Full funksjon utforskning og plotting. Fullstendig eksempel på funksjonsforskning online

Til full studie funksjon og konstruksjon av grafen, anbefales det å bruke følgende skjema:

1) finne omfanget av funksjonen;

2) finn diskontinuitetspunktene til funksjonen og vertikale asymptoter (hvis de finnes);

3) undersøk oppførselen til funksjonen i det uendelige, finn de horisontale og skrå asymptotene;

4) undersøke funksjonen for jevnhet (odditet) og for periodisitet (for trigonometriske funksjoner);

5) finne ekstrema og intervaller for monotonitet av funksjonen;

6) bestemme intervallene for konveksitet og bøyningspunkter;

7) finn skjæringspunkter med koordinataksene, hvis mulig, og noen tilleggspunkter som avgrenser grafen.

Studiet av funksjonen utføres samtidig med konstruksjonen av grafen.

Eksempel 9 Utforsk funksjonen og lag en graf.

1. Definisjonsdomene: ;

2. Funksjonen bryter på punkter
,
;

Vi undersøker funksjonen for tilstedeværelsen av vertikale asymptoter.

;
,
─ vertikal asymptote.

;
,
─ vertikal asymptote.

3. Vi undersøker funksjonen for tilstedeværelsen av skrå og horisontale asymptoter.

Rett
─ skrå asymptote, if
,
.

,
.

Rett
─ horisontal asymptote.

4. Funksjonen er enda fordi
. Funksjonens paritet indikerer symmetrien til grafen i forhold til y-aksen.

5. Finn intervallene for monotonisitet og ekstrema for funksjonen.

La oss finne de kritiske punktene, dvs. punkter der den deriverte er 0 eller ikke eksisterer:
;
. Vi har tre poeng
;

. Disse punktene deler hele den reelle aksen i fire intervaller. La oss definere tegnene på hver av dem.

På intervallene (-∞; -1) og (-1; 0) øker funksjonen, på intervallene (0; 1) og (1; +∞) reduseres den. Når du passerer gjennom et punkt
den deriverte endrer fortegn fra pluss til minus, derfor har funksjonen på dette tidspunktet et maksimum
.

6. La oss finne konveksitetsintervaller, bøyningspunkter.

La oss finne punktene hvor er 0, eller eksisterer ikke.

har ingen reelle røtter.
,
,

poeng
Og
del den reelle aksen i tre intervaller. La oss definere tegnet ved hvert intervall.

Dermed er kurven på intervallene
Og
konveks nedover, på intervallet (-1;1) konveks oppover; det er ingen bøyningspunkter, siden funksjonen i punktene
Og
ikke bestemt.

7. Finn skjæringspunktene med aksene.

med aksel
grafen til funksjonen skjærer i punktet (0; -1), og med aksen
grafen skjærer ikke, fordi telleren til denne funksjonen har ingen reelle røtter.

Grafen for den gitte funksjonen er vist i figur 1.

Figur 1 ─ Graf over funksjonen

Anvendelse av begrepet derivat i økonomi. Funksjonselastisitet

For å studere økonomiske prosesser og løse andre anvendte problemer, brukes ofte begrepet funksjonselastisitet.

Definisjon. Funksjonselastisitet
kalles grensen for forholdet mellom den relative økningen av funksjonen til den relative økningen av variabelen på
, . (VII)

Elastisiteten til en funksjon viser omtrent hvor mange prosent funksjonen vil endre seg
når du endrer den uavhengige variabelen med 1 %.

Elastisiteten til en funksjon brukes i analysen av etterspørsel og forbruk. Hvis elastisiteten til etterspørselen (i absolutt verdi)
, da anses etterspørselen som elastisk hvis
─ nøytral hvis
─ uelastisk med hensyn til pris (eller inntekt).

Eksempel 10 Regn ut elastisiteten til en funksjon
og finn verdien av elastisitetsindeksen for = 3.

Løsning: i henhold til formelen (VII) elastisiteten til funksjonen:

La da x=3
Dette betyr at dersom den uavhengige variabelen øker med 1 %, vil verdien av den avhengige variabelen øke med 1,42 %.

Eksempel 11 La etterspørselen fungere angående prisen har formen
, Hvor ─ konstant koeffisient. Finn verdien av elastisitetsindeksen til etterspørselsfunksjonen til prisen x = 3 den. enheter

Løsning: beregne elastisiteten til etterspørselsfunksjonen ved å bruke formelen (VII)

Forutsatt
pengeenheter, får vi
. Dette betyr at til prisen
pengeenhet en prisøkning på 1 % vil føre til en nedgang i etterspørselen med 6 %, dvs. etterspørselen er elastisk.

En av de viktigste oppgavene differensialregning er utviklingen vanlige eksempler studier av funksjoner.

Hvis funksjonen y \u003d f (x) er kontinuerlig på intervallet, og dens deriverte er positiv eller lik 0 på intervallet (a, b), øker y \u003d f (x) med (f "(x) 0). Hvis funksjonen y \u003d f (x) er kontinuerlig på segmentet, og dens deriverte er negativ eller lik 0 på intervallet (a,b), reduseres y=f(x) med (f"( x)0)

Intervallene der funksjonen ikke avtar eller øker kalles intervaller for monotonisitet av funksjonen. Arten av monotoniteten til en funksjon kan bare endres på de punktene i dens definisjonsdomene, der tegnet til den første deriverte endres. Punktene der den første deriverte av en funksjon forsvinner eller bryter kalles kritiske punkter.

Teorem 1 (1. tilstrekkelig betingelse for eksistensen av et ekstremum).

La funksjonen y=f(x) være definert ved punktet x 0 og la det være et nabolag δ>0 slik at funksjonen er kontinuerlig på segmentet , differensierbar på intervallet (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , og dens deriverte beholder et konstant fortegn på hvert av disse intervallene. Så hvis på x 0 -δ, x 0) og (x 0, x 0 + δ) fortegnene til den deriverte er forskjellige, så er x 0 et ekstremumpunkt, og hvis de samsvarer, så er ikke x 0 et ekstremumpunkt . Videre, hvis, når den passerer gjennom punktet x0, den deriverte endrer fortegn fra pluss til minus (til venstre for x 0, utføres f "(x)> 0, så er x 0 maksimumspunktet; hvis den deriverte endrer fortegn fra minus til pluss (til høyre for x 0 utføres av f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Maksimums- og minimumspunktene kalles funksjonens ytterpunkt, og funksjonens maksimums- og minimumspunkt kalles dens ekstreme verdier.

Teorem 2 (nødvendig kriterium for et lokalt ekstremum).

Hvis funksjonen y=f(x) har et ekstremum ved gjeldende x=x 0, eksisterer ikke enten f'(x 0)=0 eller f'(x 0).
Ved ytterpunktene til en differensierbar funksjon er tangenten til grafen parallell med Ox-aksen.

Algoritme for å studere en funksjon for et ekstremum:

1) Finn den deriverte av funksjonen.
2) Finn kritiske punkter, dvs. punkter hvor funksjonen er kontinuerlig og den deriverte er null eller ikke eksisterer.
3) Vurder nabolaget til hvert av punktene, og undersøk tegnet til den deriverte til venstre og høyre for dette punktet.
4) Bestem koordinatene til ekstrempunktene, for denne verdien av de kritiske punktene, bytt inn i denne funksjonen. Trekk passende konklusjoner ved å bruke tilstrekkelige ekstreme forhold.

Eksempel 18. Undersøk funksjonen y=x 3 -9x 2 +24x

Løsning.
1) y"=3x2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Ved å likestille den deriverte med null finner vi x 1 =2, x 2 =4. I denne saken den deriverte er definert overalt; derfor, bortsett fra de to funnet punktene, er det ingen andre kritiske punkter.
3) Tegnet til den deriverte y "=3(x-2)(x-4) endres avhengig av intervallet som vist i figur 1. Når man passerer gjennom punktet x=2, endrer den deriverte fortegn fra pluss til minus, og når du passerer gjennom punktet x=4 - fra minus til pluss.
4) I punktet x=2 har funksjonen maksimalt y max =20, og i punktet x=4 - minimum y min =16.

Teorem 3. (2. tilstrekkelig betingelse for eksistensen av et ekstremum).

La f "(x 0) og f "" (x 0) eksistere ved punktet x 0. Så hvis f "" (x 0)> 0, så er x 0 minimumspunktet, og hvis f "" (x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

På segmentet kan funksjonen y \u003d f (x) nå den minste (minst) eller største (høyst) verdien enten ved de kritiske punktene til funksjonen som ligger i intervallet (a; b), eller i endene av segmentet.

Algoritmen for å finne de største og minste verdiene av en kontinuerlig funksjon y=f(x) på segmentet:

1) Finn f "(x).
2) Finn punktene der f "(x) = 0 eller f" (x) - ikke eksisterer, og velg fra dem de som ligger innenfor segmentet.
3) Beregn verdien av funksjonen y \u003d f (x) ved punktene oppnådd i avsnitt 2), så vel som ved endene av segmentet og velg den største og minste av dem: de er henholdsvis den største ( for de største) og de minste (for de minste) funksjonsverdiene på segmentet.

Eksempel 19. Finn den største verdien av en kontinuerlig funksjon y=x 3 -3x 2 -45+225 på segmentet .

1) Vi har y "=3x 2 -6x-45 på segmentet
2) Den deriverte y" eksisterer for alle x. La oss finne punktene der y"=0; vi får:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Regn ut verdien av funksjonen i punktene x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Bare punktet x=5 hører til segmentet. Den største av funnverdiene til funksjonen er 225, og den minste er tallet 50. Så, ved maks = 225, ved maks = 50.

Undersøkelse av en funksjon på konveksitet

Figuren viser grafene til to funksjoner. Den første av dem er snudd med en bule opp, den andre - med en bule ned.

Funksjonen y=f(x) er kontinuerlig på segmentet og differensierbar i intervallet (a;b), kalles konveks opp (ned) på dette segmentet, hvis grafen for axb ikke ligger høyere (ikke lavere) enn tangenten tegnet på et hvilket som helst punkt M 0 (x 0 ;f(x 0)), hvor axb.

Teorem 4. La funksjonen y=f(x) ha en andrederivert i et hvilket som helst indre punkt x i segmentet og være kontinuerlig i enden av dette segmentet. Så hvis ulikheten f""(x)0 er tilfredsstilt på intervallet (a;b), så er funksjonen nedadkonveks på segmentet ; hvis ulikheten f""(x)0 er tilfredsstilt på intervallet (а;b), så er funksjonen konveks oppover på .

Teorem 5. Hvis funksjonen y=f(x) har en andrederiverte på intervallet (a;b) og hvis den endrer fortegn når den passerer gjennom punktet x 0 , så er M(x 0 ;f(x 0)) et bøyningspunkt.

Regel for å finne bøyningspunkter:

1) Finn punkter der f""(x) ikke eksisterer eller forsvinner.
2) Undersøk tegnet f""(x) til venstre og høyre for hvert punkt funnet i det første trinnet.
3) Trekk en konklusjon med utgangspunkt i teorem 4.

Eksempel 20. Finn ekstremumpunkter og infleksjonspunkter for funksjonsgrafen y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Vi har f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Det er klart at f"(x)=0 for x 1 =0, x 2 =1. Den deriverte, når den passerer gjennom punktet x=0, endrer fortegn fra minus til pluss, og når den passerer gjennom punktet x=1, endrer den ikke fortegn. Dette betyr at x=0 er minimumspunktet (y min =12), og det er ikke noe ekstremum i punktet x=1. Deretter finner vi . Den andre deriverte forsvinner ved punktene x 1 =1, x 2 =1/3. Tegnene til den andre deriverte endres som følger: På strålen (-∞;) har vi f""(x)>0, på intervallet (;1) har vi f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Derfor er x= bøyningspunktet til funksjonsgrafen (overgang fra konveksitet ned til konveksitet opp) og x=1 er også et bøyningspunkt (overgang fra konveksitet opp til konveksitet ned). Hvis x=, så y= ; hvis, så x=1, y=13.

En algoritme for å finne asymptoten til en graf

I. Hvis y=f(x) som x → a , så er x=a en vertikal asymptote.
II. Hvis y=f(x) som x → ∞ eller x → -∞ så er y=A den horisontale asymptoten.
III. For å finne den skrå asymptoten bruker vi følgende algoritme:
1) Beregn . Hvis grensen eksisterer og er lik b, så er y=b den horisontale asymptoten; hvis , gå til det andre trinnet.
2) Beregn . Hvis denne grensen ikke eksisterer, er det ingen asymptote; hvis den eksisterer og er lik k, gå til det tredje trinnet.
3) Beregn . Hvis denne grensen ikke eksisterer, er det ingen asymptote; hvis den eksisterer og er lik b, gå til det fjerde trinnet.
4) Skriv ned ligningen til den skrå asymptoten y=kx+b.

Eksempel 21: Finn en asymptote for en funksjon

1)
2)
3)
4) Den skrå asymptote-ligningen har formen

Opplegget for studiet av funksjonen og konstruksjonen av grafen

I. Finn funksjonens domene.
II. Finn skjæringspunktene til grafen til funksjonen med koordinataksene.
III. Finn asymptoter.
IV. Finn punkter med mulig ekstremum.
V. Finn kritiske punkter.
VI. Ved hjelp av hjelpetegningen, undersøk fortegnet til den første og andre deriverte. Bestem områdene for økning og reduksjon av funksjonen, finn retningen til grafens konveksitet, ekstremumpunkter og bøyningspunkter.
VII. Bygg en graf, ta hensyn til studien utført i avsnitt 1-6.

Eksempel 22: Plott en funksjonsgraf i henhold til skjemaet ovenfor

Løsning.
I. Domenet til funksjonen er mengden av alle reelle tall, bortsett fra x=1.
II. Siden ligningen x 2 +1=0 ikke har reelle røtter, så har ikke grafen til funksjonen skjæringspunkter med Ox-aksen, men skjærer Oy-aksen i punktet (0; -1).
III. La oss avklare spørsmålet om eksistensen av asymptoter. Vi undersøker funksjonen til funksjonen nær diskontinuitetspunktet x=1. Siden y → ∞ for x → -∞, y → +∞ for x → 1+, så er linjen x=1 en vertikal asymptote av grafen til funksjonen.
Hvis x → +∞(x → -∞), så y → +∞(y → -∞); derfor har ikke grafen en horisontal asymptote. Videre fra eksistensen av grenser

Løser vi ligningen x 2 -2x-1=0, får vi to poeng av et mulig ekstremum:
x 1 =1-√2 og x 2 =1+√2

V. For å finne de kritiske punktene, beregner vi den andre deriverte:

Siden f""(x) ikke forsvinner, er det ingen kritiske punkter.
VI. Vi undersøker fortegnet til den første og andre deriverte. Mulige ekstremumpunkter som skal vurderes: x 1 =1-√2 og x 2 =1+√2, del opp eksistensområdet til funksjonen i intervaller (-∞;1-√2),(1-√2) ;1+√2) og (1+√2;+∞).

I hvert av disse intervallene beholder den deriverte tegnet sitt: i det første - pluss, i det andre - minus, i det tredje - pluss. Tegnsekvensen til den første deriverte vil bli skrevet som følger: +, -, +.
Vi får at funksjonen på (-∞;1-√2) øker, på (1-√2;1+√2) minker den, og på (1+√2;+∞) øker den igjen. Ekstrempunkter: maksimum ved x=1-√2, dessuten f(1-√2)=2-2√2 minimum ved x=1+√2, dessuten f(1+√2)=2+2√2. På (-∞;1) er grafen konveks oppover, og på (1;+∞) - nedover.
VII La oss lage en tabell over de oppnådde verdiene

VIII Basert på innhentede data bygger vi en skisse av grafen til funksjonen

I dag inviterer vi deg til å utforske og plotte en funksjonsgraf sammen med oss. Etter en nøye undersøkelse av denne artikkelen, trenger du ikke å svette lenge for å fullføre denne typen oppgave. Det er ikke lett å utforske og bygge en graf av en funksjon, arbeidet er omfangsrikt, krever maksimal oppmerksomhet og nøyaktighet av beregninger. For å lette oppfatningen av materialet, vil vi gradvis studere den samme funksjonen, forklare alle våre handlinger og beregninger. Velkommen til matematikkens fantastiske og fascinerende verden! Gå!

Domene

For å utforske og plotte en funksjon, må du kjenne til noen få definisjoner. En funksjon er et av de grunnleggende (grunnleggende) begrepene i matematikk. Den gjenspeiler avhengigheten mellom flere variabler (to, tre eller flere) med endringer. Funksjonen viser også avhengigheten av sett.

Tenk deg at vi har to variabler som har et visst endringsområde. Så y er en funksjon av x, forutsatt at hver verdi av den andre variabelen tilsvarer en verdi av den andre. I dette tilfellet er variabelen y avhengig, og den kalles en funksjon. Det er vanlig å si at variablene x og y er i For større klarhet i denne avhengigheten bygges en graf over funksjonen. Hva er en funksjonsgraf? Dette er et sett med punkter på koordinatplanet, der hver verdi av x tilsvarer én verdi av y. Grafer kan være forskjellige - en rett linje, hyperbel, parabel, sinusoid og så videre.

En funksjonsgraf kan ikke plottes uten utforskning. I dag skal vi lære å utføre forskning og plotte en funksjonsgraf. Det er veldig viktig å gjøre notater underveis i studiet. Så det blir mye lettere å takle oppgaven. Den mest praktiske studieplanen:

1. Domene.
2. Kontinuitet.
3. Jevn eller ujevn.
4. Periodisitet.
5. Asymptoter.
6. Null.
7. Konstans.
8. Stigende og synkende.
9. Ytterligheter.
10. Konveksitet og konkavitet.

La oss starte med det første punktet. La oss finne definisjonsdomenet, det vil si på hvilke intervaller funksjonen vår eksisterer: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). I vårt tilfelle eksisterer funksjonen for alle verdier av x, det vil si at definisjonsdomenet er R. Dette kan skrives som xОR.

Kontinuitet

Nå skal vi utforske diskontinuitetsfunksjonen. I matematikk dukket begrepet "kontinuitet" opp som et resultat av studiet av bevegelseslovene. Hva er uendelig? Plass, tid, noen avhengigheter (et eksempel er avhengigheten av variablene S og t i bevegelsesproblemer), temperaturen på det oppvarmede objektet (vann, stekepanne, termometer og så videre), en kontinuerlig linje (det vil si en som kan tegnes uten å ta den av blyanten).

En graf regnes som kontinuerlig hvis den ikke bryter på et tidspunkt. Et av de mest åpenbare eksemplene på en slik graf er en sinusbølge, som du kan se på bildet i denne delen. Funksjonen er kontinuerlig på et tidspunkt x0 hvis en rekke betingelser er oppfylt:

• en funksjon er definert på et gitt punkt;
• høyre og venstre grenser på et punkt er like;
• grensen er lik verdien av funksjonen i punktet x0.

Hvis minst én betingelse ikke er oppfylt, sies funksjonen å bryte. Og punktene der funksjonen bryter kalles brytepunkter. Et eksempel på en funksjon som vil "bryte" når den vises grafisk er: y=(x+4)/(x-3). Dessuten eksisterer ikke y i punktet x = 3 (siden det er umulig å dele med null).

I funksjonen som vi studerer (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) viste alt seg å være enkelt, siden grafen vil være kontinuerlig.

Even, rart

Undersøk nå funksjonen for paritet. La oss starte med en liten teori. En jevn funksjon er en funksjon som tilfredsstiller betingelsen f (-x) = f (x) for en hvilken som helst verdi av variabelen x (fra verdiområdet). Eksempler er:

• modul x (grafen ser ut som en jackdaw, halveringslinjen for første og andre kvartal av grafen);
• x kvadrat (parabel);
• cosinus x (kosinusbølge).

Merk at alle disse grafene er symmetriske når de sees i forhold til y-aksen.

Hva kalles da en oddetallsfunksjon? Dette er de funksjonene som tilfredsstiller betingelsen: f (-x) \u003d - f (x) for enhver verdi av variabelen x. Eksempler:

• hyperbel;
• kubisk parabel;
• sinusformet;
• tangent og så videre.

Vær oppmerksom på at disse funksjonene er symmetriske om punktet (0:0), det vil si opprinnelsen. Basert på det som ble sagt i denne delen av artikkelen, må en partall og oddetall funksjon ha egenskapen: x tilhører definisjonssettet og -x også.

La oss undersøke funksjonen for paritet. Vi kan se at hun ikke passer til noen av beskrivelsene. Derfor er funksjonen vår verken partall eller oddetall.

Asymptoter

La oss starte med en definisjon. En asymptote er en kurve som er så nær grafen som mulig, det vil si at avstanden fra et punkt har en tendens til null. Det er tre typer asymptoter:

• vertikal, det vil si parallelt med y-aksen;
• horisontal, dvs. parallelt med x-aksen;
• skrå.

Når det gjelder den første typen, bør disse linjene ses etter på noen punkter:

• mellomrom;
• ender av domenet.

I vårt tilfelle er funksjonen kontinuerlig, og definisjonsdomenet er R. Derfor er det ingen vertikale asymptoter.

Grafen til en funksjon har en horisontal asymptote, som oppfyller følgende krav: hvis x har en tendens til uendelig eller minus uendelig, og grensen er lik et visst tall (for eksempel a). I dette tilfellet er y=a den horisontale asymptoten. Det er ingen horisontale asymptoter i funksjonen vi studerer.

En skrå asymptote eksisterer bare hvis to betingelser er oppfylt:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Da kan den bli funnet ved formelen: y=kx+b. Igjen, i vårt tilfelle er det ingen skrå asymptoter.

Funksjonsnuller

Det neste trinnet er å undersøke grafen til funksjonen for nuller. Det er også veldig viktig å merke seg at oppgaven knyttet til å finne nullpunktene til en funksjon skjer ikke bare i studiet og konstruksjonen av en funksjonsgraf, men også som en uavhengig oppgave, og som en måte å løse ulikheter på. Du kan bli bedt om å finne nullene til en funksjon på en graf eller bruke matematisk notasjon.

Å finne disse verdiene vil hjelpe deg med å plotte funksjonen mer nøyaktig. Enkelt sagt er null av funksjonen verdien av variabelen x, der y = 0. Hvis du ser etter nullpunktene til en funksjon på en graf, bør du være oppmerksom på punktene der grafen skjærer x-aksen.

For å finne nullpunktene til funksjonen må du løse følgende ligning: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Etter å ha gjort de nødvendige beregningene får vi følgende svar:

tegnkonstans

Det neste trinnet i studiet og konstruksjonen av en funksjon (grafikk) er å finne intervaller for tegnkonstans. Det betyr at vi må bestemme på hvilke intervaller funksjonen tar en positiv verdi, og på hvilke intervaller den tar negativ verdi. Nullpunktene til funksjonene i forrige seksjon vil hjelpe oss å gjøre dette. Så vi må bygge en rett linje (separat fra grafen) og fordele nullpunktene til funksjonen langs den i riktig rekkefølge fra minste til største. Nå må du bestemme hvilket av de resulterende intervallene som har et "+"-tegn, og hvilket som har et "-".

I vårt tilfelle tar funksjonen en positiv verdi på intervallene:

• fra 1 til 4;
• fra 9 til uendelig.

Negativ betydning:

• fra minus uendelig til 1;
• fra 4 til 9.

Dette er ganske enkelt å fastslå. Bytt inn et hvilket som helst tall fra intervallet i funksjonen og se hvilket tegn svaret er (minus eller pluss).

Funksjon stigende og synkende

For å utforske og bygge en funksjon, må vi vite hvor grafen vil øke (gå opp på Oy), og hvor den vil falle (krype ned langs y-aksen).

Funksjonen øker bare hvis den største verdien av variabelen x tilsvarer den større verdien av y. Det vil si at x2 er større enn x1, og f(x2) er større enn f(x1). Og vi observerer et helt motsatt fenomen i en avtagende funksjon (jo mer x, jo mindre y). For å bestemme intervallene for økning og reduksjon, må du finne følgende:

• omfang (vi har det allerede);
• derivat (i vårt tilfelle: 1/3(3x^2-28x+49);
• løs ligningen 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Etter beregninger får vi resultatet:

Vi får: funksjonen øker på intervallene fra minus uendelig til 7/3 og fra 7 til uendelig, og avtar på intervallet fra 7/3 til 7.

Ytterligheter

Den undersøkte funksjonen y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) er kontinuerlig og eksisterer for alle verdier av variabelen x. Ytterpunktet viser maksimum og minimum for denne funksjonen. I vårt tilfelle er det ingen, noe som i stor grad forenkler byggeoppgaven. Ellers finnes de også ved hjelp av den deriverte funksjonen. Etter å ha funnet, ikke glem å merke dem på diagrammet.

Konveksitet og konkavitet

Vi fortsetter å studere funksjonen y(x). Nå må vi sjekke det for konveksitet og konkavitet. Definisjonene av disse konseptene er ganske vanskelige å oppfatte, det er bedre å analysere alt med eksempler. For testen: en funksjon er konveks hvis den er en ikke-avtagende funksjon. Enig, dette er uforståelig!

Vi må finne den deriverte av andreordensfunksjonen. Vi får: y=1/3(6x-28). Nå setter vi likhetstegn mellom høyre side og null og løser ligningen. Svar: x=14/3. Vi har funnet bøyningspunktet, det vil si stedet der grafen endres fra konveks til konkav eller omvendt. På intervallet fra minus uendelig til 14/3 er funksjonen konveks, og fra 14/3 til pluss uendelig er den konkav. Det er også veldig viktig å merke seg at vendepunktet på grafen skal være jevnt og mykt, det skal ikke være noen skarpe hjørner.

Definisjon av tilleggspoeng

Vår oppgave er å utforske og plotte funksjonsgrafen. Vi har gjennomført studien, det blir ikke vanskelig å plotte funksjonen nå. For en mer nøyaktig og detaljert gjengivelse av en kurve eller en rett linje på koordinatplanet, kan du finne flere hjelpepunkter. Det er ganske enkelt å beregne dem. For eksempel tar vi x=3, løser den resulterende ligningen og finner y=4. Eller x=5 og y=-5 og så videre. Du kan ta så mange ekstra poeng du trenger for å bygge. Minst 3-5 av dem er funnet.

Plotte

Vi trengte å undersøke funksjonen (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Alle nødvendige merker i løpet av beregningene ble laget på koordinatplanet. Alt som gjenstår å gjøre er å bygge en graf, det vil si å koble alle punktene til hverandre. Å koble sammen prikkene er jevn og nøyaktig, dette er et spørsmål om ferdigheter - litt trening og timeplanen din vil være perfekt.