บ้าน › แชสซี › ความขัดแย้งของ Monty Hall คณิตศาสตร์ที่ไม่ถูกต้องที่สุดเท่าที่เคยมีมา

ความขัดแย้งของ Monty Hall คณิตศาสตร์ที่ไม่ถูกต้องที่สุดเท่าที่เคยมีมา

การตัดสินใจที่มองแวบแรกนั้นขัดกับสามัญสำนึก

ยูทูบ สารานุกรม

1 / 5

ปัญหานี้กำหนดเป็นคำอธิบายของเกมตามเกมโทรทัศน์ของอเมริกา "Let's Make a Deal" และตั้งชื่อตามโฮสต์ของรายการนี้ การกำหนดปัญหานี้ที่พบมากที่สุดตีพิมพ์ในปี 2533 ในวารสาร นิตยสารพาเหรด, ฟังดูเหมือน:

ลองนึกภาพว่าคุณได้มีส่วนร่วมในเกมที่คุณต้องเลือกหนึ่งในสามประตู หลังประตูบานหนึ่งเป็นรถ อีกสองประตูเป็นแพะ คุณเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง เช่น หมายเลข 1 หลังจากนั้นเจ้าของที่พักซึ่งรู้ว่ารถอยู่ที่ไหนและแพะอยู่ที่ไหน เปิดประตูบานหนึ่งที่เหลือ เช่น หมายเลข 3 ซึ่งด้านหลังมีแพะอยู่ หลังจากนั้นเขาจะถามคุณ - คุณต้องการเปลี่ยนตัวเลือกและเลือกประตูหมายเลข 2 หรือไม่? โอกาสในการชนะรางวัลรถยนต์ของคุณจะเพิ่มขึ้นหรือไม่ หากคุณยอมรับข้อเสนอของเจ้าของที่พักและเปลี่ยนตัวเลือกของคุณ

หลังจากการตีพิมพ์ เห็นได้ชัดว่าปัญหาถูกกำหนดขึ้นอย่างไม่ถูกต้อง: ไม่ได้กำหนดเงื่อนไขทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ผู้อำนวยความสะดวกอาจทำตามกลยุทธ์ “มอนตี้นรก”: เสนอให้เปลี่ยนตัวเลือกหากผู้เล่นเลือกรถในการเคลื่อนไหวครั้งแรกเท่านั้น เห็นได้ชัดว่าการเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้นจะนำไปสู่การสูญเสียที่รับประกันในสถานการณ์ดังกล่าว (ดูด้านล่าง)

ที่นิยมมากที่สุดคือปัญหาที่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม - ผู้เข้าร่วมเกมรู้กฎต่อไปนี้ล่วงหน้า:

รถมีแนวโน้มที่จะถูกวางไว้ด้านหลังประตูใดประตูหนึ่งจากสามบานเท่าๆ กัน
ไม่ว่าในกรณีใด เจ้าภาพมีหน้าที่ต้องเปิดประตูพร้อมกับแพะ (แต่ไม่ใช่ตัวที่ผู้เล่นเลือก) และเสนอให้ผู้เล่นเปลี่ยนทางเลือก
ถ้าผู้นำมีทางเลือกที่จะเปิดประตูสองบาน เขาเลือกบานใดบานหนึ่งที่มีความน่าจะเป็นเท่ากัน

ข้อความต่อไปนี้กล่าวถึงปัญหา Monty Hall ในสูตรนี้

การแยกวิเคราะห์

สำหรับกลยุทธ์การชนะ สิ่งต่อไปนี้มีความสำคัญ: หากคุณเปลี่ยนทางเลือกของประตูหลังจากการกระทำของผู้นำ คุณจะชนะหากคุณเลือกประตูที่แพ้ในตอนแรก มันมีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้น 2 ⁄ 3 เนื่องจากในตอนแรกคุณสามารถเลือกประตูที่เสียได้ 2 ทางจาก 3 ทาง

แต่บ่อยครั้ง เมื่อแก้ปัญหานี้ พวกเขาโต้เถียงกันในทำนองนี้: เจ้าบ้านมักจะเอาประตูที่เสียออกหนึ่งประตูในตอนท้าย จากนั้นความน่าจะเป็นของรถที่ปรากฏขึ้นด้านหลังสองประตูที่ไม่ได้เปิดจะเท่ากับ ½ โดยไม่คำนึงถึงตัวเลือกเริ่มต้น แต่นี่ไม่เป็นความจริง: แม้ว่าจะมีตัวเลือกให้เลือกสองทาง แต่ความเป็นไปได้เหล่านี้ (โดยคำนึงถึงพื้นหลัง) นั้นไม่น่าจะเป็นไปได้เท่ากัน! นี่เป็นเรื่องจริงเพราะในตอนแรกทุกประตูมีโอกาสชนะเท่าๆ กัน แต่หลังจากนั้นมีโอกาสตกรอบต่างกัน

สำหรับคนส่วนใหญ่ ข้อสรุปนี้ขัดแย้งกับการรับรู้โดยสัญชาตญาณของสถานการณ์ และเนื่องจากความแตกต่างที่เกิดขึ้นระหว่างข้อสรุปเชิงตรรกะกับคำตอบที่ความเห็นโดยสัญชาตญาณโน้มเอียงไป จึงเรียกงานนี้ว่า ความขัดแย้งของมอนตี ฮอลล์.

สถานการณ์ที่มีประตูจะชัดเจนยิ่งขึ้นหากเราจินตนาการว่าไม่มี 3 ประตู แต่พูดว่า 1,000 และหลังจากเลือกผู้เล่นแล้วผู้นำเสนอจะลบประตูพิเศษ 998 ประตูออก 2 ประตู: ประตูที่ผู้เล่นเลือกและ อีกหนึ่ง. ดูเหมือนจะชัดเจนมากขึ้นว่าความน่าจะเป็นในการหารางวัลหลังประตูเหล่านี้แตกต่างกัน และไม่เท่ากับ ½ หากเราเปลี่ยนประตู เราจะแพ้ก็ต่อเมื่อเราเลือกประตูรางวัลก่อน ซึ่งความน่าจะเป็นคือ 1:1000 เราชนะหากตัวเลือกแรกของเราคือ ไม่ถูกต้องและความน่าจะเป็นของสิ่งนี้คือ 999 จาก 1,000 ในกรณีของ 3 ประตู ตรรกะจะถูกรักษาไว้ แต่ความน่าจะเป็นที่จะชนะเมื่อเปลี่ยนการตัดสินจะลดลงตามลำดับ กล่าวคือ 2 ⁄ 3 .

อีกวิธีในการให้เหตุผลคือการแทนที่เงื่อนไขด้วยเงื่อนไขที่เทียบเท่า ลองจินตนาการว่าแทนที่จะให้ผู้เล่นเป็นคนเลือกในตอนแรก (ให้มันเป็นประตู #1 เสมอ) แล้วเปิดประตูพร้อมกับแพะในบรรดาประตูที่เหลือ (นั่นคือ ระหว่าง #2 และ #3 เสมอ) ลองจินตนาการว่าผู้เล่น ต้องเดาประตูในการลองครั้งแรก แต่เขาได้รับแจ้งล่วงหน้าว่าอาจมีรถอยู่หลังประตูหมายเลข 1 โดยมีความน่าจะเป็นเริ่มต้น (33%) และในบรรดาประตูที่เหลือจะมีการระบุว่าเป็นประตูใด รถตามไม่ทันแน่นอน (0%) ดังนั้นประตูสุดท้ายจะคิดเป็น 67% เสมอและควรใช้กลยุทธ์ในการเลือก

พฤติกรรมผู้นำอื่น ๆ

Monty Hall Paradox เวอร์ชันคลาสสิกระบุว่าโฮสต์จะแจ้งให้ผู้เล่นเปลี่ยนประตูโดยไม่คำนึงว่าเขาจะเลือกรถหรือไม่ก็ตาม แต่พฤติกรรมที่ซับซ้อนมากขึ้นของโฮสต์ก็เป็นไปได้เช่นกัน ตารางนี้อธิบายพฤติกรรมต่างๆ โดยย่อ

