Konstruera en graf över funktionen med hjälp av studiens allmänna schema. Full funktionsutforskning och plottning

För full studie funktion och konstruera dess graf, rekommenderas att använda följande schema:

1) hitta omfattningen av funktionen;

2) hitta diskontinuitetspunkterna för funktionen och vertikala asymptoter (om de finns);

3) undersöka funktionens beteende i oändligheten, hitta de horisontella och sneda asymptoterna;

4) undersöka funktionen för jämnhet (odditet) och för periodicitet (för trigonometriska funktioner);

5) hitta extrema och intervall av monotoni för funktionen;

6) bestämma intervallen för konvexitet och böjningspunkter;

7) hitta skärningspunkter med koordinataxlarna, om möjligt, och några ytterligare punkter som förfinar grafen.

Studiet av funktionen utförs samtidigt med konstruktionen av dess graf.

Exempel 9 Utforska funktionen och bygg en graf.

1. Definitionsdomän: ;

2. Funktionen bryter vid punkter
,
;

Vi undersöker funktionen för förekomsten av vertikala asymptoter.

;
,
─ vertikal asymptot.

;
,
─ vertikal asymptot.

3. Vi undersöker funktionen för förekomsten av sneda och horisontella asymptoter.

Hetero
─ sned asymptot, om
,
.

,
.

Hetero
─ horisontell asymptot.

4. Funktionen är även eftersom
. Funktionens paritet indikerar grafens symmetri med avseende på y-axeln.

5. Hitta intervallen för monotoni och extrema för funktionen.

Låt oss hitta de kritiska punkterna, dvs. punkter där derivatan är 0 eller inte existerar:
;
. Vi har tre poäng
;

. Dessa punkter delar upp hela den reella axeln i fyra intervall. Låt oss definiera tecknen på var och en av dem.

På intervallen (-∞; -1) och (-1; 0) ökar funktionen, på intervallen (0; 1) och (1; +∞) minskar den. När du passerar en punkt
derivatan ändrar tecken från plus till minus, därför har funktionen vid denna tidpunkt ett maximum
.

6. Låt oss hitta konvexitetsintervall, böjningspunkter.

Låt oss hitta punkterna där är 0 eller existerar inte.

har inga riktiga rötter.
,
,

poäng
Och
dela upp den reella axeln i tre intervall. Låt oss definiera tecknet vid varje intervall.

Alltså kurvan på intervallerna
Och
konvex nedåt, på intervallet (-1;1) konvex uppåt; det finns inga böjningspunkter, eftersom funktionen vid punkterna
Och
inte bestämd.

7. Hitta skärningspunkterna med axlarna.

med axel
grafen för funktionen skär i punkten (0; -1) och med axeln
grafen skär inte, eftersom täljaren för denna funktion har inga riktiga rötter.

Grafen för den givna funktionen visas i figur 1.

Figur 1 ─ Graf över funktionen

Tillämpning av begreppet derivat inom ekonomi. Funktions elasticitet

För att studera ekonomiska processer och lösa andra tillämpade problem används ofta begreppet funktionselasticitet.

Definition. Funktions elasticitet
kallas gränsen för förhållandet mellan funktionens relativa ökning till variabelns relativa ökning på
, . (VII)

En funktions elasticitet visar ungefär hur många procent funktionen kommer att förändras
när du ändrar den oberoende variabeln med 1 %.

En funktions elasticitet används i analysen av efterfrågan och konsumtion. Om efterfrågans elasticitet (i absolut värde)
, då anses efterfrågan vara elastisk om
─ neutral om
─ oelastisk med avseende på pris (eller inkomst).

Exempel 10 Beräkna elasticiteten för en funktion
och hitta värdet på elasticitetsindexet för = 3.

Lösning: enligt formeln (VII) funktionens elasticitet:

Låt x=3 då
Det betyder att om den oberoende variabeln ökar med 1 % så kommer värdet på den beroende variabeln att öka med 1,42 %.

