Røttene til en kvadratisk ligning beregnes ved hjelp av formler. Løse kvadratiske ligninger: rotformel, eksempler

En andregradsligning er en ligning av formen a*x^2 +b*x+c=0, der a,b,c er noen vilkårlige reelle tall, og x er en variabel. Dessuten er tallet a=0.

Tallene a,b,c kalles koeffisienter. Tallet a kalles ledende koeffisient, tallet b er koeffisienten til x, og tallet c kalles frileddet.

Løse kvadratiske ligninger

Å løse en andregradsligning betyr å finne alle dens røtter eller fastslå det faktum at en andregradsligning ikke har noen røtter. Roten til en andregradsligning a*x^2 +b*x+c=0 er en hvilken som helst verdi av variabelen x slik at det kvadratiske trinomiale a*x^2 +b*x+c forsvinner. Noen ganger kalles denne verdien av x roten til kvadrattrinomialet.

Det er flere måter å løse andregradsligninger på. Vurder en av dem - den mest universelle. Den kan brukes til å løse enhver annengradsligning.

Formler for å løse andregradsligninger

Formelen for røttene til en kvadratisk ligning er a*x^2 +b*x+c=0.

x=(-b±√D)/(2*a), hvor D =b^2-4*a*c.

Denne formelen oppnås ved å løse ligningen a*x^2 +b*x+c=0 tommer generelt syn, ved å isolere kvadratet til binomialet.

I formelen for røttene til en kvadratisk ligning kalles uttrykket D (b^2-4*a*c) diskriminanten til kvadratisk ligning a*x^2 +b*x+c=0. Dette navnet kommer fra det latinske språket, oversatt som "diskriminator". Avhengig av verdien av diskriminanten, vil kvadratisk ligning ha to eller én rot, eller ingen røtter i det hele tatt.

Hvis diskriminanten er større enn null, da har andregradsligningen to røtter. (x=(-b±√D)/(2*a))

Hvis diskriminanten er null, da har andregradsligningen én rot. (x=(-b/(2*a))

Hvis diskriminanten er negativ, da har andregradsligningen ingen røtter.

Generell algoritme for å løse en kvadratisk ligning

Basert på ovenstående formulerer vi en generell algoritme for å løse den kvadratiske ligningen a*x^2 +b*x+c=0 ved å bruke formelen:

1. Finn verdien til diskriminanten ved å bruke formelen D =b^2-4*a*c.

2. Beregn røttene ved å bruke formlene, avhengig av verdien av diskriminanten:

D<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

Denne algoritmen er universell og egnet for å løse alle andregradsligninger. Fullstendig og ufullstendig, gitt og ikke gitt.

Dette emnet kan virke vanskelig i begynnelsen på grunn av at mange ikke er det enkle formler. Ikke bare har andregradsligningene i seg selv lange notasjoner, men røttene finnes også gjennom diskriminanten. Totalt oppnås tre nye formler. Ikke veldig lett å huske. Dette er bare mulig etter å ha løst slike ligninger ofte. Da vil alle formlene bli husket av seg selv.

Generell oversikt over en kvadratisk ligning

Her foreslår vi deres eksplisitte registrering, når den største graden skrives først, og deretter i synkende rekkefølge. Det er ofte situasjoner hvor vilkårene er inkonsekvente. Da er det bedre å omskrive ligningen i synkende rekkefølge etter graden av variabelen.

La oss introdusere litt notasjon. De er presentert i tabellen nedenfor.

Hvis vi godtar disse notasjonene, reduseres alle kvadratiske ligninger til følgende notasjon.

Dessuten er koeffisienten a ≠ 0. La denne formelen betegnes som nummer én.

Når en ligning er gitt, er det ikke klart hvor mange røtter det vil være i svaret. Fordi ett av tre alternativer alltid er mulig:

• løsningen vil ha to røtter;
• svaret vil være ett tall;
• ligningen vil ikke ha noen røtter i det hele tatt.

Og før avgjørelsen er endelig, er det vanskelig å forstå hvilket alternativ som vil dukke opp i en bestemt sak.

Typer registreringer av kvadratiske ligninger

Det kan være ulike oppføringer i oppgaver. De vil ikke alltid se ut som den generelle kvadratiske ligningsformelen. Noen ganger vil det mangle noen begreper. Det som ble skrevet ovenfor er den komplette ligningen. Fjerner du den andre eller tredje termen i den, får du noe annet. Disse postene kalles også kvadratiske ligninger, bare ufullstendige.

Dessuten kan bare termer med koeffisientene "b" og "c" forsvinne. Tallet "a" kan ikke under noen omstendigheter være lik null. For i dette tilfellet blir formelen lineær ligning. Formlene for den ufullstendige formen av ligninger vil være som følger:

Så det er bare to typer; i tillegg til komplette, er det også ufullstendige kvadratiske ligninger. La den første formelen være nummer to, og den andre - tre.

Diskriminerende og avhengig av antall røtter på verdien

Du må vite dette tallet for å beregne røttene til ligningen. Den kan alltid beregnes, uansett hvilken formel til kvadratisk ligning. For å beregne diskriminanten må du bruke likheten skrevet nedenfor, som vil ha nummer fire.

Etter å ha erstattet koeffisientverdiene i denne formelen, kan du få tall med forskjellige tegn. Hvis svaret er ja, vil svaret på ligningen være to forskjellige røtter. Hvis tallet er negativt, vil det ikke være røtter til kvadratisk ligning. Hvis det er lik null, vil det bare være ett svar.

Hvordan løse en komplett kvadratisk ligning?

Faktisk har behandlingen av dette problemet allerede begynt. For først må du finne en diskriminant. Etter at det er bestemt at det er røttene til den kvadratiske ligningen, og antallet er kjent, må du bruke formler for variablene. Hvis det er to røtter, må du bruke følgende formel.

Siden den inneholder et "±"-tegn, vil det være to verdier. Uttrykket under kvadratrottegnet er diskriminanten. Derfor kan formelen skrives om annerledes.

Formel nummer fem. Fra den samme posten er det klart at hvis diskriminanten er lik null, vil begge røttene ha samme verdier.

