Hem › Kylsystem › Logaritmisk representation av ett tal. Logaritm

Logaritmisk representation av ett tal. Logaritm

Logaritm av b (b > 0) till bas a (a > 0, a ≠ 1)är exponenten till vilken du måste höja talet a för att få b.

Basen 10-logaritmen för b kan skrivas som log(b), och logaritmen till basen e (naturlig logaritm) - ln(b).

Används ofta när man löser problem med logaritmer:

Egenskaper för logaritmer

Det finns fyra huvudsakliga egenskaper hos logaritmer.

Låt a > 0, a ≠ 1, x > 0 och y > 0.

Egenskap 1. Logaritm för produkten

Logaritm för produktenär lika med summan av logaritmer:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Egenskap 2. Logaritm för kvoten

Logaritm av kvotenär lika med skillnaden mellan logaritmer:

log a (x / y) = log a x – log a y

Egenskap 3. Gradens logaritm

Grad logaritmär lika med produkten av graden och logaritmen:

Om basen för logaritmen finns i exponenten, gäller en annan formel:

Egenskap 4. Logaritm för roten

Denna egenskap kan erhållas från egenskapen för gradens logaritm, eftersom roten av den n:te graden är lika med potensen 1/n:

Formeln för att gå från en logaritm i en bas till en logaritm i en annan bas

Denna formel används också ofta när man löser olika uppgifter för logaritmer:

Specialfall:

Jämförelse av logaritmer (olikheter)

Anta att vi har 2 funktioner f(x) och g(x) under logaritmer med samma baser och att det finns ett olikhetstecken mellan dem:

För att jämföra dem måste du först titta på basen av logaritmerna a:

Om a > 0, då f(x) > g(x) > 0
Om 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Hur man löser problem med logaritmer: exempel

Uppgifter med logaritmer ingår i ANVÄNDNING i matematik för årskurs 11 i uppgift 5 och uppgift 7 kan du hitta uppgifter med lösningar på vår hemsida i relevanta avsnitt. Också uppgifter med logaritmer finns i banken av uppgifter i matematik. Du hittar alla exempel genom att söka på sajten.

Vad är en logaritm

Logaritmer har alltid övervägts svårt ämne i skolans matematik. Det finns många olika definitioner av logaritmen, men av någon anledning använder de flesta läroböcker den mest komplexa och olyckliga av dem.

Vi kommer att definiera logaritmen enkelt och tydligt. Låt oss skapa en tabell för detta:

Så vi har två makter.

Logaritmer - egenskaper, formler, hur man löser

Om du tar numret från den nedersta raden kan du enkelt hitta kraften till vilken du måste höja en tvåa för att få detta nummer. Till exempel, för att få 16, måste du höja två till den fjärde potensen. Och för att få 64 måste du höja två till den sjätte potensen. Detta kan ses från tabellen.

Och nu - faktiskt definitionen av logaritmen:

basen a av argumentet x är den potens till vilken talet a måste höjas för att få talet x.

Notation: log a x \u003d b, där a är basen, x är argumentet, b är faktiskt vad logaritmen är lika med.

Till exempel, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (bas 2-logaritmen av 8 är tre eftersom 2 3 = 8). Kan lika gärna logga 2 64 = 6, eftersom 2 6 = 64.

Operationen att hitta logaritmen för ett tal till en given bas kallas. Så låt oss lägga till en ny rad i vår tabell:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Tyvärr övervägs inte alla logaritmer så lätt. Försök till exempel att hitta log 2 5. Siffran 5 finns inte i tabellen, men logiken säger att logaritmen kommer att ligga någonstans på segmentet. Eftersom 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Sådana tal kallas irrationella: talen efter decimalkomma kan skrivas i det oändliga, och de upprepas aldrig. Om logaritmen visar sig vara irrationell är det bättre att lämna det så här: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Det är viktigt att förstå att logaritmen är ett uttryck med två variabler (bas och argument). Till en början förvirrar många människor var basen finns och var argumentet finns. För att undvika irriterande missförstånd, ta bara en titt på bilden:

Före oss ligger inget annat än definitionen av logaritmen. Kom ihåg: logaritmen är potensen, som du måste höja basen till för att få argumentet. Det är basen som höjs till en makt – på bilden är den rödmarkerad. Det visar sig att basen alltid är i botten! Jag berättar denna underbara regel för mina elever vid den allra första lektionen - och det är ingen förvirring.

Hur man räknar logaritmer

Vi kom på definitionen - det återstår att lära sig hur man räknar logaritmer, d.v.s. bli av med "logg"-tecknet. Till att börja med noterar vi att två viktiga fakta följer av definitionen:

Argumentet och basen måste alltid vara större än noll. Detta följer av definitionen av graden av en rationell exponent, till vilken definitionen av logaritmen reduceras.
Basen måste skilja sig från enhet, eftersom en enhet till vilken makt som helst fortfarande är en enhet. På grund av detta är frågan "till vilken makt måste man höjas för att få två" meningslös. Det finns ingen sådan examen!

Sådana begränsningar kallas giltigt intervall(ODZ). Det visar sig att ODZ för logaritmen ser ut så här: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Observera att det inte finns några begränsningar för att talet b (värdet på logaritmen) inte är pålagt. Till exempel kan logaritmen mycket väl vara negativ: log 2 0,5 = −1, eftersom 0,5 = 2 −1 .

Men nu överväger vi bara numeriska uttryck, där det inte är nödvändigt att känna till ODZ för logaritmen. Alla begränsningar har redan tagits i beaktande av kompilatorerna av problemen. Men när logaritmiska ekvationer och ojämlikheter kommer in i bilden kommer DHS-kraven att bli obligatoriska. I grunden och argumentet kan det faktiskt finnas mycket starka konstruktioner, som inte nödvändigtvis motsvarar ovanstående begränsningar.

Överväg nu allmän ordning logaritmberäkningar. Den består av tre steg:

Uttryck basen a och argumentet x som en potens med minsta möjliga bas större än ett. Längs vägen är det bättre att bli av med decimalbråk;
Lös ekvationen för variabeln b: x = a b ;
Det resulterande talet b kommer att vara svaret.

Det är allt! Om logaritmen visar sig vara irrationell kommer detta att ses redan vid första steget. Kravet på att basen ska vara större än ett är mycket relevant: detta minskar sannolikheten för fel och förenklar beräkningarna avsevärt. På samma sätt med decimalbråk: om du omedelbart konverterar dem till vanliga, blir det många gånger färre fel.

Låt oss se hur detta schema fungerar med specifika exempel:

Uppgift. Beräkna logaritmen: log 5 25

Låt oss representera basen och argumentet som en fempotens: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Låt oss göra och lösa ekvationen:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Fick svar: 2.

Uppgift. Beräkna logaritmen:

Uppgift. Beräkna logaritmen: log 4 64

Låt oss representera basen och argumentet som en potens av två: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Låt oss göra och lösa ekvationen:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Fick svar: 3.

Uppgift. Beräkna logaritmen: log 16 1

Låt oss representera basen och argumentet som en potens av två: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Låt oss göra och lösa ekvationen:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Fick ett svar: 0.

Uppgift. Beräkna logaritmen: log 7 14

Låt oss representera basen och argumentet som en sjupotens: 7 = 7 1 ; 14 representeras inte som en sjupotens, eftersom 7 1< 14 < 7 2 ;
Det följer av föregående stycke att logaritmen inte beaktas;
Svaret är ingen förändring: log 7 14.

En liten notis till sista exemplet. Hur säkerställer man att ett tal inte är en exakt potens av ett annat tal? Mycket enkelt - bara sönderdela det i primära faktorer. Om det finns minst två distinkta faktorer i expansionen är siffran inte en exakt potens.

Uppgift. Ta reda på om talets exakta potenser är: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - den exakta graden, eftersom det finns bara en multiplikator;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 är inte en exakt potens eftersom det finns två faktorer: 3 och 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - exakt grad;
35 = 7 5 - återigen inte en exakt grad;
14 \u003d 7 2 - återigen inte en exakt grad;

Observera också att själva primtalen alltid är exakta potenser för sig själva.

Decimallogaritm

Vissa logaritmer är så vanliga att de har ett speciellt namn och beteckning.

av x-argumentet är basen 10-logaritmen, dvs. den effekt till vilken 10 måste höjas för att få x. Beteckning: lgx.

Till exempel log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - osv.

Från och med nu, när en fras som "Hitta lg 0.01" dyker upp i läroboken, vet att detta inte är ett stavfel. Detta är decimallogaritmen. Men om du inte är van vid en sådan beteckning kan du alltid skriva om den:
log x = log 10 x

Allt som är sant för vanliga logaritmer är också sant för decimaler.

naturlig logaritm

Det finns en annan logaritm som har sin egen notation. På sätt och vis är det ännu viktigare än decimaltal. Det handlar om om den naturliga logaritmen.

av x-argumentet är logaritmen till basen e, dvs. den potens till vilken talet e måste höjas för att få talet x. Beteckning: lnx.

Många kommer att fråga: vad är siffran e? Detta är ett irrationellt tal exakt värde omöjligt att hitta och registrera. Här är bara de första siffrorna:
e = 2,718281828459...

Vi kommer inte att fördjupa oss i vad detta nummer är och varför det behövs. Kom bara ihåg att e är basen naturlig logaritm:
ln x = log e x

Således ln e = 1; log e2 = 2; ln e 16 = 16 - osv. Å andra sidan är ln 2 ett irrationellt tal. I allmänhet är den naturliga logaritmen för alla rationella tal irrationell. Förutom, naturligtvis, enhet: ln 1 = 0.

För naturliga logaritmer är alla regler som är sanna för vanliga logaritmer giltiga.

Se även:

Logaritm. Egenskaper för logaritmen (logaritmens potens).

Hur representerar man ett tal som en logaritm?

Vi använder definitionen av en logaritm.

Logaritmen är en indikator på den potens till vilken basen måste höjas för att få talet under logaritmens tecken.

För att representera ett visst tal c som en logaritm till basen a måste du alltså sätta en grad med samma bas som logaritmens bas under logaritmens tecken och skriva in detta tal c i exponenten:

I form av en logaritm kan du representera absolut vilket tal som helst - positivt, negativt, heltal, bråktal, rationellt, irrationellt:

För att inte blanda ihop a och c under stressiga förhållanden under ett test eller examen, kan du använda följande regel för att komma ihåg:

det som är under går ner, det som är ovan går upp.

Till exempel vill du representera talet 2 som en logaritm till bas 3.

Vi har två tal - 2 och 3. Dessa tal är basen och exponenten, som vi kommer att skriva under logaritmens tecken. Det återstår att bestämma vilka av dessa siffror som ska skrivas ner, i basen av graden, och vilka - upp, i exponenten.

Basen 3 i logaritmen ligger längst ner, vilket betyder att när vi representerar tvåan som en logaritm till basen av 3, kommer vi också att skriva ner 3 till basen.

2 är högre än 3. Och i notationen av graden skriver vi de två ovanför de tre, det vill säga i exponenten:

Logaritmer. Första nivån.

Logaritmer

logaritm Positivt nummer b av skäl a, Var a > 0, a ≠ 1, är exponenten till vilken talet måste höjas. a, För att uppnå b.

Definition av logaritm kan kort skrivas så här:

Denna jämlikhet gäller för b > 0, a > 0, a ≠ 1. Han brukar kallas logaritmisk identitet.
Åtgärden att hitta logaritmen för ett tal kallas logaritm.

Egenskaper för logaritmer:

Produktens logaritm:

Logaritm för kvoten från division:

Ersätter basen av logaritmen:

Gradlogaritm:

rotlogaritm:

Logaritm med potensbas:

Decimala och naturliga logaritmer.

Decimal logaritm siffror anropar basen 10-logaritmen för det numret och skriver lg b
naturlig logaritm siffror anropar logaritmen för detta tal till basen e, Var eär ett irrationellt tal, ungefär lika med 2,7. Samtidigt skriver de ln b.

Andra anteckningar om algebra och geometri

Grundläggande egenskaper hos logaritmer

Logaritmer, som alla tal, kan läggas till, subtraheras och konverteras på alla möjliga sätt. Men eftersom logaritmer inte är helt vanliga tal finns det regler här som kallas grundläggande egenskaper.

Dessa regler måste vara kända - inga allvarliga logaritmiska problem kan lösas utan dem. Dessutom är det väldigt få av dem – allt går att lära sig på en dag. Så låt oss börja.

Addition och subtraktion av logaritmer

Betrakta två logaritmer med samma bas: logga a x och logga a y. Sedan kan de adderas och subtraheras, och:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x - log a y = log a (x: y).

Så summan av logaritmerna är lika med produktens logaritm, och skillnaden är logaritmen för kvoten. Observera: nyckelpunkten här är - samma grunder. Om grunderna är olika fungerar inte dessa regler!

Dessa formler hjälper dig att beräkna logaritmiskt uttryckäven när dess individuella delar inte beaktas (se lektionen "Vad är en logaritm"). Ta en titt på exemplen och se:

log 6 4 + log 6 9.

Eftersom logaritmernas baser är desamma använder vi summaformeln:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 2 48 − log 2 3.

Baserna är desamma, vi använder skillnadsformeln:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 3 135 − log 3 5.

Återigen, baserna är desamma, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Som du kan se är de ursprungliga uttrycken uppbyggda av "dåliga" logaritmer, som inte betraktas separat. Men efter omvandlingar visar sig ganska normala siffror. Baserat på detta faktum, många testpapper. Ja, kontroll - liknande uttryck på fullt allvar (ibland - med praktiskt taget inga förändringar) erbjuds vid tentamen.

Ta bort exponenten från logaritmen

Låt oss nu komplicera uppgiften lite. Vad händer om det finns en grad i basen eller argumentet för logaritmen? Sedan kan exponenten för denna grad tas ut ur logaritmens tecken enligt följande regler:

Det är lätt att se det sista regeln följer de två första. Men det är bättre att komma ihåg det ändå - i vissa fall kommer det att minska mängden beräkningar avsevärt.

Naturligtvis är alla dessa regler vettiga om ODZ-logaritmen observeras: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Och en sak till: lär dig att tillämpa alla formler inte bara från vänster till höger, utan också vice versa, d.v.s. du kan ange siffrorna före logaritmens tecken i själva logaritmen.

Hur man löser logaritmer

Detta är vad som oftast krävs.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 7 49 6 .

Låt oss bli av med graden i argumentet enligt den första formeln:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket:

Observera att nämnaren är en logaritm vars bas och argument är exakta potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Vi har:

Jag tror att det sista exemplet behöver förtydligas. Var har logaritmerna tagit vägen? Fram till sista stund arbetar vi bara med nämnaren. De presenterade basen och argumentet för logaritmen som stod där i form av grader och tog ut indikatorerna - de fick en "tre våningar" bråkdel.

Låt oss nu titta på huvudfraktionen. Täljaren och nämnaren har samma nummer: log 2 7. Eftersom log 2 7 ≠ 0 kan vi reducera bråket - 2/4 blir kvar i nämnaren. Enligt aritmetikens regler kan de fyra överföras till täljaren, vilket gjordes. Resultatet är svaret: 2.

Övergång till en ny stiftelse

På tal om reglerna för att addera och subtrahera logaritmer, betonade jag specifikt att de bara fungerar med samma baser. Vad händer om grunderna är olika? Vad händer om de inte är exakta potenser av samma tal?

Formler för övergång till en ny bas kommer till undsättning. Vi formulerar dem i form av ett teorem:

Låt logaritmen log a x ges. Sedan för vilket tal c som helst så att c > 0 och c ≠ 1, är likheten sann:

I synnerhet, om vi sätter c = x, får vi:

Det följer av den andra formeln att det är möjligt att växla basen och argumentet för logaritmen, men i det här fallet "vänds hela uttrycket om", dvs. logaritmen är i nämnaren.

Dessa formler finns sällan i vanliga numeriska uttryck. Det är möjligt att utvärdera hur bekväma de är endast när man löser logaritmiska ekvationer och ojämlikheter.

Det finns dock uppgifter som inte alls går att lösa förutom genom att flytta till en ny stiftelse. Låt oss överväga ett par av dessa:

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 5 16 log 2 25.

Observera att argumenten för båda logaritmerna är exakta exponenter. Låt oss ta ut indikatorerna: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Låt oss nu vända den andra logaritmen:

Eftersom produkten inte ändras från permutation av faktorer multiplicerade vi lugnt fyra och två och räknade sedan ut logaritmerna.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 9 100 lg 3.

Basen och argumentet för den första logaritmen är exakta potenser. Låt oss skriva ner det och bli av med indikatorerna:

Låt oss nu bli av med decimallogaritmen genom att flytta till en ny bas:

Grundläggande logaritmisk identitet

Ofta i processen för att lösa det krävs att representera ett tal som en logaritm till en given bas.

I det här fallet kommer formlerna att hjälpa oss:

I det första fallet blir talet n exponenten i argumentet. Talet n kan vara absolut vad som helst, eftersom det bara är värdet på logaritmen.

Den andra formeln är faktiskt en omskriven definition. Det heter så här:

Ja, vad händer om talet b höjs till en sådan grad att talet b i denna grad ger talet a? Det stämmer: det här är samma nummer a. Läs det här stycket noggrant igen - många människor "hänger" på det.

Som formlerna för att flytta till en ny bas, den viktigaste logaritmisk identitet ibland är det den enda möjliga lösningen.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket:

Observera att log 25 64 = log 5 8 - tog bara ut kvadraten från basen och logaritmens argument. Givet reglerna för att multiplicera potenser med samma bas får vi:

Om någon inte är insatt var detta en riktig uppgift från Unified State Examination 🙂

Logaritmisk enhet och logaritmisk noll

Avslutningsvis kommer jag att ge två identiteter som är svåra att kalla egenskaper – snarare är dessa konsekvenser från definitionen av logaritmen. De återfinns ständigt i problem och skapar överraskande problem även för "avancerade" elever.

log a a = 1 är. Kom ihåg en gång för alla: logaritmen till valfri bas a från själva basen är lika med ett.
log a 1 = 0 är. Basen a kan vara vad som helst, men om argumentet är ett är logaritmen noll! Eftersom en 0 = 1 är en direkt följd av definitionen.

