Exemplos de progressão geométrica. Esteja sempre de bom humor

A progressão geométrica, juntamente com a aritmética, é uma série numérica importante que é estudada no curso de álgebra escolar na 9ª série. Neste artigo, vamos considerar o denominador de uma progressão geométrica e como seu valor afeta suas propriedades.

Definição de progressão geométrica

Para começar, damos a definição dessa série numérica. Uma progressão geométrica é uma série de números racionais que é formada pela multiplicação sucessiva de seu primeiro elemento por um número constante chamado denominador.

Por exemplo, os números da série 3, 6, 12, 24, ... são uma progressão geométrica, porque se multiplicarmos 3 (o primeiro elemento) por 2, obtemos 6. Se multiplicarmos 6 por 2, obtemos 12, e assim por diante.

Os membros da sequência em consideração são geralmente denotados pelo símbolo ai, onde i é um número inteiro que indica o número do elemento na série.

A definição acima de uma progressão pode ser escrita na linguagem da matemática da seguinte forma: an = bn-1 * a1, onde b é o denominador. É fácil verificar esta fórmula: se n = 1, então b1-1 = 1, e obtemos a1 = a1. Se n = 2, então an = b * a1, e novamente chegamos à definição da série de números em consideração. Raciocínio semelhante pode ser continuado para grandes valores n.

O denominador de uma progressão geométrica

O número b determina completamente qual caractere toda a série de números terá. O denominador b pode ser positivo, negativo ou maior ou menor que um. Todas as opções acima levam a diferentes sequências:

• b > 1. Existe uma série crescente de números racionais. Por exemplo, 1, 2, 4, 8, ... Se o elemento a1 for negativo, toda a sequência aumentará apenas o módulo, mas diminuirá levando em consideração o sinal dos números.
• b = 1. Freqüentemente, tal caso não é chamado de progressão, pois existe uma série ordinária de números racionais idênticos. Por exemplo, -4, -4, -4.

Fórmula para soma

Antes de proceder à consideração de problemas específicos usando o denominador do tipo de progressão em consideração, uma fórmula importante deve ser fornecida para a soma de seus primeiros n elementos. A fórmula é: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Você mesmo pode obter essa expressão se considerar uma sequência recursiva de membros da progressão. Observe também que na fórmula acima, basta conhecer apenas o primeiro elemento e o denominador para encontrar a soma de um número arbitrário de termos.

Sequência infinitamente decrescente

Acima foi uma explicação do que é. Agora, conhecendo a fórmula de Sn, vamos aplicá-la a esta série numérica. Como qualquer número cujo módulo não exceda 1 tende a zero quando elevado a grandes potências, ou seja, b∞ => 0 se -1

Como a diferença (1 - b) será sempre positiva, independente do valor do denominador, o sinal da soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente S∞ é determinado unicamente pelo sinal de seu primeiro elemento a1.

Agora vamos considerar vários problemas, onde mostraremos como aplicar o conhecimento adquirido a números específicos.

Tarefa número 1. Cálculo dos elementos desconhecidos da progressão e da soma

Dada uma progressão geométrica, o denominador da progressão é 2 e seu primeiro elemento é 3. Quais serão seus 7º e 10º termos e qual é a soma de seus sete elementos iniciais?

A condição do problema é bastante simples e envolve o uso direto das fórmulas acima. Assim, para calcular o elemento com número n, usamos a expressão an = bn-1 * a1. Para o 7º elemento temos: a7 = b6 * a1, substituindo os dados conhecidos, obtemos: a7 = 26 * 3 = 192. Fazemos o mesmo para o 10º membro: a10 = 29 * 3 = 1536.

Usamos a conhecida fórmula da soma e determinamos esse valor para os primeiros 7 elementos da série. Temos: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Tarefa número 2. Determinar a soma dos elementos arbitrários da progressão

Seja -2 o denominador da progressão exponencial bn-1 * 4, onde n é um número inteiro. É necessário determinar a soma do 5º ao 10º elemento desta série, inclusive.

O problema proposto não pode ser resolvido diretamente usando fórmulas conhecidas. Pode ser resolvido de 2 maneiras diferentes. Por uma questão de completude, apresentamos ambos.

Método 1. Sua ideia é simples: você precisa calcular as duas somas correspondentes dos primeiros termos e depois subtrair o outro de um. Calcule a soma menor: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Agora nós calculamos uma grande quantidade: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Observe que na última expressão foram somados apenas 4 termos, pois o 5º já está incluído na soma que precisa ser calculada de acordo com a condição do problema. Finalmente, tomamos a diferença: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Método 2. Antes de substituir números e contar, você pode obter uma fórmula para a soma entre os termos m e n da série em questão. Agimos exatamente da mesma forma que no método 1, apenas trabalhamos primeiro com a representação simbólica da soma. Temos: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Você pode substituir números conhecidos na expressão resultante e calcular o resultado final: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Tarefa número 3. Qual é o denominador?

Seja a1 = 2, encontre o denominador da progressão geométrica, desde que sua soma infinita seja 3, e saiba-se que se trata de uma série decrescente de números.

De acordo com a condição do problema, não é difícil adivinhar qual fórmula deve ser usada para resolvê-lo. Claro, pela soma de uma progressão infinitamente decrescente. Temos: S∞ = a1 / (1 - b). De onde expressamos o denominador: b = 1 - a1 / S∞. Resta substituir os valores conhecidos e obter o número necessário: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 ou -0,333 (3). Podemos verificar esse resultado qualitativamente se lembrarmos que, para esse tipo de sequência, o módulo b não deve ultrapassar 1. Como você pode ver, |-1 / 3|

Tarefa número 4. Restaurando uma série de números

Sejam dados 2 elementos de uma série numérica, por exemplo, o 5º é igual a 30 e o 10º é igual a 60. É necessário restaurar toda a série a partir desses dados, sabendo que satisfaz as propriedades de uma progressão geométrica.

Para resolver o problema, você deve primeiro escrever a expressão correspondente para cada membro conhecido. Temos: a5 = b4 * a1 e a10 = b9 * a1. Agora dividimos a segunda expressão pela primeira, obtemos: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. A partir daqui, determinamos o denominador tomando a raiz de quinto grau da razão dos membros conhecidos da condição do problema, b = 1,148698. Substituímos o número resultante em uma das expressões para um elemento conhecido, obtemos: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Assim, descobrimos qual é o denominador da progressão bn e a progressão geométrica bn-1 * 17,2304966 = an, onde b = 1,148698.

Onde as progressões geométricas são usadas?

Se não houvesse aplicação dessa série numérica na prática, seu estudo seria reduzido a um interesse puramente teórico. Mas existe esse aplicativo.

Os 3 exemplos mais famosos estão listados abaixo:

• O paradoxo de Zenão, no qual o ágil Aquiles não consegue alcançar a lenta tartaruga, é resolvido usando o conceito de uma sequência de números infinitamente decrescente.
• Se os grãos de trigo forem colocados em cada célula do tabuleiro de xadrez de modo que 1 grão seja colocado na 1ª célula, 2 - na 2ª, 3 - na 3ª e assim por diante, então 18446744073709551615 grãos serão necessários para preencher todas as células de o quadro!
• No jogo "Torre de Hanói", para reorganizar os discos de uma haste para outra, é necessário realizar 2n - 1 operações, ou seja, seu número cresce exponencialmente a partir do número de discos n utilizados.

Progressão geométrica não menos importante na matemática do que na aritmética. Uma progressão geométrica é uma sequência de números b1, b2,..., b[n] cada próximo membro da qual é obtido multiplicando o anterior por um número constante. Esse número, que também caracteriza a taxa de crescimento ou decréscimo da progressão, é denominado denominador de uma progressão geométrica e denotar

Para tarefa completa progressão geométrica, além do denominador, é necessário conhecer ou determinar o seu primeiro termo. Para um valor positivo do denominador, a progressão é uma sequência monótona, e se esta sequência de números é monotonicamente decrescente e monotonicamente crescente quando. O caso em que o denominador é igual a um não é considerado na prática, pois temos uma sequência de números idênticos e sua soma não é de interesse prático

Termo geral de uma progressão geométrica calculado pela fórmula

A soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica determinado pela fórmula

Vamos considerar soluções de problemas clássicos de progressão geométrica. Vamos começar com o mais simples de entender.

Exemplo 1. O primeiro termo de uma progressão geométrica é 27 e seu denominador é 1/3. Encontre os seis primeiros termos de uma progressão geométrica.

Solução: Escrevemos a condição do problema na forma

Para cálculos, usamos a fórmula para o n-ésimo membro de uma progressão geométrica

Com base nisso, encontramos membros desconhecidos da progressão

Como você pode ver, calcular os termos de uma progressão geométrica não é difícil. A progressão em si ficará assim

Exemplo 2. Os três primeiros membros de uma progressão geométrica são dados: 6; -12; 24. Encontre o denominador e o sétimo termo.

Solução: Calculamos o denominador da progressão geométrica com base em sua definição

Temos uma progressão geométrica alternada cujo denominador é -2. O sétimo termo é calculado pela fórmula

Nesta tarefa é resolvido.

Exemplo 3. Uma progressão geométrica é dada por dois de seus membros . Encontre o décimo termo da progressão.

Solução:

Vamos escrever os valores dados através das fórmulas

De acordo com as regras, seria necessário encontrar o denominador e depois procurar o valor desejado, mas para o décimo termo temos

A mesma fórmula pode ser obtida com base em manipulações simples com os dados de entrada. Dividimos o sexto termo da série por outro, como resultado obtemos

Se o valor resultante for multiplicado pelo sexto termo, obtemos o décimo

Assim, para tais problemas, com o auxílio de transformações simples em via rápida você pode encontrar a solução certa.

Exemplo 4. A progressão geométrica é dada por fórmulas recorrentes

Encontre o denominador da progressão geométrica e a soma dos seis primeiros termos.

Solução:

Escrevemos os dados fornecidos na forma de um sistema de equações

Expresse o denominador dividindo a segunda equação pela primeira

Encontre o primeiro termo da progressão da primeira equação

Calcule os cinco termos a seguir para encontrar a soma da progressão geométrica

Se todo número natural n corresponder a um número real um , então eles dizem que dado sequência numérica :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , um , . . . .

Assim, uma sequência numérica é uma função de um argumento natural.

Número a 1 chamado o primeiro membro da sequência , número a 2 — o segundo membro da sequência , número a 3 — terceiro e assim por diante. Número um chamado enésimo membro sequências , e o número natural n — o número dele .

De dois membros vizinhos um E um +1 sequências de membros um +1 chamado subseqüente (em direção a um ), A um — anterior (em direção a um +1 ).

Para especificar uma sequência, você deve especificar um método que permita localizar um membro de sequência com qualquer número.

Frequentemente a sequência é dada com fórmulas de enésimo termo , ou seja, uma fórmula que permite determinar um membro de sequência por seu número.

Por exemplo,

a sequência de números ímpares positivos pode ser dada pela fórmula

um= 2n- 1,

e a sequência de alternância 1 E -1 - Fórmula

b n = (-1)n +1 . ◄

A sequência pode ser determinada fórmula recorrente, ou seja, uma fórmula que expressa qualquer membro da sequência, começando com alguns, passando pelos membros anteriores (um ou mais).

Por exemplo,

Se a 1 = 1 , A um +1 = um + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Se um 1= 1, um 2 = 1, um +2 = um + um +1 , então os primeiros sete membros da sequência numérica são definidos da seguinte forma:

um 1 = 1,

um 2 = 1,

um 3 = um 1 + um 2 = 1 + 1 = 2,

um 4 = um 2 + um 3 = 1 + 2 = 3,

um 5 = um 3 + um 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

As sequências podem ser final E sem fim .

A sequência é chamada final se tiver um número finito de membros. A sequência é chamada sem fim se tiver infinitos membros.

Por exemplo,

sequência de números naturais de dois algarismos:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Sequência de números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sem fim. ◄

A sequência é chamada aumentando , se cada um de seus membros, a partir do segundo, for maior que o anterior.

A sequência é chamada minguante , se cada um de seus membros, a partir do segundo, for menor que o anterior.

Por exemplo,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . é uma sequência ascendente;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . é uma sequência descendente. ◄

Uma sequência cujos elementos não diminuem com o aumento do número ou, inversamente, não aumentam, é chamada sequência monótona .

As sequências monótonas, em particular, são sequências crescentes e sequências decrescentes.

Progressão aritmética

Progressão aritmética chama-se uma sequência, cada membro da qual, a partir do segundo, é igual ao anterior, ao qual se acrescenta o mesmo número.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , um, . . .

é uma progressão aritmética se para qualquer número natural n condição é satisfeita:

um +1 = um + d,

Onde d - algum número.

Assim, a diferença entre o próximo e os membros anteriores de um determinado progressão aritmética sempre constante:

um 2 - a 1 = um 3 - a 2 = . . . = um +1 - um = d.

Número d chamado a diferença de uma progressão aritmética.

Para definir uma progressão aritmética, basta especificar seu primeiro termo e diferença.

Por exemplo,

Se a 1 = 3, d = 4 , então os primeiros cinco termos da sequência são encontrados da seguinte forma:

um 1 =3,

um 2 = um 1 + d = 3 + 4 = 7,

um 3 = um 2 + d= 7 + 4 = 11,

um 4 = um 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Para uma progressão aritmética com o primeiro termo a 1 e diferença d dela n

um = um 1 + (n- 1)d.

Por exemplo,

encontre o trigésimo termo de uma progressão aritmética

1, 4, 7, 10, . . .

um 1 =1, d = 3,

um 30 = um 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

um n-1 = um 1 + (n- 2)d,

um= um 1 + (n- 1)d,

um +1 = a 1 + nd,

então obviamente

cada membro da progressão aritmética, a partir do segundo, é igual à média aritmética dos membros anteriores e posteriores.

os números a, b e c são membros consecutivos de alguma progressão aritmética se e somente se um deles é igual à média aritmética dos outros dois.

Por exemplo,

um = 2n- 7 , é uma progressão aritmética.

Vamos usar a declaração acima. Nós temos:

um = 2n- 7,

um n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

um n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Por isso,

◄

Observe que n -ésimo membro de uma progressão aritmética pode ser encontrado não apenas através a 1 , mas também qualquer anterior um k

um = um k + (n- k)d.

Por exemplo,

Para a 5 pode ser escrito

um 5 = um 1 + 4d,

um 5 = um 2 + 3d,

um 5 = um 3 + 2d,

um 5 = um 4 + d. ◄

um = um n-k + kd,

um = um n+k - kd,

então obviamente

qualquer membro de uma progressão aritmética, a partir do segundo, é igual à metade da soma dos membros dessa progressão aritmética igualmente espaçados dela.

Além disso, para qualquer progressão aritmética, a igualdade é verdadeira:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Por exemplo,

em progressão aritmética

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = um 10 = um 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) um 10= 28 = (19 + 37)/2 = (um 7 + um 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, porque

um 2 + um 12= 4 + 34 = 38,

um 5 + um 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ um,

primeiro n membros de uma progressão aritmética é igual ao produto da metade da soma dos termos extremos pelo número de termos:

A partir disso, em particular, segue-se que, se for necessário somar os termos

um k, um k +1 , . . . , um,

então a fórmula anterior mantém sua estrutura:

Por exemplo,

em progressão aritmética 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Se uma progressão aritmética é dada, então as quantidades a 1 , um, d, n ES n ligados por duas fórmulas:

Portanto, se os valores de três dessas quantidades forem fornecidos, os valores correspondentes das outras duas quantidades serão determinados a partir dessas fórmulas combinadas em um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Uma progressão aritmética é uma sequência monotônica. Em que:

• Se d > 0 , então é crescente;
• Se d < 0 , então é decrescente;
• Se d = 0 , então a sequência será estacionária.

Progressão geométrica

progressão geométrica chama-se uma sequência, cada termo da qual, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado pelo mesmo número.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

é uma progressão geométrica se para qualquer número natural n condição é satisfeita:

b n +1 = b n · q,

Onde q ≠ 0 - algum número.

Assim, a razão do próximo termo desta progressão geométrica para o anterior é um número constante:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Número q chamado denominador de uma progressão geométrica.

Para definir uma progressão geométrica, basta especificar seu primeiro termo e denominador.

Por exemplo,

Se b 1 = 1, q = -3 , então os primeiros cinco termos da sequência são encontrados da seguinte forma:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 e denominador q dela n -th termo pode ser encontrado pela fórmula:

b n = b 1 · q n -1 .

Por exemplo,

encontre o sétimo termo de uma progressão geométrica 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

então obviamente

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

cada membro da progressão geométrica, a partir do segundo, é igual à média geométrica (proporcional) dos membros anteriores e posteriores.

Como a recíproca também é verdadeira, vale a seguinte afirmação:

os números a, b e c são membros consecutivos de alguma progressão geométrica se e somente se o quadrado de um deles é igual ao produto dos outros dois, ou seja, um dos números é a média geométrica dos outros dois.

Por exemplo,

vamos provar que a sequência dada pela fórmula b n= -3 2 n , é uma progressão geométrica. Vamos usar a declaração acima. Nós temos:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Por isso,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

o que prova a afirmação requerida. ◄

Observe que n o termo de uma progressão geométrica pode ser encontrado não apenas através b 1 , mas também qualquer termo anterior b k , para o que basta usar a fórmula

b n = b k · q n - k.

Por exemplo,

Para b 5 pode ser escrito

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

então obviamente

b n 2 = b n - k· b n + k

o quadrado de qualquer membro de uma progressão geométrica, a partir do segundo, é igual ao produto dos membros dessa progressão equidistantes dele.

Além disso, para qualquer progressão geométrica, a igualdade é verdadeira:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ eu.

Por exemplo,

exponencialmente

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , porque

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

primeiro n membros de uma progressão geométrica com um denominador q ≠ 0 calculado pela fórmula:

E quando q = 1 - de acordo com a fórmula

S n= n.b. 1

Note que se precisarmos somar os termos

b k, b k +1 , . . . , b n,

então a fórmula é usada:

Por exemplo,

exponencialmente 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Se uma progressão geométrica é dada, então as quantidades b 1 , b n, q, n E S n ligados por duas fórmulas:

Portanto, se os valores de quaisquer três dessas quantidades forem fornecidos, os valores correspondentes das outras duas quantidades serão determinados a partir dessas fórmulas combinadas em um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Para uma progressão geométrica com o primeiro termo b 1 e denominador q o seguinte acontece propriedades de monotonicidade :

• a progressão é crescente se uma das seguintes condições for atendida:

b 1 > 0 E q> 1;

b 1 < 0 E 0 < q< 1;

• Uma progressão é decrescente se uma das seguintes condições for atendida:

b 1 > 0 E 0 < q< 1;

b 1 < 0 E q> 1.

Se q< 0 , então a progressão geométrica é de sinal alternado: seus termos ímpares têm o mesmo sinal que seu primeiro termo, e os termos pares têm o sinal oposto. É claro que uma progressão geométrica alternada não é monotônica.

produto do primeiro n termos de uma progressão geométrica pode ser calculado pela fórmula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Por exemplo,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progressão geométrica infinitamente decrescente

Progressão geométrica infinitamente decrescente é chamada de progressão geométrica infinita cujo módulo denominador é menor que 1 , aquilo é

|q| < 1 .

Observe que uma progressão geométrica infinitamente decrescente pode não ser uma sequência decrescente. Isso se encaixa no caso

1 < q< 0 .

Com tal denominador, a sequência é alternada de sinais. Por exemplo,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

A soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente nomeie o número ao qual a soma do primeiro n termos da progressão com aumento ilimitado do número n . Este número é sempre finito e é expresso pela fórmula

Por exemplo,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relação entre progressões aritméticas e geométricas

Aritmética e progressão geométrica estão intimamente relacionados. Vamos considerar apenas dois exemplos.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Que

BA 1 , BA 2 , BA 3 , . . . b d .

Por exemplo,

1, 3, 5, . . . — progressão aritmética com diferença 2 E

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . é uma progressão geométrica com denominador 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . é uma progressão geométrica com denominador q , Que

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — progressão aritmética com diferença registrar umq .

Por exemplo,

2, 12, 72, . . . é uma progressão geométrica com denominador 6 E

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — progressão aritmética com diferença lg 6 . ◄

Vamos considerar uma série.

7 28 112 448 1792...

É absolutamente claro que o valor de qualquer um de seus elementos é exatamente quatro vezes maior que o anterior. Portanto, esta série é uma progressão.

Uma progressão geométrica é uma sequência infinita de números Característica principal que é que o próximo número é obtido do anterior multiplicando-se por algum número específico. Isso é expresso pela seguinte fórmula.

a z +1 =a z q, onde z é o número do elemento selecionado.

Assim, z ∈ N.

O período em que uma progressão geométrica é estudada na escola é a 9ª série. Exemplos ajudarão você a entender o conceito:

0.25 0.125 0.0625...

Com base nesta fórmula, o denominador da progressão pode ser encontrado da seguinte forma:

Nem q nem b z podem ser zero. Além disso, cada um dos elementos da progressão não deve ser igual a zero.

Assim, para descobrir o próximo número da série, você precisa multiplicar o último por q.

Para especificar essa progressão, você deve especificar seu primeiro elemento e denominador. Depois disso, é possível encontrar qualquer um dos termos subsequentes e sua soma.

Variedades

Dependendo de q e a 1, esta progressão é dividida em vários tipos:

• Se a 1 e q forem maiores que um, então tal sequência é uma progressão geométrica que aumenta com cada próximo elemento. Um exemplo disso é apresentado a seguir.

Exemplo: a 1 =3, q=2 - ambos os parâmetros são maiores que um.

Então a sequência numérica pode ser escrita assim:

3 6 12 24 48 ...

• Se |q| menos que um, ou seja, a multiplicação por ele é equivalente à divisão, então uma progressão com condições semelhantes é uma progressão geométrica decrescente. Um exemplo disso é apresentado a seguir.

Exemplo: a 1 =6, q=1/3 - a 1 é maior que um, q é menor.

Então a sequência numérica pode ser escrita da seguinte forma:

6 2 2/3 ... - qualquer elemento é 3 vezes maior que o elemento seguinte.

• Sign-variável. Se q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Exemplo: a 1 = -3 , q = -2 - ambos os parâmetros são menores que zero.

Então a sequência pode ser escrita assim:

3, 6, -12, 24,...

Fórmulas

Para o uso conveniente de progressões geométricas, existem muitas fórmulas:

• Fórmula do z-ésimo membro. Permite calcular o elemento sob um número específico sem calcular os números anteriores.

Exemplo:q = 3, a 1 = 4. É necessário calcular o quarto elemento da progressão.

Solução:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• A soma dos primeiros elementos cujo número é z. Permite calcular a soma de todos os elementos de uma sequência atéum zinclusive.

Desde (1-q) está no denominador, então (1 - q)≠ 0, portanto q não é igual a 1.

Nota: se q=1, então a progressão seria uma série de um número que se repete infinitamente.

A soma de uma progressão geométrica, exemplos:a 1 = 2, q= -2. Calcule S 5 .

Solução:S 5 = 22 - cálculo por fórmula.

• Montante se |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Exemplo:a 1 = 2 , q= 0,5. Encontre a quantia.

Solução:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Algumas propriedades:

• propriedade característica. Se a seguinte condição realizado para qualquerz, então a série numérica dada é uma progressão geométrica:

um z 2 = um z -1 · az+1

• Além disso, o quadrado de qualquer número de uma progressão geométrica é encontrado adicionando os quadrados de quaisquer outros dois números em uma determinada série, se eles forem equidistantes desse elemento.

um z 2 = um z - t 2 + um z + t 2 , Ondeté a distância entre esses números.

• elementosdiferem em quma vez.
• Os logaritmos dos elementos da progressão também formam uma progressão, mas já aritmética, ou seja, cada um deles é maior que o anterior em um determinado número.

Exemplos de alguns problemas clássicos

Para entender melhor o que é uma progressão geométrica, exemplos com solução para o 9º ano podem ajudar.

• Condições:a 1 = 3, a 3 = 48. Encontrarq.

Solução: cada elemento subseqüente é maior que o anterior emq uma vez.É necessário expressar alguns elementos através de outros usando um denominador.

Por isso,a 3 = q 2 · a 1

Ao substituirq= 4

• Condições:a 2 = 6, a 3 = 12. Calcule S 6 .

Solução:Para isso, basta encontrar q, o primeiro elemento e substituí-lo na fórmula.

a 3 = q· a 2 , por isso,q= 2

a 2 = q um 1 ,É por isso a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Encontre o quarto elemento da progressão.

Solução: para isso, basta expressar o quarto elemento pelo primeiro e pelo denominador.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Exemplo de aplicação:

• O cliente do banco fez um depósito no valor de 10.000 rublos, nos termos do qual a cada ano o cliente adicionará 6% ao valor principal. Quanto dinheiro haverá na conta após 4 anos?

Solução: O valor inicial é de 10 mil rublos. Assim, um ano após o investimento, a conta terá um valor igual a 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

Assim, o valor na conta após mais um ano será expresso da seguinte forma:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Ou seja, a cada ano o valor aumenta 1,06 vezes. Isso significa que para saber o valor dos fundos na conta após 4 anos, basta encontrar o quarto elemento da progressão, que é dado pelo primeiro elemento igual a 10 mil, e o denominador igual a 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Exemplos de tarefas para calcular a soma:

Em vários problemas, uma progressão geométrica é usada. Um exemplo para encontrar a soma pode ser dado da seguinte forma:

a 1 = 4, q= 2, calculeS5.

Solução: todos os dados necessários para o cálculo são conhecidos, basta substituí-los na fórmula.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Calcule a soma dos seis primeiros elementos.

Solução:

geom. progressão, cada próximo elemento é q vezes maior que o anterior, ou seja, para calcular a soma, você precisa conhecer o elementoa 1 e denominadorq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Da mesma forma, precisamos encontrara 1 , sabendoa 2 Eq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Uma progressão geométrica é uma sequência numérica, cujo primeiro termo é diferente de zero, e cada próximo termo é igual ao termo anterior multiplicado pelo mesmo número diferente de zero.

O conceito de progressão geométrica

A progressão geométrica é denotada por b1,b2,b3, …, bn, … .

A razão de qualquer termo do erro geométrico para seu termo anterior é igual ao mesmo número, ou seja, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Isso decorre diretamente da definição de uma progressão aritmética. Esse número é chamado de denominador de uma progressão geométrica. Normalmente, o denominador de uma progressão geométrica é denotado pela letra q.

A soma de uma progressão geométrica infinita para |q|<1

Uma maneira de definir uma progressão geométrica é definir seu primeiro termo b1 e o denominador do erro geométrico q. Por exemplo, b1=4, q=-2. Estas duas condições dão uma progressão geométrica de 4, -8, 16, -32, … .

Se q>0 (q não é igual a 1), então a progressão é uma sequência monotônica. Por exemplo, a sequência 2, 4,8,16,32, ... é uma sequência monotonicamente crescente (b1=2, q=2).

Se o denominador q=1 no erro geométrico, então todos os membros da progressão geométrica serão iguais entre si. Nesses casos, diz-se que a progressão é uma sequência constante.

Para que a sequência numérica (bn) seja uma progressão geométrica, é necessário que cada uma de suas barras, a partir da segunda, seja a média geométrica das barras vizinhas. Ou seja, é necessário preencher a seguinte equação
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), para qualquer n>0, onde n pertence ao conjunto dos números naturais N.

Agora vamos colocar (Xn) - uma progressão geométrica. O denominador da progressão geométrica q, com |q|∞).
Se agora denotarmos por S a soma de uma progressão geométrica infinita, então a seguinte fórmula será válida:
S=x1/(1-q).

Considere um exemplo simples:

Encontre a soma de uma progressão geométrica infinita 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

Para encontrar S, usamos a fórmula para a soma de uma progressão infinitamente aritmética. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.