พฤติกรรมของผู้นำที่เป็นไปได้
พฤติกรรมของโฮสต์	ผลลัพธ์
"Infernal Monty": เจ้าภาพเสนอให้เปลี่ยนหากประตูถูกต้อง	การเปลี่ยนแปลงจะให้แพะเสมอ
"แองเจลิค มอนตี้": เจ้าภาพเสนอให้เปลี่ยนถ้าประตูผิด	การเปลี่ยนแปลงมักจะให้รถ
"มอนตี้ผู้ไม่รู้" หรือ "มอนตี้ บุช": เจ้าภาพตกลงมาโดยไม่ได้ตั้งใจ ประตูเปิดออก และปรากฎว่าไม่มีรถอยู่ข้างหลัง กล่าวอีกนัยหนึ่งโฮสต์เองก็ไม่รู้ว่ามีอะไรอยู่เบื้องหลังประตู เปิดประตูแบบสุ่มและไม่มีรถอยู่ข้างหลังโดยบังเอิญ	การเปลี่ยนแปลงทำให้ชนะใน ½ ของกรณี นี่คือวิธีการจัดรายการ "ดีลหรือไม่มีดีล" ของอเมริกา - อย่างไรก็ตามผู้เล่นเองเปิดประตูแบบสุ่มและหากไม่มีรถอยู่ข้างหลังผู้นำเสนอจะเสนอให้เปลี่ยน
เจ้าภาพเลือกแพะตัวใดตัวหนึ่งและเปิดมันหากผู้เล่นเลือกประตูอื่น	การเปลี่ยนแปลงทำให้ชนะใน ½ ของกรณี
เจ้าบ้านเปิดเสมอแพะ หากเลือกรถไว้ แพะตัวซ้ายจะเปิดด้วยความน่าจะเป็น หน้าและถูกต้องตามความน่าจะเป็น ถาม=1−หน้า.	หากผู้นำเปิดประตูด้านซ้าย กะจะให้ชนะด้วยความน่าจะเป็น 1 1 + p (\displaystyle (\frac (1)(1+p))). ถ้าทางขวา 1 1 + q (\displaystyle (\frac (1)(1+q))). อย่างไรก็ตาม ผู้ทดลองไม่สามารถมีอิทธิพลต่อความเป็นไปได้ที่ประตูด้านขวาจะถูกเปิด - ไม่ว่าเขาจะเลือกอย่างไร สิ่งนี้จะเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น 1 + q 3 (\displaystyle (\frac (1+q)(3))).
เหมือน, หน้า=ถาม= ½ (กรณีคลาสสิก)	การเปลี่ยนแปลงทำให้ชนะด้วยความน่าจะเป็น 2 ⁄ 3 .
เหมือน, หน้า=1, ถาม= 0 ("Monty ที่ไร้พลัง" - ผู้นำเสนอที่เหนื่อยล้ายืนอยู่ที่ประตูด้านซ้ายและเปิดแพะที่อยู่ใกล้กว่า)	หากผู้นำเสนอเปิดประตูที่ถูกต้อง การเปลี่ยนแปลงจะรับประกันการชนะ ถ้าเหลือ - ความน่าจะเป็น ½
เจ้าบ้านจะเปิดแพะเสมอหากเลือกรถ และด้วยความน่าจะเป็น ½ อย่างอื่น	การเปลี่ยนแปลงทำให้ชนะด้วยความน่าจะเป็น ½
กรณีทั่วไป: เกมซ้ำหลายครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะซ่อนรถไว้ด้านหลังประตูบานหนึ่งหรืออีกบานหนึ่ง เช่นเดียวกับการเปิดประตูนี้หรือประตูนั้นโดยพลการ แต่โฮสต์รู้ว่ารถอยู่ที่ไหนและเสนอการเปลี่ยนแปลงเสมอโดยการเปิดหนึ่งใน แพะ	ความสมดุลของแนช: มันเป็นความขัดแย้งของมอนตี ฮอลล์ในรูปแบบคลาสสิกที่เป็นประโยชน์มากที่สุดต่อเจ้าภาพ (ความน่าจะเป็นที่จะชนะ 2 ⁄ 3 ). รถซ่อนอยู่หลังประตูด้วยความน่าจะเป็น ⅓; ถ้ามีตัวเลือกให้เปิดแพะตัวใดก็ได้โดยการสุ่ม
เหมือนกันแต่เจ้าบ้านอาจจะไม่เปิดประตูเลย	สมดุลแนช: เป็นประโยชน์สำหรับเจ้าบ้านที่จะไม่เปิดประตู ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ ⅓

ดูสิ่งนี้ด้วย

หมายเหตุ

Tierney, John (21 กรกฎาคม 1991), "BehindcountMontyHall"sหรือไม่? ", เดอะนิวยอร์กไทมส์, . สืบค้นเมื่อ 18 มกราคม 2551.

ในเดือนธันวาคม พ.ศ. 2506 สถานีโทรทัศน์ NBC ของอเมริกาได้ออกอากาศรายการ Let's Make a Deal (“มาทำข้อตกลงกันเถอะ!”) เป็นครั้งแรก ซึ่งผู้เข้าร่วมซึ่งเลือกจากผู้ชมในสตูดิโอต่อรองราคากันเองและกับเจ้าภาพ เกมหรือเพียงแค่เดาคำตอบสำหรับคำถาม ในตอนท้ายของการออกอากาศ ผู้เข้าร่วมสามารถเล่น "ดีลประจำวัน" ข้างหน้ามีประตูสามบานซึ่งเป็นที่รู้กันว่าด้านหลังบานหนึ่งเป็นรางวัลใหญ่ (เช่น รถยนต์) และด้านหลังอีกสองบานเป็นของกำนัลที่มีค่าน้อยกว่าหรือไร้สาระโดยสิ้นเชิง (เช่น แพะมีชีวิต) . หลังจากที่ผู้เล่นเลือกแล้ว มอนตี ฮอลล์ ผู้ดำเนินรายการได้เปิดประตูบานหนึ่งจากสองบานที่เหลือ โดยแสดงให้เห็นว่าไม่มีรางวัลอยู่เบื้องหลัง และให้ผู้เข้าร่วมดีใจที่ตนมีโอกาสชนะ

ในปี 1975 Steve Selvin นักวิทยาศาสตร์แห่ง UCLA ถามว่าจะเกิดอะไรขึ้นหากในขณะนั้นหลังจากเปิดประตูโดยไม่มีรางวัล ผู้เข้าร่วมถูกขอให้เปลี่ยนตัวเลือก โอกาสของผู้เล่นที่จะได้รับรางวัลจะเปลี่ยนไปในกรณีนี้หรือไม่ และถ้าเป็นเช่นนั้น จะเป็นไปในทิศทางใด? เขาส่งคำถามที่เกี่ยวข้องในรูปแบบของปัญหาไปยัง American Statistician (“American Statistician”) รวมถึง Monty Hall เอง ซึ่งให้คำตอบที่ค่อนข้างอยากรู้อยากเห็น แม้จะมีคำตอบนี้ (หรืออาจเป็นเพราะคำตอบนี้) ปัญหาก็กลายเป็นที่นิยมภายใต้ชื่อ "Monty Hall problem"

การกำหนดปัญหานี้ที่พบบ่อยที่สุดซึ่งตีพิมพ์ในปี 1990 ในนิตยสาร Parade มีดังนี้:

“ลองจินตนาการว่าคุณได้มีส่วนร่วมในเกมที่คุณต้องเลือกหนึ่งในสามประตู หลังประตูบานหนึ่งเป็นรถ อีกสองประตูเป็นแพะ คุณเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง เช่น หมายเลข 1 หลังจากนั้นเจ้าของที่พักซึ่งรู้ว่ารถอยู่ที่ไหนและแพะอยู่ที่ไหน เปิดประตูบานหนึ่งที่เหลือ เช่น หมายเลข 3 ซึ่งด้านหลังมีแพะอยู่ หลังจากนั้นเขาจะถามคุณว่าคุณต้องการเปลี่ยนตัวเลือกและเลือกประตูหมายเลข 2 หรือไม่ โอกาสในการชนะรถของคุณจะเพิ่มขึ้นหรือไม่หากคุณยอมรับข้อเสนอของเจ้าของที่พักและเปลี่ยนตัวเลือกของคุณ

รถมีแนวโน้มที่จะวางไว้หลังประตูทั้ง 3 ประตูพอๆ กัน
ไม่ว่าในกรณีใด เจ้าภาพมีหน้าที่ต้องเปิดประตูพร้อมกับแพะ (แต่ไม่ใช่ตัวที่ผู้เล่นเลือก) และเสนอให้ผู้เล่นเปลี่ยนทางเลือก
ถ้าผู้นำมีทางเลือกที่จะเปิดประตูสองบาน เขาเลือกบานใดบานหนึ่งที่มีความน่าจะเป็นเท่ากัน

เบาะแส

พยายามพิจารณาคนที่เลือกประตูที่แตกต่างกันในกรณีเดียวกัน (เช่น เมื่อรางวัลอยู่หลังประตูหมายเลข 1) ใครจะได้ประโยชน์จากการเปลี่ยนทางเลือก และใครจะไม่ได้?

