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Exemplos de progressão geométrica. A soma de uma progressão geométrica decrescente infinita e o paradoxo de Zenão

Aula e apresentação sobre o tema: "Sequências numéricas. Progressão geométrica"

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Pessoal, hoje vamos conhecer outro tipo de progressão.
O tema da lição de hoje é a progressão geométrica.

Progressão geométrica

Definição. Uma sequência numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do anterior e algum número fixo, é chamada de progressão geométrica.
Vamos definir nossa sequência recursivamente: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
onde b e q são certos números dados. O número q é chamado de denominador da progressão.

Exemplo. 1,2,4,8,16… Progressão geométrica, em que a primeira barra é igual a um, e $q=2$.

Exemplo. 8,8,8,8… Uma progressão geométrica cujo primeiro termo é oito,
e $q=1$.

Exemplo. 3,-3,3,-3,3... Uma progressão geométrica cujo primeiro termo é três,
e $q=-1$.

A progressão geométrica tem as propriedades de monotonicidade.
Se $b_(1)>0$, $q>1$,
então a sequência é crescente.
Se $b_(1)>0$, $0 A sequência é geralmente denotada como: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Assim como em uma progressão aritmética, se em progressão geométrica o número de elementos é finito, então a progressão é chamada de progressão geométrica finita.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Observe que, se a sequência for uma progressão geométrica, a sequência de termos ao quadrado também será uma progressão geométrica. A segunda sequência tem o primeiro termo $b_(1)^2$ e o denominador $q^2$.

Fórmula do enésimo membro de uma progressão geométrica

Uma progressão geométrica também pode ser especificada de forma analítica. Vejamos como fazer:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Podemos ver facilmente o padrão: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Nossa fórmula é chamada de "fórmula do n-ésimo membro de uma progressão geométrica".

Voltemos aos nossos exemplos.

Exemplo. 1,2,4,8,16… Uma progressão geométrica cujo primeiro termo é igual a um,
e $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Exemplo. 16,8,4,2,1,1/2… Uma progressão geométrica cujo primeiro termo é dezesseis e $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Exemplo. 8,8,8,8… Uma progressão geométrica onde o primeiro termo é oito e $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Exemplo. 3,-3,3,-3,3… Uma progressão geométrica cujo primeiro termo é três e $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Exemplo. Dada uma progressão geométrica $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Sabe-se que $b_(1)=6, q=3$. Encontre $b_(5)$.
b) Sabe-se que $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Encontrar n.
c) Sabe-se que $q=-2, b_(6)=96$. Encontre $b_(1)$.
d) Sabe-se que $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Encontre q.

Solução.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ desde $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Exemplo. A diferença entre o sétimo e o quinto membros da progressão geométrica é 192, a soma do quinto e do sexto membros da progressão é 192. Encontre o décimo membro desta progressão.

Solução.
Sabemos que: $b_(7)-b_(5)=192$ e $b_(5)+b_(6)=192$.
Também sabemos: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Então:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Temos um sistema de equações:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Igualando, nossas equações ficam:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Temos duas soluções q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Substituindo sucessivamente na segunda equação:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ sem soluções.
Temos que: $b_(1)=4, q=2$.
Vamos encontrar o décimo termo: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

A soma de uma progressão geométrica finita

Suponha que temos uma progressão geométrica finita. Vamos, assim como para uma progressão aritmética, calcular a soma de seus membros.

Seja dada uma progressão geométrica finita: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Vamos introduzir a notação para a soma de seus membros: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
No caso em que $q=1$. Todos os membros da progressão geométrica são iguais ao primeiro membro, então é óbvio que $S_(n)=n*b_(1)$.
Considere agora o caso $q≠1$.
Multiplique o valor acima por q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Observação:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Obtivemos a fórmula da soma de uma progressão geométrica finita.

Exemplo.
Encontre a soma dos primeiros sete termos de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 4 e o denominador é 3.

Solução.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Exemplo.
Encontre o quinto membro da progressão geométrica, que é conhecido: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Solução.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$ 1365q-1365 = 1024q-1 $.
$ 341q = 1364 $.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Propriedade característica de uma progressão geométrica

Pessoal, dada uma progressão geométrica. Vamos considerar seus três membros consecutivos: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Nós sabemos isso:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Então:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Se a progressão for finita, essa igualdade vale para todos os termos, exceto o primeiro e o último.
Se não se sabe de antemão que tipo de sequência a sequência possui, mas sabe-se que: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Então podemos dizer com segurança que se trata de uma progressão geométrica.

Uma sequência numérica é uma progressão geométrica somente quando o quadrado de cada um de seus termos é igual ao produto de seus dois termos vizinhos da progressão. Não se esqueça que para uma progressão finita esta condição não é satisfeita para o primeiro e último termo.

Vejamos esta identidade: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ é chamada de média geométrica de a e b.

O módulo de qualquer membro de uma progressão geométrica é igual à média geométrica dos dois membros adjacentes a ele.

Exemplo.
Encontre x tal que $x+2; 2x+2; 3x+3$ eram três membros consecutivos de uma progressão geométrica.

Solução.
Vamos usar a propriedade característica:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ e $x_(2)=-1$.
Substitua sequencialmente na expressão original, nossas soluções:
Com $x=2$, temos a sequência: 4;6;9 é uma progressão geométrica com $q=1,5$.
Com $x=-1$, obtemos a sequência: 1;0;0.
Resposta: $x=2.$

Tarefas para solução independente

1. Encontre o oitavo primeiro membro da progressão geométrica 16; -8; 4; -2 ....
2. Encontre o décimo membro da progressão geométrica 11,22,44….
3. Sabe-se que $b_(1)=5, q=3$. Encontre $b_(7)$.
4. Sabe-se que $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Encontrar n.
5. Encontre a soma dos primeiros 11 membros da progressão geométrica 3;12;48….
6. Encontre x tal que $3x+4; 2x+4; x+5$ são três membros consecutivos de uma progressão geométrica.

O objetivo da lição: apresentar aos alunos um novo tipo de sequência - uma progressão geométrica infinitamente decrescente.
Tarefas:
formulação da ideia inicial do limite sequência numérica;
conhecimento de outra maneira de converter frações periódicas infinitas em ordinárias usando a fórmula para a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente;
o desenvolvimento das qualidades intelectuais da personalidade dos escolares, como pensamento lógico, capacidade de ações avaliativas, generalização;
educação da atividade, assistência mútua, coletivismo, interesse pelo assunto.

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Lição relacionada “Progressão geométrica infinitamente decrescente” (álgebra, 10ª série)

O objetivo da lição: apresentando aos alunos um novo tipo de sequência - uma progressão geométrica infinitamente decrescente.

Tarefas:

formulação da ideia inicial do limite da sequência numérica; conhecimento de outra maneira de converter frações periódicas infinitas em ordinárias usando a fórmula para a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente;

o desenvolvimento das qualidades intelectuais da personalidade dos escolares, como pensamento lógico, capacidade de ações avaliativas, generalização;

educação da atividade, assistência mútua, coletivismo, interesse pelo assunto.

Equipamento: aula de informática, projetor, tela.

Tipo de aula: Lição - dominar um novo tópico.

durante as aulas

I. Org. momento. Mensagem sobre o tema e propósito da lição.

II. Atualização dos conhecimentos dos alunos.

Na 9ª série, você estudou progressões aritméticas e geométricas.

Questões

1. Definição de progressão aritmética.

(Uma progressão aritmética é uma sequência na qual cada membro,

A partir do segundo, é igual ao termo anterior, somado com o mesmo número).

2. Fórmula n -ésimo membro de uma progressão aritmética

3. A fórmula para a soma do primeiro n membros de uma progressão aritmética.

( ou )

4. Definição de progressão geométrica.

(Uma progressão geométrica é uma sequência de números diferentes de zero,

Cada termo do qual, a partir do segundo, é igual ao termo anterior, multiplicado por

o mesmo número).

5. Fórmula n º termo de uma progressão geométrica

6. A fórmula para a soma do primeiro n membros de uma progressão geométrica.

7. Quais fórmulas você ainda conhece?

(, Onde ; ;

; , )

Tarefas

1. A progressão aritmética é dada pela fórmula n = 7 - 4n. Encontre um 10. (-33)

2. Progressão aritmética a 3 = 7 e a 5 = 1 . Encontre um 4 . (4)

3. Progressão aritmética a 3 = 7 e a 5 = 1 . Encontre um 17 . (-35)

4. Progressão aritmética a 3 = 7 e a 5 = 1 . Encontre S 17 . (-187)

5. Para uma progressão geométricaencontre o quinto termo.

6. Para uma progressão geométrica encontre o enésimo termo.

7. Exponencialmente b 3 = 8 eb 5 = 2 . Encontre b 4 . (4)

8. Exponencialmente b 3 = 8 eb 5 = 2 . Encontre b 1 e q .

9. Exponencialmente b 3 = 8 eb 5 = 2 . Encontre S 5 . (62)

III. Explorando um novo tópico(apresentação de demonstração).

Considere um quadrado com lado igual a 1. Vamos desenhar outro quadrado, cujo lado é metade do primeiro quadrado, depois outro, cujo lado é metade do segundo, depois o próximo e assim por diante. Cada vez que o lado do novo quadrado é a metade do anterior.

Como resultado, obtemos uma sequência de lados de quadradosformando uma progressão geométrica com um denominador.

E, o que é muito importante, quanto mais construirmos esses quadrados, menor será o lado do quadrado. Por exemplo ,

Aqueles. à medida que o número n aumenta, os termos da progressão se aproximam de zero.

Com a ajuda desta figura, mais uma sequência pode ser considerada.

Por exemplo, a sequência de áreas de quadrados:

E, novamente, se n aumenta indefinidamente, então a área se aproxima de zero arbitrariamente próxima.

Vamos considerar mais um exemplo. Triângulo equilátero de lado 1 cm. Vamos construir o próximo triângulo com vértices nos pontos médios dos lados do 1º triângulo, de acordo com o teorema da linha média do triângulo - o lado do 2º é igual à metade do lado do primeiro, o lado do 3º é a metade do lado do o 2º, etc Novamente obtemos uma sequência de comprimentos dos lados dos triângulos.

No .

Se considerarmos uma progressão geométrica com denominador negativo.

Então, novamente, com números crescentes n os termos da progressão se aproximam de zero.

Vamos prestar atenção nos denominadores dessas sequências. Em todos os lugares os denominadores eram menores que 1 módulo.

Podemos concluir: uma progressão geométrica será infinitamente decrescente se o módulo do seu denominador for menor que 1.

Trabalho frontal.

Definição:

Uma progressão geométrica é dita infinitamente decrescente se o módulo do seu denominador for menor que um..

Com a ajuda da definição, é possível resolver a questão de saber se uma progressão geométrica é infinitamente decrescente ou não.

Tarefa

A sequência é uma progressão geométrica infinitamente decrescente se for dada pela fórmula:

Solução:

Vamos encontrar q .

; ; ; .

esta progressão geométrica é infinitamente decrescente.

b) esta sequência não é uma progressão geométrica infinitamente decrescente.

Considere um quadrado com lado igual a 1. Divida-o ao meio, uma das metades ao meio novamente e assim por diante. as áreas de todos os retângulos resultantes formam uma progressão geométrica infinitamente decrescente:

A soma das áreas de todos os retângulos assim obtidos será igual à área do 1º quadrado e igual a 1.

Mas no lado esquerdo dessa igualdade está a soma de um número infinito de termos.

Considere a soma dos primeiros n termos.

De acordo com a fórmula para a soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica, é igual a.

Se n aumenta indefinidamente, então

ou . Portanto, ou seja .

A soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescenteexiste um limite de sequência S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … .

Por exemplo, para uma progressão,

Nós temos

Porque

A soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescentepode ser encontrado pela fórmula.

III. Reflexão e Consolidação(conclusão de tarefas).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

4. Resumindo.

Que sequência você conheceu hoje?

Defina uma progressão geométrica infinitamente decrescente.

Como provar que uma progressão geométrica é infinitamente decrescente?

Dê a fórmula para a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente.

V. Trabalho de casa.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Visualização:

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Legendas dos slides:

Todos devem ser capazes de pensar consistentemente, julgar conclusivamente e refutar conclusões erradas: um físico e um poeta, um tratorista e um químico. E.Kolman Em matemática, deve-se lembrar não de fórmulas, mas de processos de pensamento. VP Ermakov É mais fácil encontrar o quadrado de um círculo do que enganar um matemático. Augustus de Morgan Que ciência poderia ser mais nobre, mais admirável, mais útil para a humanidade do que a matemática? Franklin

Progressão geométrica infinitamente decrescente 10º ano

EU. Progressões aritméticas e geométricas. Questões 1. Definição de progressão aritmética. Uma progressão aritmética é uma sequência na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior adicionado ao mesmo número. 2. Fórmula do enésimo membro de uma progressão aritmética. 3. A fórmula para a soma dos primeiros n membros de uma progressão aritmética. 4. Definição de progressão geométrica. Uma progressão geométrica é uma sequência de números diferentes de zero, cada membro dos quais, a partir do segundo, é igual ao membro anterior multiplicado pelo mesmo número 5. A fórmula do n-ésimo membro de uma progressão geométrica. 6. A fórmula para a soma dos primeiros n membros de uma progressão geométrica.

II. Progressão aritmética. Tarefas A progressão aritmética é dada pela fórmula a n = 7 – 4 n Encontre a 10 . (-33) 2. Na progressão aritmética a 3 = 7 e a 5 = 1 . Encontre um 4 . (4) 3. Na progressão aritmética a 3 = 7 e a 5 = 1 . Encontre um 17 . (-35) 4. Em progressão aritmética a 3 = 7 e a 5 = 1 . Encontre S 17 . (-187)

II. Progressão geométrica. Tarefas 5. Para uma progressão geométrica, encontre o quinto termo 6. Para uma progressão geométrica, encontre o enésimo termo. 7. Em progressão geométrica b 3 = 8 e b 5 = 2. Encontre b 4 . (4) 8. Em progressão geométrica b 3 = 8 e b 5 = 2 . Encontre b 1 e q . 9. Em progressão geométrica b 3 = 8 e b 5 = 2. Encontre S 5 . (62)

Definição: Diz-se que uma progressão geométrica é infinitamente decrescente se o módulo do seu denominador for menor que um.

Problema №1 A sequência é uma progressão geométrica infinitamente decrescente, se for dada pela fórmula: Solução: a) esta progressão geométrica é infinitamente decrescente. b) esta sequência não é uma progressão geométrica infinitamente decrescente.

A soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente é o limite da sequência S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … . Por exemplo, para uma progressão, temos Como a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente pode ser encontrada pela fórmula

Conclusão de tarefas Encontre a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente com o primeiro termo 3, o segundo 0,3. 2. Nº 13; nº 14; livro didático, página 138 3. No. 15 (1; 3); #16(1;3) #18(1;3); 4. Nº 19; nº 20.

Que sequência você conheceu hoje? Defina uma progressão geométrica infinitamente decrescente. Como provar que uma progressão geométrica é infinitamente decrescente? Dê a fórmula para a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente. Questões

O famoso matemático polonês Hugo Steinghaus, brincando, afirma que existe uma lei formulada da seguinte forma: um matemático fará melhor. Ou seja, se você confiar a duas pessoas, uma das quais é um matemático, fazer qualquer trabalho que elas não conheçam, o resultado será sempre o seguinte: o matemático fará melhor. Hugo Steinghaus 14.01.1887-25.02.1972

Instrução

10, 30, 90, 270...

É necessário encontrar o denominador de uma progressão geométrica.
Solução:

1 opção. Vamos pegar um membro arbitrário da progressão (por exemplo, 90) e dividi-lo pelo anterior (30): 90/30=3.

Se a soma de vários membros de uma progressão geométrica ou a soma de todos os membros de uma progressão geométrica decrescente for conhecida, então, para encontrar o denominador da progressão, use as fórmulas apropriadas:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), onde Sn é a soma dos primeiros n termos da progressão geométrica e
S = b1/(1-q), onde S é a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente (a soma de todos os membros da progressão com um denominador menor que um).
Exemplo.

O primeiro termo de uma progressão geométrica decrescente é igual a um, e a soma de todos os seus termos é igual a dois.

É necessário determinar o denominador desta progressão.
Solução:

Substitua os dados da tarefa na fórmula. Pegar:
2=1/(1-q), onde – q=1/2.

Uma progressão é uma sequência de números. Em uma progressão geométrica, cada termo subseqüente é obtido multiplicando-se o anterior por um certo número q, denominado denominador da progressão.

Instrução

Se dois membros vizinhos da geometria b(n+1) e b(n) são conhecidos, para obter o denominador, é necessário dividir o número com um número grande pelo anterior: q=b(n +1)/b(n). Isso decorre da definição da progressão e seu denominador. Uma condição importante é que o primeiro termo e o denominador da progressão não sejam iguais a zero, caso contrário ela é considerada indefinida.

Assim, as seguintes relações são estabelecidas entre os membros da progressão: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Pela fórmula b(n)=b1 q^(n-1) pode-se calcular qualquer barra de uma progressão geométrica, na qual o denominador q e a barra b1 são conhecidos. Além disso, cada módulo de progressão é igual à média de seus membros vizinhos: |b(n)|=√, portanto a progressão obteve seu .

Um análogo de uma progressão geométrica é o mais simples função exponencial y=a^x, onde x está no expoente, a é algum número. Nesse caso, o denominador da progressão coincide com o primeiro termo e é igual ao número a. O valor da função y pode ser entendido como enésimo membro progressões, se o argumento x for tomado como um número natural n (contador).

Existe para a soma dos primeiros n membros de uma progressão geométrica: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Esta fórmula é válida para q≠1. Se q=1, então a soma dos primeiros n termos é calculada pela fórmula S(n)=n b1. A propósito, a progressão será chamada crescente para q maior que um e b1 positivo. Quando o denominador da progressão, módulo não exceder um, a progressão será chamada decrescente.

caso especial progressão geométrica - uma progressão geométrica infinitamente decrescente (b.u.g.p.). O fato é que os membros de uma progressão geométrica decrescente diminuirão repetidamente, mas nunca chegarão a zero. Apesar disso, é possível encontrar a soma de todos os termos dessa progressão. É determinado pela fórmula S=b1/(1-q). Total n membros são infinitos.

Para visualizar como você pode somar um número infinito de números e não obter o infinito, faça um bolo. Corte metade dela. Em seguida, corte 1/2 da metade e assim por diante. As peças que você obterá nada mais são do que membros de uma progressão geométrica infinitamente decrescente com denominador 1/2. Se você juntar todas essas peças, obterá o bolo original.

Os problemas de geometria são variedade especial exercícios que requerem raciocínio espacial. Se você não consegue resolver o problema geométrico tarefa tente seguir as regras abaixo.

Instrução

Leia a condição do problema com muito cuidado, se não lembrar ou não entender algo, releia novamente.

Tente determinar que tipo de problema geométrico é, por exemplo: computacional, quando você precisa descobrir algum valor, tarefas para exigir uma cadeia lógica de raciocínio, tarefas para construir usando compasso e régua. Mais tarefas tipo misto. Depois de descobrir o tipo de problema, tente pensar logicamente.

Aplique o teorema necessário para este problema, se houver dúvidas ou não houver opções, tente se lembrar da teoria que você estudou sobre o tópico relevante.

Faça também um rascunho do problema. Tente aplicar maneiras conhecidas verificando a exatidão de sua solução.

Complete a solução do problema perfeitamente em um caderno, sem borrões e tachados, e o mais importante - Talvez leve tempo e esforço para resolver os primeiros problemas geométricos. No entanto, assim que você pegar o jeito desse processo, começará a clicar em tarefas como nozes e se divertir fazendo isso!

Uma progressão geométrica é uma sequência de números b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) tal que b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Em outras palavras, cada membro da progressão é obtido do anterior multiplicando-o por algum denominador diferente de zero da progressão q.

Instrução

Os problemas em uma progressão são geralmente resolvidos compilando e seguindo um sistema em relação ao primeiro termo da progressão b1 e ao denominador da progressão q. Para escrever equações, é útil lembrar algumas fórmulas.

Como expressar o n-ésimo membro da progressão até o primeiro membro da progressão e o denominador da progressão: b(n)=b1*q^(n-1).

Considere separadamente o caso |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Uma progressão geométrica é uma sequência numérica, cujo primeiro termo é diferente de zero, e cada próximo termo é igual ao termo anterior multiplicado pelo mesmo número diferente de zero.

O conceito de progressão geométrica

A progressão geométrica é denotada por b1,b2,b3, …, bn, … .

A razão de qualquer termo do erro geométrico para seu termo anterior é igual ao mesmo número, ou seja, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Isso decorre diretamente da definição de uma progressão aritmética. Esse número é chamado de denominador de uma progressão geométrica. Normalmente, o denominador de uma progressão geométrica é denotado pela letra q.

A soma de uma progressão geométrica infinita para |q|<1

Uma maneira de definir uma progressão geométrica é definir seu primeiro termo b1 e o denominador do erro geométrico q. Por exemplo, b1=4, q=-2. Estas duas condições dão uma progressão geométrica de 4, -8, 16, -32, … .

Se q>0 (q não é igual a 1), então a progressão é uma sequência monotônica. Por exemplo, a sequência 2, 4,8,16,32, ... é uma sequência monotonicamente crescente (b1=2, q=2).

Se o denominador q=1 no erro geométrico, então todos os membros da progressão geométrica serão iguais entre si. Nesses casos, diz-se que a progressão é uma sequência constante.

Para que a sequência numérica (bn) seja uma progressão geométrica, é necessário que cada uma de suas barras, a partir da segunda, seja a média geométrica das barras vizinhas. Ou seja, é necessário preencher a seguinte equação
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), para qualquer n>0, onde n pertence ao conjunto dos números naturais N.

Agora vamos colocar (Xn) - uma progressão geométrica. O denominador da progressão geométrica q, com |q|∞).
Se agora denotarmos por S a soma de uma progressão geométrica infinita, então a seguinte fórmula será válida:
S=x1/(1-q).

Considere um exemplo simples:

Encontre a soma de uma progressão geométrica infinita 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

Para encontrar S, usamos a fórmula para a soma de uma progressão infinitamente aritmética. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Se todo número natural n corresponder a um número real um , então eles dizem que dado sequência numérica :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , um , . . . .

Assim, uma sequência numérica é uma função de um argumento natural.

Número a 1 chamado o primeiro membro da sequência , número a 2 — o segundo membro da sequência , número a 3 — terceiro e assim por diante. Número um chamado enésimo membro sequências , e o número natural n — o número dele .

De dois membros vizinhos um E um +1 sequências de membros um +1 chamado subseqüente (em direção a um ), A um — anterior (em direção a um +1 ).

Para especificar uma sequência, você deve especificar um método que permita localizar um membro de sequência com qualquer número.

Frequentemente a sequência é dada com fórmulas de enésimo termo , ou seja, uma fórmula que permite determinar um membro de sequência por seu número.

Por exemplo,

a sequência de números ímpares positivos pode ser dada pela fórmula

um= 2n- 1,

e a sequência de alternância 1 E -1 - Fórmula

b n = (-1)n +1 . ◄

A sequência pode ser determinada fórmula recorrente, ou seja, uma fórmula que expressa qualquer membro da sequência, começando com alguns, passando pelos membros anteriores (um ou mais).

Por exemplo,

Se a 1 = 1 , A um +1 = um + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Se um 1= 1, um 2 = 1, um +2 = um + um +1 , então os primeiros sete membros da sequência numérica são definidos da seguinte forma:

um 1 = 1,

um 2 = 1,

um 3 = um 1 + um 2 = 1 + 1 = 2,

um 4 = um 2 + um 3 = 1 + 2 = 3,

um 5 = um 3 + um 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

As sequências podem ser final E sem fim .

A sequência é chamada final se tiver um número finito de membros. A sequência é chamada sem fim se tiver infinitos membros.

Por exemplo,

sequência de números naturais de dois algarismos:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Sequência de números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sem fim. ◄

A sequência é chamada aumentando , se cada um de seus membros, a partir do segundo, for maior que o anterior.

A sequência é chamada minguante , se cada um de seus membros, a partir do segundo, for menor que o anterior.

Por exemplo,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . é uma sequência ascendente;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . é uma sequência descendente. ◄

Uma sequência cujos elementos não diminuem com o aumento do número ou, inversamente, não aumentam, é chamada sequência monótona .

As sequências monótonas, em particular, são sequências crescentes e sequências decrescentes.

Progressão aritmética

Progressão aritmética chama-se uma sequência, cada membro da qual, a partir do segundo, é igual ao anterior, ao qual se acrescenta o mesmo número.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , um, . . .

é uma progressão aritmética se para qualquer número natural n condição é satisfeita:

um +1 = um + d,

Onde d - algum número.

Assim, a diferença entre o próximo e os membros anteriores de uma determinada progressão aritmética é sempre constante:

um 2 - a 1 = um 3 - a 2 = . . . = um +1 - um = d.

Número d chamado a diferença de uma progressão aritmética.

Para definir uma progressão aritmética, basta especificar seu primeiro termo e diferença.

Por exemplo,

Se a 1 = 3, d = 4 , então os primeiros cinco termos da sequência são encontrados da seguinte forma:

um 1 =3,

um 2 = um 1 + d = 3 + 4 = 7,

um 3 = um 2 + d= 7 + 4 = 11,

um 4 = um 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Para uma progressão aritmética com o primeiro termo a 1 e diferença d dela n

um = um 1 + (n- 1)d.

Por exemplo,

encontre o trigésimo termo de uma progressão aritmética

1, 4, 7, 10, . . .

um 1 =1, d = 3,

um 30 = um 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

um n-1 = um 1 + (n- 2)d,

um= um 1 + (n- 1)d,

um +1 = a 1 + nd,

então obviamente

um=	a n-1 + a n+1
	2

cada membro da progressão aritmética, a partir do segundo, é igual à média aritmética dos membros anteriores e posteriores.

os números a, b e c são membros consecutivos de alguma progressão aritmética se e somente se um deles é igual à média aritmética dos outros dois.

Por exemplo,

um = 2n- 7 , é uma progressão aritmética.

Vamos usar a declaração acima. Nós temos:

um = 2n- 7,

um n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

um n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Por isso,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = um,
2		2

◄

Observe que n -ésimo membro de uma progressão aritmética pode ser encontrado não apenas através a 1 , mas também qualquer anterior um k

um = um k + (n- k)d.

Por exemplo,

Para a 5 pode ser escrito

um 5 = um 1 + 4d,

um 5 = um 2 + 3d,

um 5 = um 3 + 2d,

um 5 = um 4 + d. ◄

um = um n-k + kd,

um = um n+k - kd,

então obviamente

um=	a n-k +a n+k
	2

qualquer membro de uma progressão aritmética, a partir do segundo, é igual à metade da soma dos membros dessa progressão aritmética igualmente espaçados dela.

Além disso, para qualquer progressão aritmética, a igualdade é verdadeira:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Por exemplo,

em progressão aritmética

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = um 10 = um 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) um 10= 28 = (19 + 37)/2 = (um 7 + um 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, porque

um 2 + um 12= 4 + 34 = 38,

um 5 + um 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ um,

primeiro n membros de uma progressão aritmética é igual ao produto da metade da soma dos termos extremos pelo número de termos:

A partir disso, em particular, segue-se que, se for necessário somar os termos

um k, um k +1 , . . . , um,

então a fórmula anterior mantém sua estrutura:

Por exemplo,

em progressão aritmética 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Se dado progressão aritmética, então as quantidades a 1 , um, d, n ES n ligados por duas fórmulas:

Portanto, se os valores de três dessas quantidades forem fornecidos, os valores correspondentes das outras duas quantidades serão determinados a partir dessas fórmulas combinadas em um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Uma progressão aritmética é uma sequência monotônica. Em que:

Se d > 0 , então é crescente;
Se d < 0 , então é decrescente;
Se d = 0 , então a sequência será estacionária.

Progressão geométrica

progressão geométrica chama-se uma sequência, cada termo da qual, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado pelo mesmo número.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

é uma progressão geométrica se para qualquer número natural n condição é satisfeita:

b n +1 = b n · q,

Onde q ≠ 0 - algum número.

Assim, a razão do próximo termo desta progressão geométrica para o anterior é um número constante:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Número q chamado denominador de uma progressão geométrica.

Para definir uma progressão geométrica, basta especificar seu primeiro termo e denominador.

Por exemplo,

Se b 1 = 1, q = -3 , então os primeiros cinco termos da sequência são encontrados da seguinte forma:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 e denominador q dela n -th termo pode ser encontrado pela fórmula:

b n = b 1 · q n -1 .

Por exemplo,

encontre o sétimo termo de uma progressão geométrica 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

então obviamente

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

cada membro da progressão geométrica, a partir do segundo, é igual à média geométrica (proporcional) dos membros anteriores e posteriores.

Como a recíproca também é verdadeira, vale a seguinte afirmação:

os números a, b e c são membros consecutivos de alguma progressão geométrica se e somente se o quadrado de um deles é igual ao produto dos outros dois, ou seja, um dos números é a média geométrica dos outros dois.

Por exemplo,

vamos provar que a sequência dada pela fórmula b n= -3 2 n , é uma progressão geométrica. Vamos usar a declaração acima. Nós temos:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Por isso,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

o que prova a afirmação requerida. ◄

Observe que n o termo de uma progressão geométrica pode ser encontrado não apenas através b 1 , mas também qualquer termo anterior b k , para o que basta usar a fórmula

b n = b k · q n - k.

Por exemplo,

Para b 5 pode ser escrito

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

então obviamente

b n 2 = b n - k· b n + k

o quadrado de qualquer membro de uma progressão geométrica, a partir do segundo, é igual ao produto dos membros dessa progressão equidistantes dele.

Além disso, para qualquer progressão geométrica, a igualdade é verdadeira:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ eu.

Por exemplo,

exponencialmente

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , porque

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

primeiro n termos de uma progressão geométrica com um denominador q ≠ 0 calculado pela fórmula:

E quando q = 1 - de acordo com a fórmula

S n= n.b. 1

Note que se precisarmos somar os termos

b k, b k +1 , . . . , b n,

então a fórmula é usada:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Por exemplo,

exponencialmente 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Se uma progressão geométrica é dada, então as quantidades b 1 , b n, q, n E S n ligados por duas fórmulas:

Portanto, se os valores de quaisquer três dessas quantidades forem fornecidos, os valores correspondentes das outras duas quantidades serão determinados a partir dessas fórmulas combinadas em um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Para uma progressão geométrica com o primeiro termo b 1 e denominador q o seguinte acontece propriedades de monotonicidade :

a progressão é crescente se uma das seguintes condições for atendida:

b 1 > 0 E q> 1;

b 1 < 0 E 0 < q< 1;

Uma progressão é decrescente se uma das seguintes condições for atendida:

b 1 > 0 E 0 < q< 1;

b 1 < 0 E q> 1.

Se q< 0 , então a progressão geométrica é de sinal alternado: seus termos ímpares têm o mesmo sinal que seu primeiro termo, e os termos pares têm o sinal oposto. É claro que uma progressão geométrica alternada não é monotônica.

produto do primeiro n termos de uma progressão geométrica pode ser calculado pela fórmula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Por exemplo,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progressão geométrica infinitamente decrescente

Progressão geométrica infinitamente decrescente é chamada de progressão geométrica infinita cujo módulo denominador é menor que 1 , aquilo é

|q| < 1 .

Observe que uma progressão geométrica infinitamente decrescente pode não ser uma sequência decrescente. Isso se encaixa no caso

1 < q< 0 .

Com tal denominador, a sequência é alternada de sinais. Por exemplo,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

A soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente nomeie o número ao qual a soma do primeiro n termos da progressão com aumento ilimitado do número n . Este número é sempre finito e é expresso pela fórmula