Korsprodukten av en vektor och sig själv. Vektorprodukt av vektorer som ges av koordinater

Engelsk: Wikipedia gör webbplatsen säkrare. Du använder en gammal webbläsare som inte kommer att kunna ansluta till Wikipedia i framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör.

中文: 维基 百科 正在 使 网站 更加 安全 您 正在 使用 旧 的 浏览器 ， 在 在 将来 无法 维基百科。 更新 您 的 设备 或 联络 您 的 管理员。 提供 更 长 ， 更 具 的 的 仅 仅 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语英语 英语 英语 英语 英语 》

Espanol: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Aktualice su dispositivo o kontakta en su administrator informático. Más abajo hay una actualizacion más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Francais: Wikipedia va bientôt augmenter la securité de son webbplats. Vous usez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil eller de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informationsupplementaires plus tekniker och en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ウィキペディア で は サイト の セキュリティ を 高 め て ます。 ご 利用 の ブラウザ は バージョン が 古く 、 、 に 接続 でき なく なる 性 あり を か か 、 、 、 管理 管理 者 相談。。 技術 技術 の。 更新 か か 、 、 、 管理 管理 者 ください。。 技術 ”詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい höft 情報 は 以下 に 英語 で 提供 て い い。。

Tysk: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du använder en annan webbläsare, som inte finns tillgänglig i framtiden på Wikipedia. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise finns Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in future. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico på engelska.

Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. En böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

Sverige: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Vi tar bort stödet för osäkra TLS-protokollversioner, särskilt TLSv1.0 och TLSv1.1, som din webbläsarprogramvara förlitar sig på för att ansluta till våra webbplatser. Detta orsakas vanligtvis av föråldrade webbläsare eller äldre Android-smarttelefoner. Eller det kan vara störningar från företags- eller personlig programvara för "Web Security", som faktiskt nedgraderar anslutningssäkerheten.

Du måste uppgradera din webbläsare eller på annat sätt åtgärda det här problemet för att komma åt våra webbplatser. Detta meddelande kommer att finnas kvar till 1 januari 2020. Efter det datumet kommer din webbläsare inte att kunna upprätta en anslutning till våra servrar.

Definition. Vektorprodukten av en vektor a (multiplikator) med en vektor (multiplikator) som inte är kolinjär med den är den tredje vektorn c (produkt), som är konstruerad enligt följande:

1) dess modul är numeriskt lika med arean av parallellogrammet i fig. 155), byggd på vektorer, d. v. s. den är lika med riktningen vinkelrät mot planet för nämnda parallellogram;

3) i detta fall väljs vektorns c riktning (av två möjliga) så att vektorerna c bildar ett högerhänt system (§ 110).

Beteckning: eller

Tillägg till definitionen. Om vektorerna är kolinjära, då betraktar figuren som ett (villkorligt) parallellogram, är det naturligt att tilldela noll area. Det är därför vektor produkt kolinjära vektorer anses vara lika med nollvektorn.

Eftersom nollvektorn kan tilldelas vilken riktning som helst, motsäger denna konvention inte punkterna 2 och 3 i definitionen.

Anmärkning 1. I begreppet "vektorprodukt" anger det första ordet att resultatet av en handling är en vektor (till skillnad från en skalär produkt; jfr 104 § anmärkning 1).

Exempel 1. Hitta vektorprodukten där huvudvektorerna för det högra koordinatsystemet (Fig. 156).

1. Eftersom längderna på huvudvektorerna är lika med skalenheten, är arean av parallellogrammet (kvadrat) numeriskt lika med en. Därför är modulen för vektorprodukten lika med ett.

2. Eftersom vinkelrät mot planet är axeln, är den önskade vektorprodukten en vektor kolinjär med vektorn k; och eftersom båda har modul 1 är den erforderliga korsprodukten antingen k eller -k.

3. Av dessa två möjliga vektorer måste den första väljas, eftersom vektorerna k bildar ett höger system (och vektorerna bildar ett vänster).

