Радіус вписаного кола в прямокутний трикутник формули. Формули радіусів вписаних та описаних кіл правильних багатокутників

Найчастіше під час вирішення геометричних завдань доводиться робити події з допоміжними постатями. Наприклад, знаходити радіус вписаного або описаного кола тощо. Ця стаття покаже, як знаходити радіус кола, описаного біля трикутника. Або, іншими словами, радіус кола, в яке вписано трикутник.

Як знайти радіус кола, описаного біля трикутника – загальна формула

Загальна формула виглядає так: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), де R – радіус описаного кола, p – периметр трикутника поділений на 2 (напівпериметр). a, b, c – сторони трикутника.

Знайти радіус описаного кола трикутника, якщо a = 3, b = 6, c = 7.

Таким чином, виходячи з наведеної вище формули, обчислюємо напівпериметр:
p = (a + b + c) / 2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Підставляємо значення формулу і отримуємо:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Відповідь: R = 126/16√5

Як знайти радіус кола, описаного біля рівностороннього трикутника

Для знаходження радіуса кола, описаного біля рівностороннього трикутника, існує досить проста формула: R = a/√3, де a – величина його сторони.

Приклад: Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 5. Знайти радіус описаного кола.

Так як у рівностороннього трикутника всі сторони рівні, для вирішення завдання потрібно лише вписати її значення у формулу. Отримаємо: R = 5/3.

Відповідь: R = 5/√3.

Як знайти радіус кола, описаного біля прямокутного трикутника

Формула виглядає так: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, де a і b – катети і c – гіпотенуза. Якщо скласти квадрати катетів у прямокутному трикутнику, отримаємо квадрат гіпотенузи. Як видно з формули, цей вираз знаходиться під коренем. Обчисливши корінь із квадрата гіпотенузи, ми отримаємо саму довжину. Множення виразу, що вийшов, на 1/2 в результаті призводить нас до виразу 1/2 × c = c/2.

Приклад: Обчислити радіус описаного кола, якщо катети трикутника дорівнюють 3 і 4. Підставимо значення формулу. Отримаємо: R = 1/2 × √ (3 ² + 4 ²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2.5.

У цьому вираз 5 – довжина гіпотенузи.

Відповідь: R = 2.5.

Як знайти радіус кола, описаного біля рівнобедреного трикутника

Формула виглядає так: R = a²/√(4a² – b²), де a – довжина стегна трикутника і b – довжина основи.

Приклад: Обчислити радіус кола, якщо його стегно = 7, а основа = 8.

Рішення: Підставляємо у формулу дані значення та отримуємо: R = 7²/√(4 × 7² – 8²).

R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. Відповідь можна записати прямо так.

Відповідь: R = 49/√132

Онлайн ресурси для обчислення радіуса кола

Можна дуже легко заплутатися у всіх цих формулах. Тому за потреби можна скористатися онлайн калькуляторамиякі допоможуть вам у вирішенні завдань на знаходження радіусу. Принцип роботи таких міні-програм дуже простий. Підставляєте значення сторони у відповідне поле та отримуєте готову відповідь. Можна вибрати кілька варіантів заокруглення відповіді: до десяткових, сотих, тисячних і т.д.

Окружність, вписана в трикутник

Існування кола, вписаного в трикутник

Нагадаємо визначення бісектриси кута .

Визначення 1 .Бісектрисою кута називають промінь, що ділить кут на дві рівні частини.

Теорема 1 (Основна властивість бісектриси кута) . Кожна точка бісектриси кута знаходиться на тому самому відстані від сторін кута (рис.1).

Мал. 1

Доведення D , що лежить на бісектрисі кутаBAC , і DE і DF на сторони кута (рис.1).Прямокутні трикутники ADF і ADE рівні оскільки у них рівні гострі кутиDAF і DAE , а гіпотенуза AD – загальна. Отже,

DF = DE,

що й потрібно було довести.

Теорема 2 (зворотна теорема до теореми 1) . Якщо деяка , вона лежить на бісектрисі кута (рис.2).

Мал. 2

Доведення . Розглянемо довільну точкуD , що лежить усередині кутаBAC і що знаходиться на тому самому відстані від сторін кута. Опустимо з точкиD перпендикуляри DE і DF на сторони кута (рис.2).Прямокутні трикутники ADF і ADE рівні оскільки у них рівні катетиDF і DE , а гіпотенуза AD – загальна. Отже,

що й потрібно було довести.

Визначення 2 . Окружність називають колом, вписаним у кут якщо вона сторон цього кута.

Теорема 3 . Якщо коло вписано у кут, то відстані від вершини кута до точок торкання кола зі сторонами кута рівні.

Доведення . Нехай крапка D - Центр кола, вписаного в кутBAC , а крапки E і F – точки торкання кола зі сторонами кута (рис.3).

Рис.3

a , b , c - Сторони трикутника,
 S -Площа,

r – радіус вписаного кола,
 p - Напівпериметр

.

Переглянути висновок формули

a – бічна сторона рівнобедреного трикутника , 
 b - заснування, r – радіус вписаного кола

a r – радіус вписаного кола

Переглянути висновок формул

,

де

,

то, у разі рівнобедреного трикутника, коли

отримуємо

що й потрібно.

Теорема 7 . Для справедлива рівність

де a - Сторона рівностороннього трикутника,r – радіус вписаного кола (рис. 8).

Мал. 8

Доведення .

,

то, у разі рівностороннього трикутника, коли

b = a,

отримуємо

що й потрібно.

Зауваження . Я рекомендую вивести як вправу формулу для радіусу кола, вписаного в рівносторонній трикутник, безпосередньо, тобто. без використання загальних формул для радіусів кіл, вписаних у довільний трикутник або рівнобедрений трикутник.

Теорема 8 . Для прямокутного трикутника справедлива рівність

де a , b - Катети прямокутного трикутника, c – гіпотенуза , r – радіус вписаного кола.

Доведення . Розглянемо рисунок 9.

Мал. 9

Оскільки чотирикутникCDOF є , у якого сусідні сторониDO і OF рівні, то цей прямокутник - . Отже,

СВ = СF = r,

Через теорему 3 справедливі рівності

Отже, беручи до уваги , отримуємо

що й потрібно.

Добірка завдань на тему «Кількість, вписана в трикутник».

1.

Коло, вписане в рівнобедрений трикутник, ділить у точці торкання одну з бічних сторін на два відрізки, довжини яких дорівнюють 5 і 3, вважаючи від вершини, що протилежить основи. Знайдіть периметр трикутника.

2.

3

У трикутнику ABCАС=4, ВС=3, кут C дорівнює 90º. Знайдіть радіус вписаного кола.

4.

Катети рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнюють 2+. Знайдіть радіус кола, вписаного в цей трикутник.

5.

Радіус кола, вписаного в рівнобедрений прямокутний трикутник, дорівнює 2. Знайдіть гіпотенузу цього трикутника. У відповіді вкажіть с(–1).

Наведемо низку завдань з ЄДІ з рішеннями.

Радіус кола, вписаного в рівнобедрений прямокутний трикутник, дорівнює . Знайдіть гіпотенузу з цього трикутника. У відповіді вкажіть.

Трикутник прямокутний та рівнобедрений. Значить, його катети однакові. Нехай кожен катет дорівнює. Тоді гіпотенуза дорівнює.

Запишемо площу трикутника АВС двома способами:

Прирівнявши ці висловлювання, отримаємо, що. Оскільки, отримуємо, що. Тоді.

У відповідь запишемо.

Відповідь:.

Завдання 2.

1. Довільно дві бічні сторони 10см і 6см (AB і BC). Знайти радіуси описаного та вписаного кіл
Завдання вирішується самостійно із коментуванням.

Рішення:

У.

1) Знайти:
2) Довести:та знайти СK
3) Знайти: радіуси описаного та вписаного кіл

Рішення:

Завдання 6.

Р адіус кола вписаного в квадрат дорівнює. Знайти радіус кола описаного біля цього квадрата.Дано :

Знайти: ОС =?
Рішення: в даному випадкуЗавдання можна вирішити, скориставшись або теоремою Піфагора, або формулою для R. Другий випадок буде простіше, оскільки формула для R виведена з теореми.

Завдання 7.

Радіус кола, вписаного в рівнобедрений прямокутний трикутник, дорівнює 2. Знайдіть гіпотенузуз цього трикутника. У відповіді вкажіть.

S – площа трикутника

Нам невідомі ні сторони трикутника, ні його площу. Позначимо катети як х, тоді гіпотенуза дорівнюватиме:

А площа трикутника дорівнюватиме 0,5х 2 .

Значить

Таким чином, гіпотенуза дорівнюватиме:

У відповіді потрібно записати:

Відповідь: 4

Завдання 8.

У трикутнику ABC АС = 4, ВС = 3, кут Cдорівнює 90 0 . Знайдіть радіус вписаного кола.

Скористаємося формулою радіуса кола вписаного в трикутник:

де a, b, c – сторони трикутника

S – площа трикутника

Дві сторони відомі (це катети), можемо обчислити третю (гіпотенузу), також можемо обчислити і площу.

За теоремою Піфагора:

Знайдемо площу:

Таким чином:

Відповідь: 1

Завдання 9.

Бічні сторони рівнобедреного трикутника дорівнюють 5, основа дорівнює 6. Знайдіть радіус вписаного кола.

Скористаємося формулою радіуса кола вписаного в трикутник:

де a, b, c – сторони трикутника

S – площа трикутника

Відомі всі сторони, обчислимо і площу. Її ми можемо знайти за формулою Герона:

Тоді

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Ромб - це паралелограм, у якого всі сторони рівні. Отже, він успадковує всі властивості паралелограма. А саме:

• Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні.
• Діагоналі ромба є бісектрисами його внутрішніх кутів.

Коло можна вписати в чотирикутник тоді і лише тоді, коли суми протилежних сторін дорівнюють.
Отже, у будь-який ромб можна вписати коло. Центр вписаного кола збігається з центром перетину діагоналей ромба.
Радіус вписаного кола в ромб можна висловити кількома способами

1 спосіб. Радіуса вписаного кола в ромб через висоту

Висота ромба дорівнює діаметру вписаного кола. Це випливає з властивості прямокутника, який утворюють діаметр вписаного кола та висота ромба – у прямокутника протилежні сторони рівні.

Отже формула радіусу вписаного кола в ромб через висоту:

2 спосіб. Радіус вписаного кола в ромб через діагоналі

Площа ромба можна виразити через радіус вписаного кола
, де Р- Періметр ромба. Знаючи, що периметр це сума всіх сторін чотирикутника маємо P= 4×а.Тоді
Але площа ромба також дорівнює половині твору його діагоналей.
Прирівнявши праві частини формул площі, маємо таку рівність
В результаті отримуємо формулу, що дозволяє обчислити радіус вписаного кола на ромб через діагоналі.

Приклад розрахунку радіусу кола вписаного в ромб, якщо відомі діагоналі
Знайти радіус кола вписаного в ромб, якщо відомо, що довжина діагоналей 30 см і 40 см
Нехай ABCD-ромб, тоді ACі BDйого діагоналі. AC= 30 см , BD=40 см
Нехай крапка Про- Це центр вписаної в ромб ABCDкола, тоді вона буде також і точкою перетину його діагоналей, що ділять їх навпіл.


оскільки діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом, то трикутник AOBпрямокутний. Тоді за теоремою Піфагора
, підставляємо у формулу раніше отримані значення

AB= 25 см
Застосувавши раніше виведену формулу для радіусу описаного кола в ромб, отримуємо

3 спосіб. Радіус вписаного кола в ромб через відрізки m і n

Крапка F- точка торкання кола зі стороною ромба, яка ділить її на відрізки AFі BF. Нехай AF=m, BF = n.
Крапка O- Центр перетину діагоналей ромба і центр вписаного в нього кола.
Трикутник AOB- Прямокутний, так як діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом.
, т.к. є радіусом, проведеним у точку торкання кола. Отже OF- Висота трикутника AOBдо гіпотенузи. Тоді AFі BF –проекції катетів на гіпотенузу
Висота прямокутному трикутнику, опущена на гіпотенузу є середнє пропорційне між проекціями катетів на гіпотенузу.

Формула радіуса вписаного кола в ромб через відрізки дорівнює кореню квадратному з твору цих відрізків, на які ділить бік ромба точка торкання кола

Як знайти радіус кола? Це питання завжди актуальне для школярів, які вивчають планиметрію. Нижче ми розглянемо кілька прикладів того, як можна впоратися з поставленим завданням.

Залежно від умови завдання радіус кола ви можете знайти так.

Формула 1: R = Л / 2π, де Л - це а - константа, рівна 3,141 ...

Формула 2: R = √(S/π), де S – це величина площі кола.

Формула 1: R = В/2, де - гіпотенуза.

Формула 2: R = М * В, де - гіпотенуза, а М - медіана, проведена до неї.

Як знайти радіус кола, якщо вона описана навколо правильного багатокутника

Формула: R = А / (2 * sin (360 / (2 * n))), де А - довжина однієї зі сторін фігури, а n - кількість сторін у цій геометричній фігурі.

Як знайти радіус вписаного кола

Вписане коло називається тоді, коли воно стосується всіх сторін багатокутника. Розглянемо кілька прикладів.

Формула 1: R = S/(Р/2), де - S і Р - площа і периметр фігури відповідно.

Формула 2: R = (Р/2 - А) * tg (а/2), де Р - периметр, А - довжина однієї зі сторін, а - кут, що протилежить цій стороні.

Як знайти радіус кола, якщо воно вписано в прямокутний трикутник

Формула 1:

Радіус кола, яке вписано в ромб

Коло можна вписати у будь-який ромб, як рівносторонній, і нерівносторонній.

Формула 1: R = 2 * Н, де Н – це висота геометричної фігури.

Формула 2: R = S / (А * 2), де S - це а А - Довжина його сторони.

Формула 3: R = √((S * sin А)/4), де S - це площа ромба, а sin А - синус гострого кутаданої геометричної фігури.

Формула 4: R = В*Г/(√(В² + Г²), де і Г - це довжини діагоналей геометричної фігури.

Формула 5: R = В * sin (А/2), де - діагональ ромба, а А - це кут у вершинах, що з'єднують діагональ.

Радіус кола, яке вписано в трикутник

У разі, якщо за умови завдання вам дано довжини всіх сторін фігури, спочатку вирахуйте (П), та був полупериметр (п):

П = А+Б+В де А, Б, В - довжин сторін геометричної фігури.

Формула 1: R = √((п-А)*(п-Б)*(п-В)/п).

А якщо, знаючи ті самі три сторони, вам дана ще й то можете розрахувати радіус, що шукається, наступним чином.

Формула 2: R = S * 2 (А + Б + В)

Формула 3: R = S/п = S/(А+Б+В)/2), де - п - це напівпериметр геометричної фігури.

Формула 4: R = (п - А) * tg (А/2), де п - це напівпериметр трикутника, А - одна з його сторін, а tg (А/2) - тангенс половини кута, що протилежить цій стороні.

А нижче наведена формула допоможе відшукати радіус того кола, яке вписано в

Формула 5: R = А * √3/6.

Радіус кола, що вписано у прямокутний трикутник

Якщо завдання дано довжини катетів, і навіть гіпотенуза, то радіус вписаного кола дізнається так.

Формула 1: R = (А+Б-С)/2 де А, Б - катети, С - гіпотенуза.

У тому випадку, якщо вам дано лише два катети, саме час згадати теорему Піфагора, щоб гіпотенузу знайти і скористатися наведеною вище формулою.

С = √ (А + Б²).

Радіус кола, яке вписано в квадрат

Окружність, яка вписана в квадрат, ділить всі його 4 сторони рівно навпіл у точках торкання.

Формула 1: R = А/2, де А – довжина сторони квадрата.

Формула 2: R = S/(Р/2), де S та Р - площа і периметр квадрата відповідно.