İki tarafa dayalı bir üçgen formülünün alanı. Bir üçgenin alanı

Bir üçgenin alanını belirlemek için farklı formüller kullanabilirsiniz. Tüm yöntemler arasında en kolay ve en sık kullanılanı, yüksekliği taban uzunluğuyla çarpmak ve ardından sonucu ikiye bölmektir. Ancak bu yöntem tek yöntem olmaktan uzaktır. Aşağıda farklı formüller kullanarak bir üçgenin alanının nasıl bulunacağını okuyabilirsiniz.

Ayrı olarak, belirli üçgen türlerinin (dikdörtgen, ikizkenar ve eşkenar) alanını hesaplamanın yollarına bakacağız. Her formüle, özünü anlamanıza yardımcı olacak kısa bir açıklama ekliyoruz.

Bir üçgenin alanını bulmak için evrensel yöntemler

Aşağıdaki formüller özel gösterim kullanır. Her birinin şifresini çözeceğiz:

• a, b, c – ele aldığımız şeklin üç tarafının uzunlukları;
• r, üçgenimize yazılabilecek dairenin yarıçapıdır;
• R, çevresinde tanımlanabilecek dairenin yarıçapıdır;
• α, b ve c kenarlarının oluşturduğu açının büyüklüğüdür;
• β a ve c arasındaki açının büyüklüğüdür;
• γ, a ve b taraflarının oluşturduğu açının büyüklüğüdür;
• h, üçgenimizin α açısından a kenarına indirilmiş yüksekliğidir;
• p – a, b ve c kenarlarının toplamının yarısı.

Bir üçgenin alanını neden bu şekilde bulabileceğiniz mantıksal olarak açıktır. Üçgen, üçgenin bir tarafının köşegen görevi göreceği bir paralelkenar halinde kolayca tamamlanabilir. Paralelkenarın alanı, kenarlarından birinin uzunluğunun kendisine çizilen yüksekliğin değeriyle çarpılmasıyla bulunur. Köşegen bu koşullu paralelkenarı 2 özdeş üçgene böler. Dolayısıyla orijinal üçgenimizin alanının bu yardımcı paralelkenarın alanının yarısına eşit olması gerektiği oldukça açıktır.

S=½ a b sin γ

Bu formüle göre bir üçgenin alanı, iki kenarının (a ve b) uzunluklarının, bunların oluşturduğu açının sinüsüyle çarpılmasıyla bulunur. Bu formül mantıksal olarak öncekinden türetilmiştir. Yüksekliği β açısından b kenarına indirirsek, dik üçgenin özelliklerine göre a tarafının uzunluğunu γ açısının sinüsüyle çarptığımızda üçgenin yüksekliğini yani h'yi elde ederiz. .

Söz konusu şeklin alanı, içine yazılabilecek dairenin yarıçapının yarısının çevresi ile çarpılmasıyla bulunur. Yani söz konusu dairenin yarı çevresi ile yarıçapının çarpımını buluyoruz.

S= a b c/4R

Bu formüle göre ihtiyacımız olan değer, şeklin kenarlarının çarpımının, çevresinde tanımlanan dairenin 4 yarıçapına bölünmesiyle bulunabilir.

Bu formüller evrenseldir, çünkü herhangi bir üçgenin (çeşitkenar, ikizkenar, eşkenar, dikdörtgen) alanını belirlemeyi mümkün kılarlar. Bu, üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağımız daha karmaşık hesaplamalar kullanılarak yapılabilir.

Belirli özelliklere sahip üçgenlerin alanları

Dik üçgenin alanı nasıl bulunur? Bu şeklin özelliği, iki tarafının aynı anda yüksekliği olmasıdır. Eğer a ve b kenarlar ise ve c hipotenüs olursa, alanı şu şekilde buluruz:

İkizkenar üçgenin alanı nasıl bulunur? A uzunluğunda iki kenarı ve b uzunluğunda bir kenarı vardır. Sonuç olarak alanı, a tarafının karesinin çarpımının γ açısının sinüsüne 2'ye bölünmesiyle belirlenebilir.

Eşkenar üçgenin alanı nasıl bulunur? İçinde tüm kenarların uzunluğu a'ya eşittir ve tüm açıların büyüklüğü α'dır. Yüksekliği, a tarafının uzunluğunun ve 3'ün karekökünün çarpımının yarısına eşittir. Normal bir üçgenin alanını bulmak için, a tarafının karesini 3'ün kareköküyle çarpmanız ve şuna bölmeniz gerekir: 4.

Bazen hayatta, uzun süredir unutulmuş okul bilgisini aramak için hafızanızı araştırmanız gereken durumlar vardır. Örneğin, üçgen şeklindeki bir arsanın alanını belirlemeniz gerekiyor veya bir apartman dairesinde veya özel evde başka bir yenileme zamanı geldi ve yüzey için ne kadar malzemeye ihtiyaç duyulacağını hesaplamanız gerekiyor. üçgen bir şekil. Böyle bir problemi birkaç dakika içinde çözebileceğiniz bir zaman vardı, ama şimdi umutsuzca bir üçgenin alanını nasıl belirleyeceğinizi hatırlamaya mı çalışıyorsunuz?

Endişelenmeyin! Sonuçta, bir kişinin beyninin uzun süredir kullanılmayan bilgiyi bir yere uzak bir köşeye aktarmaya karar vermesi oldukça normaldir ve bazen onu çıkarmak o kadar kolay değildir. Böyle bir sorunu çözmek için unutulmuş okul bilgilerini aramakla uğraşmanıza gerek kalmaması için bu makale, üçgenin gerekli alanını bulmayı kolaylaştıran çeşitli yöntemler içermektedir.

Bir üçgenin mümkün olan en az kenar sayısıyla sınırlı bir çokgen türü olduğu iyi bilinmektedir. Prensip olarak, herhangi bir çokgen, köşelerini kenarlarıyla kesişmeyen bölümlere bağlayarak birkaç üçgene bölünebilir. Bu nedenle üçgeni bilerek neredeyse her şeklin alanını hesaplayabilirsiniz.

Hayatta meydana gelebilecek tüm olası üçgenler arasında aşağıdaki özel türler ayırt edilebilir: ve dikdörtgen.

Bir üçgenin alanını hesaplamanın en kolay yolu, açılarından birinin dik olması, yani dik üçgen olması durumundadır. Yarım dikdörtgen olduğunu görmek kolaydır. Dolayısıyla alanı birbirine dik açı oluşturan kenarların çarpımının yarısına eşittir.

Bir üçgenin bir köşesinden karşı kenara indirilen yüksekliğini ve taban denilen bu kenarın uzunluğunu bilirsek alan, yükseklik ile tabanın çarpımının yarısı kadar hesaplanır. Bu, aşağıdaki formül kullanılarak yazılmıştır:

S = 1/2*b*h, burada

S üçgenin gerekli alanıdır;

b, h - sırasıyla üçgenin yüksekliği ve tabanı.

Bir ikizkenar üçgenin alanını hesaplamak çok kolaydır çünkü yükseklik karşı kenarı ikiye böler ve kolaylıkla ölçülebilir. Alanın belirlenmesi durumunda dik açı oluşturan kenarlardan birinin uzunluğunun yükseklik olarak alınması uygun olur.

Bütün bunlar elbette güzel ama bir üçgenin açılarından birinin doğru olup olmadığı nasıl belirlenecek? Figürümüzün boyutu küçükse inşaat açısı, çizim üçgeni, kartpostal veya dikdörtgen şekilli başka bir nesne kullanabiliriz.

Peki ya üçgen bir arsamız varsa? Bu durumda şu şekilde ilerleyin: bir tarafta varsayılan dik açının tepesinden itibaren 3'ün katları olan mesafeyi (30 cm, 90 cm, 3 m) sayın ve diğer tarafta aynı şekilde 4'ün katları olan mesafeyi ölçün. orantı (40 cm, 160 cm, 4 m). Şimdi bu iki parçanın uç noktaları arasındaki mesafeyi ölçmeniz gerekiyor. Sonuç 5'in katı ise (50 cm, 250 cm, 5 m) açının doğru olduğunu söyleyebiliriz.

Şeklimizin üç tarafının her birinin uzunluğu biliniyorsa, üçgenin alanı Heron formülü kullanılarak belirlenebilir. Daha basit bir forma sahip olması için yarı çevre adı verilen yeni bir değer kullanılır. Bu, üçgenimizin tüm kenarlarının toplamının ikiye bölünmesidir. Yarı çevre hesaplandıktan sonra aşağıdaki formülü kullanarak alanı belirlemeye başlayabilirsiniz:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))), burada

sqrt - karekök;

p - yarı çevre değeri (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - üçgenin kenarları (yanları).

Peki ya üçgenin şekli düzensizse? Burada iki olası yol var. Bunlardan ilki, böyle bir rakamı, alanlarının toplamı ayrı ayrı hesaplanıp daha sonra eklenen iki dik üçgene bölmeye çalışmaktır. Veya iki kenar arasındaki açı ve bu kenarların boyutu biliniyorsa aşağıdaki formülü uygulayın:

S = 0,5 * ab * sinC, burada

a,b - üçgenin kenarları;

c bu kenarlar arasındaki açının boyutudur.

İkinci durum pratikte nadirdir, ancak yine de hayatta her şey mümkündür, bu nedenle yukarıdaki formül gereksiz olmayacaktır. Hesaplamalarınızda iyi şanslar!

Aşağıdaki gibi:

S = ½ * a * h,

Nerede:
S – üçgenin alanı,
a, kenarının uzunluğudur,
h bu tarafa indirilen yüksekliktir.

Kenar uzunluğu ve yüksekliği aynı ölçü birimlerinde sunulmalıdır. Bu durumda üçgenin alanı karşılık gelen “ ” birimlerinde elde edilecektir.

Örnek.
20 cm uzunluğunda bir çeşitkenar üçgenin bir tarafına, karşı köşeden 10 cm uzunluğunda bir dik indirilir.
Üçgenin alanı gereklidir.
Çözüm.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Çeşitkenar üçgenin herhangi iki kenarının uzunluğu ve aralarındaki açı biliniyorsa aşağıdaki formülü kullanın:

S = ½ * a * b * sinγ,

burada: a, b iki keyfi kenarın uzunluklarıdır ve γ, aralarındaki açının değeridir.

Uygulamada, örneğin arazi alanını ölçerken, ek inşaat ve açı ölçümü gerektirdiğinden yukarıdaki formüllerin kullanımı bazen zordur.

Bir çeşitkenar üçgenin üç tarafının da uzunluklarını biliyorsanız, Heron formülünü kullanın:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))

a, b, c – üçgenin kenarlarının uzunlukları,
p – yarı çevre: p = (a+b+c)/2.

Tüm kenarların uzunluklarına ek olarak üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı da biliniyorsa, aşağıdaki kompakt formülü kullanın:

burada: r – yazılı dairenin yarıçapı (р – yarı çevre).

Çevrel dairenin yarıçapını ve kenarlarının uzunluğunu kullanarak bir çeşitkenar üçgenin alanını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanın:

burada: R – çevrelenen dairenin yarıçapı.

Üçgenin kenarlarından birinin uzunluğu ve üç açının değeri biliniyorsa (prensip olarak iki yeterlidir - üçüncünün değeri üçgenin üç açısının toplamının eşitliğinden hesaplanır - 180°), ardından şu formülü kullanın:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

burada α, a tarafının karşısındaki açının değeridir;
β, γ – üçgenin kalan iki açısının değerleri.

Düzenli bir üçgen, üç kenarı eşit olan bir üçgendir. Aşağıdaki özelliklere sahiptir: Normal bir üçgenin tüm kenarları birbirine eşittir ve tüm açılar 60 dereceye eşittir. Düzenli bir üçgen ikizkenardır.

İhtiyacın olacak

• Geometri bilgisi.

Talimatlar

Uzunluğu a=7 olan bir düzgün üçgenin bir kenarı verilsin. Böyle bir üçgenin kenarını bilerek alanını kolayca hesaplayabilirsiniz. Bunun için şu formül kullanılır: S = (3^(1/2)*a^2)/4. Bu formülde a=7 değerini yerine koyalım ve şunu elde edelim: S = (7*7*3^1/2)/4 = 49 * 1,7 / 4 = 20,82. Böylece kenarı a=7 olan eşkenar üçgenin alanının S=20,82'ye eşit olduğunu bulduk.

Çemberin yarıçapı verilirse şöyle görünecektir:
S = 3*3^(1/2)*r^2, burada r, yazılı dairenin yarıçapıdır. Yazılı dairenin yarıçapı r=4 olsun. Bunu daha önce yazdığımız formülde yerine koyalım ve şu ifadeyi elde edelim: S = 3*1,7*4*4 = 81,6. Yani yazılı dairenin yarıçapı 4'e eşitse eşkenar üçgenin alanı 81,6'ya eşit olacaktır.

Sınırlandırılmış dairenin yarıçapı bilinen bir üçgenin alanı formülü şuna benzer: S = 3*3^(1/2)*R^2/4, burada R, çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır . R=5 olduğunu varsayalım ve bu değeri şu formülde yerine koyalım: S = 3*1,7*25/4 = 31,9. Sınırlandırılmış dairenin yarıçapı 5'e eşit olduğunda üçgenin alanının 31.9 olduğu ortaya çıktı.

Not

Bir üçgenin alanı, bir üçgenin bir tarafının uzunluğu ve yazılı ve çevrelenmiş dairelerin yarıçapları gibi her zaman pozitiftir.

Yararlı tavsiye

Eşkenar üçgendeki yazılı ve çevrelenmiş dairelerin yarıçapı iki kat farklılık gösterir, bunu bilerek, örneğin yazılı dairenin yarıçapı aracılığıyla yalnızca bir formülü hatırlayabilir ve bu ifadeyi bilerek ikinciyi türetebilirsiniz.

Bir üçgenin kenarlarından birinin uzunluğu ve komşu açıların değerleri biliniyorsa alanı çeşitli şekillerde hesaplanabilir. Hesaplama formüllerinin her biri trigonometrik fonksiyonların kullanımını içerir, ancak bu korkutucu olmamalıdır - bunları hesaplamak için, işletim sisteminde yerleşik bir hesap makinesinin varlığından bahsetmek yerine, İnternet'e erişime sahip olmak yeterlidir.

Talimatlar

Alanı (S), taraflardan birinin (A) bilinen uzunluğundan ve bitişik açıların (α ve β) değerlerinden hesaplamak için ilk seçenek, bu açıların hesaplanmasını içerir. Bu durumda alan, bilinen kenarın uzunluğunun karesinin bilinen açıların kotanjantlarının iki katına bölünmesiyle elde edilecektir: S = A*A/(2*(ctg(α)+ctg(β))). Örneğin bilinen bir kenarın uzunluğu 15 cm ve komşu açıları 40° ve 60° ise alan hesabı şu şekilde olacaktır: 15*15/(2*(ctg(40)+ctg(60) ))) = 225/(2*(-0,895082918+3,12460562)) = 225/4,4590454 = 50,4592305 santimetre kare.

Alanı hesaplamak için ikinci seçenek, kotanjantlar yerine bilinen açıların sinüslerini kullanır. Bu versiyonda alan, bilinen kenarın uzunluğunun karesinin her bir açının sinüsüyle çarpılması ve bu açıların toplamının sinüsünün iki katına bölünmesine eşittir: S = A*A*sin(α) )*sin(β)/(2*sin(α + β) ). Örneğin, bilinen bir kenarı 15 cm ve komşu açıları 40° ve 60° olan aynı üçgen için alan hesaplaması şu şekilde görünecektir: (15*15*sin(40)*sin(60))/( 2* sin(40+60)) = 225*0,74511316*(-0,304810621)/(2*(-0,506365641)) = -51,1016411/-1,01273128 = 50,4592305 santimetre kare.

Bir üçgenin alanını hesaplamak için üçüncü seçenek, açıların teğetlerini kullanır. Alan, bilinen kenarın uzunluğunun karesinin her bir açının teğetleriyle çarpımı ve bu açıların teğetlerinin toplamının iki katına bölünmesine eşit olacaktır: S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β) ). Örneğin önceki adımlarda kullanılan bir kenarı 15 cm ve komşu açıları 40° ve 60° olan bir üçgen için alan hesaplaması şu şekilde görünecektir: (15*15*tg(40)*tg(60) ))/(2*(tg (40)+tg(60)) = (225*(-1,11721493)*0,320040389)/(2*(-1,11721493+0,320040389)) = -80,4496277/-1,59434908 = 50,4592305 santimetre kare.

Örneğin Google arama motoru hesap makinesini kullanarak pratik hesaplamalar yapılabilir. Bunu yapmak için formüllerdeki sayısal değerleri değiştirin ve bunları arama sorgusu alanına girin.

İpucu 4: Bir üçgenin ve bir dikdörtgenin alanı nasıl bulunur?

Üçgen ve dikdörtgen Öklid geometrisindeki en basit iki düzlemsel geometrik şekildir. Bu çokgenlerin kenarlarının oluşturduğu çevrelerin içinde, alanı birçok şekilde belirlenebilen düzlemin belli bir bölümü vardır. Her özel durumda yöntemin seçimi, şekillerin bilinen parametrelerine bağlı olacaktır.

Geometrik bir şeklin alanı- bu şeklin boyutunu gösteren geometrik bir şeklin sayısal özelliği (yüzeyin bu şeklin kapalı konturuyla sınırlanan kısmı). Alanın büyüklüğü, içerdiği birim karelerin sayısıyla ifade edilir.

Üçgen alan formülleri

1. Yan ve yüksekliğe göre bir üçgenin alanı için formül
   Bir üçgenin alanı Bir üçgenin bir kenarının uzunluğu ile bu kenara çizilen yüksekliğin uzunluğunun çarpımının yarısına eşittir
   
2. Üç tarafa ve çevrel dairenin yarıçapına dayalı bir üçgenin alanı için formül
   
3. Üç tarafa ve yazılı dairenin yarıçapına dayalı bir üçgenin alanı için formül
   Bir üçgenin alanıüçgenin yarı çevresi ile yazılı dairenin yarıçapının çarpımına eşittir.
   
burada S üçgenin alanıdır,
- üçgenin kenarlarının uzunlukları,
- üçgenin yüksekliği,
- kenarlar arasındaki açı ve,
- yazılı dairenin yarıçapı,
R - çevrelenmiş dairenin yarıçapı,

Kare alan formülleri

1. Kenar uzunluğuna göre karenin alanı formülü
   Kare alan kenar uzunluğunun karesine eşittir.
2. Köşegen uzunluğu boyunca bir karenin alanı için formül
   Kare alan köşegen uzunluğunun karesinin yarısına eşittir.
   

   S=	1	2
   	2

burada S karenin alanıdır,
- karenin kenar uzunluğu,
- karenin köşegeninin uzunluğu.

Dikdörtgen alan formülü

Dikdörtgenin alanı iki komşu kenarının uzunluklarının çarpımına eşit

burada S dikdörtgenin alanıdır,
- dikdörtgenin kenarlarının uzunlukları.

Paralelkenar alan formülleri

1. Kenar uzunluğuna ve yüksekliğine dayalı bir paralelkenarın alanı için formül
   Paralelkenarın alanı
2. İki tarafa ve aralarındaki açıya dayalı bir paralelkenarın alanı için formül
   Paralelkenarın alanı kenarlarının uzunluklarının çarpımının aralarındaki açının sinüsüyle çarpımına eşittir.
   

   a b günah α

burada S paralelkenarın alanıdır,
- Paralelkenarın kenarlarının uzunlukları,
- paralelkenar yüksekliğinin uzunluğu,
- paralelkenarın kenarları arasındaki açı.

Eşkenar dörtgen alanı için formüller

1. Kenar uzunluğu ve yüksekliğine göre eşkenar dörtgen alanı formülü
   Bir eşkenar dörtgenin alanı kendi tarafının uzunluğu ile bu tarafa indirilen yüksekliğin uzunluğunun çarpımına eşittir.
2. Kenar uzunluğuna ve açıya dayalı bir eşkenar dörtgen alanı formülü
   Bir eşkenar dörtgenin alanı kendi kenarının uzunluğunun karesi ile eşkenar dörtgenin kenarları arasındaki açının sinüsünün çarpımına eşittir.
3. Köşegenlerinin uzunluklarına dayalı bir eşkenar dörtgen alanı formülü
   Bir eşkenar dörtgenin alanı köşegenlerinin uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir.
burada S eşkenar dörtgenin alanıdır,
- eşkenar dörtgenin kenarının uzunluğu,
- eşkenar dörtgenin yüksekliğinin uzunluğu,
- eşkenar dörtgenin kenarları arasındaki açı,
1, 2 - köşegen uzunlukları.

Yamuk alan formülleri

1. Heron'un yamuk formülü

   S yamuğun alanı olduğunda,
   - yamuk tabanlarının uzunlukları,
   - yamuğun kenarlarının uzunlukları,
   

Alan kavramı

Herhangi bir geometrik şeklin, özellikle bir üçgenin alanı kavramı, kare gibi bir şekil ile ilişkilendirilecektir. Herhangi bir geometrik şeklin birim alanı için, kenarı bire eşit olan karenin alanını alacağız. Bütünlüğü sağlamak için geometrik şekillerin alanları kavramının iki temel özelliğini hatırlayalım.

Özellik 1: Geometrik şekillerin eşit olması durumunda alanları da eşittir.

Özellik 2: Herhangi bir rakam birkaç rakama bölünebilir. Ayrıca orijinal şeklin alanı, onu oluşturan tüm şekillerin alanlarının toplamına eşittir.

Bir örneğe bakalım.

örnek 1

Açıkçası, üçgenin kenarlarından biri bir dikdörtgenin köşegenidir, bir kenarının uzunluğu 5$'dır (çünkü $5$ hücreleri vardır), diğeri $6$'dır (çünkü $6$ hücreleri vardır). Dolayısıyla bu üçgenin alanı böyle bir dikdörtgenin yarısına eşit olacaktır. Dikdörtgenin alanı

O zaman üçgenin alanı eşittir

Cevap: 15$.

Daha sonra, üçgenlerin alanlarını bulmak için çeşitli yöntemleri ele alacağız; yani yüksekliği ve tabanı kullanarak, Heron formülünü ve eşkenar üçgenin alanını kullanarak.

Yüksekliğini ve tabanını kullanarak bir üçgenin alanı nasıl bulunur?

Teorem 1

Bir üçgenin alanı, bir kenar uzunluğu ile o kenar yüksekliğinin çarpımının yarısı kadar bulunabilir.

Matematiksel olarak şöyle görünüyor

$S=\frac(1)(2)αh$

burada $a$ kenarın uzunluğu, $h$ ona çizilen yüksekliktir.

Kanıt.

$AC=α$ olan bir $ABC$ üçgenini düşünün. Bu tarafa $h$'a eşit olan $BH$ yüksekliği çizilir. Şekil 2'deki gibi $AXYC$ karesine kadar oluşturalım.

$AXBH$ dikdörtgeninin alanı $h\cdot AH$ ve $HBYC$ dikdörtgeninin alanı $h\cdot HC$'dir. Daha sonra

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Bu nedenle, özellik 2'ye göre üçgenin gerekli alanı şuna eşittir:

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorem kanıtlandı.

Örnek 2

Hücrenin alanı bire eşitse aşağıdaki şekildeki üçgenin alanını bulun

Bu üçgenin tabanı $9$'a eşittir (çünkü $9$, $9$'ın karesidir). Yükseklik de 9$'dır. O zaman Teorem 1'e göre şunu elde ederiz:

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Cevap: 40,5$.

Heron'un formülü

Teorem 2

Bize $α$, $β$ ve $γ$ üçgeninin üç kenarı verilirse, alanı aşağıdaki gibi bulunabilir.

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

burada $ρ$ bu üçgenin yarı çevresi anlamına geliyor.

Kanıt.

Aşağıdaki şekli göz önünde bulundurun:

Pisagor teoremine göre $ABH$ üçgeninden şunu elde ederiz:

Pisagor teoremine göre $CBH$ üçgeninden şunu elde ederiz:

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Bu iki ilişkiden eşitliği elde ederiz

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

$ρ=\frac(α+β+γ)(2)$ olduğundan $α+β+γ=2ρ$, yani

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Teorem 1'e göre şunu elde ederiz:

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$