Maksud persamaan kuadratik. Penyelesaian persamaan kuadratik, rumus punca, contoh

Formula untuk punca-punca persamaan kuadratik. Kes punca sebenar, berbilang dan kompleks dipertimbangkan. Pemfaktoran trinomial segi empat sama. Tafsiran geometri. Contoh penentuan punca dan pemfaktoran.

Formula asas

Pertimbangkan persamaan kuadratik:
(1) .
Punca-punca persamaan kuadratik(1) ditentukan oleh formula:
; .
Formula ini boleh digabungkan seperti ini:
.
Apabila punca-punca persamaan kuadratik diketahui, maka polinomial darjah kedua boleh diwakili sebagai hasil darab faktor (difaktorkan):
.

Selanjutnya, kami menganggap itu adalah nombor nyata.
Pertimbangkan diskriminasi bagi persamaan kuadratik:
.
Jika diskriminasi adalah positif, maka persamaan kuadratik (1) mempunyai dua punca nyata yang berbeza:
; .
Kemudian pemfaktoran trinomial segi empat sama mempunyai bentuk:
.
Jika diskriminasi adalah sifar, maka persamaan kuadratik (1) mempunyai dua punca nyata berganda (sama):
.
Pemfaktoran:
.
Jika diskriminasi adalah negatif, maka persamaan kuadratik (1) mempunyai dua punca konjugat kompleks:
;
.
Berikut ialah unit khayalan, ;
dan merupakan bahagian akar yang sebenar dan khayalan:
; .
Kemudian

.

Tafsiran grafik

Jika membina graf fungsi
,
yang merupakan parabola, maka titik persilangan graf dengan paksi akan menjadi punca persamaan
.
Apabila , graf memotong paksi absis (paksi) pada dua titik.
Apabila , graf menyentuh paksi-x pada satu titik.
Apabila , graf tidak melintasi paksi-x.

Di bawah adalah contoh graf tersebut.

Formula Berguna Berkaitan Persamaan Kuadratik

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Terbitan rumus bagi punca-punca persamaan kuadratik

Kami melakukan transformasi dan menggunakan formula (f.1) dan (f.3):




,
di mana
; .

Jadi, kami mendapat formula untuk polinomial darjah kedua dalam bentuk:
.
Daripada ini dapat dilihat bahawa persamaan

dilakukan di
Dan .
Iaitu, dan merupakan punca-punca persamaan kuadratik
.

Contoh penentuan punca-punca persamaan kuadratik

Contoh 1

(1.1) .

Penyelesaian

.
Membandingkan dengan persamaan kami (1.1), kami dapati nilai pekali:
.
Mencari diskriminasi:
.
Oleh kerana diskriminasi adalah positif, persamaan mempunyai dua punca sebenar:
;
;
.

Dari sini kita memperoleh penguraian trinomial persegi kepada faktor:

.

Graf bagi fungsi y = 2 x 2 + 7 x + 3 melintasi paksi-x pada dua titik.

Mari kita plot fungsi
.
Graf fungsi ini ialah parabola. Ia melintasi paksi-x (paksi) pada dua titik:
Dan .
Titik-titik ini adalah punca-punca persamaan asal (1.1).

Jawab

;
;
.

Contoh 2

Cari punca-punca persamaan kuadratik:
(2.1) .

Penyelesaian

Kami menulis persamaan kuadratik dalam Pandangan umum:
.
Membandingkan dengan persamaan asal (2.1), kita dapati nilai pekali:
.
Mencari diskriminasi:
.
Oleh kerana diskriminasi adalah sifar, persamaan mempunyai dua punca berbilang (sama):
;
.

Kemudian pemfaktoran trinomial mempunyai bentuk:
.

Graf fungsi y = x 2 - 4 x + 4 menyentuh paksi-x pada satu titik.

Mari kita plot fungsi
.
Graf fungsi ini ialah parabola. Ia menyentuh paksi-x (paksi) pada satu titik:
.
Titik ini adalah punca bagi persamaan asal (2.1). Oleh kerana akar ini difaktorkan dua kali:
,
maka akar sedemikian dipanggil gandaan. Iaitu, mereka menganggap bahawa terdapat dua punca yang sama:
.

Jawab

;
.

Contoh 3

Cari punca-punca persamaan kuadratik:
(3.1) .

Penyelesaian

Kami menulis persamaan kuadratik dalam bentuk umum:
(1) .
Mari kita tulis semula persamaan asal (3.1):
.
Membandingkan dengan (1), kita dapati nilai pekali:
.
Mencari diskriminasi:
.
Diskriminasi adalah negatif, . Oleh itu, tidak ada akar sebenar.

Anda boleh mencari akar kompleks:
;
;
.

Kemudian


.

Graf fungsi tidak melintasi paksi-x. Tiada akar sebenar.

Mari kita plot fungsi
.
Graf fungsi ini ialah parabola. Ia tidak melepasi absis (paksi). Oleh itu, tidak ada akar sebenar.

Jawab

Tiada akar sebenar. Akar kompleks:
;
;
.

Video pelajaran 2: Menyelesaikan persamaan kuadratik

Syarahan: Persamaan kuadratik

Persamaan

Persamaan- ini adalah sejenis kesamaan, dalam ungkapan yang terdapat pembolehubah.

selesaikan persamaan- bermaksud mencari nombor sedemikian dan bukannya pembolehubah yang akan membawanya kepada kesamaan yang betul.

Persamaan mungkin mempunyai satu penyelesaian, atau beberapa, atau tiada sama sekali.

Untuk menyelesaikan sebarang persamaan, ia hendaklah dipermudahkan sebanyak mungkin kepada bentuk:

Linear: a*x = b;

segi empat sama: a*x 2 + b*x + c = 0.

Iaitu, sebarang persamaan sebelum menyelesaikan mesti ditukar kepada bentuk piawai.

Mana-mana persamaan boleh diselesaikan dalam dua cara: analitikal dan grafik.

Pada graf, penyelesaian kepada persamaan dianggap sebagai titik di mana graf bersilang dengan paksi-x.

Persamaan kuadratik

Persamaan boleh dipanggil kuadratik jika, apabila dipermudahkan, ia mengambil bentuk:

a*x 2 + b*x + c = 0.

Di mana a, b, c ialah pekali bagi persamaan yang berbeza daripada sifar. A "X"- punca persamaan. Adalah dipercayai bahawa persamaan kuadratik mempunyai dua punca atau mungkin tidak mempunyai penyelesaian sama sekali. Akar yang terhasil mungkin sama.

"A"- pekali yang berdiri di hadapan punca dalam segi empat sama.

"b"- berdiri di hadapan yang tidak diketahui dalam darjah pertama.

"Dengan"- sebutan bebas bagi persamaan.

Jika, sebagai contoh, kita mempunyai persamaan bentuk:

2x 2 -5x+3=0

Di dalamnya, "2" ialah pekali pada sebutan tertinggi persamaan, "-5" ialah pekali kedua, dan "3" ialah sebutan bebas.

