Bokstavelige uttrykk. Uttrykkskonvertering
Ethvert språk kan uttrykke den samme informasjonen forskjellige ord og omsetning. Matematisk språk er intet unntak. Men det samme uttrykket kan skrives likeverdig på forskjellige måter. Og i noen situasjoner er en av oppføringene enklere. Vi vil snakke om å forenkle uttrykk i denne leksjonen.
Folk kommuniserer videre forskjellige språk. For oss er en viktig sammenligning paret "Russisk språk - matematisk språk". Den samme informasjonen kan rapporteres på forskjellige språk. Men i tillegg til dette kan det uttales forskjellig på ett språk.
For eksempel: "Peter er venn med Vasya", "Vasya er venn med Petya", "Peter og Vasya er venner". Sagt annerledes, men ett og det samme. Med noen av disse setningene vil vi forstå hva som står på spill.
La oss se på denne setningen: "Gutten Petya og gutten Vasya er venner." Vi forstår hva i spørsmålet. Vi liker imidlertid ikke hvordan denne setningen høres ut. Kan vi ikke forenkle det, si det samme, men enklere? "Gutt og gutt" - du kan si en gang: "Gutter Petya og Vasya er venner."
«Gutter» ... Er det ikke tydelig av navnene deres at de ikke er jenter. Vi fjerner "guttene": "Petya og Vasya er venner." Og ordet "venner" kan erstattes med "venner": "Petya og Vasya er venner." Som et resultat ble den første, lange, stygge frasen erstattet med et tilsvarende utsagn som er lettere å si og lettere å forstå. Vi har forenklet denne setningen. Å forenkle betyr å si det lettere, men ikke å tape, ikke å forvrenge meningen.
Det samme skjer i matematisk språk. Det samme kan sies annerledes. Hva vil det si å forenkle et uttrykk? Dette betyr at for det opprinnelige uttrykket er det mange ekvivalente uttrykk, det vil si de som betyr det samme. Og fra all denne mengden må vi velge den enkleste, etter vår mening, eller den mest egnede for våre videre formål.
Tenk for eksempel på et numerisk uttrykk. Det vil tilsvare .
Det vil også tilsvare de to første: 
.
Det viser seg at vi har forenklet uttrykkene våre og funnet det korteste ekvivalente uttrykket.
For numeriske uttrykk må du alltid gjøre alt arbeidet og få det ekvivalente uttrykket som et enkelt tall.
Tenk på et eksempel på et bokstavelig uttrykk . Det er klart at det blir enklere.
Når du forenkler bokstavelige uttrykk, må du utføre alle handlingene som er mulig.
Er det alltid nødvendig å forenkle et uttrykk? Nei, noen ganger vil en tilsvarende, men lengre notasjon være mer praktisk for oss.
Eksempel: Trekk tallet fra tallet.
Det er mulig å beregne, men hvis det første tallet ble representert med dens ekvivalente notasjon: , ville beregningene vært øyeblikkelige: .
Det vil si at et forenklet uttrykk ikke alltid er gunstig for oss for videre beregninger.
Likevel, veldig ofte står vi overfor en oppgave som bare høres ut som «forenkle uttrykket».
Forenkle uttrykket: .
Løsning
1) Utfør handlinger i første og andre parentes: .
2) Beregn produktene: .
Det siste uttrykket har åpenbart en enklere form enn det opprinnelige. Vi har forenklet det.
For å forenkle uttrykket må det erstattes med en ekvivalent (lik).
For å bestemme det ekvivalente uttrykket, må du:
1) utføre alle mulige handlinger,
2) bruk egenskapene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon for å forenkle beregninger.
Egenskaper for addisjon og subtraksjon:
1. Kommutativ egenskap for addisjon: summen endres ikke fra omorganiseringen av vilkårene.
2. Assosiativ egenskap for addisjon: For å legge til et tredje tall til summen av to tall, kan du legge til summen av det andre og tredje tallet til det første tallet.
3. Egenskapen ved å trekke en sum fra et tall: for å trekke summen fra et tall, kan du trekke fra hvert ledd individuelt.
Egenskaper for multiplikasjon og divisjon
1. Den kommutative egenskapen til multiplikasjon: produktet endres ikke fra en permutasjon av faktorer.
2. Assosiativ egenskap: for å multiplisere et tall med produktet av to tall, kan du først multiplisere det med den første faktoren, og deretter multiplisere det resulterende produktet med den andre faktoren.
3. Den distributive egenskapen til multiplikasjon: for å multiplisere et tall med en sum, må du multiplisere det med hvert ledd separat.
La oss se hvordan vi faktisk gjør mentale beregninger.
Regne ut:
Løsning
1) Tenk deg hvordan
2) La oss representere den første multiplikatoren som summen av bitleddene og utføre multiplikasjonen:
3) du kan forestille deg hvordan og utføre multiplikasjon:
4) Erstatt den første faktoren med en tilsvarende sum:
Fordelingsloven kan også brukes i motsatt side: .
Følg disse instruksjonene:
1) 
2) 
Løsning
1) For enkelhets skyld kan du bruke distribusjonsloven, bare bruk den i motsatt retning - ta fellesfaktoren ut av parentes.
2) La oss ta den felles faktoren ut av parentes
Det er nødvendig å kjøpe linoleum på kjøkkenet og gangen. Kjøkkenavdeling - gang -. Det er tre typer linoleum: for og rubler for. Hvor mye vil hver av tre typer linoleum? (Figur 1)
Ris. 1. Illustrasjon for tilstanden til problemet
Løsning
Metode 1. Du kan separat finne hvor mye penger det vil ta å kjøpe linoleum på kjøkkenet, og deretter legge det til gangen og legge sammen de resulterende arbeidene.
I begynnelsen av leksjonen skal vi gjennomgå de grunnleggende egenskapene til kvadratrøtter, og så skal vi se på noen vanskelige eksempler for å forenkle uttrykk som inneholder kvadratrøtter.
Emne:Funksjon. Egenskaper kvadratrot
Lekse:Konvertering og forenkling av mer komplekse uttrykk med røtter
1. Repetisjon av egenskapene til kvadratrøtter
La oss kort gjenta teorien og huske hovedegenskapene til kvadratrøtter.
Egenskaper til kvadratrøtter:
1. derfor;
3. 
;
4. 
.
2. Eksempler for å forenkle uttrykk med røtter
La oss gå videre til eksempler på bruk av disse egenskapene.
Eksempel 1: Forenkle et uttrykk 
.
Løsning. For å forenkle må tallet 120 dekomponeres i primfaktorer:
Vi åpner kvadratet av summen i henhold til den tilsvarende formelen:
Eksempel 2: Forenkle et uttrykk 
.
Løsning. Vi tar i betraktning at dette uttrykket ikke gir mening for alle mulige verdier av variabelen, siden dette uttrykket inneholder kvadratrøtter og brøker, noe som fører til en "innsnevring" av utvalget av akseptable verdier. ODZ: 
().
Vi bringer uttrykket i parentes til en fellesnevner og skriver telleren til den siste brøken som forskjellen av kvadrater:
Svar. på.
Eksempel 3: Forenkle et uttrykk 
.
Løsning. Det kan sees at den andre parentesen til telleren har en vanskelig form og må forenkles, la oss prøve å faktorisere den ved å bruke grupperingsmetoden.
For å kunne ta ut fellesfaktoren forenklet vi røttene ved å faktorisere dem. Erstatt det resulterende uttrykket med den opprinnelige brøken:
Etter å ha redusert brøken, bruker vi formelen for forskjellen på kvadrater.
3. Et eksempel på å bli kvitt irrasjonalitet
Eksempel 4. Bli kvitt irrasjonalitet (røtter) i nevneren: a) ; b) .
Løsning. a) For å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren, brukes standardmetoden for å multiplisere både telleren og nevneren til en brøk med den konjugerte faktoren til nevneren (samme uttrykk, men med motsatt fortegn). Dette gjøres for å komplementere nevneren til brøken til forskjellen av kvadrater, som lar deg kvitte deg med røttene i nevneren. La oss gjøre dette i vårt tilfelle:
b) utføre lignende handlinger:
4. Et eksempel for bevis og for valg av en komplett firkant i en kompleks radikal
Eksempel 5. Bevis likheten 
.
Bevis. La oss bruke definisjonen av kvadratroten, hvorfra det følger at kvadratet til det rette uttrykket må være lik rotuttrykket:
. La oss åpne parentesene i henhold til formelen til kvadratet av summen:
, får vi den riktige ligningen.
Bevist.
Eksempel 6. Forenkle uttrykket.
Løsning. Dette uttrykket kalles vanligvis en kompleks radikal (rot under roten). I dette eksemplet det er nødvendig å gjette for å trekke ut hele kvadratet fra det radikale uttrykket. For å gjøre dette, merker vi at av de to begrepene er det en utfordrer for rollen til et dobbeltprodukt i formelen for kvadratet av forskjellen (forskjell, siden det er et minus). Vi skriver det i form av et slikt produkt: , da for rollen som et av begrepene full firkant påstander, og for rollen som den andre - 1.
La oss erstatte dette uttrykket under roten.
Seksjon 5 UTTRYKK OG LIGNINGER
I seksjonen lærer du:
ü o uttrykk og deres forenklinger;
ü hva er egenskapene til likheter;
ü hvordan løse likninger basert på egenskapene til likheter;
ü hvilke typer problemer løses ved hjelp av ligninger; hva er vinkelrette linjer og hvordan bygge dem;
ü hvilke linjer kalles parallelle og hvordan bygge dem;
ü hva er et koordinatplan;
ü hvordan bestemme koordinatene til et punkt på et plan;
ü hva er en avhengighetsgraf mellom mengder og hvordan man bygger den;
ü hvordan bruke det lærte materialet i praksis
§ 30. UTTRYKK OG DERES FORENKLING
Du vet allerede hva bokstavelige uttrykk er og vet hvordan du forenkler dem ved å bruke lovene for addisjon og multiplikasjon. For eksempel, 2a ∙ (-4 b) = -8 ab . I det resulterende uttrykket kalles tallet -8 koeffisienten til uttrykket.
Gjør uttrykket cd koeffisient? Så. Det er lik 1 fordi cd - 1 ∙ cd .
Husk at å konvertere et uttrykk med parentes til et uttrykk uten parentes kalles parentesutvidelse. For eksempel: 5(2x + 4) = 10x + 20.
Den motsatte handlingen i dette eksemplet er å sette den felles faktoren utenfor parentes.
Termer som inneholder de samme bokstavelige faktorene kalles lignende termer. Ved å ta den felles faktoren ut av parentes, opprettes lignende termer:
5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =
= (5x - 2x) + (y + 6y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y-5=
B x + 7y - 5.
Regler for utvidelse av parentes
1. Hvis det er et "+"-tegn foran parentesene, blir tegnene til begrepene i parentes bevart når du åpner parentesene;
2. Hvis det er et "-"-tegn foran parentesene, blir tegnene til termene i parentesen reversert når parentesene åpnes.
Oppgave 1 . Forenkle uttrykket:
1) 4x+(-7x + 5);
2) 15 år -(-8 + 7 år).
Løsninger. 1. Det er et "+"-tegn foran parentesene, og derfor, når du åpner parentesene, blir tegnene til alle begrepene bevart:
4x + (-7x + 5) \u003d 4x - 7x + 5 \u003d -3x + 5.
2. Det er et "-"-tegn foran parentesene, derfor under åpningen av parentesene: tegnene til alle begreper er reversert:
15 - (- 8 + 7y) \u003d 15y + 8 - 7y \u003d 8y +8.
For å åpne parentes, bruk fordelingsegenskapen til multiplikasjon: a( b + c) = ab + ac. Hvis a > 0, så er tegnene til begrepene b og med ikke endre. Hvis en< 0, то знаки слагаемых b og fra er reversert.
Oppgave 2. Forenkle uttrykket:
1) 2(6y -8) + 7y;
2) -5 (2-5x) + 12.
Løsninger. 1. Faktoren 2 foran parentes e er positiv, derfor, når vi åpner parentes, beholder vi tegnene til alle ledd: 2(6) y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y = 19 y -16.
2. Faktoren -5 foran parentesene e er negativ, derfor, når vi åpner parentesene, endrer vi tegnene til alle ledd til de motsatte:
5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.
Finne ut mer
1. Ordet "sum" kommer fra latin oppsummering , som betyr "totalt", "totalt".
2. Ordet "pluss" kommer fra latin Plus , som betyr "mer", og ordet "minus" - fra latin minus, som betyr "mindre". Tegnene "+" og "-" brukes til å indikere operasjonene for addisjon og subtraksjon. Disse tegnene ble introdusert av den tsjekkiske vitenskapsmannen J. Vidman i 1489 i boken "En rask og hyggelig beretning for alle kjøpmenn"(Fig. 138).
Ris. 138
HUSK DE VIKTIGSTE TINGENE
1. Hvilke begreper kalles lignende? Hvordan er like begreper konstruert?
2. Hvordan åpner du parenteser med et "+"-tegn foran?
3. Hvordan åpner du parenteser med et "-"-tegn foran?
4. Hvordan åpner du parenteser som innledes med en positiv faktor?
5. Hvordan åpner du parenteser som innledes med en negativ faktor?
1374". Nevn koeffisienten til uttrykket:
1) 12a; 3) -5,6 xy;
2)4 6; 4)-s.
1375". Nevn termene som bare avviker med koeffisienten:
1) 10a + 76-26 + a; 3) 5n + 5m -4n + 4;
2) bc -4d - bc + 4d; 4) 5x + 4y-x + y.
Hva kalles disse begrepene?
1376". Er det lignende termer i uttrykket:
1) Ila + 10a; 3)6n + 15n; 5) 25r - 10r + 15r;
2) 14s-12; 4) 12 m + m; 6) 8k +10k - n?
1377". Er det nødvendig å endre tegnene til begrepene i parentes, åpne parentesene i uttrykket:
1)4+ (a + 3b); 2)-c+(5-d); 3) 16-(5m-8n)?
1378°. Forenkle uttrykket og understrek koeffisienten:
1379°. Forenkle uttrykket og understrek koeffisienten:
1380°. Reduser lignende termer:
1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4d;
2) 4b - 5b + 4 + 5b; 5) 5a - 12b - 7a + 5b;
3)-7ang="NO-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.
1381°. Reduser lignende termer:
1) 6a-5a + 8a-7a; 3) 5s + 4-2s-3s;
2)9 b +12-8-46; 4) -7n + 8m - 13n - 3m.
1382°. Ta den felles faktoren ut av parentes:
1) 1,2a +1,2b; 3) -3 n - 1,8 m; 5) -5p + 2,5k -0,5t;
2) 0,5 s + 5d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8p - 10k - 6t.
1383°. Ta den felles faktoren ut av parentes:
1) 6a-12b; 3) -1,8 n -3,6 m;
2) -0,2 s + 14 d; A) 3p - 0,9k + 2,7t.
1384°. Åpne parenteser og reduser lignende termer;
1) 5+ (4a-4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);
2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);
3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7 (-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).
1385°. Åpne parentesene og reduser lignende termer:
1) 10a + (4-4a); 3) (s - 5 d) - (- d + 5s);
2) -(46-10) + (4-56); 4) - (5 n + m) + (-4 n + 8 m) - (2 m -5 n).
1386°. Utvid parentesene og finn betydningen av uttrykket:
1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);
2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).
1387°. Utvid parentesene og finn betydningen av uttrykket:
1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);
2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).
1388°. Åpen parentes:
1) 0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);
2)-s ∙ (2,7-1,2 d ); 5) 3 ∙ (-1,5 p + k - 0,2 t);
3) 1,6 ∙ (2n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).
1389°. Åpen parentes:
1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4c-d)∙(-0,5 y);
2) -2 ∙ (1,2 n-m); 4) 6- (-p + 0,3 k - 1,2 t).
1390. Forenkle uttrykket:
1391. Forenkle uttrykket:
1392. Reduser lignende termer:
1393. Reduser lignende termer:
1394. Forenkle uttrykket:
1) 2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);
2) -12 ∙ (8 - 2, ved) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);
4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.
1395. Forenkle uttrykket:
1396. Finn betydningen av uttrykket;
1) 4-(0,2 a-3) - (5,8 a-16), hvis a \u003d -5;
2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), hvis = -0,8;
m = 0,25, n = 5,7.
1397. Finn verdien av uttrykket:
1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), hvis x = -0,25;
1398*. Finn feilen i løsningen:
1) 5- (a-2.4) -7 ∙ (-a + 1.2) \u003d 5a - 12-7a + 8.4 \u003d -2a-3.6;
2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) \u003d -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a \u003d -5,5 a + 8,26.
1399*. Utvid parentesene og forenkle uttrykket:
1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;
1400*. Ordne parentesene for å få riktig likhet:
1) a-6-a + 6 \u003d 2a; 2) a -2 b -2 a + b \u003d 3 a -3 b.
1401*. Bevis at for alle tall a og b hvis a > b , da gjelder følgende likhet:
1) (a + b) + (a-b) \u003d 2a; 2) (a + b) - (a - b) \u003d 2 b.
Vil denne likheten være riktig hvis: a) a< b; b) a = 6?
1402*. Bevis at for et hvilket som helst naturlig tall a, er det aritmetiske gjennomsnittet av de foregående og følgende tallene lik a.
SØK I PRAKSIS
1403. For å tilberede en fruktdessert for tre personer trenger du: 2 epler, 1 appelsin, 2 bananer og 1 kiwi. Hvordan lage et bokstavelig uttrykk for å bestemme mengden frukt som trengs for å tilberede en dessert for gjester? Hjelp Marin med å beregne hvor mange frukter hun trenger å kjøpe hvis hun kommer på besøk: 1) 5 venner; 2) 8 venner.
1404. Lag et bokstavelig uttrykk for å bestemme tiden det tar å fullføre lekser i matematikk, hvis:
1) et minutt ble brukt på å løse problemer; 2) forenkling av uttrykk er 2 ganger mer enn for å løse problemer. Hvor lang tid tok det hjemmelekser Vasilko, hvis han brukte 15 minutter på å løse problemer?
1405. Lunsj i skolens kantine består av salat, borsjtsj, kålruller og kompott. Kostnaden for salat er 20%, borscht - 30%, kålruller - 45%, kompott - 5% av den totale kostnaden for hele måltidet. Skriv et uttrykk for å finne kostnadene for lunsj på skolens kafeteria. Hvor mye koster lunsj hvis prisen på en salat er 2 UAH?
REPETSJONSOPPGAVE
1406. Løs ligningen:
1407. Tanya brukte på isalle tilgjengelige penger, og for søtsaker -resten. Hvor mye penger har Tanya?
hvis søtsaker koster 12 UAH?
§ 1 Begrepet forenkling av et bokstavelig uttrykk
I denne leksjonen vil vi bli kjent med konseptet "lignende termer", og ved hjelp av eksempler vil vi lære hvordan vi kan utføre reduksjon av lignende termer, og dermed forenkle bokstavelige uttrykk.
La oss finne ut betydningen av begrepet "forenkling". Ordet "forenkling" er avledet fra ordet "forenkle". Å forenkle betyr å gjøre enkelt, enklere. Derfor, å forenkle et bokstavelig uttrykk er å gjøre det kortere, med et minimum antall handlinger.
Tenk på uttrykket 9x + 4x. Dette er et bokstavelig uttrykk som er en sum. Begrepene her presenteres som produkter av et tall og en bokstav. Den numeriske faktoren til slike termer kalles koeffisienten. I dette uttrykket vil koeffisientene være tallene 9 og 4. Vær oppmerksom på at multiplikatoren representert med bokstaven er den samme i begge termer av denne summen.
Husk den distributive loven om multiplikasjon:
For å multiplisere summen med et tall, kan du multiplisere hvert ledd med dette tallet og legge til de resulterende produktene.
I generelt syn skrives som følger: (a + b) ∙ c \u003d ac + bc.
Denne loven er gyldig i begge retninger ac + bc = (a + b) ∙ c
La oss bruke det på vårt bokstavelige uttrykk: summen av produktene av 9x og 4x er lik produktet, hvor den første faktoren er summen av 9 og 4, den andre faktoren er x.
9 + 4 = 13 gjør 13x.
9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.
I stedet for tre handlinger i uttrykket, gjensto én handling - multiplikasjon. Så vi har gjort vårt bokstavelige uttrykk enklere, dvs. forenklet det.
§ 2 Reduksjon av like vilkår
Begrepene 9x og 4x skiller seg bare i koeffisientene - slike begreper kalles lignende. Bokstavdelen av lignende termer er den samme. Lignende termer inkluderer også tall og like ledd.
For eksempel, i uttrykket 9a + 12 - 15, vil tallene 12 og -15 være like ledd, og i summen av produktene til 12 og 6a, tallene 14 og produktene til 12 og 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a), vil like ledd være like, representert ved produktet av 12 og 6a.
Det er viktig å merke seg at termer som har like koeffisienter og forskjellige bokstavelige faktorer ikke er like, selv om det noen ganger er nyttig å bruke den distributive loven om multiplikasjon på dem, for eksempel er summen av produktene av 5x og 5y lik produktet av tallet 5 og summen av x og y
5x + 5y = 5(x + y).
La oss forenkle uttrykket -9a + 15a - 4 + 10.
Lignende termer i denne saken er begrepene -9a og 15a, siden de bare er forskjellige i koeffisientene. De har samme bokstavmultiplikator, og begrepene -4 og 10 er også like, siden de er tall. Vi legger til lignende termer:
9a + 15a - 4 + 10
9a + 15a = 6a;
Vi får: 6a + 6.
For å forenkle uttrykket fant vi summene av like ledd, i matematikk kalles dette reduksjon av like ledd.
Hvis det er vanskelig å bringe slike begreper, kan du finne på ord for dem og legge til objekter.
Tenk for eksempel på uttrykket:
For hver bokstav tar vi vårt eget objekt: b-eple, c-pære, så vil det vise seg: 2 epler minus 5 pærer pluss 8 pærer.
Kan vi trekke pærer fra epler? Selvfølgelig ikke. Men vi kan legge til 8 pærer til minus 5 pærer.
Vi gir like vilkår -5 pærer + 8 pærer. Like termer har den samme bokstavelige delen, derfor, når du reduserer like termer, er det nok å legge til koeffisientene og legge til den bokstavelige delen til resultatet:
(-5 + 8) pærer - du får 3 pærer.
For å gå tilbake til vårt bokstavelige uttrykk, har vi -5s + 8s = 3s. Etter å ha redusert lignende termer får vi altså uttrykket 2b + 3c.
Så i denne leksjonen ble du kjent med konseptet "lignende termer" og lærte hvordan du forenkler bokstavelige uttrykk ved å ta med like termer.
Liste over brukt litteratur:
- Matematikk. 6. klasse: leksjonsplaner for læreboken av I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // forfatter-kompilator L.A. Topilin. Mnemosyne 2009.
- Matematikk. Klasse 6: en lærebok for studenter ved utdanningsinstitusjoner. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013.
- Matematikk. Karakter 6: lærebok for utdanningsinstitusjoner / G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov og andre / redigert av G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygin; Russian Academy of Sciences, Russian Academy of Education. M.: "Enlightenment", 2010.
- Matematikk. Karakter 6: lærebok for generelle utdanningsinstitusjoner / N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd. – M.: Mnemozina, 2013.
- Matematikk. 6. klasse: lærebok / G.K. Muravin, O.V. Maur. – M.: Bustard, 2014.
Brukte bilder:
Første nivå
Uttrykkskonvertering. Detaljert teori (2019)
Uttrykkskonvertering
Ofte hører vi denne ubehagelige setningen: "forenkle uttrykket." Vanligvis, i dette tilfellet, har vi et slags monster som dette:
"Ja, mye lettere," sier vi, men et slikt svar fungerer vanligvis ikke.
Nå skal jeg lære deg å ikke være redd for slike oppgaver. Dessuten, på slutten av leksjonen, vil du selv forenkle dette eksemplet til et (bare!) vanlig tall (ja, til helvete med disse bokstavene).
Men før du starter denne leksjonen, må du kunne håndtere brøker og faktorpolynomer. Derfor, først, hvis du ikke har gjort dette før, sørg for å mestre emnene "" og "".
Lese? Hvis ja, så er du klar.
Grunnleggende forenklingsoperasjoner
Nå skal vi analysere hovedteknikkene som brukes for å forenkle uttrykk.
Den enkleste av dem er
1. Å bringe lignende
Hva er like? Du gikk gjennom dette i 7. klasse, da bokstaver først dukket opp i matte i stedet for tall. Lignende er termer (monomialer) med samme bokstavdel. For eksempel, i summen er like termer og.
Husket?
Å bringe like termer betyr å legge til flere lignende termer til hverandre og få en term.
Men hvordan kan vi sette sammen bokstaver? - du spør.
Dette er veldig lett å forstå hvis du ser for deg at bokstavene er en slags gjenstander. For eksempel er bokstaven en stol. Hva er så uttrykket? To stoler pluss tre stoler, hvor mye blir det? Det stemmer, stoler: .
Prøv nå dette uttrykket:
For ikke å bli forvirret, la forskjellige bokstaver betegne forskjellige objekter. For eksempel - dette er (som vanlig) en stol, og - dette er et bord. Deretter:
stoler bord stol bord stoler stoler bord
Tallene som bokstavene i slike termer multipliseres med kalles koeffisienter. For eksempel, i monomialet er koeffisienten lik. Og han er lik.
Så, regelen for å bringe lignende:
Eksempler:
Ta med lignende:
Svar:
2. (og er like, siden disse begrepene derfor har samme bokstavdel).
2. Faktorisering
Dette er vanligvis det meste en viktig del i å forenkle uttrykk. Etter at du har gitt lignende, må som oftest det resulterende uttrykket faktoriseres, det vil si presenteres som et produkt. Dette er spesielt viktig i brøk: Tross alt, for å redusere en brøk, må telleren og nevneren representeres som et produkt.
Du gikk gjennom de detaljerte metodene for å faktorisere uttrykk i emnet "", så her må du bare huske hva du har lært. For å gjøre dette, løs noen få eksempler(skal tas i betraktning):
Løsninger:
3. Fraksjonsreduksjon.
Vel, hva kan være bedre enn å krysse ut deler av telleren og nevneren, og kaste dem ut av livet ditt?
Det er det fine med forkortelse.
Det er enkelt:
Hvis telleren og nevneren inneholder de samme faktorene, kan de reduseres, det vil si fjernes fra brøken.
Denne regelen følger av den grunnleggende egenskapen til en brøk:
Det vil si at essensen av reduksjonsoperasjonen er det Vi deler telleren og nevneren til en brøk med samme tall (eller med samme uttrykk).
For å redusere en brøkdel trenger du:
1) teller og nevner faktorisere
2) hvis telleren og nevneren inneholder felles faktorer, kan de slettes.
Prinsippet tror jeg er klart?
Jeg vil gjerne gjøre oppmerksom på en typisk feil i forkortelsen. Selv om dette emnet er enkelt, men mange mennesker gjør alt feil, uten å innse det kutte opp- Dette betyr dele opp teller og nevner med samme tall.
Ingen forkortelser hvis telleren eller nevneren er summen.
For eksempel: du må forenkle.
Noen gjør dette: noe som er helt feil.
Et annet eksempel: redusere.
"De smarteste" vil gjøre dette:.
Fortell meg hva som er galt her? Det ser ut til: - dette er en multiplikator, så du kan redusere.
Men nei: - dette er en faktor på bare ett ledd i telleren, men selve telleren som helhet er ikke dekomponert i faktorer.
Her er et annet eksempel: .
Dette uttrykket er dekomponert i faktorer, som betyr at du kan redusere, det vil si dele telleren og nevneren med, og deretter med:
Du kan umiddelbart dele med:
For å unngå slike feil, husk enkel måte hvordan bestemme om et uttrykk er faktorisert:
Den aritmetiske operasjonen som utføres sist ved beregning av verdien av uttrykket er "hoved". Det vil si, hvis du erstatter noen (hvilken som helst) tall i stedet for bokstaver, og prøver å beregne verdien av uttrykket, så hvis den siste handlingen er multiplikasjon, så har vi et produkt (uttrykket er dekomponert i faktorer). Hvis den siste handlingen er addisjon eller subtraksjon, betyr dette at uttrykket ikke er faktorisert (og derfor ikke kan reduseres).
For å fikse det, løse det selv noen få eksempler:
Svar:
1. Jeg håper du ikke umiddelbart hastverk med å kutte og? Det var fortsatt ikke nok å "redusere" enheter som dette:
Det første trinnet bør være å faktorisere:
4. Addisjon og subtraksjon av brøker. Å bringe brøker til en fellesnevner.
Å addere og subtrahere vanlige brøker er en velkjent operasjon: vi ser etter en fellesnevner, multipliserer hver brøk med den manglende faktoren og legger til / subtraherer tellerne. La oss huske:
Svar:
1. Nevnerne og er coprime, det vil si at de ikke har felles faktorer. Derfor er LCM for disse tallene lik produktet deres. Dette vil være fellesnevneren:
2. Her er fellesnevneren:
3. Det første her blandede fraksjoner gjør dem til feil, og deretter - i henhold til den vanlige ordningen:
Det er en helt annen sak om brøkene inneholder bokstaver, for eksempel:
La oss starte enkelt:
a) Nevnere inneholder ikke bokstaver
Her er alt det samme som med vanlige numeriske brøker: vi finner en fellesnevner, multipliserer hver brøk med den manglende faktoren og legger til / subtraherer tellerne:
nå i telleren kan du ta med lignende, hvis noen, og faktor dem:
Prøv selv:
b) Nevnere inneholder bokstaver
La oss huske prinsippet om å finne en fellesnevner uten bokstaver:
Først og fremst bestemmer vi fellesfaktorene;
Så skriver vi ut alle fellesfaktorene en gang;
og multiplisere dem med alle andre faktorer, ikke vanlige.
For å bestemme fellesfaktorene til nevnerne, dekomponerer vi dem først i enkle faktorer:
Vi legger vekt på de vanlige faktorene:
Nå skriver vi ut de vanlige faktorene én gang og legger til alle ikke-vanlige (ikke understreket) faktorer:
Dette er fellesnevneren.
La oss gå tilbake til bokstavene. Nevnerne er gitt på nøyaktig samme måte:
Vi dekomponerer nevnerne i faktorer;
bestemme vanlige (identiske) multiplikatorer;
skriv ut alle de vanlige faktorene én gang;
Vi multipliserer dem med alle andre faktorer, ikke vanlige.
Så, i rekkefølge:
1) dekomponer nevnerne i faktorer:
2) bestemme de vanlige (identiske) faktorene:
3) skriv ut alle fellesfaktorene én gang og gang dem med alle de andre (ikke understreket) faktorene:
Så fellesnevneren er her. Den første brøken må multipliseres med, den andre - med:
Forresten, det er ett triks:
For eksempel: .
Vi ser de samme faktorene i nevnerne, bare alle med ulike indikatorer. Fellesnevneren vil være:
i den grad
i den grad
i den grad
i grad.
La oss komplisere oppgaven:
Hvordan få brøker til å ha samme nevner?
La oss huske den grunnleggende egenskapen til en brøk:
Ingen steder er det sagt at det samme tallet kan trekkes fra (eller legges til) fra telleren og nevneren til en brøk. For det er ikke sant!
Se selv: ta en hvilken som helst brøk, for eksempel, og legg til et tall til telleren og nevneren, for eksempel . Hva har blitt lært?
Så, en annen urokkelig regel:
Når du bringer brøker til en fellesnevner, bruk kun multiplikasjonsoperasjonen!
Men hva må du multiplisere for å få?
Her på og multiplisere. Og multipliser med:
Uttrykk som ikke kan faktoriseres vil kalles «elementære faktorer». For eksempel er en elementær faktor. - Samme. Men - nei: det er dekomponert i faktorer.
Hva med uttrykk? Er det elementært?
Nei, fordi det kan faktoriseres:
(du har allerede lest om faktorisering i emnet "").
Så de elementære faktorene du dekomponerer et uttrykk i med bokstaver er en analog av de enkle faktorene du dekomponerer tall i. Og vi vil gjøre det samme med dem.
Vi ser at begge nevnerne har en faktor. Det vil gå til fellesnevneren i kraften (husk hvorfor?).
Multiplikatoren er elementær, og de har den ikke til felles, noe som betyr at den første brøken ganske enkelt må multipliseres med den:
Et annet eksempel:
Løsning:
Før du multipliserer disse nevnerne i panikk, må du tenke på hvordan du kan faktorisere dem? Begge representerer:
Flott! Deretter:
Et annet eksempel:
Løsning:
Som vanlig faktoriserer vi nevnerne. I den første nevneren setter vi den ganske enkelt utenfor parentes; i den andre - forskjellen mellom kvadrater:
Det ser ut til at det ikke er noen felles faktorer. Men hvis du ser nøye etter, er de allerede så like ... Og sannheten er:
Så la oss skrive:
Det vil si at det ble slik: innenfor parentesen byttet vi begrepene, og samtidig endret tegnet foran brøken til det motsatte. Vær oppmerksom på at du må gjøre dette ofte.
Nå kommer vi til en fellesnevner:
Har det? La oss nå sjekke.
Oppgaver for selvstendig løsning:
Svar:
Her må vi huske en ting til - forskjellen på kuber:
Vær oppmerksom på at nevneren til den andre brøken ikke inneholder formelen "kvadrat av summen"! Kvadraten av summen vil se slik ut:
A er det såkalte ufullstendige kvadratet av summen: det andre leddet i det er produktet av det første og siste, og ikke deres doble produkt. Det ufullstendige kvadratet av summen er en av faktorene i utvidelsen av forskjellen av terninger:
Hva om det allerede er tre brøker?
Ja, det samme! Først av alt vil vi sørge for at det maksimale antallet faktorer i nevnerne er det samme:
Vær oppmerksom: Hvis du endrer skiltene innenfor en parentes, endres tegnet foran brøken til det motsatte. Når vi endrer tegnene i andre parentes, snus tegnet foran brøken igjen. Som et resultat har han (tegnet foran brøken) ikke endret seg.
Vi skriver ut den første nevneren i sin helhet i fellesnevneren, og så legger vi til den alle faktorene som ennå ikke er skrevet, fra den andre, og deretter fra den tredje (og så videre, hvis det er flere brøker). Det vil si at det går slik:
Hmm ... Med brøker er det klart hva du skal gjøre. Men hva med de to?
Det er enkelt: du vet hvordan du legger til brøker, ikke sant? Så du må sørge for at toeren blir en brøkdel! Husk: en brøk er en divisjonsoperasjon (telleren deles på nevneren, i tilfelle du plutselig har glemt det). Og det er ikke noe enklere enn å dele et tall på. I dette tilfellet vil ikke selve tallet endre seg, men blir til en brøkdel:
Akkurat det som trengs!
5. Multiplikasjon og deling av brøker.
Vel, den vanskeligste delen er nå over. Og foran oss er det enkleste, men samtidig det viktigste:
Fremgangsmåte
Hva er fremgangsmåten for å beregne et numerisk uttrykk? Husk å vurdere verdien av et slikt uttrykk:
Har du telt?
Det burde fungere.
Så jeg minner deg på det.
Det første trinnet er å beregne graden.
Den andre er multiplikasjon og divisjon. Hvis det er flere multiplikasjoner og divisjoner samtidig, kan du gjøre dem i hvilken som helst rekkefølge.
Og til slutt utfører vi addisjon og subtraksjon. Igjen, i hvilken som helst rekkefølge.
Men: uttrykket i parentes er evaluert ute av drift!
Hvis flere parenteser multipliseres eller divideres med hverandre, evaluerer vi først uttrykket i hver av parentesene, og deretter multipliserer eller dividerer vi dem.
Hva om det er andre parenteser innenfor parentesene? Vel, la oss tenke: et eller annet uttrykk er skrevet innenfor parentes. Hva er det første du må gjøre når du vurderer et uttrykk? Det stemmer, beregn parenteser. Vel, vi fant det ut: først beregner vi de indre parentesene, så alt annet.
Så rekkefølgen på handlingene for uttrykket ovenfor er som følger (den gjeldende handlingen er uthevet i rødt, det vil si handlingen jeg utfører akkurat nå):
Ok, det hele er enkelt.
Men det er vel ikke det samme som et uttrykk med bokstaver?
Nei, det er det samme! Bare i stedet for aritmetiske operasjoner er det nødvendig å utføre algebraiske operasjoner, det vil si operasjonene beskrevet i forrige avsnitt: bringe lignende, legge til fraksjoner, redusere fraksjoner og så videre. Den eneste forskjellen vil være handlingen med å faktorisere polynomer (vi bruker det ofte når vi jobber med brøker). Oftest, for faktorisering, må du bruke i eller ganske enkelt ta den felles faktoren ut av parentes.
Vanligvis er målet vårt å representere et uttrykk som et produkt eller kvotient.
For eksempel:
La oss forenkle uttrykket.
1) Først forenkler vi uttrykket i parentes. Der har vi forskjellen på brøker, og målet vårt er å representere det som et produkt eller kvotient. Så vi bringer brøkene til en fellesnevner og legger til:
Det er umulig å forenkle dette uttrykket ytterligere, alle faktorer her er elementære (husker du fortsatt hva dette betyr?).
2) Vi får:
Multiplikasjon av brøker: hva kan være lettere.
3) Nå kan du forkorte:
OK, det er over nå. Ikke noe komplisert, ikke sant?
Et annet eksempel:
Forenkle uttrykket.
Prøv først å løse det selv, og først deretter se på løsningen.
Først av alt, la oss definere prosedyren. La oss først legge til brøkene i parentes, i stedet for to brøker vil en vise seg. Så skal vi dele brøkene. Vel, vi legger til resultatet med den siste brøken. Jeg vil skjematisk nummerere trinnene:
Nå vil jeg vise hele prosessen, tone gjeldende handling med rødt:
Til slutt vil jeg gi deg to nyttige tips:
1. Hvis det er lignende, må de bringes umiddelbart. Uansett hvilket øyeblikk vi har lignende, er det tilrådelig å ta dem med en gang.
2. Det samme gjelder reduksjon av brøker: Så snart det byr seg en mulighet til å redusere, må den brukes. Unntaket er brøker som du legger til eller trekker fra: hvis de nå har de samme nevnerne, bør reduksjonen stå til senere.
Her er noen oppgaver du kan løse på egen hånd:
Og lovet helt i begynnelsen:
Løsninger (kortfattet):
Hvis du klarte minst de tre første eksemplene, så har du mestret emnet.
Nå til læring!
KONVERTERING AV UTTRYKK. SAMMENDRAG OG GRUNNLEGGENDE FORMEL
Grunnleggende forenklingsoperasjoner:
- Tar med lignende: for å legge til (redusere) lignende termer, må du legge til koeffisientene deres og tilordne bokstavdelen.
- Faktorisering:å ta den felles faktoren ut av parentes, bruke osv.
- Fraksjonsreduksjon: telleren og nevneren til en brøk kan multipliseres eller divideres med det samme tallet som ikke er null, hvorfra verdien av brøken ikke endres.
1) teller og nevner faktorisere
2) hvis det er felles faktorer i teller og nevner, kan de krysses ut.VIKTIG: kun multiplikatorer kan reduseres!
- Addisjon og subtraksjon av brøker:
; - Multiplikasjon og deling av brøker:
;
