Abc üçgeninin ana elemanları. Bir üçgenin açıortayı nedir: en boy oranıyla ilgili özellikler

Ortaokulun sayısız konusu arasında "geometri" gibi bir şey var. Geleneksel olarak bu sistematik bilimin kurucularının Yunanlılar olduğuna inanılmaktadır. Bugün, Yunan geometrisine temel denir, çünkü en basit formları incelemeye başlayan oydu: düzlemler, çizgiler ve üçgenler. İkincisine veya daha doğrusu bu rakamın açıortayına odaklanacağız. Zaten unutmuş olanlar için, bir üçgenin açıortayı, üçgenin açılarından birinin açıortayının, onu ikiye bölen ve tepe noktasını karşı tarafta bulunan bir noktaya bağlayan bir parçasıdır.

Bir üçgenin açıortayı, belirli problemleri çözerken bilmeniz gereken bir takım özelliklere sahiptir:

• Açıortay, açıya bitişik kenarlardan eşit uzaklıkta olan noktaların geometrik yeridir.
• Bir üçgendeki açıortay, açının karşı tarafını bitişik kenarlarla orantılı parçalara böler. Örneğin, K açısından bir açıortayın çıktığı ve bu açının köşesini MB'nin karşı tarafındaki A noktasına bağlayan MKB üçgeni verilmiştir. Bu özelliği ve üçgenimizi analiz ettikten sonra MA/AB=MK/KB var.
• Bir üçgenin üç açısının da açıortaylarının kesiştiği nokta, aynı üçgen içinde yazılı olan çemberin merkezidir.
• Bir dış açının ve iki iç açının açıortaylarının tabanları, dış açının açıortayı üçgenin karşı kenarına paralel olmamak koşuluyla aynı doğru üzerindedir.
• Birin iki açıortayı ise, o zaman bu

Üç açıortay verilirse, pusula yardımıyla bile bunları kullanarak bir üçgen oluşturmanın imkansız olduğuna dikkat edilmelidir.

Çoğu zaman, problemleri çözerken bir üçgenin açıortayı bilinmez, ancak uzunluğunu belirlemek gerekir. Böyle bir problemi çözmek için açıortayın ikiye böldüğü açıyı ve bu açıya komşu kenarları bilmek gerekir. Bu durumda istenen uzunluk, köşeye bitişik kenarların çift çarpımı ile yarıya bölünen açının kosinüsünün köşeye bitişik kenarların toplamına oranı olarak tanımlanır. Örneğin, aynı MKB üçgeni verildi. Açıortay K açısından ayrılır ve MB'nin karşı tarafını A noktasında keser. Açıortayın ayrıldığı açı y ile gösterilir. Şimdi kelimelerle söylenen her şeyi bir formül şeklinde yazalım: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Üçgenin açıortayının çıktığı açının değeri bilinmiyorsa, ancak tüm kenarları biliniyorsa, o zaman açıortayın uzunluğunu hesaplamak için yarı-çevre diyeceğimiz ve göstereceğimiz ek bir değişken kullanacağız. P harfi ile: P=1/2*(MK+KB+MB). Bundan sonra, açıortayın uzunluğunun belirlendiği önceki formülde bazı değişiklikler yapacağız, yani kesrin payına, köşeye bitişik kenarların uzunluklarının yarı çevre ile çarpımının iki katını koyuyoruz. ve üçüncü kenarın uzunluğunun yarı çevreden çıkarıldığı bölüm. Paydayı değiştirmeden bırakıyoruz. Bir formül biçiminde şöyle görünecektir: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Bir ikizkenar üçgenin açıortayı, ortak özelliklerin yanı sıra kendine ait birçok özelliğe sahiptir. Üçgenin ne olduğunu hatırlayalım. Böyle bir üçgende iki kenar eşittir ve tabana bitişik açılar eşittir. Bir ikizkenar üçgenin kenarlarına inen açıortayların birbirine eşit olduğu sonucu çıkar. Ayrıca tabana indirilen açıortay aynı anda hem yükseklik hem de medyandır.

