Kryssproduktet av en vektor og seg selv. Vektorprodukt av vektorer gitt av koordinater

Engelsk: Wikipedia gjør siden sikrere. Du bruker en gammel nettleser som ikke vil kunne koble til Wikipedia i fremtiden. Oppdater enheten eller kontakt IT-administratoren din.

中文: °英语 英语 英语 英语 英语 》

Espanol: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Aktuelle spørsmål eller kontakt en administrator informático. Det er en aktualisering mer stor og mer teknisk på engelsk.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Francais: Wikipedia va bientôt augmenter la security de son site. Vous usez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connector à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil eller de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des infos supplementaires pluss teknikker og engelske disponibles ci-dessous.

日本語: °詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい hofte 情報 は 以下 に 英語 で 提供 し い ます。

Tysk: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du bruker en annen nettleser, der i Zukunft ikke kan brukes på Wikipedia. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise finnes Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un nettleser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in future. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più detaljergliato e tecnico på engelsk.

Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

Sverige: Wikipedia gjør siden mer sikker. Du bruker en eldre webbläsare som ikke kommer til å kunne lese Wikipedia i fremtiden. Oppdater din enhet eller kontakt med IT-administratoren. Det finnes en lengre og mer teknisk förklaring på engelsk lengre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Vi fjerner støtte for usikre TLS-protokollversjoner, spesielt TLSv1.0 og TLSv1.1, som nettleserprogramvaren din er avhengig av for å koble til nettstedene våre. Dette er vanligvis forårsaket av utdaterte nettlesere, eller eldre Android-smarttelefoner. Eller det kan være forstyrrelser fra bedriftens eller personlig "Web Security"-programvare, som faktisk nedgraderer tilkoblingssikkerheten.

Du må oppgradere nettleseren din eller på annen måte fikse dette problemet for å få tilgang til sidene våre. Denne meldingen vil forbli til 1. januar 2020. Etter den datoen vil ikke nettleseren din kunne opprette en tilkobling til våre servere.

Definisjon. Vektorproduktet av en vektor a (multiplikator) med en vektor (multiplikator) som ikke er kollineær til den, er den tredje vektoren c (produkt), som er konstruert som følger:

1) dens modul er numerisk lik arealet til parallellogrammet i fig. 155), bygget på vektorer, dvs. den er lik retningen vinkelrett på planet til det nevnte parallellogrammet;

3) i dette tilfellet velges retningen til vektoren c (av to mulige) slik at vektorene c danner et høyrehendt system (§ 110).

Betegnelse: eller

Tillegg til definisjonen. Hvis vektorene er kollineære, så sett på figuren som et (betinget) parallellogram, er det naturlig å tildele null areal. Derfor vektor produkt kollineære vektorer regnes som lik nullvektoren.

Siden nullvektoren kan tildeles hvilken som helst retning, motsier ikke denne konvensjonen punkt 2 og 3 i definisjonen.

Merknad 1. I begrepet «vektorprodukt» angir det første ordet at resultatet av en handling er en vektor (i motsetning til et skalarprodukt; jf. § 104, merknad 1).

Eksempel 1. Finn vektorproduktet der hovedvektorene til høyre koordinatsystem (Fig. 156).

1. Siden lengdene til hovedvektorene er lik skalaenheten, er arealet av parallellogrammet (kvadrat) numerisk lik én. Derfor er modulen til vektorproduktet lik én.

2. Siden perpendikulæren til planet er aksen, er det ønskede vektorproduktet en vektor kollineær til vektoren k; og siden begge har modul 1, er det nødvendige kryssproduktet enten k eller -k.

3. Av disse to mulige vektorene må den første velges, siden vektorene k danner et høyre system (og vektorene danner et venstre).

Eksempel 2. Finn kryssproduktet

Løsning. Som i eksempel 1 konkluderer vi med at vektoren er enten k eller -k. Men nå må vi velge -k, siden vektorene danner det høyre systemet (og vektorene danner det venstre). Så,

Eksempel 3 Vektorene har lengder på henholdsvis 80 og 50 cm, og danner en vinkel på 30°. Ta en meter som en lengdeenhet, finn lengden på vektorproduktet a

Løsning. Arealet til et parallellogram bygget på vektorer er lik Lengden på det ønskede vektorproduktet er lik

Eksempel 4. Finn lengden på kryssproduktet til de samme vektorene ved å ta en centimeter som lengdeenhet.

Løsning. Siden arealet av parallellogrammet bygget på vektorer er lik lengden på vektorproduktet er 2000 cm, dvs.

Sammenligning av eksempel 3 og 4 viser at lengden på vektoren ikke bare avhenger av lengdene på faktorene, men også av valget av lengdeenheten.

Den fysiske betydningen av vektorproduktet. Av de mange fysiske mengdene representert av vektorproduktet, vil vi kun vurdere kraftmomentet.

La A være punktet for påføring av kraften. Kraftmomentet i forhold til punktet O kalles vektorproduktet. Siden modulen til dette vektorproduktet er numerisk lik arealet til parallellogrammet (fig. 157), momentets modul er lik produktet av basen med høyden, dvs. kraften multiplisert med avstanden fra punktet O til den rette linjen som kraften virker langs.

I mekanikk er det bevist at for likevekten til et stivt legeme er det nødvendig at ikke bare summen av vektorene som representerer kreftene påført kroppen, men også summen av kreftene skal være lik null. I tilfellet når alle krefter er parallelle med samme plan, kan addisjonen av vektorene som representerer momentene erstattes med addisjon og subtraksjon av deres moduler. Men for vilkårlige retninger av krefter er en slik erstatning umulig. I samsvar med dette er kryssproduktet definert nøyaktig som en vektor, og ikke som et tall.

De online kalkulator beregner kryssproduktet av vektorer. En detaljert løsning er gitt. For å beregne kryssproduktet til vektorer, skriv inn koordinatene til vektorene i cellene og klikk på "Beregn".

×

Advarsel

Vil du fjerne alle celler?

Lukk Slett

Dataregistreringsinstruksjon. Tall legges inn som hele tall (eksempler: 487, 5, -7623 osv.), desimaltall (f.eks. 67., 102.54 osv.) eller brøker. Brøken må skrives på formen a/b, der a og b (b>0) er heltall eller desimaltall. Eksempler 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 osv.

Kryssprodukt av vektorer

Før du går videre til definisjonen av vektorproduktet til vektorer, vurder begrepene ordnet trippel av vektorer, venstre trippel av vektorer, høyre trippel av vektorer.

Definisjon 1. Tre vektorer kalles bestilt trippel(eller trippel) hvis det er indikert hvilken av disse vektorene som er den første, som er den andre og hvilken som er den tredje.

Innspilling cba- betyr - den første er en vektor c, den andre er vektoren b og den tredje er vektoren en.

Definisjon 2. En trippel av ikke-koplanare vektorer abc kalt høyre (venstre) hvis disse vektorene, når de er redusert til en felles begynnelse, er ordnet ettersom de er henholdsvis store, ubøyde indekser og langfingrene høyre (venstre) hånd.

Definisjon 2 kan formuleres på en annen måte.

Definisjon 2. En trippel av ikke-koplanare vektorer abc kalles høyre (venstre) hvis vektoren reduseres til et felles opphav c plassert på den andre siden av planet definert av vektorene en Og b, hvorfra den korteste svingen fra en Til b utføres mot klokken (med klokken).

Vektor trio abc vist i fig. 1 er rett og trippel abc vist i fig. 2 er igjen.

Hvis to trippel av vektorer er høyre eller venstre, så sies de å ha samme orientering. Ellers sies de å være av motsatt orientering.

Definisjon 3. Et kartesisk eller affint koordinatsystem kalles høyre (venstre) hvis de tre basisvektorene danner en høyre (venstre) trippel.

For nøyaktighetens skyld vil vi i det følgende kun vurdere høyrehendte koordinatsystemer.

Definisjon 4. vektor kunst vektor en per vektor b kalt vektor Med, angitt med symbolet c=[ab] (eller c=[a,b], eller c=a×b) og oppfyller følgende tre krav:

• vektorlengde Med er lik produktet av lengdene til vektorene en Og b til vinkelens sinus φ mellom dem:

|c|=|[ab]|=|en||b|sinφ;

(1)

• vektor Med ortogonalt til hver av vektorene en Og b;
• vektor c rettet slik at de tre abc er riktig.

Kryssproduktet av vektorer har følgende egenskaper:

• [ab]=−[ba] (antipermutabilitet faktorer);
• [(λa)b]=λ [ab] (kompatibilitet i forhold til den numeriske faktoren);
• [(a+b)c]=[enc]+[bc] (fordeling i forhold til summen av vektorer);
• [aa]=0 for en hvilken som helst vektor en.

Geometriske egenskaper til kryssproduktet til vektorer

Teorem 1. For at to vektorer skal være kollineære, er det nødvendig og tilstrekkelig at deres vektorprodukt er lik null.

Bevis. Nødvendighet. La vektorene en Og b kollineær. Da er vinkelen mellom dem 0 eller 180° og sinφ=synd180=synd 0=0. Derfor, tatt i betraktning uttrykk (1), lengden på vektoren c er lik null. Deretter c null vektor.

Tilstrekkelighet. La kryssproduktet av vektorer en Og b nav til null: [ ab]=0. La oss bevise at vektorene en Og b kollineær. Hvis minst en av vektorene en Og b null, da er disse vektorene kollineære (fordi nullvektoren har en ubestemt retning og kan betraktes som kollineære til enhver vektor).

Hvis begge vektorer en Og b ikke null, så | en|>0, |b|>0. Så fra [ ab]=0 og fra (1) følger det at sinφ=0. Derav vektorene en Og b kollineær.

Teoremet er bevist.

Teorem 2. Lengden (modulen) til vektorproduktet [ ab] er lik arealet S parallellogram bygget på vektorer redusert til et felles opphav en Og b.

Bevis. Som du vet, er arealet til et parallellogram lik produktet av de tilstøtende sidene av dette parallellogrammet og sinusen til vinkelen mellom dem. Derfor:

Da har kryssproduktet av disse vektorene formen:

Ved å utvide determinanten over elementene i den første raden, får vi dekomponeringen av vektoren a×b basis i, j, k, som tilsvarer formel (3).

Bevis for teorem 3. Komponer alle mulige par med basisvektorer i, j, k og beregne deres vektorprodukt. Det bør tas i betraktning at basisvektorene er gjensidig ortogonale, danner en rett trippel og har lengdeenhet (med andre ord kan vi anta at Jeg={1, 0, 0}, j={0, 1, 0}, k=(0, 0, 1)). Da har vi:

Fra den siste likhet og relasjoner (4) får vi:

Komponer en 3×3 matrise, hvor den første raden er basisvektorene jeg, j, k, og de resterende radene er fylt med elementer av vektorer en Og b.

Før vi gir begrepet et vektorprodukt, la oss gå til spørsmålet om orienteringen av den ordnede trippelen av vektorer a → , b → , c → i tredimensjonalt rom.

Til å begynne med, la oss sette til side vektorene a → , b → , c → fra ett punkt. Orienteringen av trippelen a → , b → , c → er høyre eller venstre, avhengig av retningen til vektoren c → . Fra retningen som den korteste svingen gjøres fra vektoren a → til b → fra slutten av vektoren c → , vil formen til trippelen a → , b → , c → bli bestemt.

Hvis den korteste rotasjonen er mot klokken, kalles trippelen av vektorer a → , b → , c → Ikke sant hvis med klokken - venstre.

Ta deretter to ikke-kollineære vektorer a → og b → . La oss da utsette vektorene A B → = a → og A C → = b → fra punktet A. La oss konstruere en vektor A D → = c → , som samtidig er vinkelrett på både A B → og A C → . Når vi konstruerer vektoren A D → = c →, kan vi altså gjøre to ting, gi den enten én retning eller motsatt (se illustrasjon).

Den ordnede trioen av vektorer a → , b → , c → kan, som vi fant ut, være høyre eller venstre avhengig av vektorens retning.

Fra ovenstående kan vi introdusere definisjonen av et vektorprodukt. Denne definisjonen er gitt for to vektorer definert i et rektangulært koordinatsystem av tredimensjonalt rom.

Definisjon 1

Vektorproduktet av to vektorer a → og b → vi vil kalle en slik vektor gitt i et rektangulært koordinatsystem av tredimensjonalt rom slik at:

• hvis vektorene a → og b → er kollineære, vil den være null;
• den vil være vinkelrett på både vektor a →​​og vektor b → dvs. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• lengden bestemmes av formelen: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• tripletten av vektorene a → , b → , c → har samme orientering som det gitte koordinatsystemet.

Kryssproduktet av vektorene a → og b → har følgende notasjon: a → × b → .

Kryss av produktkoordinater

Siden enhver vektor har visse koordinater i koordinatsystemet, er det mulig å introdusere en andre definisjon av vektorproduktet, som lar deg finne dens koordinater fra de gitte koordinatene til vektorene.

Definisjon 2

I et rektangulært koordinatsystem av tredimensjonalt rom vektorprodukt av to vektorer a → = (a x ; a y ; a z) og b → = (b x ; b y ; b z) kall vektoren c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , hvor i → , j → , k → er koordinatvektorer.

Vektorproduktet kan representeres som en determinant av en kvadratisk matrise av tredje orden, der den første raden er orta-vektorene i → , j → , k → , den andre raden inneholder koordinatene til vektoren a → , og den tredje er koordinatene til vektoren b → i et gitt rektangulært koordinatsystem, ser denne matrisedeterminanten slik ut: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Ved å utvide denne determinanten over elementene i den første raden får vi likheten: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b → x b → a k (→ x a y b → x b → a k a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Kryss produktegenskaper

Det er kjent at vektorproduktet i koordinater er representert som determinanten av matrisen c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , deretter på basis matrisedeterminantegenskaper følgende vektor produktegenskaper:

1. antikommutativitet a → × b → = - b → × a → ;
2. distributivitet a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → eller a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. assosiativitet λ a → × b → = λ a → × b → eller a → × (λ b →) = λ a → × b → , hvor λ er et vilkårlig reelt tall.

Disse egenskapene har ikke kompliserte bevis.

For eksempel kan vi bevise antikommutativitetsegenskapen til et vektorprodukt.

Bevis på antikommutativitet

Per definisjon, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z og b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. Og hvis to rader av matrisen byttes om, bør verdien av determinanten til matrisen endres til det motsatte, derfor a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , som og beviser antikommutativiteten til vektorproduktet.

Vektorprodukt - eksempler og løsninger

I de fleste tilfeller er det tre typer oppgaver.

I problemer av den første typen er lengdene til to vektorer og vinkelen mellom dem vanligvis gitt, men du må finne lengden på kryssproduktet. I dette tilfellet bruker du følgende formel c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Eksempel 1

Finn lengden på kryssproduktet av vektorene a → og b → hvis a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 er kjent.

Løsning

Ved å bruke definisjonen av lengden til vektorproduktet til vektorene a → og b → løser vi dette problemet: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Svar: 15 2 2 .

Oppgaver av den andre typen har en forbindelse med koordinatene til vektorer, de inneholder et vektorprodukt, dets lengde, etc. søkte gjennom kjente koordinater gitte vektorer a → = (a x ; a y ; a z) Og b → = (b x ; b y ; b z) .

For denne typen oppgaver kan du løse mange alternativer for oppgaver. For eksempel, ikke koordinatene til vektorene a → og b → , men deres utvidelser i koordinatvektorer av formen b → = b x i → + b y j → + b z k → og c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , eller vektorene a → og b → kan gis av koordinatene til deres start- og sluttpunkter.

Tenk på følgende eksempler.

Eksempel 2

To vektorer settes i et rektangulært koordinatsystem a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Finn deres vektorprodukt.

Løsning

I følge den andre definisjonen finner vi vektorproduktet av to vektorer i gitte koordinater: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Hvis vi skriver kryssproduktet i form av matrisedeterminanten, så er løsningen dette eksemplet ser slik ut: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Svar: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Eksempel 3

Finn lengden på kryssproduktet til vektorene i → - j → og i → + j → + k → , hvor i → , j → , k → - ortene til et rektangulært kartesisk koordinatsystem.

Løsning

La oss først finne koordinatene til det gitte vektorproduktet i → - j → × i → + j → + k → i det gitte rektangulære koordinatsystemet.

Det er kjent at vektorene i → - j → og i → + j → + k → har henholdsvis koordinater (1 ; - 1 ; 0) og (1 ; 1 ; 1). Finn lengden på vektorproduktet ved å bruke matrisedeterminanten, så har vi i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Derfor har vektorproduktet i → - j → × i → + j → + k → koordinater (- 1 ; - 1 ; 2) i det gitte koordinatsystemet.

Vi finner lengden på vektorproduktet ved formelen (se avsnittet om å finne lengden på vektoren): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Svar: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Eksempel 4

Koordinatene til tre punkter A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) er gitt i et rektangulært kartesisk koordinatsystem. Finn en vektor vinkelrett på A B → og A C → samtidig.

Løsning

Vektorene A B → og A C → har følgende koordinater (- 1 ; 2 ; 2) henholdsvis (0 ; 4 ; 1). Etter å ha funnet vektorproduktet til vektorene A B → og A C → , er det åpenbart at det er en vinkelrett vektor per definisjon til både A B → og A C → , det vil si at det er løsningen på problemet vårt. Finn det A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Svar: - 6 i → + j → - 4 k → . er en av de vinkelrette vektorene.

Problemer av den tredje typen er fokusert på å bruke egenskapene til vektorproduktet til vektorer. Etter å ha brukt hvilken, vil vi få en løsning på det gitte problemet.

Eksempel 5

Vektorene a → og b → er vinkelrette og lengdene deres er henholdsvis 3 og 4. Finn lengden på kryssproduktet 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Løsning

Ved fordelingsegenskapen til vektorproduktet kan vi skrive 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Ved assosiativitetsegenskapen tar vi ut de numeriske koeffisientene utover tegnet til vektorprodukter i det siste uttrykket: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorproduktene a → × a → og b → × b → er lik 0, siden a → × a → = a → a → sin 0 = 0 og b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , deretter 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Fra antikommutativiteten til vektorproduktet følger det - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Ved å bruke egenskapene til vektorproduktet får vi likheten 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Ved betingelse er vektorene a → og b → perpendikulære, det vil si at vinkelen mellom dem er lik π 2 . Nå gjenstår det bare å erstatte de funnet verdiene i de tilsvarende formlene: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Svar: 3a → - b → x a → - 2 b → = 60.

Lengden på kryssproduktet til vektorer er per definisjon a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Siden det allerede er kjent (fra skolekurset) at arealet av en trekant er lik halvparten av produktet av lengdene på de to sidene multiplisert med sinusen til vinkelen mellom disse sidene. Derfor er lengden på vektorproduktet lik arealet av et parallellogram - en doblet trekant, nemlig produktet av sidene i form av vektorene a → og b → , avsatt fra ett punkt, med sinus av vinkelen mellom dem sin ∠ a → , b → .

Dette er den geometriske betydningen av vektorproduktet.

Den fysiske betydningen av vektorproduktet

I mekanikk, en av fysikkens grener, kan du takket være vektorproduktet bestemme kraftmomentet i forhold til et punkt i rommet.

Definisjon 3

Under kraftmomentet F → , påført punkt B , i forhold til punkt A vil vi forstå følgende vektorprodukt A B → × F → .

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Punkt produktegenskaper

Punktprodukt av vektorer, definisjon, egenskaper

Lineære operasjoner på vektorer.

Vektorer, grunnleggende konsepter, definisjoner, lineære operasjoner på dem

En vektor på et plan er et ordnet par av dets punkter, mens det første punktet kalles begynnelsen, og det andre slutten - av vektoren

To vektorer kalles like hvis de er like og codirectional.

Vektorer som ligger på samme linje kalles codirectional hvis de er codirectional med noe av den samme vektoren som ikke ligger på denne linjen.

Vektorer som ligger på samme linje eller på parallelle linjer kalles kollineære, og kollineære men ikke codirectional kalles motsatt rettet.

Vektorer som ligger på vinkelrette linjer kalles ortogonale.

Definisjon 5.4. sum a+b vektorer en Og b kalles vektoren som kommer fra begynnelsen av vektoren EN til slutten av vektoren b , hvis begynnelsen av vektoren b faller sammen med slutten av vektoren EN .

Definisjon 5.5. forskjell a - b vektorer EN Og b en slik vektor kalles Med , som sammen med vektoren b gir en vektor EN .

Definisjon 5.6. arbeidk en vektor EN per nummer k kalt vektor b , kollineær vektor EN , som har modul lik | k||en |, og en retning som er den samme som retningen EN på k>0 og motsatt EN på k<0.

Egenskaper for multiplikasjon av en vektor med et tall:

Eiendom 1. k(a+b ) = k en+ k b.

Eiendom 2. (k+m)en = k en+ m en.

Eiendom 3. k(m en) = (km)en .

Konsekvens. Hvis ikke-null vektorer EN Og b er kollineære, så er det et tall k, Hva b= k en.

Det skalære produktet av to vektorer som ikke er null en Og b kalt et tall (skalar) lik produktet av lengdene til disse vektorene og cosinus til vinkelen φ mellom dem. Det skalare produktet kan uttrykkes på ulike måter, for eksempel som ab, en · b, (en , b), (en · b). Så prikkproduktet er:

en · b = |en| · | b| cos φ

Hvis minst én av vektorene er lik null, er skalarproduktet lik null.

Permutasjonsegenskap: en · b = b · en(skalarproduktet endres ikke fra permutasjon av faktorer);

distribusjonsegenskap: en · ( b · c) = (en · b) · c(resultatet avhenger ikke av multiplikasjonsrekkefølgen);

Kombinasjonsegenskap (i forhold til skalarfaktoren): (λ en) · b = λ ( en · b).

Egenskap for ortogonalitet (perpendikularitet): hvis vektoren en Og b ikke-null, så er punktproduktet deres null bare når disse vektorene er ortogonale (vinkelrett på hverandre) en ┴ b;

Square eiendom: en · en = en 2 = |en| 2 (skalarproduktet av en vektor med seg selv er lik kvadratet av dens modul);

Hvis koordinatene til vektorene en=(x 1, y 1, z 1) og b=(x 2 , y 2 , z 2 ), så er skalarproduktet en · b= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2.

Vektor holder vektorer. Definisjon: Vektorproduktet av to vektorer og forstås som en vektor som:

Modulen er lik arealet av parallellogrammet bygget på disse vektorene, dvs. , hvor er vinkelen mellom vektorene og

Denne vektoren er vinkelrett på de multipliserte vektorene, dvs.

Hvis vektorene er ikke-kollineære, danner de en rett trippel av vektorer.

Kryss produktegenskaper:

1. Når rekkefølgen på faktorene endres, endrer vektorproduktet fortegn til det motsatte, og bevarer modulen, dvs.

2 .Vektorkvadrat er lik null-vektor, dvs.

3 .Skalarfaktoren kan tas ut av tegnet til vektorproduktet, dvs.

4 .For alle tre vektorer, likheten

5 . Nødvendig og tilstrekkelig betingelse for kollineariteten til to vektorer og :