Vektorprodukt av vektorer i j k. Vektorprodukt av vektorer som ges av koordinater

Innan vi ger begreppet en vektorprodukt, låt oss vända oss till frågan om orienteringen av den ordnade trippeln av vektorer a → , b → , c → i tredimensionellt rymd.

Till att börja med, låt oss lägga åt sidan vektorerna a → , b → , c → från en punkt. Orienteringen av trippeln a → , b → , c → är höger eller vänster, beroende på vektorns c → riktning. Från den riktning i vilken den kortaste svängen görs från vektorn a → till b → från slutet av vektorn c → , kommer formen av trippeln a → , b → , c → att bestämmas.

Om den kortaste rotationen är moturs, kallas trippeln av vektorer a → , b → , c → höger om medurs - vänster.

Ta sedan två icke-kollinjära vektorer a → och b → . Låt oss sedan skjuta upp vektorerna A B → = a → och A C → = b → från punkten A. Låt oss konstruera en vektor A D → = c → , som samtidigt är vinkelrät mot både A B → och A C → . När vi konstruerar vektorn A D → = c → kan vi alltså göra två saker, ge den antingen en riktning eller motsatt (se illustrationen).

Den ordnade trion av vektorer a → , b → , c → kan, som vi fick reda på, vara höger eller vänster beroende på vektorns riktning.

Från ovanstående kan vi introducera definitionen av en vektorprodukt. Denna definition ges för två vektorer definierade i ett rektangulärt koordinatsystem av tredimensionellt rymd.

Definition 1

Vektorprodukten av två vektorer a → och b → vi kallar en sådan vektor given i ett rektangulärt koordinatsystem av tredimensionellt rymd så att:

• om vektorerna a → och b → är kolinjära kommer den att vara noll;
• den kommer att vara vinkelrät mot både vektor a →​​ och vektor b → dvs. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• dess längd bestäms av formeln: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• tripletten av vektorerna a → , b → , c → har samma orientering som det givna koordinatsystemet.

vektor produkt vektorerna a → och b → har följande notation: a → × b → .

Korsa produktkoordinater

Eftersom vilken vektor som helst har vissa koordinater i koordinatsystemet, är det möjligt att införa en andra definition av vektorprodukten, som gör att du kan hitta dess koordinater från de givna koordinaterna för vektorerna.

Definition 2

I ett rektangulärt koordinatsystem av tredimensionellt rymd vektorprodukt av två vektorer a → = (a x ; a y ; a z) och b → = (b x ; b y ; b z) kalla vektorn c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , där i → , j → , k → är koordinatvektorer.

Vektorprodukten kan representeras som en determinant av en kvadratisk matris av tredje ordningen, där den första raden är orta-vektorerna i → , j → , k → , den andra raden innehåller koordinaterna för vektorn a → , och den tredje är koordinaterna för vektorn b → i ett givet rektangulärt koordinatsystem, ser denna matrisdeterminant ut så här: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Om vi ​​expanderar denna determinant över elementen i den första raden får vi likheten: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b → b → a k (→ x a y b → b → a k a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Kors produktegenskaper

Det är känt att vektorprodukten i koordinater representeras som determinanten för matrisen c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , sedan på basen matrisdeterminantegenskaper det följande vektor produktegenskaper:

1. antikommutativitet a → × b → = - b → × a → ;
2. distributivitet a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → eller a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. associativitet λ a → × b → = λ a → × b → eller a → × (λ b →) = λ a → × b → , där λ är ett godtyckligt reellt tal.

Dessa egenskaper har inte komplicerade bevis.

Till exempel kan vi bevisa antikommutativiteten hos en vektorprodukt.

Bevis på antikommutativitet

Per definition, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z och b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. Och om två rader i matrisen byts om, bör värdet på matrisens determinant ändras till det motsatta, därför a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , vilket och bevisar antikommutativiteten hos vektorprodukten.

Vektorprodukt - exempel och lösningar

I de flesta fall finns det tre typer av uppgifter.

I problem av den första typen anges vanligtvis längden på två vektorer och vinkeln mellan dem, men du måste hitta längden på korsprodukten. Använd i det här fallet följande formel c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Exempel 1

Hitta längden på korsprodukten av vektorerna a → och b → om a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 är känd.

Lösning

Med hjälp av definitionen av längden av vektorprodukten av vektorerna a → och b → löser vi detta problem: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Svar: 15 2 2 .

Uppgifter av den andra typen har ett samband med vektorernas koordinater, de innehåller en vektorprodukt, dess längd etc. genomsöks genom de kända koordinaterna för de givna vektorerna a → = (a x ; a y ; a z) Och b → = (b x ; b y ; b z) .

För den här typen av uppgifter kan du lösa många alternativ för uppgifter. Till exempel inte koordinaterna för vektorerna a → och b → , utan deras expansioner i formens koordinatvektorer b → = b x i → + b y j → + b z k → och c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , eller så kan vektorerna a → och b → ges av koordinaterna för deras start- och slutpunkter.

Betrakta följande exempel.

Exempel 2

Två vektorer sätts i ett rektangulärt koordinatsystem a → = (2 ; 1 ; - 3), b → = (0 ; - 1 ; 1) . Hitta deras vektorprodukt.

Lösning

Enligt den andra definitionen hittar vi vektorprodukten av två vektorer i givna koordinater: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Om vi ​​skriver korsprodukten i termer av matrisdeterminanten, så är lösningen detta exempel ser ut så här: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Svar: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Exempel 3

Hitta längden på korsprodukten av vektorerna i → - j → och i → + j → + k → , där i → , j → , k → - orter av ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem.

Lösning

Låt oss först hitta koordinaterna för den givna vektorprodukten i → - j → × i → + j → + k → i det givna rektangulära koordinatsystemet.

Det är känt att vektorerna i → - j → och i → + j → + k → har koordinater (1 ; - 1 ; 0) respektive (1 ; 1 ; 1). Hitta längden på vektorprodukten med hjälp av matrisdeterminanten, då har vi i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Därför har vektorprodukten i → - j → × i → + j → + k → koordinater (- 1 ; - 1 ; 2) i det givna koordinatsystemet.

Vi hittar längden på vektorprodukten med formeln (se avsnittet om att hitta vektorns längd): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Svar: i → - j → x i → + j → + k → = 6 . .

Exempel 4

Koordinaterna för tre punkter A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) ges i ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem. Hitta någon vektor vinkelrät mot A B → och A C → samtidigt.

Lösning

Vektorerna A B → och A C → har följande koordinater (-1 ; 2 ; 2) respektive (0 ; 4 ; 1). Efter att ha hittat vektorprodukten av vektorerna A B → och A C → , är det uppenbart att det är en vinkelrät vektor per definition till både A B → och A C → , det vill säga att det är lösningen på vårt problem. Hitta det A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Svar: - 6 i → + j → - 4 k → . är en av de vinkelräta vektorerna.

Problem av den tredje typen är fokuserade på att använda egenskaperna hos vektorprodukten av vektorer. Efter att ha ansökt vilken, kommer vi att få en lösning på det givna problemet.

Exempel 5

Vektorerna a → och b → är vinkelräta och deras längder är 3 respektive 4. Hitta längden på korsprodukten 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Lösning

Med fördelningsegenskapen för vektorprodukten kan vi skriva 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Genom egenskapen associativitet tar vi ut de numeriska koefficienterna bortom tecknet för vektorprodukter i det sista uttrycket: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorprodukterna a → × a → och b → × b → är lika med 0, eftersom a → × a → = a → a → sin 0 = 0 och b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , sedan 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Av vektorproduktens antikommutativitet följer - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Med hjälp av vektorproduktens egenskaper får vi likheten 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Av villkor är vektorerna a → och b → vinkelräta, det vill säga vinkeln mellan dem är lika med π 2 . Nu återstår bara att ersätta de hittade värdena i motsvarande formler: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Svar: 3a → - b → x a → - 2 b → = 60 .

Längden på vektorernas korsprodukt är per definition a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Eftersom det redan är känt (från skolkursen) att arean av en triangel är lika med hälften av produkten av längderna på dess två sidor multiplicerat med sinus för vinkeln mellan dessa sidor. Därför är längden på vektorprodukten lika med arean av ett parallellogram - en fördubblad triangel, nämligen produkten av sidorna i form av vektorerna a → och b → , avskild från en punkt, med sinus av vinkeln mellan dem sin ∠ a → , b → .

Detta är den geometriska betydelsen av vektorprodukten.

Den fysiska betydelsen av vektorprodukten

Inom mekaniken, en av fysikens grenar, kan du tack vare vektorprodukten bestämma kraftmomentet i förhållande till en punkt i rymden.

Definition 3

Under kraftmomentet F → , applicerad på punkt B , relativt punkt A kommer vi att förstå följande vektorprodukt A B → × F → .

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

De kalkylator online beräknar korsprodukten av vektorer. En detaljerad lösning ges. För att beräkna korsprodukten av vektorer, skriv in koordinaterna för vektorerna i cellerna och klicka på "Beräkna".

×

Varning

Rensa alla celler?

Stäng Rensa

Datainmatningsinstruktion. Tal anges som heltal (exempel: 487, 5, -7623, etc.), decimaltal (t.ex. 67., 102.54, etc.) eller bråktal. Bråket måste skrivas i formen a/b, där a och b (b>0) är heltal eller decimaltal. Exempel 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 osv.

Korsprodukt av vektorer

Innan du går vidare till definitionen av vektorprodukten av vektorer, överväg begreppen ordnad trippel av vektorer, vänster trippel av vektorer, höger trippel av vektorer.

Definition 1. Tre vektorer kallas beställde trippel(eller trippel) om det anges vilken av dessa vektorer som är den första, vilken är den andra och vilken som är den tredje.

Inspelning cba- betyder - den första är en vektor c, den andra är vektorn b och den tredje är vektorn a.

Definition 2. En trippel av icke-samplanära vektorer abc kallas höger (vänster) om, när de reduceras till en gemensam början, dessa vektorer är ordnade som de är respektive stora, oböjda index och långfingrar höger (vänster) hand.

Definition 2 kan formuleras på annat sätt.

Definition 2. En trippel av icke-samplanära vektorer abc kallas höger (vänster) om, när den reduceras till ett gemensamt ursprung, vektorn c placerad på andra sidan av planet som definieras av vektorerna a Och b, varifrån den kortaste svängen a Till b utförs moturs (medurs).

Vektor trio abc visad i fig. 1 är rätt och trippel abc visad i fig. 2 är kvar.

Om två trippel av vektorer är höger eller vänster, sägs de ha samma orientering. Annars sägs de vara av motsatt orientering.

Definition 3. Ett kartesiskt eller affint koordinatsystem kallas höger (vänster) om de tre basvektorerna bildar en höger (vänster) trippel.

För tydlighetens skull kommer vi i det följande endast att överväga högerhänta koordinatsystem.

Definition 4. vektor konst vektor a per vektor b kallas vektor Med, betecknad med symbolen c=[ab] (eller c=[a,b], eller c=a×b) och uppfyller följande tre krav:

• vektor längd Medär lika med produkten av vektorernas längder a Och b till vinkelns sinus φ mellan dem:

|c|=|[ab]|=|a||b|sinφ;

(1)

• vektor Med ortogonal mot var och en av vektorerna a Och b;
• vektor c riktade så att de tre abcär rätt.

Korsprodukten av vektorer har följande egenskaper:

• [ab]=−[ba] (antipermutabilitet faktorer);
• [(λa)b]=λ [ab] (kompatibilitet i förhållande till den numeriska faktorn);
• [(a+b)c]=[ac]+[bc] (distribution relativt summan av vektorer);
• [aa]=0 för vilken vektor som helst a.

Geometriska egenskaper för korsprodukten av vektorer

Sats 1. För att två vektorer ska vara kolinjära är det nödvändigt och tillräckligt att deras vektorprodukt är lika med noll.

Bevis. Nödvändighet. Låt vektorerna a Och b kolinjär. Då är vinkeln mellan dem 0 eller 180° och sinφ=synd180=synd 0=0. Därför, med hänsyn till uttryck (1), längden på vektorn cär lika med noll. Sedan c noll vektor.

Lämplighet. Låt korsprodukten av vektorer a Och b nav till noll: [ ab]=0. Låt oss bevisa att vektorerna a Och b kolinjär. Om minst en av vektorerna a Och b noll, då är dessa vektorer kolinjära (eftersom nollvektorn har en obestämd riktning och kan betraktas som kolinjär med vilken vektor som helst).

Om båda vektorerna a Och b icke noll, sedan | a|>0, |b|>0. Sedan från [ ab]=0 och av (1) följer det sinφ=0. Därav vektorerna a Och b kolinjär.

Teoremet har bevisats.

Sats 2. Längden (modulen) av vektorprodukten [ ab] är lika med arean S parallellogram byggt på vektorer reducerade till ett gemensamt ursprung a Och b.

Bevis. Som du vet är arean av ett parallellogram lika med produkten av de intilliggande sidorna av detta parallellogram och sinus för vinkeln mellan dem. Därav:

Då har korsprodukten av dessa vektorer formen:

Om vi ​​expanderar determinanten över elementen i den första raden får vi uppdelningen av vektorn a×b grund i, j, k, vilket är ekvivalent med formel (3).

Bevis för sats 3. Komponera alla möjliga par av basvektorer i, j, k och beräkna deras vektorprodukt. Man bör ta hänsyn till att basvektorerna är ömsesidigt ortogonala, bildar en rät trippel och har enhetslängd (med andra ord kan vi anta att i={1, 0, 0}, j={0, 1, 0}, k=(0, 0, 1)). Då har vi:

Från den senaste jämlikhet och relationer (4) får vi:

Komponera en 3×3-matris, vars första rad är basvektorerna jag, j, k, och de återstående raderna är fyllda med element av vektorer a Och b:

Alltså resultatet av korsprodukten av vektorer a Och b kommer att vara en vektor:

.

Exempel 2. Hitta korsprodukten av vektorer [ ab], där vektorn a representeras av två punkter. Startpunkt för vektor a: , slutpunkten för vektorn a: , vektor b har formen .

Lösning Flytta den första vektorn till origo. För att göra detta, subtrahera från motsvarande koordinater för slutpunkten koordinaterna för startpunkten:

Vi beräknar determinanten för denna matris genom att expandera den i första raden. Som ett resultat av dessa beräkningar får vi vektorprodukten av vektorer a Och b.

vektor produktär en pseudovektor vinkelrät mot planet konstruerad av två faktorer, vilket är resultatet av den binära operationen "vektormultiplikation" på vektorer i det tredimensionella euklidiska rummet. Vektorprodukten har inte egenskaperna kommutativitet och associativitet (den är antikommutativ) och är, till skillnad från skalärprodukten av vektorer, en vektor. Används ofta i många tekniska och fysiska tillämpningar. Till exempel skrivs rörelsemängden och Lorentzkraften matematiskt som en korsprodukt. Korsprodukten är användbar för att "mäta" vektorernas vinkelräthet - modulen för korsprodukten för två vektorer är lika med produkten av deras moduler om de är vinkelräta, och minskar till noll om vektorerna är parallella eller antiparallella.

Du kan definiera en vektorprodukt på olika sätt, och teoretiskt, i ett utrymme av vilken dimension n som helst, kan du beräkna produkten av n-1 vektorer, samtidigt som du erhåller en enda vektor vinkelrät mot dem alla. Men om produkten är begränsad till icke-triviala binära produkter med vektorresultat, definieras den traditionella vektorprodukten endast i tredimensionella och sjudimensionella utrymmen. Resultatet av vektorprodukten, liksom den skalära produkten, beror på måtten för det euklidiska rummet.

Till skillnad från formeln för att beräkna skalärprodukten från vektorernas koordinater i ett tredimensionellt rektangulärt koordinatsystem, beror formeln för vektorprodukten på orienteringen av det rektangulära koordinatsystemet, eller, med andra ord, dess "kiralitet".

Definition:
Vektorprodukten av en vektor a och vektor b i utrymmet R 3 kallas en vektor c som uppfyller följande krav:
längden av vektorn c är lika med produkten av längderna av vektorerna a och b och sinus för vinkeln φ mellan dem:
|c|=|a||b|sin φ;
vektorn c är ortogonal mot var och en av vektorerna a och b;
vektorn c är riktad så att trippeln av vektorer abc är rätt;
i fallet med utrymmet R7 krävs associativiteten för trippeln av vektorer a,b,c.
Beteckning:
c===a×b

Ris. 1. Arean av ett parallellogram är lika med modulen för korsprodukten

Geometriska egenskaper hos korsprodukten:
Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för kolineariteten hos två vektorer som inte är noll är likheten mellan deras vektorprodukt och noll.

Cross produktmodul är lika med area S parallellogram byggt på vektorer reducerade till ett gemensamt ursprung a Och b(se fig. 1).

Om e- enhetsvektor ortogonal mot vektorerna a Och b och valt så att trippeln a,b,e- rätt, och S- området för parallellogrammet byggt på dem (reducerat till ett gemensamt ursprung), då gäller följande formel för vektorprodukten:
=S e

Fig.2. Volymen av parallellepipeden när vektorn och skalärprodukten av vektorer används; prickade linjer visa projektionerna av vektorn c på a × b och vektorn a på b × c, det första steget är att hitta de inre produkterna

Om c- vilken vektor som helst π - vilket plan som helst som innehåller denna vektor, e- enhetsvektor som ligger i planet π och ortogonalt mot c,g- enhetsvektor ortogonal mot planet π och riktade så att trippeln av vektorer ecgär rätt, då för alla som ligger i planet π vektor a den korrekta formeln är:
=Pr e a |c|g
där Pr e a är projektionen av vektorn e på a
|c|-modul för vektor c

När du använder vektor- och skalära produkter kan du beräkna volymen av en parallellepiped byggd på vektorer reducerade till ett gemensamt ursprung a, b Och c. En sådan produkt av tre vektorer kallas blandad.
V=|a (b×c)|
Figuren visar att denna volym kan hittas på två sätt: det geometriska resultatet bevaras även när de "skalära" och "vektor"-produkterna byts ut:
V=a×b c=a b×c

Värdet på korsprodukten beror på sinus för vinkeln mellan de ursprungliga vektorerna, så korsprodukten kan ses som graden av "vinkelrätt" för vektorerna, precis som prickprodukten kan ses som graden av "parallellism". Korsprodukten av två enhetsvektorer är lika med 1 (en enhetsvektor) om de initiala vektorerna är vinkelräta, och lika med 0 (nollvektorer) om vektorerna är parallella eller antiparallella.

Tvärproduktuttryck i kartesiska koordinater
Om två vektorer a Och b definieras av sina rektangulära kartesiska koordinater, eller mer exakt, de representeras på en ortonormal basis
a=(a x ,a y ,a z)
b=(b x ,b y ,b z)
och koordinatsystemet är rätt, då har deras vektorprodukt formen
=(a y b z -a z b y, a z b x -a x b z, a x b y -a y b x)
För att komma ihåg denna formel:
i =∑ε ijk a j b k
Var ε ijk- symbolen för Levi-Civita.

I den här lektionen kommer vi att titta på ytterligare två operationer med vektorer: korsprodukt av vektorer Och blandad produkt av vektorer (direktlänk för de som behöver det). Det är okej, det händer ibland att för fullständig lycka, förutom prickprodukt av vektorer, mer och mer behövs. Sådant är vektorberoende. Man kan få intrycket att vi går in i djungeln av analytisk geometri. Detta är fel. I den här delen av högre matematik finns det i allmänhet lite ved, förutom kanske tillräckligt för Pinocchio. Faktum är att materialet är väldigt vanligt och enkelt - knappast svårare än detsamma skalär produkt, även det kommer att finnas färre typiska uppgifter. Huvudsaken i analytisk geometri, som många kommer att se eller redan har sett, är ATT INTE MISSTA BERÄKNINGAR. Upprepa som en trollformel så blir du glad =)

Om vektorerna gnistrar någonstans långt borta, som en blixt vid horisonten, spelar det ingen roll, börja med lektionen Vektorer för dummies att återställa eller återhämta grundläggande kunskaper om vektorer. Mer förberedda läsare kan bekanta sig med informationen selektivt, jag försökte samla den mest kompletta samlingen av exempel som ofta finns i praktiskt arbete

Vad kommer göra dig lycklig? När jag var liten kunde jag jonglera med två och till och med tre bollar. Det gick bra. Nu finns det ingen anledning att jonglera alls, eftersom vi kommer att överväga endast rymdvektorer, och platta vektorer med två koordinater kommer att utelämnas. Varför? Det är så dessa handlingar föddes - vektorn och den blandade produkten av vektorer definieras och fungerar i tredimensionellt rymd. Redan lättare!

I denna operation, på samma sätt som i den skalära produkten, två vektorer. Låt det vara oförgängliga bokstäver.

Själva handlingen betecknas på följande sätt: . Det finns andra alternativ, men jag är van vid att beteckna korsprodukten av vektorer på det här sättet, inom hakparenteser med ett kryss.

Och omedelbart fråga: om i prickprodukt av vektorer två vektorer är inblandade, och här multipliceras också två vektorer, alltså vad är skillnaden? En tydlig skillnad, först och främst, i RESULTAT:

Resultatet av den skalära produkten av vektorer är ett TAL:

Resultatet av korsprodukten av vektorer är en VEKTOR: , det vill säga vi multiplicerar vektorerna och får en vektor igen. Stängd klubb. Egentligen, därav namnet på operationen. I diverse utbildningslitteratur notationen kan också variera, jag kommer att använda bokstaven .

Definition av korsprodukt

Först blir det en definition med en bild, sedan kommentarer.

Definition: korsprodukt icke-kolinjär vektorer, tagna i denna ordning, kallas VECTOR, längd vilket är numeriskt lika med parallellogrammets area, byggd på dessa vektorer; vektor ortogonal mot vektorer, och är inriktad så att grunden har en rätt orientering:

Vi analyserar definitionen av ben, det finns många intressanta saker!

Så vi kan lyfta fram följande viktiga punkter:

1) Källvektorer, indikerade med röda pilar, per definition inte kolinjär. Det kommer att vara lämpligt att överväga fallet med kolinjära vektorer lite senare.

2) Vektorer tagna in strikt viss ordning : – "a" multipliceras med "vara", inte "vara" till "a". Resultatet av vektormultiplikationär VECTOR , som betecknas med blått. Om vektorerna multipliceras i omvänd ordning, så får vi en vektor lika lång och motsatt i riktning (karmosinröd färg). Det vill säga jämställdheten .

3) Låt oss nu bekanta oss med den geometriska betydelsen av vektorprodukten. Detta är en mycket viktig punkt! LÄNGDEN för den blå vektorn (och därför den crimson vektorn ) är numeriskt lika med AREAN för parallellogrammet som byggs på vektorerna . I figuren är detta parallellogram skuggat i svart.

Notera : ritningen är schematisk, och naturligtvis är den nominella längden på korsprodukten inte lika med parallellogrammets yta.

Vi minns en av de geometriska formlerna: arean av ett parallellogram är lika med produkten av intilliggande sidor och sinus för vinkeln mellan dem. Därför, baserat på det föregående, är formeln för att beräkna LÄNGDEN för en vektorprodukt giltig:

Jag betonar att vi i formeln talar om LÄNGDEN på vektorn, och inte om själva vektorn. Vad är den praktiska innebörden? Och innebörden är sådan att i problem med analytisk geometri hittas området för ett parallellogram ofta genom konceptet med en vektorprodukt:

Vi får den andra viktiga formeln. Parallellogrammets diagonal (röd prickad linje) delar upp det i två lika stora trianglar. Därför kan arean av en triangel byggd på vektorer (röd skuggning) hittas med formeln:

4) Inte mindre än viktigt faktumär att vektorn är ortogonal mot vektorerna, dvs. . Naturligtvis är den motsatt riktade vektorn (crimson pil) också ortogonal mot de ursprungliga vektorerna.

5) Vektorn är riktad så att grund Det har höger orientering. I en lektion om övergång till en ny grund Jag har talat i detalj om plan orientering, och nu kommer vi att ta reda på vad rymdens orientering är. Jag ska förklara på dina fingrar höger hand. Kombinera mentalt pekfinger med vektor och långfinger med vektor. Ringfinger och lillfinger tryck in i handflatan. Som ett resultat tumme- vektorprodukten kommer att slå upp. Detta är den rättorienterade grunden (det finns i figuren). Byt nu vektorerna ( pek- och långfinger) på vissa ställen, som ett resultat kommer tummen att vända sig om, och vektorprodukten kommer redan att titta ner. Detta är också en högerorienterad grund. Kanske har du en fråga: vilken grund har en vänsterorientering? "Tilldela" samma fingrar vänster hand vektorer och få vänster bas och vänster utrymmesorientering (i det här fallet kommer tummen att vara placerad i den nedre vektorns riktning). Bildligt talat "vrider" dessa baser eller orienterar rymden i olika riktningar. Och detta koncept bör inte betraktas som något långsökt eller abstrakt - till exempel ändrar den vanligaste spegeln orienteringen av rymden, och om du "drar det reflekterade föremålet ut ur spegeln", kommer det i allmänhet inte att vara möjligt att kombinera det med "originalet". Ta förresten tre fingrar till spegeln och analysera reflektionen ;-)

... vad bra det är att du nu vet om höger- och vänsterorienterad grunder, eftersom vissa föreläsares uttalanden om förändringen av inriktningen är fruktansvärda =)

Vektorprodukt av kolinjära vektorer

Definitionen är utarbetad i detalj, det återstår att ta reda på vad som händer när vektorerna är kolinjära. Om vektorerna är kolinjära kan de placeras på en rak linje och vårt parallellogram "viks" också till en rak linje. Området för sådana, som matematiker säger, degenererad parallellogrammet är noll. Detsamma följer av formeln - sinus för noll eller 180 grader är lika med noll, vilket betyder att arean är noll

Alltså, om, då Och . Observera att själva korsprodukten är lika med nollvektorn, men i praktiken försummas detta ofta och skrivs att det också är lika med noll.

specialfallär korsprodukten av en vektor och sig själv:

Med hjälp av korsprodukten kan du kontrollera kolineariteten hos tredimensionella vektorer, och vi kommer också att analysera bland annat detta problem.

För att lösa praktiska exempel kan det bli nödvändigt trigonometrisk tabell för att hitta värdena för sinus från den.

Nåväl, låt oss starta en eld:

Exempel 1

a) Hitta längden på vektorprodukten av vektorer if

b) Hitta arean av ett parallellogram byggt på vektorer if

Lösning: Nej, det här är inte ett stavfel, jag gjorde avsiktligt de ursprungliga uppgifterna i villkorsposterna lika. För designen på lösningarna blir annorlunda!

a) Enligt villkoret krävs att hitta längd vektor (vektorprodukt). Enligt motsvarande formel:

Svar:

Eftersom det frågades om längden, anger vi i svaret dimensionen - enheter.

b) Enligt villkoret krävs att finna fyrkant parallellogram byggt på vektorer. Arean av detta parallellogram är numeriskt lika med längden på korsprodukten:

Svar:

Observera att i svaret om vektorprodukten finns det inget snack alls, vi fick frågan om figuryta, respektive dimensionen är kvadratenheter.

Vi tittar alltid på VAD som krävs för att hittas av tillståndet, och utifrån detta formulerar vi klar svar. Det kan tyckas vara bokstavstrogen, men det finns tillräckligt många bokstavstrogna bland lärarna, och uppgiften med goda chanser kommer att lämnas tillbaka för revidering. Även om detta inte är en särskilt ansträngd nitpick - om svaret är felaktigt får man intrycket att personen inte förstår enkla saker och/eller inte har förstått kärnan i uppgiften. Detta ögonblick bör alltid hållas under kontroll, lösa alla problem i högre matematik, och i andra ämnen också.

Var tog den stora bokstaven "en" vägen? I princip kunde det dessutom ha fastnat på lösningen, men för att förkorta rekordet gjorde jag det inte. Jag hoppas att alla förstår det och är beteckningen på samma sak.

Ett populärt exempel på en gör-det-själv-lösning:

Exempel 2

Hitta arean av en triangel byggd på vektorer om

Formeln för att hitta arean av en triangel genom vektorprodukten ges i kommentarerna till definitionen. Lösning och svar i slutet av lektionen.

I praktiken är uppgiften verkligen mycket vanlig, trianglar kan i allmänhet torteras.

För att lösa andra problem behöver vi:

Egenskaper för korsprodukten av vektorer

Vi har redan övervägt några egenskaper hos vektorprodukten, men jag kommer att inkludera dem i den här listan.

För godtyckliga vektorer och ett godtyckligt tal är följande egenskaper sanna:

1) I andra informationskällor är denna post vanligtvis inte särskiljd i fastigheterna, men den är mycket viktig i praktiska termer. Så låt det vara.

2) – fastigheten diskuteras också ovan, ibland kallas det antikommutativitet. Med andra ord, ordningen på vektorerna har betydelse.

3) - kombination eller associativ vektor produktlagar. Konstanterna tas lätt ut från vektorproduktens gränser. Verkligen, vad gör de där?

4) - distribution eller distribution vektor produktlagar. Det är inga problem med att öppna fästen heller.

Som en demonstration, överväg ett kort exempel:

Exempel 3

Hitta om

Lösning: Av villkor krävs det återigen att hitta längden på vektorprodukten. Låt oss måla vår miniatyr:

(1) Enligt de associativa lagarna tar vi ut konstanterna bortom gränserna för vektorprodukten.

(2) Vi tar konstanten ur modulen, medan modulen "äter" minustecknet. Längden kan inte vara negativ.

(3) Vad som följer är tydligt.

Svar:

Det är dags att kasta ved på elden:

Exempel 4

Beräkna arean av en triangel byggd på vektorer om

Lösning: Hitta arean av en triangel med hjälp av formeln . Haken är att vektorerna "ce" och "te" själva representeras som summor av vektorer. Algoritmen här är standard och påminner en del om exempel nr 3 och 4 på lektionen. Punktprodukt av vektorer. Låt oss dela upp det i tre steg för tydlighetens skull:

1) I det första steget uttrycker vi vektorprodukten genom vektorprodukten, faktiskt, uttrycka vektorn i termer av vektorn. Inga ord om längden ännu!

(1) Vi ersätter uttryck av vektorer.

(2) Använd fördelande lagar, öppna parenteserna enligt regeln för multiplikation av polynom.

(3) Med hjälp av de associativa lagarna tar vi ut alla konstanter bortom vektorprodukterna. Med liten erfarenhet kan åtgärder 2 och 3 utföras samtidigt.

(4) De första och sista termerna är lika med noll (nollvektor) på grund av den trevliga egenskapen . I den andra termen använder vi vektorproduktens antikommutativitetsegenskap:

(5) Vi presenterar liknande termer.

Som ett resultat visade det sig att vektorn uttrycktes genom en vektor, vilket var vad som krävdes för att uppnås:

2) I det andra steget hittar vi längden på vektorprodukten vi behöver. Denna åtgärd liknar exempel 3:

3) Hitta arean av den önskade triangeln:

Steg 2-3 i lösningen kan ordnas i en rad.

Svar:

Det övervägda problemet är ganska vanligt i kontrollarbete, här är ett exempel på en gör-det-själv-lösning:

Exempel 5

Hitta om

Kort lösning och svar i slutet av lektionen. Låt oss se hur uppmärksam du var när du studerade de tidigare exemplen ;-)

Korsprodukt av vektorer i koordinater

, givet i ortonormal grund , uttrycks med formeln:

Formeln är verkligen enkel: vi skriver koordinatvektorerna i den översta raden av determinanten, vi "packar" koordinaterna för vektorerna i den andra och tredje raden, och vi sätter i strikt ordning- först koordinaterna för vektorn "ve", sedan koordinaterna för vektorn "dubbel-ve". Om vektorerna måste multipliceras i en annan ordning, så ska linjerna också bytas:

Exempel 10

Kontrollera om följande rymdvektorer är kolinjära:
A)
b)

Lösning: Testet är baserat på ett av påståendena i den här lektionen: om vektorerna är kolinjära är deras korsprodukt noll (noll vektor): .

a) Hitta vektorprodukten:

Så vektorerna är inte kolinjära.

b) Hitta vektorprodukten:

Svar: a) inte kolinjär, b)

Här är kanske all grundläggande information om vektorprodukten av vektorer.

Detta avsnitt kommer inte att vara särskilt stort, eftersom det finns få problem där den blandade produkten av vektorer används. Faktum är att allt kommer att vila på definitionen, geometrisk betydelse och ett par arbetsformler.

Den blandade produkten av vektorer är produkt av tre vektorer:

Så här ställde de upp sig som ett tåg och väntar, de kan inte vänta tills de är uträknade.

Först igen definitionen och bilden:

Definition: Blandprodukt icke-koplanär vektorer, tagna i denna ordning, kallas volymen av parallellepipeden, byggd på dessa vektorer, utrustad med ett "+"-tecken om basen är höger, och ett "-"-tecken om basen är vänster.

Låt oss rita. Linjer som är osynliga för oss ritas av en prickad linje:

Låt oss dyka ner i definitionen:

2) Vektorer tagna i en viss ordning, det vill säga permutationen av vektorer i produkten, som du kanske kan gissa, går inte utan konsekvenser.

3) Innan jag kommenterar den geometriska betydelsen kommer jag att notera det uppenbara faktum: den blandade produkten av vektorer är ett TAL: . I utbildningslitteraturen kan designen vara något annorlunda, jag brukade beteckna en blandad produkt igenom, och resultatet av beräkningar med bokstaven "pe".

A-priory den blandade produkten är volymen av parallellepipeden, byggd på vektorer (figuren är ritad med röda vektorer och svarta linjer). Det vill säga antalet är lika med volymen av den givna parallellepipeden.

Notera : Ritningen är schematisk.

4) Låt oss inte bry oss igen med konceptet med orienteringen av basen och rummet. Meningen med den sista delen är att ett minustecken kan läggas till volymen. Med enkla ord, kan den blandade produkten vara negativ: .

Formeln för att beräkna volymen av en parallellepiped byggd på vektorer följer direkt av definitionen.

Vinkel mellan vektorer

För att vi ska kunna introducera begreppet en korsprodukt av två vektorer måste vi först ta itu med ett sådant begrepp som vinkeln mellan dessa vektorer.

