Показове рівняння дорівнює нулю. Показові рівняння

Показовими називаються рівняння, у яких невідоме міститься у показнику ступеня. Найпростіше показове рівняння має вигляд: а х = а b де а> 0, а 1, х - невідоме.

Основні властивості ступенів, з яких перетворюються показові рівняння: а>0, b>0.

При вирішенні показових рівнянькористуються також такими властивостями показової функції: y = a x , a > 0, a1:

Для представлення числа у вигляді ступеня використовують основне логарифмічне тотожність: b = , a > 0, a1, b > 0

Завдання та тести на тему "Показові рівняння"

• Показові рівняння

  Уроків: 4 Задань: 21 Тестів: 1

• Показові рівняння - Важливі теми для повторення ЄДІ з математики

  Завдань: 14

• Системи показових та логарифмічних рівнянь - Показова та логарифмічна функції 11 клас

  Уроків: 1 Задань: 15 Тестів: 1

• §2.1. Розв'язання показових рівнянь

  Уроків: 1 Задань: 27

• §7 Показові та логарифмічні рівняння та нерівності - Розділ 5. Показова та логарифмічна функції 10 клас

  Уроків: 1 Задань: 17

Для успішного вирішенняВи повинні знати основні властивості ступенів, властивості показової функції, основну логарифмічну тотожність.

При вирішенні показових рівнянь використовують два основні методи:

1. перехід від рівняння a f(x) = a g(x) до рівняння f(x) = g(x);
2. запровадження нових прямих.

приклади.

1. Рівняння, що зводяться до найпростіших. Вирішуються приведенням обох частин рівняння до ступеня з однаковою основою.

3 x = 9 x - 2.

Рішення:

3 x = (3 2) x - 2;
3 x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x = 4.

Відповідь: 4.

2. Рівняння, які вирішуються за допомогою винесення за дужки загального множника.

Рішення:

3 x - 3 x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 × 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x = 3.

Відповідь: 3.

3. Рівняння, які вирішуються за допомогою заміни змінної.

Рішення:

2 2x + 2 x - 12 = 0
Позначаємо 2 х = у.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4.Рівняння немає рішень, т.к. 2 х > 0.
б) 2 х = 3; 2 x = 2 log 2 3; x = log 2 3.

Відповідь: log 2 3.

4. Рівняння, що містять ступеня з двома різними (що не зводяться один до одного) підставами.

3 × 2 х + 1 - 2 × 5 х - 2 = 5 х + 2 х - 2.

3× 2 х + 1 – 2 х – 2 = 5 х – 2 × 5 х – 2
2 х - 2 × 23 = 5 х - 2
×23
2 х - 2 = 5 х - 2
(5/2) х-2 = 1
х - 2 = 0
х = 2.

Відповідь: 2.

5. Рівняння, однорідні щодо a x та b x .

Загальний вигляд: .

9 x + 4 x = 2,5 × 6 x.

Рішення:

3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Позначимо (3/2) x = y.
y 2 - 2,5 y + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 =?

Відповідь: log 3/2 2; - log 3/2 2.

Розв'язання показових рівнянь. приклади.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Що таке показове рівняння? Це рівняння, в якому невідомі (ікси) та вирази з ними знаходяться в показникахякихось ступенів. І лише там! Це важливо.

Ось вам приклади показових рівнянь:

3 х · 2 х = 8 х +3

Зверніть увагу! В основах ступенів (внизу) - тільки числа. У показникахступенів (вгорі) - найрізноманітніші вирази з іксом. Якщо, раптом, у рівнянні вилізе ікс десь, крім показника, наприклад:

це буде вже рівняння змішаного типу. Такі рівняння немає чітких правил решения. Ми їх поки що розглядати не будемо. Тут ми розбиратимемося з розв'язанням показових рівняньВ чистому вигляді.

Загалом навіть чисті показові рівняння чітко вирішуються далеко не завжди. Але існують певні типи показових рівнянь, які можна вирішувати і потрібно. Ось ці типи ми розглянемо.

Вирішення найпростіших показових рівнянь.

Спочатку вирішимо щось зовсім елементарне. Наприклад:

Навіть без будь-яких теорій, по простому підбору ясно, що х=2. Більше ніяк, вірно!? Жодне інше значення ікса не котить. А тепер глянемо на запис розв'язання цього хитрого показового рівняння:

Що ми зробили? Ми фактично викинули однакові підстави (трійки). Зовсім викинули. І що радує, потрапили в крапку!

Справді, якщо у показовому рівнянні ліворуч і праворуч стоять однаковічисла в яких завгодно ступенях, ці числа можна забрати і прирівняти показники ступенів. Математика дозволяє. Залишається дорішати більш просте рівняння. Здорово, правда?)

Однак запам'ятаємо залізно: прибирати підстави можна тільки тоді, коли ліворуч і праворуч числа-основи перебувають у гордій самоті!Без будь-яких сусідів та коефіцієнтів. Скажімо, в рівняннях:

2 х +2 х+1 = 2 3 або

двійки прибирати не можна!

Ну ось, найголовніше ми й освоїли. Як переходити від злих показових виразів до простіших рівнянь.

"Ось ті рази!" – скажете ви. "Хто ж дасть такий примітив на контрольних та іспитах!?"

Вимушений погодитись. Ніхто не дасть. Але тепер ви знаєте, куди треба прагнути при вирішенні заморочених прикладів. Треба приводити його до вигляду, коли ліворуч - праворуч стоїть те саме число-основа. Далі все буде легше. Власне, це є класика математики. Беремо вихідний приклад та перетворюємо його до потрібного намвиду. За правилами математики, зрозуміло.

Розглянемо приклади, які потребують додаткових зусиль для приведення їх до найпростіших. Назвемо їх простими показовими рівняннями.

Вирішення простих показових рівнянь. приклади.

При вирішенні показових рівнянь головні правила - дії зі ступенями.Без знання цих дій нічого не вийде.

До дій зі ступенями треба додати особисту спостережливість та кмітливість. Нам потрібні однакові числа-підстави? Ось і шукаємо їх у прикладі у явному чи зашифрованому вигляді.

Подивимося, як це робиться на практиці?

Нехай нам дано приклад:

2 2х - 8 х +1 = 0

Перший пильний погляд - на основи.Вони... Вони різні! Два та вісім. Але засмучуватися - рано. Саме час згадати, що

Двійка і вісімка - родички за рівнем.) Цілком можна записати:

8 х+1 = (2 3) х+1

Якщо згадати формулку з дій зі ступенями:

(а n) m = a nm ,

то взагалі добре виходить:

8 х+1 = (2 3) х+1 = 2 3(х+1)

Вихідний приклад став виглядати так:

2 2х - 2 3(х +1) = 0

Переносимо 2 3 (х+1)вправо (елементарних дій математики ніхто не скасовував!), отримуємо:

2 2х = 2 3(х+1)

Ось практично і все. Прибираємо підстави:

Вирішуємо цього монстра та отримуємо

Це правильна відповідь.

У цьому прикладі нас врятувало знання ступенів двійки. Ми упізналиу вісімці зашифровану двійку. Цей прийом (шифрування загальних підстав під різними числами) – дуже популярний прийом у показових рівняннях! Та й у логарифмах теж. Потрібно вміти дізнаватися в числі інших чисел. Це дуже важливо для вирішення показових рівнянь.

Справа в тому, що звести будь-яке число в будь-який ступінь – не проблема. Перемножити, хоч на папірці, та й годі. Наприклад, звести 3 у п'яту ступінь зможе кожен. 243 вийде, якщо таблицю множення знаєте.) Але в показових рівняннях набагато частіше треба не зводити в ступінь, а навпаки... яке число якою міроюховається за числом 243, або, скажімо, 343... Тут вам ніякий калькулятор не допоможе.

Ступені деяких чисел треба знати в обличчя, так... Потренуємось?

Визначити, якими ступенями та яких чисел є числа:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Відповіді (безладно, природно!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Якщо придивитися, можна побачити дивний факт. Відповідей значно більше, ніж завдань! Що ж, так буває... Наприклад, 2 6 , 4 3 , 8 2 це все 64.

Припустимо, що ви взяли до відома інформацію про знайомство з числами.) Нагадаю ще, що для вирішення показових рівнянь застосуємо весьзапас математичних знань. У тому числі з молодших-середніх класів. Ви ж не відразу до старших класів пішли, вірно?)

Наприклад, при вирішенні показових рівнянь часто допомагає винесення загального множника за дужки (привіт 7 класу!). Дивимося приклад:

3 2х +4 -11 · 9 х = 210

І знову, перший погляд – на підстави! Підстави у ступенів різні... Трійка та дев'ятка. А нам хочеться, щоби були – однакові. Що ж, у разі бажання цілком здійсненне!) Тому, що:

9 х = (3 2) х = 3 2х

За тими ж правилами дій зі ступенями:

3 2х +4 = 3 2х · 3 4

Ось і добре, можна записати:

3 2х · 3 4 - 11 · 3 2х = 210

Ми навели приклад до однакових підстав. І що далі!? Трійки не можна викидати... Тупик?

Зовсім ні. Запам'ятовуємо найуніверсальніше і найпотужніше правило рішення всіхматематичних завдань:

Не знаєш, що потрібно – роби, що можна!

Дивишся, все й утворюється.

Що в цьому показовому рівнянні можна, можливозробити? Та в лівій частині прямо проситься винесення за дужки! Загальний множник 3-х явно натякає на це. Спробуємо, а далі буде видно:

3 2х (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Приклад стає все краще та краще!

Згадуємо, що для ліквідації підстав нам необхідний чистий ступінь, без жодних коефіцієнтів. Нам число 70 заважає. Ось і ділимо обидві частини рівняння на 70, отримуємо:

Оп-па! Все налагодилося!

Це остаточна відповідь.

Трапляється, однак, що вирулювання на однакові підстави виходить, а ось їх ліквідація – ніяк. Таке буває у показових рівняннях іншого типу. Освоїмо цей тип.

Заміна змінної у вирішенні показових рівнянь. приклади.

Розв'яжемо рівняння:

4 х - 3 · 2 х +2 = 0

Спочатку – як завжди. Переходимо до однієї основи. До двійки.

4 х = (2 2) х = 2 2х

Отримуємо рівняння:

2 2х - 3 · 2 х +2 = 0

А ось тут і зависнемо. Попередні прийоми не спрацюють, як не крутись. Прийде діставати з арсеналу ще один могутній і універсальний спосіб. Називається він заміна змінної.

Суть способу проста напрочуд. Замість одного складного значка (у нашому випадку – 2 х) пишемо інший, простіше (наприклад – t). Така, здавалося б, безглузда заміна призводить до потрясних результатів!) Просто все стає зрозумілим!

Отже, нехай

Тоді 2 2х = 2 х2 = (2 х) 2 = t 2

Замінюємо в нашому рівнянні всі ступені з іксами на t:

Ну що, осяює?) Квадратні рівняння не забули ще? Вирішуємо через дискримінант, отримуємо:

Тут, головне, не зупинятися, як буває... Це ще не відповідь, нам потрібен ікс, а не t. Повертаємося до іксів, тобто. робимо зворотну заміну. Спочатку для t 1:

Стало бути,

Один корінь знайшли. Шукаємо другий, з t 2:

Гм... Зліва 2 х, праворуч 1... Проблема? Та ні! Досить (з дій зі ступенями, так ...), що одиниця - це будь-якечисло в нульовому ступені. Будь-яке. Яке треба, таке й поставимо. Нам потрібна двійка. Значить:

Ось тепер все. Отримали 2 корені:

Це відповідь.

При розв'язанні показових рівняньнаприкінці іноді виходить якийсь незручний вираз. Типу:

З сімки двійка через простий ступінь не виходить. Чи не родичі вони... Як тут бути? Хтось, може, й розгубиться... А ось людина, яка прочитала на цьому сайті тему "Що таке логарифм?" , тільки скупо усміхнеться і запише твердою рукою цілком вірну відповідь:

Такої відповіді у завданнях "В" на ЄДІ бути не може. Там конкретне число потрібне. А ось у завданнях "С" – запросто.

У цьому уроці наведено приклади розв'язання найпоширеніших показових рівнянь. Виділимо головне.

Практичні поради:

1. Насамперед дивимося на основиступенів. Розуміємо, чи не можна їх зробити однаковими.Пробуємо це зробити, активно використовуючи дії зі ступенями.Не забуваємо, що числа без іксів теж можна перетворювати на міру!

2. Пробуємо привести показове рівняння до виду, коли ліворуч і праворуч стоять однаковічисла в яких завгодно ступенях. Використовуємо дії зі ступенямиі розкладання на множники.Те, що можна порахувати в числах - вважаємо.

3. Якщо друга рада не спрацювала, пробуємо застосувати заміну змінної. У результаті може вийти рівняння, яке легко вирішується. Найчастіше – квадратне. Або дробове, що теж зводиться до квадратного.

4. Для успішного розв'язання показових рівнянь треба ступеня деяких чисел знати "на обличчя".

Як завжди, наприкінці уроку вам пропонується трохи вирішити.) Самостійно. Від простого – до складного.

Розв'язати показові рівняння:

Складніше:

2 х+3 - 2 х+2 - 2 х = 48

9 х - 8 · 3 х = 9

2 х - 2 0,5 х +1 - 8 = 0

Знайти твір коріння:

2 3-х + 2 х = 9

Вийшло?

Ну тоді найскладніший приклад(вирішується, щоправда, в умі...):

7 0.13х + 13 0,7 х +1 + 2 0,5 х +1 = -3

Що вже цікавіше? Тоді ось вам злий приклад. Цілком тягне на підвищену трудність. Нам'якну, що в цьому прикладі рятує кмітливість і найуніверсальніше правило вирішення всіх математичних завдань.)

2 5х-1 · 3 3х-1 · 5 2х-1 = 720 х

Приклад простіше, для відпочинку):

9 · 2 х - 4 · 3 х = 0

І на десерт. Знайти суму коренів рівняння:

х·3 х - 9х + 7·3 х - 63 = 0

Так Так! Це рівняння змішаного типу! Які ми у цьому уроці не розглядали. А що їх розглядати, їх вирішувати треба!) Цього уроку цілком достатньо для вирішення рівняння. Ну і, кмітливість потрібна... І хай допоможе вам сьомий клас (це підказка!).

Відповіді (безладно, через точку з комою):

1; 2; 3; 4; рішень немає; 2; -2; -5; 4; 0.

Все вдало? Чудово.

Є проблеми? Не питання! У Особливому розділі 555 усі ці показові рівняння вирішуються з докладними поясненнями. Що навіщо і чому. Ну і, звичайно, там є додаткова цінна інформація щодо роботи з усілякими показовими рівняннями. Не лише з цими.)

Останнє цікаве питання на міркування. На цьому уроці ми працювали з показовими рівняннями. Чому я тут жодного слова не сказав про ОДЗ?В рівняннях - це дуже важлива штука, між іншим.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Лекція: «Методи розв'язання показових рівнянь».

1 . Показові рівняння.

Рівняння, що містять невідомі показники ступеня, називаються показовими рівняннями. Найпростішим є рівняння аx = b, де а > 0, а ≠ 1.

1) При b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) При b > 0 використовуючи монотонність функції та теорему про корені, рівняння має єдиний корінь. Для того, щоб його знайти, треба b уявити у вигляді b = aс, а x = bс o x = c або x = logab.

Показові рівняння шляхом алгебраїчних перетворень призводять до стандартних рівнянь, які вирішуються, використовуючи такі методи:

1) метод приведення до однієї основи;

2) метод оцінки;

3) графічний метод;

4) метод запровадження нових змінних;

5) метод розкладання на множники;

6) показово – статечні рівняння;

7) показові з параметром.

2 . Метод приведення до однієї основи.

Спосіб заснований на наступній властивості ступенів: якщо рівні два ступені і рівні їх основи, то рівні та їх показники, тобто рівняння треба спробувати звести до вигляду

приклади. Вирішити рівняння:

1 . 3x = 81;

Представимо праву частину рівняння у вигляді 81 = 34 і запишемо рівняння, що дорівнює вихідному 3 x = 34; x = 4. Відповідь: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">і перейдемо до рівняння для показників ступенів 3x +1 = 3 - 5x; 8x = 4; x = 0,5 Відповідь: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Зауважимо, що числа 0,2, 0,04, √5 і 25 є ступенем числа 5. Скористаємося цим і перетворимо вихідне рівняння наступним чином:

, звідки 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, з якого знаходимо рішення x = -1. Відповідь: -1.

5. 3x = 5. За визначенням логарифму x = log35. Відповідь: log35.

6. 62x +4 = 33x. 2x+8.

Перепишемо рівняння у вигляді 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, тобто png. 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Використовуючи властивості ступенів, запишемо рівняння у вигляді 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 далі 3∙3x = 9, 3x+1 = 32 , т.е. е. x+1 = 2, x =1. Відповідь: 1.

Банк завдань №1.

Вирішити рівняння:

Тест №1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
А2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
А3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) коріння немає
	1) 7;1 2) коріння немає 3) -7;1 4) -1;-7
А5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
А6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Тест №2

А1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
А2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
А3	1) 2;-1 2) коріння немає 3) 0 4) -2;1
А4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
А5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Метод оцінки.

Теорема про коріння: якщо функція f(x) зростає (зменшується) на проміжку I, число а – будь-яке значення, що приймається f на цьому проміжку, тоді рівняння f(x) = а має єдиний корінь на проміжку I.

При вирішенні рівнянь методом оцінки використовується ця теорема та властивості монотонності функції.

приклади. Розв'язати рівняння: 1. 4x = 5 - x.

Рішення. Перепишемо рівняння у вигляді 4x+x=5.

1. якщо x = 1, то 41+1 = 5 , 5 = 5 правильно, отже 1 – корінь рівняння.

Функція f(x) = 4x – зростає на R, і g(x) = x –зростає на R => h(x)= f(x)+g(x) зростає на R як сума зростаючих функцій, значить x = 1 – єдиний корінь рівняння 4x = 5 – x. Відповідь: 1.

2.

Рішення. Перепишемо рівняння у вигляді .

1. якщо x = -1, то , 3 = 3-вірно, отже x = -1 - Корінь рівняння.

2. Доведемо, що він єдиний.

3. Функція f(x) = - зменшується на R, і g(x) = - x – зменшується на R=> h(x) = f(x)+g(x) – зменшується на R, як сума спадних функцій . Значить з теореми про корені, x = -1 – єдиний корінь рівняння. Відповідь: -1.

Банк завдань №2. Вирішити рівняння

а) 4x + 1 = 6 - x;

б)

в) 2x - 2 = 1 - x;

4. Метод запровадження нових змінних.

Метод описаний у п. 2.1. Введення нової змінної (підстановка) зазвичай провадиться після перетворень (спрощення) членів рівняння. Розглянемо приклади.

приклади. Рішити рівняння: 1. .

Перепишемо рівняння інакше: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src=">т. е..png" width="210" height = "45">

Рішення. Перепишемо рівняння інакше:

Позначимо - не підходить.

t = 4 => ірраціональне рівняння. Зазначаємо, що

Рішенням рівняння є x = 2,5 ≤ 4, отже 2,5 – корінь рівняння. Відповідь: 2,5.

Рішення. Перепишемо рівняння у вигляді та розділимо його обидві частини на 56x+6 ≠ 0. Отримаємо рівняння

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, т.." width="118" height="56">

Коріння квадратного рівняння- t1 = 1 і t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Рішення . Перепишемо рівняння у вигляді

і зауважимо, що є однорідним рівнянням другого ступеня.

Розділимо рівняння на 42x, отримаємо

Замінимо https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Відповідь: 0; 0,5.

Банк завдань №3. Вирішити рівняння

б)

г)

Тест №3 із вибором відповіді. Мінімальний рівень.

А1	1) -0,2; 2 2) log52 3) -log52 4) 2
А2 0,52 x - 3 0,5 x +2 = 0.	1) 2; 1 2) -1; 0 3) коріння немає 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
А4 52x-5x – 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) коріння немає 2) 2; 4 3) 3 4) -1; 2

Тест №4 із вибором відповіді. Загальний рівень.

А1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x - (0,5) 2x - (0,5) x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
А5	1) 0 2) 1 3) 0; 1 4) коріння немає

5. Метод розкладання на множники.

1. Розв'яжіть рівняння: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Рішення..png" width="169" height="69"> , звідки

2. 6x+6x+1=2x+2x+1+2x+2.

Рішення. Винесемо за дужки у лівій частині рівняння 6x, а правій частині – 2x. Отримаємо рівняння 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Так як 2x >0 при всіх x можна обидві частини цього рівняння розділити на 2x, не побоюючись при цьому втрати рішень. Отримаємо 3x = 1 ó x = 0.

3.

Рішення. Розв'яжемо рівняння методом розкладання на множники.

Виділимо квадрат двочлена

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 - Корінь рівняння.

Рівняння x + 1 = 0 "border-collapse:collapse;border:none">

А1 5x-1+5x-5x+1=-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

А2 3x +1 +3x-1 = 270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

А3 32x + 32x +1 -108 = 0. x = 1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

А5 2x-2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Тест №6 Загальний рівень.

А1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1; 3 4) 0,2
А2	1) 2,5 2) 3; 4 3) log43/2 4) 0
А3 2x-1-3x = 3x-1-2x +2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
А4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
А5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Показово – статечні рівняння.

До показових рівнянь примикають звані показово – статечні рівняння, т. е. рівняння виду (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Якщо відомо, що f(x)>0 та f(x) ≠ 1, то рівняння, як і показове, вирішується прирівнюванням показників g(x) = f(x).

Якщо умовою не виключається можливість f(x)=0 і f(x)=1, то доводиться розглядати й ці випадки під час вирішення показово – статечного рівняння.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Рішення. x2 +2x-8 – має сенс за будь-яких x, тому що багаточлен, значить рівняння рівносильне сукупності

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

б)

7. Показові рівняння параметрів.

1. При яких значеннях параметра p рівняння 4 (5 – 3)  2 +4p2–3p = 0 (1) має єдине рішення?

Рішення. Введемо заміну 2x = t, t > 0, тоді рівняння (1) набуде вигляду t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Дискримінант рівняння (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Рівняння (1) має єдине рішення, якщо рівняння (2) має позитивний корінь. Це можливо у таких випадках.

1. Якщо D = 0, тобто p = 1, тоді рівняння (2) набуде вигляду t2 – 2t + 1 = 0, звідси t = 1, отже, рівняння (1) має єдине рішення x = 0.

2. Якщо p1, то 9(p – 1)2 > 0, тоді рівняння (2) має два різні корені t1 = p, t2 = 4p – 3. Умовою задачі задовольняє сукупність систем

Підставляючи t1 та t2 у системи, маємо

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Рішення. Нехай тоді рівняння (3) набуде вигляду t2 – 6t – a = 0. (4)

Знайдемо значення параметра a, за яких хоча б один корінь рівняння (4) задовольняє умову t > 0.

Введемо функцію f(t) = t2 – 6t – a. Можливі такі випадки.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Випадок 2. Рівняння (4) має єдине позитивне рішення, якщо

D = 0, якщо a = – 9, тоді рівняння (4) набуде вигляду (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Випадок 3. Рівняння (4) має два корені, але один із них не задовольняє нерівності t > 0. Це можливо, якщо

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Таким чином, при a 0 рівняння (4) має єдиний позитивний корінь . Тоді рівняння (3) має єдине рішення

При a< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

якщо a< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
якщо a = - 9, то x = - 1;

якщо a  0, то

Порівняємо способи розв'язання рівнянь (1) та (3). Зазначимо, що при вирішенні рівняння (1) було зведено до квадратного рівняння дискримінант якого - повний квадрат; тим самим коріння рівняння (2) відразу було обчислено за формулою коренів квадратного рівняння, а далі щодо цього коріння було зроблено висновки. Рівняння (3) було зведено до квадратного рівняння (4), дискримінант якого не є повним квадратом, Тому при вирішенні рівняння (3) доцільно використовувати теореми про розташування коренів квадратного тричлена та графічну модель. Зауважимо, що рівняння (4) можна розв'язати, використовуючи теорему Вієта.

Вирішимо складніші рівняння.

Завдання 3. Розв'яжіть рівняння

Рішення. ОДЗ: x1, x2.

Введемо заміну. Нехай 2x = t, t > 0, тоді в результаті перетворень рівняння набуде вигляду t2 + 2t – 13 – a = 0. (*)Знайдемо значення a, за яких хоча б один корінь рівняння (*) задовольняє умові t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Відповідь: якщо a > – 13, a  11, a  5, то якщо a – 13,

a = 11, a = 5, то коріння немає.

Список використаної літератури.

1. Гузєєва основи освітньої технології.

2. Гузєєва технологія: від прийому до філософії.

М. "Директор школи" № 4, 1996 р.

3. Гузєєв та організаційні форминавчання.

4. Гузєєв та практика інтегральної освітньої технології.

М. "Народна освіта", 2001 р.

5. Гузєєв із форм уроку – семінару.

Математика у школі №2, 1987 р. с.9 – 11.

6. Селевка освітні технології.

М. «Народна освіта», 1998

7. Єпішева школярів навчаються математики.

М. "Освіта", 1990 р.

8. Іванова підготувати уроки – практикуми.

Математика у школі №6, 1990 р. с. 37 - 40.

9. Смирнова модель навчання математики.

Математика у школі №1, 1997 р. с. 32 – 36.

10. Тарасенко способи організації практичної роботи.

Математика у школі №1, 1993 р. с. 27 - 28.

11. Про один із видів індивідуальної роботи.

Математика у школі №2, 1994 р. с.63 – 64.

12. Хазанкін творчі здібностішколярів.

Математика у школі №2, 1989 р. с. 10.

13. Сканаві. Видавець, 1997 р.

14. та ін Алгебра та початку аналізу. Дидактичні матеріалидля

15. Кривоногов завдання з математики.

М. «Перше вересня», 2002 р.

16. Черкаси. Довідник для старшокласників та

вступників до вузів. «АСТ - прес школа», 2002 р.

17. Жевняк для вступників до вузів.

Мінськ І РФ «Огляд», 1996 р.

18. Письмовий Д. Готуємося до іспиту з математики. М. Рольф, 1999 р.

19. та ін. Вчимося вирішувати рівняння та нерівності.

М. "Інтелект - Центр", 2003 р.

20. та ін. Навчально – тренувальні матеріалидля підготовки до ЕГЕ.

М. «Інтелект – центр», 2003 р. та 2004 р.

21 та ін. Варіанти КІМ. Центр тестування МО РФ, 2002, 2003р.

22. Гольдберг рівняння. "Квант" №3, 1971 р.

23. Волович М. Як успішно навчати математики.

Математика, 1997 р. №3.

24 Окунів за урок, діти! М. Просвітництво, 1988

25. Якиманська – орієнтоване навчання у школі.

26. Лійметс робота на уроці. М. Знання, 1975 р.

На канал на youtube нашого сайту сайт, щоб бути в курсі всіх нових уроків відео.

Для початку згадаємо основні формули ступенів та їх властивості.

Добуток числа aсаме на себе відбувається n разів, цей вираз ми можемо записати як a a … a = a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Ступінні чи показові рівняння– це рівняння у яких змінні перебувають у ступенях (чи показниках), а основою є число.

Приклади показових рівнянь:

У даному прикладічисло 6 є основою воно завжди стоїть унизу, а змінна xступенем чи показником.

Наведемо приклади показових рівнянь.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6 = 0

Тепер розберемо, як вирішуються показові рівняння?

Візьмемо просте рівняння:

2 х = 2 3

Такий приклад можна вирішити навіть у думці. Видно, що x = 3. Адже щоб ліва і права частина дорівнювали потрібно замість x поставити число 3.
А тепер подивимося як потрібно це рішення оформити:

2 х = 2 3
х = 3

Для того щоб вирішити таке рівняння, ми прибрали однакові підстави(тобто двійки) і записали те, що залишилося, це ступеня. Отримали відповідь.

Тепер підіб'ємо підсумки нашого рішення.

Алгоритм розв'язання показового рівняння:
1. Потрібно перевірити однаковічи підстави у рівняння праворуч і ліворуч. Якщо підстави не однакові, шукаємо варіанти для вирішення даного прикладу.
2. Після того, як підстави стануть однаковими, прирівнюємоступеня і вирішуємо отримане нове рівняння.

Тепер вирішуємо кілька прикладів:

Почнемо із простого.

Підстави в лівій і правій частині дорівнюють числу 2, отже ми можемо підставу відкинути і прирівняти їх ступеня.

x+2=4 Вийшло найпростіше рівняння.
x = 4 - 2
x=2
Відповідь: x=2

У прикладі видно, що підстави різні це 3 і 9.

3 3х - 9 х +8 = 0

Для початку переносимо дев'ятку праворуч, отримуємо:

Тепер потрібно зробити однакові підстави. Ми знаємо що 9 = 3 2 . Скористаємося формулою ступенів (a n) m = a nm.

3 3х = (3 2) х+8

Отримаємо 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 тепер видно що у лівій і правій стороні основи однакові та рівні трійці, отже ми їх можемо відкинути та прирівняти ступеня.

3x=2x+16 отримали найпростіше рівняння
3x - 2x = 16
x=16
Відповідь: x = 16.

Дивимося такий приклад:

2 2х + 4 - 10 4 х = 2 4

Насамперед дивимося на підстави, підстави різні два та чотири. А нам треба, щоб були однакові. Перетворюємо четвірку за формулою (a n) m = a nm.

4 х = (2 2) х = 2 2х

І ще використовуємо одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Додаємо до рівняння:

2 2х 2 4 - 10 2 2х = 24

Ми навели приклад до однакових підстав. Але нам заважають інші числа 10 та 24. Що з ними робити? Якщо придивитися видно, що в лівій частині у нас повторюється 2 2х, ось і відповідь - 2 2х ми можемо винести за дужки:

2 2х (2 4 - 10) = 24

Порахуємо вираз у дужках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Усі рівняння ділимо на 6:

Представимо 4 = 2 2:

2 2х = 2 2 основи однакові, відкидаємо їх і прирівнюємо ступеня.
2х = 2 вийшло найпростіше рівняння. Ділимо його на 2 отримуємо
х = 1
Відповідь: х = 1.

Розв'яжемо рівняння:

9 х - 12 * 3 х +27 = 0

Перетворюємо:
9 х = (3 2) х = 3 2х

Отримуємо рівняння:
3 2х - 12 3 х +27 = 0

Підстави у нас однакові рівні трьом. У даному прикладі видно, що у першої трійки ступінь у два рази (2x) більший, ніж у другої (просто x). У такому випадку можна вирішити методом заміни. Число з найменшим ступенем замінюємо:

Тоді 3 2х = (3 х) 2 = t 2

Замінюємо в рівнянні всі ступені з іксами на t:

t 2 - 12t + 27 = 0
Отримуємо квадратне рівняння. Вирішуємо через дискримінант, отримуємо:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3

Повертаємось до змінної x.

Беремо t 1:
t 1 = 9 = 3 х

Стало бути,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Один корінь знайшли. Шукаємо другий, з t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Відповідь: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайті Ви можете в розділі ДОПОМОЖІТЬ ВИРІШИТИ ставити запитання, що цікавлять, ми Вам обов'язково відповімо.

Вступайте до групи

Рішення більшості математичних завдань однак пов'язані з перетворенням числових, алгебраїчних чи функціональних выражений. Сказане особливо належить до рішення. У варіантах ЄДІ з математики такого типу завдань відноситься, зокрема, завдання C3. Навчитися вирішувати завдання C3 важливо не лише з метою успішної здачіЄДІ, але й з тієї причини, що це вміння знадобиться щодо курсу математики у вищій школі.

Виконуючи завдання C3, доводиться вирішувати різні видирівнянь та нерівностей. Серед них — раціональні, ірраціональні, показові, логарифмічні, тригонометричні модулі (абсолютні величини), що містять, а також комбіновані. У цій статті розглянуто основні типи показових рівнянь та нерівностей, а також різні методи їх вирішення. Про розв'язання інших видів рівнянь та нерівностей читайте в рубриці « » у статтях, присвячених методам розв'язання задач C3 з варіантів ЄДІз математики.

Перш ніж приступити до розбору конкретних показових рівнянь та нерівностей, як репетитор з математики, пропоную вам освіжити у пам'яті деякий теоретичний матеріал, що нам знадобиться.

Показова функція

Що таке показова функція?

Функцію виду y = a x, де a> 0 та a≠ 1, називають показовою функцією.

Основні властивості показової функції y = a x:

Графік показової функції

Графіком показової функції є експонента:

Графіки показових функцій (експоненти)

Розв'язання показових рівнянь

Показовиминазиваються рівняння, у яких невідома змінна перебуває лише показниках будь-яких ступенів.

Для вирішення показових рівняньпотрібно знати та вміти використовувати наступну нескладну теорему:

Теорема 1.Показове рівняння a f(x) = a g(x) (де a > 0, a≠ 1) рівносильно рівнянню f(x) = g(x).

Крім цього, корисно пам'ятати про основні формули та дії зі ступенями:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

приклад 1.Розв'яжіть рівняння:

Рішення:використовуємо наведені вище формули та підстановку:

Рівняння тоді набуває вигляду:

Дискримінант отриманого квадратного рівняння позитивний:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Це означає, що це рівняння має два корені. Знаходимо їх:

Переходячи до зворотної підстановки, отримуємо:

Друге рівняння коренів немає, оскільки показова функція суворо позитивна по всій області визначення. Вирішуємо друге:

З урахуванням сказаного в теоремі 1 переходимо до еквівалентного рівняння: x= 3. Це буде відповіддю до завдання.

Відповідь: x = 3.

приклад 2.Розв'яжіть рівняння:

Рішення:обмежень на область допустимих значень у рівняння немає, оскільки підкорене вираз має сенс за будь-якого значення x(Показова функція y = 9 4 -xпозитивна і не дорівнює нулю).

Вирішуємо рівняння шляхом рівносильних перетворень з використанням правил множення та поділу ступенів:

Останній перехід було здійснено відповідно до теореми 1.

Відповідь:x= 6.

приклад 3.Розв'яжіть рівняння:

Рішення:обидві частини вихідного рівняння можна поділити на 0,2 x. Цей перехід буде рівносильним, оскільки цей вираз більше нуля за будь-якого значення x(Показова функція суворо позитивна у своїй області визначення). Тоді рівняння набуває вигляду:

Відповідь: x = 0.

приклад 4.Розв'яжіть рівняння:

Рішення:спрощуємо рівняння до елементарного шляхом рівносильних перетворень з використанням наведених на початку статті правил поділу та множення ступенів:

Розподіл обох частин рівняння на 4 x, як і в попередньому прикладі, є рівносильним перетворенням, оскільки даний вираз не дорівнює нулю за жодних значень x.

Відповідь: x = 0.

Приклад 5.Розв'яжіть рівняння:

Рішення:функція y = 3x, що стоїть у лівій частині рівняння, є зростаючою. Функція y = —x-2/3, що стоїть у правій частині рівняння, є спадною. Це означає, що якщо графіки цих функцій перетинаються, то не більше, ніж в одній точці. У даному випадкуневажко здогадатися, що графіки перетинаються у точці x= -1. Іншого коріння не буде.

Відповідь: x = -1.

Приклад 6.Розв'яжіть рівняння:

Рішення:спрощуємо рівняння шляхом рівносильних перетворень, маючи на увазі скрізь, що показова функція строго більша за нуль за будь-якого значення xта використовуючи правила обчислення твору та приватного ступенів, наведені на початку статті:

Відповідь: x = 2.

Вирішення показових нерівностей

Показовиминазиваються нерівності, у яких невідома змінна міститься лише у показниках будь-яких ступенів.

Для вирішення показових нерівностейпотрібно знання наступної теореми:

Теорема 2.Якщо a> 1, то нерівність a f(x) > a g(x) рівносильно нерівності того ж сенсу: f(x) > g(x). Якщо 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) рівносильно нерівності протилежного сенсу: f(x) < g(x).

Приклад 7.Розв'яжіть нерівність:

Рішення:представимо вихідну нерівність у вигляді:

Розділимо обидві частини цієї нерівності на 3 2 x, при цьому (через позитивність функції y= 3 2x) знак нерівності не зміниться:

Скористаємося підстановкою:

Тоді нерівність набуде вигляду:

Отже, розв'язанням нерівності є проміжок:

переходячи до зворотної підстановки, отримуємо:

Ліва нерівність через позитивність показової функції виконується автоматично. Скориставшись відомою властивістю логарифму, переходимо до еквівалентної нерівності:

Оскільки на підставі ступеня стоїть число, більше одиниці, еквівалентним (за теоремою 2) буде перехід до наступної нерівності:

Отже, остаточно отримуємо відповідь:

Приклад 8.Розв'яжіть нерівність:

Рішення:використовуючи властивості множення та поділу ступенів, перепишемо нерівність у вигляді:

Введемо нову змінну:

З урахуванням цієї підстановки нерівність набуває вигляду:

Помножимо чисельник і знаменник дробу на 7, отримуємо наступну рівносильну нерівність:

Отже, нерівності задовольняють такі значення змінної t:

Тоді, переходячи до зворотної підстановки, отримуємо:

Оскільки основа ступеня тут більше одиниці, рівносильним (за теоремою 2) буде перехід до нерівності:

Остаточно отримуємо відповідь:

Приклад 9.Розв'яжіть нерівність:

Рішення:

Ділимо обидві частини нерівності на вираз:

Воно завжди більше нуля (через позитивність показової функції), тому знак нерівності змінювати не потрібно. Отримуємо:

t , що у проміжку:

Переходячи до зворотної підстановки отримуємо, що вихідна нерівність розпадається на два випадки:

Перша нерівність рішень немає з позитивності показової функції. Вирішуємо друге:

приклад 10.Розв'яжіть нерівність:

Рішення:

Гілки параболи y = 2x+2-x 2 спрямовані вниз, отже вона обмежена зверху значенням, яке вона досягає у своїй вершині:

Гілки параболи y = x 2 -2x+2, що стоїть у показнику, спрямовані вгору, значить вона обмежена знизу значенням, яке вона досягає у своїй вершині:

Разом з цим обмеженою знизу виявляється і функція y = 3 x 2 -2x+2 , що стоїть у правій частині рівняння. Вона досягає свого найменшого значенняв тій же точці, що і парабола, що стоїть у показнику, і це значення дорівнює 3 1 = 3. Отже, вихідна нерівність може виявитися вірною тільки в тому випадку, якщо функція зліва і функція справа приймають в одній точці значення, що дорівнює 3 (перетином) областей значень цих функцій є лише це число). Ця умова виконується в єдиній точці x = 1.

Відповідь: x= 1.

Для того щоб навчитися вирішувати показові рівняння та нерівності,необхідно постійно тренуватися у вирішенні. У цій нелегкій справі вам можуть допомогти різні методичні посібники, задачники з елементарної математики, збірники конкурсних завдань, заняття з математики у школі, а також Індивідуальні заняттяз професійним репетитором. Щиро бажаю вам успіхів у підготовці та блискучих результатів на іспиті.

Сергій Валерійович

P. S. Шановні гості! Будь ласка, не пишіть у коментарях заявки на вирішення ваших рівнянь. На жаль, на це в мене немає часу. Такі повідомлення будуть видалені. Будь ласка, ознайомтеся із статтею. Можливо, у ній ви знайдете відповіді питання, які дозволили вам вирішити своє завдання самостійно.