Menyelesaikan persamaan kuadratik

Terdapat banyak cara untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. Walau bagaimanapun, dalam kursus matematik sekolah, penyelesaiannya dikaji menggunakan teorem Vieta, serta menggunakan diskriminasi.

Penyelesaian diskriminasi:

Apabila menyelesaikan dengan kaedah ini adalah perlu untuk mengira diskriminasi mengikut formula:

Jika semasa pengiraan anda mendapat bahawa diskriminasi adalah kurang daripada sifar, ini bermakna persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian.

Jika diskriminasi adalah sifar, maka persamaan mempunyai dua penyelesaian yang sama. Dalam kes ini, polinomial boleh diruntuhkan mengikut formula pendaraban yang disingkatkan ke dalam kuasa dua jumlah atau perbezaan. Kemudian selesaikannya seperti persamaan linear. Atau gunakan formula:

Jika diskriminasi lebih besar daripada sifar, maka kaedah berikut mesti digunakan:

Teorem Vieta

Jika persamaan dikurangkan, iaitu, pekali pada sebutan tertinggi adalah sama dengan satu, maka anda boleh menggunakan Teorem Vieta.

Jadi katakan persamaannya ialah:

Punca-punca persamaan didapati seperti berikut:

Persamaan kuadratik tidak lengkap

Terdapat beberapa pilihan untuk mendapatkan persamaan kuadratik yang tidak lengkap, bentuknya bergantung pada kehadiran pekali.

1. Jika pekali kedua dan ketiga adalah sama dengan sifar (b=0, c=0), maka persamaan kuadratik akan kelihatan seperti:

Persamaan ini akan mempunyai keputusan sahaja. Kesamaan hanya akan benar jika penyelesaian kepada persamaan adalah sifar.

Sebagai penerusan topik "Menyelesaikan Persamaan", bahan dalam artikel ini akan memperkenalkan anda kepada persamaan kuadratik.

Mari kita pertimbangkan segala-galanya secara terperinci: intipati dan notasi persamaan kuadratik, tetapkan istilah yang berkaitan, menganalisis skema untuk menyelesaikan persamaan yang tidak lengkap dan lengkap, berkenalan dengan formula akar dan diskriminasi, mewujudkan hubungan antara akar dan pekali, dan sudah tentu kami akan memberikan penyelesaian visual contoh praktikal.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Persamaan kuadratik, jenisnya

Definisi 1

Persamaan kuadratik ialah persamaan ditulis sebagai a x 2 + b x + c = 0, Di mana x– pembolehubah, a , b dan c adalah beberapa nombor, manakala a bukan sifar.

Selalunya, persamaan kuadratik juga dipanggil persamaan darjah kedua, kerana sebenarnya persamaan kuadratik ialah persamaan algebra darjah kedua.

Mari kita berikan satu contoh untuk menggambarkan definisi yang diberikan: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, dsb. ialah persamaan kuadratik.

Definisi 2

Nombor a , b dan c ialah pekali bagi persamaan kuadratik a x 2 + b x + c = 0, manakala pekali a dipanggil pertama, atau senior, atau pekali pada x 2, b - pekali kedua, atau pekali pada x, A c dipanggil ahli percuma.

Sebagai contoh, dalam persamaan kuadratik 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 pekali tertinggi ialah 6 , pekali kedua ialah − 2 , dan istilah bebas adalah sama dengan − 11 . Marilah kita memberi perhatian kepada fakta bahawa apabila pekali b dan/atau c adalah negatif, maka singkatan rekod borang 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, tetapi tidak 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Marilah kita juga menjelaskan aspek ini: jika pekali a dan/atau b sama rata 1 atau − 1 , maka mereka mungkin tidak mengambil bahagian yang jelas dalam menulis persamaan kuadratik, yang dijelaskan oleh keanehan menulis pekali berangka yang ditunjukkan. Sebagai contoh, dalam persamaan kuadratik y 2 − y + 7 = 0 pekali kanan ialah 1 dan pekali kedua ialah − 1 .

Persamaan kuadratik terkurang dan tidak terkurang

Mengikut nilai pekali pertama, persamaan kuadratik dibahagikan kepada berkurang dan tidak berkurang.

Definisi 3

Persamaan kuadratik terkurang ialah persamaan kuadratik dengan pekali pendahuluan ialah 1 . Untuk nilai lain pekali pendahulu, persamaan kuadratik tidak dikurangkan.

Berikut ialah beberapa contoh: persamaan kuadratik x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 dikurangkan, di mana setiap satunya pekali pendahulu ialah 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- persamaan kuadratik tidak dikurangkan, di mana pekali pertama berbeza daripada 1 .

Mana-mana persamaan kuadratik tidak dikurangkan boleh ditukar kepada persamaan terkurang dengan membahagikan kedua-dua bahagiannya dengan pekali pertama (transformasi setara). Persamaan yang ditransformasikan akan mempunyai punca yang sama dengan persamaan tidak dikurangkan atau juga tidak mempunyai punca sama sekali.

Pertimbangan kajian kes akan membolehkan kita menunjukkan secara visual peralihan daripada persamaan kuadratik tidak terkurang kepada persamaan terkurang.

Contoh 1

Diberi persamaan 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Ia adalah perlu untuk menukar persamaan asal ke dalam bentuk terkurang.

Penyelesaian

Mengikut skema di atas, kita membahagikan kedua-dua bahagian persamaan asal dengan pekali pendahulu 6 . Kemudian kita dapat: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3, dan ini adalah sama seperti: (6 x 2) : 3 + (18 x): 3 − 7: 3 = 0 dan seterusnya: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Dari sini: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Oleh itu, persamaan yang setara dengan yang diberikan diperolehi.

Jawapan: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Persamaan kuadratik lengkap dan tidak lengkap

Mari kita beralih kepada definisi persamaan kuadratik. Di dalamnya, kami menyatakannya a ≠ 0. Keadaan yang sama diperlukan untuk persamaan a x 2 + b x + c = 0 adalah betul-betul persegi, sejak a = 0 ia pada asasnya berubah menjadi persamaan linear b x + c = 0.

Dalam kes di mana pekali b Dan c adalah sama dengan sifar (yang mungkin, kedua-duanya secara individu dan bersama), persamaan kuadratik dipanggil tidak lengkap.

Definisi 4

Persamaan kuadratik tidak lengkap ialah persamaan kuadratik a x 2 + b x + c \u003d 0, di mana sekurang-kurangnya satu daripada pekali b Dan c(atau kedua-duanya) adalah sifar.

Persamaan kuadratik lengkap ialah persamaan kuadratik di mana semua pekali berangka tidak sama dengan sifar.

Mari kita bincangkan mengapa jenis persamaan kuadratik diberikan dengan tepat nama sedemikian.