Exempel 2. Hitta korsprodukten

Lösning. Som i exempel 1 drar vi slutsatsen att vektorn är antingen k eller -k. Men nu måste vi välja -k, eftersom vektorerna bildar det högra systemet (och vektorerna bildar det vänstra). Så,

Exempel 3 Vektorerna har längder på 80 respektive 50 cm och bildar en vinkel på 30°. Ta en meter som en längdenhet och hitta längden på vektorprodukten a

Lösning. Arean av ett parallellogram byggt på vektorer är lika med Längden på den önskade vektorprodukten är lika med

Exempel 4. Hitta längden på korsprodukten av samma vektorer, ta en centimeter som en längdenhet.

Lösning. Eftersom arean av parallellogrammet byggt på vektorer är lika med längden på vektorprodukten är 2000 cm, dvs.

Jämförelse av exempel 3 och 4 visar att vektorns längd inte bara beror på faktorernas längder utan också på valet av längdenhet.

Den fysiska betydelsen av vektorprodukten. Av de många fysiska storheter som representeras av vektorprodukten kommer vi bara att betrakta kraftmomentet.

Låt A vara kraftens appliceringspunkt. Kraftmomentet i förhållande till punkten O kallas vektorprodukten. Eftersom modulen för denna vektorprodukt är numeriskt lika med parallellogrammets area (fig. 157), momentets modul är lika med produkten av basen med höjden, d.v.s. kraften multiplicerad med avståndet från punkten O till den räta linjen längs vilken kraften verkar.

Inom mekaniken är det bevisat att för jämvikten hos en stel kropp är det nödvändigt att inte bara summan av vektorerna som representerar krafterna som appliceras på kroppen, utan också summan av kraftmomenten ska vara lika med noll. I det fall då alla krafter är parallella med samma plan, kan additionen av vektorerna som representerar momenten ersättas med addition och subtraktion av deras moduler. Men för godtyckliga kraftriktningar är en sådan ersättning omöjlig. I enlighet med detta definieras korsprodukten exakt som en vektor och inte som ett tal.

De kalkylator online beräknar korsprodukten av vektorer. En detaljerad lösning ges. För att beräkna korsprodukten av vektorer, skriv in koordinaterna för vektorerna i cellerna och klicka på "Beräkna".

×

Varning

Rensa alla celler?

Stäng Rensa

Datainmatningsinstruktion. Tal anges som heltal (exempel: 487, 5, -7623, etc.), decimaltal (t.ex. 67., 102.54, etc.) eller bråktal. Bråket måste skrivas i formen a/b, där a och b (b>0) är heltal eller decimaltal. Exempel 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 osv.

Korsprodukt av vektorer

Innan du går vidare till definitionen av vektorprodukten av vektorer, överväg begreppen ordnad trippel av vektorer, vänster trippel av vektorer, höger trippel av vektorer.

Definition 1. Tre vektorer kallas beställde trippel(eller trippel) om det anges vilken av dessa vektorer som är den första, vilken är den andra och vilken som är den tredje.

Inspelning cba- betyder - den första är en vektor c, den andra är vektorn b och den tredje är vektorn a.

Definition 2. En trippel av icke-samplanära vektorer abc kallas höger (vänster) om, när de reduceras till en gemensam början, dessa vektorer är ordnade som de är respektive stora, oböjda index och långfingrar höger (vänster) hand.

Definition 2 kan formuleras på annat sätt.

Definition 2. En trippel av icke-samplanära vektorer abc kallas höger (vänster) om, när den reduceras till ett gemensamt ursprung, vektorn c placerad på andra sidan av planet som definieras av vektorerna a Och b, varifrån den kortaste svängen a Till b utförs moturs (medurs).

Vektor trio abc visad i fig. 1 är rätt och trippel abc visad i fig. 2 är kvar.

Om två trippel av vektorer är höger eller vänster, sägs de ha samma orientering. Annars sägs de vara av motsatt orientering.

Definition 3. Ett kartesiskt eller affint koordinatsystem kallas höger (vänster) om de tre basvektorerna bildar en höger (vänster) trippel.

För tydlighetens skull kommer vi i det följande endast att överväga högerhänta koordinatsystem.

Definition 4. vektor konst vektor a per vektor b kallas vektor Med, betecknad med symbolen c=[ab] (eller c=[a,b], eller c=a×b) och uppfyller följande tre krav:

• vektor längd Medär lika med produkten av vektorernas längder a Och b till vinkelns sinus φ mellan dem:

|c|=|[ab]|=|a||b|sinφ;

(1)

• vektor Med ortogonal mot var och en av vektorerna a Och b;
• vektor c riktade så att de tre abcär rätt.

Korsprodukten av vektorer har följande egenskaper:

• [ab]=−[ba] (antipermutabilitet faktorer);
• [(λa)b]=λ [ab] (kompatibilitet i förhållande till den numeriska faktorn);
• [(a+b)c]=[ac]+[bc] (distribution relativt summan av vektorer);
• [aa]=0 för vilken vektor som helst a.

Geometriska egenskaper för korsprodukten av vektorer

Sats 1. För att två vektorer ska vara kolinjära är det nödvändigt och tillräckligt att deras vektorprodukt är lika med noll.

Bevis. Nödvändighet. Låt vektorerna a Och b kolinjär. Då är vinkeln mellan dem 0 eller 180° och sinφ=synd180=synd 0=0. Därför, med hänsyn till uttryck (1), längden på vektorn cär lika med noll. Sedan c noll vektor.

Lämplighet. Låt korsprodukten av vektorer a Och b nav till noll: [ ab]=0. Låt oss bevisa att vektorerna a Och b kolinjär. Om minst en av vektorerna a Och b noll, då är dessa vektorer kolinjära (eftersom nollvektorn har en obestämd riktning och kan betraktas som kolinjär med vilken vektor som helst).

Om båda vektorerna a Och b icke noll, sedan | a|>0, |b|>0. Sedan från [ ab]=0 och av (1) följer det sinφ=0. Därav vektorerna a Och b kolinjär.

Teoremet har bevisats.

Sats 2. Längden (modulen) av vektorprodukten [ ab] är lika med arean S parallellogram byggt på vektorer reducerade till ett gemensamt ursprung a Och b.

Bevis. Som du vet är arean av ett parallellogram lika med produkten av de intilliggande sidorna av detta parallellogram och sinus för vinkeln mellan dem. Därav:

Då har korsprodukten av dessa vektorer formen:

Om vi ​​expanderar determinanten över elementen i den första raden får vi uppdelningen av vektorn a×b grund i, j, k, vilket är ekvivalent med formel (3).

Bevis för sats 3. Komponera alla möjliga par av basvektorer i, j, k och beräkna deras vektorprodukt. Man bör ta hänsyn till att basvektorerna är ömsesidigt ortogonala, bildar en rät trippel och har enhetslängd (med andra ord kan vi anta att i={1, 0, 0}, j={0, 1, 0}, k=(0, 0, 1)). Då har vi:

Från den senaste jämlikhet och relationer (4) får vi:

Komponera en 3×3-matris, vars första rad är basvektorerna jag, j, k, och de återstående raderna är fyllda med element av vektorer a Och b.

Innan vi ger begreppet en vektorprodukt, låt oss vända oss till frågan om orienteringen av den ordnade trippeln av vektorer a → , b → , c → i tredimensionellt rymd.

Till att börja med, låt oss lägga åt sidan vektorerna a → , b → , c → från en punkt. Orienteringen av trippeln a → , b → , c → är höger eller vänster, beroende på vektorns c → riktning. Från den riktning i vilken den kortaste svängen görs från vektorn a → till b → från slutet av vektorn c → , kommer formen av trippeln a → , b → , c → att bestämmas.

Om den kortaste rotationen är moturs, kallas trippeln av vektorer a → , b → , c → höger om medurs - vänster.

