Formula untuk mendarab logaritma. Definisi logaritma, identiti logaritma asas
Hari ini kita akan bercakap tentang formula logaritma dan memberi demonstrasi contoh penyelesaian.
Dengan sendirinya, mereka membayangkan corak penyelesaian mengikut sifat asas logaritma. Sebelum menggunakan formula logaritma kepada penyelesaian, kami ingat untuk anda, pertama semua sifat:
Sekarang, berdasarkan formula (sifat) ini, kami tunjukkan contoh penyelesaian logaritma.
Contoh penyelesaian logaritma berdasarkan formula.
Logaritma nombor positif b dalam asas a (ditandakan log a b) ialah eksponen yang a mesti dinaikkan untuk mendapatkan b, dengan b > 0, a > 0, dan 1.
Mengikut takrifan log a b = x, yang bersamaan dengan a x = b, jadi log a a x = x.
Logaritma, contoh:
log 2 8 = 3, kerana 2 3 = 8
log 7 49 = 2 kerana 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, kerana 5 -1 = 1/5
Logaritma perpuluhan ialah logaritma biasa, asasnya ialah 10. Ditandakan sebagai lg.
log 10 100 = 2 kerana 10 2 = 100
logaritma semula jadi- juga logaritma logaritma biasa, tetapi dengan asas e (e \u003d 2.71828 ... - nombor tidak rasional). Dirujuk sebagai ln.
Adalah wajar untuk mengingati formula atau sifat logaritma, kerana kita akan memerlukannya kemudian apabila menyelesaikan logaritma, persamaan logaritma dan ketaksamaan. Mari kita teliti setiap formula sekali lagi dengan contoh.
- Identiti logaritma asas
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logaritma hasil darab adalah sama dengan hasil tambah logaritma
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
- Logaritma hasil bagi adalah sama dengan perbezaan logaritma
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Sifat darjah bagi nombor boleh logaritma dan asas logaritma
Eksponen bagi nombor logaritma log a b m = mlog a b
Eksponen asas log logaritma a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
jika m = n, kita mendapat log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Peralihan kepada asas baharu
log a b = log c b / log c a,jika c = b, kita mendapat log b b = 1
kemudian log a b = 1/log b a
log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1
Seperti yang anda boleh lihat, formula logaritma tidaklah rumit seperti yang kelihatan. Sekarang, setelah mempertimbangkan contoh penyelesaian logaritma, kita boleh beralih kepada persamaan logaritma. Kami akan mempertimbangkan contoh penyelesaian persamaan logaritma dengan lebih terperinci dalam artikel: "". Jangan lepaskan!
Jika anda masih mempunyai soalan tentang penyelesaian, tuliskannya dalam ulasan artikel.
Nota: memutuskan untuk mendapatkan pendidikan pengajian kelas lain di luar negara sebagai pilihan.
Mari kita mulakan dengan sifat logaritma perpaduan. Perumusannya adalah seperti berikut: logaritma perpaduan adalah sama dengan sifar, iaitu, log a 1=0 untuk sebarang a>0 , a≠1 . Buktinya adalah mudah: oleh kerana a 0 =1 untuk mana-mana a yang memenuhi syarat di atas a>0 dan a≠1 , maka log kesamaan terbukti a 1=0 serta-merta mengikuti daripada takrifan logaritma.
Mari kita berikan contoh penggunaan harta yang dipertimbangkan: log 3 1=0 , lg1=0 dan .
Mari kita beralih ke harta seterusnya: logaritma nombor yang sama dengan asas adalah sama dengan satu, itu dia, log a a=1 untuk a>0 , a≠1 . Sesungguhnya, oleh kerana a 1 =a untuk sebarang a , maka mengikut takrifan logaritma log a a=1 .
Contoh penggunaan sifat logaritma ini ialah log 5 5=1 , log 5.6 5.6 dan lne=1 .
Contohnya, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 dan 
.
Logaritma hasil darab dua nombor positif x dan y adalah sama dengan hasil darab logaritma nombor ini: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Mari kita buktikan sifat logaritma hasil darab. Oleh kerana sifat-sifat ijazah a log a x+log a y =a log a x a log a y, dan oleh kerana dengan identiti logaritma utama log a x =x dan log a y =y , maka log a x a log a y =x y . Oleh itu, log a x+log a y =x y , di mana kesamaan yang diperlukan diikuti dengan takrifan logaritma.
Mari tunjukkan contoh penggunaan sifat logaritma hasil darab: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 dan 
.
Sifat logaritma hasil darab boleh digeneralisasikan kepada hasil darab nombor terhingga n nombor positif x 1 , x 2 , …, x n sebagai log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Persamaan ini mudah dibuktikan.
Sebagai contoh, logaritma asli produk boleh digantikan dengan hasil tambah tiga logaritma semula jadi nombor 4 , e , dan .
Logaritma hasil bagi dua nombor positif x dan y adalah sama dengan perbezaan antara logaritma nombor ini. Sifat logaritma hasil bagi sepadan dengan formula bentuk , di mana a>0 , a≠1 , x dan y ialah beberapa nombor positif. Kesahan formula ini dibuktikan seperti formula untuk logaritma produk: sejak 
, kemudian dengan takrifan logaritma .
Berikut ialah contoh menggunakan sifat logaritma ini: 
.
Mari kita teruskan ke sifat logaritma darjah. Logaritma darjah adalah sama dengan hasil darab eksponen dan logaritma modulus asas darjah ini. Kami menulis sifat logaritma darjah ini dalam bentuk formula: log a b p =p log a |b|, di mana a>0 , a≠1 , b dan p ialah nombor supaya darjah b p masuk akal dan b p >0 .
Kami mula-mula membuktikan sifat ini untuk positif b . Identiti logaritma asas membolehkan kita mewakili nombor b sebagai log a b , kemudian b p =(a log a b) p , dan ungkapan yang terhasil, disebabkan oleh sifat kuasa, adalah sama dengan a p log a b . Jadi kita sampai pada kesamaan b p =a p log a b , dari mana, mengikut takrifan logaritma, kita membuat kesimpulan bahawa log a b p =p log a b .
Ia kekal untuk membuktikan sifat ini untuk negatif b . Di sini kita perhatikan bahawa ungkapan log a b p untuk negatif b masuk akal hanya untuk eksponen genap p (kerana nilai darjah b p mesti lebih besar daripada sifar, jika tidak logaritma tidak akan masuk akal), dan dalam kes ini b p =|b| p . Kemudian b p ==b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, dari mana log a b p =p log a |b| .
Sebagai contoh, 
dan ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .
Ia mengikuti dari harta sebelumnya sifat logaritma daripada punca: logaritma punca darjah ke-n adalah sama dengan hasil darab pecahan 1/n dan logaritma ungkapan punca, iaitu, 
, di mana a>0 , a≠1 , n ialah nombor asli lebih besar daripada satu, b>0 .
Buktinya adalah berdasarkan kesamaan (lihat ), yang sah untuk sebarang b positif, dan sifat logaritma darjah: 
.
Berikut ialah contoh menggunakan harta ini: 
.
Sekarang mari kita buktikan formula penukaran kepada asas baharu logaritma baik hati 
. Untuk melakukan ini, cukup untuk membuktikan kesahihan log kesamaan c b=log a b log c a . Identiti logaritma asas membolehkan kita mewakili nombor b sebagai log a b , kemudian log c b=log c a log a b . Ia tetap menggunakan sifat logaritma darjah: log c a log a b = log a b log c a. Oleh itu, log kesamaan c b=log a b log c a dibuktikan, yang bermaksud bahawa formula untuk peralihan kepada asas baru logaritma juga dibuktikan.
Mari tunjukkan beberapa contoh penggunaan sifat logaritma ini: dan 
.
Formula untuk berpindah ke pangkalan baharu membolehkan anda meneruskan kerja dengan logaritma yang mempunyai asas "mudah". Sebagai contoh, ia boleh digunakan untuk bertukar kepada logaritma asli atau perpuluhan supaya anda boleh mengira nilai logaritma daripada jadual logaritma. Formula untuk peralihan kepada asas baru logaritma juga membolehkan dalam beberapa kes untuk mencari nilai logaritma yang diberikan, apabila nilai beberapa logaritma dengan asas lain diketahui.
Digunakan dengan kerap kes istimewa formula untuk peralihan kepada asas baru logaritma untuk c=b bentuk 
. Ini menunjukkan bahawa log a b dan log b a – . Cth, 
.
Juga sering digunakan ialah formula 
, yang berguna untuk mencari nilai logaritma. Untuk mengesahkan perkataan kami, kami akan menunjukkan bagaimana nilai logaritma borang dikira menggunakannya. Kami ada 
. Untuk membuktikan formula 
ia cukup untuk menggunakan formula peralihan kepada asas baru logaritma a: 
.
Ia kekal untuk membuktikan sifat perbandingan logaritma.
Mari kita buktikan bahawa untuk sebarang nombor positif b 1 dan b 2 , b 1 log a b 2 , dan untuk a>1, ketaksamaan log a b 1 Akhirnya, ia kekal untuk membuktikan sifat terakhir yang disenaraikan bagi logaritma. Kami membatasi diri kami untuk membuktikan bahagian pertamanya, iaitu, kami membuktikan bahawa jika a 1 >1 , a 2 >1 dan a 1 1 ialah log benar a 1 b>log a 2 b . Pernyataan selebihnya bagi sifat logaritma ini dibuktikan dengan prinsip yang sama. Mari gunakan kaedah yang bertentangan. Katakan untuk a 1 >1 , a 2 >1 dan a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b adalah benar. Dengan sifat logaritma, ketaksamaan ini boleh ditulis semula sebagai 
Dan 
masing-masing, dan daripada mereka ia mengikuti bahawa log b a 1 ≤log b a 2 dan log b a 1 ≥log b a 2, masing-masing. Kemudian, dengan sifat kuasa dengan asas yang sama, kesamaan b log b a 1 ≥b log b a 2 dan b log b a 1 ≥b log b a 2 mesti dipenuhi, iaitu, a 1 ≥a 2 . Oleh itu, kita telah sampai pada percanggahan dengan syarat a 1
Bibliografi.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain.Algebra dan Permulaan Analisis: Buku Teks untuk Gred 10-11 Institusi Pendidikan Am.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (manual untuk pemohon ke sekolah teknik).
Privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila baca dasar privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.
Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi
Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.
Berikut ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.
Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:
- Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat e-mel, dsb.
Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:
- Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentang tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
- Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting kepada anda.
- Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan berkenaan perkhidmatan kami.
- Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau insentif yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.
Pendedahan kepada pihak ketiga
Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Sekiranya perlu - mengikut undang-undang, perintah kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan / atau berdasarkan permintaan awam atau permintaan daripada badan-badan negara di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau sebab kepentingan awam yang lain.
- Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pengganti pihak ketiga yang berkaitan.
Perlindungan maklumat peribadi
Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta daripada akses, pendedahan, pengubahan dan kemusnahan yang tidak dibenarkan.
Mengekalkan privasi anda di peringkat syarikat
Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan amalan privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan tegas.
Logaritma b (b > 0) kepada asas a (a > 0, a ≠ 1) ialah eksponen yang anda perlukan untuk menaikkan nombor a untuk mendapatkan b.
Logaritma asas 10 b boleh ditulis sebagai log(b), dan logaritma kepada asas e (logaritma semula jadi) - ln(b).
Selalunya digunakan semasa menyelesaikan masalah dengan logaritma:
Sifat logaritma
Terdapat empat utama sifat logaritma.
Biarkan a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0.
Sifat 1. Logaritma hasil
Logaritma produk adalah sama dengan jumlah logaritma:
log a (x ⋅ y) = log a x + log a y
Harta 2. Logaritma hasil bagi
Logaritma hasil bagi adalah sama dengan perbezaan logaritma:
log a (x / y) = log a x – log a y
Harta 3. Logaritma darjah
logaritma darjah adalah sama dengan hasil darab dan logaritma:
Jika asas logaritma adalah dalam eksponen, maka formula lain digunakan:
Sifat 4. Logaritma punca
Sifat ini boleh didapati daripada sifat logaritma darjah, kerana punca darjah ke-n adalah sama dengan kuasa 1/n:
Formula untuk pergi dari logaritma dalam satu asas kepada logaritma dalam asas lain
Formula ini juga sering digunakan semasa menyelesaikan pelbagai tugas untuk logaritma:
Kes istimewa:
Perbandingan logaritma (ketaksamaan)
Katakan kita mempunyai 2 fungsi f(x) dan g(x) di bawah logaritma dengan asas yang sama dan terdapat tanda ketaksamaan di antara mereka:
Untuk membandingkannya, anda perlu melihat asas logaritma a:
- Jika a > 0, maka f(x) > g(x) > 0
- Jika 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)
Bagaimana untuk menyelesaikan masalah dengan logaritma: contoh
Tugasan dengan logaritma termasuk dalam USE dalam matematik untuk gred 11 dalam tugasan 5 dan tugasan 7, anda boleh mencari tugasan dengan penyelesaian di laman web kami di bahagian yang berkaitan. Juga, tugasan dengan logaritma terdapat dalam bank tugas dalam matematik. Anda boleh mencari semua contoh dengan mencari tapak.
Apakah itu logaritma
Logaritma sentiasa dianggap sebagai topik yang sukar dalam kursus matematik sekolah. Terdapat banyak definisi logaritma yang berbeza, tetapi atas sebab tertentu kebanyakan buku teks menggunakan yang paling kompleks dan malang daripadanya.
Kami akan mentakrifkan logaritma dengan mudah dan jelas. Mari buat jadual untuk ini:
Jadi, kita ada kuasa dua.
Logaritma - sifat, formula, cara menyelesaikan
Jika anda mengambil nombor dari baris bawah, maka anda boleh dengan mudah mencari kuasa yang anda perlu menaikkan dua untuk mendapatkan nombor ini. Sebagai contoh, untuk mendapatkan 16, anda perlu menaikkan dua kepada kuasa keempat. Dan untuk mendapatkan 64, anda perlu menaikkan dua kepada kuasa keenam. Ini boleh dilihat dari jadual.
Dan sekarang - sebenarnya, takrifan logaritma:
asas a hujah x ialah kuasa yang nombor a mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor x.
Notasi: log a x \u003d b, di mana a ialah asas, x ialah hujah, b sebenarnya adalah sama dengan logaritma.
Contohnya, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritma asas 2 bagi 8 ialah tiga kerana 2 3 = 8). Boleh juga mencatat 2 64 = 6, kerana 2 6 = 64.
Operasi mencari logaritma nombor kepada asas tertentu dipanggil. Jadi mari tambahkan baris baharu pada jadual kami:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
Malangnya, tidak semua logaritma dianggap begitu mudah. Sebagai contoh, cuba cari log 2 5. Nombor 5 tiada dalam jadual, tetapi logik menentukan bahawa logaritma akan terletak di suatu tempat pada segmen. Kerana 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Nombor sedemikian dipanggil tidak rasional: nombor selepas titik perpuluhan boleh ditulis selama-lamanya, dan ia tidak akan berulang. Jika logaritma ternyata tidak rasional, lebih baik biarkan seperti ini: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Adalah penting untuk memahami bahawa logaritma ialah ungkapan dengan dua pembolehubah (asas dan hujah). Pada mulanya, ramai orang keliru di mana asas dan di mana hujah. Untuk mengelakkan salah faham yang menjengkelkan, lihat sahaja gambar:
Di hadapan kita tidak lebih daripada definisi logaritma. Ingat: logaritma ialah kuasa, yang mana anda perlu meningkatkan asas untuk mendapatkan hujah. Ia adalah pangkalan yang dinaikkan kepada kuasa - dalam gambar ia diserlahkan dengan warna merah. Ternyata asasnya sentiasa di bawah! Saya memberitahu peraturan yang menarik ini kepada pelajar saya pada pelajaran pertama - dan tidak ada kekeliruan.
Cara mengira logaritma
Kami mengetahui definisi - ia masih perlu belajar cara mengira logaritma, i.e. buang tanda "log". Sebagai permulaan, kami perhatikan bahawa dua fakta penting mengikuti dari definisi:
- Hujah dan asas mestilah sentiasa lebih besar daripada sifar. Ini berikutan daripada takrifan darjah oleh eksponen rasional, yang mana takrifan logaritma dikurangkan.
- Asas mestilah berbeza daripada kesatuan, kerana unit kepada mana-mana kuasa masih satu unit. Oleh sebab itu, persoalan "kepada apa kuasa seseorang mesti dibangkitkan untuk mendapat dua" tidak bermakna. Tidak ada ijazah seperti itu!
Sekatan sedemikian dipanggil julat yang sah(ODZ). Ternyata ODZ logaritma kelihatan seperti ini: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Ambil perhatian bahawa tiada sekatan pada nombor b (nilai logaritma) tidak dikenakan. Sebagai contoh, logaritma mungkin negatif: log 2 0.5 = −1, kerana 0.5 = 2 −1 .
Walau bagaimanapun, kini kami hanya mempertimbangkan ungkapan berangka, di mana ia tidak diperlukan untuk mengetahui ODZ logaritma. Semua sekatan telah diambil kira oleh penyusun masalah. Tetapi apabila persamaan logaritma dan ketaksamaan mula dimainkan, keperluan DHS akan menjadi wajib. Sesungguhnya, dalam asas dan hujah boleh terdapat pembinaan yang sangat kuat, yang tidak semestinya sepadan dengan sekatan di atas.
Sekarang pertimbangkan skim umum pengiraan logaritma. Ia terdiri daripada tiga langkah:
- Nyatakan asas a dan hujah x sebagai kuasa dengan asas terkecil mungkin lebih besar daripada satu. Sepanjang perjalanan, adalah lebih baik untuk menyingkirkan pecahan perpuluhan;
- Selesaikan persamaan bagi pembolehubah b: x = a b ;
- Nombor b yang terhasil akan menjadi jawapannya.
Itu sahaja! Jika logaritma ternyata tidak rasional, ini akan dilihat pada langkah pertama. Keperluan bahawa asas lebih besar daripada satu adalah sangat relevan: ini mengurangkan kemungkinan ralat dan sangat memudahkan pengiraan. Begitu juga dengan pecahan perpuluhan: jika anda segera menukarnya kepada pecahan biasa, ralat akan berkurangan berkali-kali ganda.
Mari lihat bagaimana skema ini berfungsi dengan contoh khusus:
Tugasan. Kira logaritma: log 5 25
- Mari kita wakili asas dan hujah sebagai kuasa lima: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
- Mendapat jawapan: 2.
Mari kita buat dan selesaikan persamaan:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Tugasan. Kira logaritma:
Tugasan. Kira logaritma: log 4 64
- Mari kita wakili asas dan hujah sebagai kuasa dua: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
- Mari kita buat dan selesaikan persamaan:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3; - Mendapat jawapan: 3.
Tugasan. Kira logaritma: log 16 1
- Mari kita wakili asas dan hujah sebagai kuasa dua: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- Mari kita buat dan selesaikan persamaan:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0; - Menerima jawapan: 0.
Tugasan. Kira logaritma: log 7 14
- Mari kita wakili asas dan hujah sebagai kuasa tujuh: 7 = 7 1 ; 14 tidak diwakili sebagai kuasa tujuh, kerana 7 1< 14 < 7 2 ;
- Ia berikutan daripada perenggan sebelumnya bahawa logaritma tidak dipertimbangkan;
- Jawapannya tiada perubahan: log 7 14.
Nota kecil kepada contoh terakhir. Bagaimana untuk memastikan bahawa nombor bukan kuasa tepat nombor lain? Sangat mudah - hanya menguraikannya menjadi faktor utama. Jika terdapat sekurang-kurangnya dua faktor berbeza dalam pengembangan, bilangannya bukanlah kuasa yang tepat.
Tugasan. Ketahui sama ada kuasa sebenar nombor itu ialah: 8; 48; 81; 35; 14.
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - darjah yang tepat, kerana hanya ada satu pengganda;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 bukan kuasa yang tepat kerana terdapat dua faktor: 3 dan 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - darjah tepat;
35 = 7 5 - sekali lagi bukan darjah yang tepat;
14 \u003d 7 2 - sekali lagi bukan tahap yang tepat;
Kami juga ambil perhatian bahawa kami nombor perdana sentiasa kuasa yang tepat untuk diri mereka sendiri.
Logaritma perpuluhan
Sesetengah logaritma adalah sangat biasa sehingga mereka mempunyai nama dan sebutan khas.
daripada hujah x ialah logaritma asas 10, i.e. kuasa yang 10 mesti dinaikkan untuk mendapatkan x. Jawatan: lgx.
Sebagai contoh, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - dsb.
Mulai sekarang, apabila frasa seperti "Cari lg 0.01" muncul dalam buku teks, ketahui bahawa ini bukan kesilapan menaip. Ini ialah logaritma perpuluhan. Walau bagaimanapun, jika anda tidak biasa dengan sebutan sedemikian, anda sentiasa boleh menulis semula:
log x = log 10 x
Semua yang benar untuk logaritma biasa adalah benar untuk perpuluhan.
logaritma semula jadi
Terdapat satu lagi logaritma yang mempunyai tatatanda tersendiri. Dari satu segi, ia lebih penting daripada perpuluhan. Ia mengenai tentang logaritma semula jadi.
daripada hujah x ialah logaritma kepada asas e, i.e. kuasa yang nombor e mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor x. Jawatan: lnx.
Ramai yang akan bertanya: apakah nombor e? Ini adalah nombor tidak rasional nilai sebenar mustahil untuk mencari dan merekodkan. Berikut adalah nombor pertama:
e = 2.718281828459…
Kami tidak akan menyelidiki apakah nombor ini dan mengapa ia diperlukan. Ingatlah bahawa e ialah asas logaritma asli:
ln x = log e x
Oleh itu ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - dsb. Sebaliknya, ln 2 ialah nombor tak rasional. Secara amnya, logaritma asli mana-mana nombor rasional adalah tidak rasional. Kecuali, sudah tentu, perpaduan: ln 1 = 0.
Untuk logaritma asli, semua peraturan yang benar untuk logaritma biasa adalah sah.
Lihat juga:
Logaritma. Sifat logaritma (kuasa logaritma).
Bagaimana untuk mewakili nombor sebagai logaritma?
Kami menggunakan definisi logaritma.
Logaritma ialah penunjuk kuasa yang mana tapak mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor di bawah tanda logaritma.
Oleh itu, untuk mewakili nombor c tertentu sebagai logaritma kepada asas a, anda perlu meletakkan darjah dengan asas yang sama dengan asas logaritma di bawah tanda logaritma, dan tulis nombor c ini ke dalam eksponen:
Dalam bentuk logaritma, anda boleh mewakili sebarang nombor - positif, negatif, integer, pecahan, rasional, tidak rasional:
Untuk tidak mengelirukan a dan c dalam keadaan tekanan ujian atau peperiksaan, anda boleh menggunakan peraturan berikut untuk mengingati:
yang di bawah turun, yang di atas naik.
Sebagai contoh, anda ingin mewakili nombor 2 sebagai logaritma kepada asas 3.
Kami mempunyai dua nombor - 2 dan 3. Nombor ini adalah asas dan eksponen, yang akan kami tulis di bawah tanda logaritma. Ia kekal untuk menentukan yang mana antara nombor ini harus ditulis, dalam asas darjah, dan yang - atas, dalam eksponen.
Asas 3 dalam rekod logaritma berada di bahagian bawah, yang bermaksud apabila kita mewakili deuce sebagai logaritma kepada asas 3, kita juga akan menulis 3 ke pangkalan.
2 lebih tinggi daripada 3. Dan dalam notasi darjah, kami menulis dua di atas tiga, iaitu, dalam eksponen:
Logaritma. Tahap pertama.
Logaritma
logaritma nombor positif b dengan alasan a, Di mana a > 0, a ≠ 1, ialah eksponen yang nombor itu mesti dinaikkan. a, Untuk mendapatkan b.
Definisi logaritma boleh ditulis secara ringkas seperti ini:
Persamaan ini sah untuk b > 0, a > 0, a ≠ 1. Dia biasa dipanggil identiti logaritma.
Tindakan mencari logaritma nombor dipanggil logaritma.
Sifat logaritma:
Logaritma produk:
Logaritma hasil bagi daripada pembahagian:
Menggantikan asas logaritma:
logaritma darjah:
logaritma akar:
Logaritma dengan asas kuasa:
Logaritma perpuluhan dan semula jadi.
Logaritma perpuluhan nombor panggil logaritma asas 10 nombor itu dan tulis lg b
logaritma semula jadi nombor memanggil logaritma nombor ini ke pangkalan e, Di mana e ialah nombor tak rasional, lebih kurang sama dengan 2.7. Pada masa yang sama, mereka menulis ln b.
Nota Lain tentang Algebra dan Geometri
Sifat asas logaritma
Sifat asas logaritma
Logaritma, seperti mana-mana nombor, boleh ditambah, ditolak dan ditukar dalam setiap cara yang mungkin. Tetapi kerana logaritma bukan nombor biasa, terdapat peraturan di sini, yang dipanggil sifat asas.
Peraturan ini mesti diketahui - tiada masalah logaritma yang serius boleh diselesaikan tanpanya. Di samping itu, terdapat sangat sedikit daripada mereka - semuanya boleh dipelajari dalam satu hari. Jadi mari kita mulakan.
Penambahan dan penolakan logaritma
Pertimbangkan dua logaritma dengan asas yang sama: log a x dan log a y. Kemudian mereka boleh ditambah dan ditolak, dan:
- log a x + log a y = log a (x y);
- log a x - log a y = log a (x: y).
Jadi, jumlah logaritma adalah sama dengan logaritma hasil darab, dan perbezaannya ialah logaritma hasil bagi. Sila ambil perhatian: perkara utama di sini ialah - alasan yang sama. Jika pangkalannya berbeza, peraturan ini tidak berfungsi!
Formula ini akan membantu anda mengira ungkapan logaritma walaupun bahagian individunya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apakah itu logaritma"). Lihat contoh dan lihat:
log 6 4 + log 6 9.
Oleh kerana asas logaritma adalah sama, kami menggunakan formula jumlah:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 2 48 − log 2 3.
Asasnya adalah sama, kami menggunakan formula perbezaan:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 3 135 − log 3 5.
Sekali lagi, asasnya adalah sama, jadi kami mempunyai:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Seperti yang anda lihat, ungkapan asal terdiri daripada logaritma "buruk", yang tidak dianggap secara berasingan. Tetapi selepas transformasi nombor yang agak normal ternyata. Berdasarkan fakta ini, ramai kertas ujian. Ya, kawalan - ungkapan yang serupa dalam semua kesungguhan (kadangkala - hampir tiada perubahan) ditawarkan semasa peperiksaan.
Mengeluarkan eksponen daripada logaritma
Sekarang mari kita merumitkan sedikit tugas. Bagaimana jika terdapat ijazah dalam asas atau hujah logaritma? Kemudian eksponen darjah ini boleh dikeluarkan dari tanda logaritma mengikut peraturan berikut:
Ia adalah mudah untuk melihatnya peraturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatinya - dalam beberapa kes ia akan mengurangkan jumlah pengiraan dengan ketara.
Sudah tentu, semua peraturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dan satu lagi perkara: belajar menggunakan semua formula bukan sahaja dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, i.e. anda boleh memasukkan nombor sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri.
Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma
Inilah yang paling kerap diperlukan.
Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 7 49 6 .
Mari kita buang darjah dalam hujah mengikut formula pertama:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Tugasan. Cari nilai ungkapan:
Perhatikan bahawa penyebutnya ialah logaritma yang asas dan hujahnya adalah kuasa tepat: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Kami ada:
Saya rasa contoh terakhir memerlukan penjelasan. Ke mana perginya logaritma? Sehingga saat terakhir, kami hanya bekerja dengan penyebut. Mereka membentangkan asas dan hujah logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk darjah dan mengeluarkan penunjuk - mereka mendapat pecahan "tiga tingkat".
Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pengangka dan penyebut mempunyai nombor yang sama: log 2 7. Oleh kerana log 2 7 ≠ 0, kita boleh mengurangkan pecahan - 2/4 akan kekal dalam penyebut. Menurut peraturan aritmetik, empat boleh dipindahkan ke pengangka, yang telah dilakukan. Hasilnya ialah jawapan: 2.
Peralihan kepada asas baharu
Bercakap tentang peraturan untuk menambah dan menolak logaritma, saya secara khusus menekankan bahawa ia hanya berfungsi dengan asas yang sama. Bagaimana jika asasnya berbeza? Bagaimana jika mereka bukan kuasa tepat nombor yang sama?
Formula untuk peralihan ke pangkalan baharu datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorem:
Biarlah diberi log logaritma kapak. Kemudian untuk sebarang nombor c supaya c > 0 dan c ≠ 1, kesamaan adalah benar:
Khususnya, jika kita meletakkan c = x, kita mendapat:
Ia mengikuti dari formula kedua bahawa adalah mungkin untuk menukar asas dan hujah logaritma, tetapi dalam kes ini keseluruhan ungkapan "terbalik", i.e. logaritma adalah dalam penyebut.
Formula ini jarang ditemui dalam ungkapan berangka biasa. Adalah mungkin untuk menilai betapa mudahnya mereka hanya apabila menyelesaikan persamaan logaritma dan ketaksamaan.
Walau bagaimanapun, terdapat tugas yang tidak dapat diselesaikan sama sekali kecuali dengan berpindah ke asas baru. Mari kita pertimbangkan beberapa perkara ini:
Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 5 16 log 2 25.
Ambil perhatian bahawa hujah kedua-dua logaritma adalah eksponen tepat. Mari kita keluarkan penunjuk: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Sekarang mari kita balikkan logaritma kedua:
Oleh kerana produk tidak berubah daripada pilih atur faktor, kami dengan tenang mendarab empat dan dua, dan kemudian memikirkan logaritma.
Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 9 100 lg 3.
Asas dan hujah logaritma pertama adalah kuasa yang tepat. Mari kita tuliskannya dan singkirkan penunjuk:
Sekarang mari kita buang logaritma perpuluhan dengan berpindah ke pangkalan baharu:
Identiti logaritma asas
Selalunya dalam proses penyelesaian ia diperlukan untuk mewakili nombor sebagai logaritma kepada asas tertentu.
Dalam kes ini, formula akan membantu kami:
Dalam kes pertama, nombor n menjadi eksponen dalam hujah. Nombor n boleh menjadi apa-apa sahaja, kerana ia hanyalah nilai logaritma.
Formula kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasa. Ia dipanggil seperti ini:
Sesungguhnya, apakah yang akan berlaku jika nombor b dinaikkan ke tahap sedemikian sehingga nombor b dalam darjah ini memberikan nombor a? Betul: ini adalah nombor yang sama a. Baca perenggan ini dengan teliti sekali lagi - ramai orang "menggantung" di atasnya.
Seperti formula penukaran asas baharu, identiti logaritma asas kadangkala merupakan satu-satunya penyelesaian yang mungkin.
Tugasan. Cari nilai ungkapan:
Perhatikan bahawa log 25 64 = log 5 8 - baru sahaja mengeluarkan petak dari pangkalan dan hujah logaritma. Memandangkan peraturan untuk mendarab kuasa dengan asas yang sama, kita mendapat:
Jika seseorang tidak tahu, ini adalah tugas sebenar dari Peperiksaan Negeri Bersepadu 🙂
Unit logaritma dan sifar logaritma
Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identiti yang sukar untuk dipanggil sifat - sebaliknya, ini adalah akibat daripada definisi logaritma. Mereka sentiasa ditemui dalam masalah dan, yang mengejutkan, mencipta masalah walaupun untuk pelajar "maju".
- log a a = 1 ialah. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma kepada mana-mana asas a daripada asas itu sendiri adalah sama dengan satu.
- log a 1 = 0 ialah. Asas a boleh menjadi apa sahaja, tetapi jika hujahnya adalah satu, logaritmanya adalah sifar! Kerana 0 = 1 adalah akibat langsung dari definisi.
Itu semua sifatnya. Pastikan anda berlatih mempraktikkannya! Muat turun helaian panduan pada permulaan pelajaran, cetak dan selesaikan masalah.
\(a^(b)=c\) \(\Anak panah kiri\) \(\log_(a)(c)=b\)
Mari kita jelaskan dengan lebih mudah. Sebagai contoh, \(\log_(2)(8)\) adalah sama dengan kuasa \(2\) mesti dinaikkan untuk mendapatkan \(8\). Daripada ini jelas bahawa \(\log_(2)(8)=3\).
|
Contoh: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
kerana \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
kerana \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
kerana \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
Hujah dan asas logaritma
Mana-mana logaritma mempunyai "anatomi" berikut:
Hujah logaritma biasanya ditulis pada tahapnya, dan pangkalan ditulis dalam subskrip lebih dekat dengan tanda logaritma. Dan entri ini dibaca seperti ini: "logaritma dua puluh lima hingga asas lima."
Bagaimana untuk mengira logaritma?
Untuk mengira logaritma, anda perlu menjawab soalan: sejauh manakah asas harus dibangkitkan untuk mendapatkan hujah?
Sebagai contoh, hitung logaritma: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) Apakah kuasa yang mesti dinaikkan untuk mendapatkan \(16\)? Jelas sekali yang kedua. Itulah sebabnya:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) Pada kuasa apakah \(\sqrt(5)\) mesti dinaikkan untuk mendapatkan \(1\)? Dan tahap apakah yang menjadikan sebarang nombor sebagai unit? Sifar, sudah tentu!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) Apakah kuasa \(\sqrt(7)\) mesti dinaikkan untuk mendapatkan \(\sqrt(7)\)? Dalam yang pertama - sebarang nombor dalam darjah pertama adalah sama dengan dirinya sendiri.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) Kepada kuasa apakah \(3\) mesti dinaikkan untuk mendapatkan \(\sqrt(3)\)? Daripada kita tahu itu adalah kuasa pecahan, yang bermaksud Punca kuasa dua ialah darjah \(\frac(1)(2)\) .
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
Contoh : Kira logaritma \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
Penyelesaian :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Kita perlu mencari nilai logaritma, mari kita nyatakan ia sebagai x. Sekarang mari kita gunakan definisi logaritma: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
Apakah pautan \(4\sqrt(2)\) dan \(8\)? Dua, kerana kedua-dua nombor boleh diwakili oleh dua: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
Di sebelah kiri, kami menggunakan sifat darjah: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) dan \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
Asas adalah sama, kita meneruskan ke persamaan penunjuk |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
Darab kedua-dua belah persamaan dengan \(\frac(2)(5)\) |
|
|
Punca yang terhasil ialah nilai logaritma |
Jawab : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
Mengapakah logaritma dicipta?
Untuk memahami perkara ini, mari kita selesaikan persamaan: \(3^(x)=9\). Hanya padankan \(x\) untuk membuat kesamaan berfungsi. Sudah tentu, \(x=2\).
Sekarang selesaikan persamaan: \(3^(x)=8\). Apakah x sama dengan? Itulah maksudnya.
Yang paling cerdik akan berkata: "X kurang sedikit daripada dua." Bagaimana sebenarnya nombor ini ditulis? Untuk menjawab soalan ini, mereka datang dengan logaritma. Terima kasih kepadanya, jawapan di sini boleh ditulis sebagai \(x=\log_(3)(8)\).
Saya ingin menekankan bahawa \(\log_(3)(8)\), serta sebarang logaritma hanyalah nombor. Ya, ia kelihatan luar biasa, tetapi ia pendek. Kerana jika kita mahu menulisnya sebagai perpuluhan, ia akan kelihatan seperti ini: \(1.892789260714.....\)
Contoh : Selesaikan persamaan \(4^(5x-4)=10\)
Penyelesaian :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) dan \(10\) tidak boleh dikurangkan kepada tapak yang sama. Jadi di sini anda tidak boleh melakukannya tanpa logaritma. Mari kita gunakan definisi logaritma: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
Balikkan persamaan supaya x berada di sebelah kiri |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
Sebelum kita. Gerakkan \(4\) ke kanan. Dan jangan takut dengan logaritma, perlakukan ia seperti nombor biasa. |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
Bahagikan persamaan dengan 5 |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
Inilah punca kami. Ya, ia kelihatan luar biasa, tetapi jawapannya tidak dipilih. |
Jawab : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
Logaritma perpuluhan dan semula jadi
Seperti yang dinyatakan dalam takrifan logaritma, asasnya boleh menjadi sebarang nombor positif, kecuali untuk unit \((a>0, a\neq1)\). Dan di antara semua asas yang mungkin, terdapat dua yang sering berlaku sehingga notasi pendek khas dicipta untuk logaritma dengannya:
Logaritma asli: logaritma yang asasnya ialah nombor Euler \(e\) (sama dengan lebih kurang \(2.7182818…\)), dan logaritma ditulis sebagai \(\ln(a)\).
Itu dia, \(\ln(a)\) adalah sama dengan \(\log_(e)(a)\)
Logaritma perpuluhan: Logaritma yang asasnya ialah 10 ditulis \(\lg(a)\).
Itu dia, \(\lg(a)\) adalah sama dengan \(\log_(10)(a)\), dengan \(a\) ialah beberapa nombor.
Identiti logaritma asas
Logaritma mempunyai banyak sifat. Salah satu daripadanya dipanggil "Identiti logaritma asas" dan kelihatan seperti ini:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
Sifat ini mengikuti terus dari definisi. Mari lihat bagaimana formula ini terhasil.
Mari kita ingat nota ringkas definisi logaritma:
jika \(a^(b)=c\), maka \(\log_(a)(c)=b\)
Iaitu, \(b\) adalah sama dengan \(\log_(a)(c)\). Kemudian kita boleh menulis \(\log_(a)(c)\) dan bukannya \(b\) dalam formula \(a^(b)=c\) . Ternyata \(a^(\log_(a)(c))=c\) - identiti logaritma utama.
Anda boleh mencari selebihnya sifat logaritma. Dengan bantuan mereka, anda boleh memudahkan dan mengira nilai ungkapan dengan logaritma, yang sukar untuk dikira secara langsung.
Contoh : Cari nilai ungkapan \(36^(\log_(6)(5))\)
Penyelesaian :
Jawab : \(25\)
Bagaimana untuk menulis nombor sebagai logaritma?
Seperti yang dinyatakan di atas, sebarang logaritma hanyalah nombor. Sebaliknya juga benar: sebarang nombor boleh ditulis sebagai logaritma. Sebagai contoh, kita tahu bahawa \(\log_(2)(4)\) adalah sama dengan dua. Kemudian anda boleh menulis \(\log_(2)(4)\) dan bukannya dua.
Tetapi \(\log_(3)(9)\) juga sama dengan \(2\), jadi anda juga boleh menulis \(2=\log_(3)(9)\) . Begitu juga dengan \(\log_(5)(25)\), dan dengan \(\log_(9)(81)\), dsb. Iaitu, ternyata
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
Oleh itu, jika kita perlu, kita boleh menulis kedua-duanya sebagai logaritma dengan mana-mana asas di mana-mana sahaja (walaupun dalam persamaan, walaupun dalam ungkapan, walaupun dalam ketaksamaan) - kita hanya menulis asas kuasa dua sebagai hujah.
Ia sama dengan tiga kali ganda - ia boleh ditulis sebagai \(\log_(2)(8)\), atau sebagai \(\log_(3)(27)\), atau sebagai \(\log_(4)( 64) \) ... Di sini kita menulis pangkalan dalam kubus sebagai hujah:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
Dan dengan empat:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
Dan dengan tolak satu:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)
Dan dengan satu pertiga:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Sebarang nombor \(a\) boleh diwakili sebagai logaritma dengan asas \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)
Contoh : Cari nilai ungkapan \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
Penyelesaian :
Jawab : \(1\)
