Основні елементи трикутника abc. Що таке бісектриса трикутника: властивості, пов'язані із ставленням сторін

Серед численних предметів середньоосвітньої школи є така, як «геометрія». Зазвичай вважається, що родоначальниками цієї систематичної науки є греки. На сьогоднішній день грецьку геометрію називають елементарною, оскільки саме вона почала вивчення найпростіших форм: площин, прямих та трикутників. На останніх ми зупинимо свою увагу, а точніше на бісектрисі цієї фігури. Для тих, хто вже призабув, бісектриса трикутника є відрізком бісектриси одного з кутів трикутника, який ділить його навпіл і з'єднує вершину з точкою, розміщеною на протилежній стороні.

Бісектриса трикутника має ряд властивостей, які необхідно знати при вирішенні тих чи інших завдань:

• Бісектриса кута є геометричним місцем точок, віддалених на рівних відстанях від прилеглих до кута сторін.
• Бісектриса в трикутнику ділить протилежну від кута сторону на відрізки, які пропорційні прилеглим сторонам. Наприклад, дано трикутник MKB, де з кута K виходить бісектриса, що з'єднує вершину цього кута з точкою A на протилежній стороні MB. Проаналізувавши цю властивість і наш трикутник, маємо MA/AB=MK/KB.
• Точка, в якій перетинаються бісектриси всіх трьох кутів трикутника, є центром кола, яке вписано в цей же трикутник.
• Основа бісектрис одного зовнішнього та двох внутрішніх кутів знаходяться на одній прямій, за умови, що бісектриса зовнішнього кута не є паралельною протилежній стороні трикутника.
• Якщо дві бісектриси одного то цей

Необхідно відзначити, що якщо задані три бісектриси, то побудова трикутника по них навіть за допомогою циркуля неможлива.

Дуже часто при вирішенні задач бісектриса трикутника невідома, а необхідно визначити її довжину. Для вирішення такого завдання необхідно знати кут, який ділиться бісектрисою навпіл, і сторони, що прилягають до цього кута. У цьому випадку довжина, що шукається, визначається як відношення подвоєного твору прилеглих до кута сторін і косинуса кута діленого навпіл до суми прилеглих до кута сторін. Наприклад, дано той самий трикутник MKB. Бісектриса виходить з кута K і перетинає протилежну сторону МВ у точці А. Кут, з якого виходить бісектриса, позначимо y. Тепер запишемо все те, що сказано словами у вигляді формули: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Якщо величина кута, з якого виходить бісектриса трикутника, невідома, але відомі всі його сторони, то для обчислення довжини бісектриси ми скористаємось додатковою змінною, яку назвемо напівпериметр і позначимо літерою P: P=1/2*(MK+KB+MB). Після цього внесемо деякі зміни до попередньої формули, за якою визначалася довжина бісектриси, а саме, у чисельник дробу ставимо подвоєний з добутку довжин сторін, прилеглих до кута, на напівпериметр і приватне, де з півпериметра віднімається довжина третьої сторони. Знаменник залишимо без зміни. У вигляді формули це буде виглядати так: KA = 2 * √ (MK * KB * P * (P-MB)) / (MK + KB).

Бісектриса рівнобедреного трикутника разом із загальними властивостями має і кілька своїх. Згадаймо, що то за трикутник. У такого трикутника дві сторони рівні і рівні прилеглі до основи кути. Звідси випливає, що бісектриси, які опускаються на бічні сторони рівнобедреного трикутника, рівні між собою. Крім того, бісектриса, опущена на основу, одночасно є і висотою, і медіаною.

Внутрішній кут трикутника називається бісектриса трикутника.
Під бісектрисою кута трикутника також розуміють відрізок між його вершиною і точкою перетину бісектриси з протилежною стороною трикутника.
Теорема 8. Три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.
Справді, розглянемо спочатку точку Р перетину двох бісектрис, наприклад АК 1 та ВК 2 . Ця точка однаково віддалена від сторін АВ і АС, оскільки вона лежить на бісектрисі кута А, і однаково віддалена від сторін АВ і ВС, як належить бісектрисі кута В. Значить, вона однаково віддалена від сторін АС і ВС і тим самим належить третій бісектрисі СК 3 тобто в точці Р перетинаються всі три бісектриси.
Властивості бісектрис внутрішнього та зовнішнього кутів трикутника
Теорема 9. Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на частини, пропорційні прилеглим сторонам.
Доведення. Розглянемо трикутник АВС та бісектрису його кута В. Проведемо через вершину С пряму СМ, паралельну бісектрисі ВК, до перетину в точці Мпродовженням сторони АВ.Оскільки ВК – бісектриса кута АВС, то ∠ АВК = ∠ КВС. Далі, ∠ АВК=∠ ВМС, як відповідні кути при паралельних прямих, і ∠ КВС=∠ ВСМ, як навхрест кути, що лежать при паралельних прямих. Звідси ∠ВСМ=∠ВМС, і тому трикутник ВМС – рівнобедрений, звідки ВС=ВМС. По теоремі про паралельні прямі, що перетинають сторони кута, маємо АК:К С=АВ:ВМ=АВ:ВС, що й потрібно було довести.
Теорема 10 Бісектриса зовнішнього кута В ​​трикутника АВС має аналогічну властивість: відрізки AL і CL від вершини А і С до точки L перетину бісектриси з продовженням сторони АС пропорційні сторонам трикутника: AL : CL= AB: BC.
Ця властивість доводиться так само, як і попередня: на малюнку проведено допоміжну пряму РМ, паралельну бісектрисі BL . Кути ВМС та ВСМ рівні, а значить, і сторони ВМ та ВС трикутника ВМС рівні. З чого приходимо висновку AL:CL=AB:BC.

Теорема d4. (перша формула для бісектриси): Якщо у трикутнику ABC відрізок AL є бісектрисою кута A, то AL? = AB·AC - LB·LC.

Доведення:Нехай M - точка перетину прямої AL з колом, описаним біля трикутника ABC (рис. 41). Кут BAM дорівнює куту MAC за умовою. Кути BMA і BCA дорівнюють як вписані кути, що спираються на одну хорду. Отже, трикутники BAM і LAC подібні до двох кутів. Отже AL: AC = AB: AM. Значить, AL · AM = AB · AC<=>AL · (AL + LM) = AB · AC<=>AL? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Що й потрібно було довести. Примітка: теорему про відрізки хорд у колі, що перетинаються, і про вписані кути дивись у темі коло і коло .

Теорема d5. (друга формула для бісектриси): У трикутнику ABC зі сторонами AB=a, AC=b та кутом A, рівним 2? і бісектрисою l, має місце рівність:
l = (2ab / (a ​​+ b)) · cos?.

Доведення:Нехай ABC - цей трикутник, AL - його бісектриса (рис. 42), a = AB, b = AC, l = AL. Тоді S ABC = S ALB + S ALC. Отже, absin2? = alsin? + blsin?<=>2absin?·cos? = (a + b) lsin?<=>l = 2 · (ab / (a ​​+ b)) · cos?. Теорему доведено.

Що таке бісектриса кута трикутника? На це питання у деяких людей з мови зривається відомий щур, що бігає по кутах і ділить кут навпіл". Якщо відповідь повинна бути "з гумором", то, можливо, вона правильна. Але з наукової точки зору відповідь на це питання мала б звучати приблизно так: що починається у вершині кута і що ділить останній на дві рівні частини. У геометрії ця фігура також сприймається як відрізок бісектриси до її перетину з протилежною стороною трикутника. Це не є помилковою думкою. А що ще відомо про бісектрису кута, крім її визначення?

Як і в будь-якого геометричного місця точок, вона має свої ознаки. Перший - швидше, навіть ознака, а теорема, яку можна коротко висловити так: "Якщо бісектрисою розділити протилежну їй бік на дві частини, їх відношення буде відповідати відношенню сторін великого трикутника " .

Друга властивість, яку вона має: точка перетину бісектрис усіх кутів називається інцентром.

Третя ознака: бісектриси одного внутрішнього і двох зовнішніх кутів трикутника перетинаються в центрі однієї з трьох в неї вписаних кіл.

Четверта властивість бісектриси кута трикутника в тому, що якщо кожен із них дорівнює, то останній є рівнобедреним.

П'ята ознака теж стосується рівнобедреного трикутника і є головним орієнтиром щодо його розпізнавання на кресленні з бісектрис, а саме: в рівнобедреному трикутнику вона одночасно виконує роль медіани та висоти.

Бісектриса кута може бути побудована за допомогою циркуля та лінійки:

Шосте правило свідчить, що неможливо побудувати трикутник за допомогою останніх тільки за наявних бісектрис, як і неможливо побудувати таким способом подвоєння куба, квадратуру кола і трисекцію кута. Власне, це і є всі властивості бісектриси кута трикутника.

Якщо ви уважно читали попередній абзац, то, можливо, вас зацікавило одне словосполучення. "Що таке трисекція кута?" - Напевно запитаєте ви. Трисектриса трохи схожа з бісектрисою, але якщо накреслити останню, то кут поділиться на дві рівні частини, а при побудові трисекції - на три. Природно, що бісектриса кута запам'ятовується легше, адже трисекцію у школі не навчають. Але для повноти картини розповім і про неї.

Трисектрису, як я вже сказала, не можна побудувати тільки циркулем і лінійкою, але її можливо створити за допомогою правил Фудзити і деяких кривих: равлики Паскаля, квадратриси, конхоїди Нікомеда, конічних перерізів,

Завдання трисекції кута досить просто вирішуються за допомогою невсису.

У геометрії існує теорема про трисектриси кута. Називається вона теоремою Морлі (Морлея). Вона стверджує, що точки перетину трисектрис кожного кута, що знаходяться посередині, будуть вершинами.

Маленький чорний трикутник усередині великого завжди буде рівнобічним. Ця теорема була відкрита британським ученим Френком Морлі у 1904 році.

Ось скільки всього можна дізнатися про поділ кута: трисектриса та бісектриса кута завжди вимагають детальних пояснень. Адже тут було наведено безліч ще не розкритих мною визначень: равлик Паскаля, конхоїда Нікомеда тощо. Не вагайтеся, про них можна написати ще більше.

ВЛАСТИВОСТІ БІСЕКТРИСИ

Властивість бісектриси: У трикутнику бісектриса ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам.

Бісектриса зовнішнього кута Бісектриса зовнішнього кута трикутника перетинає продовження його сторони в точці, відстані від якої до кінців цієї сторони пропорційні відповідно до прилеглих сторін трикутника. C B A D

Формули довжини бісектриси:

Формула знаходження довжин відрізків, на які бісектриса ділить протилежну сторону трикутника

Формула знаходження відношення довжин відрізків, на які бісектриса ділиться точкою перетину бісектрис

Задача 1. Одна з бісектрис трикутника ділиться точкою перетину бісектрис щодо 3:2, рахуючи від вершини. Знайдіть периметр трикутника, якщо довжина сторони трикутника, до якої ця бісектриса проведена, дорівнює 12 см.

Рішення Скористаємося формулою для знаходження відношення довжин відрізків, на які бісектриса ділиться точкою перетину бісектрис у трикутнику:   a + c = = 18  P ∆ АВС = a + b + c = b + (a + c) = 12 + 18 = 30. Відповідь: P = 30см.

Завдання 2 . Бісектриси BD і CE ABC перетинаються в точці О. АВ=14, ВС=6, АС=10. Знайдіть D .

Рішення. Скористаємося формулою для знаходження довжини бісектриси: Маємо: BD = BD = = За формулою відношення відрізків, на які бісектриса ділиться точкою перетину бісектрис: l = . 2 + 1 = 3 частини всього.

це 1 частина  OD = Відповідь: OD =

Завдання В ∆ ABC проведені бісектриси AL та BK. Знайдіть довжину відрізка KL , якщо AB = 15, AK = 7,5, BL = 5. В ∆ ABC проведена бісектриса AD , а через точку D пряма, паралельна AC і перетинає AB у точці Е. Знайдіть відношення площ ∆ ABC і ∆ BDE , якщо AB = 5, AC = 7. Знайдіть бісектриси гострих кутів прямокутного трикутника з катетами 24 см та 18см. У прямокутному трикутнику бісектриса гострого кутаділить протилежний катет на відрізки завдовжки 4 і 5 см. Визначити площу трикутника.

5. У рівнобедреному трикутнику основа та бічна сторона рівні відповідно 5 і 20 см. Знайдіть бісектрису кута при основі трикутника. 6. Знайдіть бісектрису прямого кута трикутника, у якого катети дорівнюють a і b . 7. Обчисліть довжину бісектриси кута А трикутника ABC з довжинами сторін a = 18 см, b = 15 см, c = 12 см. 8. У трикутнику ABC довжини сторін AB , BC та AC відносяться як 2:4:5 відповідно. Знайдіть, у якому відношенні діляться бісектриси внутрішніх кутів у точці їх перетину.

Відповіді: Відповідь: Відповідь: Відповідь: Відповідь: Відповідь: Відповідь: Відповідь: Відповідь: AP = 6 AP = 10 см. KL = CP =

Бісектриса трикутника - поширене геометричне поняття, яке не викликає особливих труднощів у вивченні. Володіючи знаннями про її властивості, з вирішенням багатьох завдань можна впоратися без особливих зусиль. Що таке бісектриса? Постараємося ознайомити читача з усіма секретами цієї математичної прямої.

Вконтакте

Суть поняття

Найменування поняття походить від використання слів латиною, значення яких полягає «бі» - дві, «сектіо» - розрізати. Вони безпосередньо вказують на геометричний зміст поняття - розбивання простору між променями. на дві рівні частини.

Бісектриса трикутника - відрізок, який бере початок з вершини фігури, а інший кінець розташований на боці, що розташована навпроти нього, при цьому поділяє простір на дві однакові частини.

Багато педагогів для швидкого асоціативного запам'ятовування учнями математичних понять користуються різною термінологією, яка відображена у віршах чи асоціаціях. Звісно, ​​використовувати таке визначення рекомендується для дітей старшого віку.

Як позначається ця пряма? Тут спираємося на правила позначення відрізків чи променів. Якщо мова йдепро позначення бісектриси кута трикутної фігури, то зазвичай її записують як відрізок, кінці якого є вершиною та точкою перетину з протилежною вершині стороною. Причому початок позначення записується саме з вершини.

Увага!Скільки бісектрис має трикутник? Відповідь очевидна: стільки ж, скільки вершин – три.

Властивості

Крім визначення, в шкільному підручникуможна знайти не так багато властивостей даного геометричного поняття. Перша властивість бісектриси трикутника, з яким знайомлять школярів, – центр вписаної, а друге, безпосередньо пов'язане з ним, – пропорційність відрізків. Суть полягає в наступному:

1. Яка б не була пряма, що діляла, на ній розташовані точки, які знаходяться на однаковій відстані від сторінякі складають простір між променями.
2. Для того щоб вписати в трикутну фігуру коло, необхідно визначити точку, в якій перетинатимуться ці відрізки. Це і є центральна точка кола.
3. Частини сторони трикутної геометричної фігури, на які розбиває її розділяюча пряма, знаходяться у пропорційній залежності від утворюють кут сторін.

Постараємося привести в систему інші особливості та подати додаткові факти, які допоможуть глибше пізнати переваги цього геометричного поняття.

Довжина

Одним із видів завдань, які викликають утруднення у школярів, є знаходження довжини бісектриси кута трикутника. Перший варіант, у якому знаходиться її довжина, містить такі дані:

• величина простору між променями, з вершини якого виходить цей відрізок;
• довжини сторін, що утворюють цей кут.

Для вирішення поставленого завдання використовується формула, зміст якої полягає у знаходженні відносини збільшеного у 2 рази добутку значень сторін, що становлять кут, на косинус його половини до суми сторін.

Розглянемо певному прикладі. Припустимо, дана фігура АВС, у якій відрізок проведений з кута А і перетинає сторону ВС у точці К. Значення А позначимо Y. Виходячи з цього, АК = (2*АВ*АС*cos(Y/2))/(АВ+ АС).

Другий варіант задачі, в якому визначається довжина бісектриси трикутника, містить такі дані:

• відомі значення всіх сторін фігури.

При розв'язанні задачі такого типу спочатку визначаємо напівпериметр. Для цього необхідно скласти значення всіх сторін і розділити навпіл: р=(АВ+ВС+АС)/2. Далі застосовуємо обчислювальну формулу, за допомогою якої визначалася довжина даного відрізка попереднього завдання. Необхідно лише внести деякі зміни до суті формули відповідно до нових параметрів. Отже, необхідно знайти відношення збільшеного вдвічі кореня другого ступеня з добутку довжин сторін, які прилягають до вершини, на півпериметр і на різницю напівпериметра і довжини протилежної сторони до суми сторін, що складають кут. Тобто АК=(2?АВ*АС*р*(р-ВС))/(АВ+АС).

Увага!Щоб легше освоїти матеріал, можна звернутися до Інтернету жартівливим казкам, що розповідає про «пригоди» цієї прямої.