Pemeriksaan penuh fungsi dan pemplotan graf. Contoh kajian fungsi lengkap dalam talian
Untuk penyelidikan penuh fungsi dan membina grafnya, adalah disyorkan untuk menggunakan skema berikut:
1) cari domain takrifan fungsi;
2) cari titik ketakselanjaran fungsi dan asimtot menegak (jika wujud);
3) menyiasat kelakuan fungsi pada infiniti, cari asimtot mendatar dan serong;
4) memeriksa fungsi untuk pariti (keanehan) dan periodicity (untuk fungsi trigonometri);
5) cari keterlaluan dan selang kemonotonan fungsi;
6) tentukan selang kecembungan dan titik infleksi;
7) cari titik persilangan dengan paksi koordinat, dan, jika boleh, beberapa titik tambahan yang menjelaskan graf.
Kajian fungsi dijalankan serentak dengan pembinaan grafnya.
Contoh 9 Terokai fungsi dan bina graf.
1. Skop definisi: ;
2. Fungsi mengalami ketakselanjaran pada titik 
,
;
Kami memeriksa fungsi untuk kehadiran asimtot menegak.
;
,
─ asimtot menegak.
;
,
─ asimtot menegak.
3. Kami memeriksa fungsi untuk kehadiran asimtot serong dan mendatar.
Lurus 
─ asimtot serong, jika 
,
.
,
.
Lurus 
─ asimtot mendatar.
4. Fungsinya genap kerana 
. Pariti fungsi menunjukkan simetri graf berbanding paksi ordinat.
5. Cari selang monotonicity dan extrema bagi fungsi tersebut.
Mari cari titik kritikal, i.e. titik di mana terbitan adalah 0 atau tidak wujud: 
;
. Kami mempunyai tiga mata 
;
. Titik ini membahagikan keseluruhan paksi sebenar kepada empat selang. Mari kita tentukan tanda-tandanya 
pada setiap daripada mereka.
Pada selang (-∞; -1) dan (-1; 0) fungsi bertambah, pada selang (0; 1) dan (1; +∞) ─ ia berkurang. Apabila melalui sesuatu titik 
tanda perubahan terbitan daripada tambah kepada tolak, oleh itu, pada ketika ini fungsi mempunyai maksimum 
.
6. Cari selang titik cembung dan titik lengkuk.
Mari cari titik di mana 
ialah 0, atau tidak wujud.
tidak mempunyai akar sebenar. 
,
,
mata 
Dan 
bahagikan paksi sebenar kepada tiga selang. Mari kita tentukan tanda itu 
pada setiap selang waktu.
Oleh itu, lengkung pada selang 
Dan 
cembung ke bawah, pada selang (-1;1) cembung ke atas; tiada titik infleksi, kerana fungsinya adalah pada titik 
Dan 
tidak ditentukan.
7. Cari titik persilangan dengan paksi.
Dengan gandar 
graf fungsi bersilang pada titik (0; -1), dan dengan paksi 
graf tidak bersilang, kerana pengangka bagi fungsi ini tidak mempunyai punca sebenar.
Graf bagi fungsi yang diberikan ditunjukkan dalam Rajah 1.
Rajah 1 ─ Graf fungsi 
Aplikasi konsep terbitan dalam ekonomi. Fungsi keanjalan
Untuk mengkaji proses ekonomi dan menyelesaikan masalah gunaan lain, konsep keanjalan fungsi sering digunakan.
Definisi. Fungsi keanjalan 
dipanggil had nisbah kenaikan relatif fungsi 
kepada kenaikan relatif pembolehubah 
di 
, . (VII)
Keanjalan fungsi menunjukkan kira-kira berapa peratus fungsi itu akan berubah 
apabila pembolehubah bebas berubah 
sebanyak 1%.
Fungsi keanjalan digunakan dalam analisis permintaan dan penggunaan. Jika keanjalan permintaan (dalam nilai mutlak) 
, maka permintaan dianggap anjal jika 
─ neutral jika 
─ tidak anjal berbanding harga (atau pendapatan).
Contoh 10 Kira keanjalan fungsi itu 
dan cari nilai indeks keanjalan bagi 
= 3.
