Resolvendo equações com x's. Calculadora de equações irracionais online

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Atribuição de serviço. A calculadora matricial foi projetada para resolver sistemas de equações lineares de forma matricial (veja um exemplo de resolução de problemas semelhantes).

Instrução. Para uma solução online, você deve selecionar o tipo de equação e definir a dimensão das matrizes correspondentes. onde A, B, C são matrizes dadas, X é a matriz desejada. Equações matriciais da forma (1), (2) e (3) são resolvidas através da matriz inversa A -1 . Se a expressão A X - B = C for dada, então é necessário primeiro somar as matrizes C + B e encontrar uma solução para a expressão A X = D , onde D = C + B . Se a expressão A*X = B 2 for dada, então a matriz B deve primeiro ser elevada ao quadrado.

Também é recomendável familiarizar-se com as operações básicas com matrizes.

Exemplo 1. Exercício. Encontre uma solução para uma equação matricial
Solução. Indicar:
Então a equação matricial será escrita na forma: A·X·B = C.
O determinante da matriz A é detA=-1
Como A é uma matriz não singular, existe uma matriz inversa A -1 . Multiplique ambos os lados da equação à esquerda por A -1: Multiplique ambos os lados desta equação à esquerda por A -1 e à direita por B -1: A -1 A X B B -1 = A -1 C B -1 . Como A A -1 = B B -1 = E e E X = X E = X, então X = A -1 C B -1

Matriz inversa A -1:
Encontre a matriz inversa B -1 .
Matriz de transposição B T:
Matriz inversa B -1:
Procuramos a matriz X pela fórmula: X = A -1 C B -1

Responder:

Exemplo #2. Exercício. Resolver equação matricial
Solução. Indicar:
Então a equação matricial será escrita na forma: A X = B.
O determinante da matriz A é detA=0
Como A é uma matriz degenerada (o determinante é 0), portanto, a equação não tem solução.

Exemplo #3. Exercício. Encontre uma solução para uma equação matricial
Solução. Indicar:
Então a equação matricial será escrita na forma: X·A = B.
O determinante da matriz A é detA=-60
Como A é uma matriz não singular, existe uma matriz inversa A -1 . Multiplique à direita ambos os lados da equação por A -1: X A A -1 = B A -1 , a partir do qual descobrimos que X = B A -1
Encontre a matriz inversa A -1 .
Matriz transposta AT:
Matriz inversa A -1:
Procuramos a matriz X pela fórmula: X = B A -1


Resposta: >

As equações quadráticas são estudadas na 8ª série, então não há nada complicado aqui. A capacidade de resolvê-los é essencial.

Uma equação quadrática é uma equação da forma ax 2 + bx + c = 0, onde os coeficientes a, b e c são números arbitrários e a ≠ 0.

Antes de estudar métodos específicos de solução, notamos que todas as equações quadráticas podem ser divididas em três classes:

1. Não têm raízes;
2. Eles têm exatamente uma raiz;
3. Eles têm duas raízes diferentes.

Esta é uma diferença importante entre equações quadráticas e lineares, onde a raiz sempre existe e é única. Como determinar quantas raízes uma equação tem? Há uma coisa maravilhosa para isso - discriminante.

Discriminante

Seja dada a equação quadrática ax 2 + bx + c = 0. Então o discriminante é simplesmente o número D = b 2 − 4ac .

Esta fórmula deve ser conhecida de cor. De onde vem não é importante agora. Outra coisa é importante: pelo sinal do discriminante você pode determinar quantas raízes uma equação quadrática possui. Nomeadamente:

1. Se D< 0, корней нет;
2. Se D = 0, existe exatamente uma raiz;
3. Se D > 0, haverá duas raízes.

Observação: o discriminante indica o número de raízes, e não seus sinais, como muitas pessoas pensam por algum motivo. Dê uma olhada nos exemplos e você entenderá tudo sozinho:

Tarefa. Quantas raízes as equações quadráticas têm:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x2 − 6x + 9 = 0.

Escrevemos os coeficientes da primeira equação e encontramos o discriminante:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Então, o discriminante é positivo, então a equação tem duas raízes diferentes. Analisamos a segunda equação da mesma maneira:
uma = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

O discriminante é negativo, não há raízes. A última equação permanece:
uma = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

O discriminante é igual a zero - a raiz será um.

Observe que os coeficientes foram escritos para cada equação. Sim, é longo, sim, é tedioso - mas você não vai confundir as probabilidades e não cometer erros estúpidos. Escolha você mesmo: velocidade ou qualidade.

Aliás, se você “encher a mão”, depois de um tempo não precisará mais escrever todos os coeficientes. Você realizará essas operações em sua cabeça. A maioria das pessoas começa a fazer isso depois de 50-70 equações resolvidas - em geral, nem tanto.

As raízes de uma equação quadrática

Agora vamos passar para a solução. Se o discriminante D > 0, as raízes podem ser encontradas usando as fórmulas:

A fórmula básica para as raízes de uma equação quadrática

Quando D = 0, você pode usar qualquer uma dessas fórmulas – você obtém o mesmo número, que será a resposta. Finalmente, se D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Primeira equação:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ uma = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ a equação tem duas raízes. Vamos encontrá-los:

Segunda equação:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ a equação novamente tem duas raízes. Vamos encontrá-los

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \fim(alinhar)\]

Finalmente, a terceira equação:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ uma = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ a equação tem uma raiz. Qualquer fórmula pode ser usada. Por exemplo, o primeiro:

Como você pode ver nos exemplos, tudo é muito simples. Se você conhece as fórmulas e sabe contar, não haverá problemas. Na maioria das vezes, ocorrem erros quando coeficientes negativos são substituídos na fórmula. Aqui, novamente, a técnica descrita acima ajudará: observe a fórmula literalmente, pinte cada etapa - e livre-se dos erros muito em breve.

Equações quadráticas incompletas

Acontece que a equação quadrática é um pouco diferente do que é dado na definição. Por exemplo:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

É fácil ver que falta um dos termos nessas equações. Essas equações quadráticas são ainda mais fáceis de resolver do que as padrão: elas nem precisam calcular o discriminante. Então, vamos apresentar um novo conceito:

A equação ax 2 + bx + c = 0 é chamada de equação quadrática incompleta se b = 0 ou c = 0, ou seja, o coeficiente da variável x ou do elemento livre é igual a zero.

Claro, um caso muito difícil é possível quando ambos os coeficientes são iguais a zero: b = c = 0. Neste caso, a equação assume a forma ax 2 = 0. Obviamente, tal equação tem um único raiz: x = 0.

Vamos considerar outros casos. Seja b = 0, então obtemos uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 + c = 0. Vamos transformá-la levemente:

Como a raiz quadrada aritmética existe apenas a partir de um número não negativo, a última igualdade só faz sentido quando (−c / a ) ≥ 0. Conclusão:

1. Se uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 + c = 0 satisfaz a desigualdade (−c / a ) ≥ 0, haverá duas raízes. A fórmula é fornecida acima;
2. Se (−c / uma )< 0, корней нет.

Como você pode ver, o discriminante não era necessário - não existem cálculos complexos em equações quadráticas incompletas. Na verdade, nem é necessário lembrar a desigualdade (−c / a ) ≥ 0. Basta expressar o valor de x 2 e ver o que está do outro lado do sinal de igual. Se houver um número positivo, haverá duas raízes. Se for negativo, não haverá raízes.

Agora vamos lidar com equações da forma ax 2 + bx = 0, nas quais o elemento livre é igual a zero. Tudo é simples aqui: sempre haverá duas raízes. Basta fatorar o polinômio:

Tirando o fator comum do colchete

O produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero. É daí que vêm as raízes. Concluindo, analisaremos várias dessas equações:

Tarefa. Resolva equações quadráticas:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Não há raízes, porque o quadrado não pode ser igual a um número negativo.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.