Exempel 11 Låt efterfrågan fungera angående priset har formen
, Var ─ konstant koefficient. Hitta värdet på efterfrågefunktionens elasticitetsindex vid priset x = 3 den. enheter

Lösning: beräkna elasticiteten för efterfrågefunktionen med formeln (VII)

Förutsatt
monetära enheter, vi får
. Det betyder att till priset
monetär enhet en prisökning på 1 % kommer att orsaka en minskning av efterfrågan med 6 %, d.v.s. efterfrågan är elastisk.

Idag inbjuder vi dig att utforska och rita en funktionsgraf med oss. Efter en noggrann studie av den här artikeln kommer du inte behöva svettas på länge för att slutföra denna typ av uppgift. Det är inte lätt att utforska och bygga en graf över en funktion, arbetet är omfattande och kräver maximal uppmärksamhet och noggrannhet i beräkningar. För att underlätta uppfattningen av materialet kommer vi gradvis att studera samma funktion, förklara alla våra handlingar och beräkningar. Välkommen till matematikens fantastiska och fascinerande värld! Gå!

Domän

För att utforska och rita en funktion behöver du känna till några definitioner. En funktion är ett av de grundläggande (grundläggande) begreppen i matematik. Det återspeglar beroendet mellan flera variabler (två, tre eller fler) med förändringar. Funktionen visar också beroendet av uppsättningar.

Föreställ dig att vi har två variabler som har ett visst intervall av förändring. Så y är en funktion av x, förutsatt att varje värde av den andra variabeln motsvarar ett värde av den andra. I det här fallet är variabeln y beroende, och den kallas en funktion. Det är vanligt att säga att variablerna x och y finns i För att göra detta beroende mer tydligt byggs en graf över funktionen. Vad är en funktionsgraf? Detta är en uppsättning punkter på koordinatplanet, där varje värde på x motsvarar ett värde på y. Grafer kan vara olika - en rak linje, hyperbel, parabel, sinusform och så vidare.

En funktionsgraf kan inte plottas utan utforskning. Idag ska vi lära oss hur man gör forskning och ritar en funktionsgraf. Det är mycket viktigt att göra anteckningar under studietiden. Så det blir mycket lättare att klara av uppgiften. Den mest bekväma studieplanen:

1. Domän.
2. Kontinuitet.
3. Jämn eller udda.
4. Periodicitet.
5. Asymptoter.
6. Nollor.
7. Beständighet.
8. Stigande och fallande.
9. Extremer.
10. Konvexitet och konkavitet.

Låt oss börja med den första punkten. Låt oss hitta definitionsdomänen, det vill säga på vilka intervall vår funktion finns: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). I vårt fall finns funktionen för alla värden på x, det vill säga definitionsdomänen är R. Detta kan skrivas som xОR.

Kontinuitet

Nu ska vi utforska diskontinuitetsfunktionen. Inom matematiken dök termen "kontinuitet" upp som ett resultat av studiet av rörelselagarna. Vad är oändligt? Utrymme, tid, vissa beroenden (ett exempel är beroendet av variablerna S och t i rörelseproblem), temperaturen på det uppvärmda föremålet (vatten, stekpanna, termometer och så vidare), en kontinuerlig linje (det vill säga en som kan ritas utan att ta bort det från pennan).

En graf anses vara kontinuerlig om den inte går sönder någon gång. En av de mest goda exempel en sådan graf är en sinusvåg, som du kan se på bilden i det här avsnittet. Funktionen är kontinuerlig vid någon punkt x0 om ett antal villkor är uppfyllda:

• en funktion definieras vid en given punkt;
• höger och vänster gränser vid en punkt är lika;
• gränsen är lika med värdet på funktionen i punkten x0.

Om minst ett villkor inte är uppfyllt, sägs funktionen gå sönder. Och punkterna där funktionen går sönder kallas brytpunkter. Ett exempel på en funktion som kommer att "bryta" när den visas grafiskt är: y=(x+4)/(x-3). Dessutom finns inte y i punkten x = 3 (eftersom det är omöjligt att dividera med noll).