Penyelesaian: mengikut formula (VII), keanjalan fungsi ialah:
Biarkan x=3, kemudian 
.Ini bermakna jika pembolehubah bebas meningkat sebanyak 1%, maka nilai pembolehubah bersandar akan meningkat sebanyak 1.42%.
Contoh 11 Biarkan permintaan berfungsi 
berkenaan harga 
kelihatan seperti 
, Di mana 
─ pekali malar. Cari nilai penunjuk keanjalan fungsi permintaan pada harga x = 3 den. unit
Penyelesaian: hitung keanjalan fungsi permintaan menggunakan formula (VII)
Percaya 
unit monetari, kita dapat 
. Ini bermakna bahawa pada harga 
unit kewangan kenaikan 1% dalam harga akan menyebabkan penurunan 6% dalam permintaan, i.e. permintaan adalah anjal.
Salah satu tugas yang paling penting kalkulus pembezaan adalah pembangunan contoh biasa kajian tingkah laku fungsi.
Jika fungsi y=f(x) adalah selanjar pada selang , dan terbitannya adalah positif atau sama dengan 0 pada selang (a,b), maka y=f(x) bertambah sebanyak (f"(x)0) . Jika fungsi y=f (x) adalah selanjar pada segmen , dan terbitannya negatif atau sama dengan 0 pada selang (a,b), maka y=f(x) berkurang sebanyak (f"(x)0 )
Selang di mana fungsi tidak berkurangan atau meningkat dipanggil selang monotonisitas fungsi. Kemonotonan sesuatu fungsi boleh berubah hanya pada titik domain definisinya di mana tanda terbitan pertama berubah. Titik di mana terbitan pertama fungsi hilang atau mempunyai ketakselanjaran dipanggil kritikal.
Teorem 1 (syarat pertama yang mencukupi untuk kewujudan ekstrem).
Biarkan fungsi y=f(x) ditakrifkan pada titik x 0 dan biarkan terdapat kejiranan δ>0 supaya fungsi itu berterusan pada selang dan boleh dibezakan pada selang (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , dan terbitannya mengekalkan tanda malar pada setiap selang ini. Kemudian jika pada x 0 -δ,x 0) dan (x 0 , x 0 +δ) tanda-tanda terbitan adalah berbeza, maka x 0 ialah titik ekstrem, dan jika ia bertepatan, maka x 0 bukan titik ekstrem. . Lebih-lebih lagi, jika, apabila melalui titik x0, derivatif bertukar tanda daripada tambah kepada tolak (di sebelah kiri x 0 f"(x)>0 berpuas hati, maka x 0 ialah titik maksimum; jika derivatif bertukar tanda dari tolak hingga tambah (di sebelah kanan x 0 dilaksanakan f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.
Titik maksimum dan minimum dipanggil titik ekstrem fungsi, dan maksimum dan minimum fungsi dipanggil nilai ekstremnya.
Teorem 2 (tanda perlu bagi ekstrem tempatan).
Jika fungsi y=f(x) mempunyai ekstrem pada arus x=x 0, maka sama ada f’(x 0)=0 atau f’(x 0) tidak wujud.
Pada titik ekstrem fungsi boleh beza, tangen kepada grafnya adalah selari dengan paksi Lembu.
Algoritma untuk mengkaji fungsi untuk ekstrem:
1) Cari terbitan bagi fungsi itu.
2) Cari titik kritikal, i.e. titik di mana fungsi adalah selanjar dan terbitan adalah sifar atau tidak wujud.
3) Pertimbangkan kejiranan setiap titik, dan periksa tanda terbitan di sebelah kiri dan kanan titik ini.
4) Tentukan koordinat titik ekstrem; untuk ini, gantikan nilai titik kritikal ke dalam fungsi ini. Menggunakan keadaan yang mencukupi untuk ekstrem, buat kesimpulan yang sesuai.
Contoh 18. Periksa fungsi y=x 3 -9x 2 +24x untuk ekstrem
Penyelesaian.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Menyamakan terbitan kepada sifar, kita dapati x 1 =2, x 2 =4. DALAM dalam kes ini derivatif ditakrifkan di mana-mana; Ini bermakna selain daripada dua titik yang ditemui, tiada titik kritikal yang lain.
3) Tanda terbitan y"=3(x-2)(x-4) berubah bergantung pada selang seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 1. Apabila melalui titik x=2, derivatif bertukar tanda daripada tambah kepada tolak, dan apabila melalui titik x=4 - dari tolak hingga tambah.
4) Pada titik x=2 fungsi mempunyai maksimum y max =20, dan pada titik x=4 - minimum y min =16.
Teorem 3. (syarat mencukupi ke-2 untuk kewujudan ekstrem).
Biarkan f"(x 0) dan pada titik x 0 wujud f""(x 0). Kemudian jika f""(x 0)>0, maka x 0 ialah titik minimum, dan jika f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).
Pada segmen, fungsi y=f(x) boleh mencapai nilai terkecil (y terkecil) atau terbesar (y tertinggi) sama ada pada titik kritikal fungsi yang terletak dalam selang (a;b), atau pada hujung segmen.
Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi berterusan y=f(x) pada segmen:
1) Cari f"(x).
2) Cari titik di mana f"(x)=0 atau f"(x) tidak wujud, dan pilih daripadanya titik yang terletak di dalam segmen.
3) Kira nilai fungsi y=f(x) pada titik yang diperolehi dalam langkah 2), serta di hujung segmen dan pilih yang terbesar dan terkecil daripadanya: masing-masing adalah yang terbesar (y). nilai terbesar) dan terkecil (y terkecil) bagi fungsi pada selang waktu.
Contoh 19. Cari nilai terbesar bagi fungsi selanjar y=x 3 -3x 2 -45+225 pada ruas itu.
1) Kami mempunyai y"=3x 2 -6x-45 pada segmen
2) Derivatif y" wujud untuk semua x. Mari cari titik di mana y"=0; kita mendapatkan:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) Hitung nilai fungsi pada titik x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Segmen mengandungi hanya titik x=5. Nilai terbesar fungsi yang ditemui ialah 225, dan yang terkecil ialah nombor 50. Jadi, y max = 225, y min = 50.
Kajian fungsi pada kecembungan
Rajah menunjukkan graf bagi dua fungsi. Yang pertama adalah cembung ke atas, yang kedua cembung ke bawah.
Fungsi y=f(x) adalah selanjar pada selang dan boleh dibezakan dalam selang (a;b), dipanggil cembung ke atas (ke bawah) pada selang ini jika, untuk axb, grafnya terletak tidak lebih tinggi (tidak lebih rendah) daripada tangen yang dilukis pada sebarang titik M 0 (x 0 ;f(x 0)), dengan axb.
Teorem 4. Biarkan fungsi y=f(x) mempunyai terbitan kedua pada mana-mana titik pedalaman x segmen dan selanjar pada hujung segmen ini. Kemudian jika ketaksamaan f""(x)0 memegang pada selang (a;b), maka fungsi itu adalah cembung ke bawah pada selang ; jika ketaksamaan f""(x)0 kekal pada selang (a;b), maka fungsi itu adalah cembung ke atas pada .
Teorem 5. Jika fungsi y=f(x) mempunyai terbitan kedua pada selang (a;b) dan jika ia berubah tanda apabila melalui titik x 0, maka M(x 0 ;f(x 0)) ialah titik infleksi.
Peraturan untuk mencari titik infleksi:
1) Cari titik di mana f""(x) tidak wujud atau lenyap.
2) Periksa tanda f""(x) di kiri dan kanan setiap titik yang terdapat pada langkah pertama.
3) Berdasarkan Teorem 4, buat satu kesimpulan.
Contoh 20. Cari titik ekstrem dan titik infleksi graf bagi fungsi y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.
Kami mempunyai f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Jelas sekali, f"(x)=0 apabila x 1 =0, x 2 =1. Apabila melalui titik x=0, derivatif menukar tanda daripada tolak kepada tambah, tetapi apabila melalui titik x=1 ia tidak menukar tanda. Ini bermakna x=0 ialah titik minimum (y min =12), dan tiada ekstrem pada titik x=1. Seterusnya, kita dapati 
. Terbitan kedua hilang pada titik x 1 =1, x 2 =1/3. Tanda-tanda derivatif kedua berubah seperti berikut: Pada sinar (-∞;) kita mempunyai f""(x)>0, pada selang (;1) kita mempunyai f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Oleh itu, x= ialah titik infleksi graf fungsi (peralihan daripada cembung ke bawah kepada cembung ke atas) dan x=1 juga ialah titik infleksi (peralihan dari cembung ke atas kepada cembung ke bawah). Jika x=, maka y= ; jika, maka x=1, y=13.
Algoritma untuk mencari asimtot graf
I. Jika y=f(x) sebagai x → a, maka x=a ialah asimtot menegak.
II. Jika y=f(x) sebagai x → ∞ atau x → -∞, maka y=A ialah asimtot mengufuk.
III. Untuk mencari asimtot serong, kami menggunakan algoritma berikut:
1) Kira . Jika had wujud dan bersamaan dengan b, maka y=b ialah asimtot mendatar; jika , kemudian pergi ke langkah kedua.
2) Kira . Jika had ini tidak wujud, maka tiada asimtot; jika ia wujud dan bersamaan dengan k, maka pergi ke langkah ketiga.
3) Kira . Jika had ini tidak wujud, maka tiada asimtot; jika ia wujud dan sama dengan b, maka pergi ke langkah keempat.
4) Tuliskan persamaan asimtot oblik y=kx+b.
Contoh 21: Cari asymptot untuk fungsi 
1) 
2)
3)
4) Persamaan asimtot oblik mempunyai bentuk
Skim untuk mengkaji fungsi dan membina grafnya
I. Cari domain takrifan fungsi.
II. Cari titik persilangan graf fungsi dengan paksi koordinat.
III. Cari asimtot.
IV. Cari titik ekstrem yang mungkin.
V. Cari titik kritikal.
VI. Dengan menggunakan angka bantu, teroka tanda terbitan pertama dan kedua. Tentukan kawasan fungsi bertambah dan berkurangan, cari arah kecembungan graf, titik ekstrem dan titik infleksi.
VII. Bina graf, dengan mengambil kira penyelidikan yang dijalankan dalam perenggan 1-6.
Contoh 22: Bina graf bagi fungsi mengikut rajah di atas
Penyelesaian.
I. Domain bagi suatu fungsi ialah set semua nombor nyata kecuali x=1.
II. Oleh kerana persamaan x 2 +1=0 tidak mempunyai punca nyata, graf fungsi tidak mempunyai titik persilangan dengan paksi Ox, tetapi bersilang dengan paksi Oy pada titik (0;-1).
III. Mari kita jelaskan persoalan kewujudan asimtot. Mari kita kaji kelakuan fungsi berhampiran titik ketakselanjaran x=1. Oleh kerana y → ∞ sebagai x → -∞, y → +∞ sebagai x → 1+, maka garis lurus x=1 ialah asimtot menegak bagi graf fungsi.
Jika x → +∞(x → -∞), maka y → +∞(y → -∞); oleh itu, graf tidak mempunyai asimtot mendatar. Selanjutnya, dari kewujudan had
Menyelesaikan persamaan x 2 -2x-1=0 kita memperoleh dua titik ekstrem yang mungkin:
x 1 =1-√2 dan x 2 =1+√2
V. Untuk mencari titik kritikal, kita mengira terbitan kedua:
Oleh kerana f""(x) tidak hilang, tiada titik kritikal.
VI. Mari kita periksa tanda terbitan pertama dan kedua. Kemungkinan titik ekstrem yang perlu dipertimbangkan: x 1 =1-√2 dan x 2 =1+√2, bahagikan domain kewujudan fungsi kepada selang (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) dan (1+√2;+∞).
Dalam setiap selang ini, derivatif mengekalkan tandanya: dalam yang pertama - tambah, dalam kedua - tolak, dalam ketiga - tambah. Urutan tanda terbitan pertama akan ditulis seperti berikut: +,-+.
Kami mendapati bahawa fungsi meningkat pada (-∞;1-√2), menurun pada (1-√2;1+√2), dan meningkat semula pada (1+√2;+∞). Mata melampau: maksimum pada x=1-√2, dan f(1-√2)=2-2√2 minimum pada x=1+√2, dan f(1+√2)=2+2√2. Pada (-∞;1) graf adalah cembung ke atas, dan pada (1;+∞) ia cembung ke bawah.
VII Mari kita buat jadual nilai yang diperolehi
VIII Berdasarkan data yang diperoleh, kami membina lakaran graf fungsi tersebut 
Hari ini kami menjemput anda untuk meneroka dan membina graf fungsi bersama kami. Selepas mengkaji artikel ini dengan teliti, anda tidak perlu berpeluh lama untuk menyelesaikan tugasan jenis ini. Bukan mudah untuk mengkaji dan membina graf fungsi; ia adalah kerja besar yang memerlukan perhatian maksimum dan ketepatan pengiraan. Untuk menjadikan bahan lebih mudah difahami, kami akan mengkaji fungsi yang sama langkah demi langkah dan menerangkan semua tindakan dan pengiraan kami. Selamat datang ke dunia matematik yang menakjubkan dan menarik! Pergi!
Domain
Untuk meneroka dan membuat graf fungsi, anda perlu mengetahui beberapa definisi. Fungsi merupakan salah satu konsep (asas) utama dalam matematik. Ia mencerminkan pergantungan antara beberapa pembolehubah (dua, tiga atau lebih) semasa perubahan. Fungsi ini juga menunjukkan pergantungan set.
Bayangkan kita mempunyai dua pembolehubah yang mempunyai julat perubahan tertentu. Jadi, y ialah fungsi bagi x, dengan syarat setiap nilai pembolehubah kedua sepadan dengan satu nilai kedua. Dalam kes ini, pembolehubah y adalah bergantung, dan ia dipanggil fungsi. Adalah lazim untuk mengatakan bahawa pembolehubah x dan y berada dalam Untuk lebih jelas tentang pergantungan ini, graf fungsi dibina. Apakah graf bagi suatu fungsi? Ini ialah satu set titik pada satah koordinat, di mana setiap nilai x sepadan dengan satu nilai y. Graf boleh berbeza - garis lurus, hiperbola, parabola, gelombang sinus dan sebagainya.
Adalah mustahil untuk membuat graf fungsi tanpa penyelidikan. Hari ini kita akan belajar cara menjalankan penyelidikan dan membina graf fungsi. Adalah sangat penting untuk mengambil nota semasa kajian. Ini akan menjadikan tugas lebih mudah untuk diatasi. Pelan penyelidikan yang paling mudah:
- Domain.
- Kesinambungan.
- Genap atau ganjil.
- Berkala.
- Asimtot.
- Sifar.
- Tandakan keteguhan.
- Bertambah dan berkurangan.
- Melampau.
- Convexity dan concavity.
Mari kita mulakan dengan titik pertama. Mari cari domain definisi, iaitu, pada selang berapa fungsi kita wujud: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). Dalam kes kami, fungsi itu wujud untuk sebarang nilai x, iaitu domain takrifan adalah sama dengan R. Ini boleh ditulis seperti berikut xÎR.
Kesinambungan
Sekarang kita akan mengkaji fungsi ketakselanjaran. Dalam matematik, istilah "kesinambungan" muncul sebagai hasil daripada kajian undang-undang gerakan. Apakah yang tidak terhingga? Ruang, masa, beberapa kebergantungan (contohnya ialah pergantungan pembolehubah S dan t dalam masalah pergerakan), suhu objek yang dipanaskan (air, kuali, termometer, dll.), garis berterusan (iaitu, satu yang boleh dilukis tanpa mengangkatnya dari pensel lembaran).
Sesuatu graf dianggap selanjar jika ia tidak putus pada satu ketika. Salah satu contoh graf yang paling jelas ialah sinusoid, yang boleh anda lihat dalam gambar dalam bahagian ini. Suatu fungsi adalah selanjar pada titik x0 jika beberapa syarat dipenuhi:
- fungsi ditakrifkan pada titik tertentu;
- had kanan dan kiri pada satu titik adalah sama;
- had adalah sama dengan nilai fungsi pada titik x0.
Jika sekurang-kurangnya satu syarat tidak dipenuhi, fungsi tersebut dikatakan gagal. Dan titik di mana fungsi pecah biasanya dipanggil titik putus. Contoh fungsi yang akan "pecah" apabila dipaparkan secara grafik ialah: y=(x+4)/(x-3). Selain itu, y tidak wujud pada titik x = 3 (kerana adalah mustahil untuk dibahagi dengan sifar).
Dalam fungsi yang kita sedang belajar (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) semuanya ternyata mudah, kerana graf akan berterusan.
Walaupun ganjil
Sekarang periksa fungsi untuk pariti. Pertama, sedikit teori. Fungsi genap ialah fungsi yang memenuhi syarat f(-x)=f(x) untuk sebarang nilai pembolehubah x (daripada julat nilai). Contohnya termasuk:
- modul x (graf kelihatan seperti subuh, pembahagi dua suku pertama dan kedua graf);
- x kuasa dua (parabola);
- kosinus x (kosinus).
Ambil perhatian bahawa semua graf ini adalah simetri apabila dilihat berkenaan dengan paksi-y (iaitu, paksi-y).
Apakah yang dipanggil fungsi ganjil? Ini ialah fungsi yang memenuhi syarat: f(-x)=-f(x) untuk sebarang nilai pembolehubah x. Contoh:
- hiperbola;
- parabola padu;
- sinusoid;
- tangen dan sebagainya.
Sila ambil perhatian bahawa fungsi ini adalah simetri tentang titik (0:0), iaitu, asalan. Berdasarkan apa yang dinyatakan dalam bahagian artikel ini, fungsi genap dan ganjil mesti mempunyai sifat: x tergolong dalam set definisi dan -x juga.
Mari kita periksa fungsi untuk pariti. Kita dapat melihat bahawa dia tidak sesuai dengan mana-mana huraian. Oleh itu, fungsi kita tidak genap dan tidak ganjil.
Asimtot
Mari kita mulakan dengan definisi. Asimtot ialah lengkung yang sedekat mungkin dengan graf, iaitu jarak dari titik tertentu cenderung kepada sifar. Secara keseluruhan, terdapat tiga jenis asimtot:
- menegak, iaitu selari dengan paksi-y;
- mendatar, iaitu selari dengan paksi x;
- cenderung.
Bagi jenis pertama, baris ini harus dicari di beberapa titik:
- jurang;
- hujung domain definisi.
Dalam kes kami, fungsi adalah berterusan, dan domain definisi adalah sama dengan R. Akibatnya, tiada asimtot menegak.
Graf fungsi mempunyai asimtot mendatar, yang memenuhi keperluan berikut: jika x cenderung kepada infiniti atau tolak infiniti, dan hadnya adalah sama dengan nombor tertentu (contohnya, a). Dalam kes ini, y=a ialah asimtot mendatar. Tiada asimtot mendatar dalam fungsi yang sedang kita kaji.
Asimtot serong hanya wujud jika dua syarat dipenuhi:
- lim(f(x))/x=k;
- lim f(x)-kx=b.
Kemudian ia boleh didapati menggunakan formula: y=kx+b. Sekali lagi, dalam kes kami tidak ada asimtot serong.
Fungsi sifar
Langkah seterusnya ialah memeriksa graf fungsi untuk sifar. Ia juga sangat penting untuk diperhatikan bahawa tugas yang berkaitan dengan mencari sifar fungsi berlaku bukan sahaja semasa mengkaji dan membina graf fungsi, tetapi juga sebagai tugas bebas dan sebagai cara untuk menyelesaikan ketaksamaan. Anda mungkin dikehendaki mencari sifar fungsi pada graf atau menggunakan tatatanda matematik.
Mencari nilai ini akan membantu anda membuat graf fungsi dengan lebih tepat. Secara ringkas, sifar fungsi ialah nilai pembolehubah x di mana y = 0. Jika anda mencari sifar fungsi pada graf, maka anda harus memberi perhatian kepada titik di mana graf bersilang dengan paksi-x.
Untuk mencari sifar fungsi, anda perlu menyelesaikan persamaan berikut: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Selepas menjalankan pengiraan yang diperlukan, kami mendapat jawapan berikut:
Tandakan keteguhan
Peringkat seterusnya penyelidikan dan pembinaan fungsi (graf) ialah mencari selang tanda malar. Ini bermakna kita mesti menentukan pada selang mana fungsi mengambil nilai positif dan pada selang mana ia mengambil nilai negatif. Fungsi sifar yang terdapat dalam bahagian terakhir akan membantu kami melakukan ini. Jadi, kita perlu membina garis lurus (berasingan daripada graf) dan mengagihkan sifar fungsi di sepanjangnya dalam susunan yang betul dari terkecil kepada terbesar. Sekarang anda perlu menentukan yang mana selang yang terhasil mempunyai tanda "+" dan yang mempunyai "-".
Dalam kes kami, fungsi mengambil nilai positif pada selang:
- dari 1 hingga 4;
- dari 9 hingga infiniti.
Makna negatif:
- daripada tolak infiniti kepada 1;
- dari 4 hingga 9.
Ini agak mudah untuk ditentukan. Gantikan mana-mana nombor dari selang ke dalam fungsi dan lihat tanda apa yang ternyata mempunyai jawapan (tolak atau tambah).
Meningkatkan dan mengurangkan fungsi
Untuk meneroka dan membina fungsi, kita perlu tahu di mana graf akan meningkat (naik di sepanjang paksi Oy) dan di mana ia akan jatuh (merangkak ke bawah sepanjang paksi-y).
Fungsi meningkat hanya jika nilai pembolehubah x yang lebih besar sepadan dengan nilai y yang lebih besar. Iaitu, x2 lebih besar daripada x1, dan f(x2) lebih besar daripada f(x1). Dan kita memerhatikan fenomena yang bertentangan sepenuhnya dengan fungsi yang semakin berkurangan (semakin banyak x, semakin kurang y). Untuk menentukan selang kenaikan dan penurunan, anda perlu mencari perkara berikut:
- domain definisi (kita sudah ada);
- derivatif (dalam kes kami: 1/3(3x^2-28x+49);
- selesaikan persamaan 1/3(3x^2-28x+49)=0.
Selepas pengiraan kami mendapat keputusan:
Kami mendapat: fungsi meningkat pada selang dari tolak infiniti kepada 7/3 dan dari 7 kepada infiniti, dan berkurangan pada selang dari 7/3 kepada 7.
Melampau
Fungsi yang dikaji y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) adalah berterusan dan wujud untuk sebarang nilai pembolehubah x. Titik ekstrem menunjukkan maksimum dan minimum fungsi tertentu. Dalam kes kami tidak ada, yang sangat memudahkan tugas pembinaan. Jika tidak, ia juga boleh didapati menggunakan fungsi derivatif. Setelah ditemui, jangan lupa tandakannya pada carta.
Convexity dan concavity
Kami terus meneroka fungsi y(x). Sekarang kita perlu menyemaknya untuk cembung dan cekung. Takrifan konsep-konsep ini agak sukar untuk difahami, adalah lebih baik untuk menganalisis segala-galanya menggunakan contoh. Untuk ujian: fungsi adalah cembung jika ia adalah fungsi tidak menurun. Setuju, ini tidak dapat difahami!
Kita perlu mencari terbitan bagi fungsi tertib kedua. Kami dapat: y=1/3(6x-28). Sekarang mari kita samakan bahagian kanan dengan sifar dan selesaikan persamaan. Jawapan: x=14/3. Kami menjumpai titik infleksi, iaitu tempat di mana graf berubah daripada cembung kepada cekung atau sebaliknya. Pada selang dari tolak infiniti hingga 14/3 fungsinya adalah cembung, dan dari 14/3 hingga tambah infiniti ia adalah cekung. Ia juga sangat penting untuk diperhatikan bahawa titik infleksi pada graf harus licin dan lembut, tidak sepatutnya ada sudut tajam.
Menentukan mata tambahan
Tugas kami adalah untuk menyiasat dan membina graf fungsi. Kami telah menyelesaikan kajian; membina graf fungsi kini tidak sukar. Untuk penghasilan semula lengkung atau garis lurus yang lebih tepat dan terperinci pada satah koordinat, anda boleh menemui beberapa titik tambahan. Mereka agak mudah dikira. Sebagai contoh, kita ambil x=3, selesaikan persamaan yang terhasil dan cari y=4. Atau x=5, dan y=-5 dan seterusnya. Anda boleh mengambil seberapa banyak mata tambahan yang anda perlukan untuk pembinaan. Sekurang-kurangnya 3-5 daripadanya ditemui.
Melukis graf
Kami perlu menyiasat fungsi (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Semua tanda yang diperlukan semasa pengiraan dibuat pada satah koordinat. Apa yang perlu dilakukan ialah membina graf, iaitu menyambung semua titik. Menyambung titik harus lancar dan tepat, ini adalah soal kemahiran - sedikit latihan dan jadual anda akan menjadi sempurna.
