Hem › Salong › Omfattande guide (2019). Funktionsderivata

Omfattande guide (2019). Funktionsderivata

Tabell 2

bord 1

Begreppet gränsen för en variabel. Funktionsderivata. Derivattabell. Differentieringsregler

Sätt att ställa in funktioner. Typer av elementära funktioner

Att specificera en funktion innebär att specificera en regel eller lag enligt vilken ett givet värde på ett argument X motsvarande värde för funktionen bestäms på.

Överväga sätt att definiera en funktion .

1. Analytisk metod - ställa in en funktion med formler. Till exempel följer upplösningen av medicinska substanser från tabletter vid beredning av lösningar ekvationen m \u003d m 0 e - kt, Var m0 Och m- den initiala respektive den återstående vid tidpunkten för upplösningen t mängden av läkemedlet i tabletten, k- något konstant positivt värde.

2. Grafiskt sätt - detta är en uppgift för en funktion i form av en graf. Till exempel, med hjälp av en elektrokardiograf på papper eller på en datorskärm, registreras värdet av den biopotentialskillnad som uppstår under hjärtats arbete U som en funktion av tiden t: U = f(t).

3. Tabellform är en funktionstilldelning som använder en tabell. Detta sätt att ställa in funktionen används i experiment och observationer. Genom att till exempel mäta patientens kroppstemperatur med vissa intervall är det möjligt att sammanställa en tabell över kroppstemperaturvärden T som en funktion av tiden t. På basis av tabelldata är det ibland möjligt att approximera överensstämmelsen mellan ett argument och en funktion med en formel. Sådana formler kallas empiriska, d.v.s. fått av erfarenhet.

I matematiken skiljer man elementärt Och komplex funktioner. Här är huvudtyperna av elementära funktioner:

1. Strömfunktion – y = f(x) = x n, Var X- argument n- valfritt reellt tal ( 1, 2, - 2, etc.).

2. Exponentiell funktion – y = f(x) = a x, Var A- permanent Positivt nummer, annorlunda än enhet ( a > 0, a ≠ 0), Till exempel:

y=10x(a=10);

y = ex; y \u003d e -x (a \u003d e ≈ 2,718 ...)

Vi pekar ut de två sista funktionerna, de kallas exponentiella funktioner eller utställare och beskriva en mängd olika fysikaliska, biofysiska, kemiska och sociala processer. Och y = e x - stigande exponent, y=e-xär en minskande exponent.

3.Logaritmisk funktion med någon anledning A: y = log x, Var y - styrkan till vilken du behöver höja basen av funktionen a för att få givet nummer x, dvs a y = x.

Om basen a = 10, Den där y kallad decimallogaritm siffror x och betecknas y = log x; Om a=e, Den där y kallad naturlig logaritm siffror x och betecknas y \u003d 1n x.

Minns några logaritmregler :

Låt två siffror ges A Och b, Sedan:

· lg (a b) = lg a + lg b;

· lg = lg a - lg b;

· lg ab = b lg a;

Ingenting kommer att förändras när en karaktär byts ut lg på ln.

Det är också bra att komma ihåg det lg 10 = 1, ln e = 1, lg 1 = ln 1 = 0.

4. Trigonometriska funktioner : y=sinx, y=cosx, y=tgx och så vidare.

Här är graferna för några elementära funktioner (se fig. 1):

Ett variabelvärde kan förändras så att det när det ökar eller minskar närmar sig något ändligt konstant värde, vilket är dess gräns.

A-priory gränsen för variabeln x är det konstanta värdet A, till vilket variabeln x närmar sig under sin förändring så att modulen för skillnaden mellan x och A, dvs. | x - A |, tenderar mot noll.

Limit notation: x → A eller lim x = A(här → är ett tecken på gränsövergången, lim från latin begränsad, översatt till ryska - limit). Tänk på ett elementärt exempel:

x: 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999…→ 1, A = 1(lim x = 1), eftersom

| x - A |: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001…→ 0.

Låt oss presentera begreppen argumentökning och funktionsökning.

Om variabeln Xändrar dess värde från x 1 innan x 2, då skillnaden x 2 - x 1 \u003d Δx kallas ökningen av argumentet, och Δx(läs delta X) är ett enstaka stegtecken. Motsvarande funktionsändring y 2 - y 1 \u003d Δy kallas funktionsökning. Låt oss visa det på grafen för funktionen y = f(x)(Fig. 2). Geometriskt representeras ökningen av argumentet av ökningen av abskissan för kurvans punkt, och ökningen av funktionen är ökningen av ordinatan för denna punkt.

Derivatan av en given funktion y \u003d f (x) med avseende på argumentet x är gränsen för förhållandet mellan ökningen av funktionen Δy och ökningen av argumentet Δx, när det senare tenderar till noll (Δx → 0 ).

Derivatan av en funktion betecknas (läs " på stroke") eller , eller dy/dx(läs "de y av de x"). Alltså derivatan av funktionen y = f(x)är lika med:

(4)

Regel för att hitta derivatan av en funktion y = f(x) genom argument X som ingår i definitionen av detta värde: du måste ange ökningen av argumentet Δх, hitta funktionsökningen Δy, gör ett förhållande och hitta gränsen för detta förhållande när Δх→ 0.

Processen att hitta derivatan kallas differentiering av funktionen. Detta är den gren av högre matematik som kallas "Differentialräkning".

Tabellen över derivator av de grundläggande elementära funktionerna som erhålls genom ovanstående regel ges nedan.

nr. p/s	Funktionstyper	Funktionsderivata
	Konstant y=c	y" = 0
	Potensfunktion y = x n (n kan vara positiv, negativ, heltal, bråktal)	y" = nx n-1
	Exponentiell funktion y = a x (a > 0; a ≠ 1) y = e x y \u003d e -x, y \u003d e -kx (k \u003d const)	y" = a x log a y" = e x y" \u003d - e -x, y" \u003d -k e -kx
	logaritmisk funktion y = log a x (a > 0; a ≠ 1) y = log x	y" = y" =
	Trigonometriska funktioner: y = sin x y = cos x y = tg x y = ctg x	y" = cos x y" = - sin x y" = y" =

Om uttrycket vars derivata ska hittas är summan, skillnaden, produkten eller kvoten av flera funktioner, t.ex. u, v , z, används följande differentieringsregler (tabell 2).

Här är några exempel på att beräkna derivator med hjälp av tabellerna 1 och 2.

1. (x + sin x)" = (x)" + (sin x)" = 1 + cos x;

2. (x sin x)" = (x)" sin x + x (sin x)" = sin x + x cos x;

4. (5tgx)" = 5(tgx)" = .

Den fysiska betydelsen av derivatanär att den bestämmer hastigheten (hastigheten) för ändringen av funktionen.

Betrakta ett exempel på rätlinjig rörelse. Kroppens hastighet är lika med förhållandet mellan banan ∆S passerat av kroppen under tiden AT, till detta tidsintervall v = . Om rörelsen är ojämn, är förhållandet medelhastigheten på denna sektion av banan, och hastigheten som motsvarar varje given tidpunkt kallas momentan hastighet och definieras som gränsen för förhållandet vid Δt→0, dvs.

Sammanfatta det erhållna resultatet kan man hävda att derivatan av funktionen f(x) efter tid tär den momentana förändringshastigheten för funktionen. Begreppet momentan hastighet hänvisar inte bara till mekaniska rörelser, utan också till alla processer som utvecklas i tiden. Du kan hitta hastigheten för sammandragning eller avslappning av muskeln, hastigheten för kristallisering av lösningen, hastigheten för härdning av fyllnadsmaterialet, hastigheten för spridning av en epidemisk sjukdom, etc.

Menande momentan acceleration i alla dessa processer är lika med tidsderivatan av hastighetsfunktionen:

. (5)

Inom mekanik, den andra derivatan av vägen med avseende på tid.

Begreppet en derivata, som en kvantitet som kännetecknar förändringshastigheten för en funktion, används för olika beroenden. Till exempel måste du ta reda på hur snabbt temperaturen ändras längs en metallstav om en av dess ändar värms upp. I det här fallet temperatur är en funktion av koordinaten x, dvs. T = f(x) och kännetecknar hastigheten för temperaturförändringar i rymden.

Derivatan av någon funktion f(x) med avseende på koordinaten x kallas lutning denna funktion(förkortningen grad från lat. gradient används ofta). Gradienterna för olika variabler är vektorkvantiteter, alltid riktade i riktning mot att öka värdet på variabler .

Observera att gradienterna för många kvantiteter är en av grundorsakerna till metaboliska processer som förekommer i biologiska system. Dessa är till exempel koncentrationsgradient, elektrokemisk potentialgradient (μ är den grekiska bokstaven "mu"), elektrisk potentialgradient.

Vid liten Δx kan skrivas:

. (6)

Vad är ett derivat?
Definition och betydelse av derivatan av en funktion

Många kommer att bli förvånade över den oväntade placeringen av denna artikel i min författares kurs om derivatan av en funktion av en variabel och dess tillämpningar. När allt kommer omkring, som det var från skolan: en standardlärobok, först och främst, ger en definition av en derivata, dess geometriska, mekaniska betydelse. Därefter hittar eleverna derivator av funktioner per definition, och i själva verket är det först då differentieringstekniken fulländas med derivattabeller.

Men ur min synvinkel är följande tillvägagångssätt mer pragmatiskt: först och främst är det tillrådligt att FÖRSTÅ VÄL funktionsgräns, och speciellt oändliga små. Faktum är att definitionen av derivatet bygger på begreppet limit, vilket är dåligt övervägt i skolkursen. Det är därför en betydande del av unga konsumenter av granitkunskap dåligt tränger in i själva essensen av derivatet. Alltså, om du är dåligt orienterad i differentialkalkyl, eller en klok hjärna för långa år framgångsrikt avyttrat detta bagage, vänligen börja från funktionsbegränsningar. Samtidigt behärska / komma ihåg deras beslut.

Samma praktiska känsla tyder på att det är lönsamt först lär dig hitta derivator, Inklusive derivator av komplexa funktioner. Teori är en teori, men som man säger, man vill alltid särskilja. I detta avseende är det bättre att träna de angivna grundläggande lärdomarna, och kanske bli differentieringsmästare utan att ens inse kärnan i deras handlingar.

Jag rekommenderar att du börjar med materialet på den här sidan efter att ha läst artikeln. De enklaste problemen med en derivata, där i synnerhet problemet med tangenten till grafen för en funktion beaktas. Men det kan bli försenat. Faktum är att många tillämpningar av derivatan inte kräver att man förstår den, och det är inte förvånande att den teoretiska lektionen dök upp ganska sent - när jag behövde förklara hitta intervall för ökning/minskning och extremum funktioner. Dessutom var han i ämnet ganska länge." Funktioner och grafer”, tills jag bestämde mig för att lägga in den tidigare.

Därför, kära tekannor, skynda dig inte att absorbera essensen av derivatet, som hungriga djur, eftersom mättnaden kommer att vara smaklös och ofullständig.

Konceptet med att öka, minska, maximalt, minimum av en funktion

Många studieguider leda till begreppet derivat med hjälp av några praktiska problem, och jag kom också på intressant exempel. Föreställ dig att vi måste resa till en stad som kan nås på olika sätt. Vi kastar omedelbart de krökta slingrande banorna och vi kommer bara att överväga raka linjer. Men riktningarna i rak linje är också olika: du kan ta dig till staden längs en platt autobahn. Eller på en kuperad motorväg - upp och ner, upp och ner. En annan väg går bara uppför, och en annan går nerför hela tiden. Spänningssökare kommer att välja en väg genom ravinen med en brant klippa och en brant stigning.

Men oavsett dina preferenser är det önskvärt att känna till området, eller åtminstone ha en topografisk karta över det. Vad händer om det inte finns någon sådan information? När allt kommer omkring kan du välja till exempel en platt stig, men som ett resultat snubblar du på en skidbacke med roliga finländare. Inte det faktum att navigatorn och ens en satellitbild kommer att ge tillförlitliga data. Därför skulle det vara trevligt att formalisera reliefen av vägen med hjälp av matematik.

Tänk på en väg (sidovy):

För säkerhets skull påminner jag er om ett elementärt faktum: resan äger rum från vänster till höger. För enkelhetens skull antar vi att funktionen kontinuerlig i det aktuella området.

Vilka egenskaper har detta diagram?

I intervaller fungera ökar, det vill säga vart och ett av dess nästa värde Mer den föregående. Grovt sett går schemat ner upp(vi klättrar upp för backen). Och på intervallet funktionen minskar- varje nästa värde mindre den föregående, och vårt schema går uppifrån och ner(går nerför sluttningen).

Låt oss också vara uppmärksamma på speciella punkter. Vid den punkt vi når maximal, det är existerar en sådan del av vägen där värdet kommer att vara störst (högst). På samma punkt, minimum, Och existerar sådan dess grannskap, där värdet är det minsta (lägsta).

Mer rigorös terminologi och definitioner kommer att beaktas i lektionen. om funktionens extrema medan vi studerar en till viktig funktion: mellan funktionen ökar, men den ökar i olika hastigheter. Och det första som fångar ditt öga är att diagrammet skjuter i höjden på intervallet mycket coolareän på intervallet. Är det möjligt att mäta vägens branthet med hjälp av matematiska verktyg?

Funktionsändringshastighet

Tanken är denna: ta lite värde (läs "delta x"), som vi kommer att kalla argumentökning, och låt oss börja "prova" till olika punkter på vår väg:

1) Låt oss titta på punkten längst till vänster: förbi avståndet klättrar vi uppför sluttningen till en höjd ( grön linje). Värdet kallas funktionsökning, och i det här fallet är denna ökning positiv (skillnaden mellan värden längs axeln är större än noll). Låt oss göra förhållandet , som kommer att vara måttet på vår vägs branthet. Uppenbarligen är det ett mycket specifikt tal, och eftersom båda stegen är positiva, då .

Uppmärksamhet! Beteckning är ETT symbol, det vill säga du kan inte "riva av" "delta" från "x" och betrakta dessa bokstäver separat. Naturligtvis gäller kommentaren även för funktionens inkrementsymbol.

Låt oss utforska arten av den resulterande fraktionen mer meningsfull. Anta att vi initialt är på en höjd av 20 meter (i den vänstra svarta punkten). Efter att ha övervunnit avståndet på meter (vänster röd linje), kommer vi att vara på en höjd av 60 meter. Då blir ökningen av funktionen meter (grön linje) och: . Således, på varje meter denna del av vägen höjden ökar genomsnitt med 4 meter…har du glömt din klätterutrustning? =) Med andra ord, det konstruerade förhållandet kännetecknar funktionen AVERAGE RATE OF Change (i detta fall tillväxt).

Notera : De numeriska värdena i exemplet i fråga motsvarar endast ungefär proportionerna på ritningen.

2) Låt oss nu gå samma avstånd från den svarta punkten längst till höger. Här är stigningen mer skonsam, så inkrementet (crimson line) är relativt litet, och förhållandet jämfört med föregående fall kommer att vara ganska blygsamt. Relativt sett, meter och funktionstillväxthastighetär . Det vill säga här för varje meter av vägen som finns genomsnitt en halv meter upp.

3) Ett litet äventyr på bergssidan. Låt oss titta på den översta svarta punkten på y-axeln. Låt oss anta att detta är ett märke på 50 meter. Återigen övervinner vi avståndet, som ett resultat av vilket vi befinner oss lägre - på nivån 30 meter. Sedan rörelsen har gjorts uppifrån och ner(i "motsatt" riktning av axeln), sedan finalen ökningen av funktionen (höjden) blir negativ: meter (brun linje på ritningen). Och i det här fallet talar vi om sönderfallshastighet Funktioner: , det vill säga för varje meter av banan för denna sektion minskar höjden genomsnitt med 2 meter. Ta hand om kläder på den femte punkten.

Låt oss nu ställa frågan: vad är det bästa värdet av "mätstandard" att använda? Det är klart att 10 meter är väldigt grovt. Ett drygt dussin gupp får lätt plats på dem. Varför finns det gupp, det kan finnas en djup klyfta nedanför, och efter några meter - dess andra sida med en ytterligare brant stigning. Sålunda, med en tio meter lång, kommer vi inte att få en begriplig egenskap hos sådana sektioner av banan genom förhållandet.

Av diskussionen ovan följer följande slutsats: desto mindre värde, desto mer exakt kommer vi att beskriva vägens lättnad. Dessutom är följande fakta sanna:

– För alla lyftpunkter du kan välja ett värde (om än ett mycket litet sådant) som passar inom gränserna för en eller annan uppgång. Och detta betyder att motsvarande höjdökning garanteras vara positiv, och olikheten kommer korrekt att indikera tillväxten av funktionen vid varje punkt i dessa intervall.

- Likaså, för alla lutningspunkt finns det ett värde som passar helt på denna sluttning. Därför är motsvarande ökning i höjd otvetydigt negativ, och olikheten kommer korrekt att visa minskningen av funktionen vid varje punkt i det givna intervallet.

– Av särskilt intresse är fallet när ändringshastigheten för funktionen är noll: . För det första är ett nollhöjdssteg () ett tecken på en jämn bana. Och för det andra finns det andra märkliga situationer, exempel på vilka du ser i figuren. Föreställ dig att ödet har tagit oss till toppen av en kulle med skyhöga örnar eller botten av en ravin med kväkande grodor. Om du tar ett litet steg i någon riktning kommer höjdförändringen att vara försumbar, och vi kan säga att funktionens förändringshastighet faktiskt är noll. Samma mönster observeras vid punkter.

Således har vi närmat oss en fantastisk möjlighet att perfekt exakt karakterisera förändringshastigheten för en funktion. När allt kommer omkring tillåter matematisk analys oss att rikta ökningen av argumentet till noll: det vill säga att göra det oändligt liten.

Som ett resultat uppstår en annan logisk fråga: är det möjligt att hitta vägen och dess schema en annan funktion, som skulle berätta för oss om alla lägenheter, uppförsbackar, nedförsbackar, toppar, lågland, samt öknings-/minskningshastigheten vid varje punkt på stigen?

Vad är ett derivat? Definition av ett derivat.
Den geometriska betydelsen av derivatan och differentialen

Läs noggrant och inte för snabbt - materialet är enkelt och tillgängligt för alla! Det är okej om något på vissa ställen verkar otydligt, du kan alltid återkomma till artikeln senare. Jag kommer att säga mer, det är användbart att studera teorin flera gånger för att kvalitativt förstå alla punkter (råden är särskilt relevanta för "tekniska" studenter, för vilka högre matematik spelar en betydande roll i utbildningsprocessen).

Naturligtvis, i själva definitionen av derivatan vid en punkt, kommer vi att ersätta den med:

Vad har vi kommit fram till? Och vi kom fram till att för en funktion enligt lagen är justerad annan funktion, som kallas derivatfunktion(eller bara derivat).

Derivatan kännetecknar förändringshastigheten funktioner. Hur? Tanken går som en röd tråd redan från början av artikeln. Tänk på en punkt domäner funktioner. Låt funktionen vara differentierbar vid en given punkt. Sedan:

1) Om , så ökar funktionen vid punkten . Och uppenbarligen finns det intervall(även om mycket liten) som innehåller punkten där funktionen växer, och dess graf går "från botten till toppen".

2) Om , minskar funktionen vid punkten . Och det finns ett intervall som innehåller en punkt där funktionen minskar (grafen går "från topp till botten").

3) Om , då oändligt nära nära punkten håller funktionen sin hastighet konstant. Detta händer, som nämnts, för en funktionskonstant och på kritiska punkter i funktionen, särskilt vid lägsta och högsta poäng.

Lite semantik. Vad betyder verbet "differentiera" i vid mening? Att särskilja betyder att peka ut en egenskap. Genom att differentiera funktionen "väljer" vi hastigheten för dess förändring i form av en derivata av funktionen . Och vad menas förresten med ordet "derivat"? Fungera hände från funktionen.

Termerna tolkar mycket framgångsrikt den mekaniska betydelsen av derivatan :
Låt oss överväga lagen om förändring av kroppens koordinater, som beror på tid, och funktionen hos den givna kroppens rörelsehastighet. Funktionen kännetecknar förändringshastigheten för kroppskoordinaten, därför är den den första derivatan av funktionen med avseende på tid: . Om begreppet "kroppsrörelse" inte fanns i naturen, skulle det inte existera derivat begreppet "hastighet".

Kroppens acceleration är hastigheten för hastighetsändringen, därför: . Om de ursprungliga begreppen "kroppsrörelse" och "kroppsrörelsehastighet" inte fanns i naturen, så skulle det inte finnas något derivat begreppet acceleration av en kropp.

Men från min synvinkel är följande tillvägagångssätt mer pragmatiskt: först och främst är det tillrådligt att FÖRSTÅ gränsen för funktionen VÄL, och i synnerhet, oändliga små. Faktum är att

definitionen av derivatet bygger på begreppet limit , vilket är dåligt övervägt i skolkursen. Det är därför en betydande del av unga konsumenter av granitkunskap dåligt tränger in i själva essensen av derivatet. Således, om du inte är väl insatt i differentialkalkyl, eller om den kloka hjärnan framgångsrikt har gjort sig av med detta bagage genom åren, vänligen börja med funktionsbegränsningar . Samtidigt behärska / komma ihåg deras beslut.

Samma praktiska känsla tyder på att det är lönsamt först

lära sig att hitta derivator, inklusive derivator av komplexa funktioner . Teori är en teori, men som man säger, man vill alltid särskilja. I detta avseende är det bättre att träna de angivna grundläggande lärdomarna, och kanske bli differentieringsmästare utan att ens inse kärnan i deras handlingar.

Jag rekommenderar att du börjar med materialet på den här sidan efter att ha läst artikeln. De enklaste problemen med en derivata, där i synnerhet problemet med tangenten till grafen för en funktion beaktas. Men det kan bli försenat. Faktum är att många tillämpningar av derivatan inte kräver att man förstår den, och det är inte förvånande att den teoretiska lektionen dök upp ganska sent - när jag behövde förklara hitta intervall för ökning/minskning och extremum funktioner. Dessutom var han i ämnet ganska länge." Funktioner och grafer”, tills jag bestämde mig för att lägga in den tidigare.

Därför, kära tekannor, skynda dig inte att absorbera essensen av derivatet, som hungriga djur, eftersom mättnaden kommer att vara smaklös och ofullständig.

Konceptet med att öka, minska, maximalt, minimum av en funktion

Många tutorials leder till konceptet med ett derivat med hjälp av några praktiska problem, och jag kom också på ett intressant exempel. Föreställ dig att vi måste resa till en stad som kan nås på olika sätt. Vi kastar omedelbart de krökta slingrande banorna och vi kommer bara att överväga raka linjer. Men riktningarna i rak linje är också olika: du kan ta dig till staden längs en platt autobahn. Eller på en kuperad motorväg - upp och ner, upp och ner. En annan väg går bara uppför, och en annan går nerför hela tiden. Spänningssökare kommer att välja en väg genom ravinen med en brant klippa och en brant stigning.

satellitbild ger tillförlitliga data. Därför skulle det vara trevligt att formalisera reliefen av vägen med hjälp av matematik.

Tänk på en väg (sidovy):

För säkerhets skull påminner jag er om ett elementärt faktum: resan sker från vänster till höger. För enkelhetens skull antar vi att funktionen är kontinuerlig på det aktuella avsnittet.

Vilka egenskaper har detta diagram?

I intervaller funktionen ökar, det vill säga varje efterföljande värde av den är större än det föregående. Grovt sett går grafen nerifrån och upp (vi klättrar upp för backen). Och på intervallet minskar funktionen - varje nästa värde är mindre än det föregående, och vår graf går från topp till botten (vi går nerför lutningen).

Låt oss också vara uppmärksamma på speciella punkter. Vid den punkt vi

vi når det maximala , det vill säga det finns en sådan del av vägen där värdet kommer att vara störst (högst). Samtidigt nås ett minimum, och det finns ett sådant område där värdet är det minsta (lägsta).

Mer rigorös terminologi och definitioner kommer att beaktas i lektionen. om funktionens extrema, men låt oss nu studera ytterligare en viktig funktion: på intervallerna funktionen ökar, men den ökar i olika hastigheter. Och det första som fångar ditt öga är att intervallgrafen skjuter i höjden mycket coolareän på intervallet. Är det möjligt att mäta vägens branthet med hjälp av matematiska verktyg?

Funktionsändringshastighet

Tanken är denna: ta lite värde

(läs "delta x") , som vi kommer att kallaargumentökning, och låt oss börja "prova" till olika punkter på vår väg:

1) Låt oss titta på punkten längst till vänster: förbi avståndet klättrar vi uppför sluttningen till en höjd (grön linje). Kvantiteten kallas funktionsökning, och i detta fall är denna ökning positiv (skillnaden mellan värden längs axeln är större än

noll). Låt oss göra förhållandet , som kommer att vara måttet på vår vägs branthet. Uppenbarligen är detta en mycket specifik siffra, och eftersom båda stegen är positiva, alltså.

Uppmärksamhet! Beteckningen är en ENKEL symbol, det vill säga du kan inte "riva av" "delta" från "x" och betrakta dessa bokstäver separat. Naturligtvis gäller kommentaren även för funktionens inkrementsymbol.

Låt oss utforska arten av den resulterande fraktionen mer meningsfull. Låta

initialt är vi på en höjd av 20 meter (i den vänstra svarta punkten). Efter att ha övervunnit avståndet på meter (vänster röd linje), kommer vi att vara på en höjd av 60 meter. Då blir ökningen av funktionen

meter (grön linje) och:. Så

Alltså på varje meter av denna vägsträcka höjden ökar i snitt 4 meter ... har du glömt din klätterutrustning? =) Med andra ord, det konstruerade förhållandet kännetecknar funktionen AVERAGE RATE OF Change (i detta fall tillväxt).

