Kvadratroten av et tall. Kvadratrot

Fakta 1.
\(\bullet\) Ta et ikke-negativt tall \(a\) (dvs. \(a\geqslant 0\) ). Deretter (aritmetikk) kvadratrot fra tallet \(a\) kalles et slikt ikke-negativt tall \(b\), når vi kvadrerer det får vi tallet \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(samme som )\quad a=b^2\] Det følger av definisjonen at \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Disse restriksjonene er en viktig betingelse for eksistensen kvadratrot Og de bør huskes!
Husk at et hvilket som helst tall når det er kvadratisk gir et ikke-negativt resultat. Det vil si \(100^2=10000\geqslant 0\) og \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Hva er \(\sqrt(25)\)? Vi vet at \(5^2=25\) og \((-5)^2=25\) . Siden vi per definisjon må finne et ikke-negativt tall, er ikke \(-5\) egnet, derav \(\sqrt(25)=5\) (siden \(25=5^2\) ).
Å finne verdien \(\sqrt a\) kalles å ta kvadratroten av tallet \(a\) , og tallet \(a\) kalles rotuttrykket.
\(\bullet\) Basert på definisjonen, uttrykkene \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) osv. gir ikke mening.

Fakta 2.
For raske beregninger vil det være nyttig å lære tabellen med kvadrater av naturlige tall fra \(1\) til \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fakta 3.
Hva kan gjøres med kvadratrøtter?
\(\kule\) Sum eller forskjell kvadratrøtter IKKE LIK med kvadratroten av summen eller differansen, dvs. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Derfor, hvis du for eksempel trenger å beregne \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , må du først finne verdiene \(\sqrt(25)\) og \(\sqrt (49)\ ) og deretter legge dem sammen. Derfor, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Hvis verdiene\(\sqrt a\) eller \(\sqrt b\) ikke kan finnes når du legger til \(\sqrt a+\sqrt b\), blir ikke et slikt uttrykk videre konvertert og forblir som det er. For eksempel, i summen \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) kan vi finne \(\sqrt(49)\) - dette er \(7\) , men \(\sqrt 2\) kan ikke være konvertert på noen måte, det er derfor \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Videre kan dette uttrykket dessverre ikke forenkles på noen måte.\(\bullet\) Produktet/kvotienten av kvadratrøtter er lik kvadratroten av produktet/kvotienten, dvs. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (forutsatt at begge deler av likestillingene gir mening)
Eksempel: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Ved å bruke disse egenskapene er det praktisk å finne kvadratrøttene til store tall ved å faktorisere dem.
Tenk på et eksempel. Finn \(\sqrt(44100)\) . Siden \(44100:100=441\) , deretter \(44100=100\cdot 441\) . I henhold til kriteriet for delbarhet er tallet \(441\) delelig med \(9\) (siden summen av sifrene er 9 og er delelig med 9), derfor \(441:9=49\) , det vil si \(441=9\ cdot 49\) .
Dermed fikk vi: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] La oss se på et annet eksempel: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) La oss vise hvordan du skriver inn tall under kvadratrottegnet ved å bruke eksempelet på uttrykket \(5\sqrt2\) (forkortelse for uttrykket \(5\cdot \sqrt2\) ). Siden \(5=\sqrt(25)\) , da \ Merk også at f.eks.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Hvorfor det? La oss forklare med eksempel 1). Som du allerede har forstått, kan vi på en eller annen måte ikke konvertere tallet \(\sqrt2\) . Tenk deg at \(\sqrt2\) er et tall \(a\) . Følgelig er uttrykket \(\sqrt2+3\sqrt2\) ingenting annet enn \(a+3a\) (ett tall \(a\) pluss tre til av de samme tallene \(a\) ). Og vi vet at dette er lik fire slike tall \(a\) , det vil si \(4\sqrt2\) .

Fakta 4.
\(\bullet\) Det sies ofte «kan ikke trekke ut roten» når det ikke er mulig å kvitte seg med tegnet \(\sqrt () \ \) til roten (radikal) når man finner verdien av et tall. For eksempel kan du rote tallet \(16\) fordi \(16=4^2\) , så \(\sqrt(16)=4\) . Men å trekke ut roten fra tallet \(3\) , det vil si å finne \(\sqrt3\) , er det umulig, fordi det ikke er noe slikt tall som kvadrert vil gi \(3\) .
Slike tall (eller uttrykk med slike tall) er irrasjonelle. For eksempel tall \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) og så videre. er irrasjonelle.
Også irrasjonelle er tallene \(\pi\) (tallet "pi", omtrent lik \(3,14\) ), \(e\) (dette tallet kalles Euler-tallet, omtrent lik \(2) ,7\) ) osv.
\(\bullet\) Vær oppmerksom på at et hvilket som helst tall vil være enten rasjonelt eller irrasjonelt. Og sammen danner alle rasjonelle og alle irrasjonelle tall et sett kalt sett med reelle (reelle) tall. Dette settet er merket med bokstaven \(\mathbb(R)\) .
Dette betyr at alle tall som er dette øyeblikket vi vet kalles reelle tall.

Fakta 5.
\(\bullet\) Modulen til et reelt tall \(a\) er et ikke-negativt tall \(|a|\) lik avstanden fra punktet \(a\) til \(0\) på det reelle tall linje. For eksempel er \(|3|\) og \(|-3|\) lik 3, siden avstandene fra punktene \(3\) og \(-3\) til \(0\) er samme og lik \(3 \) .
\(\bullet\) Hvis \(a\) er et ikke-negativt tall, så \(|a|=a\) .
Eksempel: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Hvis \(a\) er et negativt tall, så \(|a|=-a\) .
Eksempel: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
De sier at for negative tall "spiser" modulen minus, og positive tall, så vel som tallet \(0\) , forlater modulen uendret.
MEN denne regelen gjelder kun for tall. Hvis du har en ukjent \(x\) (eller en annen ukjent) under modultegnet, for eksempel \(|x|\) , som vi ikke vet om den er positiv, lik null eller negativ, så bli kvitt modulen vi ikke kan. I dette tilfellet forblir dette uttrykket slik: \(|x|\) . \(\bullet\) Følgende formler holder: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \tekst(levert ) a\geqslant 0\] Følgende feil blir ofte gjort: de sier at \(\sqrt(a^2)\) og \((\sqrt a)^2\) er det samme. Dette er bare sant hvis \(a\) - positivt tall eller null. Men hvis \(a\) er et negativt tall, er dette ikke sant. Det er nok å se på et slikt eksempel. La oss ta tallet \(-1\) i stedet for \(a\). Så \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , men uttrykket \((\sqrt (-1))^2\) eksisterer ikke i det hele tatt (fordi det er umulig under rottegnet sett inn negative tall!).
Derfor gjør vi oppmerksom på at \(\sqrt(a^2)\) ikke er lik \((\sqrt a)^2\) ! Eksempel: 1) \(\sqrt(\venstre(-\sqrt2\høyre)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), fordi \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Siden \(\sqrt(a^2)=|a|\) , deretter \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (uttrykket \(2n\) angir et partall)
Det vil si at når man trekker ut roten fra et tall som er i en viss grad, halveres denne graden.
Eksempel:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (merk at hvis modulen ikke er satt, så viser det seg at roten av tallet er lik \(-25 \) ; men vi husker , som, per definisjon av roten, dette ikke kan være: når vi trekker ut roten, bør vi alltid få et positivt tall eller null)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (siden ethvert tall i partall er ikke-negativt)

Fakta 6.
Hvordan sammenligne to kvadratrøtter?
\(\bullet\) Sant for kvadratrøtter: hvis \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aEksempel:
1) sammenlign \(\sqrt(50)\) og \(6\sqrt2\) . Først transformerer vi det andre uttrykket til \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Dermed siden \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Mellom hvilke heltall er \(\sqrt(50)\) ?
Siden \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , og \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Sammenlign \(\sqrt 2-1\) og \(0,5\) . Anta \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((legg til en på begge sider))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((kvadrat begge deler))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Vi ser at vi har fått en feil ulikhet. Derfor var vår antagelse feil og \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Merk at det å legge til et visst tall på begge sider av ulikheten ikke påvirker fortegnet. Å multiplisere/dele begge deler av ulikheten med et positivt tall påvirker heller ikke dets fortegn, men å multiplisere/dele med et negativt tall reverserer tegnet på ulikheten!
Begge sider av en ligning/ulikhet kan KUN kvadreres HVIS begge sider er ikke-negative. For eksempel, i ulikheten fra forrige eksempel, kan du kvadrat begge sider, i ulikheten \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Merk at \[\begin(justert) &\sqrt 2\ca. 1,4\\ &\sqrt 3\ca. 1,7 \end(aligned)\]Å vite den omtrentlige betydningen av disse tallene vil hjelpe deg når du sammenligner tall! \(\bullet\) For å trekke ut roten (hvis den er trukket ut) fra et stort tall som ikke er i rutetabellen, må du først bestemme mellom hvilke "hundrevis" den er, deretter mellom hvilke "tiere", og bestemmer deretter det siste sifferet i dette nummeret. La oss vise hvordan det fungerer med et eksempel.
Ta \(\sqrt(28224)\) . Vi vet at \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) og så videre. Merk at \(28224\) er mellom \(10\,000\) og \(40\,000\) . Derfor er \(\sqrt(28224)\) mellom \(100\) og \(200\) .
La oss nå bestemme mellom hvilke "tiere" tallet vårt er (det vil for eksempel være mellom \(120\) og \(130\) ). Vi vet også fra rutetabellen at \(11^2=121\) , \(12^2=144\) osv., deretter \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Så vi ser at \(28224\) er mellom \(160^2\) og \(170^2\) . Derfor er tallet \(\sqrt(28224)\) mellom \(160\) og \(170\) .
La oss prøve å bestemme det siste sifferet. La oss huske hvilke ensifrede tall ved kvadrating gir på slutten \ (4 \) ? Disse er \(2^2\) og \(8^2\) . Derfor vil \(\sqrt(28224)\) ende på enten 2 eller 8. La oss sjekke dette. Finn \(162^2\) og \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Derfor \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

For å løse eksamenen i matematikk tilstrekkelig, er det først og fremst nødvendig å studere det teoretiske materialet, som introduserer en rekke teoremer, formler, algoritmer, etc. Ved første øyekast kan det virke som om dette er ganske enkelt. Men å finne en kilde der teorien for Unified State Examination i matematikk presenteres enkelt og forståelig for elever med et hvilket som helst treningsnivå, er faktisk en ganske vanskelig oppgave. Skolebøker kan ikke alltid holdes for hånden. Og å finne de grunnleggende formlene for eksamen i matematikk kan være vanskelig selv på Internett.

Hvorfor er det så viktig å studere teori i matematikk, ikke bare for de som tar eksamen?

1. Fordi det utvider horisonten din. Studiet av teoretisk stoff i matematikk er nyttig for alle som ønsker å få svar på en lang rekke spørsmål knyttet til kunnskap om verden. Alt i naturen er ordnet og har en klar logikk. Det er nettopp dette som gjenspeiles i vitenskapen, der det er mulig å forstå verden.
2. Fordi det utvikler intellektet. Ved å studere referansemateriale til eksamen i matematikk, i tillegg til å løse ulike problemer, lærer en person å tenke og resonnere logisk, å formulere tanker riktig og tydelig. Han utvikler evnen til å analysere, generalisere, trekke konklusjoner.

Vi inviterer deg til personlig å vurdere alle fordelene ved vår tilnærming til systematisering og presentasjon av pedagogisk materiale.

Før kalkulatoren kom, regnet elever og lærere ut kvadratrøtter for hånd. Det er flere måter å manuelt beregne kvadratroten av et tall. Noen av dem tilbyr kun en omtrentlig løsning, andre gir et eksakt svar.

Trinn

primtallsfaktorisering

Faktor rottallet inn i faktorer som er kvadrattall. Avhengig av rotnummeret vil du få et omtrentlig eller nøyaktig svar. Kvadratetall er tall som hele kvadratroten kan tas fra. Faktorer er tall som, når de multipliseres, gir det opprinnelige tallet. For eksempel er faktorene til tallet 8 2 og 4, siden 2 x 4 = 8, tallene 25, 36, 49 er kvadrattall, siden √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadratiske faktorer er faktorer , som er kvadrattall. Prøv først å faktorisere rottallet til kvadratiske faktorer.

• Regn for eksempel ut kvadratroten av 400 (manuelt). Prøv først å faktorisere 400 i kvadratfaktorer. 400 er et multiplum av 100, det vil si delelig med 25 - dette er et kvadrattall. Å dele 400 på 25 gir deg 16. Tallet 16 er også et kvadrattall. Dermed kan 400 faktoriseres i kvadratfaktorer på 25 og 16, det vil si 25 x 16 = 400.
• Dette kan skrives som følger: √400 = √(25 x 16).

1. Kvadratroten av produktet av noen ledd er lik produktet av kvadratrøttene til hvert ledd, det vil si √(a x b) = √a x √b. Bruk denne regelen og ta kvadratroten av hver kvadratfaktor og gang resultatene for å finne svaret.

   • I vårt eksempel tar du kvadratroten av 25 og 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Hvis det radikale tallet ikke tar med to kvadratfaktorer (og det gjør det i de fleste tilfeller), vil du ikke kunne finne det nøyaktige svaret som et heltall. Men du kan forenkle problemet ved å dekomponere rottallet i en kvadratfaktor og en ordinær faktor (et tall som hele kvadratroten ikke kan tas fra). Da tar du kvadratroten av kvadratfaktoren og du tar roten av den ordinære faktoren.

   • Regn for eksempel ut kvadratroten av tallet 147. Tallet 147 kan ikke faktoriseres i to kvadratfaktorer, men det kan innregnes i følgende faktorer: 49 og 3. Løs oppgaven på følgende måte:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Om nødvendig, evaluer verdien av roten. Nå kan du evaluere verdien av roten (finn en omtrentlig verdi) ved å sammenligne den med verdiene til røttene til kvadrattall som er nærmest (på begge sider av talllinjen) til rottallet. Du vil få verdien av roten som en desimalbrøk, som må multipliseres med tallet bak rottegnet.

   • La oss gå tilbake til vårt eksempel. Rottallet er 3. De nærmeste kvadrattallene til det er tallene 1 (√1 = 1) og 4 (√4 = 2). Dermed ligger verdien av √3 mellom 1 og 2. Siden verdien av √3 sannsynligvis er nærmere 2 enn 1, er vårt estimat: √3 = 1,7. Vi multipliserer denne verdien med tallet ved rottegnet: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Gjør du beregningene på en kalkulator får du 12,13, som er ganske nær svaret vårt.
     • Denne metoden fungerer også med store tall. Tenk for eksempel på √35. Rottallet er 35. De nærmeste kvadrattallene til det er tallene 25 (√25 = 5) og 36 (√36 = 6). Dermed ligger verdien av √35 mellom 5 og 6. Siden verdien av √35 er mye nærmere 6 enn den er 5 (fordi 35 bare er 1 mindre enn 36), kan vi slå fast at √35 er litt mindre enn 6. Å sjekke med en kalkulator gir oss svaret 5,92 – vi hadde rett.

4. En annen måte er å dekomponere rottallet i primfaktorer. Primfaktorer er tall som bare er delbare med 1 og seg selv. Skriv primfaktorene på rad og finn par med identiske faktorer. Slike faktorer kan tas ut av rotens tegn.

   • For eksempel, beregne kvadratroten av 45. Vi dekomponerer rottallet i primfaktorer: 45 \u003d 9 x 5, og 9 \u003d 3 x 3. Dermed √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 kan tas ut av rottegnet: √45 = 3√5. Nå kan vi anslå √5.
   • Tenk på et annet eksempel: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Du har tre multiplikator 2-ere; ta et par av dem og ta dem ut av rotens tegn.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Nå kan vi vurdere √2 og √11 og finne et omtrentlig svar.

   Beregne kvadratroten manuelt

   Bruker kolonneinndeling

   1. Denne metoden innebærer en prosess som ligner på lang divisjon og gir et nøyaktig svar. Tegn først en vertikal linje som deler arket i to halvdeler, og tegn deretter en horisontal linje til høyre og litt under den øverste kanten av arket til den vertikale linjen. Del nå rottallet i tallpar, og start med brøkdelen etter desimaltegn. Så nummeret 79520789182.47897 er skrevet som "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • La oss for eksempel beregne kvadratroten av tallet 780,14. Tegn to streker (som vist på bildet) og skriv tallet øverst til venstre som "7 80, 14". Det er normalt at det første sifferet fra venstre er et uparet siffer. Svaret (roten av det gitte tallet) vil bli skrevet øverst til høyre.

   2. Gitt det første tallparet (eller ett tall) fra venstre, finn det største heltallet n hvis kvadrat er mindre enn eller lik tallparet (eller ett tall) det gjelder. Med andre ord, finn kvadrattallet som er nærmest, men mindre enn, det første tallparet (eller enkelttallet) fra venstre, og ta kvadratroten av det kvadrattallet; du får tallet n. Skriv den funnet n øverst til høyre, og skriv ned ruten n nederst til høyre.

      • I vårt tilfelle vil det første tallet til venstre være tallet 7. Deretter 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Trekk fra kvadratet av tallet n du nettopp fant fra det første tallparet (eller ett tall) fra venstre. Skriv resultatet av regnestykket under subtrahenden (kvadraten av tallet n).

      • I vårt eksempel trekker du 4 fra 7 for å få 3.

   4. Ta ned det andre tallparet og skriv det ned ved siden av verdien oppnådd i forrige trinn. Doble deretter tallet øverst til høyre og skriv resultatet nederst til høyre med "_×_=" vedlagt.

      • I vårt eksempel er det andre tallparet "80". Skriv "80" etter 3. Deretter, dobling av tallet fra øverst til høyre gir 4. Skriv "4_×_=" fra nederst til høyre.

   5. Fyll ut de tomme feltene til høyre.

      • I vårt tilfelle, hvis vi i stedet for bindestreker setter tallet 8, så 48 x 8 \u003d 384, som er mer enn 380. Derfor er 8 et for stort tall, men 7 er greit. Skriv 7 i stedet for bindestreker og få: 47 x 7 \u003d 329. Skriv 7 fra øverst til høyre - dette er det andre sifferet i ønsket kvadratrot av tallet 780,14.

   6. Trekk det resulterende tallet fra det gjeldende tallet til venstre. Skriv resultatet fra forrige trinn under det gjeldende tallet til venstre, finn forskjellen og skriv det under det subtraherte.

      • I vårt eksempel trekker du 329 fra 380, som tilsvarer 51.

   7. Gjenta trinn 4. Hvis det demolerte tallparet er brøkdelen av det opprinnelige tallet, setter du skilletegn (komma) til heltalls- og brøkdelene i ønsket kvadratrot fra øverst til høyre. Til venstre fører du ned neste tallpar. Doble tallet øverst til høyre og skriv resultatet nederst til høyre med "_×_=" vedlagt.

      • I vårt eksempel vil det neste tallparet som skal rives være brøkdelen av tallet 780.14, så plasser skilletegnet for heltalls- og brøkdelene i ønsket kvadratrot fra øverst til høyre. Riv 14 og skriv nede til venstre. Dobbel øverst til høyre (27) er 54, så skriv "54_×_=" nederst til høyre.

   8. Gjenta trinn 5 og 6. Finn det største tallet i stedet for bindestreker til høyre (i stedet for bindestreker må du erstatte det samme tallet) slik at multiplikasjonsresultatet er mindre enn eller lik gjeldende tall til venstre.

      • I vårt eksempel er 549 x 9 = 4941, som er mindre enn det gjeldende tallet til venstre (5114). Skriv 9 øverst til høyre og trekk resultatet av multiplikasjonen fra det gjeldende tallet til venstre: 5114 - 4941 = 173.

   9. Hvis du trenger å finne flere desimaler for kvadratroten, skriv et par nuller ved siden av gjeldende tall til venstre og gjenta trinn 4, 5 og 6. Gjenta trinn til du får nøyaktigheten av svaret du trenger (antall på desimaler).

   Forstå prosessen

   For å mestre denne metoden, se for deg tallet hvis kvadratrot du trenger å finne som arealet av kvadratet S. I dette tilfellet vil du se etter lengden på siden L til et slikt kvadrat. Regn ut verdien av L der L² = S.

   Skriv inn en bokstav for hvert siffer i svaret ditt. Angi med A det første sifferet i verdien av L (ønsket kvadratrot). B vil være det andre sifferet, C det tredje og så videre.

   Angi en bokstav for hvert par med innledende sifre. Angi med S a det første sifferparet i verdien S, med S b det andre sifferparet, og så videre.

   Forklar sammenhengen mellom denne metoden og langdeling. Som i divisjonsoperasjonen, der hver gang vi bare er interessert i ett neste siffer i det delbare tallet, når vi beregner kvadratroten, jobber vi med et par siffer i rekkefølge (for å få det neste sifferet i kvadratrotverdien) .

   1. Tenk på det første sifferparet Sa i tallet S (Sa = 7 i vårt eksempel) og finn kvadratroten. I dette tilfellet vil det første sifferet A i den søkte verdien av kvadratroten være et slikt siffer, hvis kvadrat er mindre enn eller lik S a (det vil si at vi ser etter en slik A som tilfredsstiller ulikheten A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • La oss si at vi må dele 88962 med 7; her vil det første trinnet være likt: vi tar for oss det første sifferet i det delbare tallet 88962 (8) og velger det største tallet som, multiplisert med 7, gir en verdi mindre enn eller lik 8. Det vil si at vi ser etter et tall d som ulikheten er sann for: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Tenk deg mentalt kvadratet hvis areal du trenger å beregne. Du leter etter L, det vil si lengden på siden av en firkant hvis areal er S. A, B, C er tall i tallet L. Du kan skrive det annerledes: 10A + B \u003d L (for en to -sifret tall) eller 100A + 10B + C \u003d L (for tresifret tall) og så videre.

      • La (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Husk at 10A+B er et tall der B står for enere og A står for tiere. For eksempel, hvis A=1 og B=2, er 10A+B lik tallet 12. (10A+B)² er arealet av hele torget, 100A² er arealet av den store indre firkanten, B² er arealet av den lille indre firkanten, 10A×B er arealet av hvert av de to rektanglene. Hvis du legger til områdene til figurene som er beskrevet, finner du arealet til den opprinnelige firkanten.

Beregningen (eller ekstraksjonen) av kvadratroten kan gjøres på flere måter, men alle er ikke veldig enkle. Det er selvfølgelig lettere å ty til hjelp av en kalkulator. Men hvis dette ikke er mulig (eller du vil forstå essensen av kvadratroten), kan jeg råde deg til å gå på følgende måte, algoritmen er som følger:

Hvis du ikke har styrken, lysten eller tålmodigheten til slike lange beregninger, kan du ty til grovt utvalg, pluss er at det er utrolig raskt og, med nødvendig oppfinnsomhet, nøyaktig. Eksempel:

Da jeg gikk på skolen (på begynnelsen av 60-tallet), ble vi lært opp til å ta kvadratroten av et hvilket som helst tall. Teknikken er enkel, utad lik deling med en kolonne, men for å angi det her, vil det ta en halvtimes tid og 4-5 tusen tegn med tekst. Men hvorfor trenger du det? Har du telefon eller annen dings, finnes det en kalkulator i nm. Det er en kalkulator i hver datamaskin. Personlig foretrekker jeg å gjøre denne typen beregning i Excel.

Ofte på skolen kreves det å finne kvadratrøttene til forskjellige tall. Men hvis vi er vant til å bruke en kalkulator hele tiden for dette, vil det ikke være noen slik mulighet i eksamener, så du må lære hvordan du leter etter roten uten hjelp av en kalkulator. Og det er i prinsippet mulig å gjøre det.

Algoritmen er:

Se først på det siste sifferet i nummeret ditt:

For eksempel,

Nå må du bestemme omtrentlig verdien for roten fra gruppen lengst til venstre

I tilfellet når tallet har mer enn to grupper, må du finne roten slik:

Men det neste tallet skal være nøyaktig det største, du må plukke det opp slik:

Nå må vi danne et nytt tall A ved å legge den neste gruppen til resten som ble oppnådd ovenfor.

I våre eksempler:

En kolonne med najna, og når det trengs mer enn femten tegn, hviler oftest datamaskiner og telefoner med kalkulatorer. Det gjenstår å sjekke om beskrivelsen av metodikken vil ta 4-5 tusen tegn.

Berm et hvilket som helst tall, fra et komma teller vi sifferpar til høyre og venstre

For eksempel 1234567890.098765432100

Et tallpar er som et tosifret tall. Roten til et tosifret er en-til-en. Vi velger en enkeltverdi, hvis kvadrat er mindre enn det første paret med sifre. I vårt tilfelle er det 3.

Som når vi deler på en kolonne, under det første paret skriver vi ut denne firkanten og trekker fra det første paret. Resultatet er understreket. 12 - 9 = 3. Legg til et andre par med sifre til denne forskjellen (det vil være 334). Til venstre for antall berms er den doblede verdien av den delen av resultatet som allerede er funnet supplert med et siffer (vi har 2 * 6 = 6), slik at når det multipliseres med det ikke mottatte tallet, ikke overstige tallet med det andre sifferparet. Vi får at tallet funnet er fem. Igjen finner vi forskjellen (9), river det neste sifferparet, får 956, skriver igjen den doblede delen av resultatet (70), legger igjen det nødvendige sifferet og så videre til det stopper. Eller til den nødvendige nøyaktigheten av beregninger.

For det første, for å beregne kvadratroten, må du kjenne multiplikasjonstabellen godt. De enkleste eksemplene er 25 (5 x 5 = 25) og så videre. Hvis vi tar tall mer kompliserte, så kan vi bruke denne tabellen, der det er enheter horisontalt og tiere vertikalt.



Det er en god måte å finne roten til et tall uten hjelp av kalkulatorer. For å gjøre dette trenger du en linjal og et kompass. Poenget er at du finner på linjalen verdien du har under roten. Sett for eksempel et merke nær 9. Oppgaven din er å dele dette tallet inn i like mange segmenter, det vil si i to linjer på 4,5 cm hver, og i et jevnt segment. Det er lett å gjette at du til slutt får 3 segmenter på 3 centimeter.

Metoden er ikke enkel og vil ikke fungere for store tall, men den vurderes uten kalkulator.

uten hjelp av en kalkulator ble metoden for å trekke ut kvadratroten undervist i sovjettiden på skolen i 8. klasse.

For å gjøre dette må du dele et flersifret tall fra høyre til venstre i ansikter med 2 sifre :

Det første sifferet i roten er hele roten på venstre side, i dette tilfellet 5.

Trekk fra 5 i annen fra 31, 31-25=6 og legg til neste side til de seks, vi har 678.

Det neste sifferet x er valgt for å doble de fem slik at

10x*x var maksimum, men mindre enn 678.

x=6 fordi 106*6=636,

nå beregner vi 678 - 636 = 42 og legger til neste side 92, vi har 4292.

Igjen ser vi etter maksimum x, slik at 112x*x lt; 4292.

Svar: roten er 563

Så du kan fortsette så lenge du vil.

I noen tilfeller kan du prøve å utvide rottallet til to eller flere kvadratfaktorer.

Det er også nyttig å huske tabellen (eller i det minste en del av den) - kvadratene av naturlige tall fra 10 til 99.



Jeg foreslår en variant av å trekke ut kvadratroten inn i en kolonne som jeg fant opp. Det skiller seg fra det velkjente, bortsett fra utvalget av tall. Men som jeg fant ut senere, eksisterte denne metoden allerede mange år før min fødsel. Den store Isaac Newton beskrev det i sin bok General Arithmetic eller en bok om aritmetisk syntese og analyse. Så her presenterer jeg min visjon og begrunnelse for algoritmen til Newton-metoden. Du trenger ikke å huske algoritmen. Du kan ganske enkelt bruke diagrammet i figuren som et visuelt hjelpemiddel om nødvendig.







Ved hjelp av tabeller kan du ikke beregne, men finne kvadratrøttene kun fra tallene som er i tabellene. Den enkleste måten å beregne røttene på er ikke bare kvadrat, men også andre grader, ved hjelp av metoden for suksessive tilnærminger. For eksempel beregner vi kvadratroten av 10739, erstatter de tre siste sifrene med nuller og trekker ut roten av 10000, vi får 100 med en ulempe, så vi tar tallet 102 og kvadrerer det, vi får 10404, som også er mindre enn den spesifiserte, tar vi 103*103=10609 igjen med en ulempe, vi tar 103,5 * 103,5 \u003d 10712,25, vi tar enda mer 103,6 * 103,6 \u003d 10732, vi tar 103 i 0,6 som allerede er 103, 7 * 3 i 0,6. overskudd. Du kan ta kvadratroten av 10739 til å være omtrent lik 103,6. Mer presist 10739=103.629... . . På samme måte beregner vi terningroten, først fra 10000 får vi omtrent 25 * 25 * 25 = 15625, som er i overkant, vi tar 22 * ​​22 * ​​22 = 10.648, vi tar litt mer enn 22.06 * 22.06 * 22,06 = 10735, som er veldig nær den gitte.

rot n potens av et naturlig tall en nummeret ringes opp n hvis makt er lik en. Roten er betegnet som følger: . Symbolet √ kalles rottegn eller tegn på det radikale, Antall en - rotnummer, n - roteksponent.

Handlingen som roten til en gitt grad blir funnet med kalles rotutvinning.

Siden, i henhold til definisjonen av begrepet roten n grad

At rotutvinning- handlingen, det motsatte av eksponentiering, ved hjelp av hvilken, i henhold til den gitte graden og i henhold til den gitte eksponenten, grunnlaget for graden blir funnet.

Kvadratrot

Kvadratroten av et tall en er tallet hvis kvadrat er en.

Operasjonen som kvadratroten beregnes med kalles å ta kvadratroten.

Trekker ut kvadratroten- den motsatte handlingen av kvadrering (eller heve et tall til andre potens). Når du kvadrerer et tall, må du finne kvadratet. Når du trekker ut kvadratroten, er kvadratet av tallet kjent, det kreves å finne selve tallet fra det.

Derfor, for å kontrollere riktigheten av handlingen som er tatt, kan du heve den funnet roten til andre grad, og hvis graden er lik rotnummeret, ble roten funnet riktig.

Vurder å trekke ut kvadratroten og bekreftelsen av den med et eksempel. Vi beregner eller (roteksponenten med verdien 2 er vanligvis ikke skrevet, siden 2 er den minste eksponenten, og det bør huskes at hvis det ikke er noen eksponent over rottegnet, er eksponenten 2 underforstått), for dette trenger vi for å finne tallet, når den heves til sekundet vil graden være 49. Dette tallet er selvsagt 7, siden

7 7 = 7 2 = 49.

Beregning av kvadratroten

Hvis det gitte tallet er 100 eller mindre, kan kvadratroten av det beregnes ved hjelp av multiplikasjonstabellen. For eksempel er kvadratroten av 25 5 fordi 5 x 5 = 25.

Vurder nå en måte å finne kvadratroten av et tall uten å bruke en kalkulator. La oss for eksempel ta tallet 4489 og begynne å regne trinn for trinn.

1. La oss bestemme hvilke sifre den ønskede roten skal bestå av. Siden 10 2 \u003d 10 10 \u003d 100, og 100 2 \u003d 100 100 \u003d 10000, blir det klart at ønsket rot må være større enn 10 og mindre enn 100, dvs. består av tiere og enheter.
2. Finn antall tiere av roten. Å multiplisere tiere gir hundrevis, vårt tall er 44, så roten må inneholde så mange tiere at kvadratet på tiere gir omtrent 44 hundre. Derfor bør det være 6 tiere ved roten, fordi 60 2 \u003d 3600, og 70 2 \u003d 4900 (dette er for mye). Dermed fant vi ut at roten vår inneholder 6 tiere og flere enere, siden den er i området fra 60 til 70.
3. Multiplikasjonstabellen vil hjelpe med å bestemme antall enheter ved roten. Ser vi på tallet 4489, ser vi at det siste sifferet i det er 9. Nå ser vi på multiplikasjonstabellen og ser at 9 enheter kun kan oppnås ved å kvadrere tallene 3 og 7. Så roten av tallet vil være 63 eller 67.
4. Vi sjekker tallene vi fikk 63 og 67 ved å kvadrere dem: 63 2 \u003d 3969, 67 2 \u003d 4489.

På sirkelen viste hun hvordan kvadratrøtter kan trekkes ut i en kolonne. Du kan beregne roten med vilkårlig presisjon, finne så mange sifre du vil i desimalnotasjonen, selv om den viser seg å være irrasjonell. Algoritmen ble husket, men spørsmål gjensto. Det var ikke klart hvor metoden kom fra og hvorfor den gir riktig resultat. Dette sto ikke i bøkene, eller kanskje jeg bare så i feil bøker. Som et resultat, som mye av det jeg vet og kan i dag, tok jeg det ut selv. Jeg deler min kunnskap her. Forresten, jeg vet fortsatt ikke hvor begrunnelsen for algoritmen er gitt)))

Så først, med et eksempel, forteller jeg deg "hvordan systemet fungerer", og så forklarer jeg hvorfor det faktisk fungerer.

La oss ta et tall (tallet er tatt "fra taket", det kom bare til hjernen).

1. Vi deler tallene inn i par: de som er til venstre for desimaltegnet, vi grupperer to fra høyre til venstre, og de til høyre - to fra venstre til høyre. Vi får .

2. Vi trekker ut kvadratroten fra den første sifregruppen til venstre - i vårt tilfelle er det det (det er klart at den nøyaktige roten kanskje ikke kan trekkes ut, vi tar tallet hvis kvadrat er så nært som mulig til tallet vårt dannet av første gruppe med sifre, men overskrider den ikke). I vårt tilfelle vil dette være et tall. Vi skriver som svar - dette er det høyeste sifferet i roten.

3. Vi hever tallet som allerede er i svaret - dette er - i annen og trekker fra den første tallgruppen til venstre - fra tallet. I vårt tilfelle gjenstår det

4. Vi tilskriver følgende gruppe med to tall til høyre: . Tallet allerede i svaret multipliseres med , vi får .

5. Se nå nøye. Vi må legge til ett siffer til tallet til høyre, og gange tallet med , det vil si med det samme tildelte sifferet. Resultatet skal være så nært som mulig , men igjen ikke mer enn dette tallet. I vårt tilfelle vil dette være et tall, vi skriver det som svar ved siden av, til høyre. Dette er det neste sifferet i desimalnotasjonen for vår kvadratrot.

6. Trekker vi produktet fra , får vi .

7. Deretter gjentar vi de kjente operasjonene: vi tildeler den neste sifregruppen til høyre, multipliserer med, til det resulterende tallet > tilordner ett siffer til høyre, slik at når vi multipliserer med det, får vi et tall som er mindre, men nærmest det - dette er tallet - neste siffer i desimalnotasjon av roten.

Beregningene vil bli skrevet som følger:

Og nå den lovede forklaringen. Algoritmen er basert på formelen

Kommentarer: 50

1. 2 Anton:

   For rotete og forvirrende. Bryt alt ned og nummerer dem. Pluss: forklar hvor i hver handling vi erstatter de nødvendige verdiene. Jeg har aldri regnet ut roten i en kolonne før - jeg fant det ut med vanskeligheter.

2. 5 Julia:

3. 6 :

   Julia, 23 er for øyeblikket skrevet til høyre, dette er de to første (venstre) allerede mottatte sifrene i roten som er i svaret. Vi multipliserer med 2 i henhold til algoritmen. Vi gjentar trinnene beskrevet i avsnitt 4.

4. 7zzz:

   feil i "6. Fra 167 trekker vi produktet 43 * 3 = 123 (129 nada), vi får 38."
   det er ikke klart hvordan etter kommaet ble det 08 ...

5. 9 Fedotov Alexander:

   Og selv i pre-kalkulatoren æra, ble vi lært på skolen ikke bare torget, men også kuberoten i en kolonne for å trekke ut, men dette er mer kjedelig og møysommelig arbeid. Det var lettere å bruke Bradis-tabellene eller lysbilderegelen, som vi allerede studerte på videregående.

6. 10 :

   Alexander, du har rett, du kan trekke ut i en kolonne og røtter av store grader. Jeg skal bare skrive om hvordan man finner kuberoten.

7. 12 Sergey Valentinovich:

   Kjære Elizabeth Alexandrovna! På slutten av 70-tallet utviklet jeg et opplegg for automatisk (dvs. ikke ved utvalg) beregning av kvadrater. root på Felix-tilleggsmaskinen. Hvis du er interessert, kan jeg sende en beskrivelse.

8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

   (((trekke ut kvadratroten inn i en kolonne)))
   Algoritmen forenkles hvis du bruker 2. tallsystemet, som studeres i informatikk, men det er også nyttig i matematikk. A.N. Kolmogorov siterte denne algoritmen i populære forelesninger for skolebarn. Artikkelen hans kan bli funnet i "Chebyshev Collection" (Mathematical Journal, se etter en lenke til den på Internett)
   Si for anledningen:
   G. Leibniz skyndte seg på en gang ideen om å gå over fra det 10. tallsystemet til binært på grunn av dets enkelhet og tilgjengelighet for nybegynnere (ungdomsskolebarn). Men å bryte de etablerte tradisjonene er som å bryte festningsportene med pannen: det er mulig, men det er ubrukelig. Så viser det seg, som ifølge den skjeggete filosofen som ble mest sitert i gamle dager: alle døde generasjoners tradisjoner undertrykker de levendes bevissthet.

   Ser deg neste gang.

9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

   )) Sergey Valentinovich, ja, jeg er interessert ... ((

   Jeg vedder på at dette er en Felix-variasjon av den babylonske metoden for å trekke ut den firkantede hesten ved suksessive tilnærminger. Denne algoritmen ble overstyrt av Newtons metode (tangensmetode)

   Jeg lurer på om jeg tok feil i prognosen?

10. 18 :

    2Vlad aus Engelsstadt

    Ja, algoritmen i binær burde være enklere, det er ganske åpenbart.

    Om Newtons metode. Kanskje det er det, men det er fortsatt interessant

11. 20 Cyril:

    Takk så mye. Men algoritmen eksisterer fortsatt ikke, det er ikke kjent hvor den kom fra, men resultatet er riktig. TAKK SÅ MYE! Har lett etter dette lenge

12. 21 Alexander:

    Og hvordan vil utvinningen av roten fra tallet gå, der den andre gruppen fra venstre til høyre er veldig liten? for eksempel er alles favorittnummer 4 398 046 511 104. etter den første subtraksjonen er det umulig å fortsette alt i henhold til algoritmen. Kan du forklare.

13. 22 Alexey:

    Ja, jeg vet på denne måten. Jeg husker at jeg leste den i boken "Algebra" av en eller annen gammel utgave. Så, analogt, utledet han selv hvordan man kunne trekke ut kuberoten i samme kolonne. Men det er allerede mer komplisert der: hvert siffer bestemmes ikke lenger i ett (som for et kvadrat), men i to subtraksjoner, og til og med der hver gang du trenger å multiplisere lange tall.

14. 23 Artem:

    Det er skrivefeil i eksemplet med å ta kvadratroten av 56789.321. Gruppen med tall 32 er tilordnet to ganger til tallene 145 og 243, i tallet 2388025 må den andre 8 erstattes med 3. Da skal siste subtraksjon skrives som følger: 2431000 - 2383025 = 47975.
    I tillegg, når vi deler resten med den doble verdien av svaret (unntatt komma), får vi et ekstra antall signifikante sifre (47975/(2*238305) = 0,100658819...), som skal legges til svaret (√56789.321 = 238,305… = 238,305100659).

15. 24 Sergey:

    Tilsynelatende kom algoritmen fra Isaac Newtons bok "General aritmetic or a book about aritmetic synthesis and analysis". Her er et utdrag fra den:

    OM RØTTER

    For å trekke ut kvadratroten fra et tall, bør du først og fremst sette en prikk over tallene til en, med utgangspunkt i enheter. Deretter er det nødvendig å skrive i kvotienten eller ved roten tallet hvis kvadrat er lik eller nærmest i defekt til tallene eller figuren foran det første punktet. Etter å ha subtrahert denne kvadraten, vil de gjenværende sifrene i roten bli funnet suksessivt ved å dividere resten med to ganger verdien av den allerede ekstraherte delen av roten og subtrahere hver gang fra resten av kvadratet det siste sifferet som ble funnet og dets tidoblede produkt med den navngitte divisoren.

16. 25 Sergey:

    Korriger tittelen på boken "Generell aritmetikk eller en bok om aritmetisk syntese og analyse"

17. 26 Alexander:

    Takk for interessant innhold. Men denne metoden virker for meg noe mer komplisert enn den er nødvendig, for eksempel for en skolegutt. Jeg bruker en enklere metode basert på utvidelse av en kvadratisk funksjon ved å bruke de to første derivertene. Formelen er:
    sqrt(x)=A1+A2-A3 hvor
    A1 er et heltall hvis kvadrat er nærmest x;
    A2 er en brøk, i telleren x-A1, i nevneren 2*A1.
    For de fleste tallene som påtreffes i skolekurset er dette nok til å få et resultat nøyaktig til hundredelen.
    Hvis du trenger et mer nøyaktig resultat, ta
    A3 er en brøk, i telleren A2 i annen, i nevneren 2 * A1 + 1.
    Selvfølgelig trenger du en tabell med kvadrater av heltall for å bruke, men dette er ikke et problem på skolen. Det er ganske enkelt å huske denne formelen.
    Det forvirrer meg imidlertid at jeg fikk A3 empirisk som et resultat av eksperimenter med et regneark og ikke helt forstår hvorfor dette begrepet har en slik form. Kanskje du kan gi råd?

18. 27 Alexander:

    Ja, jeg har vurdert disse betraktningene også, men djevelen sitter i detaljene. Du skriver:
    "fordi a2 og b allerede er ganske forskjellige." Spørsmålet er nøyaktig hvor lite.
    Denne formelen fungerer bra på tallene til de andre ti og mye verre (ikke opptil hundredeler, bare opptil tideler) på tallene til de ti første. Hvorfor dette skjer er allerede vanskelig å forstå uten å involvere derivater.

19. 28 Alexander:

    Jeg vil avklare hvor jeg ser fordelen med formelen jeg foreslo. Det krever ikke den ikke helt naturlige oppdelingen av tall i sifferpar, som erfaringsmessig ofte utføres med feil. Betydningen er åpenbar, men for en person som er kjent med analyse, er den triviell. Fungerer bra på tall fra 100 til 1000, det vanligste i skolen.

20. 29 Alexander:

    Forresten, jeg gravde litt og fant det eksakte uttrykket for A3 i formelen min:
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 vasil stryzhak:

    I vår tid, den utbredte bruken av datateknologi, er spørsmålet om å trekke ut en firkantet hest fra et tall fra et praktisk synspunkt ikke verdt det. Men for elskere av matematikk er selvfølgelig forskjellige alternativer for å løse dette problemet av interesse. I skolens læreplan bør metoden for denne beregningen uten å tiltrekke seg ekstra midler skje på linje med multiplikasjon og divisjon i en kolonne. Beregningsalgoritmen skal ikke bare huskes, men også forståelig. Den klassiske metoden gitt i dette materialet for diskusjon med avsløring av essensen samsvarer fullt ut med kriteriene ovenfor.
    En betydelig ulempe med metoden foreslått av Alexander er bruken av en tabell med kvadrater av heltall. Med hvilket flertall av tallene man møter i skolekurset det er begrenset, er forfatteren taus. Når det gjelder formelen, imponerer den meg i det hele tatt med tanke på den relativt høye nøyaktigheten til beregningen.

22. 31 Alexander:

    for 30 vasil stryzhak
    Jeg savnet ingenting. Tabellen med ruter antas å være opp til 1000. I min tid på skolen lærte de den rett og slett utenat på skolen og den sto i alle lærebøker i matematikk. Jeg kalte dette intervallet eksplisitt.
    Når det gjelder datateknologi, brukes den ikke hovedsakelig i matematikktimer, med mindre det er et spesielt tema for bruk av kalkulator. Kalkulatorer er nå innebygd i enheter som er forbudt å bruke i eksamen.

23. 32 vasil stryzhak:

    Alexander, takk for oppklaringen! Jeg tenkte at for den foreslåtte metoden er det teoretisk nødvendig å huske eller bruke tabellen med kvadrater for alle tosifrede tall. Så for radikale tall som ikke er inkludert i intervallet fra 100 til 10000, kan du bruke metoden for å øke eller redusere dem med det nødvendige antallet bestillinger ved å flytte kommaet.

24. 33 vasil stryzhak:

25. 39 ALEXANDER:

    MITT FØRSTE PROGRAM PÅ SPRÅKET "YAMB" PÅ DEN SOVJETISKE MASKINEN "ISKRA 555" BLEV SKREVET FOR Å UTTREKKE KVADRATROTEN FRA ET NUMMER I HENHOLD TIL UTTREKKET TIL EN KOLONNE-ALGORITME! og nå har jeg glemt hvordan jeg trekker det ut manuelt!