สารละลาย

ตามที่แนะนำในคำแนะนำเครื่องมือ ให้พิจารณาผู้ที่เลือกต่างกัน สมมติว่ารางวัลอยู่หลังประตู #1 และหลังประตู #2 และ #3 เป็นแพะ สมมติว่าเรามีหกคน และแต่ละประตูถูกเลือกโดยคนสองคน และจากแต่ละคู่ก็เปลี่ยนการตัดสินใจ และอีกคู่หนึ่งไม่ได้เปลี่ยน

โปรดทราบว่าเจ้าของที่พักที่เลือกประตูหมายเลข 1 จะเปิดประตูบานใดบานหนึ่งจากสองบานตามความชอบของเขา ในขณะที่ไม่ว่าจะด้วยวิธีใดก็ตาม ผู้ที่ไม่ได้เปลี่ยนตัวเลือกจะได้รับรถ แต่เป็นคนที่เปลี่ยนตัวเลือกแรกของเขา จะยังคงอยู่โดยไม่มีรางวัล ทีนี้มาดูผู้ที่เลือกประตู #2 และ #3 เนื่องจากมีรถยนต์อยู่หลังประตูหมายเลข 1 เจ้าของที่พักจึงไม่สามารถเปิดได้ ซึ่งทำให้เขาไม่มีทางเลือก - เขาจึงเปิดประตูหมายเลข 3 และหมายเลข 2 ให้พวกเขาตามลำดับ ในเวลาเดียวกัน ผู้ที่เปลี่ยนการตัดสินในแต่ละคู่จะเลือกรางวัลตามผล และผู้ที่ไม่เปลี่ยนแปลงจะไม่เหลืออะไรเลย ดังนั้น จากสามคนที่เปลี่ยนใจ สองคนจะได้รับรางวัล และอีกหนึ่งคนจะได้แพะ ในขณะที่สามคนที่เหลือตัวเลือกเดิมไม่เปลี่ยนแปลง จะมีเพียงคนเดียวเท่านั้นที่จะได้รับรางวัล

ควรสังเกตว่าหากรถอยู่หลังประตู #2 หรือ #3 ผลลัพธ์จะเหมือนกัน เฉพาะผู้ชนะเท่านั้นที่จะเปลี่ยนแปลง ดังนั้น สมมติว่าในขั้นต้นแต่ละประตูถูกเลือกด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากัน เราพบว่าผู้ที่เปลี่ยนตัวเลือกจะได้รับรางวัลบ่อยขึ้นสองเท่า นั่นคือ ความน่าจะเป็นที่จะชนะในกรณีนี้จะสูงกว่า

ลองดูปัญหานี้จากมุมมองของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็น เราจะถือว่าความน่าจะเป็นของตัวเลือกเริ่มต้นของแต่ละประตูนั้นเท่ากัน รวมถึงความน่าจะเป็นที่จะอยู่หลังประตูแต่ละบานของรถ นอกจากนี้ มีประโยชน์ในการสำรองที่ผู้นำ เมื่อเขาสามารถเปิดสองประตู เลือกแต่ละบานด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน จากนั้นปรากฎว่าหลังจากการตัดสินครั้งแรก ความน่าจะเป็นที่รางวัลจะอยู่หลังประตูที่เลือกคือ 1/3 ในขณะที่ความน่าจะเป็นที่จะอยู่หลังประตูบานใดบานหนึ่งจากอีกสองบานคือ 2/3 ในเวลาเดียวกัน หลังจากที่เจ้าภาพเปิดหนึ่งในสองประตูที่ "ไม่ได้เลือก" ความน่าจะเป็นทั้งหมดของ 2/3 จะตกอยู่ที่ประตูที่เหลือเพียงบานเดียว ดังนั้นจึงเป็นการสร้างพื้นฐานสำหรับการเปลี่ยนการตัดสิน ซึ่งจะเพิ่มความน่าจะเป็นในการชนะ ถึง 2 เท่า ซึ่งแน่นอนว่าไม่ได้รับประกันในกรณีใดกรณีหนึ่งโดยเฉพาะ แต่จะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ประสบความสำเร็จมากขึ้นในกรณีของการทดลองซ้ำ ๆ ซ้ำ ๆ

คำต่อท้าย

ปัญหา Monty Hall ไม่ใช่การกำหนดครั้งแรกของปัญหานี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในปี 1959 มาร์ติน การ์ดเนอร์ตีพิมพ์ในวารสาร Scientific American ปัญหาที่คล้ายกัน “เกี่ยวกับนักโทษสามคน” (ปัญหานักโทษสามคน) โดยมีข้อความดังต่อไปนี้: “ในบรรดานักโทษสามคน หนึ่งคนควรได้รับการอภัยโทษ และสองคนควรถูกประหารชีวิต นักโทษ A เกลี้ยกล่อมผู้คุมให้บอกชื่อของอีกสองคนที่จะถูกประหารชีวิต (ไม่ว่าจะถูกประหารชีวิตทั้งคู่) หลังจากนั้นเมื่อได้รับชื่อ B เขาคิดว่าความน่าจะเป็นที่ความรอดของเขาจะไม่ 1/3 แต่ 1/2 ในเวลาเดียวกัน นักโทษ C อ้างว่าความน่าจะเป็นที่จะหลบหนีของเขากลายเป็น 2/3 ในขณะที่ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงสำหรับ A อันไหนถูกต้อง?"

อย่างไรก็ตาม การ์ดเนอร์ไม่ใช่คนแรก นับตั้งแต่ปี 1889 ในแคลคูลัสแห่งความน่าจะเป็น นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Joseph Bertrand (อย่าสับสนกับ Bertrand Russell ชาวอังกฤษ!) เสนอปัญหาที่คล้ายกัน (ดูกล่องที่ขัดแย้งกันของ Bertrand): "มี สามกล่อง แต่ละกล่องบรรจุเหรียญสองเหรียญ: เหรียญทองคำสองเหรียญในกล่องแรก เหรียญเงินสองเหรียญในกล่องที่สอง และอีกสองกล่องที่แตกต่างกันในกล่องที่สาม

หากคุณเข้าใจวิธีแก้ปัญหาทั้งสามข้อ คุณจะสังเกตเห็นความคล้ายคลึงกันของแนวคิดได้อย่างง่ายดาย ในทางคณิตศาสตร์ พวกเขาทั้งหมดรวมกันเป็นหนึ่งโดยแนวคิดของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข นั่นคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A หากรู้ว่าเหตุการณ์ B เกิดขึ้น ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด: ความน่าจะเป็นที่หน่วยหนึ่งจะออกบนลูกเต๋าปกติคือ 1/6; อย่างไรก็ตาม หากทราบว่าหมายเลขที่ม้วนเป็นเลขคี่ ความน่าจะเป็นที่จะเป็นหมายเลขหนึ่งคือ 1/3 แล้ว ปัญหา Monty Hall เช่นเดียวกับอีกสองปัญหาที่อ้างถึง แสดงให้เห็นว่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขต้องได้รับการจัดการอย่างระมัดระวัง

ปัญหาเหล่านี้มักเรียกว่าความขัดแย้ง: ความขัดแย้งของ Monty Hall, ความขัดแย้งแบบกล่องของ Bertrand (อย่าสับสนอย่างหลังกับความขัดแย้งที่แท้จริงของ Bertrand ที่ระบุในหนังสือเล่มเดียวกันซึ่งพิสูจน์ความคลุมเครือของแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นที่มีอยู่ในขณะนั้น) - ซึ่ง แสดงถึงความขัดแย้งบางอย่าง (เช่น ใน " ความขัดแย้งของคนโกหก" วลี "ข้อความนี้เป็นเท็จ" ขัดแย้งกับกฎหมายของกลางที่แยกออก) อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ ไม่มีการขัดแย้งกับการยืนยันอย่างเข้มงวด แต่มีความขัดแย้งอย่างชัดเจนกับ "ความคิดเห็นของประชาชน" หรือ "วิธีแก้ปัญหาที่ชัดเจน" ของปัญหา อันที่จริง คนส่วนใหญ่เมื่อพิจารณาถึงปัญหาแล้ว เชื่อว่าหลังจากเปิดประตูบานใดบานหนึ่ง ความน่าจะเป็นที่จะพบรางวัลหลังประตูบานใดบานหนึ่งที่เหลืออยู่คือ 1/2 ด้วยการทำเช่นนั้น พวกเขายืนยันว่าไม่มีความแตกต่างไม่ว่าพวกเขาจะเห็นด้วยหรือไม่เห็นด้วยที่จะเปลี่ยนใจ ยิ่งไปกว่านั้น หลายคนพบว่ามันยากที่จะเข้าใจคำตอบอื่นนอกเหนือจากนี้ แม้ว่าจะได้รับการบอกวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดแล้วก็ตาม

คำตอบของ Monty Hall ต่อ Steve Selwyn

นายสตีฟ เซลวิน
ผู้ช่วยศาสตราจารย์ด้านชีวสถิติ
มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เบิร์กลีย์

สตีฟที่รัก

ขอบคุณที่ส่งปัญหามาจาก American Statistical

แม้ว่าฉันจะไม่ได้เรียนวิชาสถิติที่มหาวิทยาลัย แต่ฉันรู้ว่าตัวเลขสามารถนำมาใช้เพื่อประโยชน์ของฉันได้เสมอหากต้องการที่จะจัดการกับมัน เหตุผลของคุณไม่ได้คำนึงถึงสถานการณ์สำคัญประการหนึ่ง: หลังจากช่องแรกว่างเปล่า ผู้เข้าร่วมจะไม่สามารถเปลี่ยนตัวเลือกของเขาได้อีกต่อไป ดังนั้นความน่าจะเป็นยังคงเหมือนเดิม: หนึ่งในสาม จริงไหม? และแน่นอนว่าหลังจากกล่องใดกล่องหนึ่งว่างเปล่า โอกาสจะไม่กลายเป็น 50/50 แต่ยังคงเหมือนเดิม - หนึ่งในสาม ดูเหมือนว่าผู้เข้าร่วมจะได้รับโอกาสมากขึ้นเมื่อกำจัดกล่องเดียว ไม่เลย. สองต่อหนึ่งกับเขาเหมือนเดิมและยังคงอยู่ และถ้าคุณมาที่การแสดงของฉันทันที กฎจะยังคงเหมือนเดิมสำหรับคุณ: ไม่มีช่องเปลี่ยนหลังจากการเลือก

ลองนึกภาพว่านายธนาคารคนหนึ่งเสนอให้คุณเลือกหนึ่งในสามกล่องปิด ในหนึ่งในนั้น 50 เซ็นต์ ในอีกอันหนึ่ง - หนึ่งดอลลาร์ ในที่สาม - 10,000 ดอลลาร์ เลือกตัวไหนก็รับรางวัลไปเลย

คุณเลือกโดยการสุ่ม พูดช่องที่ 1 จากนั้นนายธนาคาร (ซึ่งแน่นอนว่ารู้ว่าทุกอย่างอยู่ที่ไหน) ต่อหน้าต่อตาคุณเปิดกล่องที่มีหนึ่งดอลลาร์ (สมมติว่านี่คือหมายเลข 2) หลังจากนั้นเขาเสนอให้คุณเปลี่ยนกล่องที่เลือกในตอนแรก 1 ถึงกล่องที่ 3

คุณควรเปลี่ยนใจไหม สิ่งนี้จะเพิ่มโอกาสในการได้รับ 10,000 หรือไม่

นี่คือความขัดแย้งของ Monty Hall - ปัญหาของทฤษฎีความน่าจะเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ขัดแย้งกับสามัญสำนึกในแวบแรก ผู้คนเกาหัวกับปัญหานี้มาตั้งแต่ปี 2518

ความขัดแย้งได้รับการตั้งชื่อตามพิธีกรรายการโทรทัศน์ยอดนิยมของอเมริกา Let's Make a Deal รายการทีวีนี้มีกฎคล้ายๆ กัน เฉพาะผู้เข้าร่วมเท่านั้นที่เลือกประตู สองประตูเป็นแพะซ่อน และประตูที่สามเป็นรถคาดิลแลค

ผู้เล่นส่วนใหญ่ให้เหตุผลว่าหลังจากมีประตูปิดสองบานและมี Cadillac อยู่ข้างหลังหนึ่งประตู จากนั้น โอกาสที่จะได้รับมันคือ 50-50 เห็นได้ชัดว่าเมื่อเจ้าบ้านเปิดประตูบานหนึ่งและเชิญคุณเปลี่ยนใจ เริ่มเกมใหม่ ไม่ว่าคุณจะเปลี่ยนใจหรือไม่ก็ตาม โอกาสของคุณก็ยังอยู่ที่ 50 เปอร์เซ็นต์ ใช่มั้ย?

ปรากฎว่าไม่ได้ ความจริงแล้ว การเปลี่ยนความคิดของคุณ จะเพิ่มโอกาสในการประสบความสำเร็จเป็นสองเท่า ทำไม

คำอธิบายที่ง่ายที่สุดสำหรับคำตอบนี้คือการพิจารณาต่อไปนี้ เพื่อที่จะชนะรถโดยไม่ต้องเปลี่ยนทางเลือก ผู้เล่นจะต้องเดาประตูที่รถยืนอยู่ทันที ความน่าจะเป็นคือ 1/3 หากผู้เล่นชนประตูในตอนแรกโดยมีแพะอยู่ข้างหลัง (และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้คือ 2/3 เนื่องจากมีแพะสองตัวและรถเพียงคันเดียว) จากนั้นเขาสามารถชนะรถได้โดยเปลี่ยนใจเนื่องจากรถ ยังเหลือแพะอยู่ 1 ตัว และเจ้าภาพได้เปิดประตูพร้อมกับแพะแล้ว

ดังนั้น โดยไม่เปลี่ยนตัวเลือก ผู้เล่นจะยังคงมีความน่าจะเป็นเริ่มต้นที่จะชนะ 1/3 และเมื่อเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้น ผู้เล่นจะหันไปหาข้อได้เปรียบของเขาสองเท่าของความเป็นไปได้ที่เหลืออยู่ซึ่งเขาเดาไม่ถูกในตอนเริ่มต้น

นอกจากนี้ยังสามารถอธิบายได้โดยสัญชาตญาณโดยสลับเหตุการณ์ทั้งสอง เหตุการณ์แรกคือการตัดสินใจของผู้เล่นที่จะเปลี่ยนประตู เหตุการณ์ที่สองคือการเปิดประตูพิเศษ สิ่งนี้ยอมรับได้ เนื่องจากการเปิดประตูพิเศษไม่ได้ให้ข้อมูลใหม่แก่ผู้เล่น (ดูบทความนี้เพื่อเป็นหลักฐาน) จากนั้นปัญหาจะลดลงเป็นสูตรต่อไปนี้ ในช่วงเวลาแรก ผู้เล่นแบ่งประตูออกเป็นสองกลุ่ม: ในกลุ่มแรกมีหนึ่งประตู (ประตูที่เขาเลือก) ในกลุ่มที่สองมีประตูเหลืออีกสองประตู ในช่วงเวลาต่อไป ผู้เล่นจะเลือกระหว่างกลุ่มต่างๆ เห็นได้ชัดว่าสำหรับกลุ่มแรกความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 1/3 สำหรับกลุ่มที่สองคือ 2/3 ผู้เล่นเลือกกลุ่มที่สอง ในกลุ่มที่สอง เขาเปิดได้ทั้งสองประตู หนึ่งเปิดโดยโฮสต์และที่สองโดยผู้เล่นเอง

ลองให้คำอธิบายที่ "เข้าใจได้มากที่สุด" กำหนดปัญหาใหม่: โฮสต์ที่ซื่อสัตย์ประกาศกับผู้เล่นว่ามีรถอยู่หลังประตูบานใดบานหนึ่งจากสามประตู และแนะนำให้เขาชี้ไปที่ประตูบานใดบานหนึ่งก่อน จากนั้นเลือกหนึ่งในสองการกระทำ: เปิดประตูที่ระบุ (ใน สูตรเก่านี้เรียกว่า "อย่าเปลี่ยนตัวเลือกของคุณ") หรือเปิดอีกสองตัวเลือก (ในถ้อยคำเก่า นี่แค่ "เปลี่ยนตัวเลือก" ลองคิดดู นี่คือกุญแจสำคัญในการทำความเข้าใจ!) เป็นที่ชัดเจนว่าผู้เล่นจะเลือกการกระทำที่สองจากสองการกระทำ เนื่องจากความน่าจะเป็นที่จะได้รับรถในกรณีนี้จะสูงเป็นสองเท่า และสิ่งเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่เจ้าภาพก่อนที่จะเลือกการกระทำ "แสดงแพะ" ไม่ได้ช่วยและไม่รบกวนการเลือกเพราะด้านหลังประตูบานใดบานหนึ่งมีแพะอยู่เสมอและเจ้าภาพจะแสดงมันได้ตลอดเวลา ในระหว่างเกม ดังนั้นผู้เล่นสามารถจับแพะตัวนี้และไม่ต้องเฝ้าดู ธุรกิจของผู้เล่น หากเขาเลือกการกระทำที่สอง คือการกล่าว "ขอบคุณ" ต่อเจ้าภาพที่ช่วยให้เขาไม่ต้องประสบปัญหาในการเปิดประตูบานใดบานหนึ่งจากสองบานด้วยตัวเอง และเปิดอีกบาน ดีหรือง่ายยิ่งขึ้น ลองนึกภาพสถานการณ์นี้จากมุมมองของเจ้าภาพซึ่งกำลังทำตามขั้นตอนที่คล้ายกันกับผู้เล่นหลายสิบคน เนื่องจากเขารู้ดีว่ามีอะไรอยู่เบื้องหลังประตู ดังนั้น โดยเฉลี่ยแล้ว ในสองกรณีจากสามกรณี เขาจะเห็นล่วงหน้าว่าผู้เล่นเลือกประตูที่ "ผิด" ดังนั้นสำหรับเขาแล้วไม่มีความขัดแย้งอย่างแน่นอนว่ากลยุทธ์ที่ถูกต้องคือการเปลี่ยนตัวเลือกหลังจากเปิดประตูบานแรก: ในสองกรณีเดียวกันจากสามกรณี ผู้เล่นจะออกจากสตูดิโอด้วยรถคันใหม่

ในที่สุด การพิสูจน์ที่ "ไร้เดียงสา" ที่สุด ให้เรียกผู้ที่ยืนหยัดตามทางเลือกของตนว่า "ดื้อรั้น" และผู้ที่ปฏิบัติตามคำสั่งของผู้นำให้เรียกว่า "ตั้งใจ" จากนั้นคนปากแข็งจะเป็นผู้ชนะถ้าเขาเดารถได้ในตอนแรก (1/3) และคนที่ตั้งใจ - ถ้าเขาพลาดและชนแพะก่อน (2/3) ท้ายที่สุดในกรณีนี้เท่านั้นที่เขาจะชี้ไปที่ประตูพร้อมกับรถ

มอนตี ฮอลล์ โปรดิวเซอร์และพิธีกรรายการ มาทำข้อตกลงกันเถอะตั้งแต่ พ.ศ. 2506 ถึง พ.ศ. 2534

ในปี 1990 ปัญหานี้และแนวทางแก้ไขได้รับการตีพิมพ์ในนิตยสาร Parade ของอเมริกา สิ่งพิมพ์ดังกล่าวทำให้เกิดความคิดเห็นที่ขุ่นเคืองจากผู้อ่านซึ่งหลายคนมีปริญญาทางวิทยาศาสตร์

ข้อร้องเรียนหลักคือไม่ได้ระบุเงื่อนไขทั้งหมดของปัญหา และความแตกต่างเล็กน้อยอาจส่งผลต่อผลลัพธ์ ตัวอย่างเช่น โฮสต์สามารถเสนอให้เปลี่ยนการตัดสินใจได้ก็ต่อเมื่อผู้เล่นเลือกรถในการเคลื่อนไหวครั้งแรก เห็นได้ชัดว่าการเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้นในสถานการณ์ดังกล่าวจะนำไปสู่การสูญเสียที่รับประกันได้

อย่างไรก็ตาม ตลอดรายการทีวีมอนตี ฮอลล์ คนที่เปลี่ยนใจมักจะชนะสองเท่า:

จากผู้เล่น 30 คนที่เปลี่ยนใจ Cadillac ชนะ 18 - นั่นคือ 60%

จากผู้เล่น 30 คนที่เหลือตามตัวเลือก Cadillac ชนะ 11 คนนั่นคือประมาณ 36%

ดังนั้นเหตุผลที่ให้ในการตัดสินใจไม่ว่าจะดูไร้เหตุผลเพียงใดก็ได้รับการยืนยันโดยการปฏิบัติ

เพิ่มจำนวนประตู

เพื่อให้เข้าใจแก่นแท้ของสิ่งที่เกิดขึ้นได้ง่ายขึ้น เราสามารถพิจารณากรณีที่ผู้เล่นไม่เห็นประตูสามบานต่อหน้าเขา แต่ยกตัวอย่างเป็นร้อย ในเวลาเดียวกันมีรถอยู่หลังประตูบานหนึ่งและมีแพะอยู่ข้างหลังอีก 99 ตัว ผู้เล่นเลือกประตูใดประตูหนึ่งในขณะที่ 99% ของกรณีเขาจะเลือกประตูที่มีแพะและโอกาสในการเลือกประตูด้วยรถยนต์ในทันทีนั้นน้อยมาก - คือ 1% หลังจากนั้นเจ้าภาพเปิดประตู 98 ประตูพร้อมแพะและขอให้ผู้เล่นเลือกประตูที่เหลือ ในกรณีนี้ 99% ของกรณี รถจะอยู่หลังประตูที่เหลือนี้ เนื่องจากโอกาสที่ผู้เล่นจะเลือกประตูที่ถูกต้องในทันทีนั้นมีน้อยมาก เป็นที่ชัดเจนว่าในสถานการณ์เช่นนี้ ผู้เล่นที่คิดอย่างมีเหตุผลควรยอมรับข้อเสนอของผู้นำเสมอ

เมื่อพิจารณาถึงจำนวนประตูที่เพิ่มขึ้น คำถามมักจะเกิดขึ้น: หากในปัญหาเดิมผู้นำเปิดหนึ่งประตูจากสามประตู (นั่นคือ 1/3 ของจำนวนประตูทั้งหมด) แล้วทำไมเราถึงคิดว่าในกรณีนี้ จาก 100 ประตู ผู้นำจะเปิดประตู 98 ประตูด้วยแพะ ไม่ใช่ 33 ประตู? การพิจารณานี้มักจะเป็นหนึ่งในเหตุผลสำคัญที่ความขัดแย้งของ Monty Hall ขัดแย้งกับการรับรู้โดยสัญชาตญาณของสถานการณ์ มันจะถูกต้องที่จะถือว่าการเปิด 98 ประตูเนื่องจากเงื่อนไขสำคัญของปัญหาคือมีทางเลือกเดียวสำหรับผู้เล่นซึ่งโฮสต์เสนอ ดังนั้นเพื่อให้งานมีความคล้ายคลึงกัน ในกรณีของ 4 ประตู ผู้นำจะต้องเปิด 2 ประตู ในกรณีของ 5 ประตู - 3 และอื่น ๆ เพื่อให้มีประตูอื่นที่ยังไม่ได้เปิดเสมอ ที่ผู้เล่นเลือกในตอนแรก หากวิทยากรเปิดประตูน้อยลง งานก็จะไม่เหมือนกับงานเดิมของ Monty Hall อีกต่อไป

ควรสังเกตว่าในกรณีของประตูหลายบาน แม้ว่าเจ้าภาพไม่ได้ปิดหนึ่งประตู แต่มีหลายประตู และเสนอให้ผู้เล่นเลือกหนึ่งในนั้น จากนั้นเมื่อเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้น โอกาสของผู้เล่นในการชนะรถจะ ยังคงเพิ่มขึ้นแม้ว่าจะไม่มาก ตัวอย่างเช่น พิจารณาสถานการณ์ที่ผู้เล่นเลือกประตูหนึ่งจากทั้งหมดร้อยประตู จากนั้นผู้อำนวยความสะดวกจะเปิดประตูที่เหลือเพียงบานเดียว โดยเชื้อเชิญให้ผู้เล่นเปลี่ยนทางเลือก ในขณะเดียวกัน โอกาสที่รถจะอยู่หลังประตูเดิมที่ผู้เล่นเลือกไว้ยังคงเท่าเดิม - 1/100 และสำหรับประตูที่เหลือ โอกาสจะเปลี่ยนไป: ความน่าจะเป็นทั้งหมดที่รถจะอยู่หลังประตูบานใดบานหนึ่งที่เหลืออยู่ ( 99/100) ตอนนี้ไม่ได้กระจายอยู่ที่ 99 ประตู แต่เป็น 98 ดังนั้นความน่าจะเป็นในการค้นหารถหลังประตูแต่ละบานจะไม่ใช่ 1/100 แต่เป็น 99/9800 ความน่าจะเป็นที่เพิ่มขึ้นจะอยู่ที่ประมาณ 1%

โครงสร้างการตัดสินใจที่เป็นไปได้ของผู้เล่นและโฮสต์แสดงความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แต่ละรายการ สถานการณ์ของเกมสามารถอธิบายได้อย่างเป็นทางการโดยใช้แผนผังการตัดสินใจ ในสองกรณีแรก เมื่อผู้เล่นเลือกประตูหลังที่แพะอยู่ การเปลี่ยนทางเลือกจะส่งผลให้ชนะ ในสองกรณีสุดท้าย เมื่อผู้เล่นเลือกประตูที่มีรถเป็นครั้งแรก การเปลี่ยนตัวเลือกจะส่งผลให้แพ้

ถ้ายังไม่เข้าใจก็ถ่มน้ำลายใส่สูตรไปเลยตรวจสอบทุกอย่างทางสถิติ คำอธิบายอื่นที่เป็นไปได้:

ผู้เล่นที่มีกลยุทธ์ในการเปลี่ยนประตูที่เลือกทุกครั้งจะแพ้ก็ต่อเมื่อเขาเลือกประตูด้านหลังที่มีรถอยู่ในตอนแรกเท่านั้น
เนื่องจากโอกาสในการเลือกรถในการลองครั้งแรกคือ 1 ใน 3 (หรือ 33%) โอกาสที่จะไม่เลือกรถหากผู้เล่นเปลี่ยนตัวเลือกคือ 1 ใน 3 (หรือ 33%)
ซึ่งหมายความว่าผู้เล่นที่ใช้กลยุทธ์เปลี่ยนประตูจะชนะด้วยความน่าจะเป็น 66% หรือสองต่อสาม
สิ่งนี้จะเพิ่มโอกาสในการชนะเป็นสองเท่าของผู้เล่นที่มีกลยุทธ์ที่จะไม่เปลี่ยนตัวเลือกทุกครั้ง

ยังไม่เชื่อ? สมมติว่าคุณเลือกประตู #1 ต่อไปนี้คือตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับสิ่งที่เกิดขึ้นในกรณีนี้

พบเธอที่เรียกว่า Monty Hall Paradox และว้าว แก้ไขมันแตกต่างกันกล่าวคือ: พิสูจน์ว่านี่คือความขัดแย้งหลอก.

เพื่อน ๆ ฉันยินดีที่จะรับฟังคำวิจารณ์เกี่ยวกับการหักล้างความขัดแย้งนี้ (หลอก-paradox ถ้าฉันพูดถูก) แล้วฉันจะเห็นด้วยตาตัวเองว่าตรรกะของฉันมันงี่เง่า ฉันจะเลิกคิดว่าตัวเองเป็นนักคิด และคิดที่จะเปลี่ยนประเภทของกิจกรรมเป็นแบบโคลงสั้น ๆ : o) ดังนั้นนี่คือเนื้อหาของงาน วิธีแก้ปัญหาที่เสนอและการโต้แย้งของฉันอยู่ด้านล่าง

ลองนึกภาพว่าคุณได้มีส่วนร่วมในเกมที่คุณอยู่หน้าสามประตู เจ้าของที่พักซึ่งขึ้นชื่อเรื่องความซื่อสัตย์ วางรถไว้หลังประตูบานหนึ่ง และแพะไว้หลังประตูอีกสองบาน คุณไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับสิ่งที่อยู่เบื้องหลังประตูบานใด

เจ้าหน้าที่อำนวยความสะดวกบอกคุณ: “ก่อนอื่นคุณต้องเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง หลังจากนั้นฉันจะเปิดประตูที่เหลือบานหนึ่งซึ่งด้านหลังเป็นแพะ จากนั้นฉันจะแนะนำให้คุณเปลี่ยนตัวเลือกเดิมและเลือกประตูปิดที่เหลืออยู่แทนประตูที่คุณเลือกในตอนแรก คุณสามารถทำตามคำแนะนำของฉันและเลือกประตูอื่น หรือคุณสามารถยืนยันตัวเลือกเดิมของคุณ หลังจากนั้น ฉันจะเปิดประตูที่คุณเลือก แล้วคุณจะชนะสิ่งที่อยู่เบื้องหลังประตูบานนั้น"

คุณเลือกประตูหมายเลข 3 เจ้าหน้าที่อำนวยความสะดวกเปิดประตูหมายเลข 1 และแสดงว่ามีแพะอยู่ข้างหลัง จากนั้นโฮสต์จะขอให้คุณเลือกประตูหมายเลข 2

โอกาสในการชนะรถยนต์ของคุณจะเพิ่มขึ้นหรือไม่หากคุณทำตามคำแนะนำของเขา?
ความขัดแย้งของมอนตี ฮอลล์เป็นหนึ่งในปัญหาที่รู้จักกันดีของทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งวิธีแก้ปัญหานั้นขัดแย้งกับสามัญสำนึกในแวบแรก
เมื่อแก้ปัญหานี้ พวกเขามักจะให้เหตุผลดังนี้: หลังจากที่เจ้าภาพเปิดประตูหลังที่แพะอยู่ รถจะอยู่หลังประตูใดบานหนึ่งจากสองประตูที่เหลือเท่านั้น เนื่องจากผู้เล่นไม่สามารถรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับประตูที่รถอยู่ด้านหลัง ความน่าจะเป็นที่จะพบรถหลังประตูแต่ละบานจึงเท่ากัน และการเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้นของประตูไม่ได้ทำให้ผู้เล่นได้เปรียบแต่อย่างใด อย่างไรก็ตาม เหตุผลบรรทัดนี้ไม่ถูกต้อง
หากเจ้าบ้านรู้อยู่เสมอว่าประตูไหนอยู่ข้างหลัง เปิดประตูที่เหลือที่มีแพะอยู่เสมอ และแจ้งให้ผู้เล่นเปลี่ยนทางเลือกเสมอ ความน่าจะเป็นที่รถจะอยู่หลังประตูที่ผู้เล่นเลือกคือ 1/3 และ ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่รถจะอยู่หลังประตูที่เหลือคือ 2/3 ดังนั้น การเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้นจะเพิ่มโอกาสของผู้เล่นในการชนะรถเป็นสองเท่า ข้อสรุปนี้ขัดแย้งกับการรับรู้สถานการณ์โดยสัญชาตญาณของคนส่วนใหญ่ ซึ่งเป็นสาเหตุที่ปัญหาที่อธิบายไว้นี้เรียกว่า Monty Hall Paradox

สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าโอกาสจะไม่เปลี่ยนแปลง ไม่มีความขัดแย้ง

และนี่คือเหตุผล: ตัวเลือกประตูบานแรกและบานที่สองคือ เป็นอิสระเหตุการณ์ มันเหมือนกับการโยนเหรียญ 2 ครั้ง สิ่งที่ตกลงมาในครั้งที่ 2 นั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับสิ่งที่ตกลงมาในครั้งแรกแต่อย่างใด

ดังนั้นที่นี่: หลังจากเปิดประตูพร้อมกับแพะ ผู้เล่นพบว่าตัวเองเข้ามา สถานการณ์ใหม่เมื่อมันมี 2 ประตู และความน่าจะเป็นที่จะเลือกรถหรือแพะคือ 1/2

อีกครั้ง: หลังจากเปิดประตูหนึ่งจากสามบาน ความน่าจะเป็นที่รถจะอยู่หลังประตูที่เหลือ ไม่เท่ากับ 2/3, เพราะ 2/3 คือความน่าจะเป็นที่รถจะอยู่หลัง 2 ประตูใดๆ ไม่ถูกต้องที่จะระบุความน่าจะเป็นนี้กับประตูที่ไม่ได้เปิดและประตูที่เปิดอยู่ ก่อนการเปิดประตูเป็นการจัดแนวของความน่าจะเป็น แต่ หลังจากเมื่อเปิดประตูบานหนึ่ง ความน่าจะเป็นเหล่านี้จะกลายเป็น เป็นโมฆะเพราะ สถานการณ์เปลี่ยนไป ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีการคำนวณความน่าจะเป็นใหม่ซึ่งคนธรรมดาปฏิบัติอย่างถูกต้องโดยตอบว่าจะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงจากการเปลี่ยนทางเลือก

ภาคผนวก: 1) ให้เหตุผลว่า:

ก) ความน่าจะเป็นที่จะหารถหลังประตูที่เลือกคือ 1/3

b) ความน่าจะเป็นที่รถอยู่หลังประตูที่ไม่ได้เลือกอีกสองบาน 2/3

ค) เพราะ เจ้าภาพเปิดประตูพร้อมกับแพะ จากนั้นความน่าจะเป็น 2/3 ไปที่ประตูที่ไม่ได้เลือก (และยังไม่ได้เปิด) ทั้งหมด

ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเปลี่ยนทางเลือกเป็นประตูอื่นเพื่อให้ความน่าจะเป็นจาก 1/3 กลายเป็น 2/3 ไม่เป็นความจริง แต่เป็นเท็จ กล่าวคือ: ในย่อหน้า "c"เนื่องจากในตอนแรกความน่าจะเป็น 2/3 เกี่ยวข้องกับประตู 2 บานใดๆ รวมถึงอีก 2 บานที่เหลือที่ไม่ได้เปิด และเนื่องจากประตูบานหนึ่งถูกเปิด ความน่าจะเป็นนี้จะถูกแบ่งเท่าๆ กันระหว่าง 2 บานที่ไม่ได้เปิด เช่น ความน่าจะเป็นจะเท่ากันและการเลือกประตูอื่นจะไม่เพิ่มขึ้น

2) ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขจะคำนวณหากมีเหตุการณ์สุ่ม 2 เหตุการณ์ขึ้นไป และความน่าจะเป็นจะคำนวณแยกกันสำหรับแต่ละเหตุการณ์ จากนั้นจึงคำนวณความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นร่วมกันของ 2 เหตุการณ์ขึ้นไปเท่านั้น ในตอนแรกความน่าจะเป็นของการเดาคือ 1/3 แต่เพื่อคำนวณความน่าจะเป็นที่รถไม่ได้อยู่หลังประตูที่เลือก แต่อยู่หลังอีกบานที่ไม่ได้เปิด คุณไม่จำเป็นต้องคำนวณ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข แต่คุณต้องคำนวณความน่าจะเป็นอย่างง่าย ซึ่งก็คือ 1 ใน 2 เหล่านั้น 1/2.

3) ดังนั้น นี่ไม่ใช่ความขัดแย้ง แต่เป็นความผิดพลาด! (19.11.2552)

ภาคผนวก 2: เมื่อวานผมอธิบายง่ายๆว่า กลยุทธ์การเลือกใหม่ยังคงได้เปรียบกว่า(ความขัดแย้งเป็นเรื่องจริง!): ด้วยตัวเลือกแรก การเข้าไปในแพะนั้นมีโอกาสมากกว่าการเข้าไปในรถถึง 2 เท่า เพราะมีแพะสองตัว ดังนั้นด้วยตัวเลือกที่สอง คุณต้องเปลี่ยนตัวเลือก มันชัดเจนมาก :o)

หรืออีกนัยหนึ่ง: ไม่จำเป็นต้องทำเครื่องหมายในรถ แต่ต้องปฏิเสธแพะและแม้แต่ผู้นำเสนอก็ช่วยในเรื่องนี้โดยเปิดแพะ และเมื่อเริ่มเกมด้วยความน่าจะเป็น 2 ใน 3 ผู้เล่นก็จะประสบความสำเร็จเช่นกัน ดังนั้นเมื่อปฏิเสธแพะแล้ว คุณต้องเปลี่ยนตัวเลือก และมันก็ชัดเจนในทันใด :o)

ทุกสิ่งที่ฉันเขียนจนถึงตอนนี้เป็นการหักล้างแบบหลอกๆ นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของความจริงที่ว่าคุณต้องเจียมเนื้อเจียมตัวมากขึ้น เคารพในมุมมองของคนอื่น และไม่เชื่อถือการรับรองในตรรกะของคุณว่าการตัดสินใจของคนนั้นสมเหตุสมผล

ความขัดแย้งของมอนตี ฮอลล์เป็นหนึ่งในปัญหาที่รู้จักกันดีของทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งวิธีแก้ปัญหานั้นขัดแย้งกับสามัญสำนึกในแวบแรก โจทย์กำหนดเป็นคำอธิบายของเกมสมมุติตามรายการทีวีอเมริกัน Let's Make a Deal และตั้งชื่อตามพิธีกรรายการนี้ การกำหนดปัญหานี้ที่พบบ่อยที่สุดซึ่งตีพิมพ์ในปี 1990 ในนิตยสาร Parade มีดังนี้:

ลองนึกภาพว่าคุณได้มีส่วนร่วมในเกมที่คุณต้องเลือกหนึ่งในสามประตู หลังประตูบานหนึ่งเป็นรถ อีกสองประตูเป็นแพะ คุณเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง เช่น หมายเลข 1 หลังจากนั้นเจ้าของที่พักซึ่งรู้ว่ารถอยู่ที่ไหนและแพะอยู่ที่ไหน เปิดประตูบานหนึ่งที่เหลือ เช่น หมายเลข 3 ซึ่งด้านหลังมีแพะอยู่ หลังจากนั้นเขาจะถามคุณว่าคุณต้องการเปลี่ยนตัวเลือกและเลือกประตูหมายเลข 2 หรือไม่ โอกาสในการชนะรถของคุณจะเพิ่มขึ้นหรือไม่หากคุณยอมรับข้อเสนอของเจ้าของที่พักและเปลี่ยนตัวเลือกของคุณ

แม้ว่าการกำหนดปัญหานี้เป็นที่รู้จักกันดีที่สุด แต่ก็ค่อนข้างมีปัญหาเนื่องจากไม่ได้กำหนดเงื่อนไขที่สำคัญบางประการของปัญหา ต่อไปนี้เป็นข้อความที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น

เมื่อแก้ปัญหานี้ พวกเขามักจะให้เหตุผลดังนี้: หลังจากที่เจ้าภาพเปิดประตูหลังที่แพะอยู่ รถจะอยู่หลังประตูใดบานหนึ่งจากสองประตูที่เหลือเท่านั้น เนื่องจากผู้เล่นไม่สามารถรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับประตูที่รถอยู่ด้านหลัง ความน่าจะเป็นที่จะพบรถหลังประตูแต่ละบานจึงเท่ากัน และการเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้นของประตูไม่ได้ทำให้ผู้เล่นได้เปรียบแต่อย่างใด อย่างไรก็ตาม เหตุผลบรรทัดนี้ไม่ถูกต้อง หากเจ้าบ้านรู้อยู่เสมอว่าประตูไหนอยู่ข้างหลัง เปิดประตูที่เหลือที่มีแพะอยู่เสมอ และแจ้งให้ผู้เล่นเปลี่ยนทางเลือกเสมอ ความน่าจะเป็นที่รถจะอยู่หลังประตูที่ผู้เล่นเลือกคือ 1/3 และ ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่รถจะอยู่หลังประตูที่เหลือคือ 2/3 ดังนั้น การเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้นจะเพิ่มโอกาสของผู้เล่นในการชนะรถเป็นสองเท่า ข้อสรุปนี้ขัดแย้งกับการรับรู้สถานการณ์โดยสัญชาตญาณของคนส่วนใหญ่ ซึ่งเป็นสาเหตุที่ปัญหาที่อธิบายไว้นี้เรียกว่า Monty Hall Paradox

การตัดสินใจด้วยวาจา

คำตอบที่ถูกต้องสำหรับปัญหานี้มีดังต่อไปนี้: ใช่ โอกาสในการชนะรถจะเพิ่มเป็นสองเท่าหากผู้เล่นทำตามคำแนะนำของเจ้าภาพและเปลี่ยนตัวเลือกแรกของเขา

จากนั้นปัญหาจะลดลงเป็นสูตรต่อไปนี้ ในช่วงเวลาแรก ผู้เล่นแบ่งประตูออกเป็นสองกลุ่ม: ในกลุ่มแรกมีหนึ่งประตู (ประตูที่เขาเลือก) ในกลุ่มที่สองมีประตูเหลืออีกสองประตู ในช่วงเวลาต่อไป ผู้เล่นจะเลือกระหว่างกลุ่มต่างๆ เห็นได้ชัดว่าสำหรับกลุ่มแรกความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 1/3 สำหรับกลุ่มที่สองคือ 2/3 ผู้เล่นเลือกกลุ่มที่สอง ในกลุ่มที่สอง เขาเปิดได้ทั้งสองประตู หนึ่งเปิดโดยโฮสต์และที่สองโดยผู้เล่นเอง

ลองให้คำอธิบายที่ "เข้าใจได้มากที่สุด" กำหนดปัญหาใหม่: โฮสต์ที่ซื่อสัตย์ประกาศกับผู้เล่นว่ามีรถอยู่หลังประตูบานใดบานหนึ่งจากสามประตู และเชิญให้เขาชี้ไปที่ประตูบานใดบานหนึ่งก่อน จากนั้นเลือกหนึ่งในสองการกระทำ: เปิดประตูที่ระบุ (ใน สูตรเก่านี้เรียกว่า "อย่าเปลี่ยนตัวเลือกของคุณ ") หรือเปิดอีกสองตัว (ในสูตรเก่า นี่แค่ "เปลี่ยนตัวเลือก" คิดว่านี่คือกุญแจสำคัญในการทำความเข้าใจ!) เป็นที่ชัดเจนว่าผู้เล่นจะเลือกการกระทำที่สองจากสองการกระทำ เนื่องจากความน่าจะเป็นที่จะได้รับรถในกรณีนี้จะสูงเป็นสองเท่า และสิ่งเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่ผู้นำ "แสดงแพะ" ก่อนเลือกการกระทำไม่ได้ช่วยและไม่รบกวนการเลือกเพราะหลังประตูบานใดบานหนึ่งมีแพะอยู่เสมอและผู้นำจะแสดงในทุกเส้นทาง ของเกมเพื่อให้ผู้เล่นสามารถบนแพะนี้และไม่ต้องดู ธุรกิจของผู้เล่น หากเขาเลือกการกระทำที่สอง คือการกล่าว "ขอบคุณ" ต่อเจ้าภาพที่ช่วยเขาให้ไม่ต้องลำบากในการเปิดประตูบานใดบานหนึ่งจากสองบานด้วยตัวเอง และเปิดอีกบาน ดีหรือง่ายยิ่งขึ้น ลองนึกภาพสถานการณ์นี้จากมุมมองของเจ้าภาพซึ่งกำลังทำตามขั้นตอนที่คล้ายกันกับผู้เล่นหลายสิบคน เนื่องจากเขารู้ดีว่ามีอะไรอยู่เบื้องหลังประตู ดังนั้น โดยเฉลี่ยแล้ว ในสองกรณีจากสามกรณี เขาจะเห็นล่วงหน้าว่าผู้เล่นเลือกประตูที่ "ผิด" ดังนั้นสำหรับเขาแล้วไม่มีความขัดแย้งอย่างแน่นอนว่ากลยุทธ์ที่ถูกต้องคือการเปลี่ยนตัวเลือกหลังจากเปิดประตูบานแรก: ในสองกรณีเดียวกันจากสามกรณี ผู้เล่นจะออกจากสตูดิโอด้วยรถคันใหม่

กุญแจสู่ความเข้าใจ

แม้จะอธิบายปรากฏการณ์นี้ได้ง่าย แต่หลายคนเชื่อโดยสัญชาตญาณว่าความน่าจะเป็นที่จะชนะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อผู้เล่นเปลี่ยนตัวเลือกของเขา โดยปกติแล้ว ความเป็นไปไม่ได้ที่จะเปลี่ยนความน่าจะเป็นที่จะชนะนั้นเกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าเมื่อคำนวณความน่าจะเป็น เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในอดีตไม่สำคัญ เช่น เมื่อโยนเหรียญ ความน่าจะเป็นที่จะออกหัวหรือก้อย ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเคยออกหัวหรือออกก้อยกี่ครั้ง ดังนั้นหลายคนเชื่อว่าในขณะที่ผู้เล่นเลือกหนึ่งประตูจากสองประตู มันไม่สำคัญอีกต่อไปว่าในอดีตมีตัวเลือกหนึ่งประตูจากสามประตู และความน่าจะเป็นที่จะชนะรถยนต์จะเท่ากันเมื่อเปลี่ยนตัวเลือก และออกจากตัวเลือกเดิม

อย่างไรก็ตาม แม้ว่าการพิจารณาดังกล่าวจะเป็นจริงในกรณีของการโยนเหรียญ แต่ก็ไม่เป็นความจริงสำหรับทุกเกม ในกรณีนี้ควรละเว้นการเปิดประตูโดยเจ้านาย โดยพื้นฐานแล้วผู้เล่นจะต้องเลือกระหว่างประตูบานหนึ่งที่พวกเขาเลือกก่อนกับอีกสองบาน การเปิดบานใดบานหนึ่งมีไว้เพื่อเบี่ยงเบนความสนใจของผู้เล่นเท่านั้น เป็นที่รู้กันว่ามีรถหนึ่งคันและแพะสองตัว ตัวเลือกเริ่มต้นของผู้เล่นสำหรับประตูใดประตูหนึ่งจะแบ่งผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของเกมออกเป็นสองกลุ่ม: รถอยู่หลังประตูที่ผู้เล่นเลือก (ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้คือ 1/3) หรืออยู่ด้านหลังอีกสองประตู (ความน่าจะเป็น ของนี่คือ 2/3) ในเวลาเดียวกัน เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าไม่ว่าในกรณีใด ๆ จะมีแพะอยู่หลังประตูบานใดบานหนึ่งจากสองประตูที่เหลือ และการเปิดประตูนี้ เจ้าภาพไม่ได้ให้ข้อมูลเพิ่มเติมแก่ผู้เล่นเกี่ยวกับสิ่งที่อยู่หลังประตูที่ผู้เล่นเลือก ผู้เล่น ดังนั้นการเปิดประตูด้วยแพะโดยผู้นำจะไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็น (2/3) ที่รถอยู่หลังประตูบานใดบานหนึ่งที่เหลืออยู่ และเนื่องจากผู้เล่นไม่ได้เลือกประตูที่เปิดอยู่แล้ว ความน่าจะเป็นทั้งหมดนี้จึงเข้มข้นในกรณีที่รถอยู่หลังประตูที่ปิดอยู่

การให้เหตุผลโดยสัญชาตญาณมากขึ้น: ให้ผู้เล่นดำเนินการตามกลยุทธ์ "เปลี่ยนทางเลือก" จากนั้นเขาจะแพ้ก็ต่อเมื่อเขาเลือกรถในตอนแรก และความน่าจะเป็นคือหนึ่งในสาม ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะชนะ: 1-1/3=2/3 หากผู้เล่นปฏิบัติตามกลยุทธ์ "อย่าเปลี่ยนตัวเลือก" เขาจะชนะก็ต่อเมื่อเขาเลือกรถในตอนแรก และความน่าจะเป็นคือหนึ่งในสาม

ลองนึกภาพสถานการณ์นี้จากมุมมองของเจ้าภาพซึ่งกำลังทำตามขั้นตอนที่คล้ายกันกับผู้เล่นหลายสิบคน เนื่องจากเขารู้ดีว่ามีอะไรอยู่เบื้องหลังประตู ดังนั้น โดยเฉลี่ยแล้ว ในสองกรณีจากสามกรณี เขาจะเห็นล่วงหน้าว่าผู้เล่นเลือกประตูที่ "ผิด" ดังนั้นสำหรับเขาแล้วไม่มีความขัดแย้งอย่างแน่นอนว่ากลยุทธ์ที่ถูกต้องคือการเปลี่ยนตัวเลือกหลังจากเปิดประตูบานแรก: ในสองกรณีเดียวกันจากสามกรณี ผู้เล่นจะออกจากสตูดิโอด้วยรถคันใหม่

อีกสาเหตุหนึ่งที่ทำให้เข้าใจวิธีแก้ปัญหานี้ได้ยากก็คือ ผู้คนมักจะจินตนาการถึงเกมที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย โดยที่ไม่มีใครรู้ล่วงหน้าว่าเจ้าภาพจะเปิดประตูพร้อมกับแพะหรือไม่ และแนะนำให้ผู้เล่นเปลี่ยนทางเลือก ในกรณีนี้ ผู้เล่นไม่ทราบกลยุทธ์ของผู้นำ (นั่นคือ ในความเป็นจริง ไม่ทราบกฎทั้งหมดของเกม) และไม่สามารถเลือกได้อย่างเหมาะสมที่สุด ตัวอย่างเช่น หากผู้อำนวยความสะดวกจะเสนอทางเลือกในการเปลี่ยนเฉพาะในกรณีที่ผู้เล่นเลือกประตูที่มีรถในตอนแรก เห็นได้ชัดว่าผู้เล่นควรปล่อยให้การตัดสินใจเดิมไม่เปลี่ยนแปลง ด้วยเหตุนี้จึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องคำนึงถึงการกำหนดโจทย์ Monty Hall ที่แน่นอน (ด้วยตัวเลือกนี้ ผู้นำที่มีกลยุทธ์ต่างกันสามารถบรรลุความน่าจะเป็นระหว่างประตูได้ ในกรณีทั่วไป (โดยเฉลี่ย) จะเป็น 1/2 คูณ 1/2)

เพิ่มจำนวนประตู

ต้นไม้ตัดสินใจ

โครงสร้างการตัดสินใจที่เป็นไปได้ของผู้เล่นและเจ้าภาพ แสดงความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แต่ละรายการ

สถานการณ์ของเกมสามารถอธิบายได้โดยใช้แผนผังการตัดสินใจ

ในสองกรณีแรก เมื่อผู้เล่นเลือกประตูหลังที่แพะอยู่ การเปลี่ยนทางเลือกจะส่งผลให้ชนะ ในสองกรณีสุดท้าย เมื่อผู้เล่นเลือกประตูที่มีรถเป็นครั้งแรก การเปลี่ยนตัวเลือกจะส่งผลให้แพ้

ความน่าจะเป็นทั้งหมดที่การเปลี่ยนแปลงตัวเลือกจะนำไปสู่การชนะจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของผลลัพธ์สองรายการแรก นั่นคือ

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่การปฏิเสธที่จะเปลี่ยนตัวเลือกจะนำไปสู่การชนะเท่ากับ

ทำการทดลองที่คล้ายกัน

มีวิธีง่ายๆ ที่จะทำให้แน่ใจว่าการเปลี่ยนตัวเลือกเดิมจะส่งผลให้ชนะโดยเฉลี่ย 2 ใน 3 ครั้ง ในการทำเช่นนี้ คุณสามารถจำลองเกมที่อธิบายไว้ในปัญหา Monty Hall โดยใช้ไพ่ บุคคลหนึ่ง (ผู้แจกจ่ายการ์ด) รับบทเป็นผู้นำ Monty Hall และคนที่สอง - บทบาทของผู้เล่น ไพ่สามใบถูกนำมาใช้ในเกม ซึ่งใบหนึ่งแสดงถึงประตูที่มีรถ (เช่น เอซโพดำ) และอีกสองใบที่เหมือนกัน (เช่น ไพ่สองใบสีแดง) เป็นประตูที่มีแพะ

เจ้าภาพวางไพ่สามใบคว่ำหน้าลง เชิญผู้เล่นรับไพ่หนึ่งใบ หลังจากที่ผู้เล่นเลือกไพ่ หัวหน้าจะดูไพ่ที่เหลืออีกสองใบและเผยให้เห็นผีสางสีแดง หลังจากนั้นไพ่ที่เหลือจากผู้เล่นและผู้นำจะเปิดขึ้นและหากไพ่ที่ผู้เล่นเลือกคือเอซโพดำคะแนนจะถูกบันทึกเพื่อสนับสนุนตัวเลือกเมื่อผู้เล่นไม่เปลี่ยนตัวเลือกและหาก ผู้เล่นมีไพ่ผีแดงและผู้นำมีเอซโพดำ จากนั้นจะมีการให้คะแนนตามตัวเลือกเมื่อผู้เล่นเปลี่ยนตัวเลือก หากเราเล่นเกมดังกล่าวหลายรอบ อัตราส่วนระหว่างคะแนนที่สนับสนุนทั้งสองตัวเลือกจะสะท้อนถึงอัตราส่วนของความน่าจะเป็นของตัวเลือกเหล่านี้ได้ค่อนข้างดี ในกรณีนี้ ปรากฎว่าจำนวนคะแนนที่สนับสนุนการเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้นนั้นมากกว่าสองเท่าโดยประมาณ

การทดลองดังกล่าวไม่เพียงแต่ทำให้แน่ใจว่าความน่าจะเป็นที่จะชนะเมื่อเปลี่ยนตัวเลือกนั้นสูงเป็นสองเท่า แต่ยังแสดงให้เห็นได้ดีว่าทำไมสิ่งนี้จึงเกิดขึ้น ในขณะที่ผู้เล่นเลือกไพ่สำหรับตัวเอง มันจะพิจารณาแล้วว่าเอซโพดำอยู่ในมือของเขาหรือไม่ ผู้นำเปิดไพ่ใบใดใบหนึ่งเพิ่มเติมไม่ได้เปลี่ยนสถานการณ์ - ผู้เล่นถือไพ่ในมือแล้วและยังคงอยู่ที่นั่นโดยไม่คำนึงถึงการกระทำของผู้นำ ความน่าจะเป็นสำหรับผู้เล่นที่จะเลือกเอซโพดำจากไพ่สามใบนั้นเห็นได้ชัดว่าอยู่ที่ 1/3 ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะไม่เลือก (และจากนั้นผู้เล่นจะชนะหากเขาเปลี่ยนตัวเลือกแรก) คือ 2/3

กล่าวถึง

ในภาพยนตร์เรื่อง Twenty-one อาจารย์ Miki Rosa ท้าให้ตัวละครหลัก Ben ไขปริศนา: มีรถสกู๊ตเตอร์ 2 คันและรถอีก 1 คันหลังประตู 3 ประตู คุณต้องเดาประตูเพื่อชิงรถ หลังจากตัวเลือกแรก มิกิเสนอที่จะเปลี่ยนตัวเลือก เบ็นเห็นด้วยและพิสูจน์เหตุผลทางคณิตศาสตร์ในการตัดสินใจของเขา ดังนั้นเขาจึงผ่านการทดสอบสำหรับทีมของมิกิโดยไม่สมัครใจ

ในนวนิยายเรื่อง "Nedotepa" ของ Sergei Lukyanenko ตัวละครหลักใช้เทคนิคนี้ ชนะรถม้าและมีโอกาสเดินทางต่อ

ในซีรีส์โทรทัศน์เรื่อง 4isla (ตอนที่ 13 ของฤดูกาลที่ 1 ของ Man Hunt) หนึ่งในตัวละครหลัก ชาร์ลี เอปส์ อธิบายถึงความขัดแย้งของมอนตี ฮอลล์ในการบรรยายยอดนิยมเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ โดยแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนโดยใช้กระดานมาร์กเกอร์ที่มีแพะและรถที่วาดบน ด้านหลัง ชาร์ลีพบรถโดยเปลี่ยนการเลือก อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่าเขาเรียกใช้การทดสอบเพียงครั้งเดียว ในขณะที่ประโยชน์ของกลยุทธ์การเปลี่ยนผ่านคือสถิติ และควรเรียกใช้ชุดการทดสอบเพื่อแสดงตัวอย่างที่ถูกต้อง

http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/36146

เป็นที่นิยมในหมวดหมู่: