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Como encontrar o menor valor de uma função de uma equação. Os maiores e menores valores de uma função de duas variáveis em uma região fechada

Uma tarefa em miniatura e bastante simples, do tipo que serve de tábua de salvação para um aluno flutuante. Na natureza, o reino sonolento de meados de julho, então é hora de relaxar com um laptop na praia. Jogou de madrugada raio de Sol teoria para logo focar na prática, que, apesar da pretensa leveza, contém cacos de vidro na areia. A este respeito, recomendo considerar conscienciosamente alguns exemplos desta página. Para resolver tarefas práticas, você precisa ser capaz de encontrar derivados e entender o material do artigo Intervalos de monotonicidade e extremos de uma função.

Primeiro, brevemente sobre o principal. Em uma aula sobre continuidade da função Eu dei a definição de continuidade em um ponto e continuidade em um intervalo. O comportamento exemplar de uma função em um segmento é formulado de forma similar. Uma função é contínua em um segmento se:

1) é contínua no intervalo ;
2) contínua em um ponto na direita e no ponto esquerda.

O segundo parágrafo trata do chamado continuidade unilateral funções em um ponto. Existem várias abordagens para sua definição, mas vou me ater à linha iniciada anteriormente:

A função é contínua em um ponto na direita, se for definido em um determinado ponto e seu limite à direita coincidir com o valor da função em um determinado ponto: . é contínua no ponto esquerda, se definido em um determinado ponto e seu limite esquerdo for igual ao valor naquele ponto:

Imagine que os pontos verdes são os pregos nos quais o elástico mágico está preso:

Pegue mentalmente a linha vermelha em suas mãos. Obviamente, não importa o quanto estiquemos o gráfico para cima e para baixo (ao longo do eixo), a função ainda permanecerá limitado- uma sebe em cima, uma sebe em baixo e o nosso produto pasta num prado. Por isso, uma função contínua em um segmento é limitada por ele. No curso da análise matemática, este fato aparentemente simples é declarado e rigorosamente provado Primeiro teorema de Weierstrass.... Muitas pessoas ficam aborrecidas com o fato de afirmações elementares serem tediosamente fundamentadas em matemática, mas há significado importante. Suponha que um certo habitante da Terry Idade Média puxasse o gráfico para o céu além dos limites da visibilidade, isso foi inserido. Antes da invenção do telescópio, a função limitada no espaço não era nada óbvia! De fato, como você sabe o que nos espera além do horizonte? Afinal, uma vez que a Terra era considerada plana, hoje até o teletransporte comum requer prova =)

De acordo com segundo teorema de Weierstrass, contínua no segmentofunção atinge seu borda superior exata e ele borda inferior exata .

O número também é chamado o valor máximo da função no segmento e denotado por , e o número - o valor mínimo da função no segmento marcado .

No nosso caso:

Observação : em teoria, os registros são comuns .

A grosso modo, valor mais alto está localizado onde o ponto alto gráficos e o menor - onde é o ponto mais baixo.

Importante! Como já apontado no artigo sobre extremo da função, o maior valor da função E menor valor da função – NÃO É O MESMO, O que função máxima E função mínima. Portanto, neste exemplo, o número é o mínimo da função, mas não o valor mínimo.

A propósito, o que acontece fora do segmento? Sim, mesmo o dilúvio, no contexto do problema em questão, isso não nos interessa em nada. A tarefa envolve apenas encontrar dois números e é isso!

Além disso, a solução é puramente analítica, portanto, não precisa desenhar!

O algoritmo está na superfície e sugere-se a partir da figura acima:

1) Encontre os valores da função em Pontos críticos, que pertencem a este segmento.

Pega mais uma boa: não há necessidade de verificar uma condição suficiente para um extremo, pois, como acabamos de mostrar, a presença de um mínimo ou máximo ainda não garantido qual é o valor mínimo ou máximo. A função demonstração atinge seu máximo e, por vontade do destino, o mesmo número é o maior valor da função no intervalo. Mas, claro, tal coincidência nem sempre ocorre.

Assim, na primeira etapa, fica mais rápido e fácil calcular os valores da função nos pontos críticos pertencentes ao segmento, sem se preocupar se eles possuem extremos ou não.

2) Calculamos os valores da função nas extremidades do segmento.

3) Dentre os valores da função encontrados no 1º e 2º parágrafos, selecionamos o menor e o maior grande número, anote a resposta.

Sentamo-nos na margem do mar azul e batemos os calcanhares em águas rasas:

Exemplo 1

Encontre o maior e menor valor funções do segmento

Solução:
1) Calcule os valores da função nos pontos críticos pertencentes a este segmento:

Vamos calcular o valor da função no segundo ponto crítico:

2) Calcule os valores da função nas extremidades do segmento:

3) Resultados "negritos" foram obtidos com exponenciais e logaritmos, o que complica significativamente sua comparação. Por isso, vamos nos armar de uma calculadora ou Excel e calcular os valores aproximados, não esquecendo que:

Agora tudo está claro.

Responder:

Instância fracionária-racional para solução independente:

Exemplo 6

Encontre os valores máximo e mínimo de uma função em um segmento

O maior (menor) valor da função é o maior (menor) valor aceito da ordenada no intervalo considerado.

Para encontrar o maior ou o menor valor de uma função, você precisa:

Verifique quais pontos estacionários estão incluídos no segmento dado.
Calcule o valor da função nas extremidades do segmento e nos pontos estacionários da etapa 3
Escolha entre os resultados obtidos o maior ou o menor valor.

Para encontrar os pontos máximos ou mínimos, você precisa:

Encontre a derivada da função $f"(x)$
Encontre pontos estacionários resolvendo a equação $f"(x)=0$
Fatorar a derivada de uma função.
Desenhe uma linha de coordenadas, coloque pontos estacionários sobre ela e determine os sinais da derivada nos intervalos obtidos, usando a notação da cláusula 3.
Encontre os pontos máximos ou mínimos de acordo com a regra: se em um ponto a derivada mudar de sinal de mais para menos, esse será o ponto máximo (se for de menos para mais, esse será o ponto mínimo). Na prática, é conveniente usar a imagem das setas nos intervalos: no intervalo onde a derivada é positiva, a seta é desenhada para cima e vice-versa.

Tabela de derivadas de algumas funções elementares:

Função	Derivado
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sen^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Regras básicas de diferenciação

1. A derivada da soma e diferença é igual à derivada de cada termo

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Encontre a derivada da função $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

A derivada da soma e diferença é igual à derivada de cada termo

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivado de um produto.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Encontre a derivada $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Derivada do quociente

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Encontre a derivada $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. A derivada de uma função complexa é igual ao produto da derivada da função externa e a derivada da função interna

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Encontre o ponto mínimo da função $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Encontre o ODZ da função: $x+11>0; x>-11$

2. Encontre a derivada da função $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Encontre pontos estacionários igualando a derivada a zero

$(2x+21)/(x+11)=0$

Uma fração é zero se o numerador é zero e o denominador não é zero

$2x+21=0; x≠-11$

4. Desenhe uma linha de coordenadas, coloque pontos estacionários sobre ela e determine os sinais da derivada nos intervalos obtidos. Para fazer isso, substituímos na derivada qualquer número da região da extrema direita, por exemplo, zero.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. No ponto mínimo, a derivada muda de sinal de menos para mais, portanto, o ponto $-10,5$ é o ponto mínimo.

Resposta: $-10,5$

Encontre o valor máximo da função $y=6x^5-90x^3-5$ no segmento $[-5;1]$

1. Encontre a derivada da função $y′=30x^4-270x^2$

2. Iguale a derivada a zero e encontre pontos estacionários

$30x^4-270x^2=0$

Vamos tirar o fator comum $30x^2$ fora dos colchetes

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Defina cada fator igual a zero

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Escolha os pontos estacionários que pertencem ao segmento dado $[-5;1]$

Pontos estacionários $x=0$ e $x=-3$ são adequados para nós

4. Calcule o valor da função nas extremidades do segmento e nos pontos estacionários do item 3

O que é um extremo de uma função e qual é a condição necessária para um extremo?

O extremo de uma função é o máximo e o mínimo da função.

A condição necessária para o máximo e mínimo (extremo) da função é a seguinte: se a função f(x) tem um extremo no ponto x = a, então neste ponto a derivada é zero, ou infinita, ou não não existe.

Essa condição é necessária, mas não suficiente. A derivada no ponto x = a pode desaparecer, ir para o infinito ou não existir sem que a função tenha um extremo neste ponto.

Qual é a condição suficiente para o extremo da função (máximo ou mínimo)?

Primeira condição:

Se, suficientemente próximo do ponto x = a, a derivada f?(x) é positiva à esquerda de a e negativa à direita de a, então no próprio ponto x = a, a função f(x) tem máximo

Se, suficientemente próximo do ponto x = a, a derivada f?(x) é negativa à esquerda de a e positiva à direita de a, então no próprio ponto x = a, a função f(x) tem mínimo desde que a função f(x) seja contínua aqui.

Em vez disso, você pode usar a segunda condição suficiente para o extremo da função:

Seja no ponto x = e a primeira derivada f? (x) desaparece; se a segunda derivada f??(à) for negativa, então a função f(x) tem um máximo no ponto x = a, se for positiva, então um mínimo.

Qual é o ponto crítico de uma função e como encontrá-lo?

Este é o valor do argumento da função no qual a função tem um extremo (ou seja, máximo ou mínimo). Para encontrá-lo, você precisa encontre a derivada função f?(x) e, igualando-a a zero, resolva a equação f?(x) = 0. As raízes desta equação, bem como aqueles pontos nos quais a derivada desta função não existe, são pontos críticos, ou seja, os valores do argumento nos quais pode haver um extremo . Eles podem ser facilmente identificados observando gráfico derivado: estamos interessados nos valores do argumento nos quais o gráfico da função intercepta o eixo das abcissas (eixo Ox) e naqueles nos quais o gráfico sofre quebras.

Por exemplo, vamos encontrar extremo da parábola.

Função y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivada da função: y?(x) = 6x + 2

Resolvemos a equação: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

EM este caso o ponto crítico é x0=-1/3. É para este valor do argumento que a função tem extremo. Para obtê-la encontrar, substituímos o número encontrado na expressão pela função em vez de "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Como determinar o máximo e o mínimo de uma função, ou seja, seus maiores e menores valores?

Se o sinal da derivada mudar de “mais” para “menos” ao passar pelo ponto crítico x0, então x0 é ponto máximo; se o sinal da derivada muda de menos para mais, então x0 é ponto mínimo; se o sinal não muda, então no ponto x0 não há máximo nem mínimo.

Para o exemplo considerado:

Tomamos um valor arbitrário do argumento à esquerda de ponto crítico: x = -1

Quando x = -1, o valor da derivada será y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (ou seja, o sinal de menos).

Agora tomamos um valor arbitrário do argumento à direita do ponto crítico: x = 1

Para x = 1, o valor da derivada será y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (ou seja, o sinal de mais).

Como você pode ver, ao passar pelo ponto crítico, a derivada mudou de sinal de menos para mais. Isso significa que no valor crítico de x0 temos um ponto mínimo.

O maior e o menor valor da função no intervalo(no segmento) são encontrados pelo mesmo procedimento, apenas levando em consideração o fato de que, talvez, nem todos os pontos críticos estejam dentro do intervalo especificado. Esses pontos críticos que estão fora do intervalo devem ser excluídos da consideração. Se houver apenas um ponto crítico dentro do intervalo, ele terá um máximo ou um mínimo. Nesse caso, para determinar os maiores e menores valores da função, também levamos em consideração os valores da função nas extremidades do intervalo.

Por exemplo, vamos encontrar os maiores e menores valores da função

y (x) \u003d 3 sen (x) - 0,5x

nos intervalos:

Então a derivada da função é

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Resolvemos a equação 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arcos (0,16667) + 2πk.

Encontramos pontos críticos no intervalo [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (não incluído no intervalo)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arcos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arcos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arcos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (não incluído no intervalo)

Encontramos os valores da função em valores críticos do argumento:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Pode-se ver que no intervalo [-9; 9] a função tem o maior valor em x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

e o menor - em x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

No intervalo [-6; -3] temos apenas um ponto crítico: x = -4,88. O valor da função em x = -4,88 é y = 5,398.

Encontramos o valor da função nas extremidades do intervalo:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

No intervalo [-6; -3] temos o maior valor da função

y = 5,398 em x = -4,88

o menor valor é

y = 1,077 em x = -3

Como encontrar os pontos de inflexão de um gráfico de função e determinar os lados de convexidade e concavidade?

Para encontrar todos os pontos de inflexão da linha y \u003d f (x), você precisa encontrar a segunda derivada, igualá-la a zero (resolva a equação) e testar todos os valores de x para os quais a segunda derivada é zero , infinito ou inexistente. Se, ao passar por um desses valores, a segunda derivada muda de sinal, então o gráfico da função tem uma inflexão neste ponto. Se não mudar, então não há inflexão.

As raízes da equação f ? (x) = 0, bem como possíveis pontos de descontinuidade da função e da segunda derivada, dividem o domínio da função em vários intervalos. A convexidade em cada um de seus intervalos é determinada pelo sinal da segunda derivada. Se a segunda derivada em um ponto no intervalo em estudo for positiva, então a linha y = f(x) é côncava para cima aqui, e se for negativa, então para baixo.

Como encontrar extremos de uma função de duas variáveis?

Para encontrar o extremo da função f(x, y), diferenciável na área de sua atribuição, você precisa:

1) encontre os pontos críticos e, para isso, resolva o sistema de equações

fx? (x,y) = 0,fy? (x,y) = 0

2) para cada ponto crítico P0(a;b), investigue se o sinal da diferença permanece inalterado

para todos os pontos (x; y) suficientemente próximos de P0. Se a diferença mantiver um sinal positivo, então no ponto P0 temos um mínimo, se for negativo, então um máximo. Se a diferença não retiver seu sinal, então não há extremo no ponto Р0.

Da mesma forma, os extremos da função são determinados para um número maior de argumentos.

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O que é um extremo de uma função e qual é a condição necessária para um extremo?

O extremo de uma função é o máximo e o mínimo da função.

Essa condição é necessária, mas não suficiente. A derivada no ponto x = a pode desaparecer, ir para o infinito ou não existir sem que a função tenha um extremo neste ponto.

Qual é a condição suficiente para o extremo da função (máximo ou mínimo)?

Primeira condição:

Se, suficientemente próximo do ponto x = a, a derivada f?(x) é positiva à esquerda de a e negativa à direita de a, então no próprio ponto x = a, a função f(x) tem máximo

Em vez disso, você pode usar a segunda condição suficiente para o extremo da função:

Seja no ponto x = e a primeira derivada f? (x) desaparece; se a segunda derivada f??(à) for negativa, então a função f(x) tem um máximo no ponto x = a, se for positiva, então um mínimo.

Qual é o ponto crítico de uma função e como encontrá-lo?

Por exemplo, vamos encontrar extremo da parábola.

Função y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivada da função: y?(x) = 6x + 2

Resolvemos a equação: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Neste caso, o ponto crítico é x0=-1/3. É para este valor do argumento que a função tem extremo. Para obtê-la encontrar, substituímos o número encontrado na expressão pela função em vez de "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Como determinar o máximo e o mínimo de uma função, ou seja, seus maiores e menores valores?

Para o exemplo considerado:

Tomamos um valor arbitrário do argumento à esquerda do ponto crítico: x = -1

Quando x = -1, o valor da derivada será y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (ou seja, o sinal de menos).

Agora tomamos um valor arbitrário do argumento à direita do ponto crítico: x = 1

Para x = 1, o valor da derivada será y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (ou seja, o sinal de mais).

Como você pode ver, ao passar pelo ponto crítico, a derivada mudou de sinal de menos para mais. Isso significa que no valor crítico de x0 temos um ponto mínimo.

Por exemplo, vamos encontrar os maiores e menores valores da função

y (x) \u003d 3 sen (x) - 0,5x

nos intervalos:

Então a derivada da função é

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Resolvemos a equação 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arcos (0,16667) + 2πk.

Encontramos pontos críticos no intervalo [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (não incluído no intervalo)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arcos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arcos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arcos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (não incluído no intervalo)

Encontramos os valores da função em valores críticos do argumento:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Pode-se ver que no intervalo [-9; 9] a função tem o maior valor em x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

e o menor - em x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

No intervalo [-6; -3] temos apenas um ponto crítico: x = -4,88. O valor da função em x = -4,88 é y = 5,398.

Encontramos o valor da função nas extremidades do intervalo:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

No intervalo [-6; -3] temos o maior valor da função

y = 5,398 em x = -4,88

o menor valor é

y = 1,077 em x = -3

Como encontrar os pontos de inflexão de um gráfico de função e determinar os lados de convexidade e concavidade?

Como encontrar extremos de uma função de duas variáveis?

Para encontrar o extremo da função f(x, y), diferenciável na área de sua atribuição, você precisa:

1) encontre os pontos críticos e, para isso, resolva o sistema de equações

fx? (x,y) = 0,fy? (x,y) = 0

2) para cada ponto crítico P0(a;b), investigue se o sinal da diferença permanece inalterado

Da mesma forma, os extremos da função são determinados para um número maior de argumentos.

Como encontrar os maiores e menores valores de uma função em um segmento?

Por esta seguimos o conhecido algoritmo:

1 . Encontramos funções ODZ.

2 . Encontrando a derivada de uma função

3 . Iguale a derivada a zero

4 . Encontramos os intervalos nos quais a derivada mantém seu sinal e, a partir deles, determinamos os intervalos de aumento e diminuição da função:

Se no intervalo I a derivada da função 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} aumenta neste intervalo.

Se no intervalo I a derivada da função , então a função diminui neste intervalo.

5 . Nós achamos pontos de máximo e mínimo da função.

EM o ponto máximo da função, a derivada muda de sinal de "+" para "-".

EM ponto mínimo da funçãoderivada muda o sinal de "-" para "+".

6 . Encontramos o valor da função nas extremidades do segmento,

então comparamos o valor da função nas extremidades do segmento e nos pontos máximos, e escolha o maior deles se precisar encontrar o maior valor da função
ou comparamos o valor da função nas extremidades do segmento e nos pontos mínimos, e escolha o menor deles se precisar encontrar o menor valor da função

No entanto, dependendo de como a função se comporta no intervalo, esse algoritmo pode ser significativamente reduzido.

Considere a função . O gráfico dessa função fica assim:

Vejamos alguns exemplos de resolução de problemas de banco aberto atribuições para

1 . Tarefa B15 (#26695)

No corte.

1. A função é definida para todos os valores reais de x

Obviamente, esta equação não tem soluções e a derivada é positiva para todos os valores de x. Portanto, a função aumenta e assume o maior valor na extremidade direita do intervalo, ou seja, em x=0.

Resposta: 5.

2 . Tarefa B15 (nº 26702)

Encontrar o maior valor de uma função no segmento.

função 1.ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

A derivada é zero em , porém, nesses pontos ela não muda de sinal:

Portanto, título="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} aumenta e assume o maior valor na extremidade direita do intervalo, em .

Para deixar claro por que a derivada não muda de sinal, transformamos a expressão da derivada da seguinte forma:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Resposta: 5.

3 . Tarefa B15 (#26708)

Encontre o menor valor da função no intervalo .

1. Funções ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Vamos colocar as raízes desta equação em um círculo trigonométrico.

O intervalo contém dois números: e

Vamos colocar os sinais. Para fazer isso, determinamos o sinal da derivada no ponto x=0: . Ao passar pelos pontos e a derivada muda de sinal.

Vamos representar a mudança de sinais da derivada da função na linha de coordenadas:

Obviamente, o ponto é um ponto mínimo (onde a derivada muda de sinal de "-" para "+") e, para encontrar o menor valor da função no intervalo, você precisa comparar os valores da função no ponto mínimo e na extremidade esquerda do segmento, .

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