Ev › Işık ve cam › Belirli bir noktadaki fonksiyonların çarpımının türevi. Türevi bulun: algoritma ve çözüm örnekleri

Belirli bir noktadaki fonksiyonların çarpımının türevi. Türevi bulun: algoritma ve çözüm örnekleri

Bu derste fonksiyonların türevlerini incelemeye devam ediyoruz ve daha ileri bir konuya, yani çarpımların ve bölümlerin türevlerine geçiyoruz. Önceki dersi izlediyseniz muhtemelen yalnızca en basit yapıları, yani bir kuvvet fonksiyonunun türevini, toplamını ve farkını dikkate aldığımızı fark etmişsinizdir. Özellikle, bir toplamın türevinin toplamlarına eşit olduğunu ve bir farkın türevinin sırasıyla farklarına eşit olduğunu öğrendik. Maalesef bölüm ve çarpım türevleri durumunda formüller çok daha karmaşık olacaktır. Fonksiyonların çarpımının türevinin formülüyle başlayacağız.

Trigonometrik fonksiyonların türevleri

Başlangıç olarak küçük bir lirik inceleme yapayım. Gerçek şu ki, standart kuvvet fonksiyonuna - $y=((x)^(n))$ ek olarak, bu derste $y=\sin x$ ve $ gibi diğer fonksiyonlarla da karşılaşacağız. y=\ cos x$ ve diğer trigonometri - $y=tgx$ ve tabii ki $y=ctgx$.

Eğer hepimiz bir kuvvet fonksiyonunun türevini çok iyi biliyorsak, yani $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, o zaman Trigonometrik fonksiyonlardan ayrıca bahsetmek gerekir. Bunu yazalım:

\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

Ama siz bu formülleri çok iyi biliyorsunuz, devam edelim.

Bir ürünün türevi nedir?

İlk olarak, en önemli şey: Eğer bir fonksiyon diğer iki fonksiyonun çarpımı ise, örneğin $f\cdot g$, o zaman bu yapının türevi aşağıdaki ifadeye eşit olacaktır:

Gördüğünüz gibi bu formül, daha önce incelediğimiz formüllerden önemli ölçüde farklı ve daha karmaşıktır. Örneğin, bir toplamın türevi temel bir şekilde hesaplanır - $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$ veya türevi aynı zamanda temel bir şekilde hesaplanan bir fark - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.

Problemde bize verilen iki fonksiyonun türevlerini hesaplamak için ilk formülü uygulamaya çalışalım. İlk örnekle başlayalım:

Açıkçası, aşağıdaki yapı bir çarpım, daha doğrusu çarpan görevi görüyor: $((x)^(3))$, bunu $f$ ve $\left(x-5 \right) olarak düşünebiliriz. $'ı $g$ olarak düşünebiliriz. O zaman ürünleri tam olarak iki fonksiyonun ürünü olacaktır. Biz karar veriyoruz:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \) sağ))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(hizala)\].

Şimdi her bir terimimize daha yakından bakalım. Hem birinci hem de ikinci terimin $x$ derecesini içerdiğini görüyoruz: ilk durumda $((x)^(2))$, ikinci durumda ise $((x)^(3)) $. Parantez içinde bırakarak en küçük dereceyi parantezlerden çıkaralım:

\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2) ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15)\\\end(hizala)\]

İşte bu, cevabı bulduk.

Sorunlarımıza dönelim ve çözmeye çalışalım:

O halde yeniden yazalım:

Yine, iki fonksiyonun çarpımının çarpımından bahsettiğimize dikkat edelim: $f$ ile gösterilebilen $x$ ve $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, $g$ ile gösterilir.

Böylece önümüzde yine iki fonksiyonun çarpımı var. $f\left(x \right)$ fonksiyonunun türevini bulmak için yine formülümüzü kullanacağız. Şunu elde ederiz:

\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(align)\]

Cevap bulundu.

Neden faktör türevleri?

Kendi başlarına türevlerle ilgili olmayan, ancak onların bilgisi olmadan, çok önemli birkaç matematiksel gerçeği kullandık, bu konuyla ilgili daha fazla çalışmanın hiçbir anlamı yok.

Öncelikle ilk problemi çözerken ve türevlerin tüm işaretlerinden kurtulmuşken, bir nedenden dolayı bu ifadeyi çarpanlarına ayırmaya başladık.

İkinci olarak, aşağıdaki problemi çözerken, ayrı ayrı tekrarlamakta fayda olan 8-9. sınıf formülünü kullanarak kökten rasyonel üslü kuvvete ve birkaç kez geriye geçtik.

Çarpanlara ayırmayla ilgili olarak tüm bu ek çabalara ve dönüşümlere neden ihtiyaç duyuldu? Aslında problem basitçe "bir fonksiyonun türevini bulun" diyorsa bu ek adımlara gerek yoktur. Ancak her türlü sınav ve testte sizi bekleyen gerçek problemlerde sadece türevi bulmak çoğu zaman yeterli değildir. Gerçek şu ki, türev yalnızca bir fonksiyonun artışını veya azalmasını öğrenebileceğiniz bir araçtır ve bunun için denklemi çözmeniz ve onu çarpanlara ayırmanız gerekir. Ve bu tekniğin çok uygun olacağı yer burasıdır. Ve genel olarak, herhangi bir dönüşüm gerekiyorsa gelecekte çarpanlara ayrılmış bir fonksiyonla çalışmak çok daha rahat ve keyifli. Bu nedenle kural 1: Eğer türev çarpanlarına ayrılabiliyorsa, yapmanız gereken de budur. Ve hemen 2 numaralı kural (esasen bu 8-9. sınıf materyalidir): eğer problem bir kök içeriyorsa N-inci derece ve kök açıkça ikiden büyükse, bu kökün yerini rasyonel bir üsle sıradan bir derece alabilir ve üs içinde bir kesir görünecektir; N- tam da bu derece - bu kesrin paydasında olacaktır.

Tabii kökün altında bir derece varsa (bizim durumumuzda bu derecedir) k), o zaman hiçbir yere gitmez, sadece bu derecenin payına düşer.

Artık bunları anladığınıza göre çarpımın türevlerine geri dönelim ve birkaç denklem daha hesaplayalım.

Ancak doğrudan hesaplamalara geçmeden önce aşağıdaki kalıpları hatırlatmak isterim:

\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

İlk örneği ele alalım:

Yine iki fonksiyonun çarpımı var: birincisi $f$, ikincisi $g$. Formülü hatırlatayım:

\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

Karar verelim:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end(align)\]

Gelelim ikinci fonksiyona:

Yine, $\left(3x-2 \right)$ $f$'ın bir fonksiyonudur, $\cos x$ $g$'ın bir fonksiyonudur. Toplamda iki fonksiyonun çarpımının türevi şuna eşit olacaktır:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end(align)\]

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime ))\]

Ayrı ayrı yazalım:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]

Bu ifadeyi çarpanlara ayırmıyoruz çünkü bu henüz nihai cevap değil. Şimdi ikinci kısmı çözmemiz gerekiyor. Bunu yazalım:

\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]

Şimdi asıl görevimize dönelim ve her şeyi tek bir yapıda bir araya getirelim:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]

İşte bu, bu son cevap.

Son örneğe geçelim - hesaplamalar açısından en karmaşık ve en hacimli olacak. Yani bir örnek:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]

Her parçayı ayrı ayrı sayıyoruz:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Orijinal fonksiyona dönersek türevini bir bütün olarak hesaplayalım:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2))))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Aslında türev çalışmalarla ilgili size anlatmak istediğim tek şey buydu. Gördüğünüz gibi formülle ilgili asıl sorun onu ezberlemek değil, oldukça fazla miktarda hesaplama içermesidir. Ama sorun değil, çünkü şimdi gerçekten çok çalışmamız gereken bölüm türevine geçiyoruz.

Bir bölümün türevi nedir?

Yani bölümün türevinin formülü. Bu belki de okuldaki türev dersindeki en karmaşık formüldür. Diyelim ki $\frac(f)(g)$ biçiminde bir fonksiyonumuz var; burada $f$ ve $g$ aynı zamanda asal sayıyı da kaldırabileceğimiz fonksiyonlardır. Daha sonra aşağıdaki formüle göre hesaplanacaktır:

Pay bize bir bakıma çarpımın türev formülünü hatırlatıyor ama terimler arasında eksi işareti var ve orijinal paydanın karesi de paydaya eklenmiş. Bunun pratikte nasıl çalıştığını görelim:

Çözmeye çalışalım:

\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\prime ))=\frac(((\left) (((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]

Her bölümü ayrı ayrı yazıp şunları yazmanızı öneririm:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ sağ))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \right))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\son(hizala)\]

İfademizi yeniden yazalım:

\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\left(x+2 \right))^(2))))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\left(x+2 \right))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\left(x+2 \right) ))^(2)))) \\\end(hizala)\]

Cevabı bulduk. Gelelim ikinci fonksiyona:

Payı sadece bir olduğu için buradaki hesaplamalar biraz daha basit olacaktır. O halde şunu yazalım:

\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))))(( (\left(((x)^(2))+4 \right))^(2))))\]

Örneğin her bölümünü ayrı ayrı hesaplayalım:

\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \right))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]

İfademizi yeniden yazalım:

\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2) )+4 \sağ))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]

Cevabı bulduk. Beklendiği gibi, hesaplama miktarının ilk fonksiyona göre önemli ölçüde daha az olduğu ortaya çıktı.

Tanımlamalar arasındaki fark nedir?

Dikkatli öğrencilerin muhtemelen zaten bir sorusu vardır: Neden bazı durumlarda fonksiyonu $f\left(x \right)$ olarak belirtiyoruz ve diğer durumlarda sadece $y$ yazıyoruz? Aslında matematik açısından kesinlikle hiçbir fark yoktur - hem birinciyi hem de ikinciyi kullanma hakkına sahipsiniz ve sınavlarda veya testlerde herhangi bir ceza alınmayacaktır. Hâlâ ilgilenenler için, ders kitaplarının ve problemlerin yazarlarının neden bazı durumlarda $f\left(x \right)$ yazdıklarını ve diğerlerinde (çok daha sık) - sadece $y$ yazdıklarını açıklayacağım. Gerçek şu ki, \ biçiminde bir fonksiyon yazarak, hesaplamalarımızı okuyanlara, özellikle fonksiyonel bağımlılığın cebirsel yorumundan bahsettiğimizi dolaylı olarak ima etmiş oluyoruz. Yani belli bir $x$ değişkeni var, bu değişkene olan bağımlılığı dikkate alıyoruz ve onu $f\left(x \right)$ olarak gösteriyoruz. Aynı zamanda, böyle bir atamayı gören, hesaplamalarınızı okuyan kişi, örneğin müfettiş, bilinçaltında gelecekte onu yalnızca cebirsel dönüşümlerin beklediğini bekleyecektir - grafik yok ve geometri yok.

Öte yandan, \ biçimindeki notasyonları kullanarak, yani bir değişkeni tek bir harfle göstererek, gelecekte fonksiyonun geometrik yorumuyla ilgilendiğimizi, yani öncelikle ilgilendiğimizi hemen açıkça ortaya koyarız. hepsi grafiğinde. Buna göre, okuyucunun formun bir kaydıyla karşılaştığında grafik hesaplamalar, yani grafikler, yapılar vb. bekleme hakkı vardır, ancak hiçbir durumda analitik dönüşümler beklenmez.

Bugün ele aldığımız görevlerin tasarımının bir özelliğine de dikkatinizi çekmek isterim. Pek çok öğrenci hesaplamaları çok detaylı verdiğimi ve birçoğunun atlanabileceğini ya da basitçe kafalarında çözülebileceğini düşünüyor. Bununla birlikte, saldırgan hatalardan kurtulmanıza ve örneğin testler veya sınavlar için kendi kendine hazırlık durumunda, doğru çözülen sorunların yüzdesini önemli ölçüde artırmanıza olanak tanıyan tam da bu kadar ayrıntılı bir kayıttır. Bu nedenle, yeteneklerinizden hala emin değilseniz, bu konuyu incelemeye yeni başlıyorsanız acele etmeyin - her adımı ayrıntılı olarak açıklayın, her faktörü, her vuruşu yazın ve çok yakında bu tür örnekleri daha iyi çözmeyi öğreneceksiniz. birçok okul öğretmeninden daha fazla. Umarım açık olmuştur. Birkaç örnek daha sayalım.

Birkaç ilginç görev

Bu sefer, gördüğümüz gibi, hesaplanan türevlerde trigonometri mevcut. Bu nedenle şunu hatırlatmama izin verin:

\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(align )\]

Elbette bölümün türevi olmadan yapamayız:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2))))\]

İlk fonksiyonu ele alalım:

\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x) \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\bit(hizala)\]

Böylece bu ifadeye bir çözüm bulduk.

Gelelim ikinci örneğe:

Açıkçası, bu fonksiyonun hem payında hem de paydasında trigonometri mevcut olduğu için türevi daha karmaşık olacaktır. Biz karar veriyoruz:

\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right) ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))))(((\left(\cos x \right)) ^(2))))\]

Ürünün bir türevine sahip olduğumuzu unutmayın. Bu durumda şuna eşit olacaktır:

\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \) sağ))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]

Hesaplamalarımıza dönelim. Şunları yazıyoruz:

\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(hizala)\]

Bu kadar! Matematiği yaptık.

Bir bölümün türevi, bir ürünün türevi için basit bir formüle nasıl indirgenir?

Ve burada trigonometrik fonksiyonlarla ilgili çok önemli bir açıklama yapmak istiyorum. Gerçek şu ki, orijinal yapımız $\frac(\sin x)(\cos x)$ biçiminde bir ifade içerir ve bu ifade kolayca $tgx$ ile değiştirilebilir. Böylece bir bölümün türevini, bir çarpımın türevi için daha basit bir formüle indirgemiş oluyoruz. Bu örneği tekrar hesaplayalım ve sonuçları karşılaştıralım.

O halde şimdi şunları dikkate almamız gerekiyor:

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Bu gerçeği hesaba katarak orijinal fonksiyonumuzu $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ yeniden yazalım. Şunu elde ederiz:

Hadi sayalım:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align) \]

Şimdi elde edilen sonucu daha önce farklı bir şekilde hesaplarken elde ettiğimiz sonuçla karşılaştırırsak aynı ifadeyi aldığımıza ikna olacağız. Yani türev hesabında hangi yöne gidersek gidelim her şey doğru hesaplanırsa cevap aynı olacaktır.

Sorunları çözerken önemli nüanslar

Sonuç olarak size bir bölümün türevinin hesaplanmasıyla ilgili bir incelikten daha bahsetmek istiyorum. Şimdi anlatacaklarım video dersinin orijinal senaryosunda yoktu. Ancak çekimlerden birkaç saat önce öğrencilerimden biriyle çalışıyordum ve sadece bölüm türevleri konusunu tartışıyorduk. Ve ortaya çıktığı gibi, birçok öğrenci bu noktayı anlamıyor. Diyelim ki aşağıdaki fonksiyonun kaldırma vuruşunu hesaplamamız gerekiyor:

Prensip olarak, ilk bakışta bunda doğaüstü hiçbir şey yok. Ancak hesaplama sürecinde pek çok aptalca ve saldırgan hata yapabiliriz, bunu şimdi tartışmak istiyorum.

Bu türevi hesaplıyoruz. Öncelikle $3((x)^(2))$ terimine sahip olduğumuzu not edelim, dolayısıyla aşağıdaki formülü hatırlamamız yerinde olacaktır:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Ek olarak $\frac(48)(x)$ terimine sahibiz - bunu bölümün türevi aracılığıyla ele alacağız, yani:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2))))\]

Öyleyse karar verelim:

\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \right)) ^(\prime ))+10(0)"\]

İlk dönemde herhangi bir sorun yok, bakınız:

\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]

Ancak ilk terim olan $\frac(48)(x)$ ile ayrı ayrı çalışmanız gerekir. Gerçek şu ki, birçok öğrenci $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ bulmaları gerektiğinde ve $((\left) bulmaları gerektiğinde durumu karıştırıyor (\frac (48)(x) \sağ))^(\prime ))$. Yani, sırasıyla sabit payda olduğunda ve sabit payda olduğunda, değişken payda veya paydada olduğunda kafaları karışır.

İlk seçenekle başlayalım:

\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

Öte yandan aynı şeyi ikinci kesir için de yapmaya çalışırsak şunu elde ederiz:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right) ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(hizalama)\]

Ancak aynı örnek farklı şekilde de hesaplanabilir: Bölümün türevine geçtiğimiz aşamada $\frac(1)(x)$'ı negatif üslü bir kuvvet olarak ele alabiliriz, yani aşağıdaki sonucu elde ederiz: :

\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(-) 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1) )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Ve böylece aynı cevabı aldık.