Det är alla egenskaper. Se till att träna på att omsätta dem i praktiken! Ladda ner fuskbladet i början av lektionen, skriv ut det och lös problemen.

Logaritmiska uttryck, lösning av exempel. I den här artikeln kommer vi att överväga problem relaterade till att lösa logaritmer. Uppgifterna väcker frågan om att hitta uttryckets värde. Det bör noteras att begreppet logaritm används i många uppgifter och det är extremt viktigt att förstå dess innebörd. När det gäller USE används logaritmen för att lösa ekvationer, i tillämpade problem och även i uppgifter relaterade till studier av funktioner.

Här är exempel för att förstå själva innebörden av logaritmen:

Grundläggande logaritmisk identitet:

Egenskaper för logaritmer som du alltid måste komma ihåg:

*Produktens logaritm är lika med summan av logaritmerna för faktorerna.

* * *

* Logaritmen för kvoten (bråkdelen) är lika med skillnaden mellan logaritmerna för faktorerna.

* * *

* Gradens logaritm är lika med produkten av exponenten och logaritmen av dess bas.

* * *

*Övergång till ny bas

* * *

Fler egenskaper:

* * *

Att beräkna logaritmer är nära besläktat med att använda egenskaperna hos exponenter.

Vi listar några av dem:

Kärnan i denna egenskap är att när man överför täljaren till nämnaren och vice versa, ändras exponentens tecken till det motsatta. Till exempel:

Konsekvens av denna egenskap:

* * *

När man höjer en potens till en potens förblir basen densamma, men exponenterna multipliceras.

* * *

Som du kan se är själva konceptet med logaritmen enkelt. Huvudsaken är att det behövs god övning, vilket ger en viss färdighet. Visst är kunskap om formler obligatorisk. Om färdigheten i att konvertera elementära logaritmer inte bildas, kan man lätt göra ett misstag när man löser enkla uppgifter.

Öva, lös först de enklaste exemplen från mattekursen och gå sedan vidare till mer komplexa. I framtiden kommer jag definitivt att visa hur de "fula" logaritmerna löses, det kommer inga sådana på tentan, men de är av intresse, missa inte det!

Det är allt! Lycka till!

Med vänlig hälsning, Alexander Krutitskikh

P.S: Jag skulle vara tacksam om du berättar om sajten i sociala nätverk.

Vi fortsätter att studera logaritmer. I den här artikeln kommer vi att prata om beräkning av logaritmer, kallas denna process logaritm. Först kommer vi att behandla beräkningen av logaritmer per definition. Tänk sedan på hur värdena för logaritmer hittas med deras egenskaper. Efter det kommer vi att uppehålla oss vid beräkningen av logaritmer genom de initialt givna värdena för andra logaritmer. Låt oss slutligen lära oss hur man använder logaritmtabeller. Hela teorin är försedd med exempel med detaljlösningar.

Sidnavigering.

Beräknar logaritmer per definition

I de enklaste fallen är det möjligt att snabbt och enkelt utföra att hitta logaritmen per definition. Låt oss ta en närmare titt på hur denna process äger rum.

Dess essens är att representera talet b i formen a c , varav, enligt logaritmens definition, talet c är värdet på logaritmen. Det vill säga, per definition, att hitta logaritmen motsvarar följande kedja av likheter: log a b=log a a c =c .

Så, beräkningen av logaritmen, per definition, handlar om att hitta ett sådant nummer c att a c \u003d b, och talet c i sig är det önskade värdet för logaritmen.

Med tanke på informationen i de föregående styckena, när talet under logaritmens tecken ges av en viss grad av logaritmens bas, kan du omedelbart ange vad logaritmen är lika med - den är lika med exponenten. Låt oss visa exempel.

Exempel.

Hitta log 2 2 −3 och beräkna även den naturliga logaritmen för e 5.3.

Lösning.

Definitionen av logaritmen låter oss säga direkt att log 2 2 −3 = −3 . Faktum är att talet under logaritmens tecken är lika med basen 2 till −3 potens.

På liknande sätt hittar vi den andra logaritmen: lne 5.3 =5.3.

Svar:

log 2 2 −3 = −3 och lne 5,3 =5,3 .

Om talet b under logaritmens tecken inte anges som styrkan av logaritmens bas, måste du noga överväga om det är möjligt att komma med en representation av talet b i formen a c . Ofta är denna representation ganska uppenbar, särskilt när talet under logaritmens tecken är lika med basen till potensen 1, eller 2, eller 3, ...

Exempel.

Beräkna logaritmerna log 5 25 och .

Lösning.

Det är lätt att se att 25=5 2 , detta låter dig beräkna den första logaritmen: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Vi fortsätter till beräkningen av den andra logaritmen. Ett tal kan representeras som en potens av 7: (se vid behov). Därav, .

Låt oss skriva om den tredje logaritmen i följande form. Nu kan du se det , varifrån vi drar slutsatsen att . Därför, enligt definitionen av logaritmen .

Kortfattat kan lösningen skrivas så här:

Svar:

log 5 25=2 , Och .

När ett tillräckligt stort naturligt tal står under logaritmens tecken, skadar det inte att bryta ner det i primtalsfaktorer. Det hjälper ofta att representera ett sådant tal som någon potens av basen för logaritmen, och därför att beräkna denna logaritm per definition.

Exempel.

Hitta värdet på logaritmen.

Lösning.

Vissa egenskaper hos logaritmer gör att du omedelbart kan ange värdet på logaritmer. Dessa egenskaper inkluderar egenskapen för logaritmen för ett och egenskapen för logaritmen för ett tal lika med basen: log 1 1=log a a 0 =0 och log a a=log a a 1 =1 . Det vill säga när talet 1 eller talet a står under logaritmens tecken, lika med logaritmens bas, så är i dessa fall logaritmerna 0 respektive 1.

Exempel.

Vilka är logaritmerna och lg10?

Lösning.

Eftersom , det följer av definitionen av logaritmen .

I det andra exemplet sammanfaller talet 10 under logaritmens tecken med dess bas, så decimallogaritmen för tio är lika med ett, det vill säga lg10=lg10 1 =1 .

Svar:

OCH lg10=1 .

Observera att beräkning av logaritmer per definition (vilket vi diskuterade i föregående stycke) innebär användning av likhetsloggen a a p =p , som är en av egenskaperna hos logaritmer.

I praktiken, när talet under logaritmens tecken och basen av logaritmen lätt representeras som en potens av något tal, är det mycket bekvämt att använda formeln , vilket motsvarar en av egenskaperna hos logaritmer. Betrakta ett exempel på att hitta logaritmen, som illustrerar användningen av denna formel.

Exempel.

Beräkna logaritmen för .

Lösning.

Svar:

Egenskaperna för logaritmer som inte nämns ovan används också i beräkningen, men vi kommer att prata om detta i följande stycken.

Hitta logaritmer i termer av andra kända logaritmer

Informationen i detta stycke fortsätter på ämnet att använda logaritmers egenskaper i deras beräkning. Men här är den största skillnaden att logaritmernas egenskaper används för att uttrycka den ursprungliga logaritmen i termer av en annan logaritm, vars värde är känt. Låt oss ta ett exempel för förtydligande. Låt oss säga att vi vet att log 2 3≈1.584963 , då kan vi hitta till exempel log 2 6 genom att göra en liten transformation med hjälp av logaritmens egenskaper: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

I exemplet ovan räckte det för oss att använda egenskapen för produktens logaritm. Men mycket oftare måste du använda en bredare arsenal av egenskaper hos logaritmer för att beräkna den ursprungliga logaritmen i termer av de givna.

Exempel.

Beräkna logaritmen 27 till basen 60 om det är känt att log 60 2=a och log 60 5=b .

Lösning.

Så vi måste hitta logg 60 27 . Det är lätt att se att 27=3 3 och den ursprungliga logaritmen, på grund av egenskapen hos gradens logaritm, kan skrivas om till 3·log 60 3 .

Låt oss nu se hur log 60 3 kan uttryckas i termer av kända logaritmer. Egenskapen för logaritmen för ett tal lika med basen låter dig skriva likhetsloggen 60 60=1 . Å andra sidan log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Således, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Därav, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Slutligen beräknar vi den ursprungliga logaritmen: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Svar:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Separat är det värt att nämna betydelsen av formeln för övergången till en ny bas av formens logaritm . Det låter dig gå från logaritmer med valfri bas till logaritmer med en specifik bas, vars värden är kända eller det är möjligt att hitta dem. Vanligtvis, från den ursprungliga logaritmen, enligt övergångsformeln, byter de till logaritmer i en av baserna 2, e eller 10, eftersom det för dessa baser finns tabeller med logaritmer som gör att de kan beräknas med en viss grad av noggrannhet. I nästa avsnitt kommer vi att visa hur detta går till.

Tabeller över logaritmer, deras användning

För en ungefärlig beräkning av logaritmernas värden kan man använda logaritmtabeller. De vanligaste är bas 2-logaritmtabellen, den naturliga logaritmtabellen och decimallogaritmtabellen. När man arbetar i decimaltalssystemet är det praktiskt att använda en tabell med logaritmer för att basera tio. Med dess hjälp kommer vi att lära oss att hitta värdena för logaritmer.

Den presenterade tabellen tillåter, med en noggrannhet på en tiotusendel, att hitta värdena för decimallogaritmerna för tal från 1 000 till 9,999 (med tre decimaler). Principen för att hitta värdet på logaritmen med hjälp av tabellen med decimallogaritmer kommer att analyseras i specifikt exempel- så mycket tydligare. Låt oss hitta lg1,256 .

I den vänstra kolumnen i tabellen med decimallogaritmer hittar vi de två första siffrorna i talet 1,256, det vill säga vi hittar 1,2 (detta nummer är inringat i blått för tydlighetens skull). Den tredje siffran i talet 1,256 (nummer 5) finns på första eller sista raden till vänster om dubbelraden (denna siffra är inringad i rött). Den fjärde siffran i det ursprungliga numret 1.256 (nummer 6) finns på första eller sista raden till höger om dubbellinjen (denna siffra är inringad i grönt). Nu hittar vi siffrorna i cellerna i logaritmtabellen i skärningspunkten mellan den markerade raden och markerade kolumner (dessa siffror är markerade orange). Summan av de markerade talen ger det önskade värdet på decimallogaritmen upp till fjärde decimalen, det vill säga log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Är det möjligt att, med hjälp av tabellen ovan, hitta värdena för decimallogaritmerna för tal som har mer än tre siffror efter decimalkomma, och som även går över gränserna från 1 till 9,999? Jo det kan du. Låt oss visa hur detta går till med ett exempel.

Låt oss beräkna lg102.76332 . Först måste du skriva nummer in standardformulär : 102,76332=1,0276332 10 2 . Efter det ska mantissan avrundas uppåt till tredje decimalen, vi har 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, medan den ursprungliga decimallogaritmen är ungefär lika med logaritmen för det resulterande talet, det vill säga vi tar lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Tillämpa nu egenskaperna för logaritmen: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Slutligen hittar vi värdet på logaritmen lg1.028 enligt tabellen med decimallogaritmer lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Som ett resultat ser hela processen för att beräkna logaritmen ut så här: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Sammanfattningsvis är det värt att notera att med hjälp av tabellen med decimallogaritmer kan du beräkna det ungefärliga värdet för vilken logaritm som helst. För att göra detta räcker det att använda övergångsformeln för att gå till decimallogaritmer, hitta deras värden i tabellen och utföra de återstående beräkningarna.

Låt oss till exempel beräkna log 2 3 . Enligt formeln för övergången till en ny bas av logaritmen har vi . Från tabellen med decimallogaritmer finner vi lg3≈0,4771 och lg2≈0,3010. Således, .

Bibliografi.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra och början av analys: En lärobok för årskurserna 10-11 av allmänna utbildningsinstitutioner.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual för sökande till tekniska skolor).

Idag ska vi prata om logaritmformler och ge demonstration exempel på lösningar.

I sig själva innebär de lösningsmönster enligt logaritmernas grundläggande egenskaper. Innan vi tillämpar logaritmformlerna på lösningen minns vi först alla egenskaper för dig:

Nu, baserat på dessa formler (egenskaper), visar vi exempel på att lösa logaritmer.

Exempel på att lösa logaritmer utifrån formler.

Logaritm ett positivt tal b i basen a (betecknat log a b) är exponenten till vilken a måste höjas för att få b, med b > 0, a > 0 och 1.

Enligt definitionen log a b = x, vilket är ekvivalent med a x = b, så log a a x = x.

Logaritmer, exempel:

log 2 8 = 3, eftersom 2 3 = 8

log 7 49 = 2 eftersom 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, eftersom 5 -1 = 1/5

Decimallogaritmär en vanlig logaritm, vars bas är 10. Betecknas som lg.

log 10 100 = 2 eftersom 102 = 100

naturlig logaritm- även den vanliga logaritmen logaritmen, men med basen e (e \u003d 2,71828 ... - ett irrationellt tal). Kallas ln.

Det är önskvärt att komma ihåg formlerna eller egenskaperna hos logaritmer, eftersom vi kommer att behöva dem senare när vi löser logaritmer, logaritmiska ekvationer och olikheter. Låt oss gå igenom varje formel igen med exempel.

Grundläggande logaritmisk identitet
a log a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Produktens logaritm är lika med summan av logaritmerna
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
Logaritmen för kvoten är lika med skillnaden mellan logaritmerna
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
Egenskaper för graden av ett logaritmerbart tal och basen för logaritmen
Exponenten för ett logaritmtal log a b m = mlog a b

Basexponent logaritmlogg a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

om m = n får vi log a n b n = log a b

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
Övergång till en ny stiftelse
log a b = log c b / log c a,
om c = b får vi log b b = 1

sedan log a b = 1/log b a

log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Som du kan se är logaritmformlerna inte så komplicerade som de verkar. Nu, efter att ha övervägt exempel på att lösa logaritmer, kan vi gå vidare till logaritmiska ekvationer. Vi kommer att överväga exempel på att lösa logaritmiska ekvationer mer i detalj i artikeln: "". Missa inte!

Om du fortfarande har frågor om lösningen, skriv dem i kommentarerna till artikeln.

Obs: beslutade att få en utbildning av en annan klass studera utomlands som ett alternativ.

Fokus för denna artikel är logaritm. Här kommer vi att ge definitionen av logaritmen, visa den accepterade notationen, ge exempel på logaritmer och prata om naturliga och decimala logaritmer. Efter det, överväg den grundläggande logaritmiska identiteten.

Sidnavigering.

Definition av logaritm

Konceptet med en logaritm uppstår när man löser ett problem i i viss mening invers, när du behöver hitta exponenten från ett känt värde på graden och en känd bas.

Men nog med ingressen, det är dags att svara på frågan "vad är en logaritm"? Låt oss ge en lämplig definition.

Definition.

Logaritm av b till bas a, där a>0 , a≠1 och b>0 är exponenten till vilken du måste höja talet a för att få b som ett resultat.

I detta skede noterar vi att det talade ordet "logaritm" omedelbart bör väcka två efterföljande frågor: "vilket nummer" och "på vilken grund". Med andra ord, det finns helt enkelt ingen logaritm, utan det finns bara logaritmen för ett tal i någon bas.

Vi kommer omedelbart att presentera logaritmnotation: logaritmen för talet b till basen a betecknas vanligtvis som log a b . Logaritmen för talet b till basen e och logaritmen till basen 10 har sina egna specialbeteckningar lnb respektive lgb, det vill säga de skriver inte log e b , utan lnb , och inte log 10 b , utan lgb .

Nu kan du ta med: .
Och skivorna inte vettigt, eftersom det i den första av dem finns ett negativt tal under logaritmens tecken, i det andra - ett negativt tal i basen, och i det tredje - både ett negativt tal under logaritmens tecken och en enhet i basen.

Låt oss nu prata om regler för att läsa logaritmer. Ingångsloggen a b läses som "logaritm av b till bas a". Till exempel är log 2 3 logaritmen av tre till bas 2, och är logaritmen av två komma två tredjedelar till bas Roten ur av fem. Logaritmen till basen e kallas naturlig logaritm, och notationen lnb läses som "den naturliga logaritmen av b". Till exempel är ln7 den naturliga logaritmen av sju, och vi kommer att läsa den som den naturliga logaritmen för pi. Logaritmen till bas 10 har också ett speciellt namn - decimallogaritm, och notationen lgb läses som "decimal logaritm b". Till exempel är lg1 decimallogaritmen för ett och lg2.75 är decimallogaritmen för två komma sjuttiofem hundradelar.

Det är värt att uppehålla sig separat vid villkoren a>0, a≠1 och b>0, under vilka definitionen av logaritmen ges. Låt oss förklara var dessa restriktioner kommer ifrån. För att göra detta kommer vi att få hjälp av en likhet av formen, kallad , som direkt följer av definitionen av logaritmen ovan.

Låt oss börja med a≠1 . Eftersom ett är lika med ett till vilken potens som helst, så kan likheten bara vara sann för b=1, men log 1 1 kan vara vilket reellt tal som helst. För att undvika denna oklarhet accepteras a≠1.

Låt oss underbygga lämpligheten av villkoret a>0 . Med a=0, enligt definitionen av logaritmen, skulle vi ha likhet , vilket bara är möjligt med b=0 . Men då kan log 0 0 vara vilket reellt tal som helst som inte är noll, eftersom noll till vilken potens som inte är noll är noll. Denna tvetydighet kan undvikas med villkoret a≠0 . Och för en<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Slutligen följer villkoret b>0 av olikheten a>0 , eftersom , och värdet av graden med en positiv bas a alltid är positivt.

Som avslutning på detta stycke säger vi att logaritmen med tonande definition gör att du omedelbart kan indikera värdet på logaritmen när talet under logaritmens tecken är en viss grad av bas. Faktum är att definitionen av logaritmen tillåter oss att hävda att om b=a p så är logaritmen för talet b till basen a lika med p . Det vill säga att likhetsloggen a a p =p är sann. Till exempel vet vi att 2 3 =8 , sedan log 2 8=3 . Vi kommer att prata mer om detta i artikeln.

Populär i kategorin: