3 ve 2'nin en küçük ortak katı. Ortak bölen ve kat

İkinci numara: b=

Rakam ayırıcı Boşluk ayırıcı yok " ´

Sonuç:

En Büyük Ortak Bölen gcd( A,B)=6

EKOK'nin en küçük ortak katı( A,B)=468

a ve b sayılarının kalansız bölünebildiği en büyük doğal sayıya ne denir en büyük ortak böleni(gcd) bu sayıların. ebob(a,b), (a,b), ebob(a,b) veya hcf(a,b) olarak gösterilir.

En küçük ortak Kat a ve b tam sayılarının (EKOK), a ve b ile kalansız bölünebilen en küçük doğal sayıdır. EKOK(a,b) veya EKOK(a,b) ile gösterilir.

a ve b tamsayıları çağrılır eş asal+1 ve -1 dışında ortak bölenleri yoksa.

En büyük ortak böleni

İki verilsin pozitif sayılar A 1 ve A 2 1). Bu sayıların ortak bölenini bulmak gerekiyor, yani. böyle bir sayı bul λ sayıları bölen A 1 ve A 2 aynı anda. Algoritmayı açıklayalım.

1) Bu yazıda sayı kelimesi tam sayı anlamına gelecektir.

İzin vermek A 1 ≥ A 2 ve bırak

Nerede M 1 , A 3 bazı tam sayılardır, A 3 <A 2 (bölünmeden kalan A 1 açık A 2 daha az olmalı A 2).

Hadi öyleymiş gibi yapalım λ böler A 1 ve A 2 , sonra λ böler M 1 A 2 ve λ böler A 1 −M 1 A 2 =A 3 ("Sayıların bölünebilirliği. Bölünebilirlik işareti" makalesinin 2. İddiası). Buradan, her ortak bölenin A 1 ve A 2 ortak bölendir A 2 ve A 3. Tersi de şu durumlarda doğrudur: λ ortak bölen A 2 ve A 3 , sonra M 1 A 2 ve A 1 =M 1 A 2 +A 3'e de ayrılır λ . Dolayısıyla ortak bölen A 2 ve A 3 aynı zamanda bir ortak bölendir A 1 ve A 2. Çünkü A 3 <A 2 ≤A 1 , o zaman sayıların ortak bölenini bulma probleminin çözümünün olduğunu söyleyebiliriz A 1 ve A 2, sayıların ortak bir bölenini bulma gibi daha basit bir probleme indirgendi A 2 ve A 3 .

Eğer A 3 ≠0, sonra bölebiliriz A 2 açık A 3. Daha sonra

,

Nerede M 1 ve A 4 bazı tam sayılardır, ( A 4 bölmeden kalan A 2 açık A 3 (A 4 <A 3)). Benzer bir akıl yürütmeyle, sayıların ortak bölenlerinin olduğu sonucuna varıyoruz. A 3 ve A 4, sayıların ortak bölenleriyle aynıdır A 2 ve A 3 ve ayrıca ortak bölenlerle A 1 ve A 2. Çünkü A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , ... sayıları sürekli azalan ve aralarında sonlu sayıda tam sayı olduğu için A 2 ve 0, ardından bir adımda N, bölümün geri kalanı A n açık A n+1 sıfıra eşit olacaktır ( A n+2=0).

.

Her ortak bölen λ sayılar A 1 ve A 2 aynı zamanda bir sayı böleni A 2 ve A 3 , A 3 ve A 4 , .... A n ve A n+1 Tersi de doğrudur, sayıların ortak bölenleri A n ve A n+1 aynı zamanda sayıların bölenleridir A n-1 ve A N , .... , A 2 ve A 3 , A 1 ve A 2. Ama ortak bölen A n ve A n+1 bir sayıdır A n+1 , çünkü A n ve A n+1 bölünebilir A n+1 (hatırlayın A n+2=0). Buradan A n+1 aynı zamanda bir sayı böleni A 1 ve A 2 .

Numaraya dikkat edin A n+1 en büyük sayı böleni A n ve A n+1 , çünkü en büyük bölen A n+1 kendisidir A n+1 Eğer A n + 1, tam sayıların çarpımı olarak gösterilebilir, bu durumda bu sayılar aynı zamanda sayıların ortak bölenleridir. A 1 ve A 2. Sayı A n+1 denir en büyük ortak böleni sayılar A 1 ve A 2 .

Sayılar A 1 ve A 2 hem pozitif hem de negatif sayı olabilir. Sayılardan biri sıfıra eşitse, bu sayıların en büyük ortak böleni diğer sayının mutlak değerine eşit olacaktır. Sıfır sayıların en büyük ortak böleni tanımlanmamıştır.

Yukarıdaki algoritma denir Öklid'in algoritması iki tamsayının en büyük ortak bölenini bulmak için.

İki sayının en büyük ortak bölenini bulma örneği

630 ve 434 sayılarının en büyük ortak bölenini bulun.

• Adım 1. 630 sayısını 434'e bölün. Kalan 196'dır.
• Adım 2. 434 sayısını 196'ya bölün. Kalan 42'dir.
• Adım 3. 196 sayısını 42'ye bölün. Kalan 28'dir.
• Adım 4. 42 sayısını 28'e bölün. Kalan 14'tür.
• Adım 5. 28 sayısını 14'e bölün. Kalan 0'dır.

5. adımda bölmeden kalan 0'dır. Bu nedenle, 630 ve 434 sayılarının en büyük ortak böleni 14'tür. 2 ve 7 sayılarının da 630 ve 434 sayılarının bölenleri olduğuna dikkat edin.

asal sayılar

Tanım 1. Sayıların en büyük ortak böleni olsun A 1 ve A 2, bire eşittir. Sonra bu numaralar denir asal sayılar ortak böleni olmayan.

teorem 1. Eğer A 1 ve A 2 görece asal sayı ve λ bir sayı, ardından sayıların herhangi bir ortak böleni λa 1 ve A 2 aynı zamanda sayıların ortak böleni λ Ve A 2 .

Kanıt. Sayıların en büyük ortak bölenini bulmak için Öklid'in algoritmasını düşünün A 1 ve A 2 (yukarıya bakın).

.

Teoremin koşullarından, sayıların en büyük ortak böleninin olduğu sonucu çıkar. A 1 ve A 2 ve bu nedenle A n ve A n+1, 1'dir. A n+1=1.

Tüm bu eşitlikleri şu şekilde çarpalım: λ , Daha sonra

.

ortak bölen olsun A 1 λ Ve A 2 δ . Daha sonra δ faktör olarak girer A 1 λ , M 1 A 2 λ ve A 1 λ -M 1 A 2 λ =A 3 λ (Bkz. "Sayıların bölünebilirliği", İfade 2). Daha öte δ faktör olarak girer A 2 λ Ve M 2 A 3 λ ve dolayısıyla bir faktör olarak girer A 2 λ -M 2 A 3 λ =A 4 λ .

Bu şekilde akıl yürüterek, şuna ikna olduk: δ faktör olarak girer A n-1 λ Ve M n-1 A N λ ve bu nedenle içinde A n-1 λ −M n-1 A N λ =A n+1 λ . Çünkü A n+1 =1, o zaman δ faktör olarak girer λ . dolayısıyla sayı δ sayıların ortak böleni λ Ve A 2 .

Teorem 1'in özel durumlarını ele alalım.

Sonuçlar 1. İzin vermek A Ve C asal sayılar görecelidir B. Daha sonra onların ürünü AC göre bir asal sayıdır B.

Gerçekten mi. Teorem 1'den AC Ve B ile aynı ortak bölenlere sahip C Ve B. Ama sayılar C Ve B eş asal, yani tek bir ortak böleni var 1. O zaman AC Ve B ayrıca tek bir ortak böleni vardır 1. Dolayısıyla AC Ve B karşılıklı basit

Sonuçlar 2. İzin vermek A Ve B asal sayılar ve let B böler ak. Daha sonra B böler ve k.

Gerçekten mi. İddia koşulundan ak Ve B ortak böleni var B. Teorem 1 sayesinde, B ortak bölen olmalı B Ve k. Buradan B böler k.

Sonuç 1 genelleştirilebilir.

Sonuçlar 3. 1. Sayılara izin verin A 1 , A 2 , A 3 , ..., A m sayıya göre asaldır B. Daha sonra A 1 A 2 , A 1 A 2 · A 3 , ..., A 1 A 2 A 3 ··· A m , bu sayıların çarpımı sayıya göre asaldır B.

2. İki sıra numaramız olsun

Öyle ki, birinci satırdaki her sayı, ikinci satırdaki her sayıya göre asaldır. Daha sonra ürün

Bu sayıların her birine bölünebilen sayıları bulmak gerekir.

sayı bölünebilir ise A 1 , o zaman şuna benziyor sa 1 , nerede S bir numara. Eğer Q sayıların en büyük ortak böleni A 1 ve A 2 , sonra

Nerede S 1 bir tamsayıdır. Daha sonra

dır-dir sayıların en küçük ortak katı A 1 ve A 2 .

A 1 ve A 2 eş asal, ardından sayıların en küçük ortak katı A 1 ve A 2:

Bu sayıların en küçük ortak katını bulun.

Yukarıdakilerden, sayıların herhangi bir katının olduğu sonucu çıkar. A 1 , A 2 , A 3, sayıların katı olmalıdır ε Ve A 3 ve tersi. Sayıların en küçük ortak katı olsun ε Ve A 3 ε 1. Ayrıca, sayıların katları A 1 , A 2 , A 3 , A 4, sayıların katı olmalıdır ε 1 ve A 4. Sayıların en küçük ortak katı olsun ε 1 ve A 4 ε 2. Böylece, sayıların tüm katlarının olduğunu öğrendik. A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m, belirli bir sayının katları ile çakışıyor ε n , verilen sayıların en küçük ortak katı olarak adlandırılır.

Belirli bir durumda, sayılar A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m eş asal, ardından sayıların en küçük ortak katı A 1 , A 2 yukarıda gösterildiği gibi (3) formuna sahiptir. Ayrıca, beri A sayılara göre 3 asal A 1 , A 2 , sonra A 3 bir asal göreli sayıdır A 1 · A 2 (Sonuç 1). Yani sayıların en küçük ortak katı A 1 ,A 2 ,A 3 bir sayıdır A 1 · A 2 · A 3. Benzer şekilde tartışarak aşağıdaki iddialara varıyoruz.

İfade 1. Asal sayıların en küçük ortak katı A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m onların çarpımına eşittir A 1 · A 2 · A 3 ··· A M .

İfade 2. Eş asal sayıların her birine bölünebilen herhangi bir sayı A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m aynı zamanda çarpımlarına da bölünebilir A 1 · A 2 · A 3 ··· A M .

Bir sayının katı, verilen bir sayıya kalansız bölünebilen sayıdır. Bir sayı grubunun en küçük ortak katı (EKOK), gruptaki her bir sayıya eşit olarak bölünebilen en küçük sayıdır. En küçük ortak katı bulmak için, verilen sayıların asal çarpanlarını bulmanız gerekir. Ayrıca, LCM, iki veya daha fazla sayıdan oluşan gruplara uygulanabilen bir dizi başka yöntem kullanılarak hesaplanabilir.

Adımlar

Bir dizi çoklu

Şu sayılara bak. Burada açıklanan yöntem, her ikisi de 10'dan küçük iki sayı verildiğinde en iyi şekilde kullanılır. Büyük sayılar verilirse, farklı bir yöntem kullanın.

• Örneğin, 5 ve 8 sayılarının en küçük ortak katını bulun. Bunlar küçük sayılardır, bu nedenle bu yöntem kullanılabilir.

1. Bir sayının katı, verilen bir sayıya kalansız bölünebilen sayıdır. Çarpım tablosunda birden çok sayı bulunabilir.

   • Örneğin, 5'in katı olan sayılar şunlardır: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. İlk sayının katları olan bir sayı dizisi yazın. Bunu, iki sayı sırasını karşılaştırmak için ilk sayının katları altında yapın.

   • Örneğin, 8'in katı olan sayılar şunlardır: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 ve 64.

3. Her iki kat serisinde de görünen en küçük sayıyı bulun. Toplamı bulmak için uzun katlar dizisi yazmanız gerekebilir. Her iki kat serisinde de görünen en küçük sayı, en küçük ortak kattır.

   • Örneğin 5 ve 8'in katları dizisinde görünen en küçük sayı 40'tır. Dolayısıyla 40, 5 ve 8'in en küçük ortak katıdır.

   asal çarpanlara ayırma

   1. Şu sayılara bak. Burada açıklanan yöntem, her ikisi de 10'dan büyük olan iki sayı verildiğinde en iyi şekilde kullanılır. Daha küçük sayılar verilirse, farklı bir yöntem kullanın.

      • Örneğin, 20 ve 84 sayılarının en küçük ortak katını bulun. Sayıların her biri 10'dan büyüktür, bu nedenle bu yöntem kullanılabilir.

   2. İlk sayıyı çarpanlara ayırın. Yani bu tür asal sayıları bulmanız gerekiyor, çarpıldığında belirli bir sayı elde ediyorsunuz. Asal çarpanları bulduktan sonra, bunları bir eşitlik olarak yazın.

      • Örneğin, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) Ve 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). 20 sayısının asal çarpanları 2, 2 ve 5 sayılarıdır. Bunları bir ifade olarak yazınız: .

   3. İkinci sayıyı asal çarpanlara ayırın. Bunu, ilk sayıyı çarpanlarına ayırdığınız gibi yapın, yani çarpıldığında bu sayıyı alacak asal sayıları bulun.

      • Örneğin, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) Ve 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Buna göre 84 sayısının asal çarpanları 2, 7, 3 ve 2 sayılarıdır. Bunları bir ifade olarak yazınız: .

   4. Her iki sayının ortak çarpanlarını yazınız.Çarpma işlemi gibi çarpanları yazınız. Her çarpanı yazarken, her iki ifadede de (sayıların asal çarpanlara ayrılmasını açıklayan ifadeler) üzerini çizin.

      • Örneğin, her iki sayının ortak böleni 2'dir, bu nedenle yazın 2 × (\displaystyle 2\times ) ve her iki ifadede de 2'nin üzerini çizin.
      • Her iki sayının ortak böleni 2'nin başka bir çarpanıdır, bu yüzden yaz 2 × 2 (\görüntü stili 2\kez 2) ve her iki ifadede de ikinci 2'nin üzerini çizin.

   5. Kalan çarpanları çarpma işlemine ekleyin. Bunlar, her iki ifadede de üstü çizili olmayan, yani her iki sayı için ortak olmayan faktörlerdir.

      • Örneğin, ifadede 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5) ortak çarpan oldukları için her iki ikilinin de (2) üzeri çizilir. 5'in çarpanı çizilmemiştir, bu nedenle çarpma işlemini aşağıdaki gibi yazın: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\çapraz 2\kez 5)
      • ifadede 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\time 2) her iki ikilinin de (2) üzeri çizilir. Çarpan 7 ve 3'ün üstü çizilmemiştir, bu nedenle çarpma işlemini aşağıdaki gibi yazın: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\time 7\time 3).

   6. En küçük ortak katı hesaplayın. Bunu yapmak için yazılı çarpma işleminde sayıları çarpın.

      • Örneğin, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\time 7\times 3=420). Yani 20 ve 84'ün en küçük ortak katı 420'dir.

   Ortak bölenleri bulma

   1. Bir tic-tac-toe oyunu için yaptığınız gibi bir ızgara çizin. Böyle bir ızgara, diğer iki paralel çizgiyle (dik açılarda) kesişen iki paralel çizgiden oluşur. Bu, üç satır ve üç sütunla sonuçlanacaktır (ızgara # işaretine çok benziyor). Birinci satıra ve ikinci sütuna ilk sayıyı yazın. İkinci sayıyı birinci satıra ve üçüncü sütuna yazın.

      • Örneğin, 18 ve 30'un en küçük ortak katını bulun. Birinci satır ve ikinci sütuna 18, birinci satır ve üçüncü sütuna 30 yazın.

   2. Her iki sayının ortak bölenini bulun.İlk satıra ve ilk sütuna yazın. Asal bölenleri aramak daha iyidir, ancak bu bir ön koşul değildir.

      • Örneğin, 18 ve 30 çift sayılardır, bu nedenle ortak bölenleri 2'dir. Bu nedenle, ilk satıra ve ilk sütuna 2 yazın.

   3. Her sayıyı ilk bölene bölün. Her bölümü karşılık gelen sayının altına yazın. Bölüm, iki sayının bölünmesinin sonucudur.

      • Örneğin, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), öyleyse 18'in altına 9 yaz.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), öyleyse 30'un altına 15 yaz.

   4. Her iki bölüm için ortak bir bölen bulun. Böyle bir bölen yoksa sonraki iki adımı atlayın. Aksi takdirde, ikinci satır ve birinci sütundaki böleni yazınız.

      • Örneğin, 9 ve 15, 3'e bölünebilir, bu nedenle ikinci satıra ve birinci sütuna 3 yazın.

   5. Her bölümü ikinci bölene bölün. Her bölme sonucunu karşılık gelen bölümün altına yazın.

      • Örneğin, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3) 9'un altına 3 yaz.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), öyleyse 15'in altına 5 yaz.

   6. Gerekirse, ızgarayı ek hücrelerle tamamlayın. Bölümlerin ortak bir böleni olana kadar yukarıdaki adımları tekrarlayın.

   7. Izgaranın ilk sütunundaki ve son satırındaki sayıları daire içine alın. Ardından vurgulanan sayıları çarpma işlemi olarak yazın.

      • Örneğin 2 ve 3 sayıları ilk sütunda, 3 ve 5 sayıları son satırda olduğundan çarpma işlemini şu şekilde yazın: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\×3\×3\×5).

   8. Sayıları çarpmanın sonucunu bulun. Bu, verilen iki sayının en küçük ortak katını hesaplayacaktır.

      • Örneğin, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\time 3\time 3\time 5=90). Yani 18 ve 30'un en küçük ortak katı 90'dır.

   Öklid'in algoritması

   1. Bölme işlemiyle ilgili terminolojiyi hatırlayın. Bölünen, bölünen sayıdır. Bölen, bölünecek sayıdır. Bölüm, iki sayının bölünmesinin sonucudur. Kalan, iki sayı bölündüğünde kalan sayıdır.

      • Örneğin, ifadede 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) dinlenmek. 3:
        15 bölünebilir
        6 bölendir
        2 özel
        3 kalandır.

Ancak birçok doğal sayı, diğer doğal sayılarla eşit olarak bölünebilir.

Örneğin:

12 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye bölünebilir;

36 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye, 18'e, 36'ya bölünebilir.

Sayının bölünebildiği sayılar (12 için 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir) denir. sayı bölenleri. doğal sayının böleni A verilen sayıyı bölen doğal sayıdır A iz bırakmadan. İkiden fazla çarpanı olan doğal sayılara denir. bileşik .

12 ve 36 sayılarının ortak bölenleri olduğuna dikkat edin. Sayılar şunlardır: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu sayıların en büyük böleni 12'dir. Bu iki sayının ortak böleni A Ve B verilen her iki sayının kalansız bölünebildiği sayıdır A Ve B.

Ortak çoklu birkaç sayıya, bu sayıların her birine bölünebilen sayı denir. Örneğin 9, 18 ve 45 sayılarının ortak katı 180'dir. Ancak 90 ve 360 ​​da ortak katlarıdır. Tüm j ortak katları arasında her zaman en küçüğü vardır, bu durumda 90'dır. Bu sayıya denir. en azortak kat (EKOK).

EKOK her zaman tanımlandığı sayıların en büyüğünden büyük olması gereken bir doğal sayıdır.

En küçük ortak kat (EKOK). Özellikler.

Değişebilirlik:

ilişkilendirme:

Özellikle, eğer ve eş asal sayılar ise, o zaman:

İki tamsayının en küçük ortak katı M Ve N diğer tüm ortak katların böleni M Ve N. Ayrıca ortak katlar kümesi m,n LCM için katlar kümesiyle çakışıyor( m,n).

İçin asimptotikler, bazı sayı-teorik fonksiyonlar cinsinden ifade edilebilir.

Bu yüzden, Chebyshev işlevi. Ve:

Bu, Landau işlevinin tanımından ve özelliklerinden kaynaklanır. g(n).

Asal sayıların dağılım yasasından sonra gelenler.

En küçük ortak katı (EKOK) bulma.

NOK( bir, b) birkaç şekilde hesaplanabilir:

1. En büyük ortak bölen biliniyorsa, bunun EKOK ile olan ilişkisini kullanabilirsiniz:

2. Her iki sayının da asal çarpanlara kanonik ayrışımı bilinsin:

Nerede p 1 ,...,p kçeşitli asal sayılardır ve d 1 ,...,dk Ve e 1 ,...,ek negatif olmayan tam sayılardır (karşılık gelen asal sayı açılımda değilse sıfır olabilirler).

Sonra LCM ( A,B) aşağıdaki formülle hesaplanır:

Başka bir deyişle, EKOK açılımı, sayı açılımlarından en az birine dahil olan tüm asal çarpanları içerir. bir, b, ve bu çarpanın iki üssünden en büyüğü alınır.

Örnek:

Birkaç sayının en küçük ortak katının hesaplanması, iki sayının LCM'sinin birkaç ardışık hesaplamasına indirgenebilir:

Kural. Bir dizi sayının LCM'sini bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

- sayıları asal çarpanlara ayırma;

- en büyük genişlemeyi istenen ürünün faktörlerine aktarın (verilenlerin en büyük sayısının faktörlerinin ürünü) ve ardından ilk sayıda olmayan veya içinde bulunan diğer sayıların genişlemesinden faktörler ekleyin daha az sayıda;

- asal çarpanların ortaya çıkan ürünü, verilen sayıların EKOK'si olacaktır.

Herhangi iki veya daha fazla doğal sayının kendi EEKOK'si vardır. Sayılar birbirinin katı değilse veya açılımda aynı çarpanlara sahip değilse, onların BKM'si bu sayıların çarpımına eşittir.

28 sayısının asal çarpanlarına (2, 2, 7) 3 çarpanı (21 sayısı) eklenirse, elde edilen çarpım (84), 21 ve 28'e bölünebilen en küçük sayı olacaktır.

En büyük sayı olan 30'un asal çarpanları, 25 sayısının 5'lik bir çarpanı ile desteklenmiştir, ortaya çıkan çarpım 150, en büyük sayı olan 30'dan büyüktür ve verilen tüm sayılara kalansız bölünebilir. Bu, verilen tüm sayıların katı olduğu mümkün olan en küçük çarpımdır (150, 250, 300...).

2,3,11,37 sayıları asaldır, bu nedenle EKOK'leri verilen sayıların çarpımına eşittir.

kural. Asal sayıların EKOK'sini hesaplamak için tüm bu sayıları birbiriyle çarpmanız gerekir.

Başka seçenek:

Birkaç sayının en küçük ortak katını (EKOK) bulmak için ihtiyacınız olan:

1) her sayıyı asal çarpanlarının bir ürünü olarak temsil edin, örneğin:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) tüm asal faktörlerin güçlerini yazın:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) bu sayıların her birinin tüm asal bölenlerini (çarpanlarını) yazın;

4) bu sayıların tüm açılımlarında bulunan her birinin en büyük derecesini seçin;

5) bu güçleri çoğaltın.

Örnek. Sayıların EKOK'sini bulun: 168, 180 ve 3024.

Çözüm. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Tüm asal bölenlerin en büyük kuvvetlerini yazıp çarpıyoruz:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

"Birden çok sayı" konusu kapsamlı bir okulun 5. sınıfında işlenir. Amacı, matematiksel hesaplamaların yazılı ve sözlü becerilerini geliştirmektir. Bu derste yeni kavramlar tanıtılır - "katlı sayılar" ve "bölenler", bir doğal sayının bölenlerini ve katlarını bulma tekniği, EKOK'yi çeşitli şekillerde bulma yeteneği üzerinde çalışılır.

Bu konu çok önemlidir. Bununla ilgili bilgi, kesirli örnekleri çözerken uygulanabilir. Bunu yapmak için, en küçük ortak katı (EKOK) hesaplayarak ortak paydayı bulmanız gerekir.

A'nın katı, A ile kalansız bölünebilen bir tam sayıdır.

Her doğal sayının sonsuz sayıda katı vardır. En az olduğu kabul edilir. Bir kat, sayının kendisinden küçük olamaz.

125 sayısının 5 sayısının katı olduğunu kanıtlamak gerekir. Bunun için ilk sayıyı ikinciye bölmeniz gerekir. 125 sayısı 5 ile kalansız bölünüyorsa cevap evettir.

Bu yöntem küçük sayılar için geçerlidir.

LCM hesaplanırken özel durumlar vardır.

1. 2 sayının (örneğin 80 ve 20) ortak katını bulmanız gerekiyorsa, bunlardan biri (80) diğerine (20) kalansız bölünebilir, o zaman bu sayı (80) en küçük sayıdır. bu iki sayının katı

LCM (80, 20) = 80.

2. İkisinin ortak böleni yoksa, onların EKOK'lerinin bu iki sayının çarpımı olduğunu söyleyebiliriz.

LCM (6, 7) = 42.

Son örneği ele alalım. 42'ye göre 6 ve 7 bölendir. Bir katı kalansız bölerler.

Bu örnekte, 6 ve 7 ikili bölenlerdir. Çarpımları en çok sayıya (42) eşittir.

Yalnızca kendisine veya 1'e bölünebilen bir sayıya asal sayı denir (3:1=3; 3:3=1). Geri kalanı bileşik olarak adlandırılır.

Başka bir örnekte, 9'un 42'ye göre bölen olup olmadığını belirlemeniz gerekir.

42:9=4 (kalan 6)

Cevap: 9, 42'nin tam böleni değildir çünkü cevapta bir kalan vardır.

Bölen, çarpanın doğal sayıların bölündüğü sayı olması ve katın kendisinin bu sayı ile bölünebilir olması bakımından bir kattan farklıdır.

Sayıların En Büyük Ortak Böleni A Ve B, en küçük katları ile çarpıldığında, sayıların kendilerinin çarpımını verecektir. A Ve B.

Yani: OBEB (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Daha karmaşık sayılar için ortak katlar aşağıdaki şekilde bulunur.

Örneğin, 168, 180, 3024 için LCM'yi bulun.

Bu sayıları asal çarpanlara ayırıp kuvvetlerin çarpımı olarak yazıyoruz:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.

LCM'nin nasıl hesaplanacağını anlamak için önce "çoklu" teriminin anlamını belirlemelisiniz.

A'nın katı, A ile kalansız bölünebilen bir doğal sayıdır.Bu nedenle, 15, 20, 25 vb. 5'in katı olarak kabul edilebilir.

Belirli bir sayının sınırlı sayıda böleni olabilir, ancak sonsuz sayıda katları vardır.

Doğal sayıların ortak katı, onlara kalansız bölünebilen bir sayıdır.

Sayıların en küçük ortak katı nasıl bulunur?

Sayıların (iki, üç veya daha fazla) en küçük ortak katı (EKOK), tüm bu sayılarla eşit olarak bölünebilen en küçük doğal sayıdır.

NOC'yi bulmak için birkaç yöntem kullanabilirsiniz.

Küçük sayılar için, aralarında ortak bir sayı bulunana kadar bu sayıların tüm katlarını bir satıra yazmak uygundur. Katlar, kayıtta büyük K harfi ile gösterilir.

Örneğin, 4'ün katları şu şekilde yazılabilir:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Böylece 4 ve 6 sayılarının en küçük ortak katının 24 sayısı olduğunu görebilirsiniz. Bu giriş şu şekilde yapılır:

EKOK(4, 6) = 24

Sayılar büyükse, üç veya daha fazla sayının ortak katını bulun, o zaman EKOK'yi hesaplamak için başka bir yol kullanmak daha iyidir.

Görevi tamamlamak için önerilen sayıları asal çarpanlara ayırmak gerekir.

Öncelikle, sayıların en büyüğünün açılımını bir satırda ve altında - gerisini yazmanız gerekir.

Her sayının açılımında farklı sayıda çarpan olabilir.

Örneğin, 50 ve 20 sayılarını asal çarpanlara ayıralım.

Küçük sayının açılımında, birinci en büyük sayının açılımında eksik olan çarpanların altı çizilip ona eklenmelidir. Sunulan örnekte, bir ikili eksik.

Şimdi 20 ve 50'nin en küçük ortak katını hesaplayabiliriz.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Böylece, büyük sayının ayrıştırılmasına dahil olmayan, büyük sayının asal çarpanları ile ikinci sayının çarpanlarının çarpımı en küçük ortak kat olacaktır.

Üç veya daha fazla sayının EKOK'sini bulmak için önceki durumda olduğu gibi hepsinin asal çarpanlara ayrıştırılması gerekir.

Örnek olarak 16, 24, 36 sayılarının en küçük ortak katını bulabilirsiniz.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Bu nedenle, on altının ayrıştırılmasından yalnızca iki ikili, daha büyük bir sayının çarpanlara ayrılmasına dahil edilmemiştir (biri yirmi dört ayrıştırmasındadır).

Bu nedenle, daha büyük bir sayının ayrıştırılmasına eklenmeleri gerekir.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

En küçük ortak katı belirlemenin özel durumları vardır. Yani, sayılardan biri diğerine kalansız bölünebiliyorsa, bu sayılardan büyük olanı en küçük ortak kat olacaktır.

Örneğin, on iki ve yirmi dört olan NOC'ler yirmi dört olacaktır.

Bölenleri aynı olmayan eş asal sayıların en küçük ortak katını bulmak gerekirse, EKOK'leri çarpımlarına eşit olacaktır.

Örneğin, EKOK(10, 11) = 110.