Bracket multiplikasjon. Brakettåpning: regler og eksempler (klasse 7)

Parentes brukes for å angi rekkefølgen operasjoner utføres i i numerisk og bokstavelige uttrykk, samt i uttrykk med variabler. Det er praktisk å gå fra et uttrykk med parentes til et identisk likt uttrykk uten parentes. Denne teknikken kalles parentesåpning.

Å utvide parentes betyr å fjerne uttrykket til disse parentesene.

Et annet punkt fortjener spesiell oppmerksomhet, som gjelder særegenhetene ved skriveløsninger når du åpner parenteser. Vi kan skrive startuttrykket med parenteser og resultatet oppnådd etter å ha åpnet parentesene som likhet. For eksempel etter å ha åpnet parentesene, i stedet for uttrykket
3−(5−7) får vi uttrykket 3−5+7. Vi kan skrive begge disse uttrykkene som likheten 3−(5−7)=3−5+7.

Og en til viktig poeng. I matematikk, for å redusere oppføringer, er det vanlig å ikke skrive et plusstegn hvis det er det første i et uttrykk eller i parentes. For eksempel, hvis vi legger til to positive tall, for eksempel syv og tre, skriver vi ikke +7 + 3, men bare 7 + 3, til tross for at syv også er positivt tall. På samme måte, hvis du for eksempel ser uttrykket (5 + x) - vet at det er et pluss foran parentesen, som ikke er skrevet, og det er et pluss + (+5 + x) foran fem.

Bracket utvidelsesregel for tillegg

Når du åpner parentes, hvis det er et pluss før parentes, så er dette pluss utelatt sammen med parentes.

Eksempel. Åpne parentesene i uttrykket 2 + (7 + 3) Før parentes pluss, så endres ikke tegnene foran tallene i parentes.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Regelen for utvidelse av parentes ved subtrahering

Hvis det er et minus før parentesene, er dette minuset utelatt sammen med parentesene, men begrepene som var i parentesene endrer fortegn til det motsatte. Fraværet av et tegn før første ledd i parentes innebærer et +-tegn.

Eksempel. Åpne parenteser i uttrykk 2 − (7 + 3)

Det er et minus før parentesene, så du må endre skiltene før tallene fra parentesene. Det er ikke noe tegn i parentes før tallet 7, noe som betyr at sjueren er positiv, det anses at +-tegnet står foran.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Når vi åpner parentesene, fjerner vi minus fra eksemplet, som var før parentesene, og parentesene selv 2 − (+ 7 + 3), og endrer tegnene som var i parentesene til de motsatte.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Utvide parenteser ved multiplikasjon

Hvis det er et multiplikasjonstegn foran parentesene, multipliseres hvert tall innenfor parentesene med faktoren foran parentesene. Samtidig gir det å multiplisere en minus med en minus et pluss, og å multiplisere en minus med et pluss, som å multiplisere et pluss med et minus, gir et minus.

Dermed utvides parenteser i produkter i samsvar med den distributive egenskapen til multiplikasjon.

Eksempel. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Når du multipliserer parentes med parentes, multipliseres hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre parentesen.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

Faktisk er det ikke nødvendig å huske alle reglene, det er nok å huske bare én, denne: c(a−b)=ca−cb. Hvorfor? For hvis vi erstatter en i stedet for c, får vi regelen (a−b)=a−b. Og hvis vi erstatter minus én, får vi regelen −(a−b)=−a+b. Vel, hvis du erstatter en annen parentes i stedet for c, kan du få den siste regelen.

Utvid parenteser ved deling

Hvis det er et divisjonstegn etter parentesene, så er hvert tall innenfor parentesene delelig med divisoren etter parentesene, og omvendt.

Eksempel. (9 + 6): 3=9: 3 + 6: 3

Hvordan utvide nestede parenteser

Hvis uttrykket inneholder nestede parenteser, utvides de i rekkefølge, og starter med ekstern eller intern.

Samtidig, når du åpner en av brakettene, er det viktig å ikke berøre de andre parentesene, bare omskrive dem som de er.

Eksempel. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

Blant de ulike uttrykkene som vurderes i algebra, inntar summer av monomialer en viktig plass. Her er eksempler på slike uttrykk:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Summen av monomer kalles et polynom. Begrepene i et polynom kalles medlemmer av polynomet. Mononomer blir også referert til som polynomer, og vurderer et mononom som et polynom som består av ett medlem.

For eksempel polynom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
kan forenkles.

Vi representerer alle begrepene i form av monomialer standard visning:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Vi gir lignende termer i det resulterende polynomet:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Resultatet er et polynom, der alle medlemmer er monomer av standardformen, og blant dem er det ingen lignende. Slike polynomer kalles polynomer av standardform.

Bak polynomgrad standardform ta den største av kreftene til medlemmene. Så binomialet \(12a^2b - 7b \) har tredje grad, og trinomialet \(2b^2 -7b + 6 \) har den andre.

Vanligvis er vilkårene for standardformpolynomer som inneholder én variabel ordnet i synkende rekkefølge etter eksponentene. For eksempel:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Summen av flere polynomer kan konverteres (forenkles) til et standard polynom.

Noen ganger må medlemmene av et polynom deles inn i grupper, og omslutter hver gruppe i parentes. Siden parentes er det motsatte av parentes, er det lett å formulere åpningsregler for parenteser:

Hvis +-tegnet er plassert foran parentes, så skrives begrepene i parentes med de samme tegnene.

Hvis et "-"-tegn er plassert foran parentesene, skrives begrepene i parentes med motsatte tegn.

Transformasjon (forenkling) av produktet av et monomial og et polynom

Ved å bruke den fordelende egenskapen til multiplikasjon kan man transformere (forenkle) produktet av et monom og et polynom til et polynom. For eksempel:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Produktet av et monomer og et polynom er identisk lik summen av produktene til dette monomet og hvert av leddene til polynomet.

Dette resultatet er vanligvis formulert som en regel.

For å multiplisere et monomer med et polynom, må man multiplisere dette monomet med hver av termene i polynomet.

Vi har gjentatte ganger brukt denne regelen for å multiplisere med en sum.

Produktet av polynomer. Transformasjon (forenkling) av produktet av to polynomer

Generelt er produktet av to polynom identisk lik summen av produktet av hvert ledd i ett polynom og hvert ledd i det andre.

Bruk vanligvis følgende regel.

For å multiplisere et polynom med et polynom, må du multiplisere hvert ledd i ett polynom med hvert ledd i det andre og legge til de resulterende produktene.

Forkortede multiplikasjonsformler. Sum-, Differanse- og Differansekvadrater

Noen uttrykk i algebraiske transformasjoner må behandles oftere enn andre. Kanskje de vanligste uttrykkene er \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) og \(a^2 - b^2 \), det vil si kvadratet av summen, kvadrat av forskjellen og kvadratforskjell. Du har lagt merke til at navnene på disse uttrykkene ser ut til å være ufullstendige, så for eksempel er \((a + b)^2 \) selvfølgelig ikke bare kvadratet av summen, men kvadratet av summen av a og b. Kvadraten av summen av a og b er imidlertid ikke så vanlig, i stedet for bokstavene a og b inneholder den som regel forskjellige, noen ganger ganske komplekse uttrykk.

Uttrykk \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) er enkle å konvertere (forenkle) til polynomer av standardformen, faktisk har du allerede møtt en slik oppgave når du multipliserer polynomer :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

De resulterende identitetene er nyttige å huske og bruke uten mellomliggende beregninger. Korte verbale formuleringer hjelper dette.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kvadratet av summen er lik summen av kvadratene og dobbeltproduktet.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kvadratet av differansen er summen av kvadratene uten å doble produktet.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - forskjellen av kvadrater er lik produktet av forskjellen og summen.

Disse tre identitetene tillater transformasjoner å erstatte sine venstre deler med høyre og omvendt - høyre deler med venstre. Det vanskeligste i dette tilfellet er å se de tilsvarende uttrykkene og forstå hva variablene a og b er erstattet i dem. La oss se på noen få eksempler på bruk av forkortede multiplikasjonsformler.

Den delen av ligningen er uttrykket i parentes. For å åpne parenteser, se på skiltet foran parentesen. Hvis det er et plusstegn, vil ingenting endre seg når du utvider parentesene i uttrykksposten: bare fjern parentesene. Hvis det er et minustegn, når du åpner parentesene, er det nødvendig å endre alle skiltene som opprinnelig er i parentes til de motsatte. For eksempel, -(2x-3)=-2x+3.

Multiplisere to parenteser.
Hvis ligningen inneholder produktet av to parenteser, utvider du parentesene i henhold til standardregelen. Hvert ledd i den første parentesen multipliseres med hvert ledd i den andre parentesen. De resulterende tallene summeres. I dette tilfellet gir produktet av to "pluss" eller to "minuser" begrepet et "pluss"-tegn, og hvis faktorene har forskjellige tegn, så får den et minustegn.
Ta i betraktning .
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

Ved å utvide parenteser, noen ganger heve et uttrykk til . Formlene for kvadrering og kubering må være kjent utenat og husket.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Formler for å heve et uttrykk større enn tre kan gjøres ved å bruke Pascals trekant.

Kilder:

• åpningsformel for parenteser

Matematiske operasjoner i parentes kan inneholde variabler og uttrykk av ulik grad av kompleksitet. For å multiplisere slike uttrykk vil man måtte lete etter en løsning i generelt syn, utvide parentesene og forenkle resultatet. Hvis parentesene inneholder operasjoner uten variabler, bare med numeriske verdier, er det ikke nødvendig å åpne parentesene, siden hvis en datamaskin er tilgjengelig for brukeren, er det svært betydelige dataressurser tilgjengelig - det er lettere å bruke dem enn å forenkle uttrykk.

Instruksjon

Multipliser suksessivt hver (eller redusert fra) i én parentes med innholdet i alle andre parenteser hvis du ønsker å få et generelt resultat. La for eksempel det opprinnelige uttrykket skrives slik: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Deretter vil suksessiv multiplikasjon (det vil si utvidelse av parentesene) gi følgende resultat: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

Forenkle etter resultatet ved å forkorte uttrykk. For eksempel kan uttrykket oppnådd i forrige trinn forenkles som følger: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

Bruk en kalkulator hvis du trenger å multiplisere x er lik 4,75, det vil si (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). For å beregne denne verdien, gå til Google eller Nigmas søkemotornettsted og skriv inn uttrykket i søkefeltet i sin opprinnelige form (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2). Google vil vise 82.265625 umiddelbart uten å trykke på en knapp, mens Nigma må sende dataene til serveren med et knappetrykk.

I denne leksjonen lærer du hvordan du transformerer et uttrykk som inneholder parenteser til et uttrykk som ikke inneholder parenteser. Du vil lære hvordan du åpner parenteser med et plusstegn og et minustegn foran. Vi vil huske hvordan du åpner parenteser ved å bruke den distributive loven om multiplikasjon. De vurderte eksemplene vil tillate å koble nytt og tidligere studert materiale til en enkelt helhet.

Emne: Likningsløsning

Leksjon: Utvidelse av parenteser

Hvordan åpne parenteser med et "+"-tegn foran. Bruk av den assosiative addisjonsloven.

Hvis du trenger å legge summen av to tall til et tall, kan du legge til det første leddet til dette tallet, og deretter det andre.

Til venstre for likhetstegnet er et uttrykk med parentes, og til høyre er et uttrykk uten parentes. Dette betyr at når man passerer fra venstre side av likheten til høyre side, ble parentesene åpnet.

Tenk på eksempler.

Eksempel 1

Ved å utvide parentesene endret vi rekkefølgen på operasjonene. Å telle har blitt mer praktisk.

Eksempel 2

Eksempel 3

Merk at i alle tre eksemplene fjernet vi ganske enkelt parentesene. La oss formulere regelen:

Kommentar.

Hvis første ledd i parentes er usignert, må det skrives med plusstegn.

Du kan følge trinn-for-trinn-eksemplet. Først legger du til 445 til 889. Denne mentale handlingen kan utføres, men den er ikke veldig lett. La oss åpne parentesene og se at den endrede rekkefølgen av operasjoner vil forenkle beregningene betydelig.

Hvis du følger den angitte rekkefølgen av handlinger, må du først trekke 345 fra 512, og deretter legge til 1345. Ved å utvide parentesene vil vi endre rekkefølgen på handlingene og forenkle beregningene betydelig.

Illustrerende eksempel og regel.

Tenk på et eksempel: . Du kan finne verdien av uttrykket ved å legge til 2 og 5, og deretter ta det resulterende tallet med motsatt fortegn. Vi får -7.

På den annen side kan det samme resultatet oppnås ved å legge til de motsatte tallene.

La oss formulere regelen:

Eksempel 1

Eksempel 2

Regelen endres ikke hvis det ikke er to, men tre eller flere ledd i parentes.

Eksempel 3

Kommentar. Tegn snus kun foran vilkårene.

For å åpne parenteser, denne saken husk fordelingseiendommen.

Først multipliserer du den første parentesen med 2 og den andre med 3.

Den første parentesen er innledet med et "+"-tegn, som betyr at tegnene må stå uendret. Det andre er innledet med et "-"-tegn, derfor må alle tegn reverseres

Bibliografi

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematikk 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematikk 6. klasse. - Gymnasium, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Bak sidene i en lærebok i matematikk. - Opplysningstiden, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Oppgaver for kurset i matematikk klasse 5-6 - ZSH MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematikk 5-6. En manual for elever i 6. klasse på MEPhI-korrespondanseskolen. - ZSH MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematikk: Samtalebok for 5.-6 videregående skole. Biblioteket til læreren i matematikk. - Opplysningstiden, 1989.

1. Online matteprøver ().
2. Du kan laste ned de som er spesifisert i klausul 1.2. bøker().

Hjemmelekser

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematikk 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (se lenke 1.2)
2. Lekser: nr. 1254, nr. 1255, nr. 1256 (b, d)
3. Andre oppdrag: nr. 1258(c), nr. 1248

I denne artikkelen vil vi vurdere i detalj de grunnleggende reglene for et så viktig emne i et matematikkkurs som åpningsparenteser. Du må kjenne reglene for åpning av parenteser for å kunne løse ligningene der de brukes riktig.

Hvordan åpne parenteser riktig når du legger til

Utvid parentesene foran med "+"-tegnet

Dette er det enkleste tilfellet, fordi hvis det er et tilleggsskilt foran brakettene, når brakettene åpnes, endres ikke skiltene inne i dem. Eksempel:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Hvordan åpne parenteser med et "-"-tegn foran

I dette tilfellet må du skrive om alle begrepene uten parentes, men samtidig endre alle tegnene i dem til de motsatte. Tegnene endres bare for begrepene fra de parentesene som ble innledet av "-"-tegnet. Eksempel:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Hvordan åpne parenteser når du multipliserer

Parentesen innledes med en multiplikator

I dette tilfellet må du multiplisere hvert ledd med en faktor og åpne parentesene uten å endre tegn. Hvis multiplikatoren har tegnet "-", blir fortegnene til begrepene reversert når du multipliserer. Eksempel:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Hvordan åpne to parenteser med et multiplikasjonstegn mellom dem

I dette tilfellet må du multiplisere hvert ledd fra de første parentesene med hvert ledd fra de andre parentesene og deretter legge til resultatene. Eksempel:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Hvordan åpne parentes i en firkant

Hvis summen eller differansen av to ledd er kvadrert, bør parentesene utvides i henhold til følgende formel:

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

Ved minus innenfor parentes endres ikke formelen. Eksempel:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Hvordan åpne parenteser i en annen grad

Hvis summen eller differansen av vilkårene heves, for eksempel til 3. eller 4. potens, trenger du bare å dele opp graden av parentesen i "firkanter". Potensene til de samme faktorene legges til, og ved deling trekkes graden av divisor fra graden av utbytte. Eksempel:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Hvordan åpne 3 parenteser

Det er ligninger der 3 parenteser multipliseres samtidig. I dette tilfellet må du først multiplisere vilkårene i de to første parentesene seg imellom, og deretter multiplisere summen av denne multiplikasjonen med vilkårene i den tredje parentesen. Eksempel:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Disse parentesåpningsreglene gjelder likt for både lineære og trigonometriske ligninger.