Чотиривимірний куб обертання. Для всіх і про все

Еволюція людського мозку проходила у тривимірному просторі. Тому нам складно уявити собі простору з розмірністю понад три. Фактично людський мозок не може уявити геометричні об'єкти з розмірністю більше трьох. І в той же час ми легко уявляємо собі геометричні об'єкти з розмірністю не тільки три, але і з розмірністю два і один.

Відмінність і аналогія між одновимірним і двовимірним просторами, а також відмінність і аналогія між двовимірним і тривимірним просторами дозволяють нам трохи відкрити ширму таємничості, яка відгороджує нас від просторів більшої розмірності. Щоб зрозуміти, як використовується ця аналогія, розглянемо дуже простий чотиривимірний об'єкт – гіперкуб, тобто чотиривимірний куб. Нехай для визначеності, скажімо, ми хочемо вирішити конкретне завдання, а саме, порахувати кількість квадратних граней чотиривимірного куба. Весь розгляд далі буде дуже несуворим, без усіляких доказів, суто за аналогією.

Щоб зрозуміти, як будується гіперкуб із звичайного куба, треба спочатку подивитися, як будується звичайний куб із звичайного квадрата. Для оригінальності викладу цього матеріалу будемо тут звичайний квадрат називати СубКубом (і не плутатимемо його з суккубом).

Щоб побудувати куб із субкуба, треба протягнути субкуб у напрямку перпендикулярному до площини субкуба у напрямку третього виміру. При цьому з кожної сторони первісного субкуба виросте субкуб, який є бічною двовимірною гранню куба, які обмежать з чотирьох сторін тривимірний об'єм куба, по дві перпендикулярно кожному напрямку в площині субкуба. І вздовж нової третьої осі теж є два субкуби, що обмежують тривимірний об'єм куба. Це та двовимірна грань, де спочатку знаходився наш субкуб і та двовимірна грань куба, куди субкуб прийшов наприкінці будівництва куба.

Те, що Ви зараз прочитали, викладено дуже докладно і з масою уточнень. І не просто. Зараз ми зробимо такий фокус, замінимо у попередньому тексті деякі слова формально таким чином:
куб -> гіперкуб
субкуб -> куб
площина -> обсяг
третього -> четвертого
двовимірної -> тривимірної
чотирьох -> шести
тривимірний -> чотиривимірний
дві -> три
площині -> просторі

В результаті отримуємо наступний осмислений текст, який вже не здається надто докладним.

Щоб побудувати гіперкуб із куба, треба протягнути куб у напрямку перпендикулярному об'єму куба у напрямку четвертого виміру. При цьому з кожної сторони первісного куба виросте куб, який є бічною тривимірною гранню гіперкуба, які обмежать з шести сторін чотиривимірний об'єм гіперкуба, по три перпендикулярно кожному напрямку в просторі куба. І вздовж нової четвертої осі також є два куби, що обмежують чотиривимірний обсяг гіперкуба. Це та тривимірна грань, де спочатку був наш куб і та тривимірна грань гіперкуба, куди куб прийшов під кінець будівництва гіперкуба.

Чому в нас така впевненість, що ми отримали правильний опис побудови гіперкубу? Та тому що такою ж формальною заміною слів ми отримуємо опис побудови куба з опису побудови квадрата. (Перевірте це самі.)

Ось тепер зрозуміло, що якщо з кожної сторони куба має вирости ще один тривимірний куб, значить, з кожного ребра початкового куба має вирости грань. Усього у куба ребер 12, отже, з'явиться додатково 12 нових граней (субкубів) у тих 6 кубів, які обмежують чотиривимірний об'єм по трьох осях тривимірного простору. І залишилися ще два куби, які обмежують цей чотиривимірний об'єм знизу та зверху вздовж четвертої осі. У кожному із цих кубів є по 6 граней.

Разом отримуємо, що гиперкуб має 12+6+6=24 квадратних граней.

На наступному малюнку показано логічну будову гіперкуба. Це як би проекція гіперкуба на тривимірний простір. При цьому виходить тривимірний каркас із ребер. На малюнку, звісно, ​​Ви бачите проекцію цього каркаса ще й на площину.

На цьому каркасі внутрішній куб це як би початковий куб, з якого почалося побудова і обмежує чотиривимірний об'єм гіперкуба по четвертій осі знизу. Ми цей початковий куб простягаємо вгору вздовж четвертої осі виміру і він переходить у зовнішній куб. Отже, зовнішній і внутрішній куби з цього малюнка обмежують гіперкуб по четвертій осі вимірювання.

А між цими двома кубами видно ще 6 нових кубів, які стикаються загальними гранями з першими двома. Ці шість кубів обмежують наш гіперкуб по трьох осях тривимірного простору. Як бачите, вони стикаються не лише з першими двома кубами, які на цьому тривимірному каркасі внутрішній та зовнішній, але вони ще стикаються один з одним.

Можна прямо на малюнку порахувати і переконатися, що гіперкуб дійсно має 24 грані. Але виникає таке питання. Цей каркас гіперкуба у тривимірному просторі заповнений вісьмома тривимірними кубами без жодних просвітів. Щоб із цієї тривимірної проекції гіперкуба зробити справжній гіперкуб, треба вивернути цей каркас навиворіт так, щоб усі 8 кубів обмежували 4-мірний об'єм.

Робиться це так. Запрошуємо в гості мешканця чотиривимірного простору та просимо його допомогти нам. Він вистачає внутрішній куб цього каркаса і зрушує його у напрямку четвертого виміру, який перпендикулярний нашому тривимірному простору. Ми в нашому тривимірному просторі сприймаємо це так, начебто весь внутрішній каркас зник і залишився тільки каркас зовнішнього куба.

Далі наш чотиривимірний помічник пропонує свою допомогу в пологових будинках по безболісних пологах, але наших вагітних жінок лякає перспектива того, що немовля просто зникне з живота і опиниться в паралельному тривимірному просторі. Тому чотиримерцю ввічливо відмовляють.

А ми спантеличуємося питанням, чи не розклеїлися деякі з наших кубів при вивертанні каркасу гіперкубу навиворіт. Адже якщо якісь тривимірні куби, що оточують гіперкуб, стикаються своїми гранями з сусідами на каркасі, то вони також стикатимуться цими ж гранями, якщо чотиримерець виверне каркас навиворіт.

Знову звернемося до аналогії з просторами меншої розмірності. Порівняйте зображення каркаса гіперкуба з проекцією тривимірного куба на площину, показану на наступному малюнку.

Мешканці двовимірного простору побудували на площині каркас проекції куба на площину та запросили нас, тривимірних мешканців, вивертати цей каркас навиворіт. Ми беремо чотири вершини внутрішнього квадрата і зсуваємо їх перпендикулярно до площини. Двовимірні жителі у своїй бачать повне зникнення всього внутрішнього каркаса, і вони залишається лише каркас зовнішнього квадрата. При такій операції всі квадрати, які стикалися своїми ребрами, продовжують, як і раніше, торкатися тими самими ребрами.

Тому ми сподіваємося, що і логічна схема гіперкуба також не буде порушена при вивертанні каркаса гіперкубу навиворіт, а кількість квадратних граней гіперкуба при цьому не збільшиться і буде як і дорівнює 24. Це, звичайно ж, ніякий не доказ, а суто здогад за аналогією .

Після всього прочитаного тут, Ви вже легко зможете намалювати логічні каркаси п'ятивимірного куба і підрахувати, яке у нього число вершин, ребер, граней, кубів і гіперкубів. Це зовсім не важко.

Всесвіт чотирьох вимірів, або чотирьох координат, так само незадовільний, як трьох. Можна сказати, що ми не маємо всіх даних, необхідних для побудови всесвіту, оскільки ні три координати старої фізики, ні чотири координати нової не достатні для опису, всьогорізноманіття явищ у всесвіті.

Розглянемо по порядку "куби" різних розмірностей.

Одномірним кубом на прямій є відрізок. Двовимірним – квадрат. Кордон квадрата складається з чотирьох точок - вершині чотирьох відрізків - ребер.Таким чином, квадрат має на межі елементи двох типів: крапки та відрізки. Кордон тривимірного куба містить елементи трьох типів: вершини - їх 8, ребра (відрізки) -їх 12 і грані (квадрати) -їх 6. Одновимірний відрізок АВ служить гранню двовимірного квадрата ABCD, квадрат - стороною куба ABCDHEFG, який, у свою чергу, буде стороною чотиривимірного гіперкуба.

