Det som kalles sinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant. Høyre trekant

Instruksjon

Hvis du trenger å finne kosinus vinkel i en vilkårlig trekant er det nødvendig å bruke cosinussetningen:
hvis vinkelen er spiss: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
hvis vinkel: cos? = (c2 - a2 - b2)/(2ab), hvor a, b er lengdene på sidene ved siden av hjørnet, c er lengden på siden motsatt hjørnet.

Nyttige råd

Den matematiske notasjonen for cosinus er cos.
Cosinusverdien kan ikke være større enn 1 og mindre enn -1.

Kilder:

• hvordan beregne cosinus til en vinkel
• Trigonometriske funksjoner på enhetssirkelen

Cosinus er den grunnleggende trigonometriske funksjonen til vinkelen. Evnen til å bestemme cosinus er nyttig i vektoralgebra når man skal bestemme projeksjonene til vektorer på forskjellige akser.

Instruksjon

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

Det er en trekant med sidene a, b, c lik henholdsvis 3, 4, 5 mm.

Finne kosinus vinkelen innelukket mellom de store sidene.

La oss betegne vinkelen motsatt av siden a gjennom?, så, i henhold til formelen som er utledet ovenfor, har vi:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0,8

Svar: 0,8.

Hvis trekanten er en rettvinklet trekant, så for å finne kosinus og det er nok å kjenne lengdene til alle to sider av vinkelen ( kosinus rett vinkel er 0).

La det være en rettvinklet trekant med sidene a, b, c, hvor c er hypotenusen.

Vurder alle alternativer:

Finn cos? hvis lengdene på sidene a og b (i en trekant) er kjent

La oss i tillegg bruke Pythagoras teorem:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(b?+b?+a?-a?)/(2*b*v(b?+a?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

For å få riktigheten til den resulterende formelen, erstatter vi den fra eksempel 1, dvs.

Etter å ha gjort elementære beregninger, får vi:

På samme måte er det kosinus i en rektangulær triangel i andre tilfeller:

Kjent a og c (hypotenusa og motsatt ben), finn cos?

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(c?-a?+c?-a?)/(2*c*v(c?-a?)) =(2*s?-2*a?)/(2*s*v(s?-a?))=v(s?-a?)/s.

Ved å erstatte verdiene a=3 og c=5 fra eksemplet får vi:

b og c er kjent (hypotenusen og det tilstøtende benet).

Finne sos?

Etter å ha utført lignende transformasjoner (vist i eksempel 2 og 3), får vi det i dette tilfellet kosinus V triangel beregnet ved hjelp av en veldig enkel formel:

Enkelheten til den avledede formelen er forklart på en elementær måte: faktisk ved siden av hjørnet? benet er en projeksjon av hypotenusen, lengden er lik lengden på hypotenusen multiplisert med cos?.

Ved å erstatte verdiene b=4 og c=5 fra det første eksemplet får vi:

Så alle formlene våre er riktige.

Tips 5: Hvordan finne en spiss vinkel i en rettvinklet trekant

Direkte karbonholdig trekanten er sannsynligvis en av de mest kjente, fra et historisk synspunkt, geometriske former. Pythagoras "bukser" kan bare konkurrere med "Eureka!" Arkimedes.

Du vil trenge

• - tegning av en trekant;
• - Hersker;
• - gradskive.

Instruksjon

Summen av vinklene til en trekant er 180 grader. i en rektangulær triangel en vinkel (høyre) vil alltid være 90 grader, og resten er spiss, dvs. mindre enn 90 grader hver. For å bestemme hvilken vinkel i en rektangulær triangel er rett, mål sidene av trekanten med en linjal og bestem den største. Det er hypotenusen (AB) og er motsatt den rette vinkelen (C). De resterende to sidene danner en rett vinkel og ben (AC, BC).

Når du har bestemt hvilken vinkel som er spiss, kan du enten bruke en gradskive for å beregne vinkelen, eller beregne den ved hjelp av matematiske formler.

For å bestemme verdien av vinkelen ved hjelp av en vinkelmåler, juster toppen (la oss betegne den med bokstaven A) med et spesielt merke på linjalen i midten av vinkelmåleren, AC-benet må falle sammen med dens øvre kant. Merk på den halvsirkelformede delen av gradskiven punktet der hypotenusen AB. Verdien på dette punktet tilsvarer vinkelverdien i grader. Hvis 2 mengder er angitt på vinkelmåleren, så for spiss vinkel du må velge en mindre, for en dum en - en større.

Finn den resulterende verdien i referansen Bradis og bestem hvilken vinkel som tilsvarer den resulterende numeriske verdien. Våre bestemødre brukte denne metoden.

I vår er det nok å ta med funksjonen til å beregne trigonometriske formler. For eksempel den innebygde Windows-kalkulatoren. Start "Kalkulator"-applikasjonen, i "Vis" menyelementet, velg "Engineering" -elementet. Beregn sinusen til ønsket vinkel, for eksempel sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Bytt kalkulatoren til invers funksjonsmodus ved å klikke på INV-knappen på kalkulatorens skjerm, og klikk deretter på arcsine-funksjonsknappen (merket sin til minus én potens på skjermen). Følgende inskripsjon vil vises i beregningsvinduet: asind (0,5) = 30. Det vil si, ønsket vinkel er 30 grader.

Kilder:

• Bradis-bord (sinus, kosinus)

Cosinussetningen i matematikk brukes oftest når det er nødvendig å finne den tredje siden ved en vinkel og to sider. Noen ganger er imidlertid tilstanden til problemet satt omvendt: det kreves å finne vinkelen for gitte tre sider.

Instruksjon

Tenk deg at du får en trekant med kjente lengder på to sider og verdien av én vinkel. Alle vinklene i denne trekanten er ikke like hverandre, og sidene er også forskjellige i størrelse. Vinkelen γ ligger motsatt siden av trekanten, betegnet som AB, som er denne figuren. Gjennom denne vinkelen, så vel som gjennom de gjenværende sidene AC og BC, kan du finne den siden av trekanten, som er ukjent, ved å bruke cosinus-teoremet, og utlede formelen nedenfor på grunnlag av den:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, der a=BC, b=AB, c=AC
Cosinussetningen kalles ellers den generaliserte Pythagoras teorem.

Tenk deg nå at alle tre sidene av figuren er gitt, men vinkelen γ er ukjent. Når du vet at formen a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, transformer dette uttrykket slik at ønsket verdi er vinkelen γ: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Ta så ligningen ovenfor til en litt annen form: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Deretter skal dette uttrykket transformeres til følgende: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Det gjenstår å erstatte tallene i formelen og utføre beregningene.

For å finne cosinus, betegnet som γ, må den uttrykkes gjennom invers trigonometrisk, kalt invers cosinus. Arcosinus til tallet m er verdien av vinkelen γ, for hvilken cosinus til vinkelen γ er lik m. Funksjonen y=arccos m er avtagende. Tenk deg for eksempel at cosinus til vinkelen γ er halvparten. Da kan vinkelen γ defineres i form av buekosinus som følger:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, hvor m = 1/2.
På samme måte kan du finne de gjenværende vinklene i en trekant med to andre ukjente sider.

Sinus og cosinus er to trigonometriske funksjoner som kalles "rette linjer". Det er de som må beregnes oftere enn andre, og i dag har hver av oss et betydelig utvalg av alternativer for å løse dette problemet. Nedenfor er noen av de mest enkle måter.

Instruksjon

Bruk vinkelmåler, blyant og papir hvis andre beregningsmåter ikke er tilgjengelige. En av definisjonene av cosinus er gitt gjennom spisse vinkler i en rettvinklet trekant - den er lik forholdet mellom lengden på benet motsatt denne vinkelen og lengden. Tegn en trekant der en av vinklene er rett (90°) og den andre er vinkelen du vil beregne. Lengden på sidene spiller ingen rolle - tegn dem på en slik måte at det er mer praktisk for deg å måle. Mål lengden på ønsket ben og hypotenusen og del den første med den andre på en passende måte.

Grip muligheten til verdi trigonometriske funksjoner bruke kalkulatoren innebygd i Nigma-søkemotoren hvis du har internettilgang. For eksempel, hvis du vil beregne cosinus til en vinkel på 20°, så ved å laste hjemmeside service http://nigma.ru skriv inn søket "cosine 20" og klikk på "Finn!"-knappen. Du kan utelate "grader" og erstatte ordet "cosinus" med cos - i alle fall vil søkemotoren vise resultatet med en nøyaktighet på opptil 15 desimaler (0,939692620785908).

Åpne standardprogrammet - installert med operasjonen Windows-system hvis det ikke er internettilgang. Dette kan for eksempel gjøres ved å trykke på win- og r-tastene samtidig, deretter skrive inn calc-kommandoen og klikke på OK-knappen. For å beregne trigonometriske funksjoner, her er et grensesnitt kalt "engineering" eller "scientific" (avhengig av OS-versjonen) - velg ønsket element i "View"-delen av kalkulatormenyen. Etter det, skriv inn verdien av vinkelen og klikk på cos-knappen i programgrensesnittet.

Relaterte videoer

Tips 8: Hvordan bestemme vinkler i en rettvinklet trekant

Rektangulær er preget av visse forhold mellom vinkler og sider. Når du kjenner verdiene til noen av dem, kan du beregne andre. For dette brukes formler, basert på sin tur på geometriens aksiomer og teoremer.

Referansedata for tangent (tg x) og cotangens (ctg x). Geometrisk definisjon, egenskaper, grafer, formler. Tabell over tangenter og kotangenser, derivater, integraler, serieutvidelser. Uttrykk gjennom komplekse variabler. Forbindelse med hyperbolske funksjoner.

Geometrisk definisjon

|BD| - lengden på sirkelbuen sentrert i punkt A.
α er vinkelen uttrykt i radianer.

Tangent ( tgα) er en trigonometrisk funksjon avhengig av vinkelen α mellom hypotenusen og benet til en rettvinklet trekant, lik forholdet mellom lengden til det motsatte benet |BC| til lengden av det tilstøtende benet |AB| .

Cotangens ( ctgα) er en trigonometrisk funksjon avhengig av vinkelen α mellom hypotenusen og benet til en rettvinklet trekant, lik forholdet mellom lengden til det tilstøtende benet |AB| til lengden av motsatt ben |BC| .

Tangent

Hvor n- hel.

I vestlig litteratur er tangenten betegnet som følger:
.
;
;
.

Graf for tangentfunksjonen, y = tg x

Cotangens

Hvor n- hel.

I vestlig litteratur er cotangensen betegnet som følger:
.
Følgende notasjon er også tatt i bruk:
;
;
.

Graf over cotangensfunksjonen, y = ctg x

Egenskaper til tangent og cotangens

Periodisitet

Funksjoner y= tg x og y= ctg x er periodiske med periode π.

Paritet

Funksjonene tangent og cotangens er oddetall.

Domener med definisjon og verdier, stigende, synkende

Funksjonene tangent og cotangens er kontinuerlige på sitt definisjonsdomene (se beviset på kontinuitet). Hovedegenskapene til tangenten og cotangensen er presentert i tabellen ( n- heltall).

	y= tg x	y= ctg x
Omfang og kontinuitet
Rekkevidde av verdier	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Stigende		-
Synkende	-
Ytterligheter	-	-
Null, y= 0
Skjæringspunkter med y-aksen, x = 0	y= 0	-

Formler

Uttrykk i form av sinus og cosinus

; ;
; ;
;

Formler for tangent og cotangens av sum og differanse

Resten av formlene er enkle å få tak i, for eksempel

Produkt av tangenter

Formelen for summen og differansen av tangenter

Denne tabellen viser verdiene til tangenter og cotangenter for noen verdier av argumentet.

Uttrykk i form av komplekse tall

Uttrykk i form av hyperbolske funksjoner

;
;

Derivater

; .

.
Derivert av n-te orden med hensyn til variabelen x i funksjonen:
.
Utledning av formler for tangent > > > ; for cotangens > > >

Integraler

Utvidelser til serier

For å få utvidelsen av tangenten i potenser av x, må du ta flere ledd av utvidelsen i en potensserie for funksjonene synd x Og fordi x og dele disse polynomene inn i hverandre, . Dette resulterer i følgende formler.

kl.

kl.
Hvor B n- Bernoulli tall. De bestemmes enten fra gjentakelsesrelasjonen:
;
;
Hvor .
Eller i henhold til Laplace-formelen:

Inverse funksjoner

Inverse funksjoner til tangent og cotangens er henholdsvis arctangens og arccotangent.

Arctangens, arctg

, Hvor n- hel.

Bue tangens, arcctg

, Hvor n- hel.

Referanser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook of Mathematics for ingeniører og studenter ved høyere utdanningsinstitusjoner, Lan, 2009.
G. Korn, Håndbok i matematikk for forskere og ingeniører, 2012.

Sinus er en av de grunnleggende trigonometriske funksjonene, hvis anvendelse ikke er begrenset til geometri alene. Tabeller for beregning av trigonometriske funksjoner, som tekniske kalkulatorer, er ikke alltid tilgjengelig, og beregningen av sinus er noen ganger nødvendig for å løse ulike problemer. Generelt vil beregningen av sinus bidra til å konsolidere tegneferdigheter og kunnskap om trigonometriske identiteter.

Linjal og blyantspill

En enkel oppgave: hvordan finne sinusen til en vinkel tegnet på papir? For å løse trenger du en vanlig linjal, en trekant (eller et kompass) og en blyant. Den enkleste måten å beregne sinusen til en vinkel på er ved å dele det ytterste benet i en trekant med rett vinkel på langsiden - hypotenusen. Derfor må du først fullføre den spisse vinkelen til figuren til en rettvinklet trekant ved å tegne en linje vinkelrett på en av strålene i en vilkårlig avstand fra vinkelens toppunkt. Det vil være nødvendig å observere en vinkel på nøyaktig 90 °, som vi trenger en geistlig trekant for.

Å bruke et kompass er litt mer presist, men vil ta lengre tid. På en av strålene må du markere 2 punkter i en viss avstand, sette en radius på kompasset omtrent lik avstanden mellom punktene, og tegne halvsirkler med sentre på disse punktene til disse linjene krysser hverandre. Ved å koble skjæringspunktene til sirklene våre med hverandre, vil vi få en streng vinkelrett på strålen av vinkelen vår, det gjenstår bare å forlenge linjen til den skjærer en annen stråle.

I den resulterende trekanten må du måle siden motsatt hjørnet og langsiden på en av strålene med en linjal. Forholdet mellom den første målingen og den andre vil være den ønskede verdien av sinusen til den spisse vinkelen.

Finn sinus for en vinkel større enn 90°

For en stump vinkel er ikke oppgaven mye vanskeligere. Det er nødvendig å tegne en stråle fra toppunktet i motsatt retning ved å bruke en linjal for å danne en rett linje med en av strålene i vinkelen vi er interessert i. Med den resulterende spisse vinkelen, bør du fortsette som beskrevet ovenfor, sinusene til tilstøtende vinkler, som sammen danner en utviklet vinkel på 180 °, er like.

Beregning av sinus fra andre trigonometriske funksjoner

Beregning av sinus er også mulig hvis verdiene til andre trigonometriske funksjoner av vinkelen eller i det minste lengden på sidene av trekanten er kjent. Trigonometriske identiteter vil hjelpe oss med dette. La oss se på vanlige eksempler.

Hvordan finne sinus med en kjent cosinus i en vinkel? Den første trigonometriske identiteten, som kommer fra Pythagoras teorem, sier at summen av kvadratene til sinus og cosinus i samme vinkel er lik en.

Hvordan finne sinus med en kjent tangens til en vinkel? Tangensen oppnås ved å dele det fjerne benet med det nærliggende eller ved å dele sinusen med cosinus. Dermed vil sinus være produktet av cosinus og tangent, og kvadratet av sinus vil være kvadratet av dette produktet. Vi erstatter kvadratisk cosinus med forskjellen mellom enhet og kvadratsinus i henhold til den første trigonometriske identiteten, og gjennom enkle manipulasjoner bringer vi ligningen for å beregne kvadratsinus gjennom tangenten, henholdsvis for å beregne sinusen, må du trekke ut roten fra det oppnådde resultatet.

Hvordan finne sinusen med en kjent cotangens av en vinkel? Verdien av cotangensen kan beregnes ved å dele lengden av den nære fra benvinkelen med lengden på den fjerneste, og også dele cosinus med sinusen, det vil si at cotangensen er den inverse funksjonen av tangenten med i forhold til tallet 1. For å beregne sinusen kan du beregne tangenten ved å bruke formelen tg α \u003d 1 / ctg α og bruke formelen i det andre alternativet. Du kan også utlede en direkte formel i analogi med tangenten, som vil se slik ut.

Hvordan finne sinusen til de tre sidene i en trekant

Det er en formel for å finne lengden på den ukjente siden av en hvilken som helst trekant, ikke bare en rettvinklet trekant, gitt to kjente sider ved å bruke den trigonometriske funksjonen til cosinus til den motsatte vinkelen. Hun ser slik ut.

Vel, sinusen kan videre beregnes fra cosinus i henhold til formlene ovenfor.

Begrepene sinus, cosinus, tangens og cotangens er hovedkategoriene for trigonometri - en gren av matematikk, og er uløselig knyttet til definisjonen av en vinkel. Besittelse av denne matematiske vitenskapen krever memorering og forståelse av formler og teoremer, samt utviklet romlig tenkning. Det er derfor trigonometriske beregninger ofte forårsaker vanskeligheter for skolebarn og elever. For å overvinne dem, bør du bli mer kjent med trigonometriske funksjoner og formler.

Begreper i trigonometri

For å forstå de grunnleggende begrepene trigonometri, må du først bestemme hva en rettvinklet trekant og en vinkel i en sirkel er, og hvorfor alle grunnleggende trigonometriske beregninger er knyttet til dem. En trekant der en av vinklene er 90 grader er en rettvinklet trekant. Historisk sett ble denne figuren ofte brukt av mennesker innen arkitektur, navigasjon, kunst, astronomi. Følgelig, ved å studere og analysere egenskapene til denne figuren, kom folk til å beregne de tilsvarende forholdstallene til parametrene.

Hovedkategoriene knyttet til rette trekanter er hypotenusen og bena. Hypotenusen er siden av en trekant som er motsatt den rette vinkelen. Bena er henholdsvis de to andre sidene. Summen av vinklene til en trekant er alltid 180 grader.

Sfærisk trigonometri er en del av trigonometri som ikke studeres på skolen, men i anvendte vitenskaper som astronomi og geodesi, bruker forskere det. Et trekk ved en trekant i sfærisk trigonometri er at den alltid har en sum av vinkler som er større enn 180 grader.

Vinkler av en trekant

I en rettvinklet trekant er sinusen til en vinkel forholdet mellom benet motsatt ønsket vinkel og hypotenusen til trekanten. Følgelig er cosinus forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen. Begge disse verdiene har alltid en verdi mindre enn én, siden hypotenusen alltid er lengre enn benet.

Tangensen til en vinkel er en verdi lik forholdet mellom det motsatte benet og det tilstøtende benet av ønsket vinkel, eller sinus til cosinus. Kotangensen er på sin side forholdet mellom det tilstøtende benet av ønsket vinkel og den motsatte kaktetten. Kotangensen til en vinkel kan også oppnås ved å dele enheten med verdien av tangenten.

enhetssirkel

En enhetssirkel i geometri er en sirkel hvis radius er lik én. En slik sirkel er konstruert i det kartesiske koordinatsystemet, med sentrum av sirkelen sammenfallende med opprinnelsespunktet, og startposisjonen til radiusvektoren bestemmes av den positive retningen til X-aksen (abscisse-aksen). Hvert punkt i sirkelen har to koordinater: XX og YY, det vil si koordinatene til abscissen og ordinaten. Ved å velge et hvilket som helst punkt på sirkelen i XX-planet, og slippe perpendikulæren fra den til abscisseaksen, får vi en rettvinklet trekant dannet av en radius til det valgte punktet (la oss betegne det med bokstaven C), en vinkelrett trukket til X-aksen (skjæringspunktet er angitt med bokstaven G), og et segment abscisseaksen mellom origo (punktet er angitt med bokstaven A) og skjæringspunktet G. Den resulterende trekanten ACG er en rettvinklet trekant innskrevet i en sirkel, der AG er hypotenusen, og AC og GC er bena. Vinkelen mellom radiusen til sirkelen AC og segmentet til abscisseaksen med betegnelsen AG, definerer vi som α (alfa). Så, cos α = AG/AC. Gitt at AC er radiusen til enhetssirkelen, og den er lik én, viser det seg at cos α=AG. Tilsvarende er sin α=CG.

I tillegg, når du kjenner disse dataene, kan du bestemme koordinaten til punkt C på sirkelen, siden cos α \u003d AG, og sin α \u003d CG, som betyr at punktet C har gitte koordinater(cos α;sin α). Når vi vet at tangenten er lik forholdet mellom sinus og cosinus, kan vi bestemme at tg α \u003d y / x, og ctg α \u003d x / y. Med tanke på vinkler i et negativt koordinatsystem kan man beregne at sinus- og cosinusverdiene til noen vinkler kan være negative.

Beregninger og grunnleggende formler

Verdier av trigonometriske funksjoner

Etter å ha vurdert essensen av trigonometriske funksjoner gjennom enhetssirkelen, kan vi utlede verdiene til disse funksjonene for noen vinkler. Verdiene er oppført i tabellen nedenfor.

De enkleste trigonometriske identitetene

Ligninger der det er en ukjent verdi under tegnet til den trigonometriske funksjonen kalles trigonometriske. Identiteter med verdien sin x = α, k er et hvilket som helst heltall:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, ingen løsninger.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identiteter med verdien cos x = a, der k er et hvilket som helst heltall:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, ingen løsninger.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Identiteter med verdien tg x = a, der k er et hvilket som helst heltall:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Identiteter med verdien ctg x = a, der k er et hvilket som helst heltall:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Cast formler

Denne kategorien med konstante formler angir metoder som du kan bruke til å gå fra trigonometriske funksjoner av formen til funksjoner av argumentet, det vil si å konvertere sinus, cosinus, tangent og cotangens til en vinkel av en hvilken som helst verdi til de tilsvarende indikatorene for vinkelen til intervallet fra 0 til 90 grader for større bekvemmelighet med beregninger.

Formlene for å redusere funksjoner for sinus til en vinkel ser slik ut:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

For cosinus av en vinkel:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Bruken av formlene ovenfor er mulig med to regler. For det første, hvis vinkelen kan representeres som en verdi (π/2 ± a) eller (3π/2 ± a), endres verdien av funksjonen:

• fra synd til cos;
• fra cos til synd;
• fra tg til ctg;
• fra ctg til tg.

Verdien av funksjonen forblir uendret hvis vinkelen kan representeres som (π ± a) eller (2π ± a).

For det andre endres ikke tegnet på den reduserte funksjonen: hvis det opprinnelig var positivt, forblir det slik. Det samme gjelder negative funksjoner.

Tilleggsformler

Disse formlene uttrykker verdiene til sinus, cosinus, tangens og cotangens av summen og differansen av to rotasjonsvinkler når det gjelder deres trigonometriske funksjoner. Vinkler er vanligvis betegnet som α og β.

Formlene ser slik ut:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Disse formlene er gyldige for alle vinkler α og β.

Dobbel og trippel vinkelformler

De trigonometriske formlene for en dobbel og trippel vinkel er formler som relaterer funksjonene til henholdsvis vinklene 2α og 3α til de trigonometriske funksjonene til vinkelen α. Avledet fra addisjonsformler:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Overgang fra sum til produkt

Tatt i betraktning at 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), ved å forenkle denne formelen, får vi identiteten sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Tilsvarende er sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tga - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Overgang fra produkt til sum

Disse formlene følger av identitetene for overgangen av summen til produktet:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Reduksjonsformler

I disse identitetene kan kvadrat- og kubikkpotensene til sinus og cosinus uttrykkes i form av sinus og cosinus til første potens av en multippel vinkel:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Universell substitusjon

De universelle trigonometriske substitusjonsformlene uttrykker trigonometriske funksjoner i form av tangenten til en halv vinkel.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), mens x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), hvor x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), hvor x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), mens x \u003d π + 2πn.

Spesielle tilfeller

Spesielle tilfeller av de enkleste trigonometriske ligningene er gitt nedenfor (k er et hvilket som helst heltall).

Privat for sinus:

sin x-verdi	x-verdi
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk eller 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk eller -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk eller 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk eller -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk eller 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk eller -2π/3 + 2πk

Cosinuskvotienter:

cos x verdi	x-verdi
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Privat for tangent:

tg x-verdi	x-verdi
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Kotangenskvotienter:

ctg x-verdi	x-verdi
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Teoremer

Sinus-teorem

Det er to versjoner av teoremet - enkel og utvidet. Enkel sinussetning: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. I dette tilfellet er a, b, c sidene av trekanten, og α, β, γ er henholdsvis de motsatte vinklene.

Utvidet sinussetning for en vilkårlig trekant: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. I denne identiteten betegner R radiusen til sirkelen der den gitte trekanten er innskrevet.

Cosinus teorem

Identiteten vises på denne måten: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. I formelen er a, b, c sidene i trekanten, og α er vinkelen på motsatt side av a.

Tangentteorem

Formelen uttrykker forholdet mellom tangentene til to vinkler, og lengden på sidene overfor dem. Sidene er merket a, b, c, og de tilsvarende motstående vinklene er α, β, γ. Formelen til tangentsetningen: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Cotangens teorem

Knytter radiusen til en sirkel innskrevet i en trekant med lengden på sidene. Hvis a, b, c er sidene av en trekant, og henholdsvis A, B, C er deres motsatte vinkler, r er radiusen til den innskrevne sirkelen, og p er trekantens halve omkrets, vil følgende identiteter holde:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

applikasjoner

Trigonometri er ikke bare teoretisk vitenskap knyttet til matematiske formler. Dens egenskaper, teoremer og regler brukes i praksis av ulike bransjer menneskelig aktivitet– astronomi, luft- og sjønavigasjon, musikkteori, geodesi, kjemi, akustikk, optikk, elektronikk, arkitektur, økonomi, maskinteknikk, målearbeid, data-grafikk, kartografi, oseanografi og mange andre.

Sinus, cosinus, tangens og cotangens er trigonometriens grunnleggende begreper, som man matematisk kan uttrykke forholdet mellom vinkler og lengder på sider i en trekant med, og finne ønskede størrelser gjennom identiteter, teoremer og regler.

Hva er sinus, cosinus, tangens, cotangens til en vinkel vil hjelpe deg å forstå en rettvinklet trekant.

Hva kalles sidene i en rettvinklet trekant? Det stemmer, hypotenusen og bena: hypotenusen er siden som ligger motsatt den rette vinkelen (i vårt eksempel er dette siden \ (AC \) ); bena er de to gjenværende sidene \ (AB \) og \ (BC \) (de som er ved siden av den rette vinkelen), dessuten, hvis vi vurderer bena med hensyn til vinkelen \ (BC \), så benet \ (AB \) er tilstøtende ben, og benet \ (BC \) er motsatt. Så la oss nå svare på spørsmålet: hva er sinus, cosinus, tangent og cotangens til en vinkel?

Sinus av en vinkel- dette er forholdet mellom motsatt (fjern) ben og hypotenusen.

I vår trekant:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosinus av en vinkel- dette er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og hypotenusen.

I vår trekant:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Vinkeltangens- dette er forholdet mellom det motsatte (fjerne) beinet til det tilstøtende (nære).

I vår trekant:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangens av en vinkel- dette er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og det motsatte (langt).

I vår trekant:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Disse definisjonene er nødvendige huske! For å gjøre det lettere å huske hvilket ben du skal dele med hva, må du tydelig forstå det i tangent Og cotangens bare bena sitter, og hypotenusen vises bare i sinus Og kosinus. Og så kan du komme opp med en kjede av assosiasjoner. For eksempel denne:

cosinus→berøring→berøring→tilstøtende;

Kotangens→berøring→berøring→tilstøtende.

Først av alt er det nødvendig å huske at sinus, cosinus, tangens og cotangens som forhold mellom sidene i en trekant ikke avhenger av lengdene på disse sidene (i en vinkel). Tror ikke? Pass deretter på ved å se på bildet:

Tenk for eksempel på cosinus til vinkelen \(\beta \) . Per definisjon, fra en trekant \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), men vi kan beregne cosinus til vinkelen \(\beta \) fra trekanten \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Du ser, lengdene på sidene er forskjellige, men verdien av cosinus til en vinkel er den samme. Dermed avhenger verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens utelukkende av størrelsen på vinkelen.

Hvis du forstår definisjonene, så fortsett og fiks dem!

For trekanten \(ABC \) , vist i figuren nedenfor, finner vi \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)

Vel, fikk du det? Så prøv selv: beregn det samme for vinkelen \(\beta \) .

Svar: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Enhetssirkel (trigonometrisk).

For å forstå begrepene grad og radian, betraktet vi en sirkel med en radius lik \ (1 \) . En slik sirkel kalles enkelt. Det er veldig nyttig i studiet av trigonometri. Derfor dveler vi litt mer detaljert ved det.

Som du kan se er denne sirkelen bygget i det kartesiske koordinatsystemet. Radiusen til sirkelen er lik én, mens sentrum av sirkelen ligger ved origo, er startposisjonen til radiusvektoren fast langs den positive retningen til \(x \)-aksen (i vårt eksempel er dette radius \(AB \) ).

Hvert punkt på sirkelen tilsvarer to tall: koordinaten langs aksen \(x \) og koordinaten langs aksen \(y \) . Hva er disse koordinattallene? Og generelt, hva har de med emnet å gjøre? For å gjøre dette, husk om den betraktede rettvinklede trekanten. I figuren over kan du se to hele rette trekanter. Tenk på trekanten \(ACG \) . Den er rektangulær fordi \(CG \) er vinkelrett på \(x \)-aksen.

Hva er \(\cos \ \alpha \) fra trekanten \(ACG \) ? Det er riktig \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Dessuten vet vi at \(AC \) er radiusen til enhetssirkelen, så \(AC=1 \) . Bytt denne verdien inn i cosinusformelen vår. Her er hva som skjer:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Og hva er \(\sin \ \alpha \) fra trekanten \(ACG \) ? Selvfølgelig, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Erstatt verdien av radiusen \ (AC \) i denne formelen og få:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Så, kan du fortelle meg hva er koordinatene til punktet \(C \) , som tilhører sirkelen? Vel, ingen måte? Men hva om du innser at \(\cos \ \alpha \) og \(\sin \alpha \) bare er tall? Hvilken koordinat tilsvarer \(\cos \alpha \)? Vel, selvfølgelig, koordinaten \(x \) ! Og hvilken koordinat tilsvarer \(\sin \alpha \)? Det stemmer, \(y \)-koordinaten! Så poenget \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Hva er da \(tg \alpha \) og \(ctg \alpha \) ? Det stemmer, la oss bruke de passende definisjonene av tangent og cotangens og få det \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Hva om vinkelen er større? Her, for eksempel, som på dette bildet:

Hva har endret seg i dette eksemplet? La oss finne ut av det. For å gjøre dette, vender vi igjen til en rettvinklet trekant. Tenk på en rettvinklet trekant \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : en vinkel (som ved siden av vinkelen \(\beta \) ). Hva er verdien av sinus, cosinus, tangens og cotangens for en vinkel \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Det er riktig, vi holder oss til de tilsvarende definisjonene av trigonometriske funksjoner:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\vinkel ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\vinkel ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Vel, som du kan se, tilsvarer verdien av sinusen til vinkelen fortsatt koordinaten \ (y \) ; verdien av cosinus til vinkelen - koordinaten \ (x \) ; og verdiene av tangent og cotangens til de tilsvarende forholdene. Dermed er disse relasjonene anvendelige for alle rotasjoner av radiusvektoren.

Det er allerede nevnt at startposisjonen til radiusvektoren er langs den positive retningen til \(x \)-aksen. Så langt har vi rotert denne vektoren mot klokken, men hva skjer hvis vi roterer den med klokken? Ikke noe ekstraordinært, du vil også få en vinkel av en viss størrelse, men bare den vil være negativ. Når vi roterer radiusvektoren mot klokken, får vi altså positive vinkler, og når du roterer med klokken - negativ.

Så vi vet at hele omdreiningen til radiusvektoren rundt sirkelen er \(360()^\sirkel \) eller \(2\pi \) . Er det mulig å rotere radiusvektoren med \(390()^\circ \) eller med \(-1140()^\circ \) ? Vel, selvfølgelig kan du det! I det første tilfellet, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), så radiusvektoren vil gjøre en hel rotasjon og stoppe ved \(30()^\circ \) eller \(\dfrac(\pi )(6) \) .

I det andre tilfellet, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), det vil si at radiusvektoren vil gjøre tre hele omdreininger og stoppe ved posisjonen \(-60()^\circ \) eller \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Fra eksemplene ovenfor kan vi konkludere med at vinkler som er forskjellige med \(360()^\circ \cdot m \) eller \(2\pi \cdot m \) (hvor \(m \) er et hvilket som helst heltall ) tilsvarer den samme posisjonen til radiusvektoren.

Figuren under viser vinkelen \(\beta =-60()^\circ \) . Det samme bildet tilsvarer hjørnet \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) etc. Denne listen kan fortsettes på ubestemt tid. Alle disse vinklene kan skrives med den generelle formelen \(\beta +360()^\circ \cdot m \) eller \(\beta +2\pi \cdot m \) (hvor \(m \) er et hvilket som helst heltall)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Nå, når du kjenner definisjonene av de grunnleggende trigonometriske funksjonene og bruker enhetssirkelen, prøv å svare på hva verdiene er lik:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\tekst(tg)\ 180()^\circ =\tekst(tg)\ \pi =?\\\tekst(ctg)\ 180()^\circ =\tekst(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\tekst (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\tekst (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Her er en enhetssirkel for å hjelpe deg:

Noen vanskeligheter? Så la oss finne ut av det. Så vi vet at:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(array) \)

Herfra bestemmer vi koordinatene til punktene som tilsvarer visse mål på vinkelen. Vel, la oss starte i rekkefølge: hjørnet inn \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) tilsvarer et punkt med koordinater \(\left(0;1 \right) \) , derfor:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\tekst(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Høyrepil \tekst(tg)\ 90()^\circ \)- eksisterer ikke;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Videre, ved å følge den samme logikken, finner vi ut at hjørnene i \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) samsvarer med punkter med koordinater \(\venstre(-1;0 \høyre),\tekst( )\venstre(0;-1 \høyre),\tekst( )\venstre(1;0 \høyre),\tekst( )\venstre(0 ;1 \right) \), henholdsvis. Når du vet dette, er det lett å bestemme verdiene til trigonometriske funksjoner på de tilsvarende punktene. Prøv selv først, og sjekk deretter svarene.

Svar:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\tekst(tg)\ 180()^\circ =\tekst(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\tekst(ctg)\ 180()^\circ =\tekst(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Høyrepil \tekst(ctg)\ \pi \)- eksisterer ikke

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\tekst(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Høyrepil \tekst(tg)\ 270()^\circ \)- eksisterer ikke

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\tekst(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Høyrepil \tekst(ctg)\ 2\pi \)- eksisterer ikke

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\tekst(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Høyrepil \tekst(tg)\ 450()^\circ \)- eksisterer ikke

\(\tekst(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Dermed kan vi lage følgende tabell:

Det er ikke nødvendig å huske alle disse verdiene. Det er nok å huske korrespondansen mellom koordinatene til punktene på enhetssirkelen og verdiene til trigonometriske funksjoner:

\(\venstre. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Trenger å huske eller kunne sende ut!! \) !}

Og her er verdiene til de trigonometriske funksjonene til vinklene i og \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) gitt i tabellen nedenfor, må du huske:

Ingen grunn til å være redd, nå vil vi vise et av eksemplene på en ganske enkel memorering av de tilsvarende verdiene:

For å bruke denne metoden er det viktig å huske sinusverdiene for alle tre vinkelmålene ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), samt verdien av tangenten til vinkelen i \(30()^\circ \) . Når du kjenner disse \(4\) verdiene, er det ganske enkelt å gjenopprette hele tabellen - cosinusverdiene overføres i samsvar med pilene, det vil si:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), vel vitende om dette, er det mulig å gjenopprette verdiene for \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Telleren “\(1 \) ” vil samsvare med \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , og nevneren “\(\sqrt(\text(3)) \) ” vil samsvare med \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangensverdier overføres i samsvar med pilene vist på figuren. Hvis du forstår dette og husker ordningen med piler, vil det være nok å huske bare \(4 \) verdier fra tabellen.

Koordinater til et punkt på en sirkel

Er det mulig å finne et punkt (dets koordinater) på en sirkel, og kjenne koordinatene til sirkelens sentrum, radius og rotasjonsvinkel? Vel, selvfølgelig kan du det! La oss utlede en generell formel for å finne koordinatene til et punkt. Her har vi for eksempel en slik sirkel:

Vi får det poenget \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) er sentrum av sirkelen. Radiusen til sirkelen er \(1,5 \) . Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet \(P \) oppnådd ved å rotere punktet \(O \) med \(\delta \) grader.

Som det fremgår av figuren, tilsvarer koordinaten \ (x \) til punktet \ (P \) lengden på segmentet \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Lengden på segmentet \ (UK \) tilsvarer koordinaten \ (x \) til sentrum av sirkelen, det vil si at den er lik \ (3 \) . Lengden på segmentet \(KQ \) kan uttrykkes ved å bruke definisjonen av cosinus:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Høyrepil KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Så har vi det for punktet \(P \) koordinaten \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Med samme logikk finner vi verdien av y-koordinaten for punktet \(P\) . Dermed,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Så inn generelt syn punktkoordinater bestemmes av formlene:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Hvor

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinater til sentrum av sirkelen,

\(r\) - sirkelradius,

\(\delta \) - rotasjonsvinkelen til vektorradiusen.

Som du kan se, for enhetssirkelen vi vurderer, er disse formlene betydelig redusert, siden koordinatene til sentrum er null, og radius er lik en:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
ActiveX-kontroller må være aktivert for å kunne gjøre beregninger!