Matematiklektioner: multiplikation med noll är huvudregeln. Algoritmen för online-kalkylatorn med exempel
Vilka av dessa summor tror du kan ersättas av produkten?
Låt oss argumentera så här. I den första summan är termerna desamma, siffran fem upprepas fyra gånger. Så vi kan ersätta addition med multiplikation. Den första faktorn visar vilken term som upprepas, den andra faktorn visar hur många gånger denna term upprepas. Vi ersätter summan med produkten.
Låt oss skriva ner lösningen.
I den andra summan är termerna olika, så den kan inte ersättas av en produkt. Vi lägger till termerna och får svaret 17.
Låt oss skriva ner lösningen.
Kan produkten ersättas med summan av samma termer?
Tänk på verk.
Låt oss agera och dra en slutsats.
1*2=1+1=2
1*4=1+1+1+1=4
1*5=1+1+1+1+1=5
Vi kan dra slutsatsen: alltid är antalet enhetstermer lika med det antal som enheten multipliceras med.
Betyder att, multiplicera talet ett med valfritt tal ger samma tal.
1 * a = a
Tänk på verk.
Dessa produkter kan inte ersättas med en summa, eftersom summan inte kan ha en term.
Produkterna i den andra kolumnen skiljer sig från produkterna i den första kolumnen endast i faktorernas ordning.
Detta betyder att för att inte bryta mot den kommutativa egenskapen för multiplikation, måste deras värden också vara lika med den första faktorn.
Låt oss avsluta: När vilket tal som helst multipliceras med talet ett erhålls talet som multiplicerades.
Vi skriver denna slutsats som en jämlikhet.
a * 1= a
Lös exempel.
Tips: glöm inte slutsatserna som vi drog i lektionen.
Testa dig själv.
Låt oss nu observera produkterna, där en av faktorerna är noll.
Tänk på produkter där den första faktorn är noll.
Låt oss ersätta produkterna med summan av identiska termer. Låt oss agera och dra en slutsats.
0*3=0+0+0=0
0*6=0+0+0+0+0+0=0
0*4=0+0+0+0=0
Antalet nolltermer är alltid lika med det tal som noll multipliceras med.
Betyder att, När du multiplicerar noll med ett tal får du noll.
Vi skriver denna slutsats som en jämlikhet.
0 * a = 0
Tänk på produkter där den andra faktorn är noll.
Dessa produkter kan inte ersättas med en summa, eftersom summan inte kan ha noll termer.
Låt oss jämföra verken och deras betydelser.
0*4=0
Produkterna i den andra kolumnen skiljer sig från produkterna i den första kolumnen endast i faktorernas ordning.
Detta betyder att för att inte bryta mot den kommutativa egenskapen för multiplikation, måste deras värden också vara lika med noll.
Låt oss avsluta: Att multiplicera valfritt tal med noll resulterar i noll.
Vi skriver denna slutsats som en jämlikhet.
a * 0 = 0
Men man kan inte dividera med noll.
Lös exempel.
Tips: glöm inte slutsatserna som dragits i lektionen. När du beräknar värdena i den andra kolumnen, var försiktig när du bestämmer operationsordningen.
Testa dig själv.
Idag på lektionen bekantade vi oss med speciella fall av multiplikation med 0 och 1, tränade på att multiplicera med 0 och 1.
Bibliografi
- MI. Moro, M.A. Bantova m.fl. Matematik: Lärobok. Betyg 3: i 2 delar, del 1. - M .: "Enlightenment", 2012.
- MI. Moro, M.A. Bantova m.fl. Matematik: Lärobok. Betyg 3: i 2 delar, del 2. - M .: "Enlightenment", 2012.
- MI. Moreau. Mattelektioner: Riktlinjer för läraren. Klass 3 - M.: Utbildning, 2012.
- Regleringsdokument. Uppföljning och utvärdering av läranderesultat. - M.: "Enlightenment", 2011.
- "Rysslands skola": Program för grundskola. - M.: "Enlightenment", 2011.
- SI. Volkov. Matematik: Verifieringsarbete. Klass 3 - M.: Utbildning, 2012.
- V.N. Rudnitskaya. Tester. - M.: "Examen", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Läxa
1. Hitta betydelsen av uttryck.
2. Hitta betydelsen av uttryck.
3. Jämför uttrycksvärden.
(56-54)*1 … (78-70)*1
4. Gör en uppgift om ämnet för lektionen för dina kamrater.
Math-Circulator-Online v.1.0
Kalkylatorn utför följande operationer: addition, subtraktion, multiplikation, division, arbeta med decimaler, extrahera roten, höja till en potens, beräkna procenttal och andra operationer.
Lösning:
Hur man använder matematikkalkylatorn
| Nyckel | Beteckning | Förklaring |
|---|---|---|
| 5 | nummer 0-9 | Arabiska siffror. Ange naturliga heltal, noll. För att få ett negativt heltal, tryck på +/- tangenten |
| . | semikolon) | En decimalavgränsare. Om det inte finns någon siffra före punkten (komma), kommer räknaren automatiskt att ersätta en nolla före punkten. Till exempel: .5 - 0.5 kommer att skrivas |
| + | plustecken | Addering av tal (hela, decimalbråk) |
| - | minustecken | Subtraktion av tal (hela, decimalbråk) |
| ÷ | division tecken | Division av tal (hela, decimalbråk) |
| X | multiplikationstecken | Multiplikation av tal (heltal, decimaler) |
| √ | rot | Extrahera roten från ett tal. När du trycker på "root"-knappen igen, beräknas roten från resultatet. Till exempel: kvadratroten ur 16 = 4; kvadratroten ur 4 = 2 |
| x2 | kvadrera | Kvadratera ett nummer. När du trycker på knappen "Squaring" igen blir resultatet kvadratiskt, till exempel: ruta 2 = 4; ruta 4 = 16 |
| 1/x | fraktion | Utdata till decimaler. I täljaren 1, i nämnaren det inmatade numret |
| % | procent | Få en procentandel av ett tal. För att arbeta måste du ange: talet från vilket procentsatsen kommer att beräknas, tecknet (plus, minus, dividera, multiplicera), hur många procent i numerisk form, knappen "%" |
| ( | öppet fäste | En öppen parentes för att ställa in utvärderingsprioritet. En stängd parentes krävs. Exempel: (2+3)*2=10 |
| ) | stängt fäste | En sluten parentes för att ställa in utvärderingsprioriteten. Obligatorisk öppen konsol |
| ± | plus minus | Ändrar tecken till motsatt |
| = | lika | Visar resultatet av lösningen. Även mellanliggande beräkningar och resultatet visas ovanför räknaren i fältet "Lösning". |
| ← | radera ett tecken | Tar bort det sista tecknet |
| MED | återställa | Återställningsknapp. Återställer räknaren helt till "0" |
Algoritmen för online-kalkylatorn med exempel
Tillägg.
Addering av hela naturliga tal ( 5 + 7 = 12 )
Addering av hela naturliga och negativa tal ( 5 + (-2) = 3 )
Lägga till decimaltal (0,3 + 5,2 = 5,5)
Subtraktion.
Subtraktion av hela naturliga tal (7-5 = 2)
Subtraktion av hela naturliga och negativa tal ( 5 - (-2) = 7 )
Subtraktion av decimaltal ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )
Multiplikation.
Produkt av hela naturliga tal ( 3 * 7 = 21 )
Produkt av hela naturliga och negativa tal ( 5 * (-3) = -15 )
Produkt av decimalbråktal ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )
Division.
Division av hela naturliga tal (27/3 = 9)
Division av hela naturliga och negativa tal ( 15 / (-3) = -5 )
Division av decimalbråktal ( 6,2 / 2 = 3,1 )
Extrahera roten från ett tal.
Extrahera roten av ett heltal ( root(9) = 3 )
Extrahera roten av decimaler ( root(2.5) = 1.58 )
Extrahera roten från summan av tal ( root(56 + 25) = 9 )
Extrahera roten av skillnaden i tal ( rot (32 - 7) = 5 )
Kvadratera ett nummer.
Kvadratera ett heltal ( (3) 2 = 9 )
Kvadrat decimaler ( (2,2) 2 = 4,84 )
Konvertera till decimalbråk.
Beräkna procentsatser av ett tal
Öka 230 med 15 % ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )
Minska antalet 510 med 35 % ( 510 - 510 * 0,35 = 331,5 )
18 % av siffran 140 är ( 140 * 0,18 = 25,2 )
För första gången med en sådan aritmetisk operation som multiplikation introduceras eleverna för skolbänk. Matteläraren bland de många reglerna tar upp ämnet "multiplicera med noll". Trots entydigheten i formuleringen har eleverna många frågor. Låt oss titta på vad som händer om vi multiplicerar med 0.
Regeln att man inte kan multiplicera med noll genererar många dispyter mellan lärare och deras elever. Det är viktigt att förstå att multiplikation med noll är en kontroversiell aspekt på grund av dess tvetydighet.
Först och främst riktas uppmärksamheten mot bristen på tillräcklig kunskapsnivå bland gymnasieelever. gymnasieskola. Går över tröskeln läroanstalt, en deltagare i utbildningsprocessen i de flesta fall tänker inte på huvudmålet som måste eftersträvas.
Under utbildningen tar läraren upp olika frågor. Dessa inkluderar situationen, vad som händer om du multiplicerar med 0. I ett försök att förutse lärarens berättande hamnar vissa elever i kontroverser. De bevisar, åtminstone försöker de, att multiplikation med 0 är giltig. Men tyvärr är det inte så. Att multiplicera valfritt tal med 0 resulterar i ingenting. I några litterära källoräven det nämns att vilket tal som helst multiplicerat med noll bildar ett tomrum.
Viktig! Uppmärksamma åhörare förstår omedelbart att om talet multipliceras med 0 så blir resultatet 0. En annan utveckling av händelserna kan spåras när det gäller de elever som systematiskt hoppar över lektioner. Ouppmärksamma eller skrupelfria elever är mer benägna än andra att tänka på hur mycket det blir om de multiplicerar med noll.
Som ett resultat av bristen på kunskap om ämnet befinner sig läraren och den försumlige eleven på motsatta sidor av en motsägelsefull situation.
Skillnaden i synpunkter på ämnet för tvisten ligger i graden av utbildning i ämnet om det är möjligt att multiplicera med 0 eller fortfarande inte. Den enda acceptabla vägen ut ur denna situation är att försöka vädja till logiskt tänkande för att hitta det rätta svaret.
Det rekommenderas inte att använda följande exempel för att förklara regeln. Vanya har 2 äpplen i sin väska som mellanmål. Vid lunch funderade han på att lägga några fler äpplen i portföljen. Men i det ögonblicket fanns det inte en enda frukt i närheten. Vanya lade ingenting. Med andra ord placerade han 0 äpplen till 2 äpplen.
När det gäller aritmetik detta exempel det visar sig att om 2 multipliceras med 0, så finns det ingen tomhet. Svaret i detta fall är tydligt. För det här exemplet är regeln om multiplikation med noll inte relevant. Rätt beslutär summering. Det är därför det korrekta svaret är 2 äpplen.
Annars har läraren inget annat val än att komponera en rad uppgifter. Den sista åtgärden är att återställa passagen av ämnet och undersökning för undantag i multiplikationen.
Essensen av handling
Det är lämpligt att börja studera algoritmen för åtgärder när du multiplicerar med noll genom att ange kärnan i den aritmetiska operationen.
Kärnan i åtgärden att multiplicera bestämdes ursprungligen uteslutande för ett naturligt tal. Om verkningsmekanismen avslöjas, läggs ett visst antal inblandat i beräkningen till sig själv.
Det är viktigt att ta hänsyn till antalet tillägg. Beroende på detta kriterium erhålls olika resultat. Tillägget av ett tal i förhållande till sig själv bestämmer en sådan egenskap hos det som naturlighet.
Låt oss titta på ett exempel. Det är nödvändigt att multiplicera talet 15 med 3. När det multipliceras med 3, ökar talet 15 tre gånger i sitt värde. Med andra ord, åtgärden ser ut som 15 * 3 = 15 + 15 + 15 = 45. Baserat på beräkningsmekanismen blir det uppenbart att om ett tal multipliceras med ett annat naturligt tal, finns det en sken av addition i en förenklad form .
Det är tillrådligt att starta algoritmen för åtgärder när du multiplicerar med 0 genom att tillhandahålla en egenskap med noll.
Notera! Enligt konventionell visdom står noll för hela ingenting. För tomhet av detta slag ges en beteckning i aritmetiken. Trots givet faktum, ett nollvärde har ingenting.
Det bör noteras att en sådan åsikt i den moderna världens vetenskapliga samhälle skiljer sig från de gamla österländska forskarnas synvinkel. Enligt teorin de höll var noll lika med oändlighet.
Med andra ord, om du multiplicerar med noll får du en mängd olika alternativ. I nollvärdet ansåg forskarna ett slags djup av universum.
Som bekräftelse på möjligheten att multiplicera med 0, citerade matematiker följande faktum. Om du sätter 0 bredvid ett naturligt tal får du ett värde tio gånger större än det ursprungliga.
Exemplet som ges är ett av argumenten. Förutom bevis av detta slag finns det många andra exempel. Det är de som ligger till grund för de pågående dispyterna när man multiplicerar med tomhet.
Möjligheten att försöka
Bland eleverna ganska ofta i början av mastering utbildningsmaterial det finns försök att multiplicera ett tal med 0. En sådan åtgärd är ett grovt misstag.
I grund och botten kommer ingenting att hända av sådana försök, men det kommer inte att vara någon nytta heller. Multiplicerar du med ett nollvärde får du ett otillfredsställande betyg i dagboken.
Den enda tanke som borde uppstå när man multiplicerar med tomhet är omöjligheten av handling. memorering i det här fallet spelar en viktig roll. Efter att ha lärt sig regeln en gång för alla, förhindrar eleven uppkomsten av kontroversiella situationer.
Som ett exempel som ska användas när man multiplicerar med noll, är följande situation tillåten att användas. Sasha bestämde sig för att köpa äpplen. Medan hon var i snabbköpet valde hon 5 stora mogna äpplen. När hon gick till avdelningen för mejeriprodukter kände hon att detta inte skulle räcka för henne. Flickan lade ytterligare 5 bitar i sin korg.
Efter att ha tänkt lite mer tog hon 5 till. Som ett resultat fick Sasha i kassan: 5 * 3 = 5 + 5 + 5 = 15 äpplen. Om hon lägger 5 äpplen bara 2 gånger, så skulle det vara 5 * 2 = 5 + 5 = 10. I händelse av att Sasha inte lade 5 äpplen i korgen, skulle det vara 5 * 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0. Att köpa äpplen 0 gånger betyder med andra ord att man inte köper några.
Till och med i skolan försökte lärare sätta in den enklaste regeln i våra huvuden: "Varje tal multiplicerat med noll är lika med noll!", - men ändå finns det mycket kontroverser kring honom. Någon har precis memorerat regeln och bryr sig inte om frågan "varför?". "Du kan inte göra allt här, för i skolan sa de så, regeln är regeln!" Någon kan fylla en halv anteckningsbok med formler, bevisa denna regel eller omvänt dess ologiska.
I kontakt med
Vem har rätt i slutändan
Under dessa tvister ser båda människorna, med motsatta åsikter, på varandra som en bagge och bevisar med all sin kraft att de har rätt. Även om du tittar på dem från sidan kan du se inte en, utan två baggar som vilar mot varandra med sina horn. Den enda skillnaden mellan dem är att den ena är något mindre utbildad än den andra.
Oftast försöker de som anser att denna regel är felaktig att efterlysa logik på detta sätt:
Jag har två äpplen på mitt bord, om jag lägger noll äpplen på dem, det vill säga jag lägger inte ett enda, så försvinner inte mina två äpplen från detta! Regeln är ologisk!
Äpplen kommer faktiskt inte att försvinna någonstans, men inte för att regeln är ologisk, utan för att en något annorlunda ekvation används här: 2 + 0 \u003d 2. Så vi kommer omedelbart att förkasta en sådan slutsats - den är ologisk, även om den har motsatt mål - att kalla till logik.
Vad är multiplikation
Den ursprungliga multiplikationsregeln definierades endast för naturliga tal: multiplikation är ett tal som läggs till sig självt ett visst antal gånger, vilket antyder talets naturlighet. Således kan vilket tal som helst med multiplikation reduceras till denna ekvation:
- 25x3=75
- 25 + 25 + 25 = 75
- 25x3 = 25 + 25 + 25
Från denna ekvation följer slutsatsen, att multiplikation är en förenklad addition.
Vad är noll
Varje person vet från barndomen: noll är tomhet. Trots att denna tomhet har en beteckning bär den ingenting alls. Forntida österländska forskare trodde annorlunda - de närmade sig frågan filosofiskt och drog några paralleller mellan tomhet och oändlighet och såg djup mening i detta nummer. När allt kommer omkring, noll, som har värdet av tomhet, som står bredvid ett naturligt tal, multiplicerar det tio gånger. Därav all kontrovers om multiplikation - detta tal har så mycket inkonsekvens att det blir svårt att inte bli förvirrad. Dessutom används ständigt noll för att bestämma tomma siffror i decimalbråk, detta görs både före och efter decimalkomma.
Är det möjligt att multiplicera med tomhet
Det är möjligt att multiplicera med noll, men det är värdelöst, för vad man än kan säga, men även när man multiplicerar negativa tal, kommer noll fortfarande att erhållas. Det räcker med att komma ihåg denna enklaste regel och aldrig ställa den här frågan igen. Faktum är att allt är enklare än det verkar vid första anblicken. Det finns inga dolda betydelser och mysterier, som forntida forskare trodde. Den mest logiska förklaringen kommer att ges nedan att denna multiplikation är värdelös, för när man multiplicerar ett tal med det kommer samma sak fortfarande att erhållas - noll.
Om vi går tillbaka till början, så ser argumentet om två äpplen, 2 gånger 0 ut så här:
- Om du äter två äpplen fem gånger, då äts 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 äpplen
- Om du äter två av dem tre gånger, då äts 2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6 äpplen
- Om du äter två äpplen noll gånger, kommer ingenting att ätas - 2x0 = 0x2 = 0+0 = 0
Att äta ett äpple 0 gånger betyder trots allt att man inte äter ett enda. Det blir klart till och med till ett litet barn. Gilla det eller inte, 0 kommer ut, två eller tre kan ersättas med absolut vilket nummer som helst och absolut samma sak kommer ut. Och för att uttrycka det enkelt, noll är ingenting och när du har det finns ingenting, sedan hur mycket du än multiplicerar - det är likadant kommer att vara noll. Det finns ingen magi, och ingenting kommer att göra ett äpple, även om du multiplicerar 0 med en miljon. Detta är den enklaste, mest förståeliga och logiska förklaringen av regeln om multiplikation med noll. För en person som är långt ifrån alla formler och matematik kommer en sådan förklaring att räcka för att dissonansen i huvudet ska lösa sig och allt ska falla på plats.
Division
Från allt ovan följer en annan viktig regel:
Du kan inte dividera med noll!
Även denna regel har envist hamrats in i våra huvuden sedan barndomen. Vi vet bara att det är omöjligt och det är det, utan att stoppa våra huvuden med onödig information. Om du plötsligt får frågan, av vilken anledning är det förbjudet att dividera med noll, kommer majoriteten att bli förvirrad och inte kunna svara tydligt den enklaste frågan från Läroplanen, eftersom det inte finns så mycket kontroverser och kontroverser kring denna regel.
Alla memorerade bara regeln och delar inte med noll, utan att misstänka att svaret ligger på ytan. Addition, multiplikation, division och subtraktion är ojämlika, endast multiplikation och addition är fulla av ovanstående, och alla andra manipulationer med siffror är byggda från dem. Det vill säga att posten 10: 2 är en förkortning av ekvationen 2 * x = 10. Därför är posten 10: 0 samma förkortning för 0 * x = 10. Det visar sig att division med noll är en uppgift att hitta ett tal, multiplicera med 0, får du 10 Och vi har redan räknat ut att ett sådant tal inte existerar, vilket betyder att denna ekvation inte har någon lösning, och att den a priori är felaktig.
Låt mig berätta för dig
Att inte dividera med 0!
Klipp 1 som du vill, tillsammans,
Dela bara inte med 0!
Vilka av dessa summor tror du kan ersättas av produkten?
Låt oss argumentera så här. I den första summan är termerna desamma, siffran fem upprepas fyra gånger. Så vi kan ersätta addition med multiplikation. Den första faktorn visar vilken term som upprepas, den andra faktorn visar hur många gånger denna term upprepas. Vi ersätter summan med produkten.
Låt oss skriva ner lösningen.
I den andra summan är termerna olika, så den kan inte ersättas av en produkt. Vi lägger till termerna och får svaret 17.
Låt oss skriva ner lösningen.
Kan produkten ersättas med summan av samma termer?
Tänk på verk.
Låt oss agera och dra en slutsats.
1*2=1+1=2
1*4=1+1+1+1=4
1*5=1+1+1+1+1=5
Vi kan dra slutsatsen: alltid är antalet enhetstermer lika med det antal som enheten multipliceras med.
Betyder att, multiplicera talet ett med valfritt tal ger samma tal.
1 * a = a
Tänk på verk.
Dessa produkter kan inte ersättas med en summa, eftersom summan inte kan ha en term.
Produkterna i den andra kolumnen skiljer sig från produkterna i den första kolumnen endast i faktorernas ordning.
Detta betyder att för att inte bryta mot den kommutativa egenskapen för multiplikation, måste deras värden också vara lika med den första faktorn.
Låt oss avsluta: När vilket tal som helst multipliceras med talet ett erhålls talet som multiplicerades.
Vi skriver denna slutsats som en jämlikhet.
a * 1= a
Lös exempel.
Tips: glöm inte slutsatserna som vi drog i lektionen.
Testa dig själv.
Låt oss nu observera produkterna, där en av faktorerna är noll.
Tänk på produkter där den första faktorn är noll.
Låt oss ersätta produkterna med summan av identiska termer. Låt oss agera och dra en slutsats.
0*3=0+0+0=0
0*6=0+0+0+0+0+0=0
0*4=0+0+0+0=0
Antalet nolltermer är alltid lika med det tal som noll multipliceras med.
Betyder att, När du multiplicerar noll med ett tal får du noll.
Vi skriver denna slutsats som en jämlikhet.
0 * a = 0
Tänk på produkter där den andra faktorn är noll.
Dessa produkter kan inte ersättas med en summa, eftersom summan inte kan ha noll termer.
Låt oss jämföra verken och deras betydelser.
0*4=0
Produkterna i den andra kolumnen skiljer sig från produkterna i den första kolumnen endast i faktorernas ordning.
Detta betyder att för att inte bryta mot den kommutativa egenskapen för multiplikation, måste deras värden också vara lika med noll.
Låt oss avsluta: Att multiplicera valfritt tal med noll resulterar i noll.
Vi skriver denna slutsats som en jämlikhet.
a * 0 = 0
Men man kan inte dividera med noll.
Lös exempel.
Tips: glöm inte slutsatserna som dragits i lektionen. När du beräknar värdena i den andra kolumnen, var försiktig när du bestämmer operationsordningen.
Testa dig själv.
Idag på lektionen bekantade vi oss med speciella fall av multiplikation med 0 och 1, tränade på att multiplicera med 0 och 1.
Bibliografi
- MI. Moro, M.A. Bantova m.fl. Matematik: Lärobok. Betyg 3: i 2 delar, del 1. - M .: "Enlightenment", 2012.
- MI. Moro, M.A. Bantova m.fl. Matematik: Lärobok. Betyg 3: i 2 delar, del 2. - M .: "Enlightenment", 2012.
- MI. Moreau. Matematiklektioner: Riktlinjer för lärare. Klass 3 - M.: Utbildning, 2012.
- Regleringsdokument. Uppföljning och utvärdering av läranderesultat. - M.: "Enlightenment", 2011.
- "Rysslands skola": Program för grundskolan. - M.: "Enlightenment", 2011.
- SI. Volkov. Matematik: Testarbete. Klass 3 - M.: Utbildning, 2012.
- V.N. Rudnitskaya. Tester. - M.: "Examen", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Läxa
1. Hitta betydelsen av uttryck.
2. Hitta betydelsen av uttryck.
3. Jämför uttrycksvärden.
(56-54)*1 … (78-70)*1
4. Gör en uppgift om ämnet för lektionen för dina kamrater.