Untuk b = 0, persamaan kuadratik mengambil bentuk a x 2 + 0 x + c = 0, yang sama dengan a x 2 + c = 0. Pada c = 0 persamaan kuadratik ditulis sebagai a x 2 + b x + 0 = 0, yang setara a x 2 + b x = 0. Pada b = 0 Dan c = 0 persamaan akan mengambil bentuk a x 2 = 0. Persamaan yang kita perolehi berbeza daripada persamaan kuadratik penuh kerana bahagian kirinya tidak mengandungi sama ada sebutan dengan pembolehubah x, atau sebutan bebas, atau kedua-duanya sekali. Sebenarnya, fakta ini memberi nama kepada jenis persamaan ini - tidak lengkap.

Contohnya, x 2 + 3 x + 4 = 0 dan − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 ialah persamaan kuadratik lengkap; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 ialah persamaan kuadratik tidak lengkap.

Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap

Takrifan yang diberikan di atas membolehkan untuk membezakan jenis persamaan kuadratik tidak lengkap berikut:

• a x 2 = 0, pekali sepadan dengan persamaan sedemikian b = 0 dan c = 0 ;
• a x 2 + c \u003d 0 untuk b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 untuk c = 0 .

Pertimbangkan berturut-turut penyelesaian bagi setiap jenis persamaan kuadratik tidak lengkap.

Penyelesaian persamaan a x 2 \u003d 0

Seperti yang telah disebutkan di atas, persamaan sedemikian sepadan dengan pekali b Dan c, sama dengan sifar. Persamaan a x 2 = 0 boleh ditukar kepada persamaan setara x2 = 0, yang kita dapat dengan membahagikan kedua-dua belah persamaan asal dengan nombor a, tidak sama dengan sifar. Fakta yang jelas ialah punca persamaan x2 = 0 adalah sifar kerana 0 2 = 0 . Persamaan ini tidak mempunyai punca lain, yang dijelaskan oleh sifat darjah: untuk sebarang nombor p , tidak sama dengan sifar, ketaksamaan adalah benar p2 > 0, dari mana ia mengikuti bahawa apabila p ≠ 0 kesaksamaan p2 = 0 tidak akan pernah dicapai.

Definisi 5

Oleh itu, untuk persamaan kuadratik tidak lengkap a x 2 = 0, terdapat punca tunggal x=0.

Contoh 2

Sebagai contoh, mari kita selesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap − 3 x 2 = 0. Ia bersamaan dengan persamaan x2 = 0, satu-satunya akarnya ialah x=0, maka persamaan asal mempunyai punca tunggal - sifar.

Penyelesaiannya diringkaskan seperti berikut:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Penyelesaian persamaan a x 2 + c \u003d 0

Seterusnya dalam baris ialah penyelesaian persamaan kuadratik yang tidak lengkap, di mana b \u003d 0, c ≠ 0, iaitu, persamaan bentuk a x 2 + c = 0. Mari kita ubah persamaan ini dengan memindahkan istilah dari satu sisi persamaan ke yang lain, menukar tanda kepada bertentangan dan membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan nombor yang tidak sama dengan sifar:

• bertahan c ke sebelah kanan, yang memberikan persamaan a x 2 = − c;
• bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan a, kita dapat hasil x = - c a .

Transformasi kami adalah bersamaan, masing-masing, persamaan yang terhasil juga bersamaan dengan yang asal, dan fakta ini memungkinkan untuk membuat kesimpulan tentang punca-punca persamaan. Daripada apakah nilai a Dan c bergantung pada nilai ungkapan - c a: ia boleh mempunyai tanda tolak (contohnya, jika a = 1 Dan c = 2, maka - c a = - 2 1 = - 2) atau tanda tambah (contohnya, jika a = -2 Dan c=6, maka - c a = - 6 - 2 = 3); ia tidak sama dengan sifar kerana c ≠ 0. Mari kita bincang dengan lebih terperinci tentang situasi apabila - c a< 0 и - c a > 0 .

Dalam kes apabila - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа hlm kesamaan p 2 = - c a tidak boleh benar.

Semuanya berbeza apabila - c a > 0: ingat punca kuasa dua, dan ia akan menjadi jelas bahawa punca persamaan x 2 \u003d - c a akan menjadi nombor - c a, kerana - c a 2 \u003d - c a. Adalah mudah untuk memahami bahawa nombor - - c a - juga punca persamaan x 2 = - c a: sememangnya, - - c a 2 = - c a .

Persamaan tidak akan mempunyai punca lain. Kita boleh menunjukkan ini menggunakan kaedah yang bertentangan. Mula-mula, mari kita tetapkan notasi akar yang terdapat di atas sebagai x 1 Dan − x 1. Mari kita andaikan bahawa persamaan x 2 = - c a juga mempunyai punca x2, yang berbeza dari akarnya x 1 Dan − x 1. Kita tahu bahawa dengan menggantikan ke dalam persamaan dan bukannya x akarnya, kami mengubah persamaan menjadi kesamaan berangka yang saksama.

Untuk x 1 Dan − x 1 tulis: x 1 2 = - c a , dan untuk x2- x 2 2 \u003d - c a. Berdasarkan sifat kesamaan berangka, kita menolak satu kesamaan sebenar daripada sebutan lain mengikut sebutan, yang akan memberi kita: x 1 2 − x 2 2 = 0. Gunakan sifat operasi nombor untuk menulis semula kesamaan terakhir sebagai (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Diketahui bahawa hasil darab dua nombor adalah sifar jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada nombor adalah sifar. Daripada apa yang telah dikatakan, ia mengikutinya x1 − x2 = 0 dan/atau x1 + x2 = 0, yang sama x2 = x1 dan/atau x 2 = − x 1. Percanggahan yang jelas timbul, kerana pada mulanya dipersetujui bahawa punca persamaan x2 berbeza daripada x 1 Dan − x 1. Jadi, kita telah membuktikan bahawa persamaan itu tidak mempunyai punca selain x = - c a dan x = - - c a .

Kami meringkaskan semua hujah di atas.

Definisi 6

Persamaan kuadratik tidak lengkap a x 2 + c = 0 adalah bersamaan dengan persamaan x 2 = - c a , yang:

• tidak akan mempunyai akar pada - c a< 0 ;
• akan mempunyai dua punca x = - c a dan x = - - c a apabila - c a > 0 .

Mari kita berikan contoh penyelesaian persamaan a x 2 + c = 0.

Contoh 3

Diberi persamaan kuadratik 9 x 2 + 7 = 0 . Ia adalah perlu untuk mencari penyelesaiannya.

Penyelesaian

Kami memindahkan istilah bebas ke sebelah kanan persamaan, maka persamaan akan mengambil bentuk 9 x 2 \u003d - 7.
Kami membahagikan kedua-dua belah persamaan yang terhasil dengan 9 , kita sampai kepada x 2 = - 7 9 . Di sebelah kanan kita melihat nombor dengan tanda tolak, yang bermaksud: persamaan yang diberikan tidak mempunyai punca. Kemudian persamaan kuadratik tidak lengkap asal 9 x 2 + 7 = 0 tidak akan mempunyai akar.

Jawapan: persamaan 9 x 2 + 7 = 0 tidak mempunyai akar.

Contoh 4

Ia adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan − x2 + 36 = 0.

Penyelesaian

Mari kita gerakkan 36 ke sebelah kanan: − x 2 = − 36.
Mari bahagikan kedua-dua bahagian − 1 , kita mendapatkan x2 = 36. Di sebelah kanan - nombor positif, maka dapatlah disimpulkan bahawa x = 36 atau x = - 36 .
Kami mengekstrak punca dan menulis hasil akhir: persamaan kuadratik yang tidak lengkap − x2 + 36 = 0 mempunyai dua akar x=6 atau x = -6.

Jawapan: x=6 atau x = -6.

Penyelesaian persamaan a x 2 +b x=0

Marilah kita menganalisis jenis ketiga persamaan kuadratik tidak lengkap, apabila c = 0. Untuk mencari penyelesaian kepada persamaan kuadratik yang tidak lengkap a x 2 + b x = 0, kita menggunakan kaedah pemfaktoran. Mari kita memfaktorkan polinomial, yang berada di sebelah kiri persamaan, mengambil faktor sepunya daripada kurungan x. Langkah ini akan membolehkan untuk mengubah persamaan kuadratik tidak lengkap asal kepada persamaannya x (a x + b) = 0. Dan persamaan ini pula adalah bersamaan dengan set persamaan x=0 Dan a x + b = 0. Persamaan a x + b = 0 linear, dan akarnya: x = − b a.

Definisi 7

Oleh itu, persamaan kuadratik tidak lengkap a x 2 + b x = 0 akan mempunyai dua akar x=0 Dan x = − b a.

Mari kita satukan bahan dengan contoh.

Contoh 5

Adalah perlu untuk mencari penyelesaian persamaan 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Penyelesaian

Mari kita keluarkan x di luar kurungan dan dapatkan persamaan x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Persamaan ini bersamaan dengan persamaan x=0 dan 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Sekarang anda harus menyelesaikan persamaan linear yang terhasil: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Secara ringkas, kami menulis penyelesaian persamaan seperti berikut:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 atau 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 atau x = 3 3 7

Jawapan: x = 0 , x = 3 3 7 .

Diskriminasi, rumus punca-punca persamaan kuadratik

Untuk mencari penyelesaian kepada persamaan kuadratik, terdapat rumus punca:

Definisi 8

x = - b ± D 2 a, di mana D = b 2 − 4 a c ialah apa yang dipanggil diskriminasi bagi persamaan kuadratik.

Menulis x \u003d - b ± D 2 a pada asasnya bermakna x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Adalah berguna untuk memahami cara formula yang ditunjukkan diperoleh dan cara menggunakannya.

Terbitan rumus punca-punca persamaan kuadratik

Katakan kita berhadapan dengan tugas untuk menyelesaikan persamaan kuadratik a x 2 + b x + c = 0. Mari kita lakukan beberapa transformasi yang setara:

• bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan nombor a, berbeza daripada sifar, kita memperoleh persamaan kuadratik terkurang: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• tunggalkan persegi penuh di sebelah kiri persamaan yang terhasil:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Selepas ini, persamaan akan mengambil bentuk: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• kini adalah mungkin untuk memindahkan dua istilah terakhir ke sebelah kanan, menukar tanda ke sebaliknya, selepas itu kita dapat: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• akhirnya, kami mengubah ungkapan yang ditulis di sebelah kanan kesamaan terakhir:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Oleh itu, kita telah sampai kepada persamaan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , yang bersamaan dengan persamaan asal a x 2 + b x + c = 0.

Kami membincangkan penyelesaian persamaan tersebut dalam perenggan sebelumnya (penyelesaian persamaan kuadratik tidak lengkap). Pengalaman yang telah diperoleh memungkinkan untuk membuat kesimpulan mengenai punca-punca persamaan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• untuk b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• untuk b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, persamaan mempunyai bentuk x + b 2 · a 2 = 0, kemudian x + b 2 · a = 0.

Dari sini, satu-satunya punca x = - b 2 · a adalah jelas;

• untuk b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, yang betul ialah: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 atau x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , iaitu sama seperti x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 atau x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , i.e. persamaan mempunyai dua punca.

Adalah mungkin untuk membuat kesimpulan bahawa kehadiran atau ketiadaan punca-punca persamaan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (dan dengan itu persamaan asal) bergantung kepada tanda ungkapan b 2 - 4 a c 4 · a 2 ditulis di sebelah kanan. Dan tanda ungkapan ini diberikan oleh tanda pengangka, (penyebut 4 a 2 akan sentiasa positif), iaitu tanda ungkapan b 2 − 4 a c. Ungkapan ini b 2 − 4 a c nama diberikan - diskriminasi persamaan kuadratik dan huruf D ditakrifkan sebagai penetapannya. Di sini anda boleh menulis intipati diskriminasi - dengan nilai dan tandanya, mereka membuat kesimpulan sama ada persamaan kuadratik akan mempunyai punca sebenar, dan, jika ya, berapa banyak punca - satu atau dua.

Mari kembali kepada persamaan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Mari kita tulis semula menggunakan tatatanda diskriminasi: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Mari kita imbas kembali kesimpulannya:

Definisi 9

• di D< 0 persamaan tidak mempunyai punca sebenar;
• di D=0 persamaan mempunyai punca tunggal x = - b 2 · a ;
• di D > 0 persamaan mempunyai dua punca: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 atau x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Berdasarkan sifat radikal, akar ini boleh ditulis sebagai: x \u003d - b 2 a + D 2 a atau - b 2 a - D 2 a. Dan apabila kita membuka modul dan mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa, kita mendapat: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Jadi, hasil penaakulan kami ialah terbitan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , diskriminasi D dikira dengan formula D = b 2 − 4 a c.

Formula ini membolehkan, apabila diskriminasi lebih besar daripada sifar, untuk menentukan kedua-dua punca sebenar. Apabila diskriminasi adalah sifar, menggunakan kedua-dua formula akan memberikan punca yang sama sebagai satu-satunya penyelesaian kepada persamaan kuadratik. Dalam kes apabila diskriminasi negatif, cuba menggunakan formula akar kuadratik, kita akan berhadapan dengan keperluan untuk mengekstrak Punca kuasa dua daripada nombor negatif, yang akan membawa kita melebihi nombor nyata. Dengan diskriminasi negatif, persamaan kuadratik tidak akan mempunyai punca sebenar, tetapi sepasang punca konjugat kompleks mungkin, ditentukan oleh formula punca yang sama yang kami perolehi.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan rumus punca

Adalah mungkin untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan segera menggunakan formula punca, tetapi pada asasnya ini dilakukan apabila perlu untuk mencari punca kompleks.

Dalam kebanyakan kes, carian biasanya bukan untuk kompleks, tetapi untuk punca sebenar persamaan kuadratik. Maka adalah optimum, sebelum menggunakan formula untuk punca persamaan kuadratik, mula-mula untuk menentukan diskriminasi dan pastikan ia tidak negatif (jika tidak, kita akan membuat kesimpulan bahawa persamaan tidak mempunyai punca sebenar), dan kemudian meneruskan untuk mengira nilai akar.

Penalaran di atas memungkinkan untuk merumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

Definisi 10

Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik a x 2 + b x + c = 0, perlu:

• mengikut formula D = b 2 − 4 a c cari nilai diskriminasi;
• di D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• untuk D = 0 cari punca tunggal bagi persamaan dengan formula x = - b 2 · a ;
• untuk D > 0, tentukan dua punca nyata bagi persamaan kuadratik dengan formula x = - b ± D 2 · a.

Ambil perhatian bahawa apabila diskriminasi adalah sifar, anda boleh menggunakan formula x = - b ± D 2 · a , ia akan memberikan hasil yang sama seperti formula x = - b 2 · a .

Pertimbangkan contoh.

Contoh penyelesaian persamaan kuadratik

Mari kita berikan contoh penyelesaian untuk nilai yang berbeza diskriminasi.

Contoh 6

Ia adalah perlu untuk mencari punca-punca persamaan x 2 + 2 x - 6 = 0.

Penyelesaian

Kami menulis pekali berangka persamaan kuadratik: a \u003d 1, b \u003d 2 dan c = − 6. Seterusnya, kami bertindak mengikut algoritma, i.e. Mari kita mula mengira diskriminasi, yang mana kita menggantikan pekali a , b Dan c ke dalam formula diskriminasi: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Jadi, kita mendapat D > 0, yang bermaksud bahawa persamaan asal akan mempunyai dua punca sebenar.
Untuk mencarinya, kami menggunakan formula akar x \u003d - b ± D 2 · a dan, menggantikan nilai yang sesuai, kami mendapat: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Kami memudahkan ungkapan yang terhasil dengan mengeluarkan faktor daripada tanda punca, diikuti dengan pengurangan pecahan:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 atau x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 atau x = - 1 - 7

Jawapan: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Contoh 7

Ia adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan kuadratik − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Penyelesaian

Mari kita tentukan diskriminasi: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Dengan nilai diskriminasi ini, persamaan asal hanya akan mempunyai satu punca, ditentukan oleh formula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Jawapan: x = 3, 5.

Contoh 8

Ia adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Penyelesaian

Pekali berangka bagi persamaan ini ialah: a = 5 , b = 6 dan c = 2 . Kami menggunakan nilai ini untuk mencari diskriminasi: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Diskriminasi yang dikira adalah negatif, jadi persamaan kuadratik asal tidak mempunyai punca sebenar.

Dalam kes apabila tugasnya adalah untuk menunjukkan akar kompleks, kami menggunakan formula akar dengan melakukan operasi dengan nombor kompleks:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 atau x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i atau x = - 3 5 - 1 5 i .

Jawapan: tidak ada akar sebenar; punca kompleks ialah: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

DALAM kurikulum sekolah secara lalai, tidak ada keperluan untuk mencari akar kompleks, oleh itu, jika diskriminasi ditentukan sebagai negatif semasa penyelesaian, jawapan segera direkodkan bahawa tiada akar sebenar.

Formula akar untuk pekali kedua genap

Formula punca x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) memungkinkan untuk mendapatkan formula lain, lebih padat, membolehkan anda mencari penyelesaian kepada persamaan kuadratik dengan pekali genap pada x (atau dengan pekali daripada bentuk 2 a n, contohnya, 2 3 atau 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Mari kita tunjukkan bagaimana formula ini diperolehi.

Katakan kita berhadapan dengan tugas mencari penyelesaian kepada persamaan kuadratik a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Kami bertindak mengikut algoritma: kami menentukan diskriminasi D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , dan kemudian gunakan formula akar:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Biarkan ungkapan n 2 − a c dilambangkan sebagai D 1 (kadangkala ia dilambangkan D "). Maka formula untuk punca-punca persamaan kuadratik yang dipertimbangkan dengan pekali kedua 2 n akan mengambil bentuk:

x \u003d - n ± D 1 a, dengan D 1 \u003d n 2 - a c.

Adalah mudah untuk melihat bahawa D = 4 · D 1 , atau D 1 = D 4 . Dalam erti kata lain, D 1 ialah satu perempat daripada diskriminasi. Jelas sekali, tanda D 1 adalah sama dengan tanda D, yang bermaksud bahawa tanda D 1 juga boleh berfungsi sebagai penunjuk kehadiran atau ketiadaan punca-punca persamaan kuadratik.

Definisi 11

Oleh itu, untuk mencari penyelesaian kepada persamaan kuadratik dengan pekali kedua 2 n, adalah perlu:

• cari D 1 = n 2 − a c ;
• di D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• untuk D 1 = 0, tentukan satu-satunya punca persamaan dengan formula x = - n a ;
• untuk D 1 > 0, tentukan dua punca nyata menggunakan rumus x = - n ± D 1 a.

Contoh 9

Ia adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan kuadratik 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Penyelesaian

Pekali kedua bagi persamaan yang diberikan boleh diwakili sebagai 2 · (− 3) . Kemudian kita menulis semula persamaan kuadratik yang diberi sebagai 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , di mana a = 5 , n = − 3 dan c = − 32 .

Mari kita hitung bahagian keempat diskriminasi: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Nilai yang terhasil adalah positif, yang bermaksud bahawa persamaan mempunyai dua punca nyata. Kami mentakrifkannya dengan formula akar yang sepadan:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 atau x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 atau x = - 2

Adalah mungkin untuk melakukan pengiraan menggunakan formula biasa untuk punca-punca persamaan kuadratik, tetapi dalam kes ini penyelesaiannya akan menjadi lebih rumit.

Jawapan: x = 3 1 5 atau x = - 2 .

Permudahkan bentuk persamaan kuadratik

Kadang-kadang adalah mungkin untuk mengoptimumkan bentuk persamaan asal, yang akan memudahkan proses pengiraan akar.

Sebagai contoh, persamaan kuadratik 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 jelas lebih mudah untuk diselesaikan daripada 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Lebih kerap, penyederhanaan bentuk persamaan kuadratik dilakukan dengan mendarab atau membahagikan kedua-dua bahagiannya dengan nombor tertentu. Sebagai contoh, di atas kami menunjukkan perwakilan ringkas bagi persamaan 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, yang diperoleh dengan membahagikan kedua-dua bahagiannya dengan 100.

Penjelmaan sedemikian mungkin apabila pekali persamaan kuadratik tidak saling nombor perdana. Maka adalah perkara biasa untuk membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan yang terbesar pembahagi biasa nilai mutlak pekalinya.

Sebagai contoh, kita menggunakan persamaan kuadratik 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Mari kita takrifkan gcd bagi nilai mutlak pekalinya: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Mari bahagikan kedua-dua bahagian persamaan kuadratik asal dengan 6 dan dapatkan persamaan kuadratik setara 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Dengan mendarab kedua-dua belah persamaan kuadratik, pekali pecahan biasanya dihapuskan. Dalam kes ini, darab dengan gandaan sepunya terkecil penyebut bagi pekalinya. Sebagai contoh, jika setiap bahagian persamaan kuadratik 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 didarab dengan LCM (6, 3, 1) \u003d 6, maka ia akan ditulis dalam lebih bentuk mudah x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Akhir sekali, kita perhatikan bahawa hampir selalu menyingkirkan tolak pada pekali pertama persamaan kuadratik, menukar tanda-tanda setiap sebutan persamaan, yang dicapai dengan mendarab (atau membahagi) kedua-dua bahagian dengan - 1. Sebagai contoh, dari persamaan kuadratik - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, anda boleh pergi ke versi mudahnya 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Hubungan antara punca dan pekali

Formula yang telah diketahui untuk punca-punca persamaan kuadratik x = - b ± D 2 · a menyatakan punca-punca persamaan dalam sebutan pekali berangkanya. Berdasarkan formula ini, kami mempunyai peluang untuk menetapkan kebergantungan lain antara punca dan pekali.

Yang paling terkenal dan boleh digunakan ialah formula teorem Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a dan x 2 \u003d c a.

Khususnya, untuk persamaan kuadratik yang diberikan, jumlah punca ialah pekali kedua dengan tanda yang bertentangan, dan hasil darab akar adalah sama dengan sebutan bebas. Sebagai contoh, dengan bentuk persamaan kuadratik 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, adalah mungkin untuk segera menentukan bahawa jumlah puncanya ialah 7 3, dan hasil darab akar-akarnya ialah 22 3.

Anda juga boleh mencari beberapa hubungan lain antara punca dan pekali persamaan kuadratik. Sebagai contoh, jumlah kuasa dua punca persamaan kuadratik boleh dinyatakan dalam sebutan pekali:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Topik ini mungkin kelihatan sukar pada mulanya kerana banyak formula mudah. Bukan sahaja persamaan kuadratik itu sendiri mempunyai entri yang panjang, tetapi punca juga ditemui melalui diskriminasi. Terdapat tiga formula baharu secara keseluruhan. Tidak begitu mudah untuk diingati. Ini mungkin hanya selepas penyelesaian kerap persamaan tersebut. Kemudian semua formula akan diingati sendiri.

Pandangan umum persamaan kuadratik

Di sini notasi eksplisit mereka dicadangkan, apabila ijazah terbesar ditulis dahulu, dan kemudian - dalam susunan menurun. Selalunya terdapat situasi apabila istilah itu berbeza. Maka adalah lebih baik untuk menulis semula persamaan dalam tertib menurun bagi darjah pembolehubah.

Mari kita perkenalkan notasi. Mereka dibentangkan dalam jadual di bawah.

Jika kita menerima tatatanda ini, semua persamaan kuadratik dikurangkan kepada tatatanda berikut.

Selain itu, pekali a ≠ 0. Biarkan formula ini dilambangkan dengan nombor satu.

Apabila persamaan diberikan, tidak jelas berapa banyak punca dalam jawapan. Kerana satu daripada tiga pilihan sentiasa mungkin:

• penyelesaiannya akan mempunyai dua akar;
• jawapannya ialah satu nombor;
• Persamaan tidak mempunyai punca sama sekali.

Dan sementara keputusan itu tidak dibawa ke penghujungnya, sukar untuk memahami pilihan mana yang akan jatuh dalam kes tertentu.

Jenis rekod persamaan kuadratik

Tugasan mungkin mempunyai entri yang berbeza. Mereka tidak akan sentiasa kelihatan seperti formula umum persamaan kuadratik. Kadang-kadang ia akan kekurangan beberapa istilah. Apa yang ditulis di atas adalah persamaan lengkap. Jika anda mengalih keluar penggal kedua atau ketiga di dalamnya, anda mendapat sesuatu yang lain. Rekod ini juga dipanggil persamaan kuadratik, hanya tidak lengkap.

Selain itu, hanya istilah yang pekali "b" dan "c" boleh hilang. Nombor "a" tidak boleh sama dengan sifar dalam apa jua keadaan. Kerana dalam kes ini formula bertukar menjadi persamaan linear. Formula untuk bentuk persamaan yang tidak lengkap adalah seperti berikut:

Jadi, hanya terdapat dua jenis, selain yang lengkap, terdapat juga persamaan kuadratik yang tidak lengkap. Biarkan formula pertama nombor dua, dan kedua nombor tiga.

Diskriminasi dan pergantungan bilangan akar pada nilainya

Nombor ini mesti diketahui untuk mengira punca-punca persamaan. Ia sentiasa boleh dikira, tidak kira apa formula persamaan kuadratik itu. Untuk mengira diskriminasi, anda perlu menggunakan kesamaan yang ditulis di bawah, yang akan mempunyai nombor empat.

Selepas menggantikan nilai pekali ke dalam formula ini, anda boleh mendapatkan nombor dengan tanda yang berbeza. Jika jawapannya ya, maka jawapan kepada persamaan itu ialah dua punca yang berbeza. Dengan nombor negatif, punca-punca persamaan kuadratik akan tiada. Jika sama dengan sifar, jawapannya ialah satu.

Bagaimanakah persamaan kuadratik lengkap diselesaikan?

Malah, pertimbangan isu ini telah pun bermula. Kerana pertama anda perlu mencari diskriminasi. Selepas dijelaskan bahawa terdapat punca persamaan kuadratik, dan bilangannya diketahui, anda perlu menggunakan formula untuk pembolehubah. Sekiranya terdapat dua akar, maka anda perlu menggunakan formula sedemikian.

Oleh kerana ia mengandungi tanda "±", akan ada dua nilai. Ungkapan di bawah tanda punca kuasa dua ialah diskriminasi. Oleh itu, formula boleh ditulis semula dengan cara yang berbeza.

Formula lima. Daripada rekod yang sama dapat dilihat bahawa jika diskriminasi adalah sifar, maka kedua-dua punca akan mengambil nilai yang sama.

Sekiranya penyelesaian persamaan kuadratik belum lagi diusahakan, maka lebih baik untuk menulis nilai semua pekali sebelum menggunakan formula diskriminasi dan pembolehubah. Nanti detik ini tidak akan menyebabkan kesukaran. Tetapi pada awalnya terdapat kekeliruan.

Bagaimanakah persamaan kuadratik tidak lengkap diselesaikan?

Segala-galanya lebih mudah di sini. Malah tidak perlu formula tambahan. Dan anda tidak memerlukan mereka yang telah ditulis untuk diskriminasi dan tidak diketahui.

Pertama, pertimbangkan persamaan nombor dua yang tidak lengkap. Dalam kesamaan ini, ia sepatutnya mengeluarkan nilai yang tidak diketahui daripada kurungan dan menyelesaikan persamaan linear, yang akan kekal dalam kurungan. Jawapannya akan mempunyai dua punca. Yang pertama semestinya sama dengan sifar, kerana terdapat faktor yang terdiri daripada pembolehubah itu sendiri. Yang kedua diperoleh dengan menyelesaikan persamaan linear.

Persamaan tidak lengkap pada nombor tiga diselesaikan dengan memindahkan nombor dari sebelah kiri persamaan ke kanan. Kemudian anda perlu membahagikan dengan pekali di hadapan yang tidak diketahui. Ia kekal hanya untuk mengekstrak punca kuasa dua dan jangan lupa menulisnya dua kali dengan tanda yang bertentangan.

Berikut ialah beberapa tindakan yang membantu anda mempelajari cara menyelesaikan semua jenis kesamaan yang bertukar menjadi persamaan kuadratik. Mereka akan membantu pelajar untuk mengelakkan kesilapan kerana tidak mengambil perhatian. Kelemahan ini adalah punca gred yang lemah apabila mempelajari topik yang luas "Persamaan Kuadrik (Gred 8)". Selepas itu, tindakan ini tidak perlu dilakukan secara berterusan. Kerana akan ada tabiat yang stabil.

• Mula-mula anda perlu menulis persamaan dalam bentuk piawai. Iaitu, pertama istilah dengan darjah terbesar pembolehubah, dan kemudian - tanpa darjah dan yang terakhir - hanya nombor.

• Jika tolak muncul sebelum pekali "a", maka ia boleh merumitkan kerja untuk pemula untuk mengkaji persamaan kuadratik. Lebih baik membuangnya. Untuk tujuan ini, semua kesamaan mesti didarab dengan "-1". Ini bermakna semua istilah akan menukar tanda kepada sebaliknya.

• Dengan cara yang sama, adalah disyorkan untuk menyingkirkan pecahan. Cukup darab persamaan dengan faktor yang sesuai supaya penyebutnya dibatalkan.

Contoh

Ia diperlukan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik berikut:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Persamaan pertama: x 2 - 7x \u003d 0. Ia tidak lengkap, oleh itu ia diselesaikan seperti yang diterangkan untuk formula nombor dua.

Selepas kurungan, ternyata: x (x - 7) \u003d 0.

Punca pertama mengambil nilai: x 1 = 0. Punca kedua akan didapati daripada persamaan linear: x - 7 = 0. Mudah untuk melihat bahawa x 2 = 7.

Persamaan kedua: 5x2 + 30 = 0. Sekali lagi tidak lengkap. Hanya ia diselesaikan seperti yang diterangkan untuk formula ketiga.

Selepas memindahkan 30 ke sebelah kanan persamaan: 5x 2 = 30. Sekarang anda perlu bahagi dengan 5. Ternyata: x 2 = 6. Jawapannya ialah nombor: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Persamaan ketiga: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Di sini dan di bawah, penyelesaian persamaan kuadratik akan bermula dengan menulis semula dalam pandangan standard: - x 2 - 2x + 15 = 0. Kini tiba masanya untuk menggunakan yang kedua nasihat yang berguna dan darabkan semuanya dengan tolak satu. Ternyata x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Menurut formula keempat, anda perlu mengira diskriminasi: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Ia adalah nombor positif. Daripada apa yang dikatakan di atas, ternyata persamaan itu mempunyai dua punca. Mereka perlu dikira mengikut formula kelima. Menurutnya, ternyata x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Kemudian x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Persamaan keempat x 2 + 8 + 3x \u003d 0 ditukar kepada ini: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Diskriminasinya adalah sama dengan nilai ini: -23. Oleh kerana nombor ini negatif, jawapan kepada tugas ini ialah entri berikut: "Tiada akar."

Persamaan kelima 12x + x 2 + 36 = 0 hendaklah ditulis semula seperti berikut: x 2 + 12x + 36 = 0. Selepas menggunakan formula untuk diskriminasi, nombor sifar diperoleh. Ini bermakna ia akan mempunyai satu punca, iaitu: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Persamaan keenam (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) memerlukan transformasi, yang terdiri daripada fakta bahawa anda perlu membawa istilah seperti, sebelum membuka kurungan. Di tempat yang pertama akan ada ungkapan seperti: x 2 + 2x + 1. Selepas kesamaan, entri ini akan muncul: x 2 + 3x + 2. Selepas sebutan yang serupa dikira, persamaan akan mengambil bentuk: x 2 - x \u003d 0. Ia telah menjadi tidak lengkap . Serupa dengannya telah dianggap lebih tinggi sedikit. Akar ini akan menjadi nombor 0 dan 1.

Dengan program matematik ini anda boleh menyelesaikan persamaan kuadratik.

Program ini bukan sahaja memberikan jawapan kepada masalah, tetapi juga memaparkan proses penyelesaian dalam dua cara:
- menggunakan diskriminasi
- menggunakan teorem Vieta (jika boleh).

Selain itu, jawapan dipaparkan tepat, bukan anggaran.
Sebagai contoh, untuk persamaan \(81x^2-16x-1=0\), jawapan dipaparkan dalam borang ini:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ bukannya ini: \(x_1 = 0.247; \ empat x_2 = -0.05 \)

Program ini boleh berguna untuk pelajar sekolah menengah sekolah pendidikan am sebagai persediaan untuk kerja kawalan dan peperiksaan, apabila menguji pengetahuan sebelum peperiksaan, ibu bapa untuk mengawal penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan algebra. Atau mungkin terlalu mahal untuk anda mengupah tutor atau membeli buku teks baru? Atau adakah anda hanya mahu menyelesaikannya secepat mungkin? kerja rumah matematik atau algebra? Dalam kes ini, anda juga boleh menggunakan program kami dengan penyelesaian terperinci.

Oleh itu, anda boleh melaksanakan anda latihan sendiri dan/atau melatih adik-adik lelaki atau perempuan mereka, manakala tahap pendidikan dalam bidang tugas yang perlu diselesaikan ditingkatkan.

Jika anda tidak biasa dengan peraturan untuk memasukkan polinomial segi empat sama, kami mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengannya.

Peraturan untuk memasukkan polinomial segi empat sama

Mana-mana huruf Latin boleh bertindak sebagai pembolehubah.
Contohnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) dsb.

Nombor boleh dimasukkan sebagai integer atau pecahan.
Selain itu, nombor pecahan boleh dimasukkan bukan sahaja dalam bentuk perpuluhan, tetapi juga dalam bentuk pecahan biasa.

Peraturan untuk memasukkan pecahan perpuluhan.
Dalam pecahan perpuluhan, bahagian pecahan daripada integer boleh dipisahkan sama ada dengan titik atau koma.
Sebagai contoh, anda boleh memasukkan perpuluhan seperti ini: 2.5x - 3.5x^2

Peraturan untuk memasukkan pecahan biasa.
Hanya nombor bulat boleh bertindak sebagai pengangka, penyebut dan bahagian integer bagi pecahan.

Penyebut tidak boleh negatif.

Apabila memasukkan pecahan berangka, pengangka dipisahkan daripada penyebut dengan tanda bahagi: /
Bahagian integer dipisahkan daripada pecahan oleh ampersand: &
Input: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Keputusan: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Apabila memasukkan ungkapan anda boleh menggunakan kurungan. Dalam kes ini, apabila menyelesaikan persamaan kuadratik, ungkapan yang diperkenalkan pertama kali dipermudahkan.
Contohnya: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

buat keputusan

Didapati bahawa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas ini tidak dimuatkan, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin telah mendayakan AdBlock.
Dalam kes ini, lumpuhkan dan muat semula halaman.

Anda telah melumpuhkan JavaScript dalam penyemak imbas anda.
JavaScript mesti didayakan untuk penyelesaian muncul.
Berikut ialah arahan tentang cara mendayakan JavaScript dalam penyemak imbas anda.

Kerana Terdapat ramai orang yang ingin menyelesaikan masalah, permintaan anda beratur.
Selepas beberapa saat, penyelesaian akan muncul di bawah.
Sila tunggu sek...

Jika awak perasan ralat dalam penyelesaian, kemudian anda boleh menulis mengenainya dalam Borang Maklum Balas.
Jangan lupa nyatakan tugasan yang mana anda tentukan apa masuk dalam ladang.

Permainan, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Persamaan kuadratik dan punca-puncanya. Persamaan kuadratik tidak lengkap

Setiap persamaan
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
mempunyai bentuk
\(ax^2+bx+c=0, \)
di mana x ialah pembolehubah, a, b dan c ialah nombor.
Dalam persamaan pertama a = -1, b = 6 dan c = 1.4, dalam kedua a = 8, b = -7 dan c = 0, dalam ketiga a = 1, b = 0 dan c = 4/9. Persamaan sedemikian dipanggil persamaan kuadratik.

Definisi.
persamaan kuadratik persamaan bentuk ax 2 +bx+c=0 dipanggil, dengan x ialah pembolehubah, a, b dan c ialah beberapa nombor, dan \(a \neq 0 \).

Nombor a, b dan c ialah pekali bagi persamaan kuadratik. Nombor a dipanggil pekali pertama, nombor b ialah pekali kedua dan nombor c ialah pintasan.

Dalam setiap persamaan bentuk ax 2 +bx+c=0, dengan \(a \neq 0 \), kuasa terbesar pembolehubah x ialah segi empat sama. Oleh itu namanya: persamaan kuadratik.

Perhatikan bahawa persamaan kuadratik juga dipanggil persamaan darjah kedua, kerana bahagian kirinya ialah polinomial darjah kedua.

Persamaan kuadratik di mana pekali pada x 2 ialah 1 dipanggil persamaan kuadratik terkurang. Sebagai contoh, persamaan kuadratik yang diberikan ialah persamaan
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Jika dalam persamaan kuadratik ax 2 +bx+c=0 sekurang-kurangnya satu daripada pekali b atau c adalah sama dengan sifar, maka persamaan tersebut dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap. Jadi, persamaan -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ialah persamaan kuadratik tidak lengkap. Dalam yang pertama b=0, dalam kedua c=0, dalam ketiga b=0 dan c=0.

Persamaan kuadratik tidak lengkap terdiri daripada tiga jenis:
1) ax 2 +c=0, dengan \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, dengan \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Pertimbangkan penyelesaian persamaan bagi setiap jenis ini.

Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap dalam bentuk ax 2 +c=0 untuk \(c \neq 0 \), sebutan bebasnya dipindahkan ke sebelah kanan dan kedua-dua bahagian persamaan dibahagikan dengan:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Oleh kerana \(c \neq 0 \), maka \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Jika \(-\frac(c)(a)>0 \), maka persamaan itu mempunyai dua punca.

Jika \(-\frac(c)(a) Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap dalam bentuk ax 2 +bx=0 untuk \(b \neq 0 \) faktorkan bahagian kirinya dan dapatkan persamaan
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (tatasusunan)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(susun) \kanan. \)

Oleh itu, persamaan kuadratik tidak lengkap dalam bentuk ax 2 +bx=0 untuk \(b \neq 0 \) sentiasa mempunyai dua punca.

Persamaan kuadratik yang tidak lengkap dalam bentuk ax 2 \u003d 0 adalah bersamaan dengan persamaan x 2 \u003d 0 dan oleh itu mempunyai punca tunggal 0.

Formula untuk punca-punca persamaan kuadratik

Sekarang mari kita pertimbangkan bagaimana persamaan kuadratik diselesaikan di mana kedua-dua pekali bagi yang tidak diketahui dan sebutan bebas adalah bukan sifar.

Kami menyelesaikan persamaan kuadratik dalam bentuk umum dan sebagai hasilnya kami memperoleh formula akar-akarnya. Kemudian formula ini boleh digunakan untuk menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik.

Selesaikan persamaan kuadratik ax 2 +bx+c=0

Membahagikan kedua-dua bahagiannya dengan a, kita memperoleh persamaan kuadratik terkurang yang setara
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Kami mengubah persamaan ini dengan menyerlahkan kuasa dua binomial:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\kanan)^2- \left(\frac(b)(2a)\kanan)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Anak panah kanan \kiri(x+\frac(b)(2a)\kanan)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Anak panah kanan \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Anak panah kanan \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Ungkapan akar dipanggil diskriminasi bagi persamaan kuadratik ax 2 +bx+c=0 (“diskriminan” dalam bahasa Latin - distinguisher). Ia dilambangkan dengan huruf D, i.e.
\(D = b^2-4ac\)

Sekarang, dengan menggunakan tatatanda diskriminasi, kami menulis semula formula untuk punca-punca persamaan kuadratik:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), di mana \(D= b^2-4ac \)

Jelas sekali bahawa:
1) Jika D>0, maka persamaan kuadratik mempunyai dua punca.
2) Jika D=0, maka persamaan kuadratik mempunyai satu punca \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jika D Oleh itu, bergantung kepada nilai diskriminasi, persamaan kuadratik boleh mempunyai dua punca (untuk D > 0), satu punca (untuk D = 0) atau tiada punca (untuk D Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan formula ini. , adalah dinasihatkan untuk melakukan cara berikut:
1) kira diskriminasi dan bandingkan dengan sifar;
2) jika diskriminasi positif atau sama dengan sifar, maka gunakan formula akar, jika diskriminasi negatif, maka tulis bahawa tiada punca.

Teorem Vieta

Persamaan kuadratik yang diberi ax 2 -7x+10=0 mempunyai punca 2 dan 5. Jumlah punca ialah 7, dan hasil darab ialah 10. Kita lihat bahawa jumlah punca adalah sama dengan pekali kedua, diambil dengan tanda berlawanan, dan hasil darab akar-akar adalah sama dengan sebutan bebas. Mana-mana persamaan kuadratik terkecil yang mempunyai punca mempunyai sifat ini.

Jumlah punca persamaan kuadratik yang diberikan adalah sama dengan pekali kedua, diambil dengan tanda bertentangan, dan hasil darab akar-akar adalah sama dengan sebutan bebas.

Itu. Teorem Vieta menyatakan bahawa punca x 1 dan x 2 bagi persamaan kuadratik terkurang x 2 +px+q=0 mempunyai sifat:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)