Böylece iki önemli gerçeğe bir kez daha ikna olduk. İlk olarak, aynı türev tamamen farklı şekillerde hesaplanabilir. Örneğin, $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ hem bir bölümün türevi hem de bir kuvvet fonksiyonunun türevi olarak düşünülebilir. Üstelik tüm hesaplamalar doğru yapılırsa cevap her zaman aynı olacaktır. İkinci olarak, hem değişken hem de sabit içeren türevleri hesaplarken, değişkenin payda veya paydada nerede bulunduğu temel olarak önemlidir. İlk durumda değişken payda olduğunda kolayca hesaplanabilen basit bir doğrusal fonksiyon elde ederiz. Ve eğer değişken paydadaysa, daha önce verilen hesaplamalarla daha karmaşık bir ifade elde ederiz.

Bu noktada ders tamamlanmış sayılabilir, dolayısıyla bir bölümün veya çarpımın türevleri hakkında hiçbir şey anlamıyorsanız ve genel olarak bu konuyla ilgili herhangi bir sorunuz varsa tereddüt etmeyin - web siteme gidin , yazın, arayın, size yardımcı olabilir miyim diye mutlaka deneyeceğim.

Türevlerin kendisi karmaşık bir konu değildir ancak çok kapsamlıdır ve şu anda üzerinde çalıştığımız şeyler gelecekte daha karmaşık problemleri çözerken kullanılacaktır. Bu nedenle bir bölümün veya çarpımın türevlerinin hesaplanmasıyla ilgili tüm yanlış anlamaları hemen şimdi tespit etmek daha iyidir. Büyük bir yanlış anlama kartopu olduklarında değil, baş edilmesi kolay küçük bir tenis topu olduklarında.

Tanımı takip ederseniz, bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, Δ fonksiyonunun artış oranının limitidir. sen argüman artışına Δ X:

Her şey açık görünüyor. Ancak fonksiyonun türevini hesaplamak için bu formülü kullanmayı deneyin. F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X günah X. Her şeyi tanımı gereği yaparsanız, birkaç sayfalık hesaplamalardan sonra uykuya dalacaksınız. Bu nedenle daha basit ve etkili yollar var.

Başlangıç olarak, tüm fonksiyon çeşitliliğinden, temel fonksiyonlar olarak adlandırılanları ayırt edebildiğimizi not ediyoruz. Bunlar, türevleri uzun süredir hesaplanan ve tablolaştırılan nispeten basit ifadelerdir. Bu tür fonksiyonların türevleriyle birlikte hatırlanması oldukça kolaydır.

Temel fonksiyonların türevleri

Temel işlevler aşağıda listelenenlerin tamamıdır. Bu fonksiyonların türevlerinin ezbere bilinmesi gerekir. Üstelik bunları ezberlemek hiç de zor değil; bu yüzden temel düzeydedirler.

Yani, temel fonksiyonların türevleri:

İsim	İşlev	Türev
Devamlı	F(X) = C, C ∈ R	0 (evet, sıfır!)
Rasyonel üslü kuvvet	F(X) = X N	N · X N − 1
Sinüs	F(X) = günah X	çünkü X
Kosinüs	F(X) = çünkü X	−günah X(eksi sinüs)
Teğet	F(X) = tg X	1/çünkü 2 X
Kotanjant	F(X) = ctg X	− 1/günah 2 X
Doğal logaritma	F(X) = günlük X	1/X
Keyfi logaritma	F(X) = günlük A X	1/(X içinde A)
Üstel fonksiyon	F(X) = e X	e X(hiçbirşey değişmedi)

Bir temel fonksiyon keyfi bir sabitle çarpılırsa, yeni fonksiyonun türevi de kolaylıkla hesaplanır:

(C · F)’ = C · F ’.

Genel olarak sabitler türevin işaretinden çıkarılabilir. Örneğin:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Açıkçası, temel işlevler birbirine eklenebilir, çarpılabilir, bölünebilir ve çok daha fazlası yapılabilir. Artık özellikle temel olmayan, aynı zamanda belirli kurallara göre farklılaştırılmış yeni işlevler bu şekilde ortaya çıkacak. Bu kurallar aşağıda tartışılmaktadır.

Toplam ve farkın türevi

Fonksiyonlar verilsin F(X) Ve G(X), türevleri tarafımızca bilinmektedir. Örneğin yukarıda tartışılan temel işlevleri alabilirsiniz. Daha sonra bu fonksiyonların toplamının ve farkının türevini bulabilirsiniz:

(F + G)’ = F ’ + G ’
(F − G)’ = F ’ − G ’

Yani iki fonksiyonun toplamının (farkının) türevi, türevlerin toplamına (farkına) eşittir. Daha fazla şart olabilir. Örneğin, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

Açıkça söylemek gerekirse cebirde “çıkarma” kavramı yoktur. “Negatif unsur” diye bir kavram var. Bu nedenle fark F − G toplam olarak yeniden yazılabilir F+ (−1) G ve sonra yalnızca bir formül kalır - toplamın türevi.

F(X) = X 2 + günah x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

İşlev F(X) iki temel fonksiyonun toplamıdır, dolayısıyla:

F ’(X) = (X 2 + günah X)’ = (X 2)’ + (günah X)’ = 2X+ çünkü x;

İşlev için de benzer şekilde mantık yürütüyoruz G(X). Sadece zaten üç terim var (cebir açısından):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Cevap:
F ’(X) = 2X+ çünkü x;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Ürünün türevi

Matematik mantıksal bir bilimdir, pek çok kişi bir toplamın türevinin türevlerin toplamına eşit olması durumunda çarpımın türevinin alınacağına inanır. çarpmak">türevlerin çarpımına eşittir. Ama canınız cehenneme! Bir çarpımın türevi tamamen farklı bir formül kullanılarak hesaplanır. Yani:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Formül basit ama sıklıkla unutuluyor. Ve sadece okul çocukları değil, öğrenciler de. Sonuç yanlış çözülmüş problemlerdir.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: F(X) = X 3 çünkü x; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

İşlev F(X) iki temel fonksiyonun ürünüdür, dolayısıyla her şey basittir:

F ’(X) = (X 3 çünkü X)’ = (X 3) çünkü X + X 3 (çünkü X)’ = 3X 2 çünkü X + X 3 (− günah X) = X 2 (3cos X − X günah X)

İşlev G(X) ilk çarpan biraz daha karmaşıktır ancak genel şema değişmez. Açıkçası, fonksiyonun ilk faktörü G(X) bir polinomdur ve türevi toplamın türevidir. Sahibiz:

G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) · ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Cevap:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X günah X);
G ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Lütfen son adımda türevin çarpanlara ayrıldığını unutmayın. Resmi olarak bunun yapılmasına gerek yoktur, ancak çoğu türev kendi başına hesaplanmaz, fonksiyonu incelemek için hesaplanır. Bu, türevin ayrıca sıfıra eşitleneceği, işaretlerinin belirleneceği vb. anlamına gelir. Böyle bir durumda, bir ifadenin çarpanlara ayrılması daha iyidir.

İki fonksiyon varsa F(X) Ve G(X), Ve G(X) ≠ 0 ilgilendiğimiz kümede yeni bir fonksiyon tanımlayabiliriz H(X) = F(X)/G(X). Böyle bir fonksiyonun türevini de bulabilirsiniz:

Zayıf değil, değil mi? Eksi nereden geldi? Neden G 2? Ve bunun gibi! Bu en karmaşık formüllerden biridir; şişe olmadan çözemezsiniz. Bu nedenle spesifik örneklerle incelemek daha iyidir.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun:

Her kesrin payı ve paydası temel fonksiyonları içerir, bu nedenle ihtiyacımız olan tek şey bölümün türevinin formülüdür:

Geleneğe göre, payı çarpanlara ayıralım - bu, cevabı büyük ölçüde basitleştirecektir:

Karmaşık bir fonksiyonun mutlaka yarım kilometre uzunluğunda bir formül olması gerekmez. Örneğin fonksiyonu almanız yeterli F(X) = günah X ve değişkeni değiştirin X diyelim ki X 2 + ln X. Bu işe yarayacak F(X) = günah ( X 2 + ln X) - bu karmaşık bir fonksiyondur. Onun da bir türevi var ama yukarıda tartışılan kuralları kullanarak onu bulmak mümkün olmayacak.

Ne yapmalıyım? Bu gibi durumlarda, karmaşık bir fonksiyonun türevi için bir değişkeni ve formülü değiştirmek yardımcı olur:

F ’(X) = F ’(T) · T', Eğer Xşununla değiştirilir: T(X).

Kural olarak, bu formülün anlaşılmasındaki durum, bölümün türevinden daha da üzücüdür. Bu nedenle, bunu belirli örneklerle ve her adımın ayrıntılı bir açıklamasıyla açıklamak daha iyidir.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = günah ( X 2 + ln X)

Fonksiyonda ise şunu unutmayın F(X) ifade 2 yerine X+3 kolay olacak X sonra temel bir fonksiyon elde ederiz F(X) = e X. Bu nedenle bir değişiklik yapıyoruz: 2 olsun X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Aşağıdaki formülü kullanarak karmaşık bir fonksiyonun türevini ararız:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

Ve şimdi - dikkat! Ters değiştirme işlemini gerçekleştiriyoruz: T = 2X+ 3. Şunu elde ederiz:

F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Şimdi fonksiyona bakalım G(X). Açıkçası değiştirilmesi gerekiyor X 2 + ln X = T. Sahibiz:

G ’(X) = G ’(T) · T' = (günah T)’ · T' = çünkü T · T ’

Ters değiştirme: T = X 2 + ln X. Daha sonra:

G ’(X) = çünkü ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = çünkü ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

Bu kadar! Son ifadeden de anlaşılacağı üzere bütün sorun türev toplamının hesaplanmasına indirgenmiştir.

Cevap:
F ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) çünkü ( X 2 + ln X).

Derslerimde sıklıkla "türev" terimi yerine "asal" kelimesini kullanıyorum. Örneğin, toplamın vuruşu vuruşların toplamına eşittir. Bu daha açık mı? Tamam bu harika.

Dolayısıyla türevi hesaplamak, yukarıda tartışılan kurallara göre aynı vuruşlardan kurtulmak anlamına gelir. Son bir örnek olarak rasyonel üslü türev gücüne dönelim:

(X N)’ = N · X N − 1

Çok az kişi bunu rolde biliyor N kesirli bir sayı olabilir. Örneğin, kök X 0,5. Ya kökün altında süslü bir şey varsa? Sonuç yine karmaşık bir işlev olacaktır - bu tür yapıları testlerde ve sınavlarda vermeyi severler.

Görev. Fonksiyonun türevini bulun:

Öncelikle kökü rasyonel üssü olan bir kuvvet olarak yeniden yazalım:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Şimdi bir değişiklik yapıyoruz: izin ver X 2 + 8X − 7 = T. Türevi aşağıdaki formülü kullanarak buluruz:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)' · T' = 0,5 · T−0,5 · T ’.

Ters değiştirme işlemini yapalım: T = X 2 + 8X− 7. Elimizde:

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Son olarak köklere dönelim:

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Türev bilgisi ve onu hesaplama yöntemleri olmadan fiziksel problemleri veya matematikteki örnekleri çözmek tamamen imkansızdır. Türev matematiksel analizdeki en önemli kavramlardan biridir. Bugünkü makalemizi bu temel konuya ayırmaya karar verdik. Türev nedir, fiziksel ve geometrik anlamı nedir, bir fonksiyonun türevi nasıl hesaplanır? Tüm bu sorular tek bir soruda birleştirilebilir: Türev nasıl anlaşılır?

Türevin geometrik ve fiziksel anlamı

Bir fonksiyon olsun f(x) , belirli bir aralıkta belirtilir (a, b) . x ve x0 noktaları bu aralığa aittir. X değiştiğinde fonksiyonun kendisi de değişir. Argümanı değiştirme - değerlerindeki fark x-x0 . Bu fark şu şekilde yazılır: delta x ve argüman artışı olarak adlandırılır. Bir fonksiyonun değişmesi veya artması, bir fonksiyonun iki noktadaki değerleri arasındaki farktır. Türevin tanımı:

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, belirli bir noktadaki fonksiyonun artışının, argümanın sıfıra yaklaştığı durumdaki artışına oranının limitidir.

Aksi takdirde şu şekilde yazılabilir:

Böyle bir sınır bulmanın amacı nedir? Ve işte şu:

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, OX ekseni arasındaki açının belirli bir noktadaki fonksiyonun grafiğine olan teğetine eşittir.

Türevin fiziksel anlamı: yolun zamana göre türevi doğrusal hareketin hızına eşittir.

Aslında okul günlerinden beri herkes hızın belirli bir yol olduğunu biliyor x=f(t) ve zaman T . Belirli bir süredeki ortalama hız:

Belirli bir andaki hareketin hızını bulmak için t0 limiti hesaplamanız gerekir:

Birinci kural: bir sabit belirleyin

Sabit türev işaretinden çıkarılabilir. Üstelik bunun yapılması gerekiyor. Matematikteki örnekleri çözerken bunu kural olarak alın - Bir ifadeyi basitleştirebiliyorsanız, onu basitleştirdiğinizden emin olun. .

Örnek. Türevini hesaplayalım:

İkinci kural: Fonksiyonların toplamının türevi

İki fonksiyonun toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin toplamına eşittir. Aynı şey fonksiyonların farkının türevi için de geçerlidir.

Bu teoremin kanıtını vermeyeceğiz, bunun yerine pratik bir örnek ele alacağız.

Fonksiyonun türevini bulun:

Üçüncü kural: Fonksiyonların çarpımının türevi

İki türevlenebilir fonksiyonun çarpımının türevi aşağıdaki formülle hesaplanır:

Örnek: Bir fonksiyonun türevini bulun:

Çözüm:

Burada karmaşık fonksiyonların türevlerinin hesaplanmasından bahsetmek önemlidir. Karmaşık bir fonksiyonun türevi, bu fonksiyonun ara argümana göre türevinin ve ara argümanın bağımsız değişkene göre türevinin çarpımına eşittir.

Yukarıdaki örnekte şu ifadeyle karşılaşıyoruz:

Bu durumda ara argüman 8x üzeri beşinci kuvvettir. Böyle bir ifadenin türevini hesaplamak için önce dış fonksiyonun ara argümana göre türevini hesaplarız ve ardından ara argümanın bağımsız değişkene göre türevini çarparız.

Kural dört: iki fonksiyonun bölümünün türevi

İki fonksiyonun bölümünün türevini belirlemek için formül:

Sıfırdan aptallar için türevler hakkında konuşmaya çalıştık. Bu konu göründüğü kadar basit değil, bu yüzden dikkatli olun: örneklerde sıklıkla tuzaklar bulunur, bu nedenle türevleri hesaplarken dikkatli olun.

Bu ve diğer konularla ilgili sorularınız için öğrenci hizmetleriyle iletişime geçebilirsiniz. Kısa sürede, daha önce hiç türev hesaplama yapmamış olsanız bile, en zor testi çözmenize ve görevleri anlamanıza yardımcı olacağız.

u fonksiyonları bir noktanın belirli bir komşuluğunda tanımlı olsun ve bu noktada türevleri olsun. Daha sonra ürünlerinin şu formülle belirlenen noktada bir türevi vardır:
(1) .

Kanıt

Aşağıdaki gösterimi tanıtalım:
;
.
Burada ve değişkenlerinin fonksiyonlarıdır ve . Ancak gösterim kolaylığı açısından argümanlarının isimlerini atlayacağız.

Daha sonra şunu fark ediyoruz
;
.
Koşula göre, fonksiyonlar ve noktadaki türevleri aşağıdaki limitlerdir:
;
.
Türevlerin varlığından, ve fonksiyonlarının bu noktada sürekli olduğu sonucu çıkar. Bu yüzden
;
.

Aşağıdaki fonksiyonların çarpımı olan x değişkeninin y fonksiyonunu düşünün:
.
Bu fonksiyonun artışını şu noktada ele alalım:

.
Şimdi türevini buluyoruz:

.

Bu yüzden,
.
Kural kanıtlandı.

Bir değişken yerine başka bir değişken kullanabilirsiniz. x olarak gösterelim. Daha sonra türevler ve varsa, iki fonksiyonun çarpımının türevi aşağıdaki formülle belirlenir:
.
Veya daha kısa versiyonu
(1) .