İrrasyonel sayılara örnekler. Rasyonel ve irrasyonel sayılar: açıklama ve nasıl farklılar? Sayılar irrasyonel değildir
İrrasyonel sayı- Bu gerçek Numara rasyonel olmayan, yani tamsayıların olduğu kesir olarak temsil edilemez. İrrasyonel bir sayı sonsuz, periyodik olmayan bir ondalık kesir olarak temsil edilebilir.
İrrasyonel sayılar kümesi genellikle gölgesiz, kalın tarzda büyük Latin harfleriyle gösterilir. Böylece: , yani. çok sayıda irrasyonel sayı var Reel ve rasyonel sayılar kümeleri arasındaki fark.
İrrasyonel sayıların varlığı hakkında daha doğrusu Birim uzunluktaki bir bölümle orantısız bölümler, eski matematikçiler tarafından zaten biliniyordu: örneğin, sayının irrasyonelliğine eşdeğer olan karenin köşegeni ile kenarının orantısızlığını biliyorlardı.
Özellikler
- Herhangi bir gerçek sayı sonsuz ondalık kesir olarak yazılabilirken, irrasyonel sayılar sadece periyodik olmayan sonsuz ondalık kesirler olarak yazılır.
- İrrasyonel sayılar, alt sınıfta en büyük sayıya sahip olmayan, üst sınıfta ise en küçük sayıya sahip olmayan rasyonel sayılar kümesindeki Dedekind kesimlerini tanımlar.
- Her gerçek aşkın sayı irrasyoneldir.
- Her irrasyonel sayı ya cebirseldir ya da aşkındır.
- İrrasyonel sayılar kümesi sayı doğrusu üzerinde her yerde yoğundur: herhangi iki sayı arasında bir irrasyonel sayı vardır.
- İrrasyonel sayılar kümesindeki sıra, gerçek aşkın sayılar kümesindeki sıraya izomorftur.
- İrrasyonel sayılar kümesi sayılamaz ve ikinci kategoriye ait bir kümedir.
Örnekler
| İrrasyonel sayılar - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - - |
Mantıksız olanlar:
İrrasyonelliğin kanıt örnekleri
2'nin kökü
Tam tersini varsayalım: rasyoneldir, yani indirgenemez bir kesir biçiminde temsil edilir, burada bir tamsayı ve bir doğal sayıdır. Sözde eşitliğin karesini alalım:
.Buradan çiftin çift olduğu sonucu çıkar ve . Bütünün olduğu yerde olsun. Daha sonra
Bu nedenle çift, çift anlamına gelir ve . Bunu bulduk ve eşitiz, bu da kesrin indirgenemezliğiyle çelişiyor. Bu, orijinal varsayımın yanlış olduğu ve irrasyonel bir sayı olduğu anlamına gelir.
3 sayısının ikili logaritması
Tam tersini varsayalım: rasyoneldir, yani kesir olarak temsil edilir, burada ve tam sayılardır. Çünkü ve pozitif olarak seçilebilir. Daha sonra
Ama çift ve tek. Bir çelişkiyle karşılaşıyoruz.
e
Hikaye
İrrasyonel sayılar kavramı, Manava'nın (M.Ö. 750 - MÖ 690) 2 ve 61 gibi bazı doğal sayıların kareköklerinin açıkça ifade edilemeyeceğini bulmasıyla M.Ö. 7. yüzyılda Hintli matematikçiler tarafından dolaylı olarak benimsenmiştir. .
İrrasyonel sayıların varlığının ilk kanıtı genellikle bu kanıtı pentagramın kenarlarının uzunluklarını inceleyerek bulan bir Pisagorcu olan Metapontuslu Hippasus'a (M.Ö. 500) atfedilir. Pisagorcular zamanında, herhangi bir parçaya tamsayı sayıda giren, yeterince küçük ve bölünmez tek bir uzunluk biriminin olduğuna inanılıyordu. Ancak Hippasus, uzunluğun tek bir biriminin olmadığını, bunun varlığının varsayımının çelişkilere yol açacağını savundu. Bir ikizkenar dik üçgenin hipotenüsünün tam sayıda birim parça içermesi durumunda bu sayının hem çift hem de tek olması gerektiğini gösterdi. Kanıt şöyle görünüyordu:
- Hipotenüs uzunluğunun bir ikizkenar dik üçgenin kenarının uzunluğuna oranı şu şekilde ifade edilebilir: A:B, Nerede A Ve B mümkün olan en küçük olarak seçilmiştir.
- Pisagor teoremine göre: A² = 2 B².
- Çünkü A- eşit, Açift olmalıdır (çünkü tek bir sayının karesi tek olacaktır).
- Çünkü A:B indirgenemez B tuhaf olmalı.
- Çünkü A hatta şunu belirtiyoruz A = 2sen.
- Daha sonra A² = 4 sen² = 2 B².
- B² = 2 sen², bu nedenle B- o zaman bile B eşit.
- Ancak kanıtlanmıştır ki B garip. Çelişki.
Yunan matematikçiler bu orantısız miktarlar adını verdiler özür dilerim(anlatılamaz), ancak efsanelere göre Hippasus'a gereken saygıyı göstermediler. Hippasus'un bu keşfi bir deniz yolculuğu sırasında yaptığına ve diğer Pisagorcular tarafından "evrendeki tüm varlıkların tam sayılara ve bunların oranlarına indirgenebileceği doktrinini reddeden bir evren unsuru yarattığı için" denize atıldığına dair bir efsane vardır. Hippasus'un keşfi Pisagor matematiği için ciddi bir sorun teşkil etti ve sayıların ve geometrik nesnelerin bir ve ayrılamaz olduğu yönündeki temel varsayımı yok etti.
İrrasyonel sayılar kümesi genellikle büyük harfle gösterilir ben (\displaystyle \mathbb (I)) gölgeleme olmadan cesur bir tarzda. Böylece: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \ters eğik çizgi \mathbb (Q)) yani irrasyonel sayılar kümesi reel ve rasyonel sayılar kümeleri arasındaki farktır.
İrrasyonel sayıların, daha kesin olarak, birim uzunluktaki bir bölümle ölçülemeyen bölümlerin varlığı eski matematikçiler tarafından zaten biliniyordu: örneğin, bir karenin köşegeni ile kenarının orantısızlığını biliyorlardı ki bu da karenin irrasyonelliğine eşdeğerdir. numara.
Ansiklopedik YouTube
-
1 / 5
Mantıksız olanlar:
İrrasyonelliğin kanıt örnekleri
2'nin kökü
Tam tersini varsayalım: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) rasyonel, yani kesir olarak temsil edilir m n (\ displaystyle (\ frac (m) (n))), Nerede m (\displaystyle m) bir tamsayıdır ve n (\displaystyle n)- doğal sayı .
Sözde eşitliğin karesini alalım:
2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).Hikaye
Antik Çağ
İrrasyonel sayılar kavramı, Manava'nın (M.Ö. 750 - MÖ 690) 2 ve 61 gibi bazı doğal sayıların kareköklerinin açıkça ifade edilemeyeceğini bulmasıyla M.Ö. 7. yüzyılda Hintli matematikçiler tarafından dolaylı olarak benimsenmiştir. [ ] .
İrrasyonel sayıların varlığının ilk kanıtı genellikle bir Pisagorcu olan Metapontuslu Hippasus'a (MÖ 500 civarı) atfedilir. Pisagorcular zamanında, herhangi bir parçada tamsayı sayısını içeren, yeterince küçük ve bölünmez tek bir uzunluk biriminin olduğuna inanılıyordu. ] .
Hippasus'un hangi sayının irrasyonel olduğunu kanıtladığına dair kesin bir veri yoktur. Efsaneye göre bunu pentagramın kenarlarının uzunluklarını inceleyerek buldu. Bu nedenle bunun altın oran olduğunu varsaymak mantıklıdır. ] .
Yunan matematikçiler bu orantısız miktarlar adını verdiler özür dilerim(anlatılamaz), ancak efsanelere göre Hippasus'a gereken saygıyı göstermediler. Hippasus'un bu keşfi bir deniz yolculuğu sırasında yaptığına ve diğer Pisagorcular tarafından "evrendeki tüm varlıkların tam sayılara ve bunların oranlarına indirgenebileceği doktrinini reddeden bir evren unsuru yarattığı için" denize atıldığına dair bir efsane vardır. Hippasus'un keşfi Pisagor matematiği için ciddi bir sorun teşkil etti ve sayıların ve geometrik nesnelerin bir ve ayrılamaz olduğu yönündeki temel varsayımı yok etti.
Köklerini de Latince “akıl” anlamına gelen “ratio” kelimesinden alıyorlardı. Birebir çeviriye dayanarak:
- Rasyonel sayı “makul sayıdır”.
- Buna göre irrasyonel bir sayı “makul olmayan bir sayıdır”.
Rasyonel sayının genel kavramı
Rasyonel sayı şu şekilde yazılabilen bir sayıdır:
- Sıradan bir pozitif kesir.
- Negatif ortak kesir.
- Sıfır (0) sayısı olarak.
Başka bir deyişle, bir rasyonel sayı için aşağıdaki tanımlar geçerlidir:
- Herhangi bir doğal sayı, doğası gereği rasyoneldir, çünkü herhangi bir doğal sayı, sıradan bir kesir olarak temsil edilebilir.
- Herhangi bir tam sayı, pozitif sıradan kesir, negatif sıradan kesir veya sıfır sayısı olarak yazılabildiğinden, sıfır sayısı da dahil olmak üzere herhangi bir tam sayı.
- Herhangi bir sıradan kesir, pozitif ya da negatif olması önemli değil, aynı zamanda doğrudan rasyonel sayının tanımına da yaklaşır.
- Tanım aynı zamanda karışık bir sayıyı, sonlu bir ondalık kesiri veya sonsuz bir periyodik kesiri de içerebilir.
Rasyonel sayı örnekleri
Rasyonel sayı örneklerine bakalım:
- Doğal sayılar - “4”, “202”, “200”.
- Tam sayılar - “-36”, “0”, “42”.
- Sıradan kesirler.
Yukarıdaki örneklerden açıkça görülüyor ki rasyonel sayılar hem pozitif hem de negatif olabilir. Doğal olarak aynı zamanda rasyonel bir sayı olan 0 (sıfır) sayısı aynı zamanda pozitif veya negatif sayı kategorisine ait değildir.
Bu nedenle genel eğitim programına şu tanımı kullanarak hatırlatmak isterim: “Rasyonel sayılar”, x (pay) tam sayı, y (payda) ise bir kesir olarak yazılabilen sayılardır. doğal sayı.
İrrasyonel sayının genel kavramı ve tanımı
"Rasyonel sayılar"ın yanı sıra "irrasyonel sayılar" olarak adlandırılan sayıları da biliyoruz. Bu sayıları kısaca tanımlamaya çalışalım.
Bir karenin köşegenini kenarları boyunca hesaplamak isteyen eski matematikçiler bile irrasyonel bir sayının varlığını öğrendiler.
Rasyonel sayıların tanımına dayanarak mantıksal bir zincir oluşturabilir ve irrasyonel sayının tanımını verebilirsiniz.
Yani özünde rasyonel olmayan gerçek sayılar sadece irrasyonel sayılardır.
İrrasyonel sayıları ifade eden ondalık kesirler periyodik ve sonsuz değildir.
İrrasyonel sayı örnekleri
Açıklık sağlamak için irrasyonel sayının küçük bir örneğini ele alalım. Daha önce anladığımız gibi, periyodik olmayan sonsuz ondalık kesirlere irrasyonel denir, örneğin:
- “-5.020020002...” sayısı (ikilerin bir, iki, üç vb. sıfırlardan oluşan bir diziyle ayrıldığı açıkça görülüyor)
- “7.040044000444...” sayısı (burada bir zincirde dörtlü sayının ve sıfırlı sayının her seferinde birer birer arttığı açıktır).
- Herkes Pi sayısını bilir (3,1415...). Evet, evet, aynı zamanda mantıksızdır.
Genel olarak tüm reel sayılar hem rasyonel hem de irrasyoneldir. Basit bir ifadeyle, irrasyonel bir sayı ortak bir x/y kesri olarak temsil edilemez.
Genel sonuç ve sayılar arasında kısa karşılaştırma
Her sayıya ayrı ayrı baktık ama rasyonel sayı ile irrasyonel sayı arasındaki fark devam ediyor:
- Karekök çıkarıldığında, bir daireyi çapına bölerken vb. irrasyonel bir sayı ortaya çıkar.
- Rasyonel sayı ortak bir kesri temsil eder.
Birkaç tanımla yazımızı sonlandıralım:
- Rasyonel bir sayı üzerinde 0'a (sıfır) bölme dışında yapılan bir aritmetik işlem, sonuçta rasyonel bir sayıya yol açacaktır.
- İrrasyonel bir sayı üzerinde aritmetik işlem yapıldığında ortaya çıkan nihai sonuç, hem rasyonel hem de irrasyonel bir değere yol açabilir.
- Her iki sayı da bir aritmetik işlemde yer alıyorsa (sıfırla bölme veya çarpma hariç), sonuç irrasyonel bir sayı olacaktır.
Örnek:
\(4\) rasyonel bir sayıdır çünkü \(\frac(4)(1)\) olarak yazılabilir;
\(0.0157304\) da rasyoneldir çünkü \(\frac(157304)(10000000)\) biçiminde yazılabilir;
\(0,333(3)...\) - ve bu rasyonel bir sayıdır: \(\frac(1)(3)\) olarak temsil edilebilir;
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) rasyoneldir, çünkü \(\frac(1)(2)\) olarak temsil edilebilir. Aslında, bir dönüşüm zinciri gerçekleştirebiliriz \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)İrrasyonel sayı pay ve paydası tam sayı olan kesirli sayı olarak yazılamayan sayıdır.
İmkansız çünkü bu sonsuz kesirler ve hatta periyodik olmayanlar. Dolayısıyla birbirine bölündüğünde irrasyonel sayı verecek tam sayılar yoktur.
Örnek:
\(\sqrt(2)≈1.414213562…\) irrasyonel bir sayıdır;
\(π≈3.1415926… \) irrasyonel bir sayıdır;
\(\log_(2)(5)≈2.321928…\) irrasyonel bir sayıdır.Örnek (OGE'den atama). Hangi ifadenin anlamı rasyonel sayıdır?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).Çözüm:
1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) – \(14\)'in kökü alınamaz, yani bir sayıyı tam sayılarla kesir olarak göstermek de imkansızdır, dolayısıyla sayı irrasyoneldir.
2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) – kök kalmadı, sayı kolayca kesir olarak temsil edilebilir, örneğin \(\frac(-5)(1)\), bu da rasyonel olduğu anlamına gelir.
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11)\) – kök çıkarılamaz – sayı irrasyoneldir.
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) da irrasyoneldir.
İrrasyonel bir sayının tanımı
İrrasyonel sayılar, ondalık gösterimde sonsuz periyodik olmayan ondalık kesirleri temsil eden sayılardır.
Yani örneğin doğal sayıların karekökü alınarak elde edilen sayılar irrasyoneldir ve doğal sayıların kareleri değildir. Ancak irrasyonel sayıların tümü karekök alınarak elde edilmez, çünkü bölme yoluyla elde edilen pi sayısı da irrasyoneldir ve bunu bir doğal sayının karekökünü çıkarmaya çalışarak elde etmeniz pek mümkün değildir.
İrrasyonel sayıların özellikleri
Sonsuz ondalık sayılar olarak yazılan sayıların aksine, yalnızca irrasyonel sayılar periyodik olmayan sonsuz ondalık sayılar olarak yazılır.
Negatif olmayan iki irrasyonel sayının toplamı rasyonel bir sayı olabilir.
İrrasyonel sayılar, alt sınıfta en büyük sayının olmadığı, üst sınıfta ise daha küçük sayının bulunmadığı rasyonel sayılar kümesindeki Dedekind kesimlerini tanımlar.
Herhangi bir gerçek aşkın sayı irrasyoneldir.
Tüm irrasyonel sayılar ya cebirseldir ya da aşkındır.
Bir doğru üzerindeki irrasyonel sayılar kümesi yoğun bir şekilde yerleştirilmiştir ve bu sayılardan herhangi ikisinin arasında mutlaka bir irrasyonel sayı olacaktır.
İrrasyonel sayılar kümesi sonsuzdur, sayılamaz ve 2. kategoriye ait bir kümedir.
Rasyonel sayılarda 0'a bölme dışında herhangi bir aritmetik işlem yapıldığında sonuç rasyonel sayı olacaktır.
İrrasyonel bir sayıya rasyonel bir sayı eklendiğinde sonuç her zaman irrasyonel bir sayı olur.
İrrasyonel sayıları topladığımızda rasyonel bir sayı elde edebiliriz.
İrrasyonel sayılar kümesi çift değildir.Sayılar irrasyonel değildir
Bazen bir sayının irrasyonel olup olmadığı sorusuna cevap vermek, özellikle sayının ondalık kesir biçiminde veya sayısal bir ifade, kök veya logaritma biçiminde olduğu durumlarda oldukça zordur.
Bu nedenle hangi sayıların irrasyonel olmadığını bilmek gereksiz olmayacaktır. İrrasyonel sayıların tanımını takip edersek, rasyonel sayıların irrasyonel olamayacağını zaten biliyoruz.
İrrasyonel sayılar:
Öncelikle tüm doğal sayılar;
İkincisi tamsayılar;
Üçüncüsü, sıradan kesirler;
Dördüncüsü, çeşitli karışık sayılar;
Beşincisi, bunlar sonsuz periyodik ondalık kesirlerdir.Yukarıdakilerin hepsine ek olarak, bir irrasyonel sayı, +, -, , : gibi aritmetik işlemlerin işaretleriyle gerçekleştirilen rasyonel sayıların herhangi bir birleşimi olamaz, çünkü bu durumda iki rasyonel sayının sonucu da olacaktır. rasyonel bir sayı.
Şimdi hangi sayıların irrasyonel olduğunu görelim:
Bu gizemli matematik olgusunun hayranlarının Pi hakkında giderek daha fazla bilgi aradığı ve onun gizemini çözmeye çalıştığı bir hayran kulübünün varlığını biliyor musunuz? Bu kulübe, virgülden sonraki belli sayıdaki Pi sayısını ezbere bilen herkes üye olabilir;
Almanya'da UNESCO'nun koruması altında Pi'yi hesaplayabileceğiniz oranlar sayesinde Castadel Monte sarayının bulunduğunu biliyor muydunuz? Kral II. Frederick tüm sarayı bu sayıya adadı.
Babil Kulesi'nin yapımında Pi sayısını kullanmaya çalıştıkları ortaya çıktı. Ancak ne yazık ki bu durum projenin çökmesine yol açtı, çünkü o dönemde Pi'nin değerinin kesin olarak hesaplanması yeterince araştırılmamıştı.
Şarkıcı Kate Bush, yeni diskine ünlü 3, 141… sayı dizisinden yüz yirmi dört sayının duyulduğu “Pi” adlı bir şarkı kaydetti.
