Parantez çarpımı. Parantez açma: kurallar ve örnekler (7. Sınıf)

Parantezler, işlemlerin gerçekleştirilme sırasını sayısal ve değişmez ifadeler, ayrıca değişkenli ifadelerde. Parantezli bir ifadeden, parantezsiz aynı şekilde eşit bir ifadeye geçmek uygundur. Bu tekniğe parantez açma denir.

Parantezleri genişletmek, bu parantezlerin ifadesinden kurtulmak demektir.

Köşeli parantez açarken çözüm yazmanın özellikleriyle ilgili başka bir nokta özel ilgiyi hak ediyor. Parantez içindeki ilk ifadeyi ve parantezleri açtıktan sonra elde edilen sonucu eşitlik olarak yazabiliriz. Örneğin parantez açıldıktan sonra ifade yerine
3−(5−7) 3−5+7 ifadesini elde ederiz. Bu ifadelerin her ikisini de 3−(5−7)=3−5+7 eşitliği olarak yazabiliriz.

Ve bir tane daha önemli nokta. Matematikte, girişleri azaltmak için, bir ifadede veya parantez içinde ilk ise artı işareti yazmamak gelenekseldir. Örneğin, yedi ve üç gibi iki pozitif sayı eklersek, o zaman yedinin de olmasına rağmen +7 + 3 değil, sadece 7 + 3 yazarız. pozitif sayı. Benzer şekilde, örneğin (5 + x) ifadesini görürseniz, parantezin önünde yazılmayan bir artı olduğunu ve parantezin önünde bir artı + (+5 + x) olduğunu bilin. beş.

Toplama için parantez genişletme kuralı

Parantezleri açarken parantezlerden önce artı varsa parantezlerle birlikte bu artı atlanır.

Örnek. 2 + (7 + 3) ifadesindeki parantezleri açın, parantez artıdan önce, ardından parantez içindeki sayıların önündeki karakterler değişmez.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Çıkarma işleminde parantezleri genişletme kuralı

Parantezlerden önce bir eksi varsa, bu eksi parantezlerle birlikte atlanır, ancak parantez içindeki terimler işaretlerini tersine değiştirir. Parantez içindeki ilk terimden önce bir işaretin olmaması + işaretini gösterir.

Örnek. 2 − (7 + 3) ifadesindeki parantezleri açın

Parantezlerden önce bir eksi var, bu nedenle parantezlerdeki sayıların önündeki işaretleri değiştirmeniz gerekiyor. 7 rakamından önce parantez içinde işaret yoktur yani yedi pozitiftir, önünde + işareti olduğu kabul edilir.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Parantezleri açarken, parantezlerden önceki örnekten eksiyi ve parantezlerin kendilerini 2 - (+ 7 + 3) kaldırırız ve parantez içindeki işaretleri zıt olanlarla değiştiririz.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Çarpma yaparken parantezleri genişletmek

Parantezlerin önünde çarpma işareti varsa, parantez içindeki her sayı parantez önündeki çarpan ile çarpılır. Aynı zamanda eksiyi eksiyle çarpmak artı verir, artıyı eksiyle çarpmak gibi eksiyi artıyla çarpmak da eksi verir.

Böylece çarpımın dağılma özelliğine göre çarpımlardaki parantezler açılır.

Örnek. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Parantez parantez ile çarpılırken, birinci parantezin her terimi ikinci parantezdeki her terimle çarpılır.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

Aslında tüm kuralları hatırlamaya gerek yok, sadece birini hatırlamak yeterli: c(a−b)=ca−cb. Neden? Çünkü c yerine bir koyarsak (a−b)=a−b kuralını elde ederiz. Ve eksi bir yerine koyarsak, −(a−b)=−a+b kuralını elde ederiz. Peki, c yerine başka bir parantez koyarsanız, son kuralı elde edebilirsiniz.

Bölme işleminde parantezleri genişlet

Parantezlerden sonra bölme işareti varsa, parantez içindeki her sayı parantezden sonra bölene bölünebilir ve tersi de geçerlidir.

Örnek. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

İç içe parantezler nasıl genişletilir

İfade iç içe köşeli parantezler içeriyorsa, bunlar harici veya dahili ile başlayarak sırayla genişletilir.

Aynı zamanda parantezlerden birini açarken diğer parantezlere dokunmamak, olduğu gibi yeniden yazmak önemlidir.

Örnek. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

Cebirde ele alınan çeşitli ifadeler arasında tek terimlilerin toplamları önemli bir yer tutar. İşte bu tür ifadelerin örnekleri:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Tek terimlilerin toplamına polinom denir. Bir polinomdaki terimlere polinomun üyeleri denir. Tek terimlilere polinomlar da denir, tek terimli bir üyeden oluşan bir polinom olarak kabul edilir.

Örneğin, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
basitleştirilebilir.

Tüm terimleri tek terimli formda temsil ediyoruz standart görünüm:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Ortaya çıkan polinomda benzer terimler veriyoruz:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Sonuç, tüm üyeleri standart formun monomları olan ve aralarında benzerleri olmayan bir polinomdur. Bu tür polinomlara denir standart form polinomları.

Arka polinom derecesi standart form, üyelerinin yetkilerinin en büyüğünü alır. Yani, binom \(12a^2b - 7b \) üçüncü dereceye sahiptir ve üç terimli \(2b^2 -7b + 6 \) ikinci dereceye sahiptir.

Genellikle, bir değişken içeren standart biçimli polinomların terimleri, üslerinin azalan sırasına göre düzenlenir. Örneğin:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Birkaç polinomun toplamı, standart bir polinom biçimine dönüştürülebilir (basitleştirilebilir).

Bazen bir polinomun üyelerinin, her grubu parantez içine alarak gruplara ayrılması gerekir. Parantezler parantezlerin tersi olduğu için formüle edilmesi kolaydır. parantez açma kuralları:

+ işareti parantezden önce geliyorsa parantez içindeki terimler aynı işaretlerle yazılır.

Parantezlerin önüne "-" işareti konursa, parantez içindeki terimler zıt işaretlerle yazılır.

Bir monom ve bir polinomun çarpımının dönüşümü (basitleştirme)

Çarpmanın dağılma özelliğini kullanarak, bir tek terimli ile bir polinomun çarpımı bir polinom haline dönüştürülebilir (basitleştirilebilir). Örneğin:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Bir tek terimlinin ve bir polinomun çarpımı, bu tek terimlinin ve polinomun terimlerinin her birinin çarpımlarının toplamına özdeş olarak eşittir.

Bu sonuç genellikle bir kural olarak formüle edilir.

Bir tek terimliyi bir polinomla çarpmak için, bu tek terimliyi polinomun terimlerinin her biri ile çarpmak gerekir.

Bir toplamla çarpmak için bu kuralı defalarca kullandık.

Polinomların ürünü. İki polinomun çarpımının dönüşümü (basitleştirme)

Genel olarak, iki polinomun çarpımı, bir polinomun her bir terimi ile diğerinin her bir teriminin çarpımının toplamına eşittir.

Genellikle aşağıdaki kuralı kullanın.

Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, bir polinomun her terimini diğerinin her terimiyle çarpmanız ve elde edilen ürünleri toplamanız gerekir.

Kısaltılmış çarpma formülleri. Toplam, Fark ve Fark Kareleri

Cebirsel dönüşümlerdeki bazı ifadelerin diğerlerinden daha sık ele alınması gerekir. Belki de en yaygın ifadeler \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ve \(a^2 - b^2 \), yani toplamın karesi, farkın karesi ve kare farkı. Bu ifadelerin adlarının eksik göründüğünü fark ettiniz, yani örneğin \((a + b)^2 \) sadece toplamın karesi değil, aynı zamanda toplamın karesidir. a ve B. Bununla birlikte, a ve b toplamının karesi o kadar yaygın değildir, kural olarak a ve b harfleri yerine çeşitli, bazen oldukça karmaşık ifadeler içerir.

\((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ifadelerinin standart formdaki polinomlara dönüştürülmesi (basitleştirilmesi) kolaydır, aslında polinomları çarparken böyle bir görevle zaten karşılaşmışsınızdır :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Ortaya çıkan kimlikler, ara hesaplamalar olmadan hatırlamak ve uygulamak için yararlıdır. Kısa sözlü formülasyonlar buna yardımcı olur.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - toplamın karesi, kareler ile çift çarpımın toplamına eşittir.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - farkın karesi, çarpımı ikiye katlamadan karelerin toplamıdır.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - kareler farkı, farkın ve toplamın çarpımına eşittir.

Bu üç kimlik, dönüşümlerde sol kısımlarını sağ kısımlarla ve tam tersi - sağ kısımlarını sol kısımlarla değiştirmeye izin verir. Bu durumda en zor şey, karşılık gelen ifadeleri görmek ve bunlarda a ve b değişkenlerinin ne değiştirdiğini anlamaktır. Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanmanın birkaç örneğine bakalım.

Denklemin o kısmı parantez içindeki ifadedir. Parantezleri açmak için parantezlerin önündeki işarete bakın. Artı işareti varsa, ifade kaydındaki parantezleri genişletirken hiçbir şey değişmeyecek: sadece parantezleri kaldırın. Eksi işareti varsa parantezleri açarken başlangıçta parantez içinde olan tüm işaretleri zıt olanlarla değiştirmek gerekir. Örneğin, -(2x-3)=-2x+3.

İki parantezin çarpımı.
Denklem iki parantezin çarpımını içeriyorsa, parantezleri standart kurala göre genişletin. Birinci parantezin her terimi, ikinci parantezin her terimi ile çarpılır. Ortaya çıkan sayılar toplanır. Bu durumda, iki "artı" veya iki "eksi" nin çarpımı terime "artı" işareti verir ve eğer faktörler farklı işaretler, ardından eksi işareti alır.
Dikkate almak .
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

Parantezleri genişleterek, bazen bir ifadeyi . Kare alma ve küp alma formülleri ezbere bilinmeli ve akılda tutulmalıdır.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Üçten büyük bir ifadeyi yükseltmek için formüller Pascal üçgeni kullanılarak yapılabilir.

kaynaklar:

• parantez açma formülü

Parantez içine alınmış matematiksel işlemler, değişen karmaşıklık derecelerinde değişkenler ve ifadeler içerebilir. Bu tür ifadeleri çoğaltmak için, kişinin bir çözüm araması gerekecek. Genel görünüm, parantezleri genişletmek ve sonucu basitleştirmek. Parantezler değişkensiz, yalnızca sayısal değerlerle işlemler içeriyorsa, o zaman parantezleri açmaya gerek yoktur, çünkü kullanıcısı için bir bilgisayar mevcutsa, çok önemli bilgi işlem kaynakları mevcuttur - bunları kullanmak, basitleştirmekten daha kolaydır. ifade.

Talimat

Genel bir sonuç elde etmek istiyorsanız, bir parantezin içerdiği (veya indirgenmiş) her birini diğer tüm parantezlerin içeriğiyle art arda çarpın. Örneğin orijinal ifade şu şekilde yazılsın: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Ardından art arda çarpma (yani parantezleri genişletme) şu sonucu verecektir: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

İfadeleri kısaltarak sonuçtan sonra basitleştirin. Örneğin bir önceki adımda elde edilen ifade şu şekilde sadeleştirilebilir: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

x eşittir 4,75, yani (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2) ile çarpmanız gerekiyorsa bir hesap makinesi kullanın. Bu değeri hesaplamak için Google veya Nigma arama motoru web sitesine gidin ve sorgu alanına ifadeyi orijinal haliyle (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2) girin. Google, 82.265625'i bir düğmeye basmadan hemen gösterecek, Nigma'nın ise bir düğmeye basarak verileri sunucuya göndermesi gerekiyor.

Bu derste, parantez içeren bir ifadeyi parantez içermeyen bir ifadeye nasıl dönüştüreceğinizi öğreneceksiniz. Önlerinde artı işareti ve eksi işareti bulunan köşeli parantezleri nasıl açacağınızı öğreneceksiniz. Çarpmanın dağılma yasasını kullanarak parantezleri nasıl açacağımızı hatırlayacağız. Ele alınan örnekler, yeni ve daha önce çalışılan materyalin tek bir bütün halinde birleştirilmesine izin verecektir.

Konu: Denklem Çözme

Ders: Parantez genişletme

Önünde "+" işareti bulunan parantezler nasıl açılır? Birleştirici toplama yasasının kullanımı.

Bir sayıya iki sayının toplamını eklemeniz gerekiyorsa, bu sayıya ilk terimi ve ardından ikinci terimi ekleyebilirsiniz.

Eşittir işaretinin solunda parantezli bir ifade, sağında ise parantezsiz bir ifade vardır. Bu, eşitliğin solundan sağına geçerken parantezlerin açıldığı anlamına gelir.

Örnekleri düşünün.

örnek 1

Parantezleri genişleterek işlem sırasını değiştirdik. Sayma daha uygun hale geldi.

Örnek 2

Örnek 3

Her üç örnekte de parantezleri basitçe kaldırdığımıza dikkat edin. Kuralı formüle edelim:

Yorum.

Parantez içindeki ilk terim işaretsiz ise artı işaretiyle yazılmalıdır.

Adım adım örneği takip edebilirsiniz. Önce 445'i 889'a ekleyin. Bu zihinsel işlem yapılabilir ama çok kolay değildir. Parantezleri açalım ve değişen işlem sırasının hesaplamaları büyük ölçüde basitleştireceğini görelim.

Belirtilen işlem sırasını izlerseniz, önce 512'den 345'i çıkarmanız ve ardından sonuca 1345 eklemeniz gerekir.Parantezleri genişleterek, işlem sırasını değiştireceğiz ve hesaplamaları büyük ölçüde basitleştireceğiz.

Açıklayıcı örnek ve kural.

Bir örnek düşünün: . 2 ve 5'i toplayıp karşı işaretli sayıyı alarak ifadenin değerini bulabilirsiniz. -7 elde ederiz.

Öte yandan, zıt sayılar toplanarak aynı sonuç elde edilebilir.

Kuralı formüle edelim:

örnek 1

Örnek 2

Parantez içinde iki değil, üç veya daha fazla terim varsa kural değişmez.

Örnek 3

Yorum. İşaretler yalnızca terimlerin önünde tersine çevrilir.

parantez açmak için, bu durum dağılma özelliğini hatırlayın.

İlk olarak, ilk parantezi 2 ile ikinciyi 3 ile çarpın.

İlk köşeli ayraçtan önce bir "+" işareti gelir, bu da işaretlerin değişmeden bırakılması gerektiği anlamına gelir. İkincisinin önünde bir "-" işareti vardır, bu nedenle tüm işaretler tersine çevrilmelidir.

Kaynakça

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematik 6. sınıf. - Spor salonu, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Bir matematik ders kitabının sayfalarının arkasında. - Aydınlanma, 1989.
4. Rurukin A.N., Çaykovski I.V. 5-6. sınıf matematik dersi için görevler - ZSH MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematik 5-6. MEPhI yazışma okulunun 6. sınıfındaki öğrenciler için bir el kitabı. - ZSH MEPhi, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematik: 5-6. Sınıflar için Muhatap ders kitabı lise. Matematik öğretmeninin kütüphanesi. - Aydınlanma, 1989.

1. Çevrimiçi matematik testleri ().
2. Madde 1.2'de belirtilenleri indirebilirsiniz. kitabın().

Ev ödevi

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (bkz. bağlantı 1.2)
2. Ödev: Sayı 1254, Sayı 1255, Sayı 1256 (b, d)
3. Diğer görevler: No. 1258(c), No. 1248

Bu yazımızda, parantez açma gibi bir matematik dersinde böylesine önemli bir konu için temel kuralları ayrıntılı olarak ele alacağız. Kullanıldıkları denklemleri doğru bir şekilde çözmek için parantez açma kurallarını bilmeniz gerekir.

Eklerken parantez nasıl düzgün açılır?

Önünde "+" işareti bulunan parantezleri genişletin

En basit hali bu çünkü parantezlerin önünde toplama işareti varsa parantezler açıldığında içindeki işaretler değişmiyor. Örnek:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Önünde "-" işareti bulunan parantezler nasıl açılır?

Bu durumda, tüm terimleri parantez olmadan yeniden yazmanız, ancak aynı zamanda içlerindeki tüm işaretleri zıt olanlarla değiştirmeniz gerekir. İşaretler yalnızca önünde "-" işareti bulunan parantezlerdeki terimler için değişir. Örnek:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Çarpma yaparken parantez nasıl açılır?

Parantezlerin önünde bir çarpan bulunur

Bu durumda her terimi bir çarpanla çarpmanız ve işaretleri değiştirmeden parantezleri açmanız gerekir. Çarpan "-" işaretine sahipse, çarpma işlemi sırasında terimlerin işaretleri tersine çevrilir. Örnek:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Aralarında çarpma işareti bulunan iki parantez nasıl açılır?

Bu durumda, ilk parantezdeki her terimi ikinci parantezdeki her terimle çarpmanız ve ardından sonuçları eklemeniz gerekir. Örnek:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Köşeli parantez nasıl açılır

İki terimin toplamının veya farkının karesi varsa, parantezler aşağıdaki formüle göre genişletilmelidir:

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

Parantez içinde eksi olması durumunda formül değişmez. Örnek:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Farklı bir derecede parantez nasıl açılır

Terimlerin toplamı veya farkı, örneğin 3. veya 4. güce yükseltilirse, o zaman köşeli ayraç derecesini "karelere" ayırmanız yeterlidir. Aynı çarpanların güçleri toplanır ve bölme işlemi yapılırken bölenin derecesi bölünenin derecesinden çıkarılır. Örnek:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

3 parantez nasıl açılır

3 parantezin birden çarpıldığı denklemler vardır. Bu durumda önce ilk iki parantezin terimlerini kendi aralarında çarpmanız, ardından bu çarpmanın toplamını üçüncü parantezdeki terimlerle çarpmanız gerekir. Örnek:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Bu parantez açma kuralları hem lineer hem de trigonometrik denklemler için eşit olarak geçerlidir.