Låt oss ges två vektorer $\overline(α)$ och $\overline(β)$. Låt oss ta en punkt $O$ i rymden och avsätta vektorerna $\overline(α)=\overline(OA)$ och $\overline(β)=\overline(OB)$ från den, sedan vinkeln $AOB $ kommer att kallas vinkel mellan dessa vektorer (fig. 1).

Notation: $∠(\överlinje(α),\överlinje(β))$

Konceptet med korsprodukten av vektorer och formeln för att hitta

Definition 1

Vektorprodukten av två vektorer är en vektor vinkelrät mot båda givna vektorerna, och dess längd kommer att vara lika med produkten av längderna av dessa vektorer med sinus för vinkeln mellan dessa vektorer, och denna vektor med två initiala har samma orientering som det kartesiska koordinatsystemet.

Notation: $\overline(α)х\overline(β)$.

Matematiskt ser det ut så här:

1. $|\överlinje(α)x\överlinje(β)|=|\överlinje(α)||\överlinje(β)|sin⁡∠(\överlinje(α),\överlinje(β))$
2. $\överlinje(α)x\överlinje(β)⊥\överlinje(α)$, $\överlinje(α)x\överlinje(β)⊥\överlinje(β)$
3. $(\överlinje(α)x\överlinje(β),\överlinje(α),\överlinje(β))$ och $(\överlinje(i),\överlinje(j),\överlinje(k))$ är samma riktning (Fig. 2)

Uppenbarligen kommer den yttre produkten av vektorer att vara lika med nollvektorn i två fall:

1. Om längden på en eller båda vektorerna är noll.
2. Om vinkeln mellan dessa vektorer är lika med $180^\circ$ eller $0^\circ$ (eftersom sinusen i detta fall är lika med noll).

För att tydligt se hur korsprodukten av vektorer hittas, överväg följande lösningsexempel.

Exempel 1

Hitta längden på vektorn $\overline(δ)$, som blir resultatet av korsprodukten av vektorer, med koordinaterna $\overline(α)=(0,4,0)$ och $\overline(β) =(3,0,0 )$.

Lösning.

Låt oss skildra dessa vektorer i det kartesiska koordinatutrymmet (Fig. 3):

Figur 3. Vektorer i kartesiskt koordinatutrymme. Author24 - utbyte av studentuppsatser online

Vi ser att dessa vektorer ligger på $Ox$ respektive $Oy$ axlarna. Därför kommer vinkeln mellan dem att vara lika med $90^\circ$. Låt oss hitta längden på dessa vektorer:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Sedan, enligt definition 1, får vi modulen $|\overline(δ)|$

$|\överlinje(δ)|=|\överlinje(α)||\överlinje(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Svar: $12$.

Beräkning av korsprodukten genom vektorernas koordinater

Definition 1 innebär omedelbart ett sätt att hitta korsprodukten för två vektorer. Eftersom en vektor, förutom ett värde, också har en riktning, är det omöjligt att hitta den enbart med hjälp av ett skalärt värde. Men förutom det finns det ett annat sätt att hitta de vektorer som ges till oss med hjälp av koordinaterna.

Låt oss ges vektorerna $\overline(α)$ och $\overline(β)$, som kommer att ha koordinater $(α_1,α_2,α_3)$ respektive $(β_1,β_2,β_3)$. Sedan kan vektorn för korsprodukten (nämligen dess koordinater) hittas med följande formel:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

I annat fall, genom att expandera determinanten, får vi följande koordinater

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Exempel 2

Hitta vektorn för korsprodukten av kolinjära vektorer $\overline(α)$ och $\overline(β)$ med koordinaterna $(0,3,3)$ och $(-1,2,6)$.

Lösning.

Låt oss använda formeln ovan. Skaffa sig

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\överlinje(i)-(0+3)\överlinje(j)+(0+3)\överlinje(k)=12\överlinje(i)-3\överlinje(j)+3\överlinje(k) )=(12,-3,3)$

Svar: $(12,-3,3)$.

Egenskaper för korsprodukten av vektorer

För godtyckligt blandade tre vektorer $\overline(α)$, $\overline(β)$ och $\overline(γ)$, samt $r∈R$, gäller följande egenskaper:

Exempel 3

Hitta arean av ett parallellogram vars hörn har koordinater $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ och $(3,8,0) $.

Lösning.

Rita först detta parallellogram i koordinatutrymmet (fig. 5):

Figur 5. Parallelogram i koordinatutrymme. Author24 - utbyte av studentuppsatser online

Vi ser att de två sidorna av detta parallellogram är konstruerade med hjälp av kolinjära vektorer med koordinaterna $\overline(α)=(3,0,0)$ och $\overline(β)=(0,8,0)$. Med den fjärde egenskapen får vi:

$S=|\överlinje(α)x\överlinje(β)|$

Hitta vektorn $\overline(α)х\overline(β)$:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\överlinje(j)+24\överlinje(k)=(0,0,24)$

Därav

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$