Похідна 5x 4. Похідна e у ступені x та показової функції

Висновок формули похідної статечної функції (x у ступені a). Розглянуто похідні від коренів із x. Формула похідної статечної функції вищого порядку. Приклади обчислення похідних.

Похідна від x у ступені a дорівнює a , помноженому на x у ступені a мінус один:
(1) .

Похідна від кореня ступеня n з x до ступеня m дорівнює:
(2) .

Висновок формули похідної статечної функції

Випадок x > 0

Розглянемо статечну функцію від змінної x з показником ступеня a:
(3) .
Тут a є довільним дійсним числом. Спочатку розглянемо випадок.

Щоб знайти похідну функції (3), скористаємось властивостями статечної функції та перетворюємо її до наступного виду:
.

Тепер знаходимо похідну, застосовуючи:
;
.
Тут.

Формулу (1) доведено.

Висновок формули похідної від кореня ступеня n з x до ступеня m

Тепер розглянемо функцію, що є коренем такого виду:
(4) .

Щоб знайти похідну, перетворимо корінь до статечної функції:
.
Порівнюючи з формулою (3) бачимо, що
.
Тоді
.

За формулою (1) знаходимо похідну:
(1) ;
;
(2) .

Насправді немає необхідності запам'ятовувати формулу (2). Набагато зручніше спочатку перетворити коріння до статечних функцій, а потім знаходити їх похідні, застосовуючи формулу (1) (див. приклади наприкінці сторінки).

Випадок x = 0

Якщо , то статечна функція визначена при значенні змінної x = 0 . Знайдемо похідну функції (3) при x = 0 . Для цього скористаємося визначенням похідної:
.

Підставимо x = 0 :
.
При цьому під похідною ми розуміємо правосторонню межу, для якої .

Отже, ми знайшли:
.
Звідси видно, що з , .
При , .
При , .
Цей результат виходить і за формулою (1):
(1) .
Тому формула (1) справедлива і за x = 0 .

Випадок x< 0

Знову розглянемо функцію (3):
(3) .
При деяких значеннях постійної a вона визначена і при негативних значеннях змінної x . А саме, хай буде раціональним числом. Тоді його можна подати у вигляді нескоротного дробу:
,
де m і n – цілі числа, які не мають спільного дільника.

Якщо n непарне, то статечна функція визначена при негативних значеннях змінної x . Наприклад, при n = 3 та m = 1 ми маємо кубічний корінь з x :
.
Він і при негативних значеннях змінної x .

Знайдемо похідну статечної функції (3) при і при раціональних значеннях постійної a для яких вона визначена. Для цього представимо x у наступному вигляді:
.
Тоді ,
.
Знаходимо похідну, виносячи постійну за знак похідної та застосовуючи правило диференціювання складної функції:

.
Тут. Але
.
Оскільки , то
.
Тоді
.
Тобто формула (1) справедлива і при:
(1) .

Похідні вищих порядків

Тепер знайдемо похідні вищих порядків від статечної функції
(3) .
Похідну першого порядку ми вже знайшли:
.

Виносячи постійну a за знак похідної, знаходимо похідну другого порядку:
.
Аналогічним чином знаходимо похідні третього та четвертого порядків:
;

.

Звідси видно, що похідна довільного n-го порядкумає такий вигляд:
.

Зауважимо, що якщо a є натуральним числом, то n -я похідна є постійною:
.
Тоді всі наступні похідні дорівнюють нулю:
,
при .

Приклади обчислення похідних

приклад

Знайдіть похідну функції:
.

Рішення

Перетворюємо коріння до ступенів:
;
.
Тоді вихідна функція набуває вигляду:
.

Знаходимо похідні ступенів:
;
.
Похідна постійної дорівнює нулю:
.

Обчислення похідної часто зустрічається в завданнях ЄДІ. Ця сторінка містить список формул для знаходження похідних.

Правила диференціювання

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x).
4. Похідна складна функція. Якщо y=F(u), а u=u(x), то функція y=f(x)=F(u(x)) називається складною функцією від x. Рівна y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Похідна неявна функція. Функція y=f(x) називається неявною функцією, заданою співвідношенням F(x,y)=0, якщо F(x,f(x))≡0.
6. Похідна зворотної функції. Якщо g(f(x))=x, то функція g(x) називається зворотною функцією функції y=f(x).
7. Похідна параметрично заданої функції. Нехай x і y задані як функції змінної t: x=x(t), y=y(t). Говорять, що y=y(x) параметрично задана функція на проміжку x∈(a;b), якщо на цьому проміжку рівняння x=x(t) можна виразити у вигляді t=t(x) та визначити функцію y=y( t(x))=y(x).
8. Похідна статечно-показової функції. Знаходиться шляхом логарифмування на основі натурального логарифму.

Радимо зберегти посилання, оскільки ця таблиця може знадобитися ще багато разів.

додаток

Рішення похідної на сайт для закріплення пройденого матеріалу студентами та школярами. Обчислити похідну від функції за кілька секунд не представляється чимось складним, якщо використовувати наш сервіс у вирішенні завдань в режимі онлайн. Привести докладний аналіздокладному вивченню на практичному занятті зможе кожен третій студент. Найчастіше до нас звертається департамент відповідного відомства з просування математики навчальних закладахкраїни. Як у такому випадку не згадати про рішення похідної онлайн для замкнутого простору числових послідовностей. Висловити своє здивування дозволено багатьом заможним особам. Але між справою математики не сидять дома і багато працюють. Зміна вступних параметрів за лінійними характеристиками прийме похідних калькулятор в основному за рахунок супремумів низхідних позицій кубів. Результат неминучий як поверхню. Як початкові дані похідна онлайн виключає необхідність робити непотрібні дії. За винятком вигаданих домашніх робіт. Крім того, що рішення похідних онлайн потрібний і важливий аспект вивчення математики, студенти часто в минулому не пам'ятають завдань. Студент, як лінива істота, це розуміє. Але студенти - веселі люди! Або робити за правилами, або похідна функції в похилій площині може надати прискорення матеріальної точки. Кудись направимо вектор низхідного просторового променя. У відповіді знайти похідну здається абстрактним теоретичним напрямомчерез нестійкість математичної системи. Замислимося відношення чисел як послідовність варіантів, що не використовуються. Канал зв'язку поповнився п'ятою лінією по вектору спадання з точки замкнутого роздвоєння куба. На площині викривлених просторів рішення похідної онлайн призводить до висновку, який змусив задуматися в минулому столітті. найбільші умипланети. У курсі подій з галузі математики винесли на загальне обговорення п'ять принципово важливих факторів, що сприяють покращенню позиції вибору змінної. Ось і закон для точок говорить, що похідна онлайн докладно обчислюється не в кожному випадку, винятком може бути лише лояльно прогресуючий момент. Прогноз вивів нас на новий витокрозвитку. Потрібен результат. У лінію калькулятор похідних режиму, що пройшов під поверхню математичного нахилу, знаходяться в області перетину творів на безлічі вигину. Залишилося проаналізувати диференціювання функції у її незалежної точці при эпсилон-околиці. У цьому можна переконатись кожному на практиці. У результаті буде вирішувати на наступному етапі програмування. Студенту похідна онлайн потрібна як завжди незалежно від уявних досліджень, що практикуються. Виходить так, що помножена на константу функція рішення похідної онлайн не змінює загального напрямурух матеріальної точки, але характеризує збільшення швидкості по прямій. У цьому сенсі буде корисно застосувати наш похідний калькулятор і обчислити всі значення функції на всій кількості її визначення. Вивчати силові хвилі гравітаційного поля якраз немає потреби. У жодному разі рішення похідних онлайн не покаже нахилу вихідного променя, проте лише в окремих випадках, коли це дійсно необхідно, студенти ВНЗ можуть собі це уявити. Досліджуємо принципала. Значення найменшого ротора прогнозоване. Застосувати до результату ліній, що дивляться направо, за якими описується куля, але онлайн калькуляторпохідних це є основа для фігур особливої ​​міцності та нелінійної залежності. Звіт щодо проекту математики готовий. Особисті характеристики різниця найменших чиселі похідна функції по осі ординат виведе на висоту увігнутість тієї ж функції. Є напрямок – є висновок. Легше висунути теорію практично. Є пропозиція у студентів щодо термінів початку дослідження. Потрібен викладач відповідь. Знову, як і до попереднього положення, математична система не регульована на підставі дії, яка допоможе знайти похідну. Саме висунуто ідею з розрахунку формул. Лінійне диференціювання функції відхиляє істинність рішення про просте викладання недоречних позитивних варіацій. Важливість символів порівняння буде розцінена як суцільний розрив функції осі. У цьому полягає важливість самого усвідомленого висновку, на думку студента, у якому похідна онлайн є щось інше, ніж лояльний приклад мат аналізу. Радіус викривленого кола у просторі Евклідовому навпаки дав калькулятор похідних природному уявленню обміну рішучих завдань на стійкість. Найкращий метод знайдено. Було простіше ставити завдання до рівня вгору. Нехай застосування незалежної різницевої пропорції приведе рішення похідних онлайн. Крутиться розв'язання навколо осі абсцис, описуючи фігуру кола. Вихід є, і він заснований на теоретично підкріплених студентами ВНЗ дослідженнях, якими навчається кожен, і навіть у ті моменти часу існує похідна функції. Знайшли прогрес дорогу і студенти підтвердили. Ми можемо дозволити собі знайти похідну, не виходячи за межі неприродного підходу у перетворенні математичної системи. Лівий знак пропорційності зростає з геометричною послідовністю як математичне подання онлайн калькулятора похідних за рахунок невідомої обставини лінійних множників на нескінченній осі ординат. Математики всього світу довели винятковість виробничого процесу. Є найменший квадрат усередині кола з описом теорії. Знову похідна онлайн докладно висловить наше припущення про те, що могло б вплинути насамперед на теоретично вишукану думку. Були думки іншого характеру, ніж надана нами проаналізована доповідь. Окремої уваги може не трапитися зі студентами наших факультетів, але тільки не з розумними та просунутими в технологіях математиками, за яких диференціювання функції лише привід. Механічний сенс похідної дуже простий. Підйомна сила вираховується як похідна онлайн для неухильних просторів у часі, що сходять вгору. Свідомо калькулятор похідних суворий процес опису завдання на виродженість штучного перетворення як аморфного тіла. Перша похідна говорить про зміну руху матеріальної точки. Тривимірний простір очевидно спостерігається у розрізі зі спеціально навченими технологіями за рішення похідних онлайн, по суті це є в кожному колоквіумі на тему математичної дисципліни. Друга похідна характеризує зміну швидкості матеріальної точки та визначає прискорення. Меридіанний підхід на підставі використання афінного перетворення виводить на новий рівень похідну функції в точці області визначення цієї функції. Онлайн калькулятор похідних бути не може без чисел і символьних позначень у ряді випадків по правому моменту, що виконується, крім трансформованого розташування речей завдання. Дивно, але є друге прискорення матеріальної точки, це характеризує зміну прискорення. У короткий час почнемо вивчати рішення похідної онлайн, але як тільки буде досягнуто певного рубежу у знаннях, наш студент цей процес призупинить. Найкращим засобом для налагодження контактів є спілкування наживо на математичну тему. Є принципи, які не можна порушувати за жодних обставин, яким би складним не було поставлене завдання. Корисно знайти похідну онлайн вчасно та без помилок. Це призведе до нового положення математичного вираження. Система стійка. Фізичний змістпохідної не такий популярний, як механічний. Навряд чи хтось пам'ятає, як похідна онлайн докладно вивела на площині контур ліній функції в нормаль від трикутника, що прилягає до осі. На велику роль у дослідженнях минулого століття заслуговує людина. Зробимо в три елементарних етапи диференціювання функції в точках як з області визначення, так і на нескінченності. Буде в письмовій форміякраз у галузі дослідження, але може зайняти місце головного вектора в математиці та теорії чисел, як тільки те, що пов'яже онлайн калькулятор похідних при завданні. Була б причина, а привід скласти рівняння. Дуже важливо мати на увазі усі вхідні параметри. Найкраще не завжди приймається в лоб, за цим стоїть колосальна кількість трудових самих найкращих умов, які знали, як похідна онлайн вираховується у просторі. З того часу опуклість вважається властивістю безперервної функції. Все ж таки краще спочатку поставити завдання на рішення похідних онлайн в найкоротші терміни. Таким чином, рішення буде повним. Крім невиконаних норм, це не вважається достатнім. Спочатку висунути простий метод у тому, як похідна функції викликає спірний алгоритм нарощування, пропонує майже кожен студент. У напрямку висхідного променя. У цьому є сенс як у загальному становищі. Раніше наголошували на початку завершення конкретної математичної дії, а сьогодні буде навпаки. Можливо, рішення похідної онлайн порушить питання заново і ми ухвалимо спільну думку щодо його збереження на обговоренні зборів педагогів. Сподіваємось на розуміння з усіх боків учасниць зборів. Логічний зміст укладено при описі калькулятора похідних у резонансі чисел про послідовність викладу думки завдання, яку дали у минулому столітті великі вчені світу. Допоможе витягти з перетвореного виразу складну змінну та знайти похідну онлайн для виконання масової однотипної дії. Істина в рази краща припущення. Найменше значенняв тренді. Результат не змусить себе чекати при використанні унікального сервісу за найточнішим знаходженням, для якого є похідна суть онлайн докладно. Непрямо, але в точку, як сказав один мудрець, було створено онлайн калькулятор похідних на вимогу багатьох студентів із різних міст союзу. Якщо є різниця, то навіщо вирішувати двічі. Заданий векторлежить з одного боку з нормаллю. У середині минулого століття диференціювання функції сприймалося аж ніяк не як у наші дні. Завдяки розвитку у прогресі, з'явилася математика онлайн. З часом студенти забувають віддати належне математичним дисциплінам. Рішення похідної онлайн оскаржить нашу тезу по праву обґрунтовану на застосуванні теорії, підкріпленої практичними знаннями. Вийде за рамки існуючого значення презентаційного фактора і формулу запишемо у явному для функції вигляді. Буває так, що необхідно зараз знайти похідну онлайн без застосування будь-якого калькулятора, однак, завжди можна вдатися до хитрості студенту і все-таки скористатися таким сервісом як сайт. Тим самим учень заощадить багато часу на переписуванні з чорнового зошита приклади в чистовий бланк. Якщо немає протиріч, то застосовуйте сервіс покрокового розв'язання таких складних прикладів.

Початковий рівень

Похідна функції. Вичерпне керівництво (2019)

Уявімо пряму дорогу, що проходить по горбистій місцевості. Тобто вона йде то вгору, то вниз, але праворуч чи ліворуч не повертає. Якщо вісь направити вздовж дороги горизонтально, а вертикально, то лінія дороги буде дуже схожа на графік якоїсь безперервної функції:

Вісь - це певний рівень нульової висоти, в житті ми використовуємо як рівень моря.

Рухаючись вперед такою дорогою, ми також рухаємося вгору або вниз. Також можемо сказати: при зміні аргументу (просування вздовж осі абсцис) змінюється значення функції (рух вздовж осі ординат). А тепер давай подумаємо, як визначити «крутість» нашої дороги? Що може бути за величина? Дуже просто: на скільки зміниться висота під час просування вперед на певну відстань. Адже на різних ділянках дороги, просуваючись вперед (вздовж осі абсцис) на один кілометр, ми піднімемося або опустимося на різну кількість метрів щодо рівня моря (вздовж осі ординат).

Просування вперед позначимо (читається "дельта ікс").

Грецьку букву (дельта) в математиці зазвичай використовують як приставку, що означає зміну. Тобто – це зміна величини, – зміна; тоді що таке? Правильно, зміна величини.

Важливо: вираз – це єдине ціле, одна змінна. Ніколи не можна відривати «дельту» від «ікса» чи будь-якої іншої літери! Тобто, наприклад, .

Отже, ми просунулися вперед, по горизонталі, на. Якщо лінію дороги ми порівнюємо з графіком функції, як ми позначимо підйом? Звичайно, . Тобто, при просуванні вперед на ми піднімаємось вище.

Величину порахувати легко: якщо спочатку ми знаходилися на висоті, а після переміщення опинилися на висоті, то. Якщо кінцева точка виявилася нижчою за початкову, буде негативною - це означає, що ми не піднімаємося, а спускаємося.

Повернемося до «крутості»: це величина, яка показує, наскільки сильно (круто) збільшується висота при переміщенні вперед на одиницю відстані:

Припустимо, що на якійсь ділянці шляху під час просування на км дорога піднімається нагору на км. Тоді крутість у цьому місці дорівнює. А якщо дорога при просуванні на м опустилася на кілометр? Тоді крутість дорівнює.

А тепер розглянемо вершину якогось пагорба. Якщо взяти початок ділянки за півкілометра до вершини, а кінець через півкілометра після нього, видно, що висота практично однакова.

Тобто за нашою логікою виходить, що крутість тут майже дорівнює нулю, що явно не відповідає дійсності. Просто на відстані в кілометрах може багато чого змінитися. Потрібно розглядати більш маленькі ділянки для більш адекватної та точної оцінки крутості. Наприклад, якщо вимірювати зміну висоти при переміщенні на один метр, результат буде набагато точнішим. Але й цієї точності нам може бути недостатньо - адже якщо посеред дороги стоїть стовп, ми можемо просто проскочити. Яку відстань тоді виберемо? Сантиметр? Міліметр? Чим менше тим краще!

У реального життявимірювати відстань з точністю до міліметра - більш ніж достатньо. Але математики завжди прагнуть досконалості. Тому було вигадано поняття нескінченно малого, тобто величина по модулю менше за будь-яке число, яке тільки можемо назвати. Наприклад, ти скажеш: одна трильйонна! Куди менше? А ти поділи це число на - і буде ще менше. І так далі. Якщо хочемо написати, що величина нескінченно мала, пишемо так: (читаємо «ікс прагне нуля»). Дуже важливо розуміти, що це число не дорівнює нулю!Але дуже близько до нього. Це означає, що на нього можна ділити.

Поняття, протилежне нескінченно малому – нескінченно велике (). Ти вже напевно стикався з ним, коли займався нерівностями: це число за модулем більше за будь-яке число, яке тільки можеш придумати. Якщо ти придумав найбільше з можливих чисел, просто помнож його на два, і вийде ще більше. А нескінченність ще більша за те, що вийде. Фактично нескінченно велике і нескінченно мале обернені один одному, тобто при, і навпаки: при.

Тепер повернемось до нашої дороги. Ідеально порахована крутість - це куртизна, обчислена для нескінченно малого відрізка шляху, тобто:

Зауважу, що при нескінченно малому переміщенні зміна висоти теж буде нескінченно малою. Але нагадаю, нескінченно мале – не означає рівне нулю. Якщо поділити один на одного нескінченно малі числа, може вийти цілком звичайне число, наприклад . Тобто одна мала величина може бути рівно в рази більша за іншу.

Навіщо все це? Дорога, крутість... Адже ми не в автопробіг вирушаємо, а математику вчимо. А в математиці все так само, тільки називається по-іншому.

Поняття похідної

Похідна функції це відношення збільшення функції до збільшення аргументу при нескінченно малому збільшення аргументу.

Збільшенняму математиці називають зміну. Те, наскільки змінився аргумент () при просуванні вздовж осі, називається збільшенням аргументуі позначається Те, наскільки змінилася функція (висота) при просуванні вперед уздовж осі на відстань, називається збільшенням функціїта позначається.

Отже, похідна функції – це відношення до при. Позначаємо похідну тією ж літерою, що й функцію, тільки зі штрихом зверху праворуч: або просто. Отже, запишемо формулу похідної, використовуючи ці позначення:

Як і в аналогії з дорогою тут при зростанні функції похідна позитивна, а при зменшенні негативна.

А чи похідна буває дорівнює нулю? Звичайно. Наприклад, якщо ми їдемо рівною горизонтальною дорогою, крутість дорівнює нулю. І справді, висота ж не зовсім змінюється. Так і з похідною: похідна постійної функції (константи) дорівнює нулю:

оскільки збільшення такої функції дорівнює нулю за будь-якого.

Давай згадаємо приклад із вершиною пагорба. Там виходило, що можна так розташувати кінці відрізка по різні боки від вершини, що висота на кінцях виявляється однаковою, тобто відрізок розташовується паралельно до осі:

Але великі відрізки – ознака неточного виміру. Підніматимемо наш відрізок вгору паралельно самому собі, тоді його довжина буде зменшуватися.

Зрештою, коли ми будемо нескінченно близькі до вершини, довжина відрізка стане нескінченно малою. Але при цьому він залишився паралельний осі, тобто різниця висот на його кінцях дорівнює нулю (не прагне, а саме дорівнює). Значить, похідна

Зрозуміти це можна так: коли ми стоїмо на самій вершині, дрібне зміщення вліво чи вправо змінює нашу висоту мізерно мало.

Є й суто алгебраїчне пояснення: лівіше вершини функція зростає, а правіше - зменшується. Як ми вже з'ясували раніше, у разі зростання функції похідна позитивна, а при зменшенні - негативна. Але змінюється вона плавно, без стрибків (бо дорога ніде не змінює нахил різко). Тому між негативними та позитивними значеннями обов'язково має бути. Він і буде там, де функція не збільшується, не зменшується - у точці вершини.

Те саме справедливо і для западини (область, де функція зліва зменшується, а праворуч - зростає):

Трохи докладніше про збільшення.

Отже, ми змінюємо аргумент на величину. Змінюємо від якого значення? Яким він (аргумент) тепер став? Можемо вибрати будь-яку точку, і зараз від неї танцюватимемо.

Розглянемо точку з координатою. Значення функції у ній одно. Потім робимо те саме збільшення: збільшуємо координату на. Чому тепер рівний аргумент? Дуже легко: . А чому тепер дорівнює значення функції? Куди аргумент, туди та функція: . А що із збільшенням функції? Нічого нового: це, як і раніше, величина, на яку змінилася функція:

Потренуйся знаходити збільшення:

1. Знайди збільшення функції в точці при збільшенні аргументу, що дорівнює.
2. Те саме для функції в точці.

Рішення:

У різних точкахпри тому самому збільшенні аргументу збільшення функції буде різним. Значить, і похідна у кожній точці своя (це ми обговорювали на самому початку - крутість дороги у різних точках різна). Тому коли пишемо похідну, треба зазначати, в якій точці:

Ступінна функція.

Ступіньною називають функцію, де аргумент певною мірою (логічно, так?).

Причому - будь-якою мірою: .

Найпростіший випадок- це коли показник ступеня:

Знайдемо її похідну у точці. Згадуємо визначення похідної:

Отже, аргумент змінюється з до. Яке збільшення функції?

Приріст – це. Але функція у будь-якій точці дорівнює своєму аргументу. Тому:

Похідна дорівнює:

Похідна від рівна:

b) Тепер розглянемо квадратичну функцію (): .

А тепер згадаємо, що. Це означає, що значення приросту можна знехтувати, оскільки воно нескінченно мало, і тому незначно на тлі іншого доданку:

Отже, у нас народилося чергове правило:

c) Продовжуємо логічний ряд: .

Цей вираз можна спростити по-різному: розкрити першу дужку за формулою скороченого множення куб суми, або розкласти весь вираз на множники за формулою різниці кубів. Спробуй зробити це сам будь-яким із запропонованих способів.

Отже, у мене вийшло таке:

І знову пригадаємо, що. Це означає, що можна знехтувати всіма складовими, що містять:

Отримуємо: .

d) Аналогічні правила можна отримати і для більших ступенів:

e) Виявляється, це правило можна узагальнити для статечної функції з довільним показником, навіть не цілим:

(2)

Можна сформулювати правило словами: "ступінь виноситься вперед як коефіцієнт, а потім зменшується на".

Доведемо це правило пізніше (майже наприкінці). А зараз розглянемо кілька прикладів. Знайди похідну функцій:

1. (двома способами: за формулою та використовуючи визначення похідної - порахувавши збільшення функції);

1. . Не повіриш, але це статечна функція. Якщо у тебе виникли питання на кшталт «Як це? А де ж ступінь?», Згадуй тему «»!
   Так-так, корінь - це теж ступінь, лише дрібна: .
   Отже, наш квадратний корінь- це лише ступінь із показником:
   .
   Похідну шукаємо за нещодавно вивченою формулою:

   Якщо тут знову стало незрозуміло, повторюй тему « »!!! (Про ступінь з негативним показником)

2. . Тепер показник ступеня:

   А тепер через визначення (не забув ще?):
   ;
   .
   Тепер, як завжди, нехтуємо доданком, що містить:
   .

3. . Комбінація попередніх випадків: .

Тригонометричні функції.

Тут будемо використовувати один факт із вищої математики:

При виразі.

Доказ ти дізнаєшся на першому курсі інституту (а щоб там опинитися, треба добре здати ЄДІ). Зараз лише покажу це графічно:

Бачимо, що при функції не існує - точка на графіку виколота. Але що ближче до значення, то ближче функція до. Це і є те саме «прагне».

Додатково можна перевірити це правило за допомогою калькулятора. Так-так, не соромся, бери калькулятор, адже ми не на ЄДІ ще.

Отже, пробуємо: ;

Не забудь перевести калькулятор у режим Радіани!

і т.д. Бачимо, що чим менше, тим менше ближче значеннявідношення до.

a) Розглянемо функцію. Як завжди, знайдемо її збільшення:

Перетворимо різницю синусів на твір. І тому використовуємо формулу (згадуємо тему « »): .

Тепер похідна:

Зробимо заміну: . Тоді при нескінченно малому і нескінченно мало: . Вираз для набуває вигляду:

А тепер згадуємо, що при виразі. А також, що якщо нескінченно малою величиною можна знехтувати суму (тобто при).

Отже, отримуємо таке правило: похідна синуса дорівнює косінусу:

Це базові («табличні») похідні. Ось вони одним списком:

Пізніше ми до них додамо ще кілька, але ці найважливіші, оскільки використовуються найчастіше.

Потренуйся:

1. Знайди похідну функції у точці;
2. Знайди похідну функцію.

Рішення:

1. Спершу знайдемо похідну в загальному вигляді, а потім підставимо замість його значення:
   ;
   .
2. Тут у нас щось схоже на статечну функцію. Спробуємо привести її до
   нормальному вигляду:
   .
   Відмінно тепер можна використовувати формулу:
   .
   .
3. . Ееєєєє….. Що це????

Гаразд, ти маєш рацію, такі похідні знаходити ми ще не вміємо. Тут ми маємо комбінацію кількох типів функцій. Щоб працювати з ними, потрібно вивчити ще кілька правил:

Експонента та натуральний логарифм.

Є в математиці така функція, похідна якої за будь-якого дорівнює значенню самої функції при цьому. Називається вона «експонента» і є показовою функцією

Основа цієї функції - константа - це нескінченний десятковий дріб, тобто число ірраціональне (таке як). Його називають число Ейлера, тому і позначають буквою.

Отже, правило:

Запам'ятати дуже просто.

Ну і не будемо далеко ходити, одразу ж розглянемо зворотну функцію. Яка функція є зворотною для показової функції? Логарифм:

У нашому випадку основою є число:

Такий логарифм (тобто логарифм із основою) називається «натуральним», і для нього використовуємо особливе позначення: замість пишемо.

Чому дорівнює? Звичайно ж, .

Похідна від натурального логарифму теж дуже проста:

Приклади:

1. Знайди похідну функцію.
2. Чому дорівнює похідна функції?

Відповіді: Експонента та натуральний логарифм- Функції унікально прості з точки зору похідної. Показові та логарифмічні функції з будь-якою іншою основою будуть мати іншу похідну, яку ми з тобою розберемо пізніше, після того, як ми пройдемо правила диференціювання.

Правила диференціювання

Правила чого? Знову новий термін, знову?!

Диференціювання- Це процес знаходження похідної.

Тільки і всього. А як ще назвати цей процес одним словом? Не производнование ж... Диференціалом математики називають те саме збільшення функції при. Походить цей термін від латинського differentia - різниця. Ось.

При виведенні всіх цих правил використовуватимемо дві функції, наприклад, в. Нам знадобляться також формули їх прирощень:

Усього є 5 правил.

Константа виноситься за знак похідної.

Якщо – якесь постійне число (константа), тоді.

Очевидно, це правило працює і для різниці: .

Доведемо. Нехай, чи простіше.

приклади.

Знайдіть похідні функції:

1. у точці;
2. у точці;
3. у точці;
4. у точці.

Рішення:

1. (Похідна однакова у всіх точках, так як це лінійна функція, Пам'ятаєш?);

Похідна робота

Тут все аналогічно: введемо нову функцію і знайдемо її збільшення:

Похідна:

Приклади:

1. Знайдіть похідні функцій та;
2. Знайдіть похідну функцію в точці.

Рішення:

Похідна показової функції

Тепер твоїх знань достатньо, щоб навчитися знаходити похідну будь-якої показової функції, а не лише експоненти (не забув ще, що це таке?).

Отже, де – це якесь число.

Ми вже знаємо похідну функцію, тому давай спробуємо привести нашу функцію до нової основи:

Для цього скористаємося простим правилом: . Тоді:

Ну ось, вийшло. Тепер спробуй знайти похідну, і не забудь, що ця функція – складна.

Вийшло?

Ось, перевір себе:

Формула вийшла дуже схожа на похідну експоненти: як було, так і залишилося, з'явився лише множник, який є просто числом, але не змінною.

Приклади:
Знайди похідні функції:

Відповіді:

Це просто число, яке неможливо порахувати без калькулятора, тобто ніяк не записати до більш простому вигляді. Тому у відповіді його у такому вигляді і залишаємо.

Похідна логарифмічна функція

Тут аналогічно: ти вже знаєш похідну від натурального логарифму:

Тому, щоб знайти довільну від логарифму з іншою основою, наприклад:

Потрібно привести цей логарифм до основи. А як змінити основу логарифму? Сподіваюся, ти пам'ятаєш цю формулу:

Тільки тепер замість писатимемо:

У знаменнику вийшла просто константа (постійне число без змінної). Похідна виходить дуже просто:

Похідні показової та логарифмічної функцій майже не зустрічаються в ЄДІ, але не буде зайвим знати їх.

Похідна складна функція.

Що таке "складна функція"? Ні, це не логарифм і не арктангенс. Дані функції може бути складними для розуміння (хоча, якщо логарифм тобі здається складним, прочитай тему «Логарифми» і все пройде), але з точки зору математики слово «складна» не означає «важка».

Уяви собі маленький конвеєр: сидять дві людини і роблять якісь дії з якимись предметами. Наприклад, перший загортає шоколадку в обгортку, а другий обв'язує її стрічкою. Виходить такий складовий об'єкт: шоколадка, обгорнена та обв'язана стрічкою. Щоб з'їсти шоколадку, тобі потрібно зробити зворотні дії у зворотному порядку.

Давай створимо подібний математичний конвеєр: спочатку знаходитимемо косинус числа, а потім отримане число зводитимемо в квадрат. Отже, нам дають число (шоколадка), я знаходжу його косинус (обгортка), а ти потім зводиш те, що в мене вийшло, у квадрат (обв'язуєш стрічкою). Що вийшло? функція. Це і є приклад складної функції: коли для знаходження її значення ми робимо першу дію безпосередньо зі змінною, а потім ще другу дію з тим, що вийшло в результаті першого.

Ми цілком можемо робити ті ж дії і в зворотному порядку: спочатку ти зводиш у квадрат, а потім шукаю косинус отриманого числа: . Нескладно здогадатися, що результат майже завжди буде різним. Важлива особливістьскладних функцій: зміна порядку дій функція змінюється.

Іншими словами, складна функція – це функція, аргументом якої є інша функція: .

Для першого прикладу .

Другий приклад: (те саме). .

Дію, яку робимо останнім, називатимемо "зовнішньої" функцією, а дія, що чиниться першим - відповідно «внутрішньою» функцією(це неформальні назви, я їх вживаю лише для того, щоб пояснити матеріал простою мовою).

Спробуй визначити сам, яка функція є зовнішньою, а яка внутрішньою:

Відповіді:Поділ внутрішньої та зовнішньої функцій дуже схожий заміну змінних: наприклад, у функції

1. Першим виконуватимемо яку дію? Спершу порахуємо синус, а потім зведемо в куб. Отже, внутрішня функція, а зовнішня.
   А вихідна функція є їх композицією: .
2. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
3. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
4. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
5. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .

виконуємо заміну змінних та отримуємо функцію.

Ну що ж, тепер витягуватимемо нашу шоколадку - шукати похідну. Порядок дій завжди зворотний: спочатку шукаємо похідну зовнішньої функції, потім множимо результат на похідну внутрішньої функції. Стосовно вихідного прикладу це так:

Інший приклад:

Отже, сформулюємо, нарешті, офіційне правило:

Алгоритм знаходження похідної складної функції:

Начебто все просто, так?

Перевіримо на прикладах:

Рішення:

1) Внутрішня: ;

Зовнішня: ;

2) Внутрішня: ;

(Тільки не здумай тепер скоротити на! З-під косинуса нічого не виноситься, пам'ятаєш?)

3) Внутрішня: ;

Зовнішня: ;

Відразу видно, що тут трирівнева складна функція: адже - це вже сама по собі складна функція, а з неї витягаємо корінь, тобто виконуємо третю дію (шоколадку в обгортці і з стрічкою кладемо в портфель). Але лякатися немає причин: все одно «розпаковувати» цю функцію будемо в тому ж порядку, що і зазвичай: з кінця.

Тобто спершу продиференціюємо корінь, потім косинус, і лише потім вираз у дужках. А потім все це перемножимо.

У разі зручно пронумерувати дії. Тобто уявімо, що нам відомий. У якому порядку робитимемо дії, щоб обчислити значення цього виразу? Розберемо з прикладу:

Чим пізніше відбувається дія, тим більше «зовнішньої» буде відповідна функція. Послідовність дій - як і раніше:

Тут вкладеність взагалі 4-рівнева. Давайте визначимо порядок дій.

1. Підкорене вираз. .

2. Корінь. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Збираємо все до купи:

ВИРОБНИЧА. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Похідна функції- Відношення збільшення функції до збільшення аргументу при нескінченно малому збільшення аргументу:

Базові похідні:

Правила диференціювання:

Константа виноситься за знак похідної:

Похідна сума:

Похідна робота:

Похідна приватна:

Похідна складної функції:

Алгоритм знаходження похідної від складної функції:

1. Визначаємо "внутрішню" функцію, знаходимо її похідну.
2. Визначаємо "зовнішню" функцію, знаходимо її похідну.
3. Помножуємо результати першого та другого пунктів.

Дата: 20.11.2014

Що таке похідна?

Таблиця похідних.

Похідна – одне з головних понять вищої математики. У цьому уроці ми познайомимося із цим поняттям. Саме познайомимося, без строгих математичних формулювань та доказів.

Це знайомство дозволить:

Розуміти суть нескладних завдань із похідною;

Успішно вирішувати ці самі не складні завдання;

Підготуватися до серйозніших уроків з похідної.

Спочатку – приємний сюрприз.)

Суворе визначення похідної ґрунтується на теорії меж і штука досить складна. Це засмучує. Але практичне застосування похідної, як правило, не потребує таких великих і глибоких знань!

Для успішного виконання більшості завдань у школі та ВНЗ достатньо знати всього кілька термінів- щоб зрозуміти завдання, та лише кілька правил- Щоб його вирішити. І все. Це радує.

Приступимо до знайомства?)

Терміни та позначення.

В елементарної математики багато всяких математичних операцій. Додавання, віднімання множення, зведення в ступінь, логарифмування і т.д. Якщо до цих операцій додати ще одну, елементарна математика стає вищою. Ця нова операціяназивається диференціювання.Визначення та зміст цієї операції буде розглянуто в окремих уроках.

Тут важливо зрозуміти, що диференціювання - це просто математична операція над функцією. Беремо будь-яку функцію і, за певними правилами, перетворюємо її. В результаті вийде нова функція. Ось ця нова функція і називається: похідна.

Диференціювання- Дія над функцією.

Похідна- Результат цієї дії.

Так само, як, наприклад, сума- Результат додавання. Або приватне- Результат поділу.

Знаючи терміни, можна, як мінімум, розуміти завдання.) Формулювання бувають такі: знайти похідну функції; взяти похідну; продиференціювати функцію; обчислити похіднуі т.п. Це все одне і теж.Зрозуміло, бувають і складніші завдання, де перебування похідної (диференціювання) буде лише одним із кроків вирішення завдання.

Позначається похідна за допомогою штришку вгорі праворуч над функцією. Ось так: y"або f"(x)або S"(t)і так далі.

Читається ігор штрих, еф штрих від ікс, ес штрих від те,Ну ви зрозуміли...)

Штрих також може позначати похідну конкретної функції, наприклад: (2х+3)", (x 3 )" , (Sinx)"і т.д. Часто похідна позначається за допомогою диференціалів, але таке позначення в цьому уроці ми не розглядатимемо.

Припустимо, що розуміти завдання ми навчилися. Залишилося всього нічого – навчитися їх вирішувати.) Нагадаю ще раз: знаходження похідної – це перетворення функції за певними правилами.Цих правил, на диво, зовсім небагато.

Щоб знайти похідну функції, треба знати лише три речі. Три кити, на яких стоїть все диференціювання. Ось вони ці три кити:

1. Таблиця похідних (формули диференціювання).

3. Похідна складної функції.

Почнемо по порядку. У цьому вся уроці розглянемо таблицю похідних.

Таблиця похідних.

У світі - безліч функцій. Серед цієї множини є функції, які найбільш важливі для практичного застосування. Ці функції сидять у всіх законах природи. З цих функцій, як із цеглинок, можна сконструювати всі інші. Цей клас функцій називається елементарні функції.Саме ці функції і вивчаються у школі – лінійна, квадратична, гіпербола тощо.

Диференціювання функцій "з нуля", тобто. виходячи з визначення похідної та теорії меж - штука досить трудомістка. А математики – теж люди, так-так!) От і спростили собі (і нам) життя. Вони вирахували похідні елементарних функцій до нас. Вийшла таблиця похідних, де вже готово.)

Ось вона, ця табличка для найпопулярніших функцій. Ліворуч - елементарна функція, справа - її похідна.

	Функція y	Похідна функції y y"
1	C (постійна величина)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - будь-яке число)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	sin x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	ln x ( a = e)

Рекомендую звернути увагу на третю групу функцій у таблиці похідних. Похідна статечної функції - одна з найвживаніших формул, якщо тільки не найвживаніша! Натяк зрозумілий?) Так, таблицю похідних бажано знати напам'ять. До речі, це не так важко, як це може здатися. Спробуйте вирішувати більше прикладів, таблиця сама і запам'ятається!)

Знайти табличне значення похідної, як ви розумієте, завдання не найважче. Тому дуже часто у подібних завданнях зустрічаються додаткові фішки. Або у формулюванні завдання, або у вихідній функції, якої в таблиці - начебто і немає...

Розглянемо кілька прикладів:

1. Знайти похідну функції y = x 3

Такої функції у таблиці немає. Але є похідна статечної функції у загальному вигляді (третя група). У разі n=3. Ось і підставляємо трійку замість n та акуратно записуємо результат:

(x 3) " = 3 · x 3-1 = 3x 2

Ось і всі справи.

Відповідь: y" = 3x 2

2. Знайти значення похідної функції y = sinx у точці х = 0.

Це завдання означає, що треба спочатку знайти похідну від синуса, а потім підставити значення х = 0в цю похідну. Саме у такому порядку!А то, буває, відразу підставляють нуль у вихідну функцію... Нас просять знайти не значення вихідної функції, а значення її похідною.Похідна, нагадаю – це вже нова функція.

По табличці знаходимо синус та відповідну похідну:

y" = (sin x)" = cosx

Підставляємо нуль у похідну:

y"(0) = cos 0 = 1

Це буде відповідь.

3. Продиференціювати функцію:

Що, вселяє?) Такої функції таблиці похідних і близько немає.

Нагадаю, що продиференціювати функцію – це просто знайти похідну цієї функції. Якщо забути елементарну тригонометрію, шукати похідну нашої функції досить клопітно. Таблиця не допомагає...

Але якщо побачити, що наша функція – це косинус подвійного кута, То все відразу налагоджується!

Так Так! Запам'ятайте, що перетворення вихідної функції до диференціюванняцілком допускається! І, трапляється, здорово полегшує життя. За формулою косинуса подвійного кута:

Тобто. наша хитра функція є не що інше, як y = cosx. А це – таблична функція. Відразу отримуємо:

Відповідь: y" = - sin x.

Приклад для просунутих випускників та студентів:

4. Знайти похідну функції:

Такої функції у таблиці похідних немає, очевидно. Але якщо згадати елементарну математику, дії зі ступенями... То можна спростити цю функцію. Ось так:

А ікс ступеня одна десята - це вже таблічна функція! Третя група, n = 1/10. Просто за формулою та записуємо:

От і все. Це буде відповідь.

Сподіваюся, що з першим китом диференціювання – таблицею похідних – все ясно. Залишилося розібратися з двома китами, що залишилися. У наступному уроці освоїмо правила диференціювання.