Notera: de numeriska värdena i exemplet i fråga motsvarar endast ungefär proportionerna på ritningen.

2) Låt oss nu gå samma avstånd från den svarta punkten längst till höger. Här är stigningen mer mild, så ökningen

(magenta linje) är relativt liten, och förhållandet

jämfört med föregående fall kommer att vara mycket blygsam. Relativt sett, meter och funktionstillväxthastighet

är . Det vill säga att här för varje meter av stigen finns i snitt en halvmeters stigning.

3) Ett litet äventyr på bergssidan. Låt oss titta på den översta svarta punkten på y-axeln. Låt oss anta att detta är ett märke på 50 meter. Återigen övervinner vi avståndet, som ett resultat av vilket vi befinner oss lägre - på nivån 30 meter. Eftersom rörelsen utfördes från topp till botten (i "motsatt" riktning av axeln), den sista ökningen av funktionen (höjden) blir negativ:meter (brun linje på ritningen). Och i det här fallet pratar vi om hastighet

fallande funktion: , det vill säga för varje meter av banan

I detta område minskar höjden med i genomsnitt 2 meter. Ta hand om kläder på den femte punkten.

Låt oss nu ställa frågan: vad är det bästa värdet av "mätstandard" att använda? Det är klart att 10 meter är väldigt grovt. Ett drygt dussin gupp får lätt plats på dem. Varför finns det gupp, det kan finnas en djup klyfta nedanför, och efter några meter - dess andra sida med en ytterligare brant stigning. Med en tiometer kommer vi alltså inte att få en begriplig karaktärisering av sådana delar av vägen genom

förhållande .

Av diskussionen ovan följer följande slutsats: desto mindre värde, desto mer exakt kommer vi att beskriva vägens lättnad. Dessutom rättvist

Alternativ fysisk betydelse av begreppet en derivata av en funktion.

Nikolay Brylev

En artikel för den som tänker på egen hand. För dem som inte kan förstå hur det är möjligt att veta med hjälp av det okända och av denna anledning inte kan hålla med om införandet av okända begrepp i kognitionens verktyg: "oändlighet", "gå till noll", "oändligt liten", "en punkts grannskap", etc. .P.

Syftet med den här artikeln är inte att förringa idén om att introducera ett mycket användbart grundläggande koncept i matematik och fysik. begreppsderivata av en funktion(differentiell) och förstå det på djupet fysiskt sinne, baserad på naturvetenskapens allmänna globala beroenden. Målet är att ge konceptet derivatfunktion(differentiell) kausal struktur och djup mening interaktionsfysik. Denna innebörd idag är omöjlig att gissa, eftersom det allmänt accepterade konceptet är anpassat till den villkorligt formella, icke-strikta, matematiska metoden för differentialkalkyl.

1.1 Det klassiska konceptet för derivatan av en funktion.

Till att börja med, låt oss vända oss till det universellt använda, allmänt accepterade, existerande i nästan tre århundraden, som har blivit en klassiker, matematiskt begrepp (definition) av derivatan av en funktion (differential).

Detta koncept förklaras i alla många läroböcker på samma sätt och ungefär så.

Låt värdet u beror på x-argumentet som u = f(x). Om f(x ) fixerades vid två punkter i argumentvärdena: x2, x1, , då får vi mängderna u 1 = f (x 1 ), och u 2 = f (x 2 ). Skillnaden mellan två argumentvärden x 2, x 1 kommer att kallas ökningen av argumentet och betecknas som Δ x = x 2 - x 1 (därav x 2=x1+ Δ x) . Om argumentet har ändrats till Δ x \u003d x 2 - x 1, , då har funktionen ändrats (ökats) som skillnaden mellan funktionens två värden u 1 \u003d f (x 1), u 2 \u003d f (x 2 ) med funktionens inkrement∆f. Det brukar skrivas så här:

∆f= u 1 - u 2 \u003d f (x 2) - f (x 1 ) . Eller med tanke på det x 2 = x 1 + Δ x , kan vi skriva att förändringen i funktionen är lika med∆f= f (x 1 + Δx)- f (x 1 ). Och denna förändring inträffade, naturligtvis, på området för möjliga värden för funktionen x2 och x1, .

Man tror att om värdena x 2 och x 1, oändligt nära i storlek till varandra, sedan Δ x \u003d x 2 - x 1, - oändligt liten.

Derivatdefinition: Derivatfunktion f (x) vid punkten x 0 kallas gränsen för inkrementförhållandet för funktionen Δ f vid denna punkt till ökningen av argumentet Δx när det senare tenderar till noll (oändligt litet). Inspelad så här.

Lim Δx →0 (∆f(x0)/ Δx)=lim Δx→0 ((f (x + Δx)-f (x 0))/ Δx)=f ` (x0)

Att hitta derivatan kallas differentiering . Introducerad definition av en differentierbar funktion : Fungera f , som har en derivata vid varje punkt i något intervall, kallas differentiabel på detta intervall.

1.2 Den allmänt accepterade fysiska betydelsen av derivatan av en funktion

Och nu om den allmänt accepterade fysiska innebörden av derivatan .

om hennes sk fysisk, eller snarare pseudofysisk och geometriska betydelser kan också läsas i vilken lärobok som helst i matematik (materialanalys, differentialkalkyl). Jag sammanfattar kort deras innehåll i ämnet om hennes fysiska natur:

Den fysiska betydelsen av derivatan x `(t ) från en kontinuerlig funktion x (t) vid punkten t 0 är den momentana förändringshastigheten för funktionens värde, förutsatt att förändringen i argumentet Δ t tenderar till noll.

Och att förklara detta för eleverna fysisk mening lärare kan till exempel så.

Föreställ dig att du flyger i ett flygplan och du har en klocka på handen. När du flyger, har du en hastighet som är lika med ett flygplans hastighet?, - läraren tilltalar publiken.

Ja, svarar eleverna.

Och vilken hastighet har du och planet vid varje tidpunkt på din klocka?

En hastighet lika med ett flygplans hastighet!, - svarar duktiga och utmärkta elever unisont.

Inte riktigt, säger läraren. – Hastighet, som ett fysiskt begrepp, är vägen för ett flygplan som färdats per tidsenhet (till exempel per timme (km/h)), och när du tittade på klockan gick det bara ett ögonblick. Således, momentan hastighet (avståndet tillryggalagt på ett ögonblick) är derivatan av den funktion som beskriver flygplanets bana i tiden. Momentan hastighet - detta är den fysiska betydelsen av derivatan.

1.3 Problem med metodikens rigoritet för bildandet av det matematiska konceptet för derivatan av en funktion.

A publikstudenter, ödmjukt vana av utbildningssystemet,omedelbart och fullständigtlära sig tveksamma sanningar, som regel ställer inte läraren fler frågor om begrepp och fysisk betydelse av derivatan. Men en nyfiken, djupt och självständigt tänkande person kan inte tillgodogöra sig detta som en strikt vetenskaplig sanning. Han kommer säkerligen att ställa ett antal frågor, på vilka han uppenbarligen inte kommer att vänta på ett motiverat svar från en lärare av någon rang. Frågorna är följande.

1. Är exakta (korrekta, vetenskapliga, med ett objektivt värde, kausalt väsen) sådana begrepp (uttryck) av "exakt" vetenskap - matematik som: ögonblick - ett oändligt litet värde, strävan till noll, strävan till oändligheten, litenhet, oändlighet, strävan? Hur kan att veta någon enhet i storleken på förändringen, arbeta med okända koncept, har ingen storlek? Mer Den store Aristoteles (384-322 f.Kr.) i det fjärde kapitlet i avhandlingen "FYSIK", från urminnes tider, sände: "Om det oändliga, eftersom det är oändligt, är okänt, då är det oändliga i kvantitet eller magnitud omöjligt, hur stort det är, och det oändliga till sin natur är okänt, vad är dess kvalitet. Eftersom början är oändlig både i kvantitet och i natura, då är det omöjligt att känna till de som är bildade av dem [saker]: trots allt, först då tror vi att vi har vetat komplicerad sak när vi får reda på vad och hur många [början] den består av ... " Aristoteles, "Fysik", 4 kap..

2. Hur kan derivat har en fysisk betydelse identisk med någon momentan hastighet, om momentan hastighet inte är ett fysiskt begrepp, utan ett mycket villkorat, "oexakt" begrepp inom matematik, eftersom detta är gränsen för en funktion, och gränsen är ett villkorligt matematiskt begrepp?

3. Varför ersätts det matematiska konceptet för en punkt, som bara har en egenskap - koordinaten (som inte har några andra egenskaper: storlek, area, intervall) i den matematiska definitionen av derivatan av begreppet grannskap av en punkt, som faktiskt har ett intervall, endast obestämd i storlek. Ty i begreppet en derivata är begreppen och storheterna Δ x = x 2 - x 1 och x 0 .

4. Korrekt om alls fysisk mening förklara med matematiska begrepp som inte har någon fysisk betydelse?

5. Varför orsakssamband (fungera), beroende på orsaken (argument, egenskap, parameter) måste själv ha slutlig betong definierad i storlek begränsa förändringar (konsekvenser) med en obegränsad liten, inte har en magnitud förändring i storleken på orsaken?

6. Det finns funktioner i matematik som inte har en derivata (icke-differentiera funktioner i icke-slät analys). Detta betyder att i dessa funktioner, när dess argument (dess parameter, egenskap) ändras, ändras inte funktionen (matematiskt objekt). Men det finns inga föremål i naturen som inte skulle förändras när deras egna egenskaper förändras. Varför har matematiken då råd med sådana friheter som att använda en matematisk modell som inte tar hänsyn till universums grundläggande orsak-och-verkan-samband?

Jag kommer svara. I det föreslagna, klassiska begreppet som finns inom matematiken - momentan hastighet, derivata, fysikalisk och naturvetenskaplig i allmänhet, finns det ingen korrekt mening och kan inte bero på den ovetenskapliga felaktigheten och okändaligheten hos begreppen som används för detta! Det finns inte i begreppet "oändlighet", och i begreppet "ögonblick", och i begreppet "sträva mot noll eller oändlighet".

Men den sanna, renad från modern fysiks och matematiks slappa begrepp (tendens till noll, oändligt värde, oändlighet, etc.)

DEN FYSISKA BETYDELSEN AV BEGREPET EN DERIVATFUNKTION FINNS!

Detta är vad som kommer att diskuteras nu.

1.4 Sann fysisk betydelse och kausal struktur av derivatan.

För att förstå den fysiska essensen, "skaka av öronen ett tjockt lager av hundra år gamla nudlar", som hängdes stilla av Gottfried Leibniz (1646-1716) och hans anhängare, måste man, som vanligt, vända sig till metodiken för kunskap och strikta grundprinciper. Det är sant att det bör noteras att på grund av den rådande relativismen för närvarande följs dessa principer inte längre inom vetenskapen.

Låt mig avvika kort.

Enligt djupt och uppriktigt troende Isaac Newton (1643-1727) och Gottfried Leibniz skedde inte förändring av föremål, förändrade deras egenskaper utan den Allsmäktiges deltagande. Studiet av den Allsmäktige källan till föränderlighet av vilken naturvetare som helst var vid den tiden kantad av förföljelse av en mäktig kyrka och utfördes inte i självbevarelsesyfte. Men redan på 1800-talet kom naturvetare på det ORSAKLIG ESSENS I ATT ÄNDRA EGENSKAPERNA FÖR NÅGOT OBJEKT - INTERAKTIONER. "Interaktion är ett orsakssamband i dess fulla utveckling", noterade Hegel (1770-1831) ”På det närmaste sättet framstår interaktion som den ömsesidiga kausaliteten mellan förutsatta, ömsesidigt betingande substanser; var och en är, i förhållande till den andra, både en aktiv och en passiv substans. . F. Engels (1820-1895) specificerade: "Interaktion är det första som kommer framför oss när vi överväger att flytta (förändra) materia som helhet, ur den moderna naturvetenskapens synvinkel ... Således bekräftar naturvetenskapen att ... den interaktionen är den sanna causa finalis (den ultimata grundorsaken) till saker. Vi kan inte gå bortom kunskapen om denna interaktion just för att det inte finns något mer att veta bakom det. Ändå, efter att formellt ha tagit itu med grundorsaken till variabilitet, började ingen av 1800-talets ljusa huvuden att återuppbygga naturvetenskapens byggnad.Som ett resultat förblev byggnaden densamma - med en grundläggande "ruttnighet". Till följd av detta saknas fortfarande kausalstrukturen (interaktion) i de allra flesta naturvetenskapliga grundbegrepp (energi, kraft, massa, laddning, temperatur, hastighet, rörelsemängd, tröghet etc.), bl.a. matematiskt begrepp för derivatan av en funktion- som en matematisk modell som beskriver " mängden momentan förändring" av ett objekt från en "oändligt liten" förändring i dess kausala parameter. En teori om interaktioner som kombinerar till och med de fyra kända grundläggande interaktionerna (elektromagnetisk, gravitationell, stark, svag) har ännu inte skapats. Nu har det redan "klippts upp" mycket mer och "karmar" kryper ut överallt. Övning - sanningskriteriet, bryter fullständigt alla teoretiska modeller byggda på en sådan byggnad som påstår sig vara universella och globala. Därför kommer det ändå att vara nödvändigt att återuppbygga byggnaden av naturvetenskap, eftersom det inte finns någon annanstans att "simma", vetenskapen har länge utvecklats med "poke" -metoden - dumt, dyrt och ineffektivt. Framtidens fysik, 2000-talets och efterföljande århundradens fysik måste bli växelverkans fysik. Och inom fysiken är det helt enkelt nödvändigt att introducera ett nytt grundläggande koncept - "händelse-interaktion". Samtidigt tillhandahålls en grundläggande grund för de grundläggande begreppen och sambanden i modern fysik och matematik, och endast i detta fall är rotformeln"causa finalis" (sista första orsaken) formel att underbygga alla grundformler som fungerar i praktiken. Innebörden av världskonstanter och mycket mer klargörs. Och det är jag för dig kära läsare, jag ska visa dig nu.

Så, formulering av problemet.

Låt oss skissera in generellt modell. Låt ett abstrakt objekt av kognition, kännas igen i storlek och natur (vi betecknar det -u) är en relativ helhet som har en bestämd natur (dimension) och magnitud. Objektet och dess egenskaper är ett kausalt system. Ett objekt beror i värde på värdet av dess egenskaper, parametrar och dimension på deras dimension. Den kausala parametern kommer därför att betecknas med - x, och den undersökande parametern kommer att betecknas med - u. Inom matematiken beskrivs ett sådant kausalt samband formellt av en funktion (beroende) av dess egenskaper - parametrarna u = f (x). En förändrad parameter (egenskap för ett objekt) innebär en förändring av värdet på funktionen - ett relativt heltal. Dessutom är det objektivt bestämda värdet av helheten (talet) ett relativt värde som erhålls som en relation till dess individuella del (till något objektivt allmänt accepterad standard för helheten - u at, En enda standard är ett formellt värde, men generellt accepteras som ett objektivt jämförande mått.

Sedan u =k*u golv . Det objektiva värdet för parametern (egenskapen) är förhållandet till enhetsdelen (standard) av parametern (egenskapen) -x= i* x detta. Måtten på heltalet och dimensionen för parametern och deras enhetsstandarder är inte identiska. Odds k , iär numeriskt lika med u, x, respektive, eftersom referensvärdena för u ochx dettaär singel. Som ett resultat av interaktioner ändras parametern och denna kausala förändring medför följaktligen en förändring av funktionen (relativ helhet, objekt, system).

Krävs för att definiera formell det allmänna beroendet av storleken på förändringen av objektet på interaktionerna - orsakerna till denna förändring. Detta uttalande av problemet återspeglar det sanna, kausala, kausala (enligt F. Bacon) konsekventa tillvägagångssättet interaktionsfysik.

Beslut och konsekvenser.

Interaktion är en vanlig evolutionär mekanism - orsaken till variabilitet. Vad är egentligen en interaktion (kort räckvidd, lång räckvidd)? Eftersom den allmän teori interaktion och en teoretisk modell av interaktion mellan objekt, bärare av motsvarande egenskaper inom naturvetenskapen fortfarande saknas, vi måste skapa(mer om detta på).Men eftersom den tänkande läsaren vill veta om den verkliga fysiska essensen av derivatan omedelbart och nu, då kommer vi att klara oss med endast korta, men strikta och nödvändiga slutsatser från detta arbete för att förstå essensen av derivatan.

"Varje som helst, även den mest komplexa interaktionen av objekt, kan representeras på en sådan skala av tid och rum (expanderad i tid och visas i ett koordinatsystem på ett sådant sätt) att vid varje tidpunkt, vid en given punkt i rummet , endast två objekt, två bärare av motsvarande egenskaper, kommer att interagera, och i detta ögonblick kommer de att interagera endast med sina två proportionella egenskaper.

« Varje (linjär, icke-linjär) förändring av någon egenskap (parameter) av en viss karaktär hos något objekt kan dekomponeras (representeras) som ett resultat (konsekvens) av händelser - interaktioner av samma karaktär, som följer i formella rum och tid, linjärt eller icke-linjärt (likformigt eller ojämnt). Samtidigt, i varje elementär, enskild händelse-interaktion (nära interaktion), ändras egenskapen linjärt eftersom den beror på den enda anledningen till förändringen - en elementär proportionell interaktion (och därför finns det en funktion av en variabel). ... Följaktligen kan varje förändring (linjär eller icke-linjär), som ett resultat av interaktioner, representeras som summan av elementära linjära förändringar som följer i det formella rummet och tiden linjärt eller icke-linjärt."

« Av samma anledning kan vilken interaktion som helst brytas upp i förändringskvanta (odelbara linjära bitar). Ett elementärt kvantum av vilken natur som helst (dimension) är resultatet av en elementär händelse-interaktion enligt en given natur (dimension). Storleken och dimensionen av ett kvantum bestäms av storleken på den interagerande egenskapen och arten av denna egenskap. Till exempel, med en idealisk, absolut elastisk kollision av bollar (utan att ta hänsyn till termiska och andra energiförluster), byter bollarna sina momenta (motsvarande egenskaper). En förändring i en bolls rörelsemängd är en del av linjär energi (som ges till den eller tas bort från den) - det finns ett kvantum som har dimensionen av rörelsemängden. Om bollar med fasta momentumvärden samverkar, är tillståndet för vinkelmomentvärdet för varje boll på varje observerat interaktionsintervall det "tillåtna" värdet (i analogi med kvantmekanikens syn).»

Inom fysisk och matematisk formalism har det blivit allmänt accepterat att alla egenskaper när som helst och var som helst i rymden (för enkelhetens skull, låt oss ta en linjär, en-koordinat) har ett värde som kan uttryckas genom att skriva

(1)

var är dimensionen.

Denna skiva är bland annat essensen och djup fysisk betydelse av ett komplext tal, skiljer sig från den allmänt accepterade geometriska representationen (enligt Gauss), som en punkt på planet..( Notera. författare)

I sin tur kan förändringsmodulen , betecknad i (1) som , uttryckas, med hänsyn till interaktionshändelser, som

(2)

fysisk mening Denna grundläggande för ett stort antal av de mest kända relationerna inom naturvetenskapen, rotformeln, är att på tidsintervallet och på intervallet av ett homogent linjärt (enkelkoordinat) utrymme fanns det - motsvarande händelser - kort räckvidd interaktioner av samma natur, som följer i tid och rum i enlighet med deras funktioner -fördelningar av händelser i rum - och tid. Var och en av händelserna ändrades till några. Vi kan säga att i närvaro av homogenitet av interaktionsobjekt på ett visst intervall av rum och tid, talar vi om om några konstant, linjär, medelvärde av elementär förändring - derivatvärde om storleken på förändringen , en formellt beskriven funktion som är karakteristisk för interaktionsmediet och kännetecknar miljön och interaktionsprocessen av en viss karaktär (dimension). Med tanke på att det kan finnas olika sorter fördelningsfunktioner av händelser i rum och tid , då finns det variabla rum-tidsdimensioner y som en integral av distributionsfunktionerhändelser i tiden och utrymme , nämligen [tid - t] och[ koordinat - x ] kan vara i styrkan av k(k - inte lika med noll).

Om vi anger, i en tillräckligt homogen miljö, värdet av det genomsnittliga tidsintervallet mellan händelser - , och värdet av det genomsnittliga avståndsintervallet mellan händelser - , så kan vi skriva att det totala antalet händelser i intervallet av tid och rum är lika med

(3)

Detta grundläggande rekord(3) överensstämmer med naturvetenskapens grundläggande rum-tidsidentiteter (Maxwells elektrodynamik, hydrodynamik, vågteori, Hookes lag, Plancks formel för energi, etc.) och är den sanna grundorsaken till den logiska riktigheten av fysiska och matematiska konstruktioner . Denna post (3) överensstämmer med den inom matematiken välkända "medelsatsen". Låt oss skriva om (2) med hänsyn till (3)

(4) - för tidsförhållanden;

(5) - för rumsliga relationer.

Av dessa ekvationer (3-5) följer allmän lag för interaktion:

värdet av varje förändring i ett objekt (egenskap) är proportionellt mot antalet händelser-interaktioner (nära interaktioner) i proportion till det som orsakar det. Samtidigt motsvarar förändringens natur (typen av beroende i tid och rum) arten av sekvensen i tid och rum av dessa händelser.

Vi har allmänna grundförhållanden inom naturvetenskap för linjärt rum och tid, rensat från begreppet oändlighet, strävanden till noll, momentan hastighet, etc. Av samma anledning används inte beteckningarna för oändligt liten dt och dx av samma anledning. Istället för dem, finita Δti och Δxi . Från dessa generaliseringar (2-6) följer:

- den allmänna fysiska betydelsen av derivatan (differential) (4) och gradient (5), såväl som "världs" konstanter, som värdena för den genomsnittliga (genomsnittliga) linjära förändringen av funktionen (objektet) med en enda händelse -interaktion av argumentet (egenskapen) som har en viss dimension (natur) med proportionella (av samma karaktär) egenskaper hos andra objekt. Förhållandet mellan storleken på förändringen och antalet händelser-interaktioner som initierar den är faktiskt värdet av derivatan av funktionen, vilket återspeglar objektets kausala beroende av dess egenskap.

; (7) - derivata av funktionen

; (8) - funktionsgradient

- fysisk betydelse av integralen, eftersom summan av värdena för funktionen ändras under händelser genom argument

; (9)

- belägg (bevis och begriplig fysisk betydelse) av Lagranges sats för ändliga inkrement(formler med ändliga inkrement), i många avseenden grundläggande för differentialkalkyl. För kl linjära funktioner och det finns värden för deras integraler i uttryck (4)(5) och . Sedan

(10)

(10.1)

Formel (10.1) är egentligen Lagranges formel för ändliga steg [ 5].

När vi specificerar ett objekt med en uppsättning av dess egenskaper (parametrar) får vi liknande beroenden för objektets variabilitet som en funktion av variabiliteten av dess egenskaper (parametrar) och förtydligar fysisk betydelsen av den partiella derivatan av en funktion flera variabla parametrar.

(11)

Taylor formel för en funktion av en variabel, som också har blivit klassisk,

har formen

(12)

Representerar nedbrytningen av en funktion (formellt kausalsystem) till en serie där dess förändring är lika med

sönderdelas i komponenter, enligt principen om sönderdelning av det allmänna flödet av händelser av samma karaktär till underflöden med olika följande egenskaper. Varje delflöde kännetecknar linjäriteten (icke-linjäriteten) för händelseförloppet i rum eller tid. Detta är fysiska betydelsen av Taylor-formeln . Så, till exempel, den första termen i Taylors formel identifierar förändringen i linjärt följande händelser i tid (rum).

Kl. Andra på icke-linjär följning se evenemang osv.

- den fysiska innebörden av en konstant förändringshastighet (rörelse)[m/s], som har betydelsen av en enda linjär förskjutning (ändring, ökning) av ett värde (koordinater, banor), med linjärt följande händelser.

(13)

Av denna anledning är hastighet inte ett kausalt beroende av ett formellt valt koordinatsystem eller tidsintervall. Hastighet är ett informellt beroende av successionsfunktionen (fördelningen) i tid och rum av händelser som leder till en förändring av koordinater.

(14)

Och vilken komplex rörelse som helst kan delas upp i komponenter, där varje komponent är beroende av följande linjära eller icke-linjära händelser. Av denna anledning utökas punktkinematiken (punktekvationen) i enlighet med Lagrange- eller Taylor-formeln.

Det är när det linjära händelseförloppet ändras till icke-linjärt som hastigheten blir acceleration.

- fysisk betydelse av acceleration- , som ett värde numeriskt lika med en enskild förskjutning , med en icke-linjär följd av händelser-interaktioner som orsakar denna förskjutning . Vart i, eller . Samtidigt, den totala förskjutningen vid icke-linjär följd av händelser (med en linjär förändring i takten av följd av händelser) för lika (15) - formel känd från skolbänk

- den fysiska innebörden av ett föremåls fria fallacceleration- , som ett konstant värde, numeriskt lika med förhållandet mellan den linjära kraft som verkar på objektet (i själva verket den så kallade "momentana" linjära förskjutningen ), korrelerad till det icke-linjära antalet efterföljande händelser - interaktioner med omgivningen under formell tid, vilket orsakar denna kraft.

Följaktligen ett värde lika med talet icke-linjär följning händelser, eller relation - fick namnet kroppsvikt , och värdet - kroppsvikt , eftersom krafterna som verkar på kroppen (på stödet) i vila.Låt oss förklara ovanstående, eftersom allmänt använt, grundläggande fysiskt begrepp om massa i modern fysik är inte kausalt strukturerad från några interaktioner alls. Och fysiken känner till fakta om förändringar i massan av kroppar under loppet av vissa reaktioner (fysiska interaktioner) inuti dem. Till exempel, under radioaktivt sönderfall, minskar den totala massan av materia.När en kropp är i vila i förhållande till jordens yta, förändras inte det totala antalet händelser - interaktioner av partiklar i denna kropp med ett inhomogent medium med en gradient (annars kallat gravitationsfält). Och detta betyder att kraften som verkar på kroppen inte förändras, och tröghetsmassan är proportionell mot antalet händelser som inträffar föremål i kroppen och föremål i miljön, lika med förhållandet mellan kraften och dess konstanta acceleration .

När en kropp rör sig i ett gravitationsfält (faller) förblir också förhållandet mellan den föränderliga kraft som verkar på den och det ändrade antalet händelser konstant och förhållandet - motsvarar gravitationsmassan. detta innebär analytisk identitet av tröghets- och gravitationsmassa. När en kropp rör sig icke-linjärt, men horisontellt till jordens yta (längs den sfäriska ekvipotentialytan av jordens gravitationsfält), så har gravitationsfältet ingen gradient i denna bana. Men varje kraft som verkar på kroppen är proportionell mot antalet händelser som både accelererar och bromsar kroppen. Det vill säga, vid horisontell rörelse förändras helt enkelt orsaken till kroppens rörelse. Och ett icke-linjärt föränderligt antal händelser ger acceleration till kroppen och (Newtons 2:a lag). Med ett linjärt händelseförlopp (både accelererande och inbromsande) är kroppens hastighet konstant och den fysiska kvantiteten, med ett sådant händelseförlopp, i fysik kallas momentum.

- Den fysiska innebörden av rörelsemängden, som kroppens rörelse under påverkan av händelser som följer linjärt i tiden.

(16)

- Den fysiska innebörden av elektrisk laddning objekt som introduceras i fältet, som förhållandet mellan kraften som verkar på det "laddade" objektet (Lorentz-kraften) vid fältets punkt och värdet av laddningen i fältets punkt. För kraft är resultatet av växelverkan mellan de proportionella egenskaperna hos objektet som introduceras i fältet och fältobjektet. Interaktionen uttrycks i förändringen av dessa proportionella egenskaper hos båda. Som ett resultat av varje enskild interaktion utbyter objekt moduler av sina förändringar, förändrar varandra, vilket är värdet av den "momentana" kraft som verkar på dem, som en derivata av den verkande kraften på ett intervall av rymden. Men i modern fysik, fältet, en speciell typ av materia, har tyvärr ingen laddning (den har inga laddningsbärarobjekt), utan har en annan egenskap - spänningen på intervallet (skillnaden i potentialer (laddningar) i ett visst tomrum). Således, avgift i sin magnitud visar hur många gånger kraften som verkar på ett laddat föremål skiljer sig från fältstyrkan vid en given punkt (från den "momentana" kraften). (17)

Sedan objektets positiva laddning– ses som en laddning som överstiger fältpunktens laddning i absolut värde (större) och negativ - mindre än fältpunktens laddning. Detta innebär skillnaden i tecknen på krafterna av avstötning och attraktion. Vilket bestämmer närvaron av en riktning för den verkande kraften av "repulsion - attraktion". Det visar sig att laddningen är kvantitativt lika med antalet händelser - interaktioner som ändrar den i varje händelse med storleken på fältstyrkan. Storleken på avgiften, i enlighet med begreppet antal (värde), är ett förhållande med en referens, enhet, provladdning -. Härifrån . När laddningen rör sig, när händelserna följer linjärt (fältet är homogent), integralerna och när det homogena fältet rör sig i förhållande till laddningen. Därav fysikens kända relationer ;

- Den fysiska betydelsen av den elektriska fältstyrkan, som förhållandet mellan kraften som verkar på det laddade föremålet och antalet pågående händelser - interaktioner mellan det laddade föremålet och det laddade mediet. Det finns en konstant egenskap hos det elektriska fältet. Det är också derivatan med avseende på koordinaten för Lorentz-styrkan.Elektrisk fältstyrka- detta är en fysisk storhet numeriskt lika med kraften som verkar på en enhetsladdning i en enda händelse-interaktion () av en laddad kropp och ett fält (laddat medium).

(18)

-Den fysiska betydelsen av potential, ström, spänning och resistans (elektrisk konduktivitet).

Med hänsyn till ändringen av avgiftens storlek

(19)

(20)

(21)

Where kallas potentialen för fältpunkten och den tas som energikaraktäristiken för en given fältpunkt, men i själva verket är det fältpunktens laddning, som skiljer sig med en faktor av test(referens)laddningen. Eller: . Under växelverkan mellan laddningen som införs i fältet och laddningen av fältets punkt, sker ett utbyte av motsvarande egenskaper - laddningar. Utbyte är ett fenomen som beskrivs som "Lorentz-kraften verkar på laddningen som införs i fältet", lika i absolut värde med storleken på förändringen i laddningen, såväl som storleken på den relativa förändringen i fältpunktens potential . När en laddning införs i jordens fält, sista ändring kan försummas på grund av den relativa litenheten av denna förändring jämfört med det enorma värdet av den totala laddningen av en punkt i jordens fält.

Från (20) är det märkbart att strömmen (I) är tidsderivatan av storleken på laddningsändringen över ett tidsintervall, vilket ändrar laddningen i storlek i en händelse-interaktion (kortdistansinteraktion) med laddningen av medium (fältpoäng).

* Fram till nu, inom fysiken, tror man att om: en ledare har ett tvärsnitt av area S, är laddningen för varje partikel lika med q 0, och ledarens volym, begränsad av tvärsnitt 1 och 2 och längd (), innehåller partiklar, där n är koncentrationen av partiklar. Det är den totala avgiften. Om partiklarna rör sig i samma riktning med en medelhastighet v, kommer med tiden alla partiklar som är inneslutna i den aktuella volymen att passera genom tvärsnittet 2. Därför är strömstyrkan

Det samma, kan vi säga när det gäller vår metodologiska generalisering (3-6), bara i stället för antalet partiklar bör vi säga antalet händelser, vilket i betydelse är mer sant, eftersom det finns mycket fler laddade partiklar (händelser) i en ledare än till exempel elektroner i en metall . Beroende kommer att skrivas om i formuläret , därför bekräftas återigen giltigheten av (3-6) och andra generaliseringar av detta arbete.

Två punkter i ett homogent fält, åtskilda i rymden, med olika potentialer (laddningar) har en potentiell energi i förhållande till varandra, vilket är numeriskt lika med arbetet med att ändra potentialen från ett värde till . Det är lika med deras skillnad.

. (22)

Annars kan man skriva Ohms lag genom att med rätta likställa

. (23)

Där i detta fall är motståndet, som visar antalet händelser som krävs för att ändra storleken på laddningen, förutsatt att laddningen i varje händelse kommer att ändras med ett konstant värde av den så kallade "momentana" strömmen, beroende på egenskaperna hos dirigenten. Av detta följer att strömmen är en tidsderivata av kvantiteten och begreppet spänning. Man bör komma ihåg att i SI-enheter uttrycks elektrisk ledningsförmåga i Siemens med dimensionen: Cm \u003d 1 / Ohm \u003d Ampere / Volt \u003d kg -1 m -2 s ³A². Resistans i fysiken är den ömsesidiga produkten av elektrisk ledningsförmåga (motstånd hos en enhetssektion av materialet) och ledarens längd. Vad kan skrivas (i betydelsen generalisering (3-6)) som

(24)

- Fysisk betydelse av magnetfältsinduktion. Empiriskt fann man att förhållandet mellan det maximala värdet av kraftmodulen som verkar på en strömförande ledare (Ampère force) och strömstyrkan - I till ledarens längd - l, inte beror på strömstyrkan i ledaren, inte heller på ledarens längd. Det togs som en egenskap för magnetfältet på den plats där ledaren är belägen - induktionen av magnetfältet, ett värde beroende på fältets struktur - , som motsvarar

(25)

och sedan dess.

När vi roterar ramen i ett magnetfält ökar vi först och främst antalet händelser - interaktioner mellan laddade objekt i ramen och laddade objekt i fältet. Av detta följer beroendet av EMF och ström i ramen på ramens rotationshastighet och fältstyrkan nära ramen. Vi stoppar ramen - det finns inga interaktioner - det finns ingen ström. W virvla (ändra) fält - strömmen gick i ramen.

- Temperaturens fysiska betydelse. Idag inom fysiken är konceptet - ett mått på temperatur inte helt trivialt. En kelvin är lika med 1/273,16 av den termodynamiska temperaturen för vattnets trippelpunkt. Början av skalan (0 K) sammanfaller med den absoluta nollpunkten. Omvandling till grader Celsius: ° С \u003d K -273,15 (temperaturen på vattnets trippelpunkt är 0,01 ° C).
2005 förfinades definitionen av kelvin. I den obligatoriska tekniska bilagan till ITS-90-texten fastställde den rådgivande kommittén för termometri kraven för vattens isotopsammansättning vid implementering av temperaturen för vattnets trippelpunkt.

Ändå, fysisk innebörd och essensen av begreppet temperatur mycket lättare och tydligare. Temperatur, i sin essens, är en konsekvens av händelser - interaktioner som inträffar inuti ämnet som har både "inre" och "externa" orsaker. Fler evenemang - mer temperatur, färre evenemang- lägre temperatur. Därav fenomenet temperaturförändringar i många kemiska reaktioner. P. L. Kapitsa brukade också säga "... måttet på temperatur är inte själva rörelsen, utan slumpmässigheten i denna rörelse. Slumpmässigheten i kroppens tillstånd bestämmer dess temperaturtillstånd, och denna idé (som först utvecklades av Boltzmann) att ett visst temperaturtillstånd av kroppen bestäms inte alls av rörelseenergin, utan av slumpmässigheten i denna rörelse, och är det nya konceptet i beskrivningen av temperaturfenomen, som vi måste använda ... " (Berättelse från pristagaren Nobelpriset 1978 Peter Leonidovich Kapitsa "Egenskaper av flytande helium", läst på konferensen "Problem modern vetenskap"vid Moskvas universitet den 21 december 1944)
Under måttet av kaos bör man förstå talets kvantitativa egenskap händelse-interaktioner per tidsenhet i en enhetsvolym av materia - dess temperatur. Det är ingen slump att Internationella kommittén för vikter och mått kommer att ändra definitionen av kelvin (ett mått på temperatur) 2011 för att bli av med de svåråterskapliga förhållandena i "trippelpunkten av vatten". I den nya definitionen kommer kelvin att uttryckas i termer av den andra och värdet av Boltzmann-konstanten. Vilket exakt motsvarar den grundläggande generaliseringen (3-6) i detta arbete. I detta fall uttrycker Boltzmann-konstanten förändringen i tillståndet för en viss mängd materia under en enskild händelse (se den fysiska betydelsen av derivatan), och tidens storlek och dimension kännetecknar antalet händelser i ett tidsintervall . Detta bevisar ännu en gång det kausal struktur av temperatur - händelser-interaktioner. Som ett resultat av händelser-växelverkan utbyter objekt i varje händelse kinetisk energi (impulsmoment som vid kollision av bollar), och mediet får så småningom termodynamisk jämvikt (termodynamikens första lag).

- Den fysiska betydelsen av energi och styrka.

I modern fysik har energin E en annan dimension (natur). Hur många naturer, så många energier. Till exempel:

Kraft multiplicerad med längd (E ≈ F l≈N*m);

Tryck gånger volym (E ≈ P V≈N*m3/m2 ≈N*m);

Impulsen multiplicerad med hastigheten (E ≈ p v≈kg * m / s * m / s ≈ (N * s 2) / m * (m / s * m / s) ≈ N * m);

Massa gånger kvadraten på hastigheten (E ≈ m v 2 ≈N*m);

Ström multiplicerad med spänning (E ≈ I U ≈

Ur dessa relationer följer ett förfinat energibegrepp och ett samband med en enda standard (måttenhet) för energi, händelser och förändring.

Energi, – är ett kvantitativt kännetecken för en förändring i någon fysisk parameter av materia under påverkan av händelser-interaktioner av samma dimension, som orsakar denna förändring. Annars kan vi säga att energi är en kvantitativ egenskap som tillämpas under en tid (på något avstånd) på egenskapen hos en extern verkande kraft. Storleken av energi (antal) är förhållandet mellan storleken av en förändring av en viss natur och den formella, allmänt accepterade standarden för energi av denna typ. Energidimensionen är dimensionen av den formella, allmänt accepterade energistandarden. Orsaksmässigt beror energins storlek och dimension, dess förändring i tid och rum, formellt på förändringens totala storlek i förhållande till standarden och standardens dimension, och beror informellt på karaktären av följden av händelser.

Det totala värdet av förändringen - beror på antalet händelser-interaktioner som ändrar värdet av den totala förändringen i en händelse med - den genomsnittliga enhetskraften - derivatvärdet.

Energistandarden av en viss karaktär (dimension) måste motsvara det allmänna konceptet standard (singularitet, gemensamhet, oföränderlighet), har dimensionen av händelsesekvensfunktionen i rumtid och det ändrade värdet.

Dessa förhållanden är i själva verket vanliga för energin i varje förändring i materia.

Om styrka. och värdet eller i själva verket finns det samma "momentana" kraft som förändrar energi.

. (26)

Alltså under allmänt begrepp Tröghet ska förstås som värdet av en elementär relativ förändring i energi under verkan av en enskild händelse-interaktion (till skillnad från kraft, inte korrelerad med storleken på intervallet, men den förmodade närvaron av ett intervall av invarians av åtgärden), som har ett verkligt tidsintervall (rymdintervall) av sin invarians fram till nästa händelse.

Ett intervall är skillnaden mellan två tidpunkter för början av denna och nästa jämförbara händelse-interaktioner, eller två punkter-koordinater av händelser i rymden.

Tröghet har dimensionen energi, eftersom energi är den integrerade summan av tröghetsvärdena i tid under verkan av händelser-interaktioner. Mängden energiförändring är lika med summan av tröghet

(27)

Annars kan vi säga att trögheten som tilldelas en abstrakt egenskap av den e händelse-interaktionen är energin av egenskapsförändring, som hade en viss tid av invarians till nästa händelse-interaktion;

- tidens fysiska betydelse som ett formellt sätt att veta storleken på förändringens varaktighet (invarians), som ett sätt att mäta storleken på varaktigheten i jämförelse med den formella standarden för varaktigheten, som ett mått på förändringens varaktighet (varaktighet, varaktighet

Och det är dags att stoppa många spekulationer om tolkningen av detta grundläggande naturvetenskapliga koncept.

- fysisk betydelse av koordinatutrymme , som värden (mått) för förändring (vägar, avstånd),

(32)

som har dimensionen av en formell, enhetlig standard av rymd (koordinater) och värdet av koordinaten, som en integral av funktionen av följden av händelser i rymden lika med total samordna standarder på intervallet. Vid mätning av koordinaten, för enkelhets skull, en linjär förändring integrand en funktion vars integral är lika med antalet formellt valda referensintervall för enhetskoordinater;

- fysisk betydelse av alla grundläggande fysikaliska egenskaper(parametrar) som karakteriserar egenskaperna hos ett medium under elementär proportionell interaktion med det (dielektrisk och magnetisk permeabilitet, Plancks konstant, friktionskoefficienter och ytspänning, specifik värme, världskonstanter, etc.).

Sålunda erhålls nya beroenden som har en enda originalform av notation och en enda metodologiskt enhetlig kausal betydelse. Och denna kausala betydelse förvärvas med införandet av en global fysisk princip - "händelse-interaktion" i naturvetenskapen.

Här, kära läsare, vad bör vara i de mest allmänna termerna en ny matematik utrustad med fysisk mening och visshet Och ny interaktionsfysik från 2000-talet , rensat från en svärm av irrelevanta, utan säkerhet, storlek och dimension, och därav sunt förnuftsbegrepp. Sådana t.ex. Hur klassisk derivata och momentan hastighet - har lite gemensamt med det fysiska begreppet hastighet. Hur begreppet tröghet - en viss förmåga hos kroppar att hålla fart ... Hur tröghetsreferenssystem (ISO) , vilket inte har något med att göra begreppet referensram(CO). För ISO, till skillnad från den vanliga referensramen (CO) är inte ett objektivt system för kunskap om storleken på rörelse (förändring). I förhållande till ISO, enligt dess definition, vilar eller rör sig kroppar bara i en rak linje eller enhetligt. Och även många andra saker som dumt har replikerats i många århundraden som orubbliga sanningar. Dessa pseudosanningar, som har blivit grundläggande, är inte längre i stånd att i grunden, konsekvent och kausalt beskriva med generella beroenden många fenomen i universum, som existerar och förändras enligt de enhetliga naturlagarna.