Радіус вписаного кола в ромб. Рівносторонній трикутник

Якщо коло розташовується всередині кута і стосується його сторін, його називають вписаним у цей кут. Центр такого вписаного кола розташовується на бісектрисі цього кута.

Якщо ж вона лежить усередині опуклого багатокутника і стикається з усіма його сторонами, вона називається вписаною у опуклий багатокутник.

Окружність, вписана в трикутник

Коло, вписане в трикутник, стикається з кожною стороною цієї фігури лише в одній точці. В один трикутник можна вписати лише одне коло.

Радіус такого кола буде залежати від наступних параметрів трикутника:

1. Довжина сторін трикутника.
2. Його майдани.
3. Його периметр.
4. Величини кутів трикутника.

Для того, щоб обчислити радіус вписаного кола в трикутник, не завжди обов'язково знати всі перераховані вище параметри, оскільки вони взаємопов'язані між собою через тригонометричні функції.

Обчислення за допомогою напівпериметра

1. Якщо відомі довжини всіх сторін геометричної фігури (позначимо їх літерами a, b і c), то обчислювати радіус доведеться шляхом вилучення квадратного кореня.
2. Приступаючи до обчислень, необхідно додати до вихідних даних ще одну змінну – напівпериметр (р). Його можна розрахувати, склавши всі довжини та отриману суму розділивши на 2. p = (a+b+c)/2. Таким чином можна суттєво спростити формулу знаходження радіусу.
3. В цілому формула повинна включати знак радикала, під який поміщається дріб, знаменником цього дробу буде величина напівпериметра р.
4. Чисельником даного дробу буде твір різниць (p-a)*(p-b)*(p-c)
5. Таким чином, повний вид формули буде представлений наступним чином: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

Обчислення з урахуванням площі трикутника

Якщо нам відома площа трикутникаі довжини всіх його сторін, це дозволить знайти радіус цікавить нас колу, не вдаючись до вилучення коренів.

1. Спочатку потрібно подвоїти величину площі.
2. Результат ділиться у сумі довжин всіх сторін. Тоді формула буде виглядати так: r = 2*S/(a+b+c).
3. Якщо користуватися величиною полупериметра, можна отримати дуже просту формулу: r = S/p.

Розрахунок за допомогою тригонометричних функцій

Якщо в задачі присутня довжина однієї зі сторін, величина протилежного кута і периметр, можна скористатися тригонометричною функцією - тангенсом. У цьому випадку формула розрахунку матиме такий вигляд:

r = (P /2- a)* tg (α/2), де r - шуканий радіус, Р - периметр, а - значення довжини однієї зі сторін, α - величина протилежної стороні, а кута.

Радіус кола, яке необхідно буде вписувати у правильний трикутник, можна знайти за формулою r = a*√3/6.

Коло, вписане у прямокутний трикутник

У прямокутний трикутник можна вписати тільки одне коло. Центр такого кола одночасно служить точкою перетину всіх бісектрис. Ця геометрична фігура має деякі відмінні риси, які необхідно врахувати, обчислюючи радіус вписаного кола.

1. Для початку необхідно побудувати прямокутний трикутник із заданими параметрами. Побудувати таку фігуру можна за розміром її однієї сторони та величинами двох кутів або ж по двох сторонах та кутку між цими сторонами. Всі ці параметри мають бути вказані за умови завдання. Трикутник позначається як АВС, причому З це вершина прямого кута. Катети при цьому позначаються змінними, аі b, а гіпотенуза - змінною з.
2. Для побудови класичної формули та обчислення радіуса кола необхідно знайти розміри всіх сторін описаної в умові задачі фігури та по них обчислити напівпериметр. Якщо умовах даються розміри двох катетів, ними можна обчислити величину гіпотенузи, з теореми Пифагора.
3. Якщо в умові дано розмір одного катета та одного кута, необхідно зрозуміти, чи прилягає цей кут чи протилежний. У першому випадку гіпотенуза знаходиться за допомогою теореми синусів: з = a / sin САВ, у другому випадку застосовують теорему косінусів з=a/cosCBA.
4. Коли всі розрахунки виконані та величини всіх сторін відомі, знаходять напівпериметр за формулою, описаною вище.
5. Знаючи величину напівпериметра можна знайти радіус. Формула є дріб. Її чисельником є ​​добуток різниць напівпериметра та кожної зі сторін, а знаменником - величина напівпериметра.

Слід зауважити, що чисельник цієї формули є показником площі. У цьому випадку формула знаходження радіусу набагато спрощується – достатньо розділити площу на півпериметр.

Визначити площу геометричної фігури можна і в тому випадку, якщо відомі обидва катета. За сумою квадратів цих катетів є гіпотенуза, далі обчислюється напівпериметр. Обчислити площу можна, помноживши один на одного величини катетів і розділивши отримане на 2.

Якщо в умовах дано довжини катетів і гіпотенузи, визначити радіус можна за дуже простою формулою: для цього складаються довжини катетів, з отриманого числа віднімається довжина гіпотенузи. Результат необхідно розділити навпіл.

Відео

З цього відео ви дізнаєтеся, як знаходити радіус вписаного в трикутник кола.

Окружність, вписана в трикутник

Існування кола, вписаного в трикутник

Нагадаємо визначення бісектриси кута .

Визначення 1 .Бісектрисою кута називають промінь, що ділить кут на дві рівні частини.

Теорема 1 (Основна властивість бісектриси кута) . Кожна точка бісектриси кута знаходиться на тому самому відстані від сторін кута (рис.1).

Мал. 1

Доведення D , що лежить на бісектрисі кутаBAC , і DE і DF на сторони кута (рис.1).Прямокутні трикутники ADF і ADE рівні оскільки у них рівні гострі кутиDAF і DAE , а гіпотенуза AD – загальна. Отже,

DF = DE,

що й потрібно було довести.

Теорема 2 (зворотна теорема до теореми 1) . Якщо деяка , вона лежить на бісектрисі кута (рис.2).

Мал. 2

Доведення . Розглянемо довільну точкуD , що лежить усередині кутаBAC і що знаходиться на тому самому відстані від сторін кута. Опустимо з точкиD перпендикуляри DE і DF на сторони кута (рис.2).Прямокутні трикутники ADF і ADE рівні оскільки у них рівні катетиDF і DE , а гіпотенуза AD – загальна. Отже,

що й потрібно було довести.

Визначення 2 . Окружність називають колом, вписаним у кут якщо вона сторон цього кута.

Теорема 3 . Якщо коло вписано у кут, то відстані від вершини кута до точок торкання кола зі сторонами кута рівні.

Доведення . Нехай крапка D - Центр кола, вписаного в кутBAC , а крапки E і F – точки торкання кола зі сторонами кута (рис.3).

Рис.3

a , b , c - Сторони трикутника,
 S -Площа,

r – радіус вписаного кола,
 p - Напівпериметр

.

Переглянути висновок формули

a – бічна сторона рівнобедреного трикутника , 
 b - заснування, r – радіус вписаного кола

a r – радіус вписаного кола

Переглянути висновок формул

,

де

,

то, у разі рівнобедреного трикутника, коли

отримуємо

що й потрібно.

Теорема 7 . Для справедлива рівність

де a - Сторона рівностороннього трикутника,r – радіус вписаного кола (рис. 8).

Мал. 8

Доведення .

,

то, у разі рівностороннього трикутника, коли

b = a,

отримуємо

що й потрібно.

Зауваження . Я рекомендую вивести як вправу формулу для радіусу кола, вписаного в рівносторонній трикутник, безпосередньо, тобто. без використання загальних формул для радіусів кіл, вписаних у довільний трикутник або рівнобедрений трикутник.

Теорема 8 . Для прямокутного трикутника справедлива рівність

де a , b - Катети прямокутного трикутника, c – гіпотенуза , r – радіус вписаного кола.

Доведення . Розглянемо рисунок 9.

Мал. 9

Оскільки чотирикутникCDOF є , у якого сусідні сторониDO і OF рівні, то цей прямокутник - . Отже,

СВ = СF = r,

Через теорему 3 справедливі рівності

Отже, беручи до уваги , отримуємо

що й потрібно.

Добірка завдань на тему «Кількість, вписана в трикутник».

1.

Коло, вписане в рівнобедрений трикутник, ділить у точці торкання одну з бічних сторін на два відрізки, довжини яких дорівнюють 5 і 3, вважаючи від вершини, що протилежить основи. Знайдіть периметр трикутника.

2.

3

У трикутнику ABC АС=4, ВС=3, кут C дорівнює 90º. Знайдіть радіус вписаного кола.

4.

Катети рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнюють 2+. Знайдіть радіус кола, вписаного в цей трикутник.

5.

Радіус кола, вписаного в рівнобедрений прямокутний трикутник, дорівнює 2. Знайдіть гіпотенузу з цього трикутника. У відповіді вкажіть с(–1).

Наведемо низку завдань з ЄДІ з рішеннями.

Радіус кола, вписаного в рівнобедрений прямокутний трикутник, дорівнює . Знайдіть гіпотенузу з цього трикутника. У відповіді вкажіть.

Трикутник прямокутний та рівнобедрений. Значить, його катети однакові. Нехай кожен катет дорівнює. Тоді гіпотенуза дорівнює.

Запишемо площу трикутника АВС двома способами:

Прирівнявши ці висловлювання, отримаємо, що. Оскільки, отримуємо, що. Тоді.

У відповідь запишемо.

Відповідь:.

Завдання 2.

1. Довільно дві бічні сторони 10см і 6см (AB і BC). Знайти радіуси описаного та вписаного кіл
Завдання вирішується самостійно із коментуванням.

Рішення:

У.

1) Знайти:
2) Довести:та знайти СK
3) Знайти: радіуси описаного та вписаного кіл

Рішення:

Завдання 6.

Р адіус кола вписаного в квадрат дорівнює. Знайти радіус кола описаного біля цього квадрата.Дано :

Знайти: ОС =?
Рішення: у разі завдання можна вирішити, скориставшись або теоремою Піфагора, або формулою для R. Другий випадок буде простіше, оскільки формула для R виведена з теореми.

Завдання 7.

Радіус кола, вписаного в рівнобедрений прямокутний трикутник, дорівнює 2. Знайдіть гіпотенузуз цього трикутника. У відповіді вкажіть.

S – площа трикутника

Нам невідомі ні сторони трикутника, ні його площу. Позначимо катети як х, тоді гіпотенуза дорівнюватиме:

А площа трикутника дорівнюватиме 0,5х 2 .

Значить

Таким чином, гіпотенуза дорівнюватиме:

У відповіді потрібно записати:

Відповідь: 4

Завдання 8.

У трикутнику ABC АС = 4, ВС = 3, кут Cдорівнює 90 0 . Знайдіть радіус вписаного кола.

Скористаємося формулою радіуса кола вписаного в трикутник:

де a, b, c – сторони трикутника

S – площа трикутника

Дві сторони відомі (це катети), можемо обчислити третю (гіпотенузу), також можемо обчислити і площу.

За теоремою Піфагора:

Знайдемо площу:

Таким чином:

Відповідь: 1

Завдання 9.

Бічні сторони рівнобедреного трикутника дорівнюють 5, основа дорівнює 6. Знайдіть радіус вписаного кола.

Скористаємося формулою радіуса кола вписаного в трикутник:

де a, b, c – сторони трикутника

S – площа трикутника

Відомі всі сторони, обчислимо і площу. Її ми можемо знайти за формулою Герона:

Тоді

Ромб - це паралелограм, у якого всі сторони рівні. Отже, він успадковує всі властивості паралелограма. А саме:

• Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні.
• Діагоналі ромба є бісектрисами його внутрішніх кутів.

Коло можна вписати в чотирикутник тоді і лише тоді, коли суми протилежних сторін дорівнюють.
Отже, у будь-який ромб можна вписати коло. Центр вписаного кола збігається з центром перетину діагоналей ромба.
Радіус вписаного кола в ромб можна висловити кількома способами

1 спосіб. Радіуса вписаного кола в ромб через висоту

Висота ромба дорівнює діаметру вписаного кола. Це випливає з властивості прямокутника, який утворюють діаметр вписаного кола та висота ромба – у прямокутника протилежні сторони рівні.

Отже формула радіусу вписаного кола в ромб через висоту:

2 спосіб. Радіус вписаного кола в ромб через діагоналі

Площа ромба можна виразити через радіус вписаного кола
, де Р- Періметр ромба. Знаючи, що периметр це сума всіх сторін чотирикутника маємо P= 4×а.Тоді
Але площа ромба також дорівнює половині твору його діагоналей.
Прирівнявши праві частини формул площі, маємо таку рівність
В результаті отримуємо формулу, що дозволяє обчислити радіус вписаного кола на ромб через діагоналі.

Приклад розрахунку радіусу кола вписаного в ромб, якщо відомі діагоналі
Знайти радіус кола вписаного в ромб, якщо відомо, що довжина діагоналей 30 см і 40 см
Нехай ABCD-ромб, тоді ACі BDйого діагоналі. AC= 30 см , BD=40 см
Нехай крапка Про- Це центр вписаної в ромб ABCDкола, тоді вона буде також і точкою перетину його діагоналей, що ділять їх навпіл.


оскільки діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом, то трикутник AOBпрямокутний. Тоді за теоремою Піфагора
, підставляємо у формулу раніше отримані значення

AB= 25 см
Застосувавши раніше виведену формулу для радіусу описаного кола в ромб, отримуємо

3 спосіб. Радіус вписаного кола в ромб через відрізки m і n

Крапка F- точка торкання кола зі стороною ромба, яка ділить її на відрізки AFі BF. Нехай AF=m, BF = n.
Крапка O- Центр перетину діагоналей ромба і центр вписаного в нього кола.
Трикутник AOB- Прямокутний, так як діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом.
, т.к. є радіусом, проведеним у точку торкання кола. Отже OF- Висота трикутника AOBдо гіпотенузи. Тоді AFі BF –проекції катетів на гіпотенузу
Висота прямокутному трикутнику, опущена на гіпотенузу є середнє пропорційне між проекціями катетів на гіпотенузу.

Формула радіуса вписаного кола в ромб через відрізки дорівнює кореню квадратному з твору цих відрізків, на які ділить бік ромба точка торкання кола

Розглянемо коло, вписане в трикутник (рис. 302). Нагадаємо, що її центр Про міститься на перетині бісектрис внутрішніх кутів трикутника. Відрізки ОА, ОВ, ОС, що з'єднують О з вершинами трикутника ABC, трикутник розіб'ють на три трикутники:

АОВ, ВОС, СОА. Висота кожного з цих трикутників дорівнює радіусу, і тому їх площі виразяться як

Площа всього трикутника S дорівнює сумі цих трьох площ:

де – напівпериметр трикутника. Звідси

Радіус вписаного кола дорівнює відношенню площі трикутника до його напівпериметру.

Для отримання формули для радіусу описаного кола трикутника доведемо таку пропозицію.

Теорем а: У будь-якому трикутнику сторона дорівнює діаметру описаного кола, помноженому на синус протилежного кута.

Доведення. Розглянемо довільний трикутник ABC і описане навколо нього коло, радіус якого позначимо через R (рис. 303). Нехай А – гострий кут трикутника. Проведемо радіуси ОВ, ОС кола та опустимо з її центру Про перпендикуляр ОК на бік ВС трикутника. Зауважимо, що кут трикутника вимірюється половиною дуги ВС, для якої кут ВОС є центральним кутом. Звідси видно, що . Тому з прямокутного трикутника СОК знаходимо , або , що потрібно довести.

Наведений рис. 303 і міркування відносяться до випадку гострого кута трикутника; неважко було б провести доказ і для випадків прямого та тупого кута (читач це зробить самостійно), але можна використовувати теорему синусів (218.3). Бо має бути звідки

Теорему синусів записують також у. вигляді

та порівняння з формою запису (218.3) дає для

Радіус описаного кола дорівнює відношенню добутку трьох сторін трикутника до його чотириразової площі.

Завдання. Знайти сторони рівнобедреного трикутника, якщо його вписані та описані кола мають відповідно радіуси

Рішення. Напишемо формули, що виражають радіуси вписаного та описаного кіл трикутника:

Для рівнобедреного трикутника з боковою стороною та основою площа виражається формулою

або, скоротивши дріб на відмінний від нуля множник, будемо мати

що призводить до квадратного рівняння щодо

Воно має два рішення:

Підставивши замість його вираження у будь-яке з рівнянь для або R, знайдемо остаточно дві відповіді до нашого завдання:

Вправи

1. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, делнт гіпотенузу щодо Знайти відношення кожного з катетів до гіпотенузи.

2. Підстави рівнобедреної трапеції, описаної біля кола, дорівнюють а і b. Знайти радіус кола.

3. Два кола стосуються зовнішнім чином. Їхні загальні дотичні нахилені до лінії центрів під кутом 30°. Довжина відрізка дотичної між точками дотику дорівнює 108 см. Знайти радіуси кіл.

4. Катети прямокутного трикутника дорівнюють а і b. Знайти площу трикутника, сторонами якого є висота і медіана даного трикутника, проведені з вершини прямого кута, і відрізок гіпотенузи між точками їх перетину з гіпотенузою.

5. Сторони трикутника дорівнюють 13, 14, 15. Знайти проекцію кожної з них на дві інші.

6. У трикутнику відомі сторона та висоти Знайти сторони b та с.

7. Відомі дві сторони трикутника та медіана Знайти третю сторону трикутника.

8. Дані дві сторони трикутника і кут між ними: Знайти радіуси вписаного та описаного кіл.

9. Відомі сторони трикутника а, b, с. Чому рівні відрізки, куди вони розбиваються точками торкання вписаного кола зі сторонами трикутника?