Bir üçgenin iç açılarına üçgenin açıortayı denir.
Bir üçgenin açıortayı, tepe noktası ile açıortayın üçgenin karşı tarafı ile kesişme noktası arasındaki bölüm olarak da anlaşılır.
Teorem 8. Bir üçgenin üç açıortayı bir noktada kesişir.
Aslında, önce AK 1 ve VC 2 gibi iki bisektörün kesiştiği noktayı ele alalım. Bu nokta, A açısının açıortayı üzerinde bulunduğu için AB ve AC kenarlarından eşit uzaklıkta ve B açısının açıortayına ait olduğu için AB ve BC kenarlarından eşit uzaklıkta. AC ve BC kenarlarıdır ve bu nedenle üçüncü açıortay SK 3'e aittir, yani P noktasında üç açıortay da kesişir.
Bir üçgenin iç ve dış açıortaylarının özellikleri
teorem 9. Bir üçgenin iç açısının açıortayı, karşı kenarı bitişik kenarlarla orantılı parçalara böler.
Kanıt. ABC üçgenini ve B açısının açıortayını ele alalım. C tepe noktasından, BK açıortayına paralel, AB kenarının bir uzantısı olarak M noktasında kesişene kadar bir CM doğrusu çizelim. VC, ABC açısının açıortayı olduğu için ∠ ABK=∠ KBC olur. Ayrıca, paralel doğrularda karşılık gelen açılar olarak ∠ ABK=∠ VMS ve paralel doğrularda çapraz yatma açıları olarak ∠ KBC=∠ VCM. Dolayısıyla ∠ VCM=∠ VMS ve bu nedenle VMS üçgeni ikizkenardır, dolayısıyla BC=VM'dir. Bir açının kenarlarını kesen paralel doğrular teoremine göre ispatlanması gereken AK:K C=AB:VM=AB:BC var.
Teorem 10 ABC üçgeninin B dış açısının açıortayı benzer bir özelliğe sahiptir: A ve C köşelerinden açıortay ile AC kenarının uzantısının kesiştiği L noktasına kadar AL ve CL segmentleri kenarlarıyla orantılıdır. üçgen: AL: CL=AB :BC .
Bu özellik, öncekiyle aynı şekilde kanıtlanmıştır: Şekilde, bisektöre BL paralel bir yardımcı düz çizgi CM çizilir. BMC ve BCM açıları eşittir, yani BMC üçgeninin BM ve BC kenarları eşittir. Buradan AL:CL=AB:BC sonucuna varıyoruz.

Teorem d4. (ortay için ilk formül): ABC üçgeninde AL doğru parçası A açısının açıortayı ise, AL? = AB AC - LB LC.

Kanıt: M, AL doğrusu ile ABC üçgeninin çevrelediği çemberin kesişme noktası olsun (Şekil 41). BAM açısı, geleneksel olarak MAC açısına eşittir. BMA ve BCA açıları, aynı kirişe dayalı çevre açılar olarak eşittir. Bu nedenle, BAM ve LAC üçgenleri iki açıda benzerdir. Bu nedenle, AL: AC = AB: AM. Yani AL AM = AB AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>AL? = AB AC - AL LM = AB AC - BL LC. Kanıtlanması gereken şey buydu. Not: Bir daire içinde kesişen kirişlerin parçaları ve yazılı açılar hakkındaki teorem için, çember ve çember konusuna bakın.

Teorem d5. (ortay için ikinci formül): Kenarları AB=a, AC=b ve A açısı 2'ye eşit olan ABC üçgeninde? ve açıortay l, eşitlik gerçekleşir:
l = (2ab / (a+b)) · çünkü?.

Kanıt: ABC verili bir üçgen, AL onun açıortayı (Şekil 42), a=AB, b=AC, l=AL olsun. O zaman S ABC = S ALB + S ALC . Dolayısıyla absin2? = alsin? +blsin?<=>2absin? = (a + b)lsin?<=>l = 2 (ab / (a+b)) cos?. Teorem kanıtlanmıştır.

Bir üçgenin açıortayı nedir? Bu soruya bazı kimseler köşelerde koşan ve köşeyi ikiye bölen kötü şöhretli fareye sahipler: "Cevap "mizahlı" olmak zorundaysa, o zaman belki doğrudur. bu soru şuna benzer bir şey gibi gelmeliydi: köşenin tepesinden başlayıp köşeyi iki eşit parçaya bölmek. Geometride bu şekil, üçgenin karşı tarafıyla kesişene kadar açıortayın bir parçası olarak da algılanır. Bu değil hatalı görüş. Açıortay hakkında tanımı dışında başka neler biliniyor?

Herhangi bir nokta yeri gibi, kendi özelliklerine sahiptir. Bunlardan ilki bir işaret bile değil, kısaca şu şekilde ifade edilebilecek bir teoremdir: "Karşı taraf bir açıortay ile ikiye bölünürse, oranları büyük bir cismin kenarlarının oranına karşılık gelecektir. üçgen."

Sahip olduğu ikinci özellik: tüm açıların açıortaylarının kesişme noktasına incenter denir.

Üçüncü işaret: Bir üçgenin bir iç ve iki dış açısının açıortayları, içine yazılı üç daireden birinin merkezinde kesişir.

Bir üçgenin açıortaylarının dördüncü özelliği, eğer her biri eşitse, o zaman sonuncusu ikizkenardır.

Beşinci işaret ayrıca bir ikizkenar üçgenle ilgilidir ve çizimde bisectors tarafından tanınması için ana kılavuzdur, yani: bir ikizkenar üçgende, aynı anda bir medyan ve yükseklik görevi görür.

Bir açıortay, pusula ve cetvel kullanılarak oluşturulabilir:

Altıncı kural, tıpkı bir küpün ikiye katlanması, bir dairenin karesi ve bir açının üçe bölünmesinin bu şekilde inşa edilmesinin imkansız olduğu gibi, sadece mevcut açıortaylarla ikincisini kullanarak bir üçgen inşa etmenin imkansız olduğunu söyler. Kesin olarak konuşursak, bu, bir üçgenin açısının açıortayının tüm özellikleridir.

Önceki paragrafı dikkatlice okursanız, belki de bir cümle ilginizi çekmiştir. "Bir açının üçe bölümü nedir?" - mutlaka soracaksınız. Trisectris, bisektöre biraz benzer, ancak ikincisini çizerseniz, o zaman açı iki eşit parçaya ve bir triseksiyon oluştururken üçe bölünecektir. Doğal olarak, bir açının ortayını hatırlamak daha kolaydır, çünkü üçe bölme okulda öğretilmez. Ama bütünlük adına, size bundan bahsedeceğim.

Üç bölücü, dediğim gibi, yalnızca bir pusula ve bir cetvelle kurulamaz, ancak Fujita kuralları ve bazı eğriler kullanılarak oluşturulabilir: Pascal'ın salyangozları, ikinci dereceden, Nicomedes konkoidleri, konik kesitler,

Bir açının üçe bölünmesiyle ilgili problemler, nevsis yardımıyla oldukça basit bir şekilde çözülür.

Geometride, bir açının üç bölücüleri hakkında bir teorem vardır. Buna Morley (Morley) teoremi denir. Her açının ortasındaki trisektörlerin kesişme noktalarının köşe olacağını belirtir.

Büyük olanın içindeki küçük siyah üçgen her zaman eşkenar olacaktır. Bu teorem, 1904 yılında İngiliz bilim adamı Frank Morley tarafından keşfedildi.

Bir açının bölünmesi hakkında ne öğrenebileceğiniz aşağıda açıklanmıştır: Bir açının üç bölücüsü ve açıortayı her zaman ayrıntılı açıklamalar gerektirir. Ancak burada henüz benim tarafımdan açıklanmayan birçok tanım verilmiştir: Pascal'ın salyangozu, Nikomedes'in konkoid, vb. Şüphesiz onlar hakkında daha çok şey yazılabilir.

BİSEKTÖRÜN ÖZELLİKLERİ

Açıortay özelliği: Bir üçgende, açıortay karşı tarafı bitişik kenarlarla orantılı parçalara böler.

Bir dış açının açıortayı Bir üçgenin bir dış açısının açıortayı, kenarının uzantısını bir noktada keser, bu kenarın uçlarına olan mesafeler sırasıyla üçgenin bitişik kenarlarıyla orantılıdır. C B A D

Bisektör uzunluk formülleri:

Açıortayın üçgenin karşı tarafını böldüğü doğru parçalarının uzunluklarını bulma formülü

Açıortayın bölündüğü segmentlerin uzunluklarının, açıortayların kesişme noktasına oranını bulma formülü

Problem 1. Bir üçgenin açıortaylarından biri, tepe noktasından sayılarak açıortayların kesişme noktasına 3:2 oranında bölünür. Bu açıortayın çizildiği kenar uzunluğu 12 cm olan bir üçgenin çevresini bulunuz.

Çözüm Ortaya bölünen doğru parçalarının uzunluklarının üçgendeki açıortayların kesişme noktalarına oranını bulmak için formülü kullanıyoruz: 30. Cevap: P = 30cm.

Görev 2 . BD ve CE ∆ ABC açıortayları O noktasında kesişir. AB=14, BC=6, AC=10. OD'yi bulun.

Çözüm. Açıortayın uzunluğunu bulmak için formülü kullanalım: Elimizde: BD = BD = = Açıortayın, açıortayların kesişme noktasına bölündüğü doğru parçalarının oranı formülüne göre: l = . 2 + 1 = her şeyin 3 parçası.

bu 1. kısım  OD = Cevap: OD =

Problemler ∆ ABC'de, AL ve BK açıortayları çizilmiştir. KLif AB \u003d 15, AK \u003d 7.5, BL \u003d 5 segmentinin uzunluğunu bulun. ∆ ABC'de, AD bisektörü çizilir ve D noktasından AC'ye paralel ve AB'yi E noktasında kesişen düz bir çizgidir. AB = 5, AC = 7 ise, ∆ ABC ve ∆ BDE alanlarının oranını bulun. Bacakları 24 cm ve 18 cm olan bir dik üçgenin dar açılarının açıortaylarını bulun. Dik üçgende açıortay dar açı karşı bacağı 4 ve 5 cm uzunluğunda parçalara ayırır Üçgenin alanını belirleyin.

5. Bir ikizkenar üçgende taban ve kenar sırasıyla 5 ve 20 cm'dir Üçgenin tabanındaki açının açıortayını bulun. 6. Bacakları a ve b'ye eşit olan bir üçgenin dik açısının açıortayını bulun. 7. Kenar uzunlukları a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm olan ABC üçgeninin A açısının açıortay uzunluğunu hesaplayınız. İç açıortaylarının kesiştiği noktada bölme oranını bulun.

Cevaplar: Cevap: Cevap: Cevap: Cevap: Cevap: Cevap: Cevap: Cevap: AP = 6 AP = 10 bkz. KL = CP =

Bir üçgenin açıortayı, öğrenmede çok fazla zorluğa neden olmayan yaygın bir geometrik kavramdır. Özelliklerini bilmek, birçok sorunu çok zorlanmadan çözebilir. Bisektör nedir? Okuyucuyu bu matematiksel çizginin tüm sırlarıyla tanıştırmaya çalışacağız.

Temas halinde

kavramın özü

Kavramın adı, anlamı "bi" - iki, "sectio" - kes olan Latince kelimelerin kullanımından geldi. Özellikle kavramın geometrik anlamına işaret ediyorlar - ışınlar arasındaki boşluğu kırmak iki eşit parçaya.

Bir üçgenin açıortayı, şeklin tepesinden çıkan bir parçadır ve diğer ucu, boşluğu iki özdeş parçaya bölerken, karşısındaki tarafta yer alır.

Birçok öğretmen, öğrenciler tarafından matematiksel kavramların hızlı çağrışımsal ezberlenmesi için ayetlerde veya çağrışımlarda gösterilen farklı terminoloji kullanır. Tabii ki, bu tanım daha büyük çocuklar için önerilir.

Bu çizgi nasıl işaretlenir? Burada segmentleri veya ışınları belirtmek için kurallara güveniyoruz. Eğer Konuşuyoruz bir üçgen şeklin açısının bisektörünün belirlenmesi hakkında, o zaman genellikle uçları olan bir segment olarak yazılır. tepe noktası ve tepe noktasının karşı tarafıyla kesişme noktası. Ayrıca atamanın başlangıcı tam olarak üstten yazılır.

Dikkat! Bir üçgenin kaç tane açıortayı vardır? Cevap açık: Köşe sayısı kadar - üç.

Özellikler

Tanıma ek olarak, okul ders kitabı bu geometrik kavramın pek çok özelliği bulunamaz. Okul çocuklarının tanıtıldığı bir üçgenin bisektörünün ilk özelliği, yazılı merkezdir ve doğrudan onunla ilgili olan ikincisi, bölümlerin orantılılığıdır. Sonuç olarak şudur:

1. Bölme çizgisi ne olursa olsun, üzerinde birbirine benzeyen noktalar vardır. yanlardan aynı uzaklıkta, ışınlar arasındaki boşluğu oluşturan.
2. Üçgen bir şekle daire çizebilmek için bu doğru parçalarının kesişeceği noktayı belirlemek gerekir. Bu dairenin merkez noktasıdır.
3. Üçgen kenarın parçaları geometrik şekil, bölme çizgisinin bölündüğü, açıyı oluşturan taraflarla orantılı olarak.

Geri kalan özellikleri bir sisteme getirmeye ve bu geometrik kavramın erdemlerini daha iyi anlamaya yardımcı olacak ek gerçekler sunmaya çalışacağız.

Uzunluk

Okul çocukları için zorluk yaratan görev türlerinden biri, bir üçgenin açıortay uzunluğunu bulmaktır. Uzunluğunun bulunduğu ilk seçenek aşağıdaki verileri içerir:

• verilen segmentin tepesinden çıktığı ışınlar arasındaki boşluğun boyutu;
• bu açıyı oluşturan kenarların uzunlukları.

Sorunu çözmek formül kullanılır anlamı, açıyı oluşturan kenarların değerlerinin ikiye katlanmış ürününün yarısının kosinüsüne göre kenarların toplamına oranını bulmaktır.

Belirli bir örneğe bakalım. Segmentin A açısından çizildiği ve BC tarafını K noktasında kesiştiği bir ABC şekli verildiğini varsayalım. A'nın değerini Y ile belirtiyoruz. Buna dayanarak, AK \u003d (2 * AB * AC * cos ( Y / 2)) / (AB + AS).

Bir üçgenin açıortay uzunluğunun belirlendiği problemin ikinci versiyonu aşağıdaki verileri içermektedir:

• şeklin tüm kenarlarının değerleri bilinmektedir.

Bu tür bir problemi çözerken, başlangıçta yarı çevreyi belirlemek. Bunu yapmak için tüm tarafların değerlerini toplayın ve ikiye bölün: p \u003d (AB + BC + AC) / 2. Daha sonra, önceki problemde bu parçanın uzunluğunu belirlemek için kullanılan hesaplama formülünü uyguluyoruz. Sadece yeni parametrelere göre formülün özünde bazı değişiklikler yapmak gerekiyor. Bu nedenle, tepeye bitişik kenarların uzunluklarının çarpımından, ikinci derecenin iki kökünün yarıçevreye oranını ve yarıçevre ile yarıçevre uzunlukları arasındaki farkı bulmak gerekir. açıyı oluşturan kenarların toplamının karşı kenarı. Yani AK \u003d (2٦AB * AC * p * (r-BC)) / (AB + AC).

Dikkat! Malzemeye hakim olmayı kolaylaştırmak için internette mevcut olanlara başvurabilirsiniz. komik hikayeler, bu satırın "maceralarını" anlatıyor.