Ta sedan två icke-kollinjära vektorer a → och b → . Låt oss sedan skjuta upp vektorerna A B → = a → och A C → = b → från punkten A. Låt oss konstruera en vektor A D → = c → , som samtidigt är vinkelrät mot både A B → och A C → . När vi konstruerar vektorn A D → = c → kan vi alltså göra två saker, ge den antingen en riktning eller motsatt (se illustrationen).

Den ordnade trion av vektorer a → , b → , c → kan, som vi fick reda på, vara höger eller vänster beroende på vektorns riktning.

Från ovanstående kan vi introducera definitionen av en vektorprodukt. Denna definition ges för två vektorer definierade i ett rektangulärt koordinatsystem av tredimensionellt rymd.

Definition 1

Vektorprodukten av två vektorer a → och b → vi kallar en sådan vektor given i ett rektangulärt koordinatsystem av tredimensionellt rymd så att:

• om vektorerna a → och b → är kolinjära kommer den att vara noll;
• den kommer att vara vinkelrät mot både vektor a →​​ och vektor b → dvs. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• dess längd bestäms av formeln: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• tripletten av vektorerna a → , b → , c → har samma orientering som det givna koordinatsystemet.

Korsprodukten av vektorerna a → och b → har följande notation: a → × b → .

Korsa produktkoordinater

Eftersom vilken vektor som helst har vissa koordinater i koordinatsystemet, är det möjligt att införa en andra definition av vektorprodukten, som gör att du kan hitta dess koordinater från de givna koordinaterna för vektorerna.

Definition 2

I ett rektangulärt koordinatsystem av tredimensionellt rymd vektorprodukt av två vektorer a → = (a x ; a y ; a z) och b → = (b x ; b y ; b z) kalla vektorn c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , där i → , j → , k → är koordinatvektorer.

Vektorprodukten kan representeras som en determinant av en kvadratisk matris av tredje ordningen, där den första raden är orta-vektorerna i → , j → , k → , den andra raden innehåller koordinaterna för vektorn a → , och den tredje är koordinaterna för vektorn b → i ett givet rektangulärt koordinatsystem, ser denna matrisdeterminant ut så här: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Om vi ​​expanderar denna determinant över elementen i den första raden får vi likheten: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b → b → a k (→ x a y b → b → a k a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Kors produktegenskaper

Det är känt att vektorprodukten i koordinater representeras som determinanten för matrisen c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , sedan på basen matrisdeterminantegenskaper det följande vektor produktegenskaper:

1. antikommutativitet a → × b → = - b → × a → ;
2. distributivitet a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → eller a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. associativitet λ a → × b → = λ a → × b → eller a → × (λ b →) = λ a → × b → , där λ är ett godtyckligt reellt tal.

Dessa egenskaper har inte komplicerade bevis.

Till exempel kan vi bevisa antikommutativiteten hos en vektorprodukt.

Bevis på antikommutativitet

Per definition, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z och b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. Och om två rader i matrisen byts om, bör värdet på matrisens determinant ändras till det motsatta, därför a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , vilket och bevisar antikommutativiteten hos vektorprodukten.

Vektorprodukt - exempel och lösningar

I de flesta fall finns det tre typer av uppgifter.

I problem av den första typen anges vanligtvis längden på två vektorer och vinkeln mellan dem, men du måste hitta längden på korsprodukten. Använd i det här fallet följande formel c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Exempel 1

Hitta längden på korsprodukten av vektorerna a → och b → om a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 är känd.

Lösning

Med hjälp av definitionen av längden av vektorprodukten av vektorerna a → och b → löser vi detta problem: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Svar: 15 2 2 .

Uppgifter av den andra typen har ett samband med vektorernas koordinater, de innehåller en vektorprodukt, dess längd etc. sökte genom kända koordinater givna vektorer a → = (a x ; a y ; a z) Och b → = (b x ; b y ; b z) .

För den här typen av uppgifter kan du lösa många alternativ för uppgifter. Till exempel inte koordinaterna för vektorerna a → och b → , utan deras expansioner i formens koordinatvektorer b → = b x i → + b y j → + b z k → och c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , eller så kan vektorerna a → och b → ges av koordinaterna för deras start- och slutpunkter.

Betrakta följande exempel.

Exempel 2

Två vektorer sätts i ett rektangulärt koordinatsystem a → = (2 ; 1 ; - 3), b → = (0 ; - 1 ; 1) . Hitta deras vektorprodukt.

Lösning

Enligt den andra definitionen hittar vi vektorprodukten av två vektorer i givna koordinater: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Om vi ​​skriver korsprodukten i termer av matrisdeterminanten, så är lösningen detta exempel ser ut så här: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Svar: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Exempel 3

Hitta längden på korsprodukten av vektorerna i → - j → och i → + j → + k → , där i → , j → , k → - orter av ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem.

Lösning

Låt oss först hitta koordinaterna för den givna vektorprodukten i → - j → × i → + j → + k → i det givna rektangulära koordinatsystemet.

Det är känt att vektorerna i → - j → och i → + j → + k → har koordinater (1 ; - 1 ; 0) respektive (1 ; 1 ; 1). Hitta längden på vektorprodukten med hjälp av matrisdeterminanten, då har vi i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Därför har vektorprodukten i → - j → × i → + j → + k → koordinater (- 1 ; - 1 ; 2) i det givna koordinatsystemet.

Vi hittar längden på vektorprodukten med formeln (se avsnittet om att hitta vektorns längd): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Svar: i → - j → x i → + j → + k → = 6 . .

Exempel 4

Koordinaterna för tre punkter A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) ges i ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem. Hitta någon vektor vinkelrät mot A B → och A C → samtidigt.

Lösning

Vektorerna A B → och A C → har följande koordinater (-1 ; 2 ; 2) respektive (0 ; 4 ; 1). Efter att ha hittat vektorprodukten av vektorerna A B → och A C → , är det uppenbart att det är en vinkelrät vektor per definition till både A B → och A C → , det vill säga att det är lösningen på vårt problem. Hitta det A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Svar: - 6 i → + j → - 4 k → . är en av de vinkelräta vektorerna.

Problem av den tredje typen är fokuserade på att använda egenskaperna hos vektorprodukten av vektorer. Efter att ha ansökt vilken, kommer vi att få en lösning på det givna problemet.

Exempel 5

Vektorerna a → och b → är vinkelräta och deras längder är 3 respektive 4. Hitta längden på korsprodukten 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Lösning

Med fördelningsegenskapen för vektorprodukten kan vi skriva 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Genom egenskapen associativitet tar vi ut de numeriska koefficienterna bortom tecknet för vektorprodukter i det sista uttrycket: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorprodukterna a → × a → och b → × b → är lika med 0, eftersom a → × a → = a → a → sin 0 = 0 och b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , sedan 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Av vektorproduktens antikommutativitet följer - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Med hjälp av vektorproduktens egenskaper får vi likheten 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Av villkor är vektorerna a → och b → vinkelräta, det vill säga vinkeln mellan dem är lika med π 2 . Nu återstår bara att ersätta de hittade värdena i motsvarande formler: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Svar: 3a → - b → x a → - 2 b → = 60 .

Längden på vektorernas korsprodukt är per definition a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Eftersom det redan är känt (från skolkursen) att arean av en triangel är lika med hälften av produkten av längderna på dess två sidor multiplicerat med sinus för vinkeln mellan dessa sidor. Därför är längden på vektorprodukten lika med arean av ett parallellogram - en fördubblad triangel, nämligen produkten av sidorna i form av vektorerna a → och b → , avskild från en punkt, med sinus av vinkeln mellan dem sin ∠ a → , b → .

Detta är den geometriska betydelsen av vektorprodukten.

Den fysiska betydelsen av vektorprodukten

Inom mekaniken, en av fysikens grenar, kan du tack vare vektorprodukten bestämma kraftmomentet i förhållande till en punkt i rymden.

Definition 3

Under kraftmomentet F → , applicerad på punkt B , relativt punkt A kommer vi att förstå följande vektorprodukt A B → × F → .

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Prick produktens egenskaper

Punktprodukt av vektorer, definition, egenskaper

Linjära operationer på vektorer.

Vektorer, grundläggande begrepp, definitioner, linjära operationer på dem

En vektor på ett plan är ett ordnat par av dess punkter, medan den första punkten kallas början och den andra slutet - av vektorn

Två vektorer kallas lika om de är lika och samriktade.

Vektorer som ligger på samma linje kallas codirectional om de är codirectional med någon av samma vektor som inte ligger på denna linje.

Vektorer som ligger på samma linje eller på parallella linjer kallas kolinjära, och kolinjära men inte samriktade kallas motsatt riktade.

Vektorer som ligger på vinkelräta linjer kallas ortogonala.

Definition 5.4. belopp a+b vektorer a Och b kallas vektorn som kommer från början av vektorn A till slutet av vektorn b , om början av vektorn b sammanfaller med slutet av vektorn A .

Definition 5.5. skillnad a - b vektorer A Och b en sådan vektor kallas Med , som tillsammans med vektorn b ger en vektor A .

Definition 5.6. arbetek a vektor A per nummer k kallas vektor b , kolinjär vektor A , som har modul lika med | k||a | och en riktning som är samma som riktningen A på k>0 och motsatt A på k<0.

Egenskaper för multiplikation av en vektor med ett tal:

Fastighet 1. k(a+b ) = k a+ k b.

Fastighet 2. (k+m)a = k a+ m a.

Fastighet 3. k(m a) = (km)a .

Följd. Om vektorer som inte är noll A Och b är kolinjära, så finns det ett nummer k, Vad b= k a.

Den skalära produkten av två vektorer som inte är noll a Och b kallas ett tal (skalär) lika med produkten av längderna av dessa vektorer och cosinus för vinkeln φ mellan dem. Den skalära produkten kan uttryckas på olika sätt, till exempel som ab, a · b, (a , b), (a · b). Så prickprodukten är:

a · b = |a| · | b| cos φ

Om åtminstone en av vektorerna är lika med noll, så är skalärprodukten lika med noll.

Permutationsegenskap: a · b = b · a(den skalära produkten förändras inte från permutation av faktorer);

distributionsegenskap: a · ( b · c) = (a · b) · c(resultatet beror inte på multiplikationsordningen);

Kombinationsegenskap (i förhållande till skalärfaktorn): (λ a) · b = λ ( a · b).

Egenskapen för ortogonalitet (vinkelrätt): om vektorn a Och b icke-noll, då är deras punktprodukt noll endast när dessa vektorer är ortogonala (vinkelräta mot varandra) a ┴ b;

Kvadratisk egenskap: a · a = a 2 = |a| 2 (skalärprodukten av en vektor med sig själv är lika med kvadraten på dess modul);

Om vektorernas koordinater a=(xl, y1, z1) och b=(x 2 , y 2 , z 2 ), då är den skalära produkten a · b= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

Vektor håller vektorer. Definition: Vektorprodukten av två vektorer och förstås som en vektor för vilken:

Modulen är lika med arean av parallellogrammet byggt på dessa vektorer, dvs. , var är vinkeln mellan vektorerna och

Denna vektor är vinkelrät mot de multiplicerade vektorerna, dvs.

Om vektorerna är icke-kollinjära bildar de en rät trippel av vektorer.

Kors produktegenskaper:

1. När ordningen på faktorerna ändras ändrar vektorprodukten sitt tecken till det motsatta, vilket bevarar modulen, d.v.s.

2 .Vektorkvadrat är lika med nollvektor, dvs.

3 .Skalärfaktorn kan tas ut ur vektorproduktens tecken, dvs.

4 .För vilka tre vektorer som helst, likheten

5 .Nödvändigt och tillräckligt villkor för kolineariteten av två vektorer och :