого хийж байна хамгийн сайн стратегиийм нөхцөл байдалд зан байдал. Ялангуяа профессор Томас Ковер стратегийг бий болгох анхны хандлагыг санал болгов - ямар нэгэн зөн совингийн хүлээлтийг удирдан чиглүүлсэн дугтуйг өөрчлөх эсвэл өөрчлөхгүй байх. Хэрэв та дугтуй нээгээд дотор нь 10 доллар олдвол - таны тооцоогоор бага дүн - үүнийг солих нь зүйтэй гэж үзье. Хэрэв дугтуйнд таны хүлээлтээс давсан 1000 доллар байгаа бол өөрчлөх шаардлагагүй. Энэхүү зөн совингийн стратеги, хэрэв танд хоёр дугтуйг сонгохыг байнга санал болгодог бол дугтуйг байнга сольж байх стратегиас илүүтэйгээр нийт ялалтыг нэмэгдүүлэх боломжийг танд олгоно.

Хөвгүүд, охидын парадокс

Энэхүү парадоксыг Мартин Гарднер мөн санал болгосон бөгөөд дараах байдлаар томъёолсон: “Ноён Смит хоёр хүүхэдтэй. Наад зах нь нэг хүүхэд нь эрэгтэй хүүхэд. Хоёр дахь нь бас хүү байх магадлал хэд вэ?

Даалгавар нь энгийн юм шиг санагдаж байна. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та ойлгож эхэлбэл нэгэн сонин нөхцөл байдал гарч ирнэ: зөв хариулт нь нөгөө хүүхдийн хүйсийн магадлалыг хэрхэн тооцоолохоос хамаарч өөр өөр байх болно.

Сонголт 1

Хоёр хүүхэдтэй гэр бүлд боломжтой бүх хослолыг авч үзье.

Охин/охин

Охин хүү

Хөвгүүн охин

Хөвгүүн/Хөвгүүн

Асуудлын нөхцлийн дагуу охин/охины сонголт бидэнд тохирохгүй байна. Тиймээс ноён Смитийн гэр бүлийн хувьд ижил магадлалтай гурван хувилбар байгаа бөгөөд энэ нь нөгөө хүүхэд нь эрэгтэй хүүхэд байх магадлал ⅓ гэсэн үг юм. Энэ бол эхэндээ Гарднер өөрөө өгсөн хариулт юм.

Сонголт 2

Ноён Смит хүүтэйгээ хамт явж байхад нь гудамжинд тааралдсан гэж төсөөлөөд үз дээ. Хоёр дахь хүүхэд нь эрэгтэй байх магадлал хэд вэ? Хоёр дахь хүүхдийн хүйс нь эхнийхээс үл хамаарах тул тодорхой (болон зөв) хариулт нь ½ байна.

Юу ч өөрчлөгдөөгүй юм шиг санагдаж байгаа тул яагаад ийм зүйл болж байна вэ?

Магадлалыг тооцоолох асуудалд хэрхэн хандахаас бүх зүйл шалтгаална. Эхний тохиолдолд бид Смитийн гэр бүлийн бүх боломжит хувилбаруудыг авч үзсэн. Хоёрдугаарт - "нэг хөвгүүн байх ёстой" гэсэн заавал биелүүлэх нөхцөлтэй бүх гэр бүлийг бид авч үзсэн. Хоёр дахь хүүхдийн хүйсийн магадлалын тооцоог ийм нөхцөлд хийсэн (магадлалын онолоор үүнийг "нөхцөлт магадлал" гэж нэрлэдэг) бөгөөд энэ нь эхнийхээс өөр үр дүнд хүргэсэн.

1963 оны 12-р сард Америкийн телевизийн суваг дээр NBCпрограммыг анх гаргасан Хэлэлцээр хийцгээе("Хэлэлцээ хийцгээе!") Студи дэх үзэгчдээс сонгогдсон оролцогчид хоорондоо болон хөтлөгчтэй наймаалцаж тоглов. жижиг тоглоомуудэсвэл зүгээр л асуултын хариултыг таах. Нэвтрүүлгийн төгсгөлд оролцогчид "өдрийн хэлэлцээр" тоглож болно. Тэдний урд гурван хаалга байсан бөгөөд тэдгээрийн нэгнийх нь ард Гранд шагнал (жишээ нь машин), нөгөө хоёрынх нь ард үнэ багатай эсвэл огт утгагүй бэлэг (жишээлбэл, амьд ямаа) байсан нь мэдэгдэж байсан. . Тоглогч сонголтоо хийсний дараа хөтөлбөрийн хөтлөгч Монти Холл үлдсэн хоёр хаалганы нэгийг нээж, цаана нь ямар ч шагнал байхгүй гэдгийг харуулж, оролцогчийг ялах боломжтой гэж баярлууллаа.

1975 онд UCLA-ийн эрдэмтэн Стив Селвин тухайн үед Шагналгүй хаалгыг онгойлгосны дараа оролцогчоос сонголтоо өөрчлөхийг хүсэхэд юу болох талаар асуужээ. Энэ тохиолдолд тоглогчийн шагнал авах боломж өөрчлөгдөх үү, хэрэв тийм бол ямар чиглэлд? Тэрээр холбогдох асуултыг сэтгүүлд дугаар болгон оруулсан Америкийн статистикч("Америкийн статистикч"), мөн Монти Холл өөрт нь сонин хариулт өгсөн. Энэ хариултыг үл харгалзан (эсвэл магадгүй үүнээс болж) энэ асуудал "Монти Холлын асуудал" нэрээр алдартай болсон.

Даалгавар

Та Монти Холл шоунд оролцогчоор оролцсон бөгөөд эцсийн мөчид ямаагаар хаалгыг онгойлгоход хөтлөгч сонголтоо өөрчлөхийг санал болгов. Таны шийдвэр санал нийлэх эсэх нь ялах магадлалд нөлөөлөх үү?

Сэтгэгдэл

Нэг тохиолдолд өөр өөр хаалгыг сонгосон хүмүүсийг авч үзэхийг хичээгээрэй (жишээлбэл, Шагнал нь 1-р хаалганы ард байх үед). Сонголтоо өөрчлөх нь хэнд ашигтай, хэнд ашиггүй вэ?

Шийдэл

Зөвлөгөөнд зөвлөсний дагуу өөр сонголт хийсэн хүмүүсийг анхаарч үзээрэй. Шагналыг 1-р хаалганы цаана, 2, 3-р хаалганы цаана ямаа гэж бодъё. Бид зургаан хүнтэй, хаалга бүрийг хоёр хүн сонгосон гэж бодъё, хос тус бүрээс нэг нь шийдвэрээ өөрчилсөн, нөгөө нь өөрчлөгдөөгүй.

1-р хаалгыг сонгосон эзэн хоёр хаалганы аль нэгийг нь өөрийн үзэмжээр онгойлгох бөгөөд үүнээс үл хамааран машиныг сонголтоо өөрчлөөгүй, харин анхны сонголтоо өөрчилсөн хүн хүлээн авах болно гэдгийг анхаарна уу. Шагналгүй үлдэх болно. Одоо №2, 3-р хаалгыг сонгосон хүмүүсийг харцгаая. 1-р хаалганы ард машин байгаа тул гэрийн эзэн үүнийг онгойлгож чадахгүй бөгөөд энэ нь түүнд ямар ч сонголт үлдээдэггүй - тэр тэдэнд №3, 2-р хаалгыг нээдэг. Үүний зэрэгцээ, хос бүрийн шийдвэрийг өөрчилсөн нэг нь үр дүнд нь Шагналыг сонгох бөгөөд өөрчлөгдөөгүй нэг нь юу ч үгүй ​​үлдэх болно. Ийнхүү бодлоо өөрчилсөн гурван хүнээс хоёр нь Шагналыг, нэг нь ямаа авах бол анхны сонголтоо өөрчлөөгүй гурван хүнээс нэг нь л Шагналыг авах юм.

Хэрэв машин №2 эсвэл №3 хаалганы ард байсан бол үр дүн нь ижил байх болно, зөвхөн тодорхой ялагчид өөрчлөгдөх болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тиймээс, эхлээд хаалга бүрийг ижил магадлалтайгаар сонгосон гэж үзвэл сонголтоо өөрчилсөн хүмүүс Шагналыг хоёр дахин олон удаа хүртэх болно, өөрөөр хэлбэл энэ тохиолдолд ялах магадлал өндөр байна.

Энэ асуудлыг магадлалын математикийн онолын үүднээс авч үзье. Хаалга бүрийн эхний сонголтын магадлал, мөн Машины хаалга бүрийн ард байх магадлал ижил байна гэж бид таамаглах болно. Нэмж дурдахад, Удирдагч хоёр хаалгыг онгойлгож чадах үедээ тус бүрийг ижил магадлалтайгаар сонгодог гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Дараа нь эхний шийдвэрийн дараа Шагналыг сонгосон хаалганы ард байх магадлал 1/3, нөгөө хоёр хаалганы аль нэгнийх нь ард байх магадлал 2/3 байна. Үүний зэрэгцээ, хост хоёр "сонгогдоогүй" хаалганы аль нэгийг нээсний дараа бүх магадлал 2/3 нь үлдсэн хаалгануудын зөвхөн нэг дээр унадаг бөгөөд ингэснээр шийдвэрийг өөрчлөх үндэслэлийг бий болгож, ялах магадлалыг нэмэгдүүлэх болно. 2 дахин. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь тодорхой нэг тохиолдолд үүнийг ямар ч байдлаар баталгаажуулахгүй, гэхдээ туршилтыг давтан давтан хийх тохиолдолд илүү амжилттай үр дүнд хүргэх болно.

Дараах үг

Монти Холлын асуудал бол энэ асуудлын анхны мэдэгдэж байгаа томъёолол биш юм. Тодруулбал, 1959 онд Мартин Гарднер сэтгүүлд нийтлэв Шинжлэх ухааны америк хүнижил төстэй асуудал "гурван хоригдлын тухай" (Гурван хоригдлын асуудал) дараах томъёололтой: " Гурван хоригдлын нэгийг нь өршөөж, хоёрыг нь цаазлах ёстой. Хоригдол А харгалзагчийг өөрт нь цаазлагдах нөгөө хоёрын аль нэгнийх нь нэрийг хэлэхийг ятгаж (хоёулаа цаазлагдсан бол) дараа нь Б гэдэг нэрийг авсны дараа тэрээр өөрийгөө аврах магадлал тийм ч их биш гэж үзэж байна. 1/3, гэхдээ 1/2. Үүний зэрэгцээ хоригдол С нь түүний оргох магадлал 2/3 болсон гэж мэдэгдсэн бол А-д юу ч өөрчлөгдөөгүй байна. Тэдний аль нь зөв бэ?»

Гэсэн хэдий ч Гарднер 1889 онд Францын математикч Жозеф Бертран (Англи Бертран Расселтэй андуурч болохгүй!) Магадлалын тооцоололдоо ижил төстэй асуудлыг санал болгосноос хойш анхных нь биш байв (Бертрандын хайрцгийн парадоксыг үзнэ үү): " Гурван хайрцагтай бөгөөд тус бүр нь хоёр зоос агуулдаг: эхнийх нь хоёр алт, хоёр дахь нь хоёр мөнгө, гурав дахь нь хоёр өөр зоос. Санамсаргүй байдлаар сонгосон хайрцагнаас санамсаргүй байдлаар зоос гаргаж ирснээр алт болжээ. Хайрцагт үлдсэн зоос алт байх магадлал хэд вэ?»

Хэрэв та бүх гурван асуудлын шийдлийг ойлгож байгаа бол тэдний санаа ижил төстэй байгааг анзаарахад хялбар байдаг; Математикийн хувьд тэдгээр нь бүгд нөхцөлт магадлал, өөрөөр хэлбэл В үйл явдал болсон нь мэдэгдэж байгаа бол А үйл явдлын магадлал гэсэн ойлголтоор нэгддэг. Хамгийн энгийн жишээ: энгийн шоо шидэгдсэн магадлал 1/6; Гэсэн хэдий ч хэрэв цувисан тоо сондгой гэж мэдэгдэж байгаа бол энэ нь нэг байх магадлал аль хэдийн 1/3 байна. Монти Холлын асуудал нь бусад дурдсан хоёр асуудлын нэгэн адил нөхцөлт магадлалыг анхааралтай авч үзэх ёстойг харуулж байна.

Эдгээр асуудлуудыг мөн ихэвчлэн парадокс гэж нэрлэдэг: Монти Холлын парадокс, Бертрандын хайрцагны парадокс (сүүлийнх нь тухайн номонд өгөгдсөн бодит Бертрангийн парадокстой андуурч болохгүй. Энэ нь тухайн үед байсан магадлалын ойлголт тодорхой бус байгааг нотолсон) зарим зөрчилдөөнийг илэрхийлдэг (жишээлбэл, "Худалчны парадокс" -д "энэ мэдэгдэл худал" гэсэн хэллэг нь хасагдсан дундын хуультай зөрчилдөж байна). Гэхдээ энэ тохиолдолд хатуу мэдэгдэлтэй зөрчилдөхгүй. Гэсэн хэдий ч тодорхой зөрчилдөөнтэй байдаг олон нийтийн бодол” эсвэл зүгээр л “асуудлын тодорхой шийдэл”. Үнэн хэрэгтээ ихэнх хүмүүс асуудлыг хараад аль нэг хаалгыг онгойлгосны дараа үлдсэн хоёр хаалттай хаалганы цаана байгаа Шагналыг олох магадлал 1/2 байна гэж үздэг. Ингэснээр тэд өөрсдийн бодлоо өөрчлөхөд санал нийлэх, эс зөвшөөрөх нь ямар ч ялгаагүй гэдгийг баталж байна. Түүгээр ч зогсохгүй олон хүн нарийвчилсан шийдлийг хэлсэн ч гэсэн үүнээс өөр хариултыг ойлгоход хэцүү байдаг.

1963 оны 12-р сард Америкийн NBC телевизийн суваг "Хэлэлцэл хийцгээе" ("Хэлэлцээ хийцгээе!") нэвтрүүлгийг анх нэвтрүүлж, студид үзэгчдээс сонгогдсон оролцогчид бие биетэйгээ болон хөтлөгчтэй наймаалцаж бага зэрэг тоглосон. тоглоом эсвэл зүгээр л асуултын хариултыг таасан. Нэвтрүүлгийн төгсгөлд оролцогчид "өдрийн хэлэлцээр" тоглож болно. Тэдний урд гурван хаалга байсан бөгөөд тэдгээрийн нэгнийх нь ард Гранд шагнал (жишээ нь машин), нөгөө хоёрынх нь ард үнэ багатай эсвэл огт утгагүй бэлэг (жишээлбэл, амьд ямаа) байсан нь мэдэгдэж байсан. . Тоглогч сонголтоо хийсний дараа хөтөлбөрийн хөтлөгч Монти Холл үлдсэн хоёр хаалганы нэгийг нээж, цаана нь ямар ч шагнал байхгүй гэдгийг харуулж, оролцогчийг ялах боломжтой гэж баярлууллаа.

1975 онд UCLA-ийн эрдэмтэн Стив Селвин тухайн үед Шагналгүй хаалгыг онгойлгосны дараа оролцогчоос сонголтоо өөрчлөхийг хүсэхэд юу болох талаар асуужээ. Энэ тохиолдолд тоглогчийн шагнал авах боломж өөрчлөгдөх үү, хэрэв тийм бол ямар чиглэлд? Тэрээр холбогдох асуултыг Америкийн статистикч ("Америкийн статистикч") болон Монти Холлд өөрт нь асуудал хэлбэрээр илгээсэн бөгөөд тэр түүнд нэлээд сониуч хариулт өгчээ. Энэ хариултыг үл харгалзан (эсвэл магадгүй үүнээс болж) энэ асуудал "Монти Холлын асуудал" нэрээр алдартай болсон.

1990 онд Парад сэтгүүлд нийтлэгдсэн энэхүү асуудлын хамгийн түгээмэл томъёолол нь дараах байдалтай байна.

“Та гурван хаалганы аль нэгийг сонгох ёстой тоглоомын оролцогч болсон гэж төсөөлөөд үз дээ. Нэг хаалганы ард машин, нөгөө хоёр хаалганы цаана ямаа байна. Та хаалгануудын аль нэгийг сонго, жишээлбэл, 1-р хаалга, үүний дараа машин хаана, ямаа хаана байгааг мэддэг гэрийн эзэн үлдсэн нэг хаалгыг онгойлгоно, жишээлбэл, 3-р хаалга, түүний ард ямаа байгаа. Үүний дараа тэр чамаас сонголтоо өөрчилж 2 дугаар хаалгыг сонгох уу гэж асууна.Хэрэв та гэрийн эзний саналыг хүлээн авч сонголтоо өөрчилбөл машин хожих магадлал нэмэгдэх үү?

Нийтлэгдсэний дараа асуудлыг буруу томъёолсон нь нэн даруй тодорхой болов: бүх нөхцөлийг заагаагүй болно. Жишээлбэл, сургагч багш нь "тамын Монти" стратегийг баримталж болно: хэрэв тоглогч эхний алхам дээр машин сонгосон бол сонголтоо өөрчлөхийг санал болго. Мэдээжийн хэрэг, анхны сонголтыг өөрчлөх нь ийм нөхцөлд баталгаатай алдагдалд хүргэх болно.

Хамгийн алдартай нь нэмэлт нөхцөлтэй холбоотой асуудал юм - тоглоомын оролцогч дараах дүрмийг урьдчилан мэддэг.

1. машиныг 3 хаалганы аль нэгний ард байрлуулах магадлалтай;
2. ямар ч тохиолдолд гэрийн эзэн ямаатай хаалгыг онгойлгох үүрэгтэй (гэхдээ тоглогчийн сонгосон хүн биш) мөн тоглогчийг сонголтоо өөрчлөхийг санал болгох;
3. хэрэв удирдагч хоёр хаалганы алийг нь нээх сонголттой бол тэр хоёрын аль нэгийг нь ижил магадлалтайгаар сонгоно.

Сэтгэгдэл

Нэг тохиолдолд өөр өөр хаалгыг сонгосон хүмүүсийг авч үзэхийг хичээгээрэй (жишээлбэл, Шагнал нь 1-р хаалганы ард байх үед). Сонголтоо өөрчлөх нь хэнд ашигтай, хэнд ашиггүй вэ?

Шийдэл

Зөвлөгөөнд зөвлөсний дагуу өөр сонголт хийсэн хүмүүсийг анхаарч үзээрэй. Шагналыг 1-р хаалганы цаана, 2, 3-р хаалганы цаана ямаа гэж бодъё. Бид зургаан хүнтэй, хаалга бүрийг хоёр хүн сонгосон гэж бодъё, хос тус бүрээс нэг нь шийдвэрээ өөрчилсөн, нөгөө нь өөрчлөгдөөгүй.

1-р хаалгыг сонгосон эзэн хоёр хаалганы аль нэгийг нь өөрийн үзэмжээр онгойлгох бөгөөд үүнээс үл хамааран машиныг сонголтоо өөрчлөөгүй, харин анхны сонголтоо өөрчилсөн хүн хүлээн авах болно гэдгийг анхаарна уу. Шагналгүй үлдэх болно. Одоо №2, 3-р хаалгыг сонгосон хүмүүсийг харцгаая. 1-р хаалганы ард машин байгаа тул гэрийн эзэн үүнийг онгойлгож чадахгүй бөгөөд энэ нь түүнд ямар ч сонголт үлдээдэггүй - тэр тэдэнд №3, 2-р хаалгыг нээдэг. Үүний зэрэгцээ, хос бүрийн шийдвэрийг өөрчилсөн нэг нь үр дүнд нь Шагналыг сонгох бөгөөд өөрчлөгдөөгүй нэг нь юу ч үгүй ​​үлдэх болно. Ийнхүү бодлоо өөрчилсөн гурван хүнээс хоёр нь Шагналыг, нэг нь ямаа авах бол анхны сонголтоо өөрчлөөгүй гурван хүнээс нэг нь л Шагналыг авах юм.

Хэрэв машин №2 эсвэл №3 хаалганы ард байсан бол үр дүн нь ижил байх болно, зөвхөн тодорхой ялагчид өөрчлөгдөх болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тиймээс, эхлээд хаалга бүрийг ижил магадлалтайгаар сонгосон гэж үзвэл сонголтоо өөрчилсөн хүмүүс Шагналыг хоёр дахин олон удаа хүртэх болно, өөрөөр хэлбэл энэ тохиолдолд ялах магадлал өндөр байна.

Энэ асуудлыг магадлалын математикийн онолын үүднээс авч үзье. Хаалга бүрийн эхний сонголтын магадлал, мөн Машины хаалга бүрийн ард байх магадлал ижил байна гэж бид таамаглах болно. Нэмж дурдахад, Удирдагч хоёр хаалгыг онгойлгож чадах үедээ тус бүрийг ижил магадлалтайгаар сонгодог гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Дараа нь эхний шийдвэрийн дараа Шагналыг сонгосон хаалганы ард байх магадлал 1/3, нөгөө хоёр хаалганы аль нэгнийх нь ард байх магадлал 2/3 байна. Үүний зэрэгцээ, хост хоёр "сонгогдоогүй" хаалганы аль нэгийг нээсний дараа бүх магадлал 2/3 нь үлдсэн хаалгануудын зөвхөн нэг дээр унадаг бөгөөд ингэснээр шийдвэрийг өөрчлөх үндэслэлийг бий болгож, ялах магадлалыг нэмэгдүүлэх болно. 2 дахин. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь тодорхой нэг тохиолдолд үүнийг ямар ч байдлаар баталгаажуулахгүй, гэхдээ туршилтыг давтан давтан хийх тохиолдолд илүү амжилттай үр дүнд хүргэх болно.

Дараах үг

Монти Холлын асуудал бол энэ асуудлын анхны мэдэгдэж байгаа томъёолол биш юм. Тодруулбал, 1959 онд Мартин Гарднер “Scientific American” сэтгүүлд “Гурван хоригдлын тухай” (Гурван хоригдлын асуудал) ижил төстэй асуудлыг нийтэлсэн нь: “Гурван хоригдлын нэг нь өршөөлд хамрагдаж, хоёр нь цаазлагдах ёстой. Хоригдол А харгалзагчийг өөрт нь цаазлагдах нөгөө хоёрын аль нэгнийх нь нэрийг хэлэхийг ятгаж (хоёулаа цаазлагдсан бол) дараа нь Б гэдэг нэрийг авсны дараа тэрээр өөрийгөө аврах магадлал тийм ч их биш гэж үзэж байна. 1/3, гэхдээ 1/2. Үүний зэрэгцээ хоригдол С нь түүний оргох магадлал 2/3 болсон гэж мэдэгдсэн бол А-д юу ч өөрчлөгдөөгүй байна. Аль нь зөв бэ?"

Гэсэн хэдий ч Гарднер 1889 онд Францын математикч Жозеф Бертран (Англи Бертран Расселтэй андуурч болохгүй!) Магадлалын тооцоололдоо үүнтэй төстэй асуудлыг санал болгосноос хойш анхных нь биш байв (Бертрандын хайрцгийн парадоксыг үзнэ үү): “Тэнд гурван хайрцаг, тус бүр нь хоёр зоос агуулсан: эхнийх нь хоёр алтан зоос, хоёр дахь нь хоёр мөнгөн зоос, гурав дахь нь хоёр өөр зоос.

Хэрэв та бүх гурван асуудлын шийдлийг ойлгож байгаа бол тэдний санаа ижил төстэй байгааг анзаарахад хялбар байдаг; Математикийн хувьд тэдгээр нь бүгд нөхцөлт магадлал, өөрөөр хэлбэл В үйл явдал болсон нь мэдэгдэж байгаа бол А үйл явдлын магадлал гэсэн ойлголтоор нэгддэг. Хамгийн энгийн жишээ: нэг нэгж энгийн шоо дээр унах магадлал 1/6; Гэсэн хэдий ч хэрэв цувисан тоо сондгой гэж мэдэгдэж байгаа бол энэ нь нэг байх магадлал аль хэдийн 1/3 байна. Монти Холлын асуудал нь бусад дурдсан хоёр асуудлын нэгэн адил нөхцөлт магадлалыг анхааралтай авч үзэх ёстойг харуулж байна.

Эдгээр асуудлуудыг мөн ихэвчлэн парадокс гэж нэрлэдэг: Монти Холлын парадокс, Бертрандын хайрцагны парадокс (сүүлийнх нь тухайн номонд өгөгдсөн бодит Бертрангийн парадокстой андуурч болохгүй. Энэ нь тухайн үед байсан магадлалын ойлголт тодорхой бус байгааг нотолсон) зарим зөрчилдөөнийг илэрхийлдэг (жишээлбэл, "Худалчны парадокс" -д "энэ мэдэгдэл худал" гэсэн хэллэг нь хасагдсан дундын хуультай зөрчилдөж байна). Гэхдээ энэ тохиолдолд хатуу мэдэгдэлтэй зөрчилдөхгүй. Гэхдээ "олон нийтийн санаа бодол" эсвэл зүгээр л асуудлын "илт шийдэл" -тэй илт зөрчилддөг. Үнэн хэрэгтээ ихэнх хүмүүс асуудлыг хараад аль нэг хаалгыг онгойлгосны дараа үлдсэн хоёр хаалттай хаалганы цаана байгаа Шагналыг олох магадлал 1/2 байна гэж үздэг. Ингэснээр тэд өөрсдийн бодлоо өөрчлөхөд санал нийлэх, эс зөвшөөрөх нь ямар ч ялгаагүй гэдгийг баталж байна. Түүгээр ч зогсохгүй олон хүн нарийвчилсан шийдлийг хэлсэн ч гэсэн үүнээс өөр хариултыг ойлгоход хэцүү байдаг.

Монти Холлын Стив Селвинд өгсөн хариулт

Ноён Стив Селвин,
биостатистикийн туслах профессор,
Калифорнийн их сургууль, Беркли.

Эрхэм Стив,

Америкийн статистикийн газраас надад асуудлыг илгээсэнд баярлалаа.

Би хэдийгээр их сургуульд статистикийн чиглэлээр суралцаагүй ч гэсэн тоонуудыг өөрт ашигтайгаар ашиглахыг хүсвэл хэзээд надад ашиглагдаж болно гэдгийг би мэднэ. Таны үндэслэл нь нэг чухал нөхцөл байдлыг харгалзан үздэггүй: эхний хайрцаг хоосон болсны дараа оролцогч сонголтоо өөрчилж чадахгүй. Тэгэхээр магадлалууд хэвээрээ байна: гурвын нэг нь тийм ээ? Мэдээжийн хэрэг, хайрцгуудын аль нэг нь хоосон болсны дараа боломж 50/50 болж хувирдаггүй, гэхдээ ижил хэвээр байна - гурвын нэг. Зөвхөн нэг хайрцагнаас салснаар илүү их боломж олдог юм шиг санагддаг. Огт үгүй. Түүний эсрэг хоёр нэг, урьдын адил, хэвээр байна. Хэрэв та гэнэт миний шоунд ирвэл дүрмүүд таны хувьд хэвээр байх болно: сонгон шалгаруулалтын дараа хайрцагыг өөрчлөхгүй.