I funktionen som vi studerar (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) visade sig allt vara enkelt, eftersom grafen kommer att vara kontinuerlig.

Jämnt, udda

Undersök nu funktionen för paritet. Låt oss börja med lite teori. En jämn funktion är en funktion som uppfyller villkoret f (-x) = f (x) för vilket värde som helst av variabeln x (från värdeintervallet). Exempel är:

• modul x (grafen ser ut som en jackdaw, halveringslinjen för grafens första och andra fjärdedel);
• x i kvadrat (parabel);
• cosinus x (cosinusvåg).

Observera att alla dessa grafer är symmetriska när de ses med avseende på y-axeln.

Vad kallas då en udda funktion? Det här är de funktioner som uppfyller villkoret: f (-x) \u003d - f (x) för vilket värde som helst av variabeln x. Exempel:

• hyperbel;
• kubisk parabel;
• sinusoid;
• tangent och så vidare.

Observera att dessa funktioner är symmetriska kring punkten (0:0), det vill säga ursprunget. Baserat på vad som sades i det här avsnittet av artikeln måste en jämn och udda funktion ha egenskapen: x tillhör definitionsmängden och -x också.

Låt oss undersöka funktionen för paritet. Vi kan se att hon inte passar in på någon av beskrivningarna. Därför är vår funktion varken jämn eller udda.

Asymptoter

Låt oss börja med en definition. En asymptot är en kurva som är så nära grafen som möjligt, det vill säga att avståndet från någon punkt tenderar mot noll. Det finns tre typer av asymptoter:

• vertikal, det vill säga parallellt med y-axeln;
• horisontell, d.v.s. parallell med x-axeln;
• sned.

När det gäller den första typen bör dessa linjer letas efter på några punkter:

• glipa;
• ändarna av domänen.

I vårt fall är funktionen kontinuerlig, och definitionsdomänen är R. Därför finns det inga vertikala asymptoter.

Grafen för en funktion har en horisontell asymptot, som uppfyller följande krav: om x tenderar till oändlighet eller minus oändlighet, och gränsen är lika med ett visst tal (till exempel a). I det här fallet y=a är den horisontella asymptoten. Det finns inga horisontella asymptoter i funktionen vi studerar.

En sned asymptot existerar endast om två villkor är uppfyllda:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Då kan den hittas med formeln: y=kx+b. Återigen, i vårt fall finns det inga sneda asymptoter.

Funktion nollor

Nästa steg är att undersöka grafen för funktionen för nollor. Det är också mycket viktigt att notera att uppgiften förknippad med att hitta nollorna för en funktion inte bara förekommer i studien och konstruktionen av en funktionsgraf, utan också som en självständig uppgift och som ett sätt att lösa ojämlikheter. Du kan behöva hitta nollorna för en funktion i en graf eller använda matematisk notation.

Att hitta dessa värden hjälper dig att rita funktionen mer exakt. Om att tala enkelt språk, då är funktionens nolla värdet på variabeln x, där y=0. Om du letar efter nollorna för en funktion i en graf, bör du vara uppmärksam på punkterna där grafen skär x-axeln.

För att hitta nollorna för funktionen måste du lösa följande ekvation: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Efter att ha gjort de nödvändiga beräkningarna får vi följande svar:

teckenkonstans

Nästa steg i studien och konstruktionen av en funktion (grafik) är att hitta intervall för teckenkonstans. Det betyder att vi måste bestämma på vilka intervall funktionen tar ett positivt värde, och på vilka intervall den tar ett negativt värde. Nollorna i funktionerna i föregående avsnitt hjälper oss att göra detta. Så vi måste bygga en rak linje (separat från grafen) och fördela funktionens nollor längs den i rätt ordning från minsta till största. Nu måste du bestämma vilket av de resulterande intervallen som har ett "+"-tecken och vilket som har ett "-".

I vårt fall tar funktionen ett positivt värde på intervallen:

• från 1 till 4;
• från 9 till oändligt.

Negativ betydelse:

• från minus oändlighet till 1;
• från 4 till 9.

Detta är ganska lätt att avgöra. Ersätt valfritt tal från intervallet i funktionen och se vilket tecken svaret är (minus eller plus).

Funktion stigande och minskande

För att utforska och bygga en funktion behöver vi veta var grafen kommer att öka (gå upp på Oy), och var den kommer att falla (krypa ner längs y-axeln).

Funktionen ökar endast om det större värdet av variabeln x motsvarar det större värdet av y. Det vill säga, x2 är större än x1 och f(x2) är större än f(x1). Och vi observerar ett helt motsatt fenomen i en minskande funktion (ju fler x, desto mindre y). För att bestämma intervallen för ökning och minskning måste du hitta följande:

• omfattning (vi har det redan);
• derivata (i vårt fall: 1/3(3x^2-28x+49);
• lös ekvationen 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Efter beräkningar får vi resultatet:

Vi får: funktionen ökar på intervallen från minus oändlighet till 7/3 och från 7 till oändlighet, och minskar i intervallet från 7/3 till 7.

Extremer

Den undersökta funktionen y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) är kontinuerlig och existerar för alla värden av variabeln x. Extremumpunkten visar max och minimum för denna funktion. I vårt fall finns det inga, vilket avsevärt förenklar bygguppgiften. Annars hittas de också med derivatfunktionen. Efter att ha hittat, glöm inte att markera dem på diagrammet.

Konvexitet och konkavitet

Vi fortsätter att studera funktionen y(x). Nu måste vi kontrollera det för konvexitet och konkavitet. Definitionerna av dessa begrepp är ganska svåra att uppfatta, det är bättre att analysera allt med exempel. För testet: en funktion är konvex om den är en icke-minskande funktion. Håller med, detta är obegripligt!

Vi måste hitta derivatan av andra ordningens funktion. Vi får: y=1/3(6x-28). Nu sätter vi lika höger sida med noll och löser ekvationen. Svar: x=14/3. Vi har hittat böjningspunkten, det vill säga platsen där grafen ändras från konvex till konkav eller vice versa. På intervallet från minus oändlighet till 14/3 är funktionen konvex, och från 14/3 till plus oändlighet är den konkav. Det är också mycket viktigt att notera att böjningspunkten på diagrammet ska vara jämn och mjuk, nej skarpa hörn bör inte vara närvarande.

Definition av ytterligare poäng

Vår uppgift är att utforska och rita funktionsgrafen. Vi har genomfört studien, det blir inte svårt att plotta funktionen nu. För en mer exakt och detaljerad återgivning av en kurva eller en rak linje på koordinatplanet kan du hitta flera hjälppunkter. Det är ganska lätt att räkna ut dem. Till exempel tar vi x=3, löser den resulterande ekvationen och finner y=4. Eller x=5 och y=-5 och så vidare. Du kan ta så många ytterligare poäng som du behöver för att bygga. Minst 3-5 av dem finns.

Plotter

Vi behövde undersöka funktionen (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Alla nödvändiga markeringar under beräkningarna gjordes på koordinatplanet. Allt som återstår att göra är att bygga en graf, det vill säga koppla alla punkter till varandra. Att koppla ihop prickarna är smidigt och exakt, det här är en fråga om skicklighet - lite övning och ditt schema kommer att vara perfekt.

Instruktion

Hitta funktionens omfattning. Till exempel är funktionen sin(x) definierad på hela intervallet från -∞ till +∞, och funktionen 1/x definieras från -∞ till +∞, förutom punkten x = 0.

Definiera områden med kontinuitet och brytpunkter. Vanligtvis är en funktion kontinuerlig i samma domän där den är definierad. För att upptäcka diskontinuiteter måste du beräkna när argumentet närmar sig isolerade punkter inom definitionsdomänen. Till exempel tenderar funktionen 1/x till oändlighet när x→0+ och till minus oändlighet när x→0-. Detta betyder att den vid punkten x = 0 har en diskontinuitet av det andra slaget.
Om gränserna vid diskontinuitetspunkten är ändliga men inte lika, så är detta en diskontinuitet av det första slaget. Om de är lika anses funktionen vara kontinuerlig, även om den inte är definierad i en isolerad punkt.

Hitta eventuella vertikala asymptoter. Beräkningarna från föregående steg kommer att hjälpa dig här, eftersom den vertikala asymptoten nästan alltid är vid diskontinuitetspunkten för det andra slaget. Ibland är det dock inte enskilda punkter som utesluts från definitionsdomänen, utan hela punktintervall, och då kan de vertikala asymptoterna placeras vid kanterna av dessa intervall.

Kontrollera om funktionen har speciella egenskaper: jämn, udda och periodisk.
Funktionen blir även om för valfritt x i domänen f(x) = f(-x). Till exempel är cos(x) och x^2 jämna funktioner.

Periodicitet är en egenskap som säger att det finns ett visst tal T som kallas period, som för valfri x f(x) = f(x + T). Till exempel alla större trigonometriska funktioner(sinus, cosinus, tangent) - periodisk.

Hitta poäng. För att göra detta, beräkna derivatan av den givna funktionen och hitta de x-värden där den försvinner. Till exempel har funktionen f(x) = x^3 + 9x^2 -15 en derivata g(x) = 3x^2 + 18x som försvinner vid x = 0 och x = -6.

För att bestämma vilka extrema punkter som är maxima och vilka som är minima, spåra förändringen i derivatans tecken i de hittade nollorna. g(x) ändrar tecken från plus vid x = -6 och tillbaka från minus till plus vid x = 0. Därför har funktionen f(x) ett minimum vid den första punkten och ett minimum vid den andra.

Således har du också funnit områden med monotonitet: f(x) ökar monotont i intervallet -∞;-6, minskar monotont på -6;0 och ökar igen på 0;+∞.

Hitta andraderivatan. Dess rötter kommer att visa var grafen för en given funktion kommer att vara konvex och var den kommer att vara konkav. Till exempel kommer andraderivatan av funktionen f(x) att vara h(x) = 6x + 18. Den försvinner vid x = -3 och ändrar dess tecken från minus till plus. Därför kommer grafen f (x) före denna punkt att vara konvex, efter den - konkav, och denna punkt i sig kommer att vara en böjningspunkt.

En funktion kan ha andra asymptoter, förutom vertikala, men bara om dess definitionsdomän inkluderar . För att hitta dem, beräkna gränsen för f(x) när x→∞ eller x→-∞. Om den är finit har du hittat den horisontella asymptoten.

Den sneda asymptoten är en rät linje av formen kx + b. För att hitta k, beräkna gränsen för f(x)/x som x→∞. För att hitta b - gräns (f(x) – kx) med samma x→∞.

Rita funktionen på den beräknade datan. Märk eventuella asymptoter. Markera extremumpunkterna och funktionsvärdena i dem. För större noggrannhet i grafen, beräkna funktionsvärdena vid flera mellanliggande punkter. Forskningen avslutad.

En av de viktigaste uppgifterna differentialkalkylär utvecklingen vanliga exempel studier av funktioners beteende.

Om funktionen y \u003d f (x) är kontinuerlig på intervallet och dess derivata är positiv eller lika med 0 på intervallet (a, b), ökar y \u003d f (x) med (f "(x) 0). Om funktionen y \u003d f (x) är kontinuerlig på segmentet och dess derivata är negativ eller lika med 0 på intervallet (a,b), minskar y=f(x) med (f"( x)0)

De intervall där funktionen inte minskar eller ökar kallas intervall av monotoni för funktionen. Arten av monotoniteten hos en funktion kan endast ändras vid de punkter i dess definitionsdomän, där den första derivatans tecken ändras. Punkterna där den första derivatan av en funktion försvinner eller bryts kallas kritiska punkter.

Sats 1 (1:a tillräckliga villkoret för existensen av ett extremum).

Låt funktionen y=f(x) definieras vid punkten x 0 och låt det finnas en grannskap δ>0 så att funktionen är kontinuerlig på segmentet , differentierbar på intervallet (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ), och dess derivata behåller ett konstant tecken på vart och ett av dessa intervall. Om sedan på x 0 -δ, x 0) och (x 0, x 0 + δ) tecknen för derivatan är olika, så är x 0 en extrempunkt, och om de matchar är x 0 inte en extrempunkt . Dessutom, om, när den passerar genom punkten x0, derivatan ändrar tecken från plus till minus (till vänster om x 0 utförs f "(x)> 0, då är x 0 maxpunkten; om derivatan ändrar tecken från minus till plus (till höger om x 0 utförs av f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Maximi- och minimumpunkterna kallas för funktionens extrema punkter och funktionens maxima och minima kallas dess extrema värden.

Sats 2 (nödvändigt kriterium för ett lokalt extremum).

Om funktionen y=f(x) har ett extremum vid nuvarande x=x 0, så existerar inte antingen f'(x 0)=0 eller f'(x 0).
Vid ytterpunkterna för en differentierbar funktion är tangenten till dess graf parallell med Ox-axeln.

Algoritm för att studera en funktion för ett extremum:

1) Hitta derivatan av funktionen.
2) Hitta kritiska punkter, d.v.s. punkter där funktionen är kontinuerlig och derivatan är noll eller inte existerar.
3) Betrakta grannskapet för var och en av punkterna och undersök tecknet för derivatan till vänster och höger om denna punkt.
4) Bestäm koordinaterna för extrempunkterna, för detta värde av de kritiska punkterna, ersätt med denna funktion. Använd tillräckliga extrema förhållanden, dra lämpliga slutsatser.

Exempel 18. Undersök funktionen y=x 3 -9x 2 +24x

Lösning.
1) y"=3x2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Genom att likställa derivatan med noll finner vi x 1 =2, x 2 =4. I detta fall definieras derivatan överallt; därför, förutom de två hittade punkterna, finns det inga andra kritiska punkter.
3) Tecknet för derivatan y "=3(x-2)(x-4) ändras beroende på intervallet som visas i figur 1. När man passerar genom punkten x=2 ändrar derivatan tecken från plus till minus, och när man passerar genom punkten x=4 - från minus till plus.
4) Vid punkten x=2 har funktionen ett maximum y max =20, och i punkten x=4 - ett minimum y min =16.

Sats 3. (2:a tillräckliga villkoret för existensen av ett extremum).

Låt f "(x 0) och f "" (x 0) existera vid punkten x 0. Om f "" (x 0)> 0, då är x 0 minimipunkten, och om f "" (x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

På segmentet kan funktionen y \u003d f (x) nå det minsta (minst) eller största (högst) värdet antingen vid de kritiska punkterna för funktionen som ligger i intervallet (a; b), eller i ändarna av segmentet.

Algoritmen för att hitta de största och minsta värdena av en kontinuerlig funktion y=f(x) på segmentet:

1) Hitta f "(x).
2) Hitta de punkter där f "(x) = 0 eller f" (x) - inte finns, och välj från dem de som ligger inuti segmentet.
3) Beräkna värdet på funktionen y \u003d f (x) vid punkterna som erhålls i punkt 2), såväl som i ändarna av segmentet och välj den största och minsta av dem: de är respektive störst ( för de största) och de minsta (för de minsta) funktionsvärdena på intervallet .

Exempel 19. Hitta det största värdet av en kontinuerlig funktion y=x 3 -3x 2 -45+225 på segmentet .

1) Vi har y "=3x 2 -6x-45 på segmentet
2) Derivatan y" finns för alla x. Låt oss hitta punkterna där y"=0; vi får:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Beräkna värdet på funktionen i punkterna x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Endast punkten x=5 hör till segmentet. Det största av de funna värdena för funktionen är 225, och det minsta är talet 50. Så vid max = 225, vid max = 50.

Utredning av en funktion om konvexitet

Figuren visar graferna för två funktioner. Den första av dem vänds med en utbuktning uppåt, den andra - med en utbuktning nedåt.

Funktionen y=f(x) är kontinuerlig på segmentet och differentierbar i intervallet (a;b), kallas konvex upp (ner) på detta segment, om dess graf för axb inte ligger högre (inte lägre) än tangenten dras vid vilken punkt som helst M 0 (x 0 ;f(x 0)), där axb.

Sats 4. Låt funktionen y=f(x) ha en andraderivata vid valfri inre punkt x i segmentet och vara kontinuerlig i ändarna av detta segment. Om sedan olikheten f""(x)0 är uppfylld på intervallet (a;b), så är funktionen nedåtkonvex på segmentet ; om olikheten f""(x)0 är uppfylld på intervallet (а;b), så är funktionen konvex uppåt på .

Sats 5. Om funktionen y=f(x) har en andraderivata på intervallet (a;b) och om den ändrar tecken när den passerar genom punkten x 0 , så är M(x 0 ;f(x 0)) en böjningspunkt.

Regel för att hitta böjningspunkter:

1) Hitta punkter där f""(x) inte finns eller försvinner.
2) Undersök tecknet f""(x) till vänster och höger om varje punkt som hittas i det första steget.
3) Dra en slutsats utifrån sats 4.

Exempel 20. Hitta extrema punkter och brytpunkter för funktionsgrafen y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Vi har f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Uppenbarligen är f"(x)=0 för x 1 =0, x 2 =1. Derivatan, när den passerar genom punkten x=0, ändrar tecken från minus till plus, och när den passerar genom punkten x=1, ändrar den inte tecken. Detta betyder att x=0 är minimipunkten (y min =12), och det finns inget extremum vid punkten x=1. Därefter hittar vi . Den andra derivatan försvinner vid punkterna x 1 =1, x 2 =1/3. Andraderivatans tecken ändras enligt följande: På strålen (-∞;) har vi f""(x)>0, på intervallet (;1) har vi f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Därför är x= böjningspunkten för funktionsgrafen (övergång från konvexitet ner till konvexitet upp) och x=1 är också en böjningspunkt (övergång från konvexitet upp till konvexitet ned). Om x=, då y= ; om, då x=1, y=13.

En algoritm för att hitta asymptoten i en graf

I. Om y=f(x) som x → a , så är x=a en vertikal asymptot.
II. Om y=f(x) som x → ∞ eller x → -∞ så är y=A den horisontella asymptoten.
III. För att hitta den sneda asymptoten använder vi följande algoritm:
1) Beräkna . Om gränsen finns och är lika med b, så är y=b den horisontella asymptoten; om , gå sedan till det andra steget.
2) Beräkna . Om denna gräns inte finns, så finns det ingen asymptot; om det finns och är lika med k, gå sedan till det tredje steget.
3) Beräkna . Om denna gräns inte finns, så finns det ingen asymptot; om det finns och är lika med b, gå sedan till det fjärde steget.
4) Skriv ner ekvationen för den sneda asymptoten y=kx+b.

Exempel 21: Hitta en asymptot för en funktion

1)
2)
3)
4) Den sneda asymptotekvationen har formen

Schemat för studiet av funktionen och konstruktionen av dess graf

I. Hitta funktionens domän.
II. Hitta skärningspunkterna för funktionens graf med koordinataxlarna.
III. Hitta asymptoter.
IV. Hitta punkter av möjliga extremum.
V. Hitta kritiska punkter.
VI. Med hjälp av hjälpritningen, undersök tecknet för första och andra derivatan. Bestäm områdena för ökning och minskning av funktionen, hitta riktningen för grafens konvexitet, extrema punkter och inflexionspunkter.
VII. Bygg en graf med hänsyn till studien som utfördes i punkterna 1-6.

Exempel 22: Rita en funktionsgraf enligt ovanstående schema

Lösning.
I. Funktionens domän är mängden av alla reella tal, förutom x=1.
II. Eftersom ekvationen x 2 +1=0 inte har reella rötter, så har grafen för funktionen inte skärningspunkter med Ox-axeln, utan skär Oy-axeln i punkten (0; -1).
III. Låt oss klargöra frågan om förekomsten av asymptoter. Vi undersöker funktionens beteende nära diskontinuitetspunkten x=1. Eftersom y → ∞ för x → -∞, y → +∞ för x → 1+, så är linjen x=1 en vertikal asymptot på grafen för funktionen.
Om x → +∞(x → -∞), då y → +∞(y → -∞); därför har grafen ingen horisontell asymptot. Vidare, från förekomsten av gränser

När vi löser ekvationen x 2 -2x-1=0 får vi två punkter av ett möjligt extremum:
x 1 =1-√2 och x 2 =1+√2

V. För att hitta de kritiska punkterna, beräknar vi den andra derivatan:

Eftersom f""(x) inte försvinner finns det inga kritiska punkter.
VI. Vi undersöker tecknet för första och andra derivatan. Möjliga extrempunkter att beakta: x 1 =1-√2 och x 2 =1+√2, dela upp funktionens existensarea i intervall (-∞;1-√2),(1-√2) ;1+√2) och (1+√2;+∞).

I vart och ett av dessa intervall behåller derivatan sitt tecken: i det första - plus, i det andra - minus, i det tredje - plus. Teckensekvensen för den första derivatan kommer att skrivas enligt följande: +, -, +.
Vi får att funktionen på (-∞;1-√2) ökar, på (1-√2;1+√2) minskar den och på (1+√2;+∞) ökar den igen. Extremumpunkter: maximum vid x=1-√2, dessutom f(1-√2)=2-2√2 minimum vid x=1+√2, dessutom f(1+√2)=2+2√2. På (-∞;1) är grafen konvex uppåt och på (1;+∞) - nedåt.
VII Låt oss göra en tabell över de erhållna värdena

VIII Baserat på erhållna data bygger vi en skiss av grafen för funktionen

Referenspunkterna i studiet av funktioner och konstruktionen av deras grafer är karakteristiska punkter - punkter med diskontinuitet, extremum, böjning, skärning med koordinataxlarna. Med hjälp av differentialkalkyl är det möjligt att fastställa de karakteristiska egenskaperna för förändringen i funktioner: ökning och minskning, maxima och minima, riktningen för grafens konvexitet och konkavitet, närvaron av asymptoter.

En skiss av funktionsgrafen kan (och bör) skissas efter att man har hittat asymptoter och extrema punkter, och det är bekvämt att fylla i sammanfattningstabellen för studien av funktionen under studiens gång.

Vanligtvis används följande schema för funktionsforskning.

1.Hitta domänen, kontinuitetsintervallen och brytpunkterna för en funktion.

2.Undersök funktionen för jämn eller udda (axiell eller central symmetri i grafen.

3.Hitta asymptoter (vertikal, horisontell eller sned).

4.Hitta och undersök intervallen för ökning och minskning av funktionen, dess extrema punkter.

5.Hitta intervallen för konvexitet och konkavitet för kurvan, dess böjningspunkter.

6.Hitta skärningspunkterna för kurvan med koordinataxlarna, om de finns.

7.Sammanställ en sammanfattande tabell över studien.

8.Bygg en graf, med hänsyn till studien av funktionen, utförd enligt ovanstående punkter.

Exempel. Utforska funktion

och plotta det.

7. Låt oss göra en sammanfattande tabell över studien av funktionen, där vi kommer att ange alla karakteristiska punkter och intervallen mellan dem. Med tanke på funktionens paritet får vi följande tabell: