Розв'язання рівнянь з іксами. Калькулятор ірраціональних рівнянь онлайн

для вирішення математики. Швидко знайти розв'язання математичного рівнянняв режимі онлайн. Сайт www.сайт дозволяє вирішити рівняннямайже будь-якого заданого алгебраїчного, тригонометричногоабо трансцендентного рівняння онлайн. Під час вивчення практично будь-якого розділу математики різних етапах доводиться вирішувати рівняння онлайн. Щоб отримати відповідь відразу, а головне точну відповідь, необхідний ресурс, що дозволяє це зробити. Завдяки сайту www.сайт вирішення рівнянь онлайнзайме кілька хвилин. Основна перевага www.сайт при вирішенні математичних рівнянь онлайн- це швидкість і точність відповіді, що видається. Сайт здатний вирішувати будь-які алгебраїчне рівняння онлайн, тригонометричні рівняння онлайн, трансцендентні рівняння онлайн, а також рівнянняз невідомими параметрами в режимі онлайн. Рівнянняслужать потужним математичним апаратом рішенняпрактичних завдань. За допомогою математичних рівняньможна висловити факти та співвідношення, які можуть здатися на перший погляд заплутаними та складними. Невідомі величини рівняньможна знайти, сформулювавши завдання на математичномумові у вигляді рівняньі вирішитиотримане завдання у режимі онлайнна сайті www.сайт. Будь-яке алгебраїчне рівняння, тригонометричне рівнянняабо рівняннямістять трансцендентніфункції Ви легко вирішітьонлайн та отримайте точну відповідь. Вивчаючи природничі науки, неминуче стикаєшся з необхідністю розв'язання рівнянь. При цьому відповідь має бути точною і отримати її необхідно відразу в режимі онлайн. Тому для рішення математичних рівнянь онлайнми рекомендуємо сайт www.сайт, який стане вашим незамінним калькулятором розв'язання алгебраїчних рівнянь онлайн, тригонометричних рівнянь онлайн, а також трансцендентних рівнянь онлайнабо рівняньіз невідомими параметрами. Для практичних завдань з знаходження коріння різних математичних рівняньресурсу www.. Вирішальна рівняння онлайнсамостійно, корисно перевірити отриману відповідь, використовуючи онлайн рішення рівняньна сайті www.сайт. Необхідно правильно записати рівняння та миттєво отримаєте онлайн рішення, після чого залишиться лише порівняти відповідь з Вашим рішенням рівняння. Перевірка відповіді займе не більше хвилини, достатньо вирішити рівняння онлайнта порівняти відповіді. Це допоможе Вам уникнути помилок у рішенніі вчасно скоригувати відповідь при вирішенні рівнянь онлайнбудь то алгебраїчне, тригонометричне, трансцендентнеабо рівнянняіз невідомими параметрами.

Призначення сервісу. Матричний калькулятор призначений для вирішення систем лінійних рівнянь матричним способом (див. приклад розв'язання таких завдань).

Інструкція. Для онлайн рішення необхідно вибрати вид рівняння та задати розмірність відповідних матриць. де А, В, С - матриці, що задаються, Х - шукана матриця. Матричні рівняння виду (1), (2) та (3) вирішуються через зворотну матрицю A-1. Якщо задано вираз AX - B = C , то необхідно спочатку скласти матриці C + B і знаходити рішення для вираження A X = D , де D = C + B . Якщо вираз A*X = B 2 , то попередньо матрицю B треба звести у квадрат .

Рекомендується також ознайомитись з основними діями над матрицями.

Приклад №1. Завдання. Знайти рішення матричного рівняння
Рішення. Позначимо:
Тоді матричне рівняння запишеться як: A·X·B = C.
Визначник матриці А дорівнює detA=-1
Оскільки A невироджена матриця, існує зворотна матриця A -1 . Помножимо зліва обидві частини рівняння на A -1: Помножуємо обидві частини цієї рівності зліва на A -1 і праворуч на B -1: A -1 · A · X · B · B -1 = A -1 · C · B -1 . Оскільки A·A -1 = B·B -1 = E і E·X = X·E = X, то X = A -1 ·C·B -1

Зворотна матриця A-1:
Знайдемо зворотну матрицю B-1.
Транспонована матриця B T:
Зворотна матриця B-1:
Матрицю X шукаємо за формулою: X = A -1 · C · B -1

Відповідь:

Приклад №2. Завдання.Розв'язати матричне рівняння
Рішення. Позначимо:
Тоді матричне рівняння запишеться як: A·X = B.
Визначник матриці А дорівнює detA=0
Оскільки A вироджена матриця (визначник дорівнює 0), отже рівняння рішення немає.

Приклад №3. Завдання. Знайти рішення матричного рівняння
Рішення. Позначимо:
Тоді матричне рівняння запишеться як: X·A = B.
Визначник матриці А дорівнює detA=-60
Оскільки A невироджена матриця, існує зворотна матриця A -1 . Помножимо праворуч обидві частини рівняння на A -1: X·A·A -1 = B·A -1 , звідки знаходимо, що X = B·A -1
Знайдемо зворотну матрицю A-1.
Транспонована матриця A T:
Зворотна матриця A-1:
Матрицю X шукаємо за формулою: X = B · A -1


Відповідь: >

Квадратні рівняння вивчають у 8 класі, тож нічого складного тут немає. Вміння вирішувати їх необхідно.

Квадратне рівняння - це рівняння виду ax 2 + bx + c = 0, де коефіцієнти a, b і c - довільні числа, причому a ≠ 0.

Перш ніж вивчати конкретні методи розв'язання, зауважимо, що всі квадратні рівняння можна умовно поділити на три класи:

1. Не мають коріння;
2. Мають рівно один корінь;
3. Мають два різні корені.

У цьому полягає важлива відмінність квадратних рівнянь від лінійних, де корінь завжди існує і єдний. Як визначити, скільки коренів має рівняння? Для цього існує чудова річ. дискримінант.

Дискримінант

Нехай дано квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0. Тоді дискримінант це просто число D = b 2 − 4ac .

Цю формулу треба знати напам'ять. Звідки вона береться - зараз не має значення. Важливо інше: за знаком дискримінанта можна визначити, скільки коренів має квадратне рівняння. А саме:

1. Якщо D< 0, корней нет;
2. Якщо D = 0, є рівно один корінь;
3. Якщо D > 0, коріння буде два.

Зверніть увагу: дискримінант вказує на кількість коренів, а зовсім не на їхні знаки, як чомусь багато хто вважає. Погляньте на приклади - і самі все зрозумієте:

Завдання. Скільки коренів мають квадратні рівняння:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x2+3x+7=0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Випишемо коефіцієнти для першого рівняння та знайдемо дискримінант:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Отже, дискримінант позитивний, тому рівняння має два різні корені. Аналогічно розбираємо друге рівняння:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискримінант негативний, коріння немає. Залишилося останнє рівняння:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискримінант дорівнює нулю – корінь буде один.

Зверніть увагу, що для кожного рівняння було виписано коефіцієнти. Так, це довго, так, це нудно — зате ви не переплутаєте коефіцієнти і не припуститеся дурних помилок. Вибирайте самі: швидкість чи якість.

До речі, якщо «набити руку», через деякий час вже не потрібно виписувати всі коефіцієнти. Такі операції ви виконуватимете в голові. Більшість людей починають робити десь після 50-70 вирішених рівнянь — загалом, не так і багато.

Коріння квадратного рівняння

Тепер перейдемо власне до рішення. Якщо дискримінант D > 0, коріння можна знайти за формулами:

Основна формула коренів квадратного рівняння

Коли D = 0, можна використовувати будь-яку з цих формул — вийде те саме число, яке і буде відповіддю. Нарешті, якщо D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x2+12x+36=0.

Перше рівняння:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ рівняння має два корені. Знайдемо їх:

Друге рівняння:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ рівняння знову має два корені. Знайдемо їх

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Нарешті, третє рівняння:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ рівняння має один корінь. Можна використати будь-яку формулу. Наприклад, першу:

Як бачимо з прикладів, все дуже просто. Якщо знати формули та вміти рахувати, проблем не буде. Найчастіше помилки виникають при підстановці формулу негативних коефіцієнтів. Тут знову ж таки допоможе прийом, описаний вище: дивіться на формулу буквально, розписуйте кожен крок — і дуже скоро позбавтеся помилок.

Неповні квадратні рівняння

Буває, що квадратне рівняння дещо відрізняється від того, що дано у визначенні. Наприклад:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

Неважко помітити, що у цих рівняннях відсутнє одне із доданків. Такі квадратні рівняння вирішуються навіть легше, ніж стандартні: у них навіть не потрібно вважати дискримінант. Отже, введемо нове поняття:

Рівняння ax 2 + bx + c = 0 називається неповним квадратним рівнянням, якщо b = 0 чи c = 0, тобто. коефіцієнт при змінній x чи вільний елемент дорівнює нулю.

Вочевидь, можливий дуже важкий випадок, коли обидва цих коефіцієнта дорівнюють нулю: b = c = 0. І тут рівняння набуває вигляду ax 2 = 0. Вочевидь, таке рівняння має єдиний корінь: x = 0.

Розглянемо решту випадків. Нехай b = 0, тоді отримаємо неповне квадратне рівняння виду ax 2 + c = 0. Дещо перетворимо його:

Оскільки арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємного числа, остання рівність має сенс виключно за (−c /a ) ≥ 0. Висновок:

1. Якщо у неповному квадратному рівнянні виду ax 2 + c = 0 виконано нерівність (−c /a ) ≥ 0, коріння буде два. Формула дана вище;
2. Якщо ж (−c /a)< 0, корней нет.

Як бачите, дискримінант не був потрібний — у неповних квадратних рівняннях взагалі немає складних обчислень. Насправді навіть необов'язково пам'ятати нерівність (−c /a ) ≥ 0. Достатньо виразити величину x 2 і подивитися, що стоїть з іншого боку знаку рівності. Якщо там позитивне число — коріння буде два. Якщо негативне — коріння взагалі не буде.

Тепер розберемося з рівняннями виду ax 2 + bx = 0, у яких вільний елемент дорівнює нулю. Тут усе просто: коріння завжди буде два. Достатньо розкласти багаточлен на множники:

Винесення загального множника за дужку

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Звідси є коріння. На закінчення розберемо кілька таких рівнянь:

Завдання. Розв'язати квадратні рівняння:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Коріння немає, т.к. квадрат не може дорівнювати негативному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.