Головна › Паливна система › Натуральний логарифм мінус 1. Функції LN та LOG для розрахунку натурального логарифму EXCEL

Натуральний логарифм мінус 1. Функції LN та LOG для розрахунку натурального логарифму EXCEL

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Зовсім непогано, правда? Поки математики підбирають слова, щоб дати вам довге плутане визначення, давайте поглянемо ближче на це просте і ясне.

Число e означає зростання

Число e означає безперервне зростання. Як ми бачили в минулому прикладі, e x дозволяє нам ув'язати відсоток і час: 3 роки при зростанні 100% є те саме, що й 1 рік при 300%, за умови "складних відсотків".

Можна підставляти будь-які значення відсотка та часу (50% протягом 4 років), але краще задати відсоток як 100% для зручності (виходить 100% протягом 2 років). За рахунок переходу до 100% ми можемо сфокусуватись виключно на компоненті часу:

e x = e відсоток * час = e 1.0 * час = e час

Очевидно, що e x означає:

наскільки зросте мій вклад через x одиниць часу (за умови 100% безперервного зростання).
наприклад, через 3 проміжки часу я отримаю в e 3 = 20.08 разів більше "штуковин".

e x - це масштабуючий коефіцієнт, що показує, якого рівня ми виростемо за x відрізків часу.

Натуральний логарифм означає час

Натуральний логарифм - це інверсія числа e, такий химерний термін позначення протилежності. До речі, про чудасії; латиною він називається logarithmus naturali, звідси і з'явилася абревіатура ln.

І що ця інверсія чи протилежність означає?

e x дозволяє нам підставити час та отримати зростання.
ln(x) дозволяє нам взяти зростання або дохід і дізнатися про час, необхідний для його отримання.

Наприклад:

e 3 дорівнює 20.08. Через три відрізки часу у нас буде в 20.08 разів більше за те, з чого ми почали.
ln(20.08) буде приблизно 3. Якщо вас цікавить зростання в 20.08 разів, вам знадобиться 3 проміжки часу (знову ж таки, за умови стовідсоткового безперервного зростання).

Чи все ще читаєте? Натуральний логарифм показує час, необхідний для досягнення бажаного рівня.

Цей нестандартний логарифмічний рахунок

Ви проходили логарифми – це дивні істоти. Як їм вдалося перетворити множення на додавання? А розподіл у віднімання? Давайте подивимося.

Чому дорівнює ln(1)? Інтуїтивно зрозуміло, що питання стоїть так: скільки потрібно чекати, щоб отримати в 1 раз більше того, що я маю?

Нуль. Нуль. Анітрохи. У вас це вже є один раз. Не потрібно анітрохи часу, щоб від рівня 1 дорості до рівня 1.

ln(1) = 0

Добре, що щодо дробового значення? Через скільки у нас залишиться 1/2 від наявної кількості? Ми знаємо, що за стовідсоткове безперервне зростання ln(2) означає час, необхідний подвоєння. Якщо ми звернемо час назад(тобто почекаємо негативну кількість часу), то отримаємо половину від того, що маємо.

ln(1/2) = -ln(2) = -0.693

Логічно, правда? Якщо ми повернемося назад (час назад) на 0.693 секунд, то виявимо половину наявної кількості. Взагалі, можна перевертати дріб і брати негативне значення: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. Це означає, що якщо ми повернемося в минуле на 1.09 відрізків часу, то виявимо лише третину від нинішнього числа.

Гаразд, а як щодо логарифму негативного числа? Скільки часу потрібно, щоб виростити колонію бактерій від 1 до -3?

Це неможливо! Не можна отримати негативну кількість бактерій, чи не так? Ви можете отримати максимум (е... мінімум) нуль, але вам ніяк не отримати негативне число цих маленьких тварин. У негативному числі бактерій немає сенсу.

ln(негативне число) = невизначено

"Невизначено" означає, що немає такого проміжку часу, який би треба було прочекати, щоб отримати негативне значення.

Логарифмічне множення – просто втомлення

Скільки часу займе чотириразове зростання? Звісно, можна взяти ln(4). Але це дуже просто, ми підемо іншим шляхом.

Можна уявити чотириразове зростання як подвоєння (що вимагає ln(2) одиниць часу) і потім знову подвоєння (що вимагає ще ln(2) одиниць часу):

Час на 4х ріст = ln(4) = Час на подвоїться і потім ще раз подвоїться = ln(2) + ln(2)

Цікаво. Будь-який показник зростання, скажімо, 20 можна розглядати як подвоєння відразу після 10-кратного збільшення. Або зростання в 4 рази, а потім у 5 разів. Або потроєння і потім збільшення в 6.666 разів. Бачите закономірність?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Логарифм від A, помноженого на B є log(A) + log(B). Це ставлення відразу набуває сенсу, якщо оперувати в термінах зростання.

Якщо вас цікавить 30-кратне зростання, ви можете почекати ln(30) за один присід, або ж почекати ln(3) Для потроєння, а потім ще ln(10) для удесятірення. Кінцевий результат той самий, так що звичайно час повинен залишатися постійним (і залишається).

Що на рахунок розподілу? Зокрема, ln(5/3) означає: скільки часу знадобиться для того, щоб вирости в 5 разів, а потім отримати 1/3 від цього?

Добре, зростання в 5 разів є ln (5). Зростання у 1/3 разу займе -ln(3) одиниць часу. Отже,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Це означає: дайте вирости в 5 разів, а потім "поверніться в часі" до тієї позначки, де залишиться всього третина від тієї кількості, так що у вас вийде 5/3 зростання. Загалом виходить

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Я сподіваюся, що дивна арифметика логарифмів починає набувати для вас сенсу: множення показників зростання стає додаванням одиниць часу зростання, а розподіл перетворюється на віднімання одиниць часу. Не треба запам'ятовувати правила, спробуйте їх усвідомити.

Використання натурального логарифму при довільному зростанні

Ну звичайно, - скажете ви, - це все добре, якщо зростання 100%, а що у випадку 5%, які я отримую?

Немає проблем. "Час", який ми розраховуємо за допомогою ln(), насправді є комбінацією відсоткової ставки і часу, Х з рівняння e x . Ми лише вирішили задати відсоток як 100% для простоти, але ми вільні використовувати будь-які числа.

Допустимо, ми хочемо досягти 30-кратного зростання: беремо ln(30) і отримуємо 3.4.

e x = зростання
e 3.4 = 30

Очевидно, це рівняння означає "100% прибутковість протягом 3.4 років дає зростання в 30 разів". Ми можемо записати це рівняння у такому вигляді:

e x = e ставка * час
e 100% * 3.4 роки = 30

Ми можемо змінювати значення "ставки" та "часу", аби ставка * час залишався 3.4. Наприклад, якщо нас цікавить 30-кратне зростання - скільки нам доведеться чекати за процентної ставки 5%?

ln(30) = 3.4
ставка * час = 3.4
0.05 * час = 3.4
час = 3.4/0.05 = 68 років

Я міркую так: "ln(30) = 3.4, отже, при 100%-ном зростанні це займе 3.4 року. Якщо я подвоюю швидкість зростання, необхідний час зменшиться вдвічі".

100% за 3.4 роки = 1.0 * 3.4 = 3.4
200% за 1.7 року = 2.0 * 1.7 = 3.4
50% за 6.8 року = 0.5 * 6.8 = 3.4
5% за 68 роки = .05 * 68 = 3.4.

Здорово, правда? Натуральний логарифм може використовуватися з будь-якими значеннями процентної ставки та часу, оскільки їхній твір залишається постійним. Можете переміщати значення змінних скільки душі завгодно.

Відпадний приклад: Правило сімдесяти двох

Правило сімдесяти двох – математичний прийом, що дозволяє оцінити, скільки часу знадобиться, щоб ваші гроші подвоїлися. Зараз ми його виведемо (так!), і більше того, спробуємо усвідомити його суть.

Скільки часу знадобиться, щоб подвоїти ваші гроші за 100% ставку, що наростає щорічно?

Оп-па. Ми використовували натуральний логарифм для випадку з безперервним зростанням, а тепер ти говориш про щорічне нарахування? Чи не стане ця формула непридатною для такого випадку? Так, стане, однак для реальних відсоткових ставок на кшталт 5%, 6% або навіть 15% різниця між щорічним нарахуванням відсотків і безперервним зростанням буде невелика. Так що груба оцінка працює, мм, грубо, так що ми вдамо, що у нас повністю безперервне нарахування.

Тепер питання просте: Як швидко можна подвоїтися при 100% зростання? ln(2) = 0.693. Потрібно 0.693 одиниць часу (років – у нашому випадку), щоб подвоїти нашу суму з безперервним зростанням 100%.

Так, а що якщо процентна ставка – не 100%, а скажімо, 5% чи 10%?

Легко! Оскільки ставка * час = 0.693, ми подвоїмо суму:

ставка * час = 0.693
час = 0.693/ставка

Виходить, якщо зростання 10%-не, це займе 0.693 / 0.10 = 6.93 років на подвоєння.

Щоб спростити обчислення, давайте домножимо обидві частини на 100, тоді можна буде говорити "10", а не "0.10":

час на подвоєння = 69.3/ставка, де ставка виражена у відсотках.

Тепер черга подвоюватись при ставці 5%, 69.3/5 = 13.86 років. Однак 69.3 - не найзручніше ділене. Давайте виберемо близьке число, 72, яке зручно ділити на 2, 3, 4, 6, 8 та інші числа.

час на подвоєння = 72/ставка

що є правилом сімдесяти двох. Все шито-крите.

Якщо вам потрібно знайти час для потроєння, можете використовувати ln(3) ~ 109.8 та отримати

час на потроєння = 110 / ставка

Що є ще одним корисним правилом. "Правило 72" застосовне зростання по процентним ставкам, зростання населення, культур бактерій, і всього, що росте експоненційно.

Що далі?

Сподіваюся, натуральний логарифм тепер набув вам сенсу - він показує час, необхідний для зростання будь-якого числа при експоненційному зростанні. Я думаю, натуральним він називається тому, що e – універсальна міра зростання, так що ln можна вважати універсальним способом визначення, скільки часу потрібно для зростання.

Щоразу, коли ви бачите ln(x), згадуйте "час, потрібний, щоб вирости в Х разів". У майбутній статті я опишу e і ln у зв'язці, так що свіжий аромат математики заповнить повітря.

Додаток: Натуральний логарифм від e

Швидка вікторина: скільки буде ln(e)?

математичний робот скаже: оскільки вони визначені як інверсія одна одною, очевидно, що ln(e) = 1.
розуміє людина: ln(e) це кількість часу, щоб вирости в "е" раз (близько 2.718). Проте число e саме собою є мірою зростання в 1 раз, отже ln(e) = 1.

Думайте ясно.

9 вересня 2013

Це може бути, наприклад, калькулятор з базового набору операційних програм системи Windows. Посилання на його запуск заховано досить у головне меню ОС - розкрийте його клацанням по кнопці «Пуск», потім відкрийте його розділ «Програми», перейдіть в підрозділ «Стандартні», а потім у секцію «Службові» і нарешті клацніть пункт «Калькулятор» ». Можна замість миші та переміщень по меню використовувати клавіатуру та діалог запуску програм - натисніть поєднання клавіш WIN + R, наберіть calc (це ім'я файлу калькулятора, що виконується) і натисніть клавішу Enter.

Переключіть інтерфейс калькулятора на розширений режим, який дозволяє здійснювати . За замовчуванням він відкривається у «звичайному» вигляді, а вам потрібен «інженерний» або «» (залежно від версії ОС). Розкрийте в меню розділ «Вид» та виберіть відповідний рядок.

Введіть аргумент, натуральний, якого потрібно обчислити. Це можна зробити як із клавіатури, так і клацаючи мишкою відповідні кнопки в інтерфейсі калькулятора на екрані.

Клацніть кнопку з написом ln - програма розрахує логарифма на основі e і покаже результат.

Скористайтеся будь-яким із -калькуляторів як альтернативне обчислення значення натурального логарифму. Наприклад, тим, що розміщено за адресою http://calc.org.ua. Його інтерфейс гранично простий - є єдине поле введення, куди вам треба надрукувати значення числа, логарифм від якого треба обчислити. Серед кнопок знайдіть та клацніть ту, на якій написано ln. Скрипт цього калькулятора не вимагає надсилання даних на сервер та відповіді, тому результат обчислення ви отримаєте практично миттєво. Єдина особливість, яку слід враховувати - роздільником між дробовою і цілою частиною числа обов'язково повинна бути точка, а не .

Термін « логарифм» походить від двох грецьких слів, одне з яких означає «число», а інше – «ставлення». Їм позначають математичну операцію обчислення змінної величини (показника ступеня), у яку треба звести постійне значення (основа), щоб отримати число, вказане під знаком логарифма. Якщо основа дорівнює математичній константі, яка називається числом "e", то логарифмназивають «натуральним».

Вам знадобиться

Доступ до Інтернету, Microsoft Office Excel або калькулятор.

Інструкція

Скористайтеся у багатьох представлених в інтернеті -калькуляторах - це, мабуть, і простий спосіб обчислення натурального а. Пошуком відповідного сервісу вам займатися не доведеться, оскільки багато пошукових систем і самі мають вбудовані калькулятори, цілком придатні для роботи з логарифмамі. Наприклад, перейдіть на головну сторінкунайбільшого мережевого пошукача - Google. Жодних кнопок для введення значень та вибору функцій тут не потрібно, просто наберіть у полі введення запиту потрібну математичну дію. Скажімо, для обчислення логарифма числа 457 на основі "e" введіть ln 457 - цього буде цілком достатньо, щоб Google відобразив з точністю до восьми знаків після коми (6,12468339) навіть без натискання кнопки відправки запиту на сервер.

Використовуйте відповідну вбудовану функцію, якщо необхідно обчислити значення натурального логарифма виникає під час роботи з даними у популярному табличному редакторі Microsoft Office Excel. Ця функція тут викликається з використанням загальноприйнятого позначення такого логарифма у верхньому регістрі – LN. Виділіть комірку, в якій має бути відображено результат обчислення, і введіть знак рівності - так у цьому табличному редакторі повинні починатися записи в комірках, що містять у розділі "Стандартні" розділу "Всі програми" головного меню. Перемкніть калькулятор у більш функціональний режим, натиснувши клавіші Alt + 2. Потім введіть значення, натуральний логарифмякого потрібно обчислити, та клацніть в інтерфейсі програми кнопку, позначену символами ln. Додаток здійснить обчислення та відобразить результат.

Відео на тему

Логарифмом числа b на підставі а називається показник ступеня, який потрібно звести число а щоб отримати число b.

Якщо то .

Логарифм - вкрай важлива математична величина, оскільки логарифмічне обчислення дозволяє не лише вирішувати показові рівняння, а й оперувати з показниками, диференціювати показові та логарифмічні функції, інтегрувати їх і призводити до більш прийнятного виду, що підлягає розрахунку.

Вконтакте

Усі властивості логарифмів пов'язані безпосередньо з властивостями показових функцій. Наприклад, той факт, що означає, що:

Слід зауважити, що при вирішенні конкретних завдань властивості логарифмів можуть виявитися більш важливими і корисними, ніж правила роботи зі ступенями.

Наведемо деякі тотожності:

Наведемо основні вирази алгебри:

;

Увага!може існувати тільки за x>0, x≠1, y>0.

Намагатимемося розібратися з питанням, що таке натуральні логарифми. Окремий інтерес у математиці представляють два види— перший має в основі число «10», і має назву « десятковий логарифм». Другий називається натуральним. Основа натурального логарифму - число "е". Саме про нього ми і детально говоритимемо в цій статті.

Позначення:

lg x - десятковий;
ln x - натуральний.

Використовуючи тотожність, можна побачити, що ln e = 1, як і те, що lg 10=1.

Графік натурального логарифму

Побудуємо графік натурального логарифму стандартним класичним способом за точками. За бажання, перевірити, чи правильно ми будуємо функцію, можна за допомогою дослідження функції. Однак, є сенс навчитися будувати його «вручну», щоб знати, як правильно порахувати логарифм.

Функція: y = ln x. Запишемо таблицю точок, якими пройде графік:

Пояснимо, чому ми вибрали саме такі значення аргументу х. Вся річ у тотожності: . Для натурального логарифму ця тотожність виглядатиме таким чином:

Для зручності ми можемо взяти п'ять опорних точок:

;

Таким чином, підрахунок натуральних логарифмів - досить нескладне заняття, більше того, він спрощує підрахунки операцій зі ступенями, перетворюючи їх на звичайне множення.

Побудувавши за точками графік, отримуємо приблизний графік:

Область визначення натурального логарифму (тобто всі допустимі значення аргументу Х) — усі числа більші за нуль.

Увага!До області визначення натурального логарифму входять тільки позитивні числа! До області визначення не входить х=0. Це неможливо виходячи з умов існування логарифму.

Область значень (тобто усі допустимі значення функції y = ln x) — усі числа в інтервалі .

Межа натурального log

Вивчаючи графік, виникає питання - як поводиться функція при y<0.

Очевидно, що графік функції прагне перетнути вісь, але не зможе цього зробити, оскільки натуральний логарифм при х<0 не существует.

Межа натуральної logможна записати таким чином:

Формула заміни основи логарифму

Мати справу з натуральним логарифмом набагато простіше, ніж з логарифмом, що має довільну основу. Саме тому спробуємо навчитися приводити будь-який логарифм до натурального, або висловлювати його по довільній основі через натуральні логарифми.

Почнемо з логарифмічної тотожності:

Тоді будь-яке число, або змінну можна представити у вигляді:

де х - будь-яке число (позитивне згідно з властивостями логарифму).

Даний вираз можна прологарифмувати з обох боків. Зробимо це за допомогою довільної основи z:

Скористаємося властивістю (тільки замість «с» у нас вираз):

Звідси отримуємо універсальну формулу:

Зокрема, якщо z=e, тоді:

Нам вдалося уявити логарифм з довільної основи через відношення двох натуральних логарифмів.

Вирішуємо завдання

Щоб краще орієнтуватися в натуральних логарифмах, розглянемо приклади кількох завдань.

Завдання 1. Необхідно розв'язати рівняння ln x = 3.

Рішення:Використовуючи визначення логарифму: якщо , то отримуємо:

Завдання 2. Розв'яжіть рівняння (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Рішення: Використовуючи визначення логарифму: якщо , то отримуємо:

Ще раз застосуємо визначення логарифму:

Таким чином:

Можна приблизно обчислити відповідь, а можна залишити її і в такому вигляді.

Завдання 3.Розв'яжіть рівняння.

Рішення:Зробимо підстановку: t = ln x. Тоді рівняння набуде наступного вигляду:

Перед нами квадратне рівняння. Знайдемо його дискримінант:

Перший корінь рівняння:

Другий корінь рівняння:

Згадуючи про те, що ми робили підстановку t = ln x, отримуємо:

У статистиці та теорії ймовірності логарифмічні величини зустрічаються дуже часто. Це не дивно, адже число е — найчастіше відображає темпи зростання експоненційних величин.

В інформатиці, програмуванні та теорії обчислювальних машин, логарифми зустрічаються досить часто, наприклад, щоб зберегти в пам'яті N знадобиться бітів.

У теоріях фракталів та розмірності логарифми використовуються постійно, оскільки розмірності фракталів визначаються тільки за їх допомогою.

У механіці та фізицінемає такого розділу, де не використовувалися логарифми. Барометричний розподіл, усі принципи статистичної термодинаміки, рівняння Ціолковського та інше — процеси, які математично можна описати лише за допомогою логарифмування.

У хімії логарифмування використовують у рівняннях Нернста, описи окислювально-відновних процесів.

Вражаюче, але навіть у музиці, з метою дізнатися кількість частин октави, використовують логарифми.

Натуральний логарифм Функція y=ln x її властивості

Доказ основної властивості натурального логарифму

Що таке логарифм?

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Що таке логарифм? Як вирішувати логарифми? Ці питання багатьох випускників вводять у ступор. Традиційно тема логарифмів вважається складною, незрозумілою та страшною. Особливо – рівняння з логарифмами.

Це зовсім не так. Абсолютно! Не вірите? Добре. Зараз, за якісь 10 – 20 хвилин ви:

1. Зрозумієте, що таке логарифм.

2. Навчіться розв'язувати цілий клас показових рівнянь. Навіть якщо про них нічого не чули.

3. Навчіться обчислювати прості логарифми.

Причому для цього вам потрібно буде знати лише таблицю множення, та як зводиться число до ступеня...

Відчуваю, сумніваєтеся ви... Ну гаразд, засікайте час! Поїхали!

Для початку вирішіть в умі ось таке рівняння: