Røttene til en kvadratisk ligning finner du ved å bruke formelen. Løse kvadratiske ligninger: rotformel, eksempler

Første nivå

Kvadratiske ligninger. Omfattende guide (2019)

I begrepet "kvadratisk ligning" er nøkkelordet "kvadratisk." Dette betyr at ligningen nødvendigvis må inneholde en variabel (den samme x) i annen, og det skal ikke være x-er til den tredje (eller større) potensen.

Løsningen av mange ligninger kommer ned til å løse andregradsligninger.

La oss lære å bestemme at dette er en andregradsligning og ikke en annen ligning.

Eksempel 1.

La oss kvitte oss med nevneren og gange hvert ledd i ligningen med

La oss flytte alt til venstre side og ordne begrepene i synkende rekkefølge av potenser til X

Nå kan vi med sikkerhet si at denne ligningen er kvadratisk!

Eksempel 2.

Multipliser venstre og høyre side med:

Denne ligningen, selv om den opprinnelig var i den, er ikke kvadratisk!

Eksempel 3.

La oss gange alt med:

Skummelt? Den fjerde og andre graden... Men hvis vi gjør en erstatning, vil vi se at vi har en enkel andregradsligning:

Eksempel 4.

Det ser ut til å være der, men la oss se nærmere. La oss flytte alt til venstre side:

Se, det er redusert - og nå er det en enkel lineær ligning!

Prøv nå å bestemme selv hvilke av følgende ligninger som er kvadratiske og hvilke som ikke er det:

Eksempler:

Svar:

1. torget;
2. torget;
3. ikke firkantet;
4. ikke firkantet;
5. ikke firkantet;
6. torget;
7. ikke firkantet;
8. torget.

Matematikere deler konvensjonelt alle kvadratiske ligninger inn i følgende typer:

• Fullfør andregradsligninger- ligninger der koeffisientene og, samt frileddet c, ikke er lik null (som i eksempelet). I tillegg er det blant komplette andregradsligninger gitt- dette er ligninger der koeffisienten (ligningen fra eksempel en ikke bare er fullstendig, men også redusert!)

• Ufullstendige andregradsligninger- ligninger der koeffisienten og eller frileddet c er lik null:

  De er ufullstendige fordi de mangler et element. Men ligningen må alltid inneholde x i annen!!! Ellers vil det ikke lenger være en andregradsligning, men en annen ligning.

Hvorfor kom de med en slik inndeling? Det ser ut til at det er et X i kvadrat, og det er greit. Denne inndelingen bestemmes av løsningsmetodene. La oss se på hver av dem mer detaljert.

Løse ufullstendige andregradsligninger

La oss først fokusere på å løse ufullstendige kvadratiske ligninger - de er mye enklere!

Det finnes typer ufullstendige kvadratiske ligninger:

1. , i denne ligningen er koeffisienten lik.
2. , i denne ligningen er frileddet lik.
3. , i denne ligningen er koeffisienten og frileddet like.

1. jeg. Fordi vi vet hvordan vi skal trekke ut Kvadratrot, så la oss uttrykke fra denne ligningen

Uttrykket kan enten være negativt eller positivt. Et tall i annen kan ikke være negativt, for når du multipliserer to negative eller to positive tall, vil resultatet alltid være positivt tall, så: hvis, så har ligningen ingen løsninger.

Og hvis, så får vi to røtter. Det er ikke nødvendig å huske disse formlene. Det viktigste er at du må vite og alltid huske at det ikke kan være mindre.

La oss prøve å løse noen eksempler.

Eksempel 5:

Løs ligningen

Nå gjenstår det bare å trekke ut roten fra venstre og høyre side. Tross alt, husker du hvordan du trekker ut røtter?

Svar:

Glem aldri røtter med negativt fortegn!!!

Eksempel 6:

Løs ligningen

Svar:

Eksempel 7:

Løs ligningen

Åh! Kvadraten til et tall kan ikke være negativ, noe som betyr at ligningen

ingen røtter!

For slike ligninger som ikke har røtter, kom matematikere opp med et spesielt ikon - (tomt sett). Og svaret kan skrives slik:

Svar:

Dermed har denne kvadratiske ligningen to røtter. Det er ingen begrensninger her, siden vi ikke hentet ut roten.
Eksempel 8:

Løs ligningen

La oss ta den felles faktoren ut av parentes:

Dermed,

Denne ligningen har to røtter.

Svar:

Den enkleste typen ufullstendige kvadratiske ligninger (selv om de alle er enkle, ikke sant?). Åpenbart har denne ligningen alltid bare én rot:

Vi vil avstå fra eksempler her.

Løse komplette andregradsligninger

Vi minner om at en komplett kvadratisk ligning er en ligning av formen ligning der

Å løse komplette andregradsligninger er litt vanskeligere (bare litt) enn disse.

Huske, Enhver kvadratisk ligning kan løses ved hjelp av en diskriminant! Til og med ufullstendig.

De andre metodene vil hjelpe deg å gjøre det raskere, men hvis du har problemer med kvadratiske ligninger, må du først mestre løsningen ved å bruke diskriminanten.

1. Løse andregradsligninger ved hjelp av en diskriminant.

Å løse kvadratiske ligninger ved hjelp av denne metoden er veldig enkelt; det viktigste er å huske rekkefølgen av handlinger og et par formler.

Hvis, så har ligningen en rot. Du må være spesielt oppmerksom på trinnet. Diskriminant () forteller oss antall røtter til ligningen.

• Hvis, vil formelen i trinnet reduseres til. Dermed vil ligningen kun ha en rot.
• Hvis, så vil vi ikke være i stand til å trekke ut roten til diskriminanten på trinnet. Dette indikerer at ligningen ikke har noen røtter.

La oss gå tilbake til ligningene våre og se på noen eksempler.

Eksempel 9:

Løs ligningen

Trinn 1 vi hopper over.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Dette betyr at ligningen har to røtter.

Trinn 3.

Svar:

Eksempel 10:

Løs ligningen

Ligningen er presentert i standardform, så Trinn 1 vi hopper over.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Dette betyr at ligningen har én rot.

Svar:

Eksempel 11:

Løs ligningen

Ligningen er presentert i standardform, så Trinn 1 vi hopper over.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Dette betyr at vi ikke vil være i stand til å trekke ut roten til diskriminanten. Det er ingen røtter til ligningen.

Nå vet vi hvordan vi skal skrive ned slike svar riktig.

Svar: ingen røtter

2. Løse andregradsligninger ved hjelp av Vietas teorem.

Hvis du husker, er det en type ligning som kalles redusert (når koeffisienten a er lik):

Slike ligninger er veldig enkle å løse ved å bruke Vietas teorem:

Summen av røtter gitt andregradsligningen er lik, og produktet av røttene er lik.

Eksempel 12:

Løs ligningen

Denne ligningen kan løses ved å bruke Vietas teorem fordi .

Summen av røttene til ligningen er lik, dvs. vi får den første ligningen:

Og produktet er lik:

La oss komponere og løse systemet:

• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er likt.

og er løsningen på systemet:

Svar: ; .

Eksempel 13:

Løs ligningen

Svar:

Eksempel 14:

Løs ligningen

Ligningen er gitt, som betyr:

Svar:

KVADRATISKE LIGNINGER. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ

Hva er en andregradsligning?

Med andre ord, en andregradsligning er en ligning av formen, hvor - det ukjente, - noen tall, og.

Tallet kalles det høyeste eller første koeffisient kvadratisk ligning, - andre koeffisient, A - gratis medlem.

Hvorfor? For hvis ligningen umiddelbart blir lineær, fordi vil forsvinne.

I dette tilfellet kan og være lik null. I denne stolen kalles ligningen ufullstendig. Hvis alle vilkårene er på plass, det vil si at ligningen er komplett.

Løsninger på ulike typer kvadratiske ligninger

Metoder for å løse ufullstendige andregradsligninger:

La oss først se på metoder for å løse ufullstendige kvadratiske ligninger - de er enklere.

Vi kan skille mellom følgende typer ligninger:

I., i denne ligningen er koeffisienten og frileddet like.

II. , i denne ligningen er koeffisienten lik.

III. , i denne ligningen er frileddet lik.

La oss nå se på løsningen for hver av disse undertypene.

Åpenbart har denne ligningen alltid bare én rot:

Et kvadratert tall kan ikke være negativt, for når du multipliserer to negative eller to positive tall, vil resultatet alltid være et positivt tall. Derfor:

hvis, så har ligningen ingen løsninger;

hvis vi har to røtter

Det er ikke nødvendig å huske disse formlene. Det viktigste å huske er at det ikke kan være mindre.

Eksempler:

Løsninger:

Svar:

Glem aldri røtter med negativt fortegn!

Kvadraten til et tall kan ikke være negativ, noe som betyr at ligningen

ingen røtter.

For å kort skrive ned at et problem ikke har noen løsninger, bruker vi det tomme sett-ikonet.

Svar:

Så denne ligningen har to røtter: og.

Svar:

La oss ta den felles faktoren ut av parentes:

Produktet er lik null hvis minst en av faktorene er lik null. Dette betyr at ligningen har en løsning når:

Så denne andregradsligningen har to røtter: og.

Eksempel:

Løs ligningen.

Løsning:

La oss faktorisere venstre side av ligningen og finne røttene:

Svar:

Metoder for å løse komplette kvadratiske ligninger:

1. Diskriminerende

Å løse kvadratiske ligninger på denne måten er enkelt, det viktigste er å huske handlingssekvensen og et par formler. Husk at enhver annengradsligning kan løses ved hjelp av en diskriminant! Til og med ufullstendig.

La du merke til roten fra diskriminanten i formelen for røtter? Men diskriminanten kan være negativ. Hva å gjøre? Vi må være spesielt oppmerksomme på trinn 2. Diskriminanten forteller oss antall røtter til ligningen.

• Hvis, så har ligningen røtter:
• Hvis, så har ligningen de samme røttene, og faktisk en rot:

  Slike røtter kalles dobbeltrøtter.

• Hvis, så trekkes ikke roten til diskriminanten ut. Dette indikerer at ligningen ikke har noen røtter.

Hvorfor er forskjellige antall røtter mulig? La oss gå til den geometriske betydningen av den kvadratiske ligningen. Grafen til funksjonen er en parabel:

I et spesielt tilfelle, som er en andregradsligning, . Dette betyr at røttene til en kvadratisk ligning er skjæringspunktene med abscisseaksen (aksen). En parabel kan ikke krysse aksen i det hele tatt, eller kan krysse den ved ett (når parabelens toppunkt ligger på aksen) eller to punkter.

I tillegg er koeffisienten ansvarlig for retningen til grenene til parablen. Hvis, så er grenene til parablen rettet oppover, og hvis, så nedover.

Eksempler:

Løsninger:

Svar:

Svar: .

Svar:

Dette betyr at det ikke finnes noen løsninger.

Svar: .

2. Vietas teorem

Det er veldig enkelt å bruke Vietas teorem: du trenger bare å velge et tallpar hvis produkt er lik ligningens frie ledd, og summen er lik den andre koeffisienten tatt med motsatt fortegn.

Det er viktig å huske at Vietas teorem kun kan brukes i reduserte andregradsligninger ().

La oss se på noen eksempler:

Eksempel #1:

Løs ligningen.

Løsning:

Denne ligningen kan løses ved å bruke Vietas teorem fordi . Andre koeffisienter: ; .

Summen av røttene til ligningen er:

Og produktet er lik:

La oss velge par med tall hvis produkt er likt og sjekke om summen deres er lik:

• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er likt.

og er løsningen på systemet:

Dermed og er røttene til ligningen vår.

Svar: ; .

Eksempel #2:

Løsning:

La oss velge tallpar som gir i produktet, og så sjekke om summen deres er lik:

og: de gir totalt.

og: de gir totalt. For å få det er det nok å bare endre tegnene på de antatte røttene: og tross alt produktet.

Svar:

Eksempel #3:

Løsning:

Frileddet til ligningen er negativ, og derfor er produktet av røttene et negativt tall. Dette er bare mulig hvis en av røttene er negativ og den andre er positiv. Derfor er summen av røttene lik forskjellene på modulene deres.

La oss velge par med tall som gir produktet, og hvis forskjell er lik:

og: deres forskjell er lik - passer ikke;

og: - ikke egnet;

og: - ikke egnet;

og: - egnet. Alt som gjenstår er å huske at en av røttene er negativ. Siden summen deres må være lik, må roten med den mindre modulen være negativ: . Vi sjekker:

Svar:

Eksempel #4:

Løs ligningen.

Løsning:

Ligningen er gitt, som betyr:

Frileddet er negativt, og derfor er produktet av røttene negativt. Og dette er bare mulig når en rot av ligningen er negativ og den andre er positiv.

La oss velge par med tall hvis produkt er likt, og deretter bestemme hvilke røtter som skal ha et negativt fortegn:

Åpenbart er bare røttene og egnet for den første tilstanden:

Svar:

Eksempel #5:

Løs ligningen.

Løsning:

Ligningen er gitt, som betyr:

Summen av røttene er negativ, noe som betyr at minst én av røttene er negativ. Men siden deres produkt er positivt, betyr det at begge røttene har et minustegn.

La oss velge par med tall hvis produkt er lik:

Åpenbart er røttene tallene og.

Svar:

Enig, det er veldig praktisk å komme opp med røtter muntlig, i stedet for å regne denne ekle diskriminanten. Prøv å bruke Vietas teorem så ofte som mulig.

Men Vietas teorem er nødvendig for å lette og fremskynde å finne røttene. For at du skal dra nytte av å bruke den, må du bringe handlingene til automatikk. Og for dette, løs fem flere eksempler. Men ikke juks: du kan ikke bruke en diskriminant! Bare Vietas teorem:

Løsninger på oppgaver for selvstendig arbeid:

Oppgave 1. ((x)^(2))-8x+12=0

I følge Vietas teorem:

Som vanlig starter vi utvalget med stykket:

Ikke egnet fordi mengden;

: beløpet er akkurat det du trenger.

Svar: ; .

Oppgave 2.

Og igjen vår favoritt Vieta-setning: summen må være lik, og produktet må være lik.

Men siden det må være ikke, men, vi endrer tegnene til røttene: og (totalt).

Svar: ; .

Oppgave 3.

Hmm... Hvor er det?

Du må flytte alle termene til én del:

Summen av røttene er lik produktet.

Ok, stopp! Ligningen er ikke gitt. Men Vietas teorem er kun anvendelig i de gitte ligningene. Så først må du gi en ligning. Hvis du ikke kan lede, gi opp denne ideen og løs den på en annen måte (for eksempel gjennom en diskriminant). La meg minne deg på at å gi en kvadratisk ligning betyr å gjøre den ledende koeffisienten lik:

Flott. Da er summen av røttene lik og produktet.

Her er det like enkelt som å avskalle pærer å velge: det er tross alt et primtall (beklager tautologien).

Svar: ; .

Oppgave 4.

Det gratis medlemmet er negativt. Hva er spesielt med dette? Og faktum er at røttene vil ha forskjellige tegn. Og nå, under utvalget, sjekker vi ikke summen av røttene, men forskjellen i modulene deres: denne forskjellen er lik, men et produkt.

Så røttene er lik og, men en av dem er minus. Vietas teorem forteller oss at summen av røttene er lik den andre koeffisienten med motsatt fortegn, altså. Dette betyr at den mindre roten vil ha minus: og siden.

Svar: ; .

Oppgave 5.

Hva bør du gjøre først? Det stemmer, gi ligningen:

Igjen: vi velger faktorene til tallet, og forskjellen deres skal være lik:

Røttene er lik og, men en av dem er minus. Hvilken? Summen deres skal være lik, noe som betyr at minus vil ha en større rot.

Svar: ; .

La meg oppsummere:

1. Vietas teorem brukes bare i de andregradsligningene som er gitt.
2. Ved å bruke Vietas teorem kan du finne røttene ved seleksjon, muntlig.
3. Hvis ligningen ikke er gitt eller det ikke finnes et passende par av faktorer for frileddet, er det ingen hele røtter, og du må løse det på en annen måte (for eksempel gjennom en diskriminant).

3. Metode for å velge en komplett firkant

Hvis alle ledd som inneholder det ukjente er representert i form av termer fra forkortede multiplikasjonsformler - kvadratet av summen eller differansen - så etter å ha erstattet variabler, kan ligningen presenteres i form av en ufullstendig kvadratisk ligning av typen.

For eksempel:

Eksempel 1:

Løs ligningen:.

Løsning:

Svar:

Eksempel 2:

Løs ligningen:.

Løsning:

Svar:

I generelt syn transformasjonen vil se slik ut:

Dette innebærer: .

Minner deg ikke om noe? Dette er en diskriminerende ting! Det var akkurat slik vi fikk diskriminantformelen.

KVADRATISKE LIGNINGER. KORT OM HOVEDTINGENE

Kvadratisk ligning- dette er en likning av formen, der - det ukjente, - koeffisientene til kvadratisk likning, - frileddet.

Fullfør andregradsligningen- en ligning der koeffisientene ikke er lik null.

Redusert andregradsligning- en ligning der koeffisienten, det vil si: .

Ufullstendig andregradsligning- en ligning der koeffisienten og eller frileddet c er lik null:

• hvis koeffisienten, ser ligningen slik ut: ,
• hvis det er et fritt ledd, har ligningen formen: ,
• hvis og, ser ligningen slik ut: .

1. Algoritme for å løse ufullstendige andregradsligninger

1.1. En ufullstendig andregradsligning av formen, hvor:

1) La oss uttrykke det ukjente: ,

2) Sjekk tegnet til uttrykket:

• hvis, så har ligningen ingen løsninger,
• hvis, så har ligningen to røtter.

1.2. En ufullstendig andregradsligning av formen, hvor:

1) La oss ta den felles faktoren ut av parentes: ,

2) Produktet er lik null hvis minst en av faktorene er lik null. Derfor har ligningen to røtter:

1.3. En ufullstendig andregradsligning av formen, der:

Denne ligningen har alltid bare én rot: .

2. Algoritme for å løse komplette andregradsligninger av formen hvor

2.1. Løsning ved hjelp av diskriminant

1) La oss bringe ligningen til standardform: ,

2) La oss beregne diskriminanten ved å bruke formelen: , som indikerer antall røtter til ligningen:

3) Finn røttene til ligningen:

• hvis, så har ligningen røtter, som finnes av formelen:
• hvis, så har ligningen en rot, som finnes av formelen:
• hvis, så har ligningen ingen røtter.

2.2. Løsning ved hjelp av Vietas teorem

Summen av røttene til den reduserte andregradsligningen (ligningen av formen hvor) er lik, og produktet av røttene er lik, dvs. , A.

2.3. Løsning ved å velge en komplett firkant

Noen problemer i matematikk krever evnen til å beregne verdien av kvadratroten. Slike problemer inkluderer å løse andreordens ligninger. I denne artikkelen vil vi presentere effektiv metode beregninger kvadratrøtter og bruk den når du arbeider med formler for røttene til en andregradsligning.

Hva er en kvadratrot?

I matematikk tilsvarer dette konseptet symbolet √. Historiske data sier at det først ble brukt rundt første halvdel av 1500-tallet i Tyskland (det første tyske verket om algebra av Christoph Rudolf). Forskere tror at det angitte symbolet er en transformert latinsk bokstav r (radix betyr "rot" på latin).

Roten til et hvilket som helst tall er lik verdien hvis kvadrat tilsvarer det radikale uttrykket. På matematikkspråket vil denne definisjonen se slik ut: √x = y, hvis y 2 = x.

Roten av et positivt tall (x > 0) er også et positivt tall (y > 0), men hvis du tar roten av et negativt tall (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Her er to enkle eksempler:

√9 = 3, siden 3 2 = 9; √(-9) = 3i, siden i 2 = -1.

Herons iterative formel for å finne verdiene til kvadratrøtter

Eksemplene ovenfor er veldig enkle, og det er ikke vanskelig å beregne røttene i dem. Vanskeligheter begynner å dukke opp selv når man finner rotverdier for enhver verdi som ikke kan representeres som kvadratet av et naturlig tall, for eksempel √10, √11, √12, √13, for ikke å nevne det faktum at det i praksis er nødvendig for å finne røtter for ikke-heltall: for eksempel √(12.15), √(8.5) og så videre.

I alle de ovennevnte tilfellene bør en spesiell metode for å beregne kvadratroten brukes. For tiden er flere slike metoder kjent: for eksempel utvidelse av Taylor-serien, kolonnedeling og noen andre. Av alle de kjente metodene er kanskje den enkleste og mest effektive bruken av Herons iterative formel, som også er kjent som den babylonske metoden for å bestemme kvadratrøtter (det er bevis på at de gamle babylonerne brukte den i sine praktiske beregninger).

La det være nødvendig å bestemme verdien av √x. Formelen for å finne kvadratroten er som følger:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), hvor lim n->∞ (a n) => x.

La oss dechiffrere denne matematiske notasjonen. For å beregne √x, bør du ta et visst tall a 0 (det kan være vilkårlig, men for raskt å få resultatet, bør du velge det slik at (a 0) 2 er så nært x som mulig. Deretter erstatter du det i angitt formel for å beregne kvadratroten og få et nytt tall a 1, som allerede vil være nærmere ønsket verdi. Etter dette må du erstatte en 1 i uttrykket og få en 2. Denne prosedyren bør gjentas til den nødvendige nøyaktighet oppnås.

Et eksempel på bruk av Herons iterative formel

Algoritmen beskrevet ovenfor for å få kvadratroten av et gitt tall kan høres ganske komplisert og forvirrende ut for mange, men i virkeligheten viser alt seg å være mye enklere, siden denne formelen konvergerer veldig raskt (spesielt hvis et vellykket tall a 0 er valgt) .

La oss gi et enkelt eksempel: du må regne ut √11. La oss velge en 0 = 3, siden 3 2 = 9, som er nærmere 11 enn 4 2 = 16. Ved å sette inn i formelen får vi:

a 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;

a 2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Det er ingen vits i å fortsette beregningene, siden vi fant at en 2 og en 3 begynner å avvike bare på 5. desimal. Dermed var det nok å bruke formelen bare 2 ganger for å beregne √11 med en nøyaktighet på 0,0001.

I dag er kalkulatorer og datamaskiner mye brukt til å beregne røtter, men det er nyttig å huske den merkede formelen for å kunne beregne deres nøyaktige verdi manuelt.

Andre ordens ligninger

Å forstå hva en kvadratrot er og evnen til å beregne den brukes til å løse andregradsligninger. Disse ligningene kalles likheter med en ukjent, den generelle formen er vist i figuren nedenfor.

Her representerer c, b og a noen tall, og a må ikke være lik null, og verdiene til c og b kan være helt vilkårlige, inkludert lik null.

Alle verdier av x som tilfredsstiller likheten angitt i figuren kalles røttene (dette konseptet skal ikke forveksles med kvadratroten √). Siden ligningen som vurderes er av 2. orden (x 2), kan det ikke være mer enn to røtter for den. La oss se videre i artikkelen på hvordan du finner disse røttene.

Finne røttene til en andregradsligning (formel)

Denne metoden for å løse typen likheter som vurderes kalles også den universelle metoden, eller diskriminantmetoden. Den kan brukes til alle andregradsligninger. Formelen for diskriminanten og røttene til den kvadratiske ligningen er som følger:

Den viser at røttene avhenger av verdien av hver av de tre koeffisientene i ligningen. Dessuten skiller beregningen av x 1 seg fra beregningen av x 2 bare ved tegnet foran kvadratroten. Det radikale uttrykket, som er lik b 2 - 4ac, er ikke annet enn diskriminanten av den aktuelle likheten. Diskriminanten i formelen for røttene til en kvadratisk ligning spiller en viktig rolle fordi den bestemmer antall og type løsninger. Så hvis den er lik null, vil det bare være én løsning, hvis den er positiv, så har ligningen to reelle røtter, og til slutt fører en negativ diskriminant til to komplekse røtter x 1 og x 2.

Vietas teorem eller noen egenskaper til røttene til andreordens ligninger

På slutten av 1500-tallet var en av grunnleggerne av moderne algebra, en franskmann, som studerte annenordens ligninger, i stand til å få egenskapene til røttene. Matematisk kan de skrives slik:

x 1 + x 2 = -b / a og x 1 * x 2 = c / a.

Begge likhetene kan enkelt oppnås av hvem som helst; for å gjøre dette trenger du bare å utføre de riktige matematiske operasjonene med røttene oppnådd gjennom formelen med diskriminanten.

Kombinasjonen av disse to uttrykkene kan med rette kalles den andre formelen for røttene til en kvadratisk ligning, som gjør det mulig å gjette løsningene uten å bruke en diskriminant. Her bør det bemerkes at selv om begge uttrykkene alltid er gyldige, er det praktisk å bruke dem til å løse en ligning bare hvis den kan faktoriseres.

Oppgaven med å konsolidere den ervervede kunnskapen

La oss løse et matematisk problem der vi vil demonstrere alle teknikkene som er diskutert i artikkelen. Betingelsene for problemet er som følger: du må finne to tall der produktet er -13 og summen er 4.

Denne tilstanden minner oss umiddelbart om Vietas teorem; ved å bruke formlene for summen av kvadratrøtter og deres produkt, skriver vi:

x 1 + x 2 = -b/a = 4;

x 1 * x 2 = c/a = -13.

Hvis vi antar at a = 1, så er b = -4 og c = -13. Disse koeffisientene lar oss lage en andreordens ligning:

x 2 - 4x - 13 = 0.

La oss bruke formelen med diskriminanten og få følgende røtter:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Det vil si at problemet ble redusert til å finne tallet √68. Legg merke til at 68 = 4 * 17, så, ved å bruke kvadratrotegenskapen, får vi: √68 = 2√17.

La oss nå bruke den betraktede kvadratrotformelen: a 0 = 4, deretter:

a 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;

a 2 = 1/2(4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

Det er ikke nødvendig å beregne en 3 siden verdiene som ble funnet avviker med bare 0,02. Dermed √68 = 8,246. Ved å erstatte det med formelen for x 1,2 får vi:

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 og x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Som vi kan se, er summen av tallene funnet egentlig lik 4, men hvis vi finner produktet deres, vil det være lik -12,999, som tilfredsstiller betingelsene for problemet med en nøyaktighet på 0,001.

Med dette matematikkprogrammet kan du løse andregradsligningen.

Programmet gir ikke bare svaret på problemet, men viser også løsningsprosessen på to måter:
- ved å bruke en diskriminant
- ved å bruke Vietas teorem (hvis mulig).

Dessuten vises svaret som nøyaktig, ikke omtrentlig.
For eksempel, for ligningen \(81x^2-16x-1=0\) vises svaret i følgende form:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ og ikke slik: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Dette programmet kan være nyttig for elever på videregående skole ungdomsskoler som forberedelse til tester og eksamener, når du tester kunnskap før Unified State Exam, for foreldre å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra. Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få det gjort så raskt som mulig? hjemmelekser i matematikk eller algebra? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med detaljerte løsninger.

På denne måten kan du bruke dine egen trening og/eller trene sine yngre brødre eller søstre, mens utdanningsnivået i området for problemene som løses øker.

Hvis du ikke er kjent med reglene for å legge inn et kvadratisk polynom, anbefaler vi at du gjør deg kjent med dem.

Regler for å legge inn et kvadratisk polynom

Enhver latinsk bokstav kan fungere som en variabel.
For eksempel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.

Tall kan legges inn som hele eller brøktall.
Dessuten kan brøktall angis ikke bare i form av en desimal, men også i form av en vanlig brøk.

Regler for inntasting av desimalbrøker.
I desimalbrøker kan brøkdelen skilles fra hele delen med enten punktum eller komma.
Du kan for eksempel angi desimalbrøker slik: 2,5x - 3,5x^2

Regler for inntasting av vanlige brøker.
Bare et helt tall kan fungere som teller, nevner og heltallsdel av en brøk.

Nevneren kan ikke være negativ.

Når du legger inn en numerisk brøk, skilles telleren fra nevneren med et divisjonstegn: /
Hele delen er atskilt fra brøken med og-tegnet: &
Inngang: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Når du legger inn et uttrykk du kan bruke parenteser. I dette tilfellet, når du løser en kvadratisk ligning, blir det introduserte uttrykket først forenklet.
For eksempel: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Bestemme seg for

Det ble oppdaget at noen skript som er nødvendige for å løse dette problemet, ikke ble lastet, og at programmet kanskje ikke fungerer.
Du kan ha AdBlock aktivert.
I dette tilfellet, deaktiver den og oppdater siden.

JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
For at løsningen skal vises, må du aktivere JavaScript.
Her er instruksjoner for hvordan du aktiverer JavaScript i nettleseren din.

Fordi Det er mange mennesker som er villige til å løse problemet, forespørselen din har blitt satt i kø.
Om noen sekunder vil løsningen vises nedenfor.
Vennligst vent sek...

Hvis du oppdaget en feil i løsningen, så kan du skrive om dette i tilbakemeldingsskjemaet.
Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva skriv inn i feltene.

Våre spill, puslespill, emulatorer:

Litt teori.

Kvadratisk ligning og dens røtter. Ufullstendige andregradsligninger

Hver av ligningene
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ser ut som
\(ax^2+bx+c=0, \)
hvor x er en variabel, a, b og c er tall.
I den første ligningen a = -1, b = 6 og c = 1,4, i den andre a = 8, b = -7 og c = 0, i den tredje a = 1, b = 0 og c = 4/9. Slike ligninger kalles andregradsligninger.

Definisjon.
Kvadratisk ligning kalles en ligning av formen ax 2 +bx+c=0, der x er en variabel, a, b og c er noen tall, og \(a \neq 0 \).

Tallene a, b og c er koeffisientene til andregradsligningen. Tallet a kalles den første koeffisienten, tallet b er den andre koeffisienten, og tallet c er frileddet.

I hver av likningene på formen ax 2 +bx+c=0, hvor \(a\neq 0\), er den største potensen til variabelen x en kvadrat. Derav navnet: andregradsligning.

Merk at en kvadratisk ligning også kalles en ligning av andre grad, siden venstre side er et polynom av andre grad.

En annengradsligning der koeffisienten til x 2 er lik 1 kalles gitt andregradsligning. For eksempel er de gitte kvadratiske ligningene ligningene
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Hvis i en andregradsligning ax 2 +bx+c=0 er minst én av koeffisientene b eller c lik null, kalles en slik ligning ufullstendig andregradsligning. Dermed er ligningene -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ufullstendige andregradsligninger. I den første av dem er b=0, i den andre c=0, i den tredje b=0 og c=0.

Det er tre typer ufullstendige kvadratiske ligninger:
1) ax 2 +c=0, hvor \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, hvor \(b \neq 0 \);
3) akse 2 =0.

La oss vurdere å løse ligninger for hver av disse typene.

For å løse en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 +c=0 for \(c \neq 0 \), flytter du dens friledd til høyre side og deler begge sider av ligningen med a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Høyrepil x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Siden \(c \neq 0 \), deretter \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Hvis \(-\frac(c)(a)>0\), så har ligningen to røtter.

Hvis \(-\frac(c)(a) Å løse en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 +bx=0 med \(b \neq 0 \) faktor dens venstre side og få ligningen
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (matrise)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Dette betyr at en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 +bx=0 for \(b \neq 0 \) alltid har to røtter.

En ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 =0 tilsvarer ligningen x 2 =0 og har derfor en enkelt rot 0.

Formel for røttene til en kvadratisk ligning

La oss nå vurdere hvordan vi løser kvadratiske ligninger der både koeffisientene til de ukjente og frileddet ikke er null.

La oss løse den andregradsligningen i generell form, og som et resultat får vi formelen for røttene. Denne formelen kan deretter brukes til å løse enhver kvadratisk ligning.

Løs den andregradsligningen ax 2 +bx+c=0

Ved å dele begge sider med a, får vi den ekvivalente reduserte andregradsligningen
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

La oss transformere denne ligningen ved å velge kvadratet til binomialet:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^2- \venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Høyrepil \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^2 = \venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^ 2 - \frac(c)(a) \Høyrepil \) \(\venstre(x+\frac(b)(2a)\høyre)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Høyrepil \venstre(x+\frac(b)(2a)\høyre)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Høyrepil \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Høyrepil x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Høyrepil \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Det radikale uttrykket kalles diskriminant av en andregradsligning ax 2 +bx+c=0 ("diskriminerende" på latin - diskriminator). Det er betegnet med bokstaven D, dvs.
\(D = b^2-4ac\)

Nå, ved å bruke diskriminantnotasjonen, omskriver vi formelen for røttene til den kvadratiske ligningen:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), hvor \(D= b^2-4ac \)

Det er åpenbart at:
1) Hvis D>0, så har andregradsligningen to røtter.
2) Hvis D=0, så har den andregradsligningen én rot \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Hvis D Altså, avhengig av verdien av diskriminanten, kan en andregradsligning ha to røtter (for D > 0), en rot (for D = 0) eller ha ingen røtter (for D Når du løser en andregradsligning ved å bruke denne formel, er det tilrådelig å gjøre følgende:
1) beregne diskriminanten og sammenligne den med null;
2) hvis diskriminanten er positiv eller lik null, bruk rotformelen; hvis diskriminanten er negativ, skriv ned at det ikke er noen røtter.

Vietas teorem

Den gitte andregradsligningen ax 2 -7x+10=0 har røttene 2 og 5. Summen av røttene er 7, og produktet er 10. Vi ser at summen av røttene er lik den andre koeffisienten tatt med det motsatte tegn, og produktet av røttene er lik frileddet. Enhver redusert kvadratisk ligning som har røtter har denne egenskapen.

Summen av røttene til den ovennevnte kvadratiske ligningen er lik den andre koeffisienten tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet.

De. Vietas teorem sier at røttene x 1 og x 2 av den reduserte kvadratiske ligningen x 2 +px+q=0 har egenskapen:
\(\venstre\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Dette emnet kan virke vanskelig i begynnelsen på grunn av at mange ikke er det enkle formler. Ikke bare har andregradsligningene i seg selv lange notasjoner, men røttene finnes også gjennom diskriminanten. Totalt oppnås tre nye formler. Ikke veldig lett å huske. Dette er bare mulig etter å ha løst slike ligninger ofte. Da vil alle formlene bli husket av seg selv.

Generell oversikt over en kvadratisk ligning

Her foreslår vi deres eksplisitte registrering, når den største graden skrives først, og deretter i synkende rekkefølge. Det er ofte situasjoner hvor vilkårene er inkonsekvente. Da er det bedre å omskrive ligningen i synkende rekkefølge etter graden av variabelen.

La oss introdusere litt notasjon. De er presentert i tabellen nedenfor.

Hvis vi godtar disse notasjonene, reduseres alle kvadratiske ligninger til følgende notasjon.

Dessuten er koeffisienten a ≠ 0. La denne formelen betegnes som nummer én.

Når en ligning er gitt, er det ikke klart hvor mange røtter det vil være i svaret. Fordi ett av tre alternativer alltid er mulig:

• løsningen vil ha to røtter;
• svaret vil være ett tall;
• ligningen vil ikke ha noen røtter i det hele tatt.

Og før avgjørelsen er endelig, er det vanskelig å forstå hvilket alternativ som vil dukke opp i en bestemt sak.

Typer registreringer av kvadratiske ligninger

Det kan være ulike oppføringer i oppgaver. De vil ikke alltid se ut som den generelle kvadratiske ligningsformelen. Noen ganger vil det mangle noen begreper. Det som ble skrevet ovenfor er den komplette ligningen. Fjerner du den andre eller tredje termen i den, får du noe annet. Disse postene kalles også kvadratiske ligninger, bare ufullstendige.

Dessuten kan bare termer med koeffisientene "b" og "c" forsvinne. Tallet "a" kan ikke under noen omstendigheter være lik null. For i dette tilfellet blir formelen til en lineær ligning. Formlene for den ufullstendige formen av ligninger vil være som følger:

Så det er bare to typer; i tillegg til komplette, er det også ufullstendige kvadratiske ligninger. La den første formelen være nummer to, og den andre - tre.

Diskriminerende og avhengig av antall røtter på verdien

Du må vite dette tallet for å beregne røttene til ligningen. Den kan alltid beregnes, uansett hvilken formel til kvadratisk ligning. For å beregne diskriminanten må du bruke likheten skrevet nedenfor, som vil ha nummer fire.

Etter å ha erstattet koeffisientverdiene i denne formelen, kan du få tall med forskjellige tegn. Hvis svaret er ja, vil svaret på ligningen være to forskjellige røtter. Hvis tallet er negativt, vil det ikke være røtter til kvadratisk ligning. Hvis det er lik null, vil det bare være ett svar.

Hvordan løse en komplett kvadratisk ligning?

Faktisk har behandlingen av dette problemet allerede begynt. For først må du finne en diskriminant. Etter at det er bestemt at det er røttene til den kvadratiske ligningen, og antallet er kjent, må du bruke formler for variablene. Hvis det er to røtter, må du bruke følgende formel.

Siden den inneholder et "±"-tegn, vil det være to verdier. Uttrykket under kvadratrottegnet er diskriminanten. Derfor kan formelen skrives om annerledes.

Formel nummer fem. Fra den samme posten er det klart at hvis diskriminanten er lik null, vil begge røttene ha samme verdier.

Hvis løsning av kvadratiske ligninger ennå ikke er utarbeidet, er det bedre å skrive ned verdiene til alle koeffisientene før du bruker diskriminant- og variabelformlene. Senere vil dette øyeblikket ikke forårsake vanskeligheter. Men helt i begynnelsen er det forvirring.

Hvordan løse en ufullstendig andregradsligning?

Alt er mye enklere her. Det er ikke engang behov for ytterligere formler. Og de som allerede er skrevet ned for den diskriminerende og det ukjente vil ikke være nødvendig.

La oss først se på ufullstendig ligning nummer to. I denne likheten er det nødvendig å ta den ukjente mengden ut av parentes og løse den lineære ligningen, som vil forbli i parentes. Svaret vil ha to røtter. Den første er nødvendigvis lik null, fordi det er en multiplikator som består av selve variabelen. Den andre fås ved å løse en lineær ligning.

Ufullstendig ligning nummer tre løses ved å flytte tallet fra venstre side av likheten til høyre. Deretter må du dele med koeffisienten som vender mot det ukjente. Det gjenstår bare å trekke ut kvadratroten og huske å skrive den ned to ganger med motsatte fortegn.

Nedenfor er noen trinn som vil hjelpe deg å lære hvordan du løser alle slags likheter som blir til andregradsligninger. De skal hjelpe eleven til å unngå feil på grunn av uoppmerksomhet. Disse manglene kan føre til dårlige karakterer når du studerer det omfattende emnet "Kvadratiske ligninger (8. klasse)." Deretter trenger ikke disse handlingene å utføres konstant. Fordi en stabil ferdighet vil dukke opp.

• Først må du skrive ligningen i standardform. Det vil si først begrepet med den største graden av variabelen, og deretter - uten grad, og sist - bare et tall.

• Hvis et minus vises før koeffisienten "a", kan det komplisere arbeidet for en nybegynner som studerer kvadratiske ligninger. Det er bedre å bli kvitt det. For dette formålet må all likhet multipliseres med "-1". Dette betyr at alle termer vil endre fortegn til motsatt.

• Det anbefales å kvitte seg med brøker på samme måte. Bare multipliser ligningen med riktig faktor slik at nevnerne opphever seg.

Eksempler

Det er nødvendig å løse følgende kvadratiske ligninger:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Den første ligningen: x 2 − 7x = 0. Den er ufullstendig, derfor løses den som beskrevet for formel nummer to.

Etter å ha tatt den ut av parentes, viser det seg: x (x - 7) = 0.

Den første roten har verdien: x 1 = 0. Den andre vil bli funnet fra lineær ligning: x - 7 = 0. Det er lett å se at x 2 = 7.

Andre ligning: 5x 2 + 30 = 0. Igjen ufullstendig. Bare det løses som beskrevet for den tredje formelen.

Etter å ha flyttet 30 til høyre side av ligningen: 5x 2 = 30. Nå må du dele på 5. Det viser seg: x 2 = 6. Svarene vil være tallene: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Den tredje ligningen: 15 − 2х − x 2 = 0. Her og videre vil løsning av andregradsligninger begynne med omskrivning i standard visning: − x 2 − 2x + 15 = 0. Nå er det på tide å bruke den andre nyttige råd og gang alt med minus én. Det viser seg x 2 + 2x - 15 = 0. Ved å bruke den fjerde formelen må du beregne diskriminanten: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Det er et positivt tall. Av det som er sagt ovenfor, viser det seg at ligningen har to røtter. De må beregnes ved hjelp av den femte formelen. Det viser seg at x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Da er x 1 = 3, x 2 = - 5.

Den fjerde ligningen x 2 + 8 + 3x = 0 transformeres til denne: x 2 + 3x + 8 = 0. Dens diskriminant er lik denne verdien: -23. Siden dette tallet er negativt, vil svaret på denne oppgaven være følgende oppføring: "Det er ingen røtter."

Den femte ligningen 12x + x 2 + 36 = 0 skal skrives om som følger: x 2 + 12x + 36 = 0. Etter å ha brukt formelen for diskriminanten, oppnås tallet null. Dette betyr at den vil ha én rot, nemlig: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Den sjette ligningen (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) krever transformasjoner, som består i det faktum at du må ta med lignende termer, først åpne parentesene. I stedet for det første vil det være følgende uttrykk: x 2 + 2x + 1. Etter likheten vil denne oppføringen vises: x 2 + 3x + 2. Etter at lignende ledd er talt, vil ligningen ha formen: x 2 - x = 0. Den har blitt ufullstendig . Noe som ligner på dette er allerede diskutert litt høyere. Røttene til dette vil være tallene 0 og 1.

I Moderne samfunn Evnen til å utføre operasjoner med ligninger som inneholder en variabel i kvadrat kan være nyttig innen mange aktivitetsområder og er mye brukt i praksis i vitenskapelig og teknisk utvikling. Bevis på dette kan finnes i utformingen av sjø- og elvefartøyer, fly og missiler. Ved å bruke slike beregninger bestemmes bevegelsesbanene til et bredt utvalg av kropper, inkludert romobjekter. Eksempler med løsning av kvadratiske ligninger brukes ikke bare i økonomisk prognoser, i design og konstruksjon av bygninger, men også i de mest vanlige hverdagslige omstendigheter. De kan være nødvendige på fotturer, sportskonkurranser, i butikker når du handler og i andre svært vanlige situasjoner.

La oss dele uttrykket inn i dets komponentfaktorer

Graden av en ligning bestemmes av maksimalverdien til graden av variabelen som uttrykket inneholder. Hvis den er lik 2, kalles en slik ligning kvadratisk.

Hvis vi snakker på formlerspråket, kan de angitte uttrykkene, uansett hvordan de ser ut, alltid bringes til formen når venstre side av uttrykket består av tre ledd. Blant dem: akse 2 (det vil si en variabel kvadratisk med koeffisienten), bx (en ukjent uten kvadrat med koeffisienten) og c (en fri komponent, det vil si et vanlig tall). Alt dette på høyre side er lik 0. I tilfellet når et slikt polynom mangler en av sine konstituerende ledd, med unntak av akse 2, kalles det en ufullstendig andregradsligning. Eksempler med løsning av slike problemer, verdiene til variablene som er enkle å finne, bør vurderes først.

Hvis uttrykket ser ut som det har to ledd på høyre side, nærmere bestemt ax 2 og bx, er den enkleste måten å finne x ved å sette variabelen ut av parentes. Nå vil ligningen vår se slik ut: x(ax+b). Deretter blir det åpenbart at enten x=0, eller problemet kommer ned til å finne en variabel fra følgende uttrykk: ax+b=0. Dette er diktert av en av egenskapene til multiplikasjon. Regelen sier at produktet av to faktorer gir 0 bare hvis en av dem er null.

Eksempel

x=0 eller 8x - 3 = 0

Som et resultat får vi to røtter av ligningen: 0 og 0,375.

Ligninger av denne typen kan beskrive bevegelsen til kropper under påvirkning av tyngdekraften, som begynte å bevege seg fra et bestemt punkt tatt som opprinnelsen til koordinatene. Her har den matematiske notasjonen følgende form: y = v 0 t + gt 2 /2. Erstatter nødvendige verdier Ved å likestille høyresiden med 0 og finne mulige ukjente, kan du finne ut tiden som går fra kroppen reiser seg til den faller, samt mange andre størrelser. Men vi skal snakke om dette senere.

Faktorering av et uttrykk

Regelen beskrevet ovenfor gjør det mulig å løse disse problemene mer vanskelige saker. La oss se på eksempler på løsning av andregradsligninger av denne typen.

X 2 - 33x + 200 = 0

Dette kvadratiske trinomialet er komplett. La oss først transformere uttrykket og faktorisere det. Det er to av dem: (x-8) og (x-25) = 0. Som et resultat har vi to røtter 8 og 25.

Eksempler med å løse andregradsligninger i grad 9 lar denne metoden finne en variabel i uttrykk ikke bare av andre, men til og med av tredje og fjerde orden.

For eksempel: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Når du faktoriserer høyre side inn i faktorer med en variabel, er det tre av dem, det vil si (x+1), (x-3) og (x+ 3).

Som et resultat blir det åpenbart at denne ligningen har tre røtter: -3; -1; 3.

Kvadratrot

Et annet tilfelle av en ufullstendig andreordens ligning er et uttrykk representert i bokstavspråket på en slik måte at høyresiden er konstruert av komponentene akse 2 og c. Her, for å få verdien av variabelen, overføres frileddet til høyre side, og deretter trekkes kvadratroten ut fra begge sider av likheten. Det skal bemerkes at i i dette tilfellet Det er vanligvis to røtter til ligningen. De eneste unntakene kan være likheter som ikke inneholder et ledd med i det hele tatt, hvor variabelen er lik null, samt varianter av uttrykk når høyresiden viser seg å være negativ. I sistnevnte tilfelle er det ingen løsninger i det hele tatt, siden handlingene ovenfor ikke kan utføres med røtter. Eksempler på løsninger på andregradsligninger av denne typen bør vurderes.

I dette tilfellet vil røttene til ligningen være tallene -4 og 4.

Beregning av landareal

Behovet for denne typen beregninger dukket opp i eldgamle tider, fordi utviklingen av matematikk i disse fjerne tider i stor grad ble bestemt av behovet for å bestemme med størst nøyaktighet arealene og omkretsene til tomter.

Vi bør også vurdere eksempler på løsning av andregradsligninger basert på problemer av denne typen.

Så la oss si at det er en rektangulær tomt, hvis lengde er 16 meter større enn bredden. Du bør finne lengden, bredden og omkretsen av stedet hvis du vet at området er 612 m2.

For å komme i gang, la oss først lage den nødvendige ligningen. La oss angi bredden på området med x, da vil lengden være (x+16). Av det som er skrevet følger det at arealet er bestemt av uttrykket x(x+16), som i henhold til betingelsene for vår oppgave er 612. Dette betyr at x(x+16) = 612.

Å løse komplette andregradsligninger, og dette uttrykket er akkurat det, kan ikke gjøres på samme måte. Hvorfor? Selv om venstre side fortsatt inneholder to faktorer, er produktet deres ikke lik 0 i det hele tatt, så forskjellige metoder brukes her.

Diskriminerende

Først av alt, la oss gjøre de nødvendige transformasjonene, da utseende av dette uttrykket vil se slik ut: x 2 + 16x - 612 = 0. Dette betyr at vi har fått et uttrykk i en form som tilsvarer den tidligere spesifiserte standarden, hvor a=1, b=16, c=-612.

Dette kan være et eksempel på å løse andregradsligninger ved hjelp av en diskriminant. Her gjøres nødvendige beregninger i henhold til skjemaet: D = b 2 - 4ac. Denne hjelpemengden gjør det ikke bare mulig å finne de nødvendige mengdene i en andreordens ligning, den bestemmer mengden mulige alternativer. Hvis D>0, er det to av dem; for D=0 er det én rot. I tilfelle D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Om røtter og deres formel

I vårt tilfelle er diskriminanten lik: 256 - 4(-612) = 2704. Dette tyder på at problemet vårt har et svar. Hvis du kjenner k, må løsningen av andregradsligninger fortsettes ved å bruke formelen nedenfor. Den lar deg beregne røttene.

Dette betyr at i det presenterte tilfellet: x 1 =18, x 2 =-34. Det andre alternativet i dette dilemmaet kan ikke være en løsning, fordi dimensjonene til tomten ikke kan måles i negative mengder, noe som betyr at x (det vil si bredden på tomten) er 18 m. Herfra beregner vi lengden: 18 +16=34, og omkretsen 2(34+ 18)=104(m2).

Eksempler og oppgaver

Vi fortsetter vår studie av kvadratiske ligninger. Eksempler og detaljerte løsninger på flere av dem vil bli gitt nedenfor.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

La oss flytte alt til venstre side av likheten, gjøre en transformasjon, det vil si at vi får den typen ligning som vanligvis kalles standard, og likestille den til null.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Ved å legge til lignende, bestemmer vi diskriminanten: D = 49 - 48 = 1. Dette betyr at ligningen vår vil ha to røtter. La oss beregne dem i henhold til formelen ovenfor, noe som betyr at den første av dem vil være lik 4/3, og den andre til 1.

2) La oss nå løse mysterier av et annet slag.

La oss finne ut om det er noen røtter her x 2 - 4x + 5 = 1? For å få et omfattende svar, la oss redusere polynomet til den tilsvarende vanlige formen og beregne diskriminanten. I eksemplet ovenfor er det ikke nødvendig å løse den kvadratiske ligningen, fordi dette ikke er essensen av problemet i det hele tatt. I dette tilfellet er D = 16 - 20 = -4, som betyr at det egentlig ikke er noen røtter.

Vietas teorem

Det er praktisk å løse kvadratiske ligninger ved å bruke formlene ovenfor og diskriminanten, når kvadratroten er tatt fra verdien av sistnevnte. Men dette skjer ikke alltid. Imidlertid er det mange måter å få verdiene til variabler på i dette tilfellet. Eksempel: løse andregradsligninger ved å bruke Vietas teorem. Hun er oppkalt etter som levde på 1500-tallet i Frankrike og gjorde en strålende karriere takket være hans matematiske talent og forbindelser ved hoffet. Portrettet hans kan sees i artikkelen.

Mønsteret som den berømte franskmannen la merke til var som følger. Han beviste at røttene til ligningen summerer seg numerisk til -p=b/a, og deres produkt tilsvarer q=c/a.

La oss nå se på spesifikke oppgaver.

3x 2 + 21x - 54 = 0

For enkelhets skyld, la oss transformere uttrykket:

x 2 + 7x - 18 = 0

La oss bruke Vietas teorem, dette vil gi oss følgende: summen av røttene er -7, og deres produkt er -18. Herfra får vi at røttene til ligningen er tallene -9 og 2. Etter å ha sjekket vil vi forsikre oss om at disse variabelverdiene virkelig passer inn i uttrykket.

Parabelgraf og ligning

Begrepene kvadratisk funksjon og andregradsligninger er nært beslektet. Eksempler på dette er allerede gitt tidligere. La oss nå se litt mer detaljert på noen matematiske gåter. Enhver ligning av den beskrevne typen kan representeres visuelt. Et slikt forhold, tegnet som en graf, kalles en parabel. De forskjellige typene er presentert i figuren nedenfor.

Enhver parabel har et toppunkt, det vil si et punkt der grenene kommer ut. Hvis a>0, går de høyt til uendelig, og når a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Visuelle representasjoner av funksjoner hjelper til med å løse alle ligninger, inkludert kvadratiske. Denne metoden kalles grafisk. Og verdien av x-variabelen er abscissekoordinaten i punktene der graflinjen skjærer 0x. Koordinatene til toppunktet kan bli funnet ved å bruke formelen som nettopp er gitt x 0 = -b/2a. Og ved å erstatte den resulterende verdien i den opprinnelige ligningen til funksjonen, kan du finne ut y 0, det vil si den andre koordinaten til toppunktet til parabelen, som tilhører ordinataksen.

Skjæringspunktet mellom grenene til en parabel med abscisseaksen

Det finnes mange eksempler på løsning av kvadratiske ligninger, men det er også generelle mønstre. La oss se på dem. Det er klart at skjæringspunktet mellom grafen og 0x-aksen for a>0 bare er mulig hvis 0 tar negative verdier. Og for en<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Ellers D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Fra grafen til parablen kan du også bestemme røttene. Det motsatte er også sant. Det vil si at hvis det ikke er lett å få en visuell representasjon av en kvadratisk funksjon, kan du likestille høyre side av uttrykket til 0 og løse den resulterende ligningen. Og når man kjenner skjæringspunktene med 0x-aksen, er det lettere å konstruere en graf.

Fra historien

Ved å bruke ligninger som inneholder en kvadratisk variabel, gjorde de i gamle dager ikke bare matematiske beregninger og bestemte arealene til geometriske figurer. De gamle trengte slike beregninger for store funn innen fysikk og astronomi, samt for å lage astrologiske prognoser.

Som moderne vitenskapsmenn foreslår, var innbyggerne i Babylon blant de første som løste kvadratiske ligninger. Dette skjedde fire århundrer før vår tidsregning. Selvfølgelig var deres beregninger radikalt forskjellige fra de som for tiden er akseptert og viste seg å være mye mer primitive. For eksempel hadde mesopotamiske matematikere ingen anelse om eksistensen av negative tall. De var også ukjente med andre finesser som ethvert moderne skolebarn kjenner til.

Kanskje enda tidligere enn forskerne i Babylon begynte vismannen fra India Baudhayama å løse kvadratiske ligninger. Dette skjedde omtrent åtte århundrer før Kristi æra. Riktignok var andreordens ligningene, metodene for å løse som han ga, de enkleste. Foruten ham var kinesiske matematikere også interessert i lignende spørsmål i gamle dager. I Europa begynte kvadratiske ligninger å bli løst først på begynnelsen av 1200-tallet, men senere ble de brukt i deres arbeider av så store forskere som Newton, Descartes og mange andre.