Hvis løsning av kvadratiske ligninger ennå ikke er utarbeidet, er det bedre å skrive ned verdiene til alle koeffisientene før du bruker diskriminant- og variabelformlene. Senere vil dette øyeblikket ikke forårsake vanskeligheter. Men helt i begynnelsen er det forvirring.

Hvordan løse en ufullstendig andregradsligning?

Alt er mye enklere her. Det er ikke engang behov for ytterligere formler. Og de som allerede er skrevet ned for den diskriminerende og det ukjente vil ikke være nødvendig.

La oss først se på ufullstendig ligning nummer to. I denne likheten er det nødvendig å ta den ukjente mengden ut av parentes og løse den lineære ligningen, som vil forbli i parentes. Svaret vil ha to røtter. Den første er nødvendigvis lik null, fordi det er en multiplikator som består av selve variabelen. Den andre fås ved å løse en lineær ligning.

Ufullstendig ligning nummer tre løses ved å flytte tallet fra venstre side av likheten til høyre. Deretter må du dele med koeffisienten som vender mot det ukjente. Det gjenstår bare å trekke ut kvadratroten og huske å skrive den ned to ganger med motsatte fortegn.

Nedenfor er noen trinn som vil hjelpe deg å lære hvordan du løser alle slags likheter som blir til andregradsligninger. De skal hjelpe eleven til å unngå feil på grunn av uoppmerksomhet. Disse manglene kan føre til dårlige karakterer når du studerer det omfattende emnet "Kvadratiske ligninger (8. klasse)." Deretter trenger ikke disse handlingene å utføres konstant. Fordi en stabil ferdighet vil dukke opp.

• Først må du skrive ligningen i standardform. Det vil si først begrepet med den største graden av variabelen, og deretter - uten grad, og sist - bare et tall.

• Hvis et minus vises før koeffisienten "a", kan det komplisere arbeidet for en nybegynner som studerer kvadratiske ligninger. Det er bedre å bli kvitt det. For dette formålet må all likhet multipliseres med "-1". Dette betyr at alle termer vil endre fortegn til motsatt.

• Det anbefales å kvitte seg med brøker på samme måte. Bare multipliser ligningen med riktig faktor slik at nevnerne opphever seg.

Eksempler

Det er nødvendig å løse følgende kvadratiske ligninger:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Den første ligningen: x 2 − 7x = 0. Den er ufullstendig, derfor løses den som beskrevet for formel nummer to.

Etter å ha tatt den ut av parentes, viser det seg: x (x - 7) = 0.

Den første roten tar verdien: x 1 = 0. Den andre vil bli funnet fra den lineære ligningen: x - 7 = 0. Det er lett å se at x 2 = 7.

Andre ligning: 5x 2 + 30 = 0. Igjen ufullstendig. Bare det løses som beskrevet for den tredje formelen.

Etter å ha flyttet 30 til høyre side av ligningen: 5x 2 = 30. Nå må du dele på 5. Det viser seg: x 2 = 6. Svarene vil være tallene: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Den tredje ligningen: 15 − 2x − x 2 = 0. Her og videre vil løsning av andregradsligninger begynne med å omskrive dem i standardform: − x 2 − 2x + 15 = 0. Nå er det på tide å bruke den andre nyttige råd og gang alt med minus én. Det viser seg x 2 + 2x - 15 = 0. Ved å bruke den fjerde formelen må du beregne diskriminanten: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Det er positivt tall. Av det som er sagt ovenfor, viser det seg at ligningen har to røtter. De må beregnes ved hjelp av den femte formelen. Det viser seg at x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Da er x 1 = 3, x 2 = - 5.

Den fjerde ligningen x 2 + 8 + 3x = 0 transformeres til denne: x 2 + 3x + 8 = 0. Dens diskriminant er lik denne verdien: -23. Siden dette tallet er negativt, vil svaret på denne oppgaven være følgende oppføring: "Det er ingen røtter."

Den femte ligningen 12x + x 2 + 36 = 0 skal skrives om som følger: x 2 + 12x + 36 = 0. Etter å ha brukt formelen for diskriminanten, oppnås tallet null. Dette betyr at den vil ha én rot, nemlig: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Den sjette ligningen (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) krever transformasjoner, som består i det faktum at du må ta med lignende termer, først åpne parentesene. I stedet for det første vil det være følgende uttrykk: x 2 + 2x + 1. Etter likheten vil denne oppføringen vises: x 2 + 3x + 2. Etter at lignende ledd er talt, vil ligningen ha formen: x 2 - x = 0. Den har blitt ufullstendig . Noe som ligner på dette er allerede diskutert litt høyere. Røttene til dette vil være tallene 0 og 1.

Kvadratiske ligninger. Diskriminerende. Løsning, eksempler.

Merk følgende!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

Typer andregradsligninger

Hva er en andregradsligning? Hvordan ser det ut? På sikt kvadratisk ligning nøkkelordet er "torget". Dette betyr at i ligningen Nødvendigvis det må være en x-kvadrat. I tillegg til det kan ligningen (eller kanskje ikke!) inneholde bare X (til første potens) og bare et tall (gratis medlem). Og det skal ikke være noen X-er til en potens større enn to.

I matematiske termer er en andregradsligning en ligning av formen:

Her a, b og c- noen tall. b og c- absolutt alle, men EN– noe annet enn null. For eksempel:

Her EN =1; b = 3; c = -4

Her EN =2; b = -0,5; c = 2,2

Her EN =-3; b = 6; c = -18

Vel, du forstår...

I disse kvadratiske ligningene til venstre er det fult sett medlemmer. X kvadrat med en koeffisient EN, x til første potens med koeffisient b Og gratis medlem s.

Slike kvadratiske ligninger kalles full.

Og hvis b= 0, hva får vi? Vi har X vil gå tapt til første potens. Dette skjer når multiplisert med null.) Det viser seg for eksempel:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Og så videre. Og hvis begge koeffisientene b Og c er lik null, så er det enda enklere:

2x 2 =0,

-0,3x2 =0

Slike ligninger der noe mangler kalles ufullstendige andregradsligninger. Noe som er ganske logisk.) Vær oppmerksom på at x kvadrat er tilstede i alle ligninger.

Forresten, hvorfor EN kan ikke være lik null? Og du erstatter i stedet EN null.) Vår X-kvadrat vil forsvinne! Ligningen vil bli lineær. Og løsningen er en helt annen...

Det er alle hovedtypene av kvadratiske ligninger. Fullstendig og ufullstendig.

Løse andregradsligninger.

Løse komplette andregradsligninger.

Kvadratiske ligninger er enkle å løse. Etter formler og klare, enkle regler. På det første trinnet er det nødvendig å redusere den gitte ligningen til standard visning, dvs. til skjemaet:

Hvis ligningen allerede er gitt til deg i dette skjemaet, trenger du ikke å gjøre det første trinnet.) Det viktigste er å bestemme alle koeffisientene riktig, EN, b Og c.

Formelen for å finne røttene til en kvadratisk ligning ser slik ut:

Uttrykket under rottegnet kalles diskriminerende. Men mer om ham nedenfor. Som du kan se, bruker vi for å finne X bare a, b og c. De. koeffisienter fra en andregradsligning. Bare bytt ut verdiene forsiktig a, b og c Vi regner inn i denne formelen. La oss erstatte med dine egne tegn! For eksempel, i ligningen:

EN =1; b = 3; c= -4. Her skriver vi det ned:

Eksemplet er nesten løst:

Dette er svaret.

Alt er veldig enkelt. Og hva, tror du det er umulig å gjøre en feil? Vel, ja, hvordan...

De vanligste feilene er forveksling med tegnverdier a, b og c. Eller rettere sagt, ikke med deres tegn (hvor skal man bli forvirret?), men med erstatning av negative verdier i formelen for å beregne røttene. Det som hjelper her er en detaljert registrering av formelen med spesifikke tall. Hvis det er problemer med beregninger, gjør det!

Anta at vi må løse følgende eksempel:

Her en = -6; b = -5; c = -1

La oss si at du vet at du sjelden får svar første gang.

Vel, ikke vær lat. Det vil ta ca. 30 sekunder å skrive en ekstra linje. Og antall feil vil avta kraftig. Så vi skriver i detalj, med alle parenteser og tegn:

Det virker utrolig vanskelig å skrive ut så nøye. Men det virker bare slik. Gi det et forsøk. Vel, eller velg. Hva er bedre, raskt eller riktig? Dessuten skal jeg gjøre deg glad. Etter en stund vil det ikke være nødvendig å skrive ned alt så nøye. Det vil ordne seg av seg selv. Spesielt hvis du bruker praktiske teknikker som er beskrevet nedenfor. Dette onde eksemplet med en haug med minuser kan løses enkelt og uten feil!

Men ofte ser andregradsligninger litt annerledes ut. For eksempel slik:

Kjente du det igjen?) Ja! Dette ufullstendige andregradsligninger.

Løse ufullstendige andregradsligninger.

De kan også løses ved hjelp av en generell formel. Du trenger bare å forstå riktig hva de er lik her. a, b og c.

Har du funnet ut av det? I det første eksemplet a = 1; b = -4; EN c? Det er ikke der i det hele tatt! Vel ja, det stemmer. I matematikk betyr dette det c = 0 ! Det er alt. Bytt inn null i formelen i stedet c, og vi vil lykkes. Samme med det andre eksemplet. Bare vi har ikke null her Med, A b !

Men ufullstendige andregradsligninger kan løses mye enklere. Uten noen formler. La oss vurdere den første ufullstendige ligningen. Hva kan du gjøre på venstre side? Du kan ta X ut av parentes! La oss ta den ut.

Og hva fra dette? Og det faktum at produktet er lik null hvis og bare hvis noen av faktorene er lik null! Tro meg ikke? Ok, kom så opp med to ikke-null tall som, når multiplisert, vil gi null!
Virker ikke? Det er det...
Derfor kan vi trygt skrive: x 1 = 0, x 2 = 4.

Alle. Dette vil være røttene til ligningen vår. Begge egner seg. Når du erstatter noen av dem i den opprinnelige ligningen, får vi riktig identitet 0 = 0. Som du kan se er løsningen mye enklere enn å bruke den generelle formelen. La meg merke, forresten, hvilken X vil være den første og hvilken som vil være den andre - helt likegyldig. Det er praktisk å skrive i rekkefølge, x 1- hva er mindre og x 2- det som er større.

Den andre ligningen kan også løses enkelt. Flytt 9 til høyre side. Vi får:

Alt som gjenstår er å trekke ut roten fra 9, og det er det. Det vil vise seg:

Også to røtter . x 1 = -3, x 2 = 3.

Slik løses alle ufullstendige andregradsligninger. Enten ved å plassere X utenfor parentes, eller ved å flytte tallet til høyre og deretter trekke ut roten.
Det er ekstremt vanskelig å forveksle disse teknikkene. Ganske enkelt fordi du i det første tilfellet må trekke ut roten til X, som på en eller annen måte er uforståelig, og i det andre tilfellet er det ingenting å ta ut av parentes...

Diskriminerende. Diskriminerende formel.

Magisk ord diskriminerende ! Sjelden en videregående elev har ikke hørt dette ordet! Uttrykket "vi løser gjennom en diskriminant" inspirerer til tillit og trygghet. For det er ingen grunn til å forvente triks fra diskriminanten! Den er enkel og problemfri å bruke.) Jeg minner deg om den mest generelle løsningsformelen noen andregradsligninger:

Uttrykket under rottegnet kalles en diskriminant. Vanligvis er diskriminanten angitt med bokstaven D. Diskriminerende formel:

D = b 2 - 4ac

Og hva er det som er så bemerkelsesverdig med dette uttrykket? Hvorfor fortjente den et spesielt navn? Hva betydningen av diskriminanten? Tross alt -b, eller 2a i denne formelen kaller de det ikke noe spesifikt... Bokstaver og bokstaver.

Her er greia. Når du løser en andregradsligning ved hjelp av denne formelen, er det mulig bare tre tilfeller.

1. Diskriminanten er positiv. Dette betyr at roten kan trekkes ut fra den. Om roten trekkes ut godt eller dårlig er et annet spørsmål. Det som er viktig er det som trekkes ut i prinsippet. Da har andregradsligningen din to røtter. To forskjellige løsninger.

2. Diskriminanten er null. Da har du én løsning. Siden det å legge til eller trekke fra null i telleren ikke endrer noe. Dette er strengt tatt ikke én rot, men to like. Men i en forenklet versjon er det vanlig å snakke om én løsning.

3. Diskriminanten er negativ. Kvadratroten av et negativt tall kan ikke tas. Vel ok. Dette betyr at det ikke finnes noen løsninger.

For å være ærlig, når man bare løser kvadratiske ligninger, er konseptet med en diskriminant egentlig ikke nødvendig. Vi erstatter verdiene til koeffisientene i formelen og teller. Alt skjer der av seg selv, to røtter, en og ingen. Men når man løser mer vanskelige oppgaver, uten kunnskap betydningen og formelen til diskriminanten ikke nok. Spesielt i likninger med parametere. Slike ligninger er kunstflyvning for statseksamen og enhetlig statlig eksamen!)

Så, hvordan løse andregradsligninger gjennom diskriminanten du husket. Eller du lærte, noe som heller ikke er dårlig.) Du vet hvordan du skal bestemme riktig a, b og c. Vet du hvordan? oppmerksomt erstatte dem med rotformelen og oppmerksomt telle resultatet. Forsto du det nøkkelord Her - oppmerksomt?

Legg nå merke til praktiske teknikker som dramatisk reduserer antall feil. De samme som skyldes uoppmerksomhet... Som det senere blir smertefullt og støtende for...

Første avtale . Ikke vær lat før du løser en kvadratisk ligning og bring den til standardform. Hva betyr dette?
La oss si at etter alle transformasjonene får du følgende ligning:

Ikke skynd deg å skrive rotformelen! Du vil nesten helt sikkert blande oddsene sammen a, b og c. Konstruer eksemplet riktig. Først X i annen, så uten kvadrat, deretter frileddet. Som dette:

Og igjen, ikke skynd deg! Et minus foran en X-kvadrat kan virkelig opprøre deg. Det er lett å glemme... Bli kvitt minuset. Hvordan? Ja, som lært i forrige emne! Vi må gange hele ligningen med -1. Vi får:

Men nå kan du trygt skrive ned formelen for røttene, beregne diskriminanten og fullføre å løse eksemplet. Bestem selv. Du bør nå ha røtter 2 og -1.

Mottak nummer to. Sjekk røttene! I følge Vietas teorem. Ikke vær redd, jeg skal forklare alt! Sjekker siste ting ligningen. De. den vi brukte til å skrive ned rotformelen. Hvis (som i dette eksemplet) koeffisienten a = 1, er det enkelt å sjekke røttene. Det er nok å multiplisere dem. Resultatet bør være et gratis medlem, dvs. i vårt tilfelle -2. Vær oppmerksom på, ikke 2, men -2! Gratis medlem med skiltet ditt . Hvis det ikke fungerer, betyr det at de allerede har ødelagt et sted. Se etter feilen.

Hvis det fungerer, må du legge til røttene. Siste og siste sjekk. Koeffisienten skal være b Med motsatte velkjent. I vårt tilfelle -1+2 = +1. En koeffisient b, som er før X, er lik -1. Så alt er riktig!
Det er synd at dette er så enkelt bare for eksempler der x i andre er ren, med en koeffisient a = 1. Men sjekk i det minste inn slike ligninger! Det blir færre og færre feil.

Mottak tredje . Hvis ligningen din har brøkkoeffisienter, kvitt deg med brøkene! Multipliser likningen med en fellesnevner som beskrevet i leksjonen "Hvordan løser likninger? Identitetstransformasjoner." Når du jobber med brøker, fortsetter feilene å snike seg inn av en eller annen grunn...

Jeg lovet forresten å forenkle det onde eksemplet med en haug med minuser. Vær så snill! Her er han.

For ikke å bli forvirret av minusene, multipliserer vi ligningen med -1. Vi får:

Det er alt! Å løse er en fornøyelse!

Så, la oss oppsummere emnet.

Praktiske råd:

1. Før vi løser, bringer vi andregradsligningen til standardform og bygger den Ikke sant.

2. Hvis det er en negativ koeffisient foran X-en i annen, eliminerer vi den ved å multiplisere hele ligningen med -1.

3. Hvis koeffisientene er brøkdeler, eliminerer vi brøkene ved å multiplisere hele ligningen med den tilsvarende faktoren.

4. Hvis x i andre er ren, er koeffisienten lik én, løsningen kan enkelt verifiseres ved å bruke Vietas teorem. Gjør det!

Nå kan vi bestemme oss.)

Løs ligninger:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Svar (i uorden):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - et hvilket som helst tall

x 1 = -3
x 2 = 3

ingen løsninger

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Passer alt? Flott! Kvadratiske ligninger er ikke din hodepine. De tre første fungerte, men resten gjorde det ikke? Da er ikke problemet med andregradsligninger. Problemet er i identiske transformasjoner av ligninger. Ta en titt på linken, den er nyttig.

Går det ikke helt opp? Eller går det ikke i det hele tatt? Da vil seksjon 555 hjelpe deg. Alle disse eksemplene er brutt ned der. Vist hoved- feil i løsningen. Vi snakker selvfølgelig også om bruken av identiske transformasjoner for å løse ulike ligninger. Hjelper mye!

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

For å fortsette med emnet "Løse ligninger", vil materialet i denne artikkelen introdusere deg til kvadratiske ligninger.

La oss se på alt i detalj: essensen og notasjonen til en kvadratisk ligning, definere de medfølgende begrepene, analysere skjemaet for å løse ufullstendige og fullstendige ligninger, bli kjent med formelen for røtter og diskriminanten, etablere forbindelser mellom røttene og koeffisientene, og selvfølgelig vil vi gi en visuell løsning på praktiske eksempler.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratisk ligning, dens typer

Definisjon 1

Kvadratisk ligning er en ligning skrevet som a x 2 + b x + c = 0, Hvor x– variabel, a , b og c– noen tall, mens en er ikke null.

Ofte kalles andregradsligninger også andregradsligninger, siden en andregradsligning i hovedsak er en algebraisk ligning av andre grad.

La oss gi et eksempel for å illustrere den gitte definisjonen: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, osv. Dette er andregradsligninger.

Definisjon 2

Tallene a, b og c er koeffisientene til den kvadratiske ligningen a x 2 + b x + c = 0, mens koeffisienten en kalles den første, eller senior, eller koeffisient ved x 2, b - den andre koeffisienten, eller koeffisient ved x, A c kalt et gratis medlem.

For eksempel i andregradsligningen 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 den ledende koeffisienten er 6, den andre koeffisienten er − 2 , og fritiden er lik − 11 . La oss ta hensyn til det faktum at når koeffisientene b og/eller c er negative, bruk deretter kortform poster som 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, men ikke 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

La oss også klargjøre dette aspektet: hvis koeffisientene en og/eller b lik 1 eller − 1 , så tar de kanskje ikke en eksplisitt del i å skrive kvadratisk ligning, som forklares av særegenhetene ved å skrive de angitte numeriske koeffisientene. For eksempel i andregradsligningen y 2 − y + 7 = 0 den ledende koeffisienten er 1, og den andre koeffisienten er − 1 .

Reduserte og ureduserte kvadratiske ligninger

Basert på verdien av den første koeffisienten deles kvadratiske ligninger inn i redusert og uredusert.

Definisjon 3

Redusert andregradsligning er en kvadratisk ligning der den ledende koeffisienten er 1. For andre verdier av den ledende koeffisienten er kvadratisk ligning ikke-redusert.

La oss gi eksempler: kvadratiske ligninger x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 reduseres, i hver av dem er den ledende koeffisienten 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- uredusert kvadratisk ligning, hvor den første koeffisienten er forskjellig fra 1 .

Enhver ikke-redusert kvadratisk ligning kan konverteres til en redusert ligning ved å dele begge sider med den første koeffisienten (ekvivalent transformasjon). Den transformerte ligningen vil ha de samme røttene som den gitte, ikke-reduserte ligningen eller vil heller ikke ha noen røtter i det hele tatt.

Betraktning konkret eksempel vil tillate oss å tydelig demonstrere overgangen fra en ikke-redusert kvadratisk ligning til en redusert.

Eksempel 1

Gitt ligningen 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Det er nødvendig å konvertere den opprinnelige ligningen til den reduserte formen.

Løsning

I henhold til skjemaet ovenfor deler vi begge sider av den opprinnelige ligningen med ledende koeffisient 6. Da får vi: (6 x 2 + 18 x − 7): 3 = 0: 3, og dette er det samme som: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 og videre: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Herfra: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0. Dermed oppnås en ligning tilsvarende den gitte.

Svar: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0.

Fullstendige og ufullstendige andregradsligninger

La oss gå til definisjonen av en kvadratisk ligning. I den spesifiserte vi det a ≠ 0. En lignende betingelse er nødvendig for ligningen a x 2 + b x + c = 0 var nettopp firkantet, siden kl a = 0 den forvandles i hovedsak til en lineær ligning b x + c = 0.

I tilfellet når koeffisientene b Og c er lik null (noe som er mulig, både individuelt og sammen), kalles andregradsligningen ufullstendig.

Definisjon 4

Ufullstendig andregradsligning- en slik andregradsligning a x 2 + b x + c = 0, hvor minst én av koeffisientene b Og c(eller begge) er null.

Fullfør andregradsligningen– en kvadratisk ligning der alle numeriske koeffisienter ikke er lik null.

La oss diskutere hvorfor typene kvadratiske ligninger gis akkurat disse navnene.

Når b = 0, tar den andregradsligningen formen a x 2 + 0 x + c = 0, som er det samme som a x 2 + c = 0. På c = 0 andregradsligningen skrives som a x 2 + b x + 0 = 0, som tilsvarer a x 2 + b x = 0. På b = 0 Og c = 0 ligningen vil ta formen a x 2 = 0. Ligningene som vi fikk, skiller seg fra den komplette andregradslikningen ved at venstresiden deres ikke inneholder verken et ledd med variabelen x, eller et fritt ledd, eller begge deler. Faktisk ga dette faktum navnet til denne typen ligninger - ufullstendig.

For eksempel er x 2 + 3 x + 4 = 0 og − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 komplette andregradsligninger; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – ufullstendige andregradsligninger.

Løse ufullstendige andregradsligninger

Definisjonen gitt ovenfor gjør det mulig å skille mellom følgende typer ufullstendige kvadratiske ligninger:

• a x 2 = 0, tilsvarer denne ligningen koeffisientene b = 0 og c = 0;
• a · x 2 + c = 0 ved b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 ved c = 0.

La oss vurdere sekvensielt løsningen av hver type ufullstendig kvadratisk ligning.

Løsning av ligningen a x 2 =0

Som nevnt ovenfor tilsvarer denne ligningen koeffisientene b Og c, lik null. Ligningen a x 2 = 0 kan konverteres til en ekvivalent ligning x 2 = 0, som vi får ved å dele begge sider av den opprinnelige ligningen med tallet en, ikke lik null. Det åpenbare faktum er at roten til ligningen x 2 = 0 dette er null fordi 0 2 = 0 . Denne ligningen har ingen andre røtter, noe som kan forklares med egenskapene til graden: for et hvilket som helst tall p, ikke lik null, er ulikheten sann p 2 > 0, hvorav det følger at når p ≠ 0 likestilling p 2 = 0 vil aldri bli oppnådd.

Definisjon 5

For den ufullstendige andregradsligningen a x 2 = 0 er det altså en unik rot x = 0.

Eksempel 2

La oss for eksempel løse en ufullstendig andregradsligning − 3 x 2 = 0. Det tilsvarer ligningen x 2 = 0, dens eneste rot er x = 0, så har den opprinnelige ligningen en enkelt rot - null.

Kort fortalt er løsningen skrevet som følger:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Løse ligningen a x 2 + c = 0

Neste i rekken er løsningen av ufullstendige andregradsligninger, der b = 0, c ≠ 0, det vil si ligninger av formen a x 2 + c = 0. La oss transformere denne ligningen ved å flytte et ledd fra den ene siden av ligningen til den andre, endre tegnet til det motsatte og dele begge sider av ligningen med et tall som ikke er lik null:

• overføre c til høyre side, som gir ligningen a x 2 = − c;
• del begge sider av ligningen med en, vi ender opp med x = - c a .

Våre transformasjoner er ekvivalente; følgelig er den resulterende ligningen også ekvivalent med den opprinnelige, og dette faktum gjør det mulig å trekke konklusjoner om røttene til ligningen. Fra hva verdiene er en Og c verdien av uttrykket - c a avhenger: det kan ha et minustegn (for eksempel if a = 1 Og c = 2, deretter - c a = - 2 1 = - 2) eller et plusstegn (for eksempel if a = − 2 Og c = 6 så - c a = - 6 - 2 = 3); det er ikke null fordi c ≠ 0. La oss dvele mer detaljert ved situasjoner når - ca< 0 и - c a > 0 .

I tilfelle når - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа s likheten p 2 = - c a kan ikke være sann.

Alt er annerledes når - c a > 0: husk kvadratroten, og det vil bli tydelig at roten av ligningen x 2 = - c a vil være tallet - c a, siden - c a 2 = - c a. Det er ikke vanskelig å forstå at tallet - - c a også er roten til ligningen x 2 = - c a: ja, - - c a 2 = - c a.

Ligningen vil ikke ha andre røtter. Vi kan demonstrere dette ved å bruke metoden for selvmotsigelse. Til å begynne med, la oss definere notasjonene for røttene ovenfor som x 1 Og − x 1. La oss anta at likningen x 2 = - c a også har en rot x 2, som er forskjellig fra røttene x 1 Og − x 1. Vi vet det ved å substituere inn i ligningen x sine røtter transformerer vi ligningen til en rettferdig numerisk likhet.

Til x 1 Og − x 1 vi skriver: x 1 2 = - c a , og for x 2- x 2 2 = - c a . Basert på egenskapene til numeriske likheter, trekker vi ett korrekt likhetsledd for ledd fra et annet, noe som vil gi oss: x 1 2 − x 2 2 = 0. Vi bruker egenskapene til operasjoner med tall for å omskrive den siste likheten som (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Det er kjent at produktet av to tall er null hvis og bare hvis minst ett av tallene er null. Av ovenstående følger det x 1 − x 2 = 0 og/eller x 1 + x 2 = 0, som er det samme x 2 = x 1 og/eller x 2 = − x 1. En åpenbar motsetning oppsto, fordi man først var enige om at roten til ligningen x 2 skiller seg fra x 1 Og − x 1. Så vi har bevist at ligningen ikke har andre røtter enn x = - c a og x = - - c a.

La oss oppsummere alle argumentene ovenfor.

Definisjon 6

Ufullstendig andregradsligning a x 2 + c = 0 er ekvivalent med ligningen x 2 = - c a, som:

• vil ikke ha røtter ved - c a< 0 ;
• vil ha to røtter x = - c a og x = - - c a for - c a > 0.

La oss gi eksempler på løsning av likningene a x 2 + c = 0.

Eksempel 3

Gitt en andregradsligning 9 x 2 + 7 = 0. Det er nødvendig å finne en løsning.

Løsning

La oss flytte frileddet til høyre side av ligningen, så vil ligningen ta formen 9 x 2 = − 7.
La oss dele begge sider av den resulterende ligningen med 9 , kommer vi til x 2 = - 7 9 . På høyre side ser vi et tall med et minustegn, som betyr: den gitte ligningen har ingen røtter. Deretter den opprinnelige ufullstendige andregradsligningen 9 x 2 + 7 = 0 vil ikke ha røtter.

Svar: ligningen 9 x 2 + 7 = 0 har ingen røtter.

Eksempel 4

Ligningen må løses − x 2 + 36 = 0.

Løsning

La oss flytte 36 til høyre side: − x 2 = − 36.
La oss dele begge deler med − 1 , vi får x 2 = 36. På høyre side er det et positivt tall, som vi kan konkludere fra x = 36 eller x = -36.
La oss trekke ut roten og skrive ned det endelige resultatet: ufullstendig andregradsligning − x 2 + 36 = 0 har to røtter x=6 eller x = − 6.

Svar: x=6 eller x = − 6.

Løsning av ligningen a x 2 +b x=0

La oss analysere den tredje typen ufullstendige kvadratiske ligninger, når c = 0. Å finne en løsning på en ufullstendig andregradsligning a x 2 + b x = 0, vil vi bruke faktoriseringsmetoden. La oss faktorisere polynomet som er på venstre side av ligningen, og ta den felles faktoren ut av parentes x. Dette trinnet vil gjøre det mulig å transformere den opprinnelige ufullstendige kvadratiske ligningen til dens ekvivalent x (a x + b) = 0. Og denne ligningen tilsvarer i sin tur et sett med ligninger x = 0 Og a x + b = 0. Ligningen a x + b = 0 lineær, og dens rot: x = − b a.

Definisjon 7

Dermed den ufullstendige andregradsligningen a x 2 + b x = 0 vil ha to røtter x = 0 Og x = − b a.

La oss forsterke materialet med et eksempel.

Eksempel 5

Det er nødvendig å finne en løsning på ligningen 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Løsning

Vi tar den ut x utenfor parentes får vi ligningen x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Denne ligningen er ekvivalent med ligningene x = 0 og 2 3 x - 2 2 7 = 0. Nå skal du løse den resulterende lineære ligningen: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Skriv kort løsningen til ligningen slik:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 eller 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 eller x = 3 3 7

Svar: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, formel for røttene til en andregradsligning

For å finne løsninger på kvadratiske ligninger, er det en rotformel:

Definisjon 8

x = - b ± D 2 · a, hvor D = b 2 − 4 a c– den såkalte diskriminanten til en kvadratisk ligning.

Å skrive x = - b ± D 2 · a betyr i hovedsak at x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Det ville være nyttig å forstå hvordan denne formelen ble utledet og hvordan man bruker den.

Utledning av formelen for røttene til en andregradsligning

La oss stå overfor oppgaven med å løse en andregradsligning a x 2 + b x + c = 0. La oss utføre en rekke tilsvarende transformasjoner:

• del begge sider av ligningen med et tall en, forskjellig fra null, får vi følgende andregradsligning: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• la oss fremheve perfekt firkant på venstre side av den resulterende ligningen:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Etter dette vil ligningen ha formen: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Nå er det mulig å overføre de to siste leddene til høyre side, endre tegnet til det motsatte, hvoretter vi får: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Til slutt transformerer vi uttrykket skrevet på høyre side av den siste likheten:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Dermed kommer vi frem til likningen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , tilsvarende den opprinnelige likningen a x 2 + b x + c = 0.

Vi undersøkte løsningen av slike ligninger i de foregående avsnittene (løsning av ufullstendige kvadratiske ligninger). Erfaringene som allerede er oppnådd gjør det mulig å trekke en konklusjon om røttene til ligningen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• med b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• når b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, er ligningen x + b 2 · a 2 = 0, så er x + b 2 · a = 0.

Herfra er den eneste roten x = - b 2 · a åpenbar;

• for b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, vil følgende være sant: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 eller x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , som er det samme som x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 eller x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , dvs. ligningen har to røtter.

Det er mulig å konkludere med at tilstedeværelsen eller fraværet av røtter til ligningen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (og derfor den opprinnelige ligningen) avhenger av tegnet til uttrykket b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 skrevet på høyre side. Og tegnet på dette uttrykket er gitt av tegnet på telleren, (nevner 4 a 2 vil alltid være positiv), det vil si tegnet på uttrykket b 2 − 4 a c. Dette uttrykket b 2 − 4 a c navnet er gitt - diskriminanten til den kvadratiske ligningen og bokstaven D er definert som dens betegnelse. Her kan du skrive ned essensen av diskriminanten - basert på dens verdi og fortegn kan de konkludere om den andregradsligningen vil ha reelle røtter, og i så fall hva er antallet røtter - en eller to.

La oss gå tilbake til likningen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . La oss omskrive det med diskriminantnotasjon: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

La oss formulere våre konklusjoner igjen:

Definisjon 9

• på D< 0 ligningen har ingen reelle røtter;
• på D=0 ligningen har en enkelt rot x = - b 2 · a ;
• på D > 0 ligningen har to røtter: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 eller x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Basert på egenskapene til radikaler kan disse røttene skrives på formen: x = - b 2 · a + D 2 · a eller - b 2 · a - D 2 · a. Og når vi åpner modulene og bringer brøkene til en fellesnevner, får vi: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Så resultatet av resonnementet vårt var utledningen av formelen for røttene til en kvadratisk ligning:

x = - b + D2a, x = -b - D2a, diskriminant D beregnet med formelen D = b 2 − 4 a c.

Disse formlene gjør det mulig å bestemme begge reelle røtter når diskriminanten er større enn null. Når diskriminanten er null, vil bruk av begge formlene gi samme rot, som eneste avgjørelse kvadratisk ligning. I tilfellet hvor diskriminanten er negativ, hvis vi prøver å bruke formelen for roten til en kvadratisk ligning, vil vi stå overfor behovet for å trekke ut Kvadratrot fra et negativt tall, som vil ta oss utover de reelle tallene. Med en negativ diskriminant vil den kvadratiske ligningen ikke ha reelle røtter, men et par komplekse konjugerte røtter er mulig, bestemt av de samme rotformlene vi fikk.

Algoritme for å løse andregradsligninger ved hjelp av rotformler

Det er mulig å løse en andregradsligning ved å umiddelbart bruke rotformelen, men dette gjøres vanligvis når det er nødvendig å finne komplekse røtter.

I de fleste tilfeller betyr det vanligvis ikke å søke etter komplekse, men etter reelle røtter til en kvadratisk ligning. Da er det optimalt, før du bruker formlene for røttene til en kvadratisk ligning, først å bestemme diskriminanten og sørge for at den ikke er negativ (ellers vil vi konkludere med at ligningen ikke har noen reelle røtter), og deretter fortsette med å beregne verdien av røttene.

Resonnementet ovenfor gjør det mulig å formulere en algoritme for å løse en andregradsligning.

Definisjon 10

For å løse en andregradsligning a x 2 + b x + c = 0, nødvendig:

• i henhold til formelen D = b 2 − 4 a c finne den diskriminerende verdien;
• hos D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• for D = 0, finn den eneste roten av ligningen ved å bruke formelen x = - b 2 · a ;
• for D > 0, bestem to reelle røtter av kvadratisk ligning ved å bruke formelen x = - b ± D 2 · a.

Merk at når diskriminanten er null, kan du bruke formelen x = - b ± D 2 · a, det vil gi samme resultat som formelen x = - b 2 · a.

La oss se på eksempler.

Eksempler på løsning av andregradsligninger

La oss gi en løsning på eksemplene for forskjellige betydninger diskriminerende.

Eksempel 6

Vi må finne røttene til ligningen x 2 + 2 x − 6 = 0.

Løsning

La oss skrive ned de numeriske koeffisientene til den kvadratiske ligningen: a = 1, b = 2 og c = − 6. Deretter fortsetter vi i henhold til algoritmen, dvs. La oss begynne å beregne diskriminanten, som vi vil erstatte koeffisientene a, b Og c inn i diskriminantformelen: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Så vi får D > 0, som betyr at den opprinnelige ligningen vil ha to reelle røtter.
For å finne dem bruker vi rotformelen x = - b ± D 2 · a, og erstatter de tilsvarende verdiene, får vi: x = - 2 ± 28 2 · 1. La oss forenkle det resulterende uttrykket ved å ta faktoren ut av rottegnet og deretter redusere brøken:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 eller x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 eller x = - 1 - 7

Svar: x = - 1 + 7​​​​, x = - 1 - 7 .

Eksempel 7

Må løse en andregradsligning − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Løsning

La oss definere diskriminanten: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Med denne verdien av diskriminanten vil den opprinnelige ligningen bare ha én rot, bestemt av formelen x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Svar: x = 3,5.

Eksempel 8

Ligningen må løses 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Løsning

De numeriske koeffisientene til denne ligningen vil være: a = 5, b = 6 og c = 2. Vi bruker disse verdiene for å finne diskriminanten: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Den beregnede diskriminanten er negativ, så den opprinnelige kvadratiske ligningen har ingen reelle røtter.

I tilfellet når oppgaven er å indikere komplekse røtter, bruker vi rotformelen og utfører handlinger med komplekse tall:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 eller x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i eller x = - 3 5 - 1 5 · i.

Svar: det er ingen reelle røtter; de komplekse røttene er som følger: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

I skolepensum Det er ingen standardkrav for å lete etter komplekse røtter, derfor, hvis diskriminanten under løsningen blir bestemt til å være negativ, blir svaret umiddelbart skrevet ned at det ikke er noen reelle røtter.

Rotformel for selv andre koeffisienter

Rotformelen x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) gjør det mulig å oppnå en annen formel, mer kompakt, slik at man kan finne løsninger på kvadratiske ligninger med en jevn koeffisient for x ( eller med en koeffisient på formen 2 · n, for eksempel 2 3 eller 14 ln 5 = 2 7 ln 5). La oss vise hvordan denne formelen er utledet.

La oss stå overfor oppgaven med å finne en løsning på den kvadratiske ligningen a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Vi fortsetter i henhold til algoritmen: vi bestemmer diskriminanten D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), og bruker deretter rotformelen:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

La uttrykket n 2 − a · c betegnes som D 1 (noen ganger er det betegnet D "). Da vil formelen for røttene til den andregradsligningen som vurderes med den andre koeffisienten 2 · n ha formen:

x = - n ± D 1 a, hvor D 1 = n 2 − a · c.

Det er lett å se at D = 4 · D 1, eller D 1 = D 4. D 1 er med andre ord en fjerdedel av diskriminanten. Tydeligvis er tegnet på D 1 det samme som tegnet på D, noe som betyr at tegnet på D 1 også kan tjene som en indikator på tilstedeværelsen eller fraværet av røttene til en kvadratisk ligning.

Definisjon 11

For å finne en løsning på en kvadratisk ligning med en andre koeffisient på 2 n, er det nødvendig:

• finn D 1 = n 2 − a · c ;
• på D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• når D 1 = 0, bestem den eneste roten av ligningen ved å bruke formelen x = - n a;
• for D 1 > 0, bestem to reelle røtter ved å bruke formelen x = - n ± D 1 a.

Eksempel 9

Det er nødvendig å løse den kvadratiske ligningen 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Løsning

Vi kan representere den andre koeffisienten til den gitte ligningen som 2 · (− 3) . Deretter omskriver vi den gitte andregradsligningen til 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, hvor a = 5, n = − 3 og c = − 32.

La oss beregne den fjerde delen av diskriminanten: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Den resulterende verdien er positiv, noe som betyr at ligningen har to reelle røtter. La oss bestemme dem ved å bruke den tilsvarende rotformelen:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 eller x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 eller x = - 2

Det ville være mulig å utføre beregninger ved å bruke den vanlige formelen for røttene til en kvadratisk ligning, men i dette tilfellet vil løsningen være mer tungvint.

Svar: x = 3 1 5 eller x = - 2 .

Forenkle formen til kvadratiske ligninger

Noen ganger er det mulig å optimalisere formen til den opprinnelige ligningen, noe som vil forenkle prosessen med å beregne røttene.

For eksempel er den andregradsligningen 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 klart mer praktisk å løse enn 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Oftere utføres forenkling av formen til en kvadratisk ligning ved å multiplisere eller dele begge sider med et visst tall. For eksempel, ovenfor viste vi en forenklet representasjon av ligningen 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, oppnådd ved å dele begge sider med 100.

En slik transformasjon er mulig når koeffisientene til den kvadratiske ligningen ikke er koprimtall. Da deler vi vanligvis begge sider av ligningen med den største felles deler absolutte verdier av koeffisientene.

Som et eksempel bruker vi den andregradsligningen 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. La oss bestemme GCD for de absolutte verdiene til koeffisientene: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. La oss dele begge sider av den opprinnelige andregradsligningen med 6 og få den ekvivalente andregradsligningen 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Ved å multiplisere begge sider av en andregradsligning, blir du vanligvis kvitt brøkkoeffisienter. I dette tilfellet multipliserer de med det minste felles multiplum av nevnerne til koeffisientene. For eksempel, hvis hver del av andregradsligningen 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 multipliseres med LCM (6, 3, 1) = 6, vil den bli skrevet i mer i enkel form x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Til slutt legger vi merke til at vi nesten alltid kvitter oss med minus ved den første koeffisienten til en kvadratisk ligning ved å endre tegnene til hvert ledd i ligningen, som oppnås ved å multiplisere (eller dividere) begge sider med − 1. For eksempel, fra den andregradsligningen − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, kan du gå til dens forenklede versjon 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Sammenheng mellom røtter og koeffisienter

Formelen for røttene til kvadratiske ligninger, allerede kjent for oss, x = - b ± D 2 · a, uttrykker røttene til ligningen gjennom dens numeriske koeffisienter. Basert på denne formelen har vi mulighet til å spesifisere andre avhengigheter mellom røttene og koeffisientene.

De mest kjente og anvendelige formlene er Vietas teorem:

x 1 + x 2 = - b a og x 2 = c a.

Spesielt for den gitte kvadratiske ligningen er summen av røttene den andre koeffisienten med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet. For eksempel, ved å se på formen til kvadratisk ligning 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, er det mulig å umiddelbart bestemme at summen av røttene er 7 3 og produktet av røttene er 22 3.

Du kan også finne en rekke andre sammenhenger mellom røttene og koeffisientene til en kvadratisk ligning. For eksempel kan summen av kvadratene til røttene til en kvadratisk ligning uttrykkes i termer av koeffisienter:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter