Kajian graf fungsi. Penyiasatan fungsi dengan kaedah kalkulus pembezaan

Salah satu tugas terpenting kalkulus pembezaan ialah pembangunan contoh biasa kajian tentang tingkah laku fungsi.

Jika fungsi y \u003d f (x) berterusan pada selang, dan terbitannya adalah positif atau sama dengan 0 pada selang (a, b), maka y \u003d f (x) meningkat sebanyak (f "(x) 0). Jika fungsi y \u003d f (x) adalah selanjar pada segmen , dan terbitannya negatif atau sama dengan 0 pada selang (a,b), maka y=f(x) berkurang sebanyak (f"( x)0)

Selang di mana fungsi tidak berkurangan atau meningkat dipanggil selang monotonisitas fungsi. Sifat kemonotonan sesuatu fungsi boleh berubah hanya pada titik domain definisinya, di mana tanda derivatif pertama berubah. Titik di mana terbitan pertama fungsi hilang atau pecah dipanggil titik kritikal.

Teorem 1 (syarat pertama yang mencukupi untuk kewujudan ekstrem).

Biarkan fungsi y=f(x) ditakrifkan pada titik x 0 dan biarkan terdapat kejiranan δ>0 supaya fungsi itu berterusan pada segmen , boleh dibezakan pada selang (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , dan terbitannya mengekalkan tanda malar pada setiap selang ini. Kemudian jika pada x 0 -δ, x 0) dan (x 0, x 0 + δ) tanda-tanda derivatif adalah berbeza, maka x 0 ialah titik ekstrem, dan jika ia sepadan, maka x 0 bukan titik ekstrem. . Selain itu, jika, apabila melalui titik x0, derivatif bertukar tanda daripada tambah kepada tolak (di sebelah kiri x 0, f "(x)> 0 dilakukan, maka x 0 ialah titik maksimum; jika derivatif berubah tanda dari tolak kepada tambah (di sebelah kanan x 0 dilaksanakan oleh f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Titik maksimum dan minimum dipanggil titik ekstrem fungsi, dan maksimum dan minima fungsi dipanggil nilai ekstremnya.

Teorem 2 (kriteria yang diperlukan untuk ekstrem tempatan).

Jika fungsi y=f(x) mempunyai ekstrem pada arus x=x 0, maka sama ada f'(x 0)=0 atau f'(x 0) tidak wujud.
Pada titik ekstrem fungsi boleh dibezakan, tangen kepada grafnya adalah selari dengan paksi Lembu.

Algoritma untuk mengkaji fungsi untuk ekstrem:

1) Cari terbitan bagi fungsi itu.
2) Cari titik kritikal, i.e. titik di mana fungsi adalah selanjar dan terbitan adalah sifar atau tidak wujud.
3) Pertimbangkan kejiranan setiap titik, dan periksa tanda terbitan di sebelah kiri dan kanan titik ini.
4) Tentukan koordinat titik ekstrem, untuk nilai titik kritikal ini, gantikan ke dalam fungsi ini. Menggunakan keadaan ekstrem yang mencukupi, buat kesimpulan yang sesuai.

Contoh 18. Siasat fungsi y=x 3 -9x 2 +24x

Penyelesaian.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Menyamakan terbitan kepada sifar, kita dapati x 1 =2, x 2 =4. DALAM kes ini derivatif ditakrifkan di mana-mana; oleh itu, selain daripada dua titik yang ditemui, tiada titik kritikal yang lain.
3) Tanda terbitan y "=3(x-2)(x-4) berubah bergantung pada selang seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 1. Apabila melalui titik x=2, derivatif bertukar tanda daripada tambah kepada tolak, dan apabila melalui titik x=4 - dari tolak hingga tambah.
4) Pada titik x=2, fungsi mempunyai maksimum y max =20, dan pada titik x=4 - minimum y min =16.

Teorem 3. (syarat mencukupi ke-2 untuk kewujudan ekstrem).

Biarkan f "(x 0) dan f "" (x 0) wujud pada titik x 0. Kemudian jika f "" (x 0)> 0, maka x 0 ialah titik minimum, dan jika f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Pada segmen, fungsi y \u003d f (x) boleh mencapai nilai terkecil (sekurang-kurangnya) atau terbesar (paling banyak) sama ada pada titik kritikal fungsi yang terletak dalam selang (a; b), atau di hujung daripada segmen tersebut.

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi berterusan y=f(x) pada segmen :

1) Cari f "(x).
2) Cari titik di mana f "(x) = 0 atau f" (x) - tidak wujud, dan pilih daripada mereka yang terletak di dalam segmen.
3) Kira nilai fungsi y \u003d f (x) pada titik yang diperolehi dalam perenggan 2), serta di hujung segmen dan pilih yang terbesar dan terkecil daripada mereka: masing-masing adalah yang terbesar ( untuk nilai fungsi terbesar) dan terkecil (untuk terkecil) pada selang .

Contoh 19. Cari nilai terbesar bagi fungsi selanjar y=x 3 -3x 2 -45+225 pada ruas .

1) Kami mempunyai y "=3x 2 -6x-45 pada segmen
2) Derivatif y" wujud untuk semua x. Mari cari titik di mana y"=0; kita mendapatkan:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Hitung nilai fungsi pada titik x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Hanya titik x=5 kepunyaan segmen. Nilai terbesar fungsi yang ditemui ialah 225, dan yang terkecil ialah nombor 50. Jadi, pada max = 225, pada max = 50.

Penyiasatan fungsi pada cembungan

Rajah menunjukkan graf bagi dua fungsi. Yang pertama daripada mereka dihidupkan dengan bonjolan ke atas, yang kedua - dengan bonjolan ke bawah.

Fungsi y=f(x) adalah selanjar pada segmen dan boleh dibezakan dalam selang (a;b), dipanggil cembung atas (bawah) pada segmen ini, jika untuk axb grafnya terletak tidak lebih tinggi (tidak lebih rendah) daripada tangen dilukis pada sebarang titik M 0 (x 0 ;f(x 0)), dengan axb.

Teorem 4. Biarkan fungsi y=f(x) mempunyai terbitan kedua pada mana-mana titik pedalaman x segmen dan selanjar pada hujung segmen ini. Kemudian jika ketaksamaan f""(x)0 dipenuhi pada selang (a;b), maka fungsinya ialah cembung ke bawah pada segmen ; jika ketaksamaan f""(x)0 dipenuhi pada selang (а;b), maka fungsi itu cembung ke atas pada .

Teorem 5. Jika fungsi y=f(x) mempunyai terbitan kedua pada selang (a;b) dan jika ia berubah tanda apabila melalui titik x 0 , maka M(x 0 ;f(x 0)) ialah satu titik infleksi.

Peraturan untuk mencari titik infleksi:

1) Cari titik di mana f""(x) tidak wujud atau lenyap.
2) Periksa tanda f""(x) di kiri dan kanan setiap titik yang terdapat pada langkah pertama.
3) Berdasarkan Teorem 4, buat satu kesimpulan.

Contoh 20. Cari titik ekstrem dan titik infleksi bagi graf fungsi y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Kami mempunyai f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Jelas sekali, f"(x)=0 untuk x 1 =0, x 2 =1. Derivatif, apabila melalui titik x=0, menukar tanda dari tolak kepada tambah, dan apabila melalui titik x=1, ia tidak menukar tanda. Ini bermakna x=0 ialah titik minimum (y min =12), dan tiada ekstrem pada titik x=1. Seterusnya, kita dapati . Terbitan kedua hilang pada titik x 1 =1, x 2 =1/3. Tanda-tanda derivatif kedua berubah seperti berikut: Pada sinar (-∞;) kita mempunyai f""(x)>0, pada selang (;1) kita mempunyai f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Oleh itu, x= ialah titik infleksi graf fungsi (peralihan daripada cembung ke bawah kepada cembung ke atas) dan x=1 juga merupakan titik infleksi (peralihan dari cembung ke atas ke cembung ke bawah). Jika x=, maka y= ; jika, maka x=1, y=13.

Algoritma untuk mencari asimtot graf

I. Jika y=f(x) sebagai x → a , maka x=a ialah asimtot menegak.
II. Jika y=f(x) sebagai x → ∞ atau x → -∞ maka y=A ialah asimtot mengufuk.
III. Untuk mencari asimtot serong, kami menggunakan algoritma berikut:
1) Kira . Jika had wujud dan sama dengan b, maka y=b ialah asimtot mendatar; jika , kemudian pergi ke langkah kedua.
2) Kira . Jika had ini tidak wujud, maka tiada asimtot; jika ia wujud dan bersamaan dengan k, maka pergi ke langkah ketiga.
3) Kira . Jika had ini tidak wujud, maka tiada asimtot; jika ia wujud dan sama dengan b, maka pergi ke langkah keempat.
4) Tuliskan persamaan asimtot oblik y=kx+b.

Contoh 21: Cari asymptot untuk fungsi

1)
2)
3)
4) Persamaan asimtot oblik mempunyai bentuk

Skim kajian fungsi dan pembinaan grafnya

I. Cari domain bagi fungsi tersebut.
II. Cari titik persilangan graf fungsi dengan paksi koordinat.
III. Cari asimtot.
IV. Cari titik ekstrem yang mungkin.
V. Cari titik kritikal.
VI. Dengan menggunakan lukisan tambahan, siasat tanda terbitan pertama dan kedua. Tentukan kawasan pertambahan dan penurunan fungsi, cari arah kecembungan graf, titik ekstrem dan titik infleksi.
VII. Bina graf, dengan mengambil kira kajian yang dijalankan dalam perenggan 1-6.

Contoh 22: Plot graf fungsi mengikut skema di atas

Penyelesaian.
I. Domain bagi fungsi ialah set semua nombor nyata, kecuali untuk x=1.
II. Oleh kerana persamaan x 2 +1=0 tidak mempunyai punca sebenar, maka graf fungsi tidak mempunyai titik persilangan dengan paksi Ox, tetapi bersilang dengan paksi Oy pada titik (0; -1).
III. Mari kita jelaskan persoalan kewujudan asimtot. Kami menyiasat kelakuan fungsi berhampiran titik ketakselanjaran x=1. Oleh kerana y → ∞ untuk x → -∞, y → +∞ untuk x → 1+, maka garis x=1 ialah asimtot menegak bagi graf fungsi.
Jika x → +∞(x → -∞), maka y → +∞(y → -∞); oleh itu, graf tidak mempunyai asimtot mendatar. Selanjutnya, dari kewujudan had

Menyelesaikan persamaan x 2 -2x-1=0, kita mendapat dua titik ekstrem yang mungkin:
x 1 =1-√2 dan x 2 =1+√2

V. Untuk mencari titik kritikal, kita mengira terbitan kedua:

Oleh kerana f""(x) tidak hilang, tiada titik kritikal.
VI. Kami menyiasat tanda terbitan pertama dan kedua. Kemungkinan titik ekstrem yang perlu dipertimbangkan: x 1 =1-√2 dan x 2 =1+√2, bahagikan kawasan kewujudan fungsi kepada selang (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) dan (1+√2;+∞).

Dalam setiap selang ini, derivatif mengekalkan tandanya: dalam yang pertama - tambah, dalam kedua - tolak, dalam ketiga - tambah. Urutan tanda terbitan pertama akan ditulis seperti berikut: +, -, +.
Kami mendapat bahawa fungsi pada (-∞;1-√2) meningkat, pada (1-√2;1+√2) ia berkurang, dan pada (1+√2;+∞) ia meningkat semula. Mata melampau: maksimum pada x=1-√2, lebih-lebih lagi f(1-√2)=2-2√2 minimum pada x=1+√2, lebih-lebih lagi f(1+√2)=2+2√2. Pada (-∞;1) graf adalah cembung ke atas, dan pada (1;+∞) - ke bawah.
VII Mari kita buat jadual nilai yang diperolehi

VIII Berdasarkan data yang diperoleh, kita membina lakaran graf fungsi tersebut

Kajian fungsi dijalankan mengikut skema yang jelas dan memerlukan pelajar mempunyai pengetahuan yang kukuh tentang konsep asas matematik seperti domain definisi dan nilai, kesinambungan fungsi, asimtot, titik ekstrem, pariti, berkala, dan lain-lain. Pelajar mesti bebas membezakan fungsi dan menyelesaikan persamaan, yang kadang-kadang sangat rumit.

Iaitu, tugas ini menguji lapisan pengetahuan yang ketara, sebarang jurang yang akan menjadi penghalang untuk mendapatkan penyelesaian yang betul. Terutama sering kesukaran timbul dengan pembinaan graf fungsi. Kesilapan ini serta-merta menarik perhatian guru dan boleh merosakkan gred anda, walaupun semua perkara lain dilakukan dengan betul. Di sini anda boleh mencari tugas untuk kajian fungsi dalam talian: contoh belajar, muat turun penyelesaian, pesanan tugasan.

Menyiasat Fungsi dan Plot: Contoh dan Penyelesaian Dalam Talian

Kami telah menyediakan untuk anda banyak kajian ciri siap sedia, kedua-duanya dibayar dalam buku penyelesaian dan percuma dalam bahagian Contoh Penyelidikan Ciri. Berdasarkan tugas yang diselesaikan ini, anda akan dapat mengenali secara terperinci dengan metodologi untuk melaksanakan tugas tersebut, dengan analogi, melakukan penyelidikan anda sendiri.

Kami menawarkan contoh siap kajian lengkap dan memplot graf fungsi jenis yang paling biasa: polinomial, pecahan rasional, tidak rasional, eksponen, logaritma, fungsi trigonometri. Setiap masalah yang diselesaikan disertakan dengan graf siap pakai dengan titik utama yang dipilih, asimtot, maksima dan minima, penyelesaiannya dijalankan mengikut algoritma untuk mengkaji fungsi.

Contoh yang diselesaikan, dalam apa jua keadaan, akan menjadi bantuan yang baik untuk anda, kerana ia merangkumi jenis fungsi yang paling popular. Kami menawarkan anda beratus-ratus masalah yang telah diselesaikan, tetapi, seperti yang anda ketahui, terdapat bilangan fungsi matematik yang tidak terhingga di dunia, dan guru adalah pakar yang hebat dalam mencipta lebih banyak tugas yang lebih rumit untuk pelajar miskin. Jadi, pelajar yang dikasihi, bantuan yang berkelayakan tidak akan merugikan anda.

Menyelesaikan masalah untuk kajian fungsi mengikut susunan

Dalam kes ini, rakan kongsi kami akan menawarkan perkhidmatan lain kepada anda - kajian fungsi penuh dalam talian untuk memesan. Tugas itu akan diselesaikan untuk anda dengan mematuhi semua keperluan untuk algoritma untuk menyelesaikan masalah sedemikian, yang akan sangat menggembirakan guru anda.

Kami akan membuat kajian lengkap tentang fungsi untuk anda: kami akan mencari domain definisi dan julat nilai, memeriksa kesinambungan dan ketakselanjaran, menetapkan pariti, menyemak fungsi anda untuk berkala, mencari titik persilangan dengan paksi koordinat . Dan, sudah tentu, selanjutnya dengan bantuan kalkulus pembezaan: kita akan mencari asimtot, mengira ekstrema, titik infleksi, dan membina graf itu sendiri.

Mari kita periksa fungsi \(y= \frac(x^3)(1-x) \) dan bina grafnya.

1. Domain definisi.
Domain takrifan fungsi rasional (pecahan) ialah: penyebutnya tidak sama dengan sifar, i.e. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). Domain $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. Titik putus fungsi dan pengelasannya.
Fungsi mempunyai satu titik putus x = 1
periksa titik x= 1. Cari had fungsi di sebelah kanan dan kiri titik ketakselanjaran, ke kanan $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1-x )) = -\infty $$ dan di sebelah kiri titik $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ had satu sisi ialah \(\infty\).

Garis lurus \(x = 1\) ialah asimtot menegak.

3. Keseragaman fungsi.
Menyemak pariti \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) fungsi itu bukan genap atau ganjil.

4. Sifar fungsi (titik persilangan dengan paksi Lembu). Selang kemantapan fungsi.
Sifar fungsi ( titik persilangan dengan paksi Lembu): samakan \(y=0\), kita dapat \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \). Lengkung mempunyai satu titik persilangan dengan paksi Lembu dengan koordinat \((0;0)\).

Selang kemantapan fungsi.
Pada selang yang dipertimbangkan \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) lengkung mempunyai satu titik persilangan dengan paksi Ox , jadi kami akan mempertimbangkan domain definisi pada tiga selang.

Mari kita tentukan tanda fungsi pada selang domain definisi:
selang \((-\infty; 0) \) cari nilai fungsi pada sebarang titik \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
selang \((0; 1) \) cari nilai fungsi pada sebarang titik \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), pada selang ini fungsi adalah positif \(f(x ) > 0 \), i.e. berada di atas paksi-x.
selang \((1;+\infty) \) cari nilai fungsi pada sebarang titik \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Titik persilangan dengan paksi Oy: samakan \(x=0 \), kita dapat \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\). Koordinat titik persilangan dengan paksi Oy \((0; 0)\)

6. Selang monotoni. Fungsi melampau.
Mari kita cari titik kritikal (pegun), untuk ini kita cari terbitan pertama dan samakannya dengan sifar $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1 -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ sama dengan 0 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Cari nilai fungsi pada titik ini \(f (0) = 0\) dan \(f(\frac(3)(2)) = -6.75\). Mendapat dua titik kritikal dengan koordinat \((0;0)\) dan \((1.5;-6.75)\)

Selang monotoni.
Fungsi ini mempunyai dua titik kritikal (kemungkinan titik ekstrem), jadi kami akan mempertimbangkan monotonisitas pada empat selang:
selang \((-\infty; 0) \) cari nilai terbitan pertama pada mana-mana titik selang \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x )^2) >
selang \((0;1)\) cari nilai terbitan pertama pada mana-mana titik selang \(f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2 ) > 0\) , fungsi meningkat pada selang ini.
selang \((1;1.5)\) cari nilai terbitan pertama pada mana-mana titik selang \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2 ) > 0\) , fungsi meningkat pada selang ini.
selang \((1.5; +\infty)\) cari nilai terbitan pertama pada mana-mana titik selang \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Fungsi melampau.

Dalam kajian fungsi, dua titik kritikal (pegun) diperoleh pada selang domain definisi. Mari kita tentukan sama ada mereka ekstrem. Pertimbangkan perubahan dalam tanda terbitan apabila melalui titik kritikal:

titik \(x = 0\) tanda perubahan terbitan daripada \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) - titik itu bukan ekstrem.
titik \(x = 1.5\) tanda perubahan terbitan daripada \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) - titik ialah titik maksimum.

7. Selang cembung dan cekung. Titik infleksi.

Untuk mencari selang cembung dan cekung, kita mencari terbitan kedua bagi fungsi tersebut dan menyamakannya dengan sifar $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$Tetapkan $$ sama dengan sifar \frac(2x(x^2-3x+3))(( 1-x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Fungsi mempunyai satu titik kritikal jenis kedua dengan koordinat \((0;0)\).
Mari kita tentukan kecembungan pada selang domain definisi, dengan mengambil kira titik kritikal jenis kedua (titik infleksi yang mungkin).

selang \((-\infty; 0)\) cari nilai terbitan kedua pada sebarang titik \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
selang \((0; 1)\) cari nilai terbitan kedua pada sebarang titik \(f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x)^ 3) > 0 \), pada selang ini terbitan kedua bagi fungsi adalah positif \(f""(x) > 0 \) fungsi ialah cembung ke bawah (cembung).
selang \((1; \infty)\) cari nilai terbitan kedua pada sebarang titik \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Titik infleksi.

Pertimbangkan perubahan tanda terbitan kedua apabila melalui titik kritikal jenis kedua:
Pada titik \(x =0\) tanda perubahan derivatif kedua daripada \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\), graf fungsi berubah kecembungan, i.e. ini ialah titik infleksi dengan koordinat \((0;0)\).

8. Asimtot.

Asimtot menegak. Graf fungsi mempunyai satu asimtot menegak \(x =1\) (lihat item 2).
Asimtot serong.
Agar graf fungsi \(y= \frac(x^3)(1-x) \) untuk \(x \to \infty\) mempunyai asimtot serong \(y = kx+b\) , ia adalah perlu dan mencukupi , supaya terdapat dua had $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$ find it $$ \lim_(x \ kepada \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ dan had kedua $$ \lim_(x \to +\infty)(f( x) - kx) = b$ $, kerana \(k = \infty\) - tiada asimtot serong.

Asimtot mendatar: agar asimtot mendatar wujud, adalah perlu bahawa had $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ wujud, cari ia $$ \lim_(x \to +\infty) (\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\infty $$
Tiada asimtot mendatar.

9. Graf fungsi.

Titik rujukan dalam kajian fungsi dan pembinaan grafnya adalah titik ciri - titik ketakselanjaran, ekstrem, infleksi, persilangan dengan paksi koordinat. Dengan bantuan kalkulus pembezaan, seseorang boleh menubuhkan ciri-ciri perubahan fungsi: peningkatan dan penurunan, maksima dan minima, arah kecembungan dan lekuk graf, kehadiran asimtot.

Lakaran graf fungsi boleh (dan harus) dilakarkan selepas menemui asimtot dan titik ekstrem, dan adalah mudah untuk mengisi jadual ringkasan kajian fungsi dalam perjalanan kajian.

Biasanya, skema penyelidikan fungsi berikut digunakan.

1.Cari domain, selang kesinambungan dan titik putus fungsi.

2.Periksa fungsi genap atau ganjil (simetri paksi atau pusat graf.

3.Cari asimtot (menegak, mendatar atau serong).

4.Cari dan siasat selang kenaikan dan penurunan fungsi, titik ekstremnya.

5.Cari selang cembung dan cekung lengkung, titik lengkuknya.

6.Cari titik persilangan lengkung dengan paksi koordinat, jika wujud.

7.Menyusun jadual ringkasan kajian.

8.Bina graf, dengan mengambil kira kajian fungsi, dijalankan mengikut perkara di atas.

Contoh. Fungsi Teroka

dan merancangnya.

7. Mari kita buat jadual ringkasan kajian fungsi, di mana kita akan memasukkan semua titik ciri dan selang antara mereka. Memandangkan pariti fungsi, kita mendapat jadual berikut: