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Faça uma progressão aritmética da diferença. Progressão aritmética - sequência numérica

Calculadora on-line.
Solução de progressão aritmética.
Dados: a n , d, n
Encontrar: um 1

Este programa matemático encontra $a_1$ de uma progressão aritmética com base nos números especificados pelo usuário $a_n, d $ e $n $.
Os números $a_n$ e $d $ podem ser especificados não apenas como inteiros, mas também como frações. Além disso, um número fracionário pode ser inserido na forma de uma fração decimal (\ (2,5 \)) e na forma fração comum($-5\frac(2)(7) $).

O programa não apenas dá a resposta para o problema, mas também mostra o processo de busca de uma solução.

Esta calculadora online pode ser útil para alunos do ensino médio escolas de educação geral em preparação para trabalho de controle e exames, ao testar o conhecimento antes do exame, os pais controlam a solução de muitos problemas de matemática e álgebra. Ou talvez seja muito caro para você contratar um tutor ou comprar novos livros didáticos? Ou você só quer fazer isso o mais rápido possível? trabalho de casa matemática ou álgebra? Nesse caso, você também pode usar nossos programas com uma solução detalhada.

Assim, você pode realizar o seu próprio treinamento e/ou formação dos seus irmãos ou irmãs mais novos, ao mesmo tempo que se aumenta o nível de instrução no domínio das tarefas a resolver.

Se você não estiver familiarizado com as regras para inserir números, recomendamos que você se familiarize com elas.

Regras para inserir números

Os números $a_n$ e $d $ podem ser especificados não apenas como inteiros, mas também como frações.
O número $n$ só pode ser um número inteiro positivo.

Regras para inserir frações decimais.
As partes inteiras e fracionárias em frações decimais podem ser separadas por um ponto ou uma vírgula.
Por exemplo, você pode inserir decimais como 2,5 ou 2,5

Regras para inserir frações ordinárias.
Somente um número inteiro pode atuar como numerador, denominador e parte inteira de uma fração.

O denominador não pode ser negativo.

Ao inserir uma fração numérica, o numerador é separado do denominador por um sinal de divisão: /
Entrada:
Resultado: $-\frac(2)(3) $

A parte inteira é separada da fração por um e comercial: &
Entrada:
Resultado: $-1\frac(2)(3) $

Digite os números a n , d, n Encontre um 1

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Um pouco de teoria.

sequência numérica

A numeração é freqüentemente usada na prática diária. vários itens para indicar sua ordem. Por exemplo, as casas em cada rua são numeradas. Na biblioteca, as assinaturas dos leitores são numeradas e depois organizadas na ordem dos números atribuídos em arquivos especiais.

Em uma caixa econômica, pelo número da conta pessoal do depositante, você encontra facilmente essa conta e vê que tipo de depósito ela possui. Que haja um depósito de a1 rublos na conta nº 1, um depósito de a2 rublos na conta nº 2, etc. sequência numérica
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
onde N é o número de todas as contas. Aqui, cada número natural n de 1 a N recebe um número a n .

A matemática também estuda sequências numéricas infinitas:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
O número a 1 é chamado o primeiro membro da sequência, número a 2 - o segundo membro da sequência, número a 3 - o terceiro membro da sequência etc.
O número a n é chamado enésimo (enésimo) membro da sequência, e o número natural n é o seu número.

Por exemplo, na sequência de quadrados de números naturais 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... e 1 = 1 é o primeiro membro da sequência; e n = n 2 é enésimo membro sequências; a n+1 = (n + 1) 2 é o (n + 1)º (en mais o primeiro) membro da sequência. Freqüentemente, uma sequência pode ser especificada pela fórmula de seu enésimo termo. Por exemplo, a fórmula $a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) $ dá a sequência $1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots $

Progressão aritmética

A duração de um ano é de aproximadamente 365 dias. Mais valor exatoé igual a $365\frac(1)(4) $ dias, portanto, a cada quatro anos, acumula-se um erro de um dia.

Para explicar esse erro, um dia é adicionado a cada quatro anos, e o ano alongado é chamado de ano bissexto.

Por exemplo, no terceiro milênio, os anos bissextos são 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

Nessa sequência, cada membro, a partir do segundo, é igual ao anterior, somado com o mesmo número 4. Essas sequências são chamadas progressões aritméticas.

Definição.
A sequência numérica a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... é chamada progressão aritmética, se para todo natural n a igualdade
$a_(n+1) = a_n+d, $
onde d é algum número.

Segue-se desta fórmula que a n+1 - a n = d. O número d é chamado de diferença progressão aritmética.

Pela definição de progressão aritmética, temos:
$a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, $
onde
$a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) $, onde $n>1 $

Assim, cada membro da progressão aritmética, a partir do segundo, é igual à média aritmética dos dois membros adjacentes a ele. Isso explica o nome progressão "aritmética".

Observe que se a 1 e d forem fornecidos, os termos restantes da progressão aritmética podem ser calculados usando a fórmula recursiva a n+1 = a n + d. Dessa forma, não é difícil calcular os primeiros termos da progressão, porém, por exemplo, para um 100, muitos cálculos já serão necessários. Normalmente, a fórmula do enésimo termo é usada para isso. De acordo com a definição de progressão aritmética
$a_2=a_1+d, $
$a_3=a_2+d=a_1+2d, $
$a_4=a_3+d=a_1+3d$
etc.
De forma alguma,
$a_n=a_1+(n-1)d, $
porque enésimo termo a progressão aritmética é obtida a partir do primeiro termo somando (n-1) vezes o número d.
Esta fórmula é chamada fórmula do enésimo membro de uma progressão aritmética.

A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética

Vamos encontrar a soma de todos os números naturais de 1 a 100.
Escrevemos esta soma de duas maneiras:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Adicionamos essas igualdades termo a termo:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Existem 100 termos nesta soma.
Portanto, 2S = 101 * 100, onde S = 101 * 50 = 5050.

Considere agora uma progressão aritmética arbitrária
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Seja S n a soma dos primeiros n termos desta progressão:
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
Então a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é
$S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) $

Como $a_n=a_1+(n-1)d $, substituindo um n nesta fórmula, obtemos outra fórmula para encontrar as somas dos primeiros n termos de uma progressão aritmética:
$S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) $

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Ou aritmética - este é um tipo de sequência numérica ordenada, cujas propriedades são estudadas em um curso de álgebra escolar. Este artigo discute em detalhes a questão de como encontrar a soma de uma progressão aritmética.

O que é essa progressão?

Antes de passar à consideração da questão (como encontrar a soma de uma progressão aritmética), vale a pena entender o que será discutido.

Qualquer sequência de números reais obtida pela adição (subtração) de algum valor de cada número anterior é chamada de progressão algébrica (aritmética). Esta definição, traduzida para a linguagem da matemática, assume a forma:

Aqui i é o número ordinal do elemento da série a i . Assim, sabendo apenas um número inicial, você pode restaurar facilmente toda a série. O parâmetro d na fórmula é chamado de diferença de progressão.

Pode ser facilmente mostrado que a seguinte igualdade vale para a série de números em consideração:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Ou seja, para encontrar o valor do n-ésimo elemento em ordem, adicione a diferença d ao primeiro elemento a 1 n-1 vezes.

Qual é a soma de uma progressão aritmética: fórmula

Antes de dar a fórmula para a quantidade indicada, vale a pena considerar um simples caso especial. Dada uma progressão de números naturais de 1 a 10, você precisa encontrar a soma deles. Como há poucos termos na progressão (10), é possível resolver o problema de frente, ou seja, somar todos os elementos em ordem.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Vale a pena considerar uma coisa interessante: como cada termo difere do seguinte pelo mesmo valor d \u003d 1, a soma do primeiro com o décimo, do segundo com o nono e assim por diante dará o mesmo resultado . Realmente:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Como você pode ver, existem apenas 5 dessas somas, ou seja, exatamente duas vezes menos que o número de elementos da série. Então, multiplicando o número de somas (5) pelo resultado de cada soma (11), chegará ao resultado obtido no primeiro exemplo.

Se generalizarmos esses argumentos, podemos escrever a seguinte expressão:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Essa expressão mostra que não é necessário somar todos os elementos em uma linha, basta saber o valor do primeiro a 1 e do último a n , e também número total termos n.

Acredita-se que Gauss tenha pensado nessa igualdade pela primeira vez quando procurava uma solução para o problema proposto por seu professor: somar os primeiros 100 números inteiros.

Soma dos elementos de m a n: fórmula

A fórmula dada no parágrafo anterior responde à questão de como encontrar a soma de uma progressão aritmética (dos primeiros elementos), mas muitas vezes em tarefas é necessário somar uma série de números no meio da progressão. Como fazer isso?

A maneira mais fácil de responder a essa pergunta é considerando o seguinte exemplo: seja necessário encontrar a soma dos termos do m-ésimo ao n-ésimo. Para resolver o problema, um determinado segmento de m até n da progressão deve ser representado como uma nova série numérica. em tal representação m-th termo a m será o primeiro, e a n será numerado n-(m-1). Neste caso, aplicando a fórmula padrão da soma, obtém-se a seguinte expressão:

S m n \u003d (n - m + 1) * (am + a n) / 2.

Exemplo de uso de fórmulas

Sabendo como encontrar a soma de uma progressão aritmética, vale a pena considerar um exemplo simples de uso das fórmulas acima.

Abaixo está uma sequência numérica, você deve encontrar a soma de seus membros, começando no 5º e terminando no 12º:

Os números fornecidos indicam que a diferença d é igual a 3. Usando a expressão para o enésimo elemento, você pode encontrar os valores do 5º e 12º membros da progressão. Acontece que:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Conhecendo os valores dos números nas extremidades da progressão algébrica em questão, e também sabendo quais números da série eles ocupam, você pode usar a fórmula para a soma obtida no parágrafo anterior. Pegar:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Vale a pena notar que esse valor pode ser obtido de maneira diferente: primeiro, encontre a soma dos primeiros 12 elementos usando a fórmula padrão, depois calcule a soma dos primeiros 4 elementos usando a mesma fórmula e subtraia o segundo da primeira soma .

O que ponto principal fórmulas?

Esta fórmula permite encontrar qualquer POR SEU NÚMERO" n" .

Claro, você precisa saber o primeiro termo um 1 e diferença de progressão d, bem, sem esses parâmetros, você não pode anotar uma progressão específica.

Não basta memorizar (ou trapacear) esta fórmula. É necessário assimilar sua essência e aplicar a fórmula em vários problemas. Sim, e não esqueça na hora certa, sim ...) Como não esqueça- Não sei. E aqui como lembrar Se precisar, dou uma dica. Para aqueles que dominam a lição até o fim.)

Então, vamos lidar com a fórmula do n-ésimo membro de uma progressão aritmética.

O que é uma fórmula em geral - imaginamos.) O que é uma progressão aritmética, um número de membros, uma diferença de progressão - foi claramente declarado na lição anterior. Dê uma olhada se você não leu. Tudo é simples lá. Resta descobrir o que enésimo membro.

progressão em visão geral pode ser escrita como uma série de números:

um 1 , um 2 , um 3 , um 4 , um 5 , .....

um 1- denota o primeiro termo de uma progressão aritmética, um 3- terceiro membro um 4- quarto, e assim por diante. Se estivermos interessados no quinto termo, digamos que estamos trabalhando com um 5, se cento e vinte - de um 120.

Como definir em geral qualquer membro de uma progressão aritmética, s qualquer número? Muito simples! Assim:

É isso que é n-ésimo membro de uma progressão aritmética. Sob a letra n, todos os números de membros estão ocultos de uma só vez: 1, 2, 3, 4 e assim por diante.

E o que esse registro nos dá? Basta pensar, em vez de um número, eles escreveram uma letra ...

Essa notação nos dá uma ferramenta poderosa para trabalhar com progressões aritméticas. Usando a notação um, podemos encontrar rapidamente qualquer membro qualquer progressão aritmética. E um monte de tarefas para resolver em progressão. Você verá mais adiante.

Na fórmula do enésimo membro de uma progressão aritmética:

a n = a 1 + (n-1)d

um 1- o primeiro membro da progressão aritmética;

n- número de membro.

A fórmula vincula os principais parâmetros de qualquer progressão: um ; um 1; d E n. Em torno desses parâmetros, todos os quebra-cabeças giram em progressão.

A fórmula do enésimo termo também pode ser usada para escrever uma progressão específica. Por exemplo, no problema pode-se dizer que a progressão é dada pela condição:

a n = 5 + (n-1) 2.

Tal problema pode até confundir ... Não há série, não há diferença ... Mas, comparando a condição com a fórmula, é fácil perceber que nessa progressão a 1 \u003d 5 e d \u003d 2.

E pode ser ainda mais irado!) Se tomarmos a mesma condição: a n = 5 + (n-1) 2, sim, abra os parênteses e dê semelhantes? Obtemos uma nova fórmula:

an = 3 + 2n.

Esse Só não geral, mas para uma progressão específica. É aqui que reside a armadilha. Algumas pessoas pensam que o primeiro termo é um três. Embora na realidade o primeiro membro seja um cinco ... Um pouco mais abaixo, trabalharemos com essa fórmula modificada.

Nas tarefas de progressão, existe outra notação - um n+1. Isto é, você adivinhou, o termo "n mais o primeiro" da progressão. Seu significado é simples e inofensivo.) Este é um membro da progressão, cujo número é maior que o número n por um. Por exemplo, se em algum problema tomamos por um quinto termo, então um n+1 será o sexto membro. etc.

Na maioria das vezes, a designação um n+1 ocorre em fórmulas recursivas. Não tenha medo desta palavra terrível!) Esta é apenas uma maneira de expressar um termo de uma progressão aritmética através do anterior. Suponha que nos seja dada uma progressão aritmética nesta forma, usando a fórmula recorrente:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

O quarto - até o terceiro, o quinto - até o quarto e assim por diante. E como contar imediatamente, digamos o vigésimo termo, um 20? Mas de jeito nenhum!) Enquanto o 19º termo não é conhecido, o 20º não pode ser contado. Esta é a diferença fundamental entre a fórmula recursiva e a fórmula do enésimo termo. Recursivo funciona apenas através de anterior termo, e a fórmula do enésimo termo - através primeiro e permite imediatamente encontrar qualquer membro pelo seu número. Sem contar toda a série de números em ordem.

Em uma progressão aritmética, uma fórmula recursiva pode ser facilmente transformada em regular. Conte um par de termos consecutivos, calcule a diferença d, encontre, se necessário, o primeiro termo um 1, escreva a fórmula na forma usual e trabalhe com ela. No GIA, essas tarefas são frequentemente encontradas.

Aplicação da fórmula do n-ésimo membro de uma progressão aritmética.

Primeiro, vamos ver a aplicação direta da fórmula. No final da aula anterior havia um problema:

Dada uma progressão aritmética (an). Encontre um 121 se a 1 =3 e d = 1/6.

Este problema pode ser resolvido sem fórmulas, simplesmente com base no significado da progressão aritmética. Adicione, sim adicione ... Uma ou duas horas.)

E de acordo com a fórmula, a solução levará menos de um minuto. Você pode cronometrar.) Nós decidimos.

As condições fornecem todos os dados para usar a fórmula: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Resta saber o que n. Sem problemas! Precisamos encontrar um 121. Aqui escrevemos:

Por favor preste atenção! Em vez de um índice n um número específico apareceu: 121. O que é bastante lógico.) Estamos interessados no membro da progressão aritmética número cento e vinte e um. Este será o nosso n.É este significado n= 121 substituiremos mais adiante na fórmula, entre colchetes. Substitua todos os números na fórmula e calcule:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Isso é tudo. Com a mesma rapidez, pode-se encontrar o quingentésimo décimo membro e o milésimo terceiro, qualquer um. Nós colocamos em vez disso n o número desejado no índice da letra " a" e entre parênteses, e nós consideramos.

Deixe-me lembrá-lo da essência: esta fórmula permite que você encontre qualquer termo de uma progressão aritmética POR SEU NÚMERO" n" .

Vamos resolver o problema de forma mais inteligente. Digamos que temos o seguinte problema:

Encontre o primeiro termo da progressão aritmética (an) se a 17 =-2; d=-0,5.

Se você tiver alguma dificuldade, vou sugerir o primeiro passo. Escreva a fórmula para o enésimo termo de uma progressão aritmética! Sim Sim. Escreva à mão, bem no seu caderno:

a n = a 1 + (n-1)d

E agora, olhando as letras da fórmula, entendemos quais dados temos e o que está faltando? Disponível d=-0,5, há um décimo sétimo membro ... Tudo? Se você acha que isso é tudo, então você não pode resolver o problema, sim...

Também temos um número n! na condição a 17 =-2 escondido duas opções. Este é o valor do décimo sétimo membro (-2) e seu número (17). Aqueles. n=17. Essa "coisinha" muitas vezes passa pela cabeça, e sem ela (sem a "coisinha", não a cabeça!) O problema não pode ser resolvido. Embora ... e sem cabeça também.)

Agora podemos substituir estupidamente nossos dados na fórmula:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Oh sim, um 17 sabemos que é -2. Ok, vamos colocar:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Isso, em essência, é tudo. Resta expressar o primeiro termo da progressão aritmética da fórmula e calcular. Você obtém a resposta: a 1 = 6.

Essa técnica - escrever uma fórmula e simplesmente substituir dados conhecidos - ajuda muito em tarefas simples. Bem, você deve, é claro, ser capaz de expressar uma variável a partir de uma fórmula, mas o que fazer!? Sem essa habilidade, a matemática não pode ser estudada de forma alguma ...

Outro problema popular:

Encontre a diferença da progressão aritmética (an) se a 1 =2; a 15 = 12.

O que estamos fazendo? Você ficará surpreso, nós escrevemos a fórmula!)

a n = a 1 + (n-1)d

Considere o que sabemos: a1 =2; a15 =12; e (destaque especial!) n=15. Sinta-se à vontade para substituir na fórmula:

12=2 + (15-1)d

Vamos fazer a aritmética.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Essa é a resposta correta.

Então, tarefas um n, um 1 E d decidido. Resta saber como encontrar o número:

O número 99 é membro de uma progressão aritmética (an), onde a 1 =12; d=3. Encontre o número deste membro.

Substituímos as quantidades conhecidas na fórmula do enésimo termo:

a n = 12 + (n-1) 3

À primeira vista, existem duas quantidades desconhecidas aqui: um n e n. Mas umé algum membro da progressão com o número n... E esse membro da progressão a gente conhece! É 99. Não sabemos o número dele. n, então esse número também precisa ser encontrado. Substitua o termo de progressão 99 na fórmula:

99 = 12 + (n-1) 3

Expressamos pela fórmula n, nós pensamos. Obtemos a resposta: n=30.

E agora um problema sobre o mesmo tema, mas mais criativo):

Determine se o número 117 será membro de uma progressão aritmética (an):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Vamos escrever a fórmula novamente. O que, não há parâmetros? Hm... Por que precisamos de olhos?) Vemos o primeiro membro da progressão? Nós vemos. Isso é -3,6. Você pode escrever com segurança: a 1 \u003d -3,6. Diferença d pode ser determinado a partir da série? É fácil se você souber qual é a diferença de uma progressão aritmética:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Sim, fizemos a coisa mais simples. Resta lidar com um número desconhecido n e um número incompreensível 117. No problema anterior, pelo menos sabia-se que era o termo da progressão que estava dado. Mas aqui a gente nem sabe disso... Como ser!? Bem, como ser, como ser... Ligue habilidades criativas!)

Nós suponha que o 117 é, afinal, um membro da nossa progressão. Com um número desconhecido n. E, assim como no problema anterior, vamos tentar encontrar esse número. Aqueles. escrevemos a fórmula (sim-sim!)) e substituímos nossos números:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Novamente expressamos a partir da fórmulan, contamos e obtemos:

Ops! O número acabou fracionário! Cento e um e meio. E números fracionários em progressões não pode ser. Que conclusão tiramos? Sim! Número 117 não é membro da nossa progressão. Está em algum lugar entre o 101º e o 102º membros. Se o número for natural, ou seja. inteiro positivo, então o número seria um membro da progressão com o número encontrado. E no nosso caso, a resposta para o problema será: Não.

Tarefa baseada em uma versão real do GIA:

Progressão aritmética dada pela condição:

a n \u003d -4 + 6,8n

Encontre o primeiro e o décimo termos da progressão.

Aqui a progressão é definida de forma incomum. Algum tipo de fórmula ... Acontece.) No entanto, esta fórmula (como escrevi acima) - também a fórmula do n-ésimo membro de uma progressão aritmética! Ela também permite encontre qualquer membro da progressão pelo seu número.

Estamos procurando o primeiro membro. Aquele que pensa. que o primeiro termo é menos quatro, é um erro fatal!) Porque a fórmula do problema foi modificada. O primeiro termo de uma progressão aritmética nele escondido. Nada, vamos encontrar agora.)

Assim como nas tarefas anteriores, substituímos n=1 nesta fórmula:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Aqui! O primeiro termo é 2,8, não -4!

Da mesma forma, estamos procurando o décimo termo:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Isso é tudo.

E agora, para quem leu até estas linhas, o bônus prometido.)

Suponha que, em uma situação de combate difícil do GIA ou do Exame Estadual Unificado, você tenha esquecido a fórmula útil do n-ésimo membro de uma progressão aritmética. Algo vem à mente, mas de alguma forma incerto ... Se n lá, ou n+1, ou n-1... Como ser!?

Calma! Esta fórmula é fácil de derivar. Não muito rigoroso, mas definitivamente o suficiente para confiança e decisão certa!) Para a conclusão, basta lembrar o significado elementar da progressão aritmética e ter alguns minutos de tempo. Você só precisa fazer um desenho. Para maior clareza.

Desenhamos um eixo numérico e marcamos o primeiro nele. segundo, terceiro, etc. membros. E observe a diferença d entre membros. Assim:

Olhamos para a foto e pensamos: a que é igual o segundo termo? Segundo um d:

a 2 =a1 + 1 d

Qual é o terceiro termo? Terceiro termo é igual ao primeiro termo mais dois d.

a 3 =a1 + 2 d

Você entendeu? Não coloco algumas palavras em negrito à toa. Ok, mais um passo.)

Qual é o quarto termo? Quarto termo é igual ao primeiro termo mais três d.

a 4 =a1 + 3 d

É hora de perceber que o número de lacunas, ou seja, d, Sempre um a menos que o número do membro que você está procurando n. Ou seja, até o número n, número de lacunas vai n-1. Assim, a fórmula será (sem opções!):

a n = a 1 + (n-1)d

Em geral, as imagens visuais são muito úteis na resolução de muitos problemas matemáticos. Não negligencie as fotos. Mas se é difícil fazer um desenho, então ... apenas uma fórmula!) Além disso, a fórmula do enésimo termo permite conectar todo o poderoso arsenal da matemática à solução - equações, desigualdades, sistemas, etc. Você não pode colocar uma imagem em uma equação...

Tarefas para decisão independente.

Para aquecimento:

1. Em progressão aritmética (an) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Encontre um 3 .

Dica: pela foto o problema se resolve em 20 segundos... Pela fórmula fica mais difícil. Mas para dominar a fórmula, é mais útil.) Na Seção 555, esse problema é resolvido tanto pela figura quanto pela fórmula. Sinta a diferença!)

E isso não é mais um aquecimento.)

2. Em progressão aritmética (an) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Encontre a 3 .

O quê, relutância em fazer um desenho?) Ainda! Fórmula melhor, sim...

3. A progressão aritmética é dada pela condição:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Encontre o centésimo vigésimo quinto termo dessa progressão.

Nesta tarefa, a progressão é dada de forma recorrente. Mas contando até o centésimo vigésimo quinto termo... Nem todos podem fazer tal façanha.) Mas a fórmula do enésimo termo está ao alcance de todos!

4. Dada uma progressão aritmética (an):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Encontre o número do menor termo positivo da progressão.

5. De acordo com a condição da tarefa 4, encontre a soma dos menores membros positivos e maiores negativos da progressão.

6. O produto do quinto e do décimo segundo termos de uma progressão aritmética crescente é -2,5, e a soma do terceiro e do décimo primeiro termos é zero. Encontre um 14 .

Não é a tarefa mais fácil, sim ...) Aqui o método "nos dedos" não funcionará. Você tem que escrever fórmulas e resolver equações.

Respostas (em desordem):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Ocorrido? É legal!)

Nem tudo dá certo? Acontece. A propósito, em última tarefa há um ponto sutil. Será necessária atenção ao ler o problema. E lógica.

A solução para todos esses problemas é discutida em detalhes na Seção 555. E o elemento fantasia para o quarto, e o momento sutil para o sexto, e abordagens gerais para resolver quaisquer problemas para a fórmula do enésimo termo - tudo é pintado. Eu recomendo.

Se você gosta deste site...

A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)

Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Sim, sim: a progressão aritmética não é um brinquedo para você :)

Bem, amigos, se você está lendo este texto, então a evidência cap interna me diz que você ainda não sabe o que é uma progressão aritmética, mas realmente (não, assim: MUUUITO!) quer saber. Portanto, não vou atormentá-lo com longas apresentações e vou imediatamente começar a trabalhar.

Para começar, alguns exemplos. Considere vários conjuntos de números:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\quadrado(2);\ 2\quadrado(2);\ 3\quadrado(2);...$

O que todos esses conjuntos têm em comum? À primeira vista, nada. Mas na verdade há algo. Nomeadamente: cada próximo elemento difere do anterior pelo mesmo número.

Julgue por si mesmo. O primeiro conjunto é apenas números consecutivos, cada um a mais que o anterior. No segundo caso, a diferença entre os números adjacentes já é igual a cinco, mas essa diferença ainda é constante. No terceiro caso, existem raízes em geral. No entanto, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, enquanto $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ou seja, nesse caso, cada próximo elemento simplesmente aumenta em $\sqrt(2)$ (e não se assuste porque esse número é irracional).

Então: todas essas sequências são chamadas apenas de progressões aritméticas. Vamos dar uma definição estrita:

Definição. Uma sequência de números em que cada próximo difere do anterior exatamente na mesma quantidade é chamada de progressão aritmética. A própria quantidade pela qual os números diferem é chamada de diferença de progressão e geralmente é indicada pela letra $d$.

Notação: $\left(((a)_(n)) \right)$ é a própria progressão, $d$ é sua diferença.

E apenas algumas observações importantes. Primeiro, a progressão é considerada apenas ordenadamente seqüência de números: eles podem ser lidos estritamente na ordem em que são escritos - e nada mais. Você não pode reorganizar ou trocar números.

Em segundo lugar, a própria sequência pode ser finita ou infinita. Por exemplo, o conjunto (1; 2; 3) é obviamente uma progressão aritmética finita. Mas se você escrever algo no espírito (1; 2; 3; 4; ...) - isso já é progressão infinita. As reticências após o quatro, por assim dizer, indicam que muitos números vão além. Infinitamente muitos, por exemplo. :)

Também gostaria de observar que as progressões estão aumentando e diminuindo. Já vimos crescentes - o mesmo conjunto (1; 2; 3; 4; ...). Aqui estão alguns exemplos de progressões decrescentes:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

OK OK: último exemplo pode parecer excessivamente complicado. Mas o resto, eu acho, você entende. Portanto, introduzimos novas definições:

Definição. Uma progressão aritmética é chamada de:

aumentando se cada próximo elemento for maior que o anterior;

diminuindo, se, pelo contrário, cada elemento subsequente for menor que o anterior.

Além disso, existem as chamadas sequências "estacionárias" - elas consistem no mesmo número repetido. Por exemplo, (3; 3; 3; ...).

Resta apenas uma pergunta: como distinguir uma progressão crescente de uma decrescente? Felizmente, tudo aqui depende apenas do sinal do número $d$, ou seja, diferenças de progressão:

Se $d \gt 0$, então a progressão é crescente;
Se $d \lt 0$, então a progressão é obviamente decrescente;
Finalmente, há o caso $d=0$ — neste caso toda a progressão é reduzida a uma sequência estacionária de números idênticos: (1; 1; 1; 1; ...), etc.

Vamos tentar calcular a diferença $d$ para as três progressões decrescentes acima. Para fazer isso, basta pegar quaisquer dois elementos adjacentes (por exemplo, o primeiro e o segundo) e subtrair do número à direita, o número à esquerda. Isso parecerá assim:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Como você pode ver, nos três casos a diferença realmente acabou sendo negativa. E agora que descobrimos mais ou menos as definições, é hora de descobrir como as progressões são descritas e quais propriedades elas possuem.

Membros da progressão e da fórmula recorrente

Como os elementos de nossas sequências não podem ser trocados, eles podem ser numerados:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \certo$\]

Elementos individuais desse conjunto são chamados de membros da progressão. Eles são indicados dessa maneira com a ajuda de um número: o primeiro membro, o segundo membro e assim por diante.

Além disso, como já sabemos, os membros vizinhos da progressão são relacionados pela fórmula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Resumindo, para encontrar o $n$ésimo termo da progressão, você precisa saber o $n-1$ésimo termo e a diferença $d$. Essa fórmula é chamada recorrente, porque com sua ajuda você pode encontrar qualquer número, conhecendo apenas o anterior (e, de fato, todos os anteriores). Isso é muito inconveniente, então existe uma fórmula mais complicada que reduz qualquer cálculo ao primeiro termo e à diferença:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Você provavelmente já se deparou com esta fórmula antes. Eles gostam de dar em todos os tipos de livros de referência e reshebniks. E em qualquer livro sensato de matemática, é um dos primeiros.

No entanto, sugiro que você pratique um pouco.

Tarefa número 1. Escreva os três primeiros termos da progressão aritmética $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$.

Solução. Assim, conhecemos o primeiro termo $((a)_(1))=8$ e a diferença de progressão $d=-5$. Vamos usar a fórmula dada e substituir $n=1$, $n=2$ e $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Resposta: (8; 3; -2)

Isso é tudo! Observe que nossa progressão está diminuindo.

Claro, $n=1$ não poderia ter sido substituído - já conhecemos o primeiro termo. No entanto, ao substituir a unidade, garantimos que, mesmo para o primeiro termo, nossa fórmula funcione. Em outros casos, tudo se resumia à aritmética banal.

Tarefa número 2. Escreva os três primeiros termos de uma progressão aritmética se seu sétimo termo for −40 e seu décimo sétimo termo for −50.

Solução. Escrevemos a condição do problema nos termos usuais:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \certo.\]

Eu coloquei o sinal do sistema porque esses requisitos devem ser atendidos simultaneamente. E agora notamos que se subtrairmos a primeira equação da segunda equação (temos o direito de fazer isso, porque temos um sistema), obtemos o seguinte:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Assim, encontramos a diferença de progressão! Resta substituir o número encontrado em qualquer uma das equações do sistema. Por exemplo, no primeiro:

\[\begin(matriz) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matriz)\]

Agora, conhecendo o primeiro termo e a diferença, resta encontrar o segundo e o terceiro termos:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Preparar! Problema resolvido.

Resposta: (-34; -35; -36)

Observe uma propriedade curiosa da progressão que descobrimos: se pegarmos os termos $n$th e $m$th e subtraí-los um do outro, obtemos a diferença da progressão multiplicada pelo número $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Simples mas muito propriedade útil, que você definitivamente precisa saber - com sua ajuda, você pode acelerar significativamente a solução de muitos problemas nas progressões. Aqui está um excelente exemplo disso:

Tarefa número 3. O quinto termo da progressão aritmética é 8,4 e seu décimo termo é 14,4. Encontre o décimo quinto termo dessa progressão.

Solução. Como $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, e precisamos encontrar $((a)_(15))$, observamos o seguinte:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Mas pela condição $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, então $5d=6$, de onde temos:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Resposta: 20.4

Isso é tudo! Não precisamos compor nenhum sistema de equações e calcular o primeiro termo e a diferença - tudo foi decidido em apenas algumas linhas.

Agora vamos considerar outro tipo de problema - a busca por membros negativos e positivos da progressão. Não é segredo que, se a progressão aumentar, enquanto seu primeiro termo for negativo, mais cedo ou mais tarde aparecerão termos positivos nela. E vice-versa: os termos de uma progressão decrescente mais cedo ou mais tarde se tornarão negativos.

Ao mesmo tempo, nem sempre é possível encontrar esse momento “na testa”, classificando sequencialmente os elementos. Freqüentemente, os problemas são projetados de forma que, sem conhecer as fórmulas, os cálculos levariam várias folhas - simplesmente adormecíamos até encontrar a resposta. Portanto, tentaremos resolver esses problemas de maneira mais rápida.

Tarefa número 4. Quantos termos negativos em uma progressão aritmética -38,5; -35,8; …?

Solução. Assim, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, a partir do qual encontramos imediatamente a diferença:

Note que a diferença é positiva, então a progressão é crescente. O primeiro termo é negativo, portanto, em algum momento, tropeçaremos em números positivos. A única questão é quando isso vai acontecer.

Vamos tentar descobrir: por quanto tempo (ou seja, até que número natural $n$) a negatividade dos termos é preservada:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\esquerda(n-1 \direita)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \esquerda| \cdot 10 \certo. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

A última linha precisa de esclarecimento. Então sabemos que $n \lt 15\frac(7)(27)$. Por outro lado, apenas valores inteiros do número nos servirão (além disso: $n\in \mathbb(N)$), então o maior número permitido é precisamente $n=15$, e em nenhum caso 16.

Tarefa número 5. Na progressão aritmética $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Encontre o número do primeiro termo positivo dessa progressão.

Este seria exatamente o mesmo problema do anterior, mas não sabemos $((a)_(1))$. Mas os termos vizinhos são conhecidos: $((a)_(5))$ e $((a)_(6))$, então podemos encontrar facilmente a diferença de progressão:

Além disso, vamos tentar expressar o quinto termo em termos do primeiro e da diferença usando a fórmula padrão:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Agora procedemos por analogia com o problema anterior. Descobrimos em que ponto da nossa sequência os números positivos aparecerão:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Seta para a direita ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

A solução inteira mínima dessa desigualdade é o número 56.

Observe que na última tarefa tudo foi reduzido à desigualdade estrita, portanto a opção $n=55$ não nos convém.

Agora que aprendemos a resolver problemas simples, vamos passar para os mais complexos. Mas primeiro, vamos aprender outra propriedade muito útil das progressões aritméticas, que nos poupará muito tempo e células desiguais no futuro. :)

Média aritmética e travessões iguais

Considere vários termos consecutivos da progressão aritmética crescente $\left(((a)_(n)) \right)$. Vamos tentar marcá-los em uma linha numérica:

Membros de progressão aritmética na reta numérica

Observei especificamente os membros arbitrários $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, e não qualquer $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ etc. Porque a regra, que vou contar agora, funciona da mesma forma para quaisquer "segmentos".

E a regra é muito simples. Vamos lembrar a fórmula recursiva e escrevê-la para todos os membros marcados:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

No entanto, essas igualdades podem ser reescritas de forma diferente:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Bem, e daí? Mas o fato de que os termos $((a)_(n-1))$ e $((a)_(n+1))$ estão à mesma distância de $((a)_(n)) $ . E essa distância é igual a $d$. O mesmo pode ser dito sobre os termos $((a)_(n-2))$ e $((a)_(n+2))$ - eles também foram removidos de $((a)_(n) )$ pela mesma distância igual a $2d$. Você pode continuar indefinidamente, mas a imagem ilustra bem o significado

Os membros da progressão estão à mesma distância do centro

O que isso significa para nós? Isso significa que você pode encontrar $((a)_(n))$ se os números vizinhos forem conhecidos:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Deduzimos uma afirmação magnífica: cada membro de uma progressão aritmética é igual à média aritmética dos membros vizinhos! Além disso, podemos nos desviar de nosso $((a)_(n))$ para a esquerda e para a direita não em um passo, mas em $k$ passos — e ainda assim a fórmula estará correta:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Aqueles. podemos facilmente encontrar algum $((a)_(150))$ se soubermos $((a)_(100))$ e $((a)_(200))$, porque $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. À primeira vista, pode parecer que esse fato não nos traz nada de útil. Porém, na prática, muitas tarefas são especialmente "afiadas" para o uso da média aritmética. Dê uma olhada:

Tarefa número 6. Encontre todos os valores de $x$ tais que os números $-6((x)^(2))$, $x+1$ e $14+4((x)^(2))$ sejam membros consecutivos de uma progressão aritmética (na ordem especificada).

Solução. Como esses números são membros de uma progressão, a condição de média aritmética é satisfeita para eles: o elemento central $x+1$ pode ser expresso em termos de elementos vizinhos:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Ficou clássico Equação quadrática. Suas raízes: $x=2$ e $x=-3$ são as respostas.

Resposta: -3; 2.

Tarefa número 7. Encontre os valores de $$ de modo que os números $-1;4-3;(()^(2))+1$ formem uma progressão aritmética (nessa ordem).

Solução. Novamente, expressamos o termo médio em termos da média aritmética dos termos vizinhos:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\direita.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Outra equação quadrática. E novamente duas raízes: $x=6$ e $x=1$.

Resposta 1; 6.

Se no processo de resolução de um problema você obtiver alguns números brutais, ou não tiver certeza absoluta da exatidão das respostas encontradas, existe um truque maravilhoso que permite verificar: resolvemos o problema corretamente?

Digamos que no problema 6 obtivemos as respostas -3 e 2. Como podemos verificar se essas respostas estão corretas? Vamos apenas conectá-los à condição original e ver o que acontece. Deixe-me lembrá-lo de que temos três números ($-6(()^(2))$, $+1$ e $14+4(()^(2))$), que devem formar uma progressão aritmética. Substitua $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \fim(alinhar)\]

Temos os números -54; −2; 50 que diferem por 52 é, sem dúvida, uma progressão aritmética. A mesma coisa acontece para $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \fim(alinhar)\]

Novamente uma progressão, mas com uma diferença de 27. Assim, o problema é resolvido corretamente. Quem quiser pode verificar a segunda tarefa por conta própria, mas direi desde já: está tudo correto aí também.

Em geral, ao resolver as últimas tarefas, nos deparamos com outra fato interessante, que também precisa ser lembrado:

Se três números são tais que o segundo é a média do primeiro e do último, então esses números formam uma progressão aritmética.

No futuro, a compreensão dessa afirmação nos permitirá literalmente “construir” as progressões necessárias com base na condição do problema. Mas antes de nos envolvermos em tal "construção", devemos prestar atenção a mais um fato, que segue diretamente do que já foi considerado.

Agrupamento e soma de elementos

Vamos voltar para a reta numérica novamente. Notamos ali vários membros da progressão, entre os quais, talvez. vale a pena muitos outros membros:

6 elementos marcados na reta numérica

Vamos tentar expressar a "cauda esquerda" em termos de $((a)_(n))$ e $d$, e a "cauda direita" em termos de $((a)_(k))$ e $ d$. É muito simples:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Agora observe que as seguintes somas são iguais:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \fim(alinhar)\]

Simplificando, se considerarmos como início dois elementos da progressão, que no total são iguais a algum número $S$, e começarmos a caminhar a partir desses elementos em direções opostas (um em direção ao outro ou vice-versa para se afastar), então as somas dos elementos que encontraremos também serão iguais$S$. Isso pode ser melhor representado graficamente:

Travessões iguais dão somas iguais

Entendimento este fato nos permitirá resolver problemas fundamentalmente mais alto nível complexidade do que os discutidos acima. Por exemplo, estes:

Tarefa número 8. Determine a diferença de uma progressão aritmética na qual o primeiro termo é 66 e o produto do segundo e do décimo segundo termos é o menor possível.

Solução. Vamos anotar tudo o que sabemos:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \fim(alinhar)\]

Então, não sabemos a diferença da progressão $d$. Na verdade, toda a solução será construída em torno da diferença, pois o produto $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ pode ser reescrito da seguinte forma:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \fim(alinhar)\]

Para aqueles que estão no tanque: tirei o fator comum 11 do segundo colchete. Assim, o produto desejado é uma função quadrática em relação à variável $d$. Portanto, considere a função $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - seu gráfico será uma parábola com ramos para cima, pois abrindo os parênteses, obtemos:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Como você pode ver, o coeficiente no termo mais alto é 11 - isso é número positivo, então estamos realmente lidando com uma parábola com ramos para cima:

gráfico de uma função quadrática - parábola
Observe: esta parábola tem seu valor mínimo em seu vértice com a abcissa $((d)_(0))$. Claro, podemos calcular esta abcissa de acordo com o esquema padrão (existe uma fórmula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), mas seria muito mais razoável observe que o vértice desejado está no eixo de simetria da parábola, então o ponto $((d)_(0))$ é equidistante das raízes da equação $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Por isso não tive pressa em abrir os parênteses: na forma original, as raízes eram muito, muito fáceis de encontrar. Portanto, a abcissa é igual à média aritmética dos números −66 e −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

O que nos dá o número descoberto? Com ele, o produto necessário leva menor valor(A propósito, não calculamos $((y)_(\min ))$ - não somos obrigados a fazer isso). Ao mesmo tempo, esse número é a diferença da progressão inicial, ou seja, encontramos a resposta. :)

Resposta: -36

Tarefa número 9. Insira três números entre os números $-\frac(1)(2)$ e $-\frac(1)(6)$ de modo que junto com os números dados formem uma progressão aritmética.

Solução. Na verdade, precisamos fazer uma sequência de cinco números, sendo o primeiro e último número já sabia. Denote os números que faltam pelas variáveis $x$, $y$ e $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Note que o número $y$ é o "meio" da nossa sequência - é equidistante dos números $x$ e $z$, e dos números $-\frac(1)(2)$ e $-\frac (1)(6)$. E se dos números $x$ e $z$ estivermos em este momento não podemos obter $y$, então a situação é diferente com os fins da progressão. Lembre-se da média aritmética:

Agora, sabendo $y$, encontraremos os números restantes. Observe que $x$ está entre $-\frac(1)(2)$ e $y=-\frac(1)(3)$ recém-encontrados. É por isso

Argumentando de forma semelhante, encontramos o número restante:

Preparar! Encontramos os três números. Vamos escrevê-los na resposta na ordem em que devem ser inseridos entre os números originais.

Resposta: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tarefa número 10. Entre os números 2 e 42, insira vários números que, juntamente com os números dados, formem uma progressão aritmética, se souber que a soma do primeiro, segundo e último dos números inseridos é 56.

Solução. Uma tarefa ainda mais difícil, que, no entanto, é resolvida da mesma forma que as anteriores - pela média aritmética. O problema é que não sabemos exatamente quantos números inserir. Portanto, para definitividade, assumimos que após a inserção haverá exatamente $n$ números, sendo que o primeiro deles é 2 e o último é 42. Nesse caso, a progressão aritmética desejada pode ser representada como:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Observe, no entanto, que os números $((a)_(2))$ e $((a)_(n-1))$ são obtidos dos números 2 e 42 que estão nas bordas um passo em direção ao outro , ou seja . ao centro da sequência. E isso significa que

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Mas então a expressão acima pode ser reescrita assim:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Conhecendo $((a)_(3))$ e $((a)_(1))$, podemos encontrar facilmente a diferença de progressão:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\esquerda(3-1 \direita)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Seta para a direita d=5. \\ \end(align)\]

Resta apenas encontrar os membros restantes:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Assim, já no 9º passo chegaremos ao extremo esquerdo da sequência - o número 42. No total, apenas 7 números tiveram que ser inseridos: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Resposta: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tarefas de texto com progressões

Em conclusão, gostaria de considerar alguns problemas relativamente simples. Bem, como simples: para a maioria dos alunos que estudam matemática na escola e não leram o que está escrito acima, essas tarefas podem parecer um gesto. No entanto, são precisamente essas tarefas que aparecem no OGE e no USE em matemática, por isso recomendo que você se familiarize com elas.

Tarefa número 11. A equipe produziu 62 peças em janeiro e, a cada mês subsequente, produziu 14 peças a mais do que no anterior. Quantas peças a brigada produziu em novembro?

Solução. Obviamente, o número de peças, pintadas por mês, será uma progressão aritmética crescente. E:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Novembro é o 11º mês do ano, então precisamos encontrar $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Assim, 202 peças serão fabricadas em novembro.

Tarefa número 12. A oficina de encadernação encadernou 216 livros em janeiro e, a cada mês, encadernou 4 livros a mais do que no mês anterior. Quantos livros a oficina encadernou em dezembro?

Solução. Tudo o mesmo:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dezembro é o último 12º mês do ano, então estamos procurando por $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Esta é a resposta - 260 livros serão encadernados em dezembro.

Bem, se você leu até aqui, apresso-me em parabenizá-lo: você concluiu com sucesso o “curso de jovem lutador” em progressões aritméticas. Você pode ir com segurança para próxima lição, onde estudaremos a fórmula da soma da progressão, bem como consequências importantes e muito úteis dela.

Se todo número natural n corresponder a um número real um , então eles dizem que dado sequência numérica :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , um , . . . .

Assim, uma sequência numérica é uma função de um argumento natural.

Número a 1 chamado o primeiro membro da sequência , número a 2 — o segundo membro da sequência , número a 3 — terceiro e assim por diante. Número um chamado enésimo membro da sequência , e o número natural n — o número dele .

De dois membros vizinhos um E um +1 sequências de membros um +1 chamado subseqüente (em direção a um ), A um — anterior (em direção a um +1 ).

Para especificar uma sequência, você deve especificar um método que permita localizar um membro de sequência com qualquer número.

Frequentemente a sequência é dada com fórmulas de enésimo termo , ou seja, uma fórmula que permite determinar um membro de sequência por seu número.

Por exemplo,

a sequência de números ímpares positivos pode ser dada pela fórmula

um= 2n- 1,

e a sequência de alternância 1 E -1 - Fórmula

b n = (-1)n +1 . ◄

A sequência pode ser determinada fórmula recorrente, ou seja, uma fórmula que expressa qualquer membro da sequência, começando com alguns, passando pelos membros anteriores (um ou mais).

Por exemplo,

Se a 1 = 1 , A um +1 = um + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Se um 1= 1, um 2 = 1, um +2 = um + um +1 , então os primeiros sete membros da sequência numérica são definidos da seguinte forma:

um 1 = 1,

um 2 = 1,

um 3 = um 1 + um 2 = 1 + 1 = 2,

um 4 = um 2 + um 3 = 1 + 2 = 3,

um 5 = um 3 + um 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

As sequências podem ser final E sem fim .

A sequência é chamada final se tiver um número finito de membros. A sequência é chamada sem fim se tiver infinitos membros.

Por exemplo,

sequência de números naturais de dois algarismos:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Sequência de números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sem fim. ◄

A sequência é chamada aumentando , se cada um de seus membros, a partir do segundo, for maior que o anterior.

A sequência é chamada minguante , se cada um de seus membros, a partir do segundo, for menor que o anterior.

Por exemplo,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . é uma sequência ascendente;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . é uma sequência descendente. ◄

Uma sequência cujos elementos não diminuem com o aumento do número ou, inversamente, não aumentam, é chamada sequência monótona .

As sequências monótonas, em particular, são sequências crescentes e sequências decrescentes.

Progressão aritmética

Progressão aritmética chama-se uma sequência, cada membro da qual, a partir do segundo, é igual ao anterior, ao qual se acrescenta o mesmo número.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , um, . . .

é uma progressão aritmética se para qualquer número natural n condição é satisfeita:

um +1 = um + d,

Onde d - algum número.

Assim, a diferença entre o próximo e os membros anteriores de uma determinada progressão aritmética é sempre constante:

um 2 - a 1 = um 3 - a 2 = . . . = um +1 - um = d.

Número d chamado a diferença de uma progressão aritmética.

Para definir uma progressão aritmética, basta especificar seu primeiro termo e diferença.

Por exemplo,

Se a 1 = 3, d = 4 , então os primeiros cinco termos da sequência são encontrados da seguinte forma:

um 1 =3,

um 2 = um 1 + d = 3 + 4 = 7,

um 3 = um 2 + d= 7 + 4 = 11,

um 4 = um 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Para uma progressão aritmética com o primeiro termo a 1 e diferença d dela n

um = um 1 + (n- 1)d.

Por exemplo,

encontre o trigésimo termo de uma progressão aritmética

1, 4, 7, 10, . . .

um 1 =1, d = 3,

um 30 = um 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

um n-1 = um 1 + (n- 2)d,

um= um 1 + (n- 1)d,

um +1 = a 1 + nd,

então obviamente

um=	a n-1 + a n+1
	2

cada membro da progressão aritmética, a partir do segundo, é igual à média aritmética dos membros anteriores e posteriores.

os números a, b e c são membros consecutivos de alguma progressão aritmética se e somente se um deles é igual à média aritmética dos outros dois.

Por exemplo,

um = 2n- 7 , é uma progressão aritmética.

Vamos usar a declaração acima. Nós temos:

um = 2n- 7,

um n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

um n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Por isso,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = um,
2		2

◄

Observe que n -ésimo membro de uma progressão aritmética pode ser encontrado não apenas através a 1 , mas também qualquer anterior um k

um = um k + (n- k)d.

Por exemplo,

Para a 5 pode ser escrito

um 5 = um 1 + 4d,

um 5 = um 2 + 3d,

um 5 = um 3 + 2d,

um 5 = um 4 + d. ◄

um = um n-k + kd,

um = um n+k - kd,

então obviamente

um=	a n-k + um n+k
	2

qualquer membro de uma progressão aritmética, a partir do segundo, é igual à metade da soma dos membros dessa progressão aritmética igualmente espaçados dela.

Além disso, para qualquer progressão aritmética, a igualdade é verdadeira:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Por exemplo,

em progressão aritmética

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = um 10 = um 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) um 10= 28 = (19 + 37)/2 = (um 7 + um 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, porque

um 2 + um 12= 4 + 34 = 38,

um 5 + um 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ um,

primeiro n membros de uma progressão aritmética é igual ao produto da metade da soma dos termos extremos pelo número de termos:

A partir disso, em particular, segue-se que, se for necessário somar os termos

um k, um k +1 , . . . , um,

então a fórmula anterior mantém sua estrutura:

Por exemplo,

em progressão aritmética 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Se uma progressão aritmética é dada, então as quantidades a 1 , um, d, n ES n ligados por duas fórmulas:

Portanto, se os valores de três dessas quantidades forem fornecidos, os valores correspondentes das outras duas quantidades serão determinados a partir dessas fórmulas combinadas em um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Uma progressão aritmética é uma sequência monotônica. Em que:

Se d > 0 , então é crescente;
Se d < 0 , então é decrescente;
Se d = 0 , então a sequência será estacionária.

Progressão geométrica

progressão geométrica chama-se uma sequência, cada termo da qual, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado pelo mesmo número.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

é uma progressão geométrica se para qualquer número natural n condição é satisfeita:

b n +1 = b n · q,

Onde q ≠ 0 - algum número.

Assim, a razão do próximo termo desta progressão geométrica para o anterior é um número constante:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Número q chamado denominador de uma progressão geométrica.

Para definir uma progressão geométrica, basta especificar seu primeiro termo e denominador.

Por exemplo,

Se b 1 = 1, q = -3 , então os primeiros cinco termos da sequência são encontrados da seguinte forma:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 e denominador q dela n -th termo pode ser encontrado pela fórmula:

b n = b 1 · q n -1 .

Por exemplo,

encontre o sétimo termo de uma progressão geométrica 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

então obviamente

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

cada membro da progressão geométrica, a partir do segundo, é igual à média geométrica (proporcional) dos membros anteriores e posteriores.

Como a recíproca também é verdadeira, vale a seguinte afirmação:

os números a, b e c são membros consecutivos de alguma progressão geométrica se e somente se o quadrado de um deles é igual ao produto dos outros dois, ou seja, um dos números é a média geométrica dos outros dois.

Por exemplo,

vamos provar que a sequência dada pela fórmula b n= -3 2 n , é uma progressão geométrica. Vamos usar a declaração acima. Nós temos:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Por isso,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

o que prova a afirmação requerida. ◄

Observe que n o termo de uma progressão geométrica pode ser encontrado não apenas através b 1 , mas também qualquer termo anterior b k , para o que basta usar a fórmula

b n = b k · q n - k.

Por exemplo,

Para b 5 pode ser escrito

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

então obviamente

b n 2 = b n - k· b n + k

o quadrado de qualquer membro de uma progressão geométrica, a partir do segundo, é igual ao produto dos membros dessa progressão equidistantes dele.

Além disso, para qualquer progressão geométrica, a igualdade é verdadeira:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ eu.

Por exemplo,

exponencialmente

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , porque

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

primeiro n termos de uma progressão geométrica com um denominador q ≠ 0 calculado pela fórmula:

E quando q = 1 - de acordo com a fórmula

S n= n.b. 1

Note que se precisarmos somar os termos

b k, b k +1 , . . . , b n,

então a fórmula é usada:

S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Por exemplo,

exponencialmente 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Se dado progressão geométrica, então as quantidades b 1 , b n, q, n E S n ligados por duas fórmulas:

Portanto, se os valores de quaisquer três dessas quantidades forem fornecidos, os valores correspondentes das outras duas quantidades serão determinados a partir dessas fórmulas combinadas em um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Para uma progressão geométrica com o primeiro termo b 1 e denominador q o seguinte acontece propriedades de monotonicidade :

a progressão é crescente se uma das seguintes condições for atendida:

b 1 > 0 E q> 1;

b 1 < 0 E 0 < q< 1;

Uma progressão é decrescente se uma das seguintes condições for atendida:

b 1 > 0 E 0 < q< 1;

b 1 < 0 E q> 1.

Se q< 0 , então a progressão geométrica é de sinal alternado: seus termos ímpares têm o mesmo sinal que seu primeiro termo, e os termos pares têm o sinal oposto. É claro que uma progressão geométrica alternada não é monotônica.

produto do primeiro n termos de uma progressão geométrica pode ser calculado pela fórmula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Por exemplo,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progressão geométrica infinitamente decrescente

Progressão geométrica infinitamente decrescente é chamada de progressão geométrica infinita cujo módulo denominador é menor que 1 , aquilo é

|q| < 1 .

Observe que uma progressão geométrica infinitamente decrescente pode não ser uma sequência decrescente. Isso se encaixa no caso

1 < q< 0 .

Com tal denominador, a sequência é alternada de sinais. Por exemplo,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

A soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente nomeie o número ao qual a soma do primeiro n termos da progressão com aumento ilimitado do número n . Este número é sempre finito e é expresso pela fórmula