2 irrasyonel bir sayıdır. İrrasyonel sayılar, tanım, örnekler

Tüm doğal sayılar kümesi N harfiyle gösterilir. Doğal sayılar nesneleri saymak için kullandığımız sayılardır: 1,2,3,4, ... Bazı kaynaklarda 0 sayısı da bir doğal sayı olarak kabul edilir.

Tüm tam sayıların kümesi Z harfiyle gösterilir. Tam sayıların tümü doğal sayılardır, sıfır ve negatif sayılardır:

1,-2,-3, -4, …

Şimdi tüm tam sayılar kümesine tüm sıradan kesirler kümesini ekleyelim: 2/3, 18/17, -4/5 vb. Daha sonra tüm rasyonel sayılar kümesini elde ederiz.

Rasyonel sayılar kümesi

Tüm rasyonel sayılar kümesi Q harfiyle gösterilir. Tüm rasyonel sayılar kümesi (Q), m/n, -m/n biçimindeki sayılardan ve 0 sayısından oluşan bir kümedir. Herhangi bir doğal sayı şu şekilde hareket edebilir: n,m. Tüm rasyonel sayıların sonlu veya sonsuz PERİYODİK ondalık kesir olarak temsil edilebileceğine dikkat edilmelidir. Bunun tersi de herhangi bir sonlu veya sonsuz periyodik ondalık kesirin rasyonel sayı olarak yazılabildiği doğrudur.

Peki ya örneğin 2,0100100010... sayısı? Sonsuz PERİYODİK OLMAYAN bir ondalık kesirdir. Ve rasyonel sayılar için geçerli değildir.

Okul cebir dersinde yalnızca gerçek (veya gerçek) sayılar incelenir. Tüm reel sayılar kümesi R harfiyle gösterilir. R kümesi tüm rasyonel ve tüm irrasyonel sayılardan oluşur.

İrrasyonel sayılar kavramı

İrrasyonel sayıların tümü sonsuz ondalık periyodik olmayan kesirlerdir. İrrasyonel sayıların özel bir tanımı yoktur.

Örneğin doğal sayıların karesi olmayan doğal sayıların karekökü çıkarılarak elde edilen tüm sayılar irrasyonel olacaktır. (√2, √3, √5, √6, vb.).

Ancak irrasyonel sayıların yalnızca karekök çıkarılarak elde edildiğini düşünmeyin. Örneğin “pi” sayısı da irrasyoneldir ve bölme işlemiyle elde edilir. Ve ne kadar çabalarsanız çabalayın, herhangi bir doğal sayının karekökünü alarak bunu elde edemezsiniz.

Köklerini de Latince “akıl” anlamına gelen “ratio” kelimesinden alıyorlardı. Birebir çeviriye dayanarak:

• Rasyonel sayı “makul sayıdır”.
• Buna göre irrasyonel bir sayı “makul olmayan bir sayıdır”.

Rasyonel sayının genel kavramı

Rasyonel sayı şu şekilde yazılabilen bir sayıdır:

1. Sıradan bir pozitif kesir.
2. Negatif ortak kesir.
3. Sıfır (0) sayısı olarak.

Başka bir deyişle, bir rasyonel sayı için aşağıdaki tanımlar geçerlidir:

• Herhangi bir doğal sayı, doğası gereği rasyoneldir, çünkü herhangi bir doğal sayı, sıradan bir kesir olarak temsil edilebilir.
• Herhangi bir tam sayı, pozitif sıradan kesir, negatif sıradan kesir veya sıfır sayısı olarak yazılabildiğinden, sıfır sayısı da dahil olmak üzere herhangi bir tam sayı.
• Herhangi bir sıradan kesir, pozitif ya da negatif olması önemli değil, aynı zamanda doğrudan rasyonel sayının tanımına da yaklaşır.
• Tanım aynı zamanda karışık bir sayıyı, sonlu bir ondalık kesiri veya sonsuz bir periyodik kesiri de içerebilir.

Rasyonel sayı örnekleri

Rasyonel sayı örneklerine bakalım:

• Doğal sayılar - “4”, “202”, “200”.
• Tam sayılar - “-36”, “0”, “42”.
• Sıradan kesirler.

Yukarıdaki örneklerden açıkça görülüyor ki rasyonel sayılar hem pozitif hem de negatif olabilir. Doğal olarak aynı zamanda rasyonel bir sayı olan 0 (sıfır) sayısı aynı zamanda pozitif veya negatif sayı kategorisine ait değildir.

Bu nedenle genel eğitim programına şu tanımı kullanarak hatırlatmak isterim: “Rasyonel sayılar”, x (pay) tam sayı, y (payda) ise bir kesir olarak yazılabilen sayılardır. doğal sayı.

İrrasyonel sayının genel kavramı ve tanımı

"Rasyonel sayılar"ın yanı sıra "irrasyonel sayılar" olarak adlandırılan sayıları da biliyoruz. Bu sayıları kısaca tanımlamaya çalışalım.

Bir karenin köşegenini kenarları boyunca hesaplamak isteyen eski matematikçiler bile irrasyonel bir sayının varlığını öğrendiler.
Rasyonel sayıların tanımına dayanarak mantıksal bir zincir oluşturabilir ve irrasyonel sayının tanımını verebilirsiniz.
Yani özünde rasyonel olmayan gerçek sayılar sadece irrasyonel sayılardır.
İrrasyonel sayıları ifade eden ondalık kesirler periyodik ve sonsuz değildir.

İrrasyonel sayı örnekleri

Açıklık sağlamak için irrasyonel sayının küçük bir örneğini ele alalım. Daha önce anladığımız gibi, periyodik olmayan sonsuz ondalık kesirlere irrasyonel denir, örneğin:

• “-5.020020002...” sayısı (ikilerin bir, iki, üç vb. sıfırlardan oluşan bir diziyle ayrıldığı açıkça görülüyor)
• “7.040044000444...” sayısı (burada bir zincirde dörtlü sayının ve sıfırlı sayının her seferinde birer birer arttığı açıktır).
• Herkes Pi sayısını bilir (3,1415...). Evet, evet, aynı zamanda mantıksızdır.

Genel olarak tüm reel sayılar hem rasyonel hem de irrasyoneldir. Basit bir ifadeyle, irrasyonel bir sayı ortak bir x/y kesri olarak temsil edilemez.

Genel sonuç ve sayılar arasında kısa karşılaştırma

Her sayıya ayrı ayrı baktık ama rasyonel sayı ile irrasyonel sayı arasındaki fark devam ediyor:

1. Karekök çıkarıldığında, bir daireyi çapına bölerken vb. irrasyonel bir sayı ortaya çıkar.
2. Rasyonel sayı ortak bir kesri temsil eder.

Birkaç tanımla yazımızı sonlandıralım:

• Rasyonel bir sayı üzerinde 0'a (sıfır) bölme dışında yapılan bir aritmetik işlem, sonuçta rasyonel bir sayıya yol açacaktır.
• İrrasyonel bir sayı üzerinde aritmetik işlem yapıldığında ortaya çıkan nihai sonuç, hem rasyonel hem de irrasyonel bir değere yol açabilir.
• Her iki sayı da bir aritmetik işlemde yer alıyorsa (sıfırla bölme veya çarpma hariç), sonuç irrasyonel bir sayı olacaktır.

Tüm rasyonel sayılar ortak kesir olarak gösterilebilir. Bu, tam sayılar (örneğin, 12, –6, 0) ve sonlu ondalık kesirler (örneğin, 0,5; –3,8921) ve sonsuz periyodik ondalık kesirler (örneğin, 0,11(23); –3 ,(87) için geçerlidir. )).

Fakat sonsuz periyodik olmayan ondalık sayılar sıradan kesirler olarak temsil edilemez. İşte bunlar irrasyonel sayılar(yani mantıksızdır). Böyle bir sayının bir örneği, yaklaşık olarak 3,14'e eşit olan π sayısıdır. Ancak tam olarak neye eşit olduğu belirlenemez, çünkü 4 sayısından sonra tekrar eden dönemlerin ayırt edilemediği sonsuz sayıda başka sayı dizisi vardır. Üstelik π sayısı kesin olarak ifade edilemese de kendine özgü bir geometrik anlamı vardır. π sayısı herhangi bir dairenin uzunluğunun çapının uzunluğuna oranıdır. Dolayısıyla irrasyonel sayılar da tıpkı rasyonel sayılar gibi aslında doğada mevcuttur.

İrrasyonel sayılara bir başka örnek de pozitif sayıların karekökleridir. Bazı sayıların köklerini çıkarmak rasyonel değerler verirken, diğerlerinden irrasyonel değerler verir. Örneğin √4 = 2 yani 4'ün kökü bir rasyonel sayıdır. Ancak √2, √5, √7 ve diğerleri irrasyonel sayılarla sonuçlanır, yani bunlar yalnızca yaklaşık olarak belirli bir ondalık basamağa yuvarlanarak çıkarılabilir. Bu durumda kesir periyodik olmayan hale gelir. Yani bu sayıların kökünün ne olduğunu tam ve kesin olarak söylemek mümkün değildir.

Yani √4 = 2 ve √9 = 3 olduğundan √5, 2 ile 3 sayıları arasında yer alan bir sayıdır. Ayrıca √4, √5'e olduğundan daha yakın olduğundan, √5'in 2'ye 3'ten daha yakın olduğu sonucuna da varabiliriz. √9 ila √5. Aslında √5 ≈ 2,23 veya √5 ≈ 2,24.

İrrasyonel sayılar diğer hesaplamalarda da elde edilir (ve yalnızca köklerin çıkarılması sırasında değil) ve negatif olabilir.

İrrasyonel sayılarla ilgili olarak böyle bir sayının ifade ettiği uzunluğu ölçmek için hangi birim parçasını alırsak alalım kesin olarak ölçemeyeceğimizi söyleyebiliriz.

Aritmetik işlemlerde rasyonel sayıların yanı sıra irrasyonel sayılar da yer alabilir. Aynı zamanda bir takım düzenlilikler de var. Örneğin, bir aritmetik işlemde yalnızca rasyonel sayılar yer alıyorsa sonuç her zaman rasyonel bir sayı olur. Operasyona sadece irrasyonel olanlar katılırsa, sonucun rasyonel mi yoksa irrasyonel bir sayı mı olacağını kesin olarak söylemek imkansızdır.

Örneğin, iki irrasyonel sayıyı (√2 * √2) çarparsanız 2 elde edersiniz - bu bir rasyonel sayıdır. Öte yandan √2 * √3 = √6 irrasyonel bir sayıdır.

Bir aritmetik işlem rasyonel ve irrasyonel sayıları içeriyorsa sonuç irrasyonel olacaktır. Örneğin, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 – 4.

√17 – 4 neden irrasyonel bir sayıdır? Rasyonel bir x sayısı elde ettiğimizi düşünelim. O halde √17 = x + 4. Ancak x + 4 rasyonel bir sayıdır çünkü x'in rasyonel olduğunu varsaydık. 4 sayısı da rasyonel olduğundan x + 4 rasyoneldir. Ancak bir rasyonel sayı √17 irrasyonel sayısına eşit olamaz. Dolayısıyla √17 – 4'ün rasyonel sonuç vereceği varsayımı yanlıştır. Bir aritmetik işlemin sonucu irrasyonel olacaktır.

Ancak bu kuralın bir istisnası vardır. İrrasyonel bir sayıyı 0 ile çarparsak 0 rasyonel sayısını elde ederiz.

Ve π

Dolayısıyla irrasyonel sayılar kümesi farktır I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \ters eğik çizgi \mathbb (Q)) Reel ve rasyonel sayılardan oluşan kümeler.

İrrasyonel sayıların, daha kesin olarak, birim uzunluktaki bir bölümle ölçülemeyen bölümlerin varlığı eski matematikçiler tarafından zaten biliniyordu: örneğin, bir karenin köşegeni ile kenarının orantısızlığını biliyorlardı ki bu da karenin irrasyonelliğine eşdeğerdir. numara 2 (\displaystyle (\sqrt (2))).

Özellikler

• İki pozitif irrasyonel sayının toplamı bir rasyonel sayı olabilir.
• İrrasyonel sayılar, alt sınıfta en büyük sayıya sahip olmayan, üst sınıfta ise en küçük sayıya sahip olmayan rasyonel sayılar kümesindeki Dedekind bölümlerini tanımlar.
• İrrasyonel sayılar kümesi sayı doğrusu üzerinde her yerde yoğundur: herhangi iki farklı sayı arasında bir irrasyonel sayı vardır.
• İrrasyonel sayılar kümesindeki sıra, gerçek aşkın sayılar kümesindeki sıraya izomorftur. [ ]

Cebirsel ve aşkın sayılar

Her irrasyonel sayı ya cebirseldir ya da aşkındır. Cebirsel sayılar kümesi sayılabilir bir kümedir. Reel sayılar kümesi sayılamaz olduğundan irrasyonel sayılar kümesi de sayılamaz.

İrrasyonel sayılar kümesi ikinci kategorinin bir kümesidir.

Sözde eşitliğin karesini alalım:

Hikaye

Antik Çağ

İrrasyonel sayılar kavramı, Manava'nın (yaklaşık MÖ 750-690) 2 ve 61 gibi bazı doğal sayıların kareköklerinin açıkça ifade edilemeyeceğini bulmasıyla, M.Ö. 7. yüzyılda Hintli matematikçiler tarafından üstü kapalı olarak benimsenmiştir. ] .

İrrasyonel sayıların veya daha kesin olarak ölçülemez bölümlerin varlığının ilk kanıtı genellikle Metapontum'un Pisagor Hippasus'una (yaklaşık MÖ 470) atfedilir. Pisagorcular zamanında, herhangi bir parçada tamsayı sayısını içeren, yeterince küçük ve bölünmez tek bir uzunluk biriminin olduğuna inanılıyordu. ] .

Hippasus'un hangi sayının irrasyonel olduğunu kanıtladığına dair kesin bir veri yoktur. Efsaneye göre bunu pentagramın kenarlarının uzunluklarını inceleyerek buldu. Bu nedenle, bunun altın oran olduğunu varsaymak mantıklıdır çünkü bu, düzgün bir beşgende köşegenin kenarlara oranıdır.

Yunan matematikçiler bu orantısız miktarlar adını verdiler özür dilerim(anlatılamaz), ancak efsanelere göre Hippasus'a gereken saygıyı göstermediler. Hippasus'un bu keşfi bir deniz yolculuğu sırasında yaptığına ve diğer Pisagorcular tarafından "evrendeki tüm varlıkların tam sayılara ve bunların oranlarına indirgenebileceği doktrinini reddeden bir evren unsuru yarattığı için" denize atıldığına dair bir efsane vardır. Hippasus'un keşfi Pisagor matematiği için ciddi bir sorun teşkil etti ve sayıların ve geometrik nesnelerin bir ve ayrılamaz olduğu yönündeki temel varsayımı yok etti.

Daha sonra Knidoslu Eudoxus (MÖ 410 veya 408 - MÖ 355 veya 347) hem rasyonel hem de irrasyonel ilişkileri hesaba katan bir oranlar teorisi geliştirdi. Bu, irrasyonel sayıların temel özünü anlamanın temelini oluşturdu. Miktar bir sayı olarak değil, çizgi parçaları, açılar, alanlar, hacimler, zaman aralıkları gibi varlıkların (kelimenin modern anlamında) sürekli değişebilen varlıkların bir tanımı olarak görülmeye başlandı. Büyüklükler, yalnızca bir sayıdan diğerine, örneğin 4'ten 5'e "sıçrayarak" değişebilen sayılarla karşılaştırılıyordu. Sayılar, bölünemeyen en küçük miktardan oluşurken, nicelikler süresiz olarak azaltılabilir.

Hiçbir niceliksel değer büyüklükle ilişkilendirilemediğinden, Eudoxus bir kesri iki miktarın oranı olarak ve orantıyı iki kesrin eşitliği olarak tanımlarken hem orantılı hem de ölçülemez nicelikleri kapsayabildi. Denklemlerden niceliksel değerleri (sayıları) çıkararak, irrasyonel bir niceliğe sayı demek zorunda kalma tuzağından kaçındı. Eudoxus'un teorisi, Yunan matematikçilerinin geometride inanılmaz ilerlemeler kaydetmesine olanak tanıdı ve onlara ölçülemez niceliklerle çalışmak için gerekli mantıksal temeli sağladı. Öklid'in Elementleri'nin onuncu kitabı irrasyonel niceliklerin sınıflandırılmasına ayrılmıştır.

Ortaçağ

Orta Çağ'a sıfır, negatif sayılar, tamsayılar ve kesirler gibi kavramların önce Hintli, sonra da Çinli matematikçiler tarafından benimsenmesi damgasını vurdu. Daha sonra Arap matematikçiler de katıldı ve negatif sayıları (pozitif sayılarla birlikte) cebirsel nesneler olarak düşünen ilk kişiler oldular; bu da şimdi cebir olarak adlandırılan disiplinin geliştirilmesini mümkün kıldı.

Arap matematikçiler, eski Yunan "sayı" ve "büyüklük" kavramlarını tek, daha genel bir gerçek sayılar fikrinde birleştirdiler. Öklid'in ilişkiler hakkındaki fikirlerini eleştirdiler; bunun tersine, keyfi niceliklerin ilişkileri teorisini geliştirdiler ve sayı kavramını sürekli niceliklerin ilişkilerini kapsayacak şekilde genişlettiler. İranlı matematikçi Al Makhani (yaklaşık MS 800), Öklid'in 10. Elementler kitabına ilişkin yorumunda ikinci dereceden irrasyonel sayıları (formun sayıları) ve daha genel kübik irrasyonel sayıları araştırdı ve sınıflandırdı. İrrasyonel sayılar adını verdiği rasyonel ve irrasyonel nicelikleri tanımladı. Bu nesnelerle kolayca işlem yaptı ancak onlardan ayrı nesneler olarak bahsetti, örneğin:

Öklid'in niceliklerin öncelikli olarak çizgi parçaları olduğu kavramının aksine, Al Makhani tamsayıları ve kesirleri rasyonel nicelikler, kare ve küp kökleri ise irrasyonel olarak değerlendirdi. Ayrıca, aşağıdaki niceliklerin irrasyonelliğini gösteren kişi olduğu için irrasyonel sayılar kümesine aritmetik yaklaşımı da tanıttı:

Mısırlı matematikçi Abu Kamil (MS 850 - MS 930), irrasyonel sayıları ikinci dereceden denklemlerin çözümleri veya denklemlerdeki katsayılar olarak (köklerin yanı sıra genellikle ikinci dereceden veya kübik formda) tanımanın kabul edilebilir olduğunu düşünen ilk kişiydi. dördüncü dereceden. 10. yüzyılda Iraklı matematikçi Al Hashimi, irrasyonel ve rasyonel sayılar üzerindeki diğer matematiksel dönüşümlerin çarpımının, bölümünün ve sonuçlarının irrasyonelliğine ilişkin (görsel geometrik gösteriler yerine) genel kanıtlar üretti. Al Khazin (MS 900 - MS 971), rasyonel ve irrasyonel miktarın aşağıdaki tanımını verir:

Bu fikirlerin çoğu, 12. yüzyılda Arapça metinlerin Latinceye çevrilmesinden sonra Avrupalı ​​matematikçiler tarafından benimsendi. İslami miras kanunları konusunda uzmanlaşmış Mağripli Arap matematikçi Al Hassar, 12. yüzyılda pay ve paydayı yatay bir çubukla bölerek kesirler için modern sembolik matematiksel gösterimi tanıttı. Aynı gösterim 13. yüzyılda Fibonacci'nin eserlerinde de ortaya çıktı. XIV-XVI yüzyıllarda. Sangamagrama'dan Madhava ve Kerala Astronomi ve Matematik Okulu temsilcileri, π gibi belirli irrasyonel sayılara yakınsayan sonsuz serileri araştırdılar ve ayrıca belirli trigonometrik fonksiyonların irrasyonelliğini gösterdiler. Jestadeva bu sonuçları Yuktibhaza kitabında sundu. (aynı zamanda aşkın sayıların varlığını da kanıtlayarak), böylece Öklid'in irrasyonel sayıların sınıflandırılmasına ilişkin çalışmasını yeniden düşünmek. Bu konuyla ilgili çalışmalar 1872'de yayınlandı.

İrrasyonel sayılarla yakından ilişkili olan sürekli kesirler (belirli bir sayıyı temsil eden sürekli kesir, ancak ve ancak sayı irrasyonel ise sonsuzdur) ilk olarak 1613'te Cataldi tarafından araştırılmış, daha sonra Euler'in çalışmasında ve 19. yüzyılın başlarında - Lagrange'ın eserlerinde. Dirichlet ayrıca sürekli kesirler teorisinin geliştirilmesine de önemli katkılarda bulundu. 1761'de Lambert sürekli kesirleri kullanarak şunu gösterdi: π (\displaystyle \pi ) rasyonel bir sayı değildir ve ayrıca e x (\displaystyle e^(x)) Ve tg ⁡ x (\displaystyle \operatöradı (tg) x) sıfırdan farklı herhangi bir rasyonel için irrasyoneldir x (\displaystyle x). Lambert'in ispatı her ne kadar eksik olarak adlandırılabilse de, özellikle yazıldığı dönem dikkate alındığında genel olarak oldukça titiz olduğu düşünülmektedir. 1794 yılında Legendre, Bessel-Clifford fonksiyonunu tanıttıktan sonra şunu gösterdi: π 2 (\displaystyle \pi ^(2)) irrasyonel, irrasyonellik nereden geliyor? π (\displaystyle \pi )önemsiz bir şekilde takip eder (rasyonel bir sayının karesi bir rasyonel verir).

Aşkın sayıların varlığı 1844-1851'de Liouville tarafından kanıtlandı. Daha sonra Georg Cantor (1873) farklı bir yöntemle bunların varlığını göstermiş ve reel serinin herhangi bir aralığının sonsuz sayıda aşkın sayı içerdiğini ileri sürmüştür. Charles Hermite 1873'te şunu kanıtladı: e aşkın ve 1882'de Ferdinand Lindemann bu sonuca dayanarak aşkınlık gösterdi π (\displaystyle \pi ) Edebiyat

İrrasyonel sayılar kümesi genellikle büyük harfle gösterilir ben (\displaystyle \mathbb (I)) gölgeleme olmadan cesur bir tarzda. Böylece: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \ters eğik çizgi \mathbb (Q)) yani irrasyonel sayılar kümesi reel ve rasyonel sayılar kümeleri arasındaki farktır.

İrrasyonel sayıların, daha kesin olarak, birim uzunluktaki bir bölümle ölçülemeyen bölümlerin varlığı eski matematikçiler tarafından zaten biliniyordu: örneğin, bir karenin köşegeni ile kenarının orantısızlığını biliyorlardı ki bu da karenin irrasyonelliğine eşdeğerdir. numara.

Ansiklopedik YouTube

• 1 / 5

  Mantıksız olanlar:

  İrrasyonelliğin kanıt örnekleri

  2'nin kökü

  Tam tersini varsayalım: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) rasyonel, yani kesir olarak temsil edilir m n (\ displaystyle (\ frac (m) (n))), Nerede m (\displaystyle m) bir tamsayıdır ve n (\displaystyle n)- doğal sayı .

  Sözde eşitliğin karesini alalım:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).

  Hikaye

  Antik Çağ

  İrrasyonel sayılar kavramı, Manava'nın (M.Ö. 750 - MÖ 690) 2 ve 61 gibi bazı doğal sayıların kareköklerinin açıkça ifade edilemeyeceğini bulmasıyla M.Ö. 7. yüzyılda Hintli matematikçiler tarafından dolaylı olarak benimsenmiştir. [ ] .

  İrrasyonel sayıların varlığının ilk kanıtı genellikle bir Pisagorcu olan Metapontuslu Hippasus'a (MÖ 500 civarı) atfedilir. Pisagorcular zamanında, herhangi bir parçada tamsayı sayısını içeren, yeterince küçük ve bölünmez tek bir uzunluk biriminin olduğuna inanılıyordu. ] .

  Hippasus'un hangi sayının irrasyonel olduğunu kanıtladığına dair kesin bir veri yoktur. Efsaneye göre bunu pentagramın kenarlarının uzunluklarını inceleyerek buldu. Bu nedenle bunun altın oran olduğunu varsaymak mantıklıdır. ] .

  Yunan matematikçiler bu orantısız miktarlar adını verdiler özür dilerim(anlatılamaz), ancak efsanelere göre Hippasus'a gereken saygıyı göstermediler. Hippasus'un bu keşfi bir deniz yolculuğu sırasında yaptığına ve diğer Pisagorcular tarafından "evrendeki tüm varlıkların tam sayılara ve bunların oranlarına indirgenebileceği doktrinini reddeden bir evren unsuru yarattığı için" denize atıldığına dair bir efsane vardır. Hippasus'un keşfi Pisagor matematiği için ciddi bir sorun teşkil etti ve sayıların ve geometrik nesnelerin bir ve ayrılamaz olduğu yönündeki temel varsayımı yok etti.