У чотиривимірному гіперкубі, таким чином, виявиться 16 вершин: 8 вершин вихідного куба і 8 зрушеного в четвертому вимірі. Він має 32 ребра - по 12 дають початкове і кінцеве положення вихідного куба, і ще 8 ребер "намалюють" вісім його вершин, що перемістилися в четвертий вимір. Ті ж міркування можна виконати і для граней гіперкуба. У двовимірному просторі вона одна (сам квадрат), у куба їх 6 (по дві грані від квадрата, що перемістився, і ще чотири опишуть його сторони). Чотиривимірний гіперкуб має 24 квадратні грані - 12 квадратів вихідного куба у двох положеннях та 12 квадратів від дванадцяти його ребер.

Розмір куба	Розмірність кордону
2 квадрат
4 тесеракт

Координати учотиривимірному просторі.

Точка пряма визначається як число, точка площини як пара чисел, точка тривимірного простору як трійка чисел. Тому цілком природно побудувати геометрію чотиривимірного простору, визначивши точку цього уявного простору як четвірку чисел.

Двовимірною гранню чотиривимірного куба називається безліч точок, для яких дві якісь координати можуть набувати різноманітних значень від 0 до 1, а дві інші постійні (рівні або 0, або 1).

Тривимірною гранню Чотиривимірний куб називається безліч точок, у яких три координати приймають всі можливі значення від 0 до 1, а одна постійна (рівна або 0, або 1).

Розгортки кубів різних розмірів.

Беремо відрізок, з усіх боків помістимо по відрізку, і ще один прикріпимо до будь-якого, в даному випадку правого відрізка.

Отримали розгортку квадрата.

Беремо квадрат, з усіх боків помістимо квадратом, ще один прикріпимо до будь-якого, в даному випадку до нижнього квадрата.

Це розгортка тривимірного куба.

Чотиривимірний куб

Беремо куб, з усіх боків помістимо по кубу, ще один прикріпимо до будь-якого, нижнього куба.

Розгортка чотиривимірного куба

Уявімо, що чотиривимірний кубзроблений із дроту й у вершині (1;1;1;1) сидить мурашка, тоді з однієї вершини в іншу мураху доведеться повзти по ребрах.

Запитання: по скільки ребрах йому доведеться повзти, щоб потрапити у вершину (0; 0; 0; 0)?

По 4 ребрах, тобто вершину (0; 0; 0; 0) - вершина 4 порядку, пройшовши по 1 ребру він може потрапити у вершину, що має одну з координат 0, це вершина 1 порядку, пройшовши по 2 ребрах він може потрапити в вершини де 2 нуля, це вершини 2 порядку, таких вершин 6, пройшовши по 3 ребрах, він потрапить у вершини у яких 3 координати нуль, це вершини третього порядку.

Існують інші куби в багатовимірному просторі. Крім тесеракта можна побудувати куби з великою кількістю вимірювань. Моделью п'ятивимірного куба є пентеракт. Пентеракт має 32 вершини, 80 ребер, 80 граней, 40 кубів та 10 тесеракт.

Художники, режисери, скульптори, вчені по-різному становлять багатовимірний куб. Наведемо деякі приклади:

Багато письменників-фантастів описують у своїх творах тессеракт. Наприклад, Роберт Енсон Хайнлайн (1907–1988) згадував гіперкуби у принаймні трьох з його науково-популярних оповідань. У «Будинку чотирьох вимірів» він описав будинок, збудований як розгортка тесеракту.

Сюжет фільму «Куб-2» зосереджується на восьми незнайомцях, спійманих у пастку у гіперкубі.

« Розп'яття» Сальвадора Дали 1954 (1951) рік. Сюрреалізм Далі шукав точок дотику нашої реальності та потойбічного, зокрема, 4-мірного світу. Тому, з одного боку, разюче, а, з іншого, нічого дивного в тому, що геометрична фігура з кубиків, що утворює християнський хрест, є зображенням 3-мірної розгортки 4-мірного куба або тесеракта.

21 жовтня на математичному факультеті Університету штату Пенсільванія відбулося відкриття незвичайної скульптури під назвою "Октакуб". Вона є зображенням чотиривимірного геометричного об'єкта в тривимірному просторі. На думку автора скульптури, професора Адріана Окнеану, так гарної фігуритакого роду у світі не існувало, ні віртуально, ні фізично, хоча тривимірні проекції чотиривимірних фігур виготовлялися й раніше.

Взагалі математики легко оперують з чотири-, п'яти-і ще багатовимірнішими об'єктами, проте зобразити їх у тривимірному просторі неможливо. «Октакуб», як і всі подібні постаті, не є справді чотиривимірним. Його можна порівняти з картою – проекцією тривимірної поверхні земної кулі на плоский аркуш паперу.

Тривимірна проекція чотиривимірної фігури була одержана Окнеану методом радіальної стереографії за допомогою комп'ютера. При цьому було збережено симетрію вихідної чотиривимірної фігури. Скульптура має 24 вершини та 96 граней. У чотиривимірному просторі грані фігури прямі, але у проекції вони викривлені. Кути між гранями у тривимірної проекції і вихідної фігури однакові.

"Октакуб" був виготовлений з нержавіючої сталі в інженерних майстернях Університету штату Пенсільванія. Встановлено скульптуру у відремонтованому корпусі імені Макалістера математичного факультету.

Багатомірний простір цікавив багатьох вчених, таких як Рене Декарт, Герман Мінковський. У наші дні йде збільшення знань з цієї теми. Це допомагає математикам, дослідникам та винахідникам сучасності у досягненні їх цілей та розвитку науки. Крок у багатовимірний простір - це крок у нову більш розвинену епоху людства.

τέσσαρες ἀκτίνες - чотири промені) - 4-мірний Гіперкуб- аналог у 4-мірному просторі.

Зображення є проекцією чотиривимірного куба на тривимірний простір.

Узагальнення куба на випадки з числом вимірів, більшим, ніж 3, називається гіперкубом або (en: measure polytopes). Формально гіперкуб визначається як чотири рівні відрізки.

Ця стаття в основному описує 4-мірний гіперкубзваний тесеракт.

Популярний опис

Спробуємо уявити собі, як виглядатиме гіперкуб, не виходячи з нашого тривимірного.

В одновимірному «просторі» - на лінії - виділимо АВ довжиною L. На двовимірній на відстані L від АВ намалюємо паралельний відрізок DC і з'єднаємо їх кінці. Вийде квадрат ABCD. Повторивши цю операцію із площиною, отримаємо тривимірний куб ABCDHEFG. А зсунувши куб у четвертому вимірі (перпендикулярно першим трьом!) на відстань L, ми отримаємо гіперкуб.

Одновимірний відрізок АВ служить гранню двовимірного квадрата ABCD, квадрат - стороною куба ABCDHEFG, який, своєю чергою, буде стороною чотиривимірного гіперкуба. Відрізок прямий має дві граничні точки, квадрат – чотири вершини, куб – вісім. У чотиривимірному гіперкубі, таким чином, виявиться 16 вершин: 8 вершин вихідного куба і 8 зрушеного в четвертому вимірі. Він має 32 ребра - по 12 дають початкове і кінцеве положення вихідного куба, і ще 8 ребер "намалюють" вісім його вершин, що перемістилися в четвертий вимір. Ті ж міркування можна виконати і для граней гіперкуба. У двовимірному просторі вона одна (сам квадрат), у куба їх 6 (по дві грані від квадрата, що перемістився, і ще чотири опишуть його сторони). Чотиривимірний гіперкуб має 24 квадратні грані - 12 квадратів вихідного куба у двох положеннях та 12 квадратів від дванадцяти його ребер.

Аналогічним чином можна продовжити міркування для гіперкубів більшої кількості вимірювань, але набагато цікавіше подивитися, як для нас, мешканців тривимірного простору, виглядатиме чотиривимірний гіперкуб. Скористаємося для цього вже знайомим методом аналогій.

Візьмемо дротяний куб ABCDHEFG і подивимось на нього одним оком з боку грані. Ми побачимо і можемо намалювати на площині два квадрати (ближню та далеку його грані), з'єднані чотирма лініями – бічними ребрами. Аналогічним чином чотиривимірний гіперкуб у просторі трьох вимірів буде виглядати як два кубічні «ящики», вставлені один в одного і з'єднані вісьмома ребрами. При цьому самі "ящики" - тривимірні грані - проектуватимуться на "наш" простір, а лінії, що їх з'єднують, простягнуться в четвертому вимірі. Можна спробувати уявити собі куб над проекції, а просторовому зображенні.

Подібно до того, як тривимірний куб утворюється квадратом, зрушеним на довжину грані, куб, зрушений у четвертий вимір, сформує гіперкуб. Його обмежують вісім кубів, які в перспективі виглядатимуть як досить складна фігура. Її частина, що залишилася в нашому просторі, намальована суцільними лініями, а те, що пішло у гіперпростір, пунктирними. Сам же чотиривимірний гіперкуб складається з нескінченної кількості кубів, подібно до того, як тривимірний куб можна «нарізати» на нескінченну кількість плоских квадратів.

Розрізавши вісім граней тривимірного куба, можна розкласти його в плоску фігуру- Розгортку. Вона матиме по квадрату з кожного боку вихідної грані плюс ще один - грань, протилежну їй. А тривимірна розгортка чотиривимірного гіперкуба складатиметься з вихідного куба, шести кубів, що «виростають» із нього, плюс ще одного – кінцевої «гіперграні».

Властивості тесеракта є продовженням властивостей геометричних фігурменшої розмірності в 4-мірний простір, представлених у таблиці нижче.

Почнемо з пояснення, що таке чотиривимірне простір.

Це – одномірний простір, тобто просто вісь OX. Будь-яка точка на ній характеризується однією координатою.

Тепер проведемо вісь OY перпендикулярно до осі OX. Ось і вийшов двовимірний простір, тобто площина XOY. Будь-яка точка на ній характеризується двома координатами - абсцисою та ординатою.

Проведемо вісь OZ перпендикулярно до осей OX і OY. Вийде тривимірний простір, в якому будь-яка точка має абсцис, ординат і аплікат.

Логічно, що четверта вісь, OQ, має бути перпендикулярною до осей OX, OY і OZ одночасно. Але ми не можемо точно збудувати таку вісь, і тому залишається лише спробувати уявити її собі. Кожна точка в чотиривимірному просторі має чотири координати: x, y, z і q.

Тепер побачимо, як з'явився чотиривимірний куб.

На зображенні зображена фігура одновимірного простору - лінія.

Якщо зробити паралельне перенесення цієї лінії вздовж осі OY, а потім з'єднати відповідні кінці двох ліній, що вийшли, вийде квадрат.

Аналогічно, якщо зробити паралельне перенесення квадрата вздовж осі OZ і з'єднати відповідні вершини, то вийде куб.

А якщо зробити паралельне перенесення куба вздовж осі OQ і з'єднати вершини двох цих кубів, ми отримаємо чотиривимірний куб. До речі, він називається тесеракт.

Щоб намалювати куб на площині, потрібно його спроектувати. Наочно це виглядає так:

Припустимо, що в повітрі над поверхнею висить каркасна моделькуба, тобто як би "зроблена з дроту", а над нею - лампочка. Якщо увімкнути лампочку, обвести олівцем тінь від куба, а потім вимкнути лампочку, то на поверхні буде зображено проекцію куба.

Перейдемо до трохи складнішого. Ще раз подивіться на малюнок із лампочкою: як бачите, всі промені зійшлися в одній точці. Вона називається точкою сходуі використовується для побудови перспективної проекції(а буває і паралельна, коли всі промені паралельні один одному. Результат - не створюється відчуття об'єму, але вона легша, і при тому якщо точка сходу досить сильно віддалена від об'єкта, що проектується, то різниця між цими двома проекціями мало помітна). Щоб спроектувати дану точку на дану площину, використовуючи точку сходу, потрібно провести пряму через точку сходу і дану точку, а потім знайти точку перетину прямої і площини, що вийшла. А для того, щоб спроектувати більше складну фігуру, скажімо, куб, потрібно спроектувати кожну його вершину, та був відповідні точки з'єднати. Слід зауважити, що алгоритм проекції простору на підпростірможна узагальнити для випадку 4D->3D, а не лише 3D->2D.

Як я вже казав, ми не можемо собі точно уявити, як виглядає вісь OQ, як і тессеракт. Зате ми можемо отримати обмежене уявлення про нього, якщо спроектуємо його на об'єм, а потім намалюємо це на екрані комп'ютера!

Тепер поговоримо про проекцію тесеракту.

Зліва знаходиться проекція куба на площину, а праворуч - тесеракта на об'єм. Вони досить схожі: проекція куба виглядає як два квадрати, маленький і великий, один усередині іншого, і які відповідні вершини з'єднані лініями. А проекція тесеракта виглядає як два куби, маленький і великий, один усередині іншого, і які відповідні вершини з'єднані. Але ми всі бачили куб, і можемо з упевненістю сказати, що і маленький квадрат, і великий, і чотири трапеції зверху, знизу, праворуч і ліворуч від маленького квадрата, насправді є квадратами, причому рівними. І у тесеракта теж саме. І великий куб, і маленький куб, і шість усічених пірамід з боків від маленького куба - це куби, причому рівні.

Моя програма вміє не тільки малювати проекцію тесеракта на об'єм, а й обертати його. Розглянемо, як це робиться.

Спершу я вам розповім, що таке обертання паралельно площині.

Уявіть, що куб обертається навколо осі OZ. Тоді кожна з його вершин описує коло навколо осі OZ.

А коло – фігура плоска. І площини кожного з цих кіл паралельні між собою, і в даному випадку паралельні площині XOY. Тобто ми можемо говорити не тільки про обертання навколо осі OZ, а ще й про обертання паралельно площині XOY. можемо говорити про обертання навколо прямої лише тоді, коли маємо справу з тривимірним простором. У двовимірному все обертається навколо крапки, у чотиривимірному - навколо площини, у п'ятивимірному просторі ми говоримо про обертання навколо об'єму. І якщо обертання навколо точки ми можемо собі уявити, то обертання навколо площини та обсягу – щось немислиме. А якщо говоритимемо про обертання паралельно площині, то тоді в будь-якому n-мірному просторі точка може обертатися паралельно площині.

Багато хто з вас, ймовірно, чув про матрицю повороту. Помноживши точку на неї, отримаємо точку, повернуту паралельно площині на кут фі. Для двовимірного простору вона виглядає так:

Як множити: ікс точки, повернутої на кут фі = косинус кута фі*ікс первісної точки мінус синус кута фі*гравець початкової точки;
гравець точки, повернутої на кут фі=синус кута фі*ікс первісної точки плюс косинус кута фі*ігр початкової точки.
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, де Xa і Ya - абсциса та ордината точки, яку потрібно повернути, Xa` і Ya` - абсциса та ордината вже повернутої точки

Для тривимірного простору ця матриця узагальнюється так:

Обертання паралельно площині XOY. Як бачимо, координата Z не змінюється, а змінюються лише X та Y
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa+cosф*Ya+Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (по суті, Za`=Za)

Обертання паралельно площині XOZ. Нічого нового,
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya` = Xa * 0 + Ya * 1 + Za * 0 (по суті, Ya ` = Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

І третя матриця.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (по суті, Xa`=Xa)
Ya` = Xa * 0 + cosф * Ya - sinф * Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za

А для четвертого виміру вони виглядають так:


Думаю, ви вже зрозуміли, що на що множити, тому зайвий раз не буду розписувати. Зате зауважу, що вона робить те саме, що й матриця для повороту паралельно площині в тривимірному просторі! І та, і це змінюють лише ординату і аплікату, інші координати не чіпають, тому її можна використовувати й у тривимірному випадку, просто не звертаючи уваги на четверту координату.

А ось із формулою проекції не все так просто. Скільки я не читав форумів, мені не підійшов жоден із способів проекції. Паралельна мені не підходила, тому що проекція не виглядатиме об'ємною. В одних формулах проекції для знаходження точки потрібно вирішити систему рівнянь (а я не знаю, як навчити комп'ютер їх вирішувати), інші я просто не зрозумів ... Загалом, я вирішив придумати свій спосіб. Розглянемо при цьому проекцію 2D->1D.

pov означає "Point of view" (точка зору), ptp означає "Point to project" (точка, яку потрібно спроектувати), а ptp` - це точка, що шукається на осі OX.

Кути povptpB і ptpptp`A рівні як відповідні (пунктирна лінія паралельна осі OX, пряма povptp – січна).
Ікс точки ptp` дорівнює іксу точки ptp мінус довжина відрізка ptp`A. Цей відрізок можна знайти з трикутника ptpptp`A: ptp`A = ptpA/тангенс кута ptpptp`A. Ми можемо знайти цей тангенс з трикутника povptpB: тангенс кута ptpptp`A = (Ypov-Yptp) (Xpov-Xptp).
Відповідь: Xptp`=Xptp-Yptp/тангенс кута ptpptp`A.

Я не став детально розписувати цей алгоритм тут, тому що там купа окремих випадків, коли формула дещо змінюється. Кому це цікаво – подивіться у вихідниках програми, там все розписано у коментарях.

Для того, щоб спроектувати точку тривимірного простору на площину, просто розглянемо дві площини - XOZ та YOZ, і для кожної з них вирішимо це завдання. У разі чотиривимірного простору слід розглянути вже три площини: XOQ, YOQ та ZOQ.

І нарешті про програму. Вона діє так: ініціалізувати шістнадцять вершин тесеракта -> залежно від введених користувачем команд повернути його -> спроецировать на об'єм -> залежно від введених користувачем команд повернути його проекцію -> спроектувати на площину -> намалювати.

Проекції та повороти я написав сам. Вони працюють за формулами, які я щойно описав. Бібліотека OpenGL малