Де перетинаються висоти трикутника. Все, що потрібно знати про трикутник

Теорема про висоту прямокутного трикутника

Якщо висота у прямокутному трикутнику ABC довжиною , проведена з вершини прямого кута, ділить гіпотенузу довжиною на відрізки і , що відповідають катетам і , то вірні наступні рівності:

·

·

Властивості основ висот трикутника

· Основивисот утворюють так званий ортотрикутник, що має власні властивості.

· Описана у ортотрикутника коло - коло Ейлера. На цьому колі також лежать три середини сторін трикутника і три середини трьох відрізків, що з'єднують ортоцентр із вершинами трикутника.

Інше формулювання останньої властивості:

· Теорема Ейлера для кола дев'яти точок.

Основитрьох висотдовільного трикутника, середини трьох його сторін ( підстави його внутрішніхмедіан) і середини трьох відрізків, що з'єднують його вершини з ортоцентром, всі лежать на одному колі (на кола дев'яти точок).

· Теорема. У будь-якому трикутнику відрізок, що з'єднує основидвох висоттрикутника, відсікає трикутник подібний до цього.

· Теорема. У трикутнику відрізок, що з'єднує основидвох висоттрикутника, що лежать на двох сторонах, антипаралелентретій стороні, з якою він не має спільних точок. Через два його кінці, а також через дві вершини третьої згаданої сторони завжди можна провести коло.

Інші властивості висот трикутника

· Якщо трикутник різнобічний (нерівносторонній), то його внутрішнябісектриса, проведена з будь-якої вершини, лежить між внутрішнімимедіаною та висотою, проведеними з тієї ж вершини.

· Висота трикутника ізгонально пов'язана діаметру (радіусу) описаного кола, проведеного з тієї ж вершини.

· У гострокутному трикутнику дві його висотивідтинають від нього такі трикутники.

· У прямокутному трикутнику висота, Проведена з вершини прямого кута, розбиває його на два трикутники, подібних до вихідного.

Властивості мінімальної з висот трикутника

Мінімальна з висот трикутника має багато екстремальних властивостей. Наприклад:

· Мінімальна ортогональна проекція трикутника на прямі, що лежать у площині трикутника, має довжину, що дорівнює найменшій з його висот.

· Мінімальний прямолінійний розріз у площині, через який можна протягнути незламну трикутну пластину, повинен мати довжину, що дорівнює найменшій з висот цієї пластини.

· При безперервному русі двох точок по периметру трикутника один назустріч другу, максимальна відстань між ними за час руху від першої зустрічі до другої, не може бути меншою за довжину найменшої з висот трикутника.

· Мінімальна висота у трикутнику завжди проходить усередині цього трикутника.

Основні співвідношення

· де - Площа трикутника, - Довжина сторони трикутника, на яку опущена висота.

· де - добуток бічних сторін, радіус описаного кола

· ,

де - радіус вписаного кола.

Де – площа трикутника.

де - Сторона трикутника, до якої опускається висота .

· Висота рівнобедреного трикутника, опущена на основу:

де - основа.

· - Висота в рівносторонньому трикутнику.

Медіани та висоти в рівносторонньому трикутнику

Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них щодо 2:1, рахуючи від вершини. Ця точка називається центром тяжіннятрикутник. А в рівносторонніх трикутниках медіани та висоти - одне й те саме.

Розглянемо довільний трикутник ABC. Позначимо буквою O точку перетину його медіан AA1 і BB1 і проведемо середню лінію A1B1 цього трикутника. AB та A1B1 січними AA1 та BB1. Отже, трикутники AOB і A1OB1 подібні по двох кутах, і, значить, їх сторони пропорційні: AOA1O=BOB1O=ABA1B1 . Але AB=2⋅A1B1, тому AO=2⋅A1O та BO=2⋅B1O. Таким чином, точка O перетину медіан AA1 і BB1 ділить кожну з них щодо 2:1, рахуючи від вершини. Аналогічно доводиться, що точка перетину медіан BB1 і CC1 ділить кожну з них щодо 2:1 від вершини, і, отже, збігається з точкою O. Отже, всі три медіани трикутника ABC перетинаються в точці O і діляться нею щодо 2: 1, рахуючи від вершини.

Теорему доведено.

Уявимо, що у вершинах кута m₁=1, тоді в точках A₁,B₁,C₁, m₂=2, оскільки вони є серединами сторін. І тут можна помітити, що відрізки AA₁,BB₁,CC₁, які перетинаються в одній точці і схожі на важелі з точкою опори, де AO-l₁, a OA₁-l₂(плечі). І за фізичною формулою F₁/F₂=l₁/l₂, де F=m*g, де g-const, і відповідно скорочується, виходить m₁/m₂=l₁/l₂ тобто. ½=1/2.

Теорему доведено.

Ортотрикутник

Властивості:

· Три висоти трикутника перетинаються в одній точці, ця точка носить назву ортоцентра

· Дві суміжні сторони ортотрикутника утворюють рівні кути з відповідною стороною вихідного трикутника

· Висоти трикутника є бісектрисами ортотрикутника

· Ортотрикутник-це трикутник з найменшим периметром, який можна вписати в даний трикутник (завдання Фаньяно)

· Периметр ортотрикутника дорівнює подвоєному добутку висоти трикутника на синус кута з якого він виходить.

· Якщо точки A 1 , B 1 і C 1 на сторонах відповідно BC, AC і AB гострокутного трикутника ABC такі, що

то – ортотрикутник трикутника ABC.

Ортотрикутник відсікає трикутники, подібні до цього

Теорема про властивість бісектрис ортотрикутника

∟ B₁C₁C=∟B₁BC=∟CAA₁=∟CC₁A

CC₁-бісектриса ∟B₁C₁A

AA₁-бісектриса ∟B₁A₁C₁

BB₁-бісектриса ∟A₁B₁C₁

Трикутник - багатокутник з трьома сторонами, або замкнута ламана лінія з трьома ланками, або фігура, утворена трьома відрізками, що з'єднують три точки, що не лежать на одній прямій (див. рис. 1).

Основні елементи трикутника abc

Вершини – точки A, B та C;

Сторони - Відрізки a = BC, b = AC і c = AB, що з'єднують вершини;

Кути - α, β, γ утворені трьома парами сторін. Кути часто позначають так само, як і вершини - літерами A, B і C.

Кут, утворений сторонами трикутника і що лежить у його внутрішній області, називається внутрішнім кутом, а суміжний до нього є суміжним кутом трикутника (2, стор. 534).

Висоти, медіани, бісектриси та середні лінії трикутника

Крім основних елементів у трикутнику розглядають і інші відрізки, що володіють цікавими властивостями: висоти, медіани, бісектриси та середні лінії.

Висота

Висоти трикутника- Це перпендикуляри, опущені з вершин трикутника на протилежні сторони.

Для побудови висоти необхідно виконати такі дії:

1) провести пряму, що містить одну зі сторін трикутника (у разі, якщо проводиться висота з вершини гострого кута в тупокутному трикутнику);

2) з вершини, що лежить навпроти проведеної прямої, провести відрізок з точки до цієї прямої, що становить з нею кут 90 градусів.

Точка перетину висоти зі стороною трикутника називається основою висоти (Див. рис. 2).

Властивості висот трикутника

У прямокутному трикутнику висота, проведена з вершини прямого кута, розбиває його на два трикутники, подібні до вихідного трикутника.

У гострокутному трикутнику дві його висоти відсікають від нього подібні трикутники.

Якщо трикутник гострокутний, всі підстави висот належать сторонам трикутника, а в тупокутного трикутника дві висоти потрапляють на продовження сторін.

Три висоти в гострокутному трикутнику перетинаються в одній точці, і цю точку називають ортоцентром трикутник.

Медіана

Медіани(Від лат. Mediana - "Середня") - Це відрізки, що з'єднують вершини трикутника з серединами протилежних сторін (див. рис. 3).

Для побудови медіани необхідно виконати такі дії:

1) визначити середину боку;

2) з'єднати точку, що є серединою сторони трикутника, з протилежною вершиною відрізком.

Властивості медіан трикутника

Медіана розбиває трикутник на два трикутники однакової площі.

Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них щодо 2:1, рахуючи від вершини. Ця точка називається центром тяжіння трикутник.

Весь трикутник ділиться своїми медіанами на шість рівновеликих трикутників.

Бісектриса

Бісектрисами(від лат. bis – двічі» і seko – розсікаю) називають ув'язнені всередині трикутника відрізки прямих, які ділять навпіл його кути (див. рис. 4).

Для побудови бісектриси необхідно виконати такі дії:

1) побудувати промінь, що виходить з вершини кута і ділить його на дві рівні частини (бісектрису кута);

2) знайти точку перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною;

3) виділити відрізок, що з'єднує вершину трикутника з точкою перетину на протилежному боці.

Властивості бісектрис трикутника

Бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону відносно рівному відношенню двох прилеглих сторін.

Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка називається центром вписаного кола.

Бісектриси внутрішнього та зовнішнього кутів перпендикулярні.

Якщо бісектриса зовнішнього кута трикутника перетинає продовження протилежної сторони, ADBD=ACBC.

Бісектриси одного внутрішнього та двох зовнішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка - центр одного з трьох вписаних кіл цього трикутника.

Підстави бісектрис двох внутрішніх та одного зовнішнього кутів трикутника лежать на одній прямій, якщо бісектриса зовнішнього кута не паралельна протилежній стороні трикутника.

Якщо бісектриси зовнішніх кутів трикутника не паралельні протилежним сторонам, то їх підстави лежать на одній прямій.

При вирішенні різноманітних завдань, як суто математичного, і прикладного характеру (особливо у будівництві), нерідко потрібно визначити значення висоти певної геометричної фігури. Як розрахувати цю величину (висоту) у трикутнику?

Якщо ми попарно сумісний 3 точки, розташовані не на єдиній прямій, то отримана фігура буде трикутником. Висота - частина прямої з будь-якої вершини фігури, яка при перетині з протилежною стороною утворює кут 90 °.

Знайти висоту у різносторонньому трикутнику

Визначимо значення висоти трикутника у разі, коли фігура має довільні кути та сторони.

Формула Герону

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, де

p – половина периметра фігури, h(a) – відрізок до сторони a, проведений під прямим кутом до неї,

p=(a+b+c)/2 – розрахунок напівпериметра.

У разі наявності площі фігури визначення її висоти можна скористатися співвідношенням h(a)=2S/a.

Тригонометричні функції

Для визначення довжини відрізка, який становить при перетині зі стороною a прямий кут, можна скористатися такими співвідношеннями: якщо відома сторона b і кут або сторона c і ​​кут, то h(a)=b*sinγ або h(a)=c *sinβ.
Де:
γ – кут між стороною b та a,
β – кут між стороною c та a.

Взаємозв'язок із радіусом

Якщо вихідний трикутник вписаний у коло, визначення величини висоти можна скористатися радіусом такого кола. Центр її розташований у точці, де перетинаються всі 3 висоти (з кожної вершини) – ортоцентри, а відстань від нього і до вершини (будь-якої) – радіус.

Тоді h(a)=bc/2R, де:
b, c – 2 інші сторони трикутника,
R - радіус описує трикутник кола.

Знайти висоту у прямокутному трикутнику

У цьому вигляді геометричної фігури 2 сторони при перетині утворюють прямий кут - 90 °. Отже, якщо потрібно визначити в ньому значення висоти, необхідно обчислити або розмір одного з катетів, або величину відрізка, що утворює з гіпотенузою 90°. При позначенні:
a, b - катети,
c – гіпотенуза,
h(c) – перпендикуляр на гіпотенузу.
Здійснити необхідні розрахунки можна за допомогою наступних співвідношень:

• Піфагорова теорема:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c,т.к. S = ab / 2, то h (c) = ab / c.

• Тригонометричні функції:

a= c*sinβ,
b=c* cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

Знайти висоту в рівнобедреному трикутнику

Дана геометрична фігура відрізняється наявністю двох сторін рівної величини та третьої – основою. Для визначення висоти, проведеної до третьої, відмінної стороні, допоможе приходить теорема Піфагора. При позначеннях
a – бічна сторона,
c – основа,
h(c) – відрізок до c під кутом 90°, h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

Урок містить опис властивостей та формули знаходження висоти трикутника, а також приклади розв'язання задач. Якщо Ви не знайшли вирішення відповідного завдання - пишіть про це на форумі. Напевно, курс буде доповнено.

ВИСОТА ТРИКУТНИКА Висота трикутника– опущений з вершини трикутника перпендикуляр, проведений на протилежну вершині сторону або її продовження. Властивостівисоти трикутника: Якщо у трикутнику дві висоти рівні, то такий трикутник – рівнобедрений У будь-якому трикутнику відрізок, що з'єднує основи двох висот трикутника, відсікає трикутник подібний до цього У трикутнику відрізок, що з'єднує основи двох висот трикутника, що лежать на двох сторонах, непаралелений третій стороні, з якої він не має спільних точок. Через два його кінці, а також через дві вершини цієї сторони завжди можна провести коло У гострокутному трикутнику дві його висоти відсікають від нього подібні трикутники. Мінімальна висота в трикутнику завжди проходить усередині цього трикутника Ортоцентр трикутника Усі три висоти трикутника (проведені з трьох вершин) перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром. Для того, щоб знайти точку перетину висот, достатньо провести дві висоти (дві прямі перетинаються лише в одній точці). Розташування ортоцентра (точка) визначається видом трикутника. У гострокутного трикутника точка перетину висот знаходиться у площині трикутника. (Рис.1). У прямокутного трикутника точка перетину висот збігається з вершиною прямого кута (рис.2). У тупокутного трикутника точка перетину висот знаходиться за площиною трикутника (Рис.3). У рівнобедреного трикутника медіана, бісектриса та висота, проведені до основи трикутника, збігаються. У рівностороннього трикутника всі три «чудові» лінії (висота, бісектриса і медіана) збігаються і три «чудові» точки (точки ортоцентра, центру тяжкості та центру вписаного та описаного кіл) знаходяться в одній точці перетину «чудових» ліній, тобто. теж збігаються.

ВИСОТА ТРИКУТНИКА Висота трикутника - опущення з вершини трикутника перпендикуляру, проведеного на протилежну вершинi бiк або на її продовження. Усі три висоти трикутника (проведені з трьох вершин) перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром. Щоб знайти точку перетину висот, досить провести дві висоти (дві прямі перетинаються тільки в одній точці). Розміщення ортоцентру (точка О) визначається видом трикутника. У гострокутного трекутника точка перетину висот знаходиться в площині трекутника. (Мал.1). У прямокутного трикутника точка перетину висот збігається з вершиною прямого угла (Рис.2). У тупокутного треугольника точка перетину висот знаходиться за площиною треугольника (Рис.3). У рівнобедреного трикутника медіана, бісектриса та висота, проведені до основи трикутника, збігаються. У рівностороннього трекутника всі три «помітні» лінії (висота, бісектриса та медіана) збігаються і три «помітні» точки (точки ортоцентру, центру ваги та центру вписаного і описаного кіл) знаходяться в одній точці перетину «помітних» ліній, тобто теж збігаються.

Формули знаходження висоти трикутника

Малюнок наведено полегшення сприйняття формул знаходження висоти трикутника. Загальне правило - довжина сторони позначена маленькою літерою, що лежить навпроти відповідного кута. Тобто сторона a лежить навпроти кута A.
Висота у формулах позначається літерою h, нижній індекс якої відповідає стороні, яку вона опущена.

Інші позначення:
a, b, c- Довжини сторін трикутника
h a- Висота трикутника, проведена до сторони a з протилежного кута
h b- Висота, проведена до сторони b
h c- Висота, проведена до сторони c
R- радіус описаного кола
r- радіус вписаного кола

Пояснення до формул.
Висота трикутника дорівнює добутку довжини сторони, що прилягає до кута, з якої опущена ця висота на синус кута між цією стороною та стороною, на яку така висота опущена (Формула 1)
Висота трикутника дорівнює частці від поділу подвоєної величини площі трикутника на довжину сторони, до якої опущена ця висота (Формула 2)
Висота трикутника дорівнює частці від поділу твору сторін, що прилягають до кута, з якого опущена ця висота, на подвоєний радіус описаного навколо нього кола (Формула 4).
Висоти сторін у трикутнику співвідносяться між собою в тій же пропорції, як співвідносяться між собою зворотні пропорції довжин сторін цього ж трикутника, а також в тій же пропорції між собою відносяться твори пар сторін трикутника, які мають загальний кут (Формула 5).
Сума обернених значень висот трикутника дорівнює зворотному значенню радіусу вписаного в такий трикутник кола (Формула 6)
Площу трикутника можна знайти через довжини висот цього трикутника (Формула 7)
Довжину сторони трикутника, яку опущена висота, можна знайти через застосування формул 7 і 2.

Завдання на .

У прямокутному трикутнику ABC (кут C = 90 0) проведено висоту CD. Визначте CD, якщо AD = 9 см, BD = 16 см

Рішення.

Трикутники ABC, ACD та CBD подібні між собою. Це безпосередньо випливає з другої ознаки подібності (рівність кутів у цих трикутниках очевидна).

Прямокутні трикутники - єдиний вид трикутників, які можна розрізати на два трикутники, подібні між собою і вихідний трикутник.

Позначення цих трьох трикутників у такому порядку проходження вершин: ABC, ACD, CBD. Тим самим ми одночасно показуємо відповідність вершин. (Вершині A трикутника ABC відповідає також вершина A трикутника ACD і вершина C трикутника CBD тощо)

Трикутники ABC та CBD подібні. Значить:

AD/DC = DC/BD, тобто

Завдання застосування теореми Піфагора.

Трикутник ABC прямокутний. У цьому C-прямий кут. З нього проведено висота CD=6см. Різниця відрізків BD-AD=5 див.

Знайти: Сторони трикутника ABC.

Рішення.

1.Складемо систему рівнянь відповідно до теореми Піфагора

CD 2 +BD 2 =BC 2

CD 2 + AD 2 = AC 2

оскільки CD=6

Оскільки BD-AD=5, то

BD = AD+5, тоді система рівнянь набуває вигляду

36+(AD+5) 2 =BC 2

Складемо перше та друге рівняння. Оскільки ліва частина додається до лівої, а права частина до правої – рівність не буде порушено. Отримаємо:

36+36+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

72+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

2. Тепер, глянувши на первісне креслення трикутника, по тій самій теоремі Піфагора, повинна виконуватись рівність:

AC 2 +BC 2 = AB 2

Оскільки AB=BD+AD, рівняння набуде вигляду:

AC 2 +BC 2 =(AD+BD) 2

Оскільки BD-AD=5, то BD=AD+5 тоді

AC 2 +BC 2 =(AD+AD+5) 2

3. Тепер поглянемо на результати, отримані нами під час рішення у першій та другій частині рішення. А саме:

72+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

AC 2 +BC 2 =(AD+AD+5) 2

Вони мають загальну частину AC 2 +BC 2 . Таким чином, прирівняємо їх один до одного.

72+(AD+5) 2 +AD 2 =(AD+AD+5) 2

72+AD 2 +10AD+25+AD 2 =4AD 2 +20AD+25

2AD 2 -10AD+72=0

В отриманому квадратному рівнянні дискримінант дорівнює D=676, відповідно, коріння рівняння дорівнює:

Оскільки довжина відрізка може бути негативною, відкидаємо перший корінь.

Відповідно

AB = BD + AD = 4 + 9 = 13

По теоремі Піфагора знаходимо інші сторони трикутника:

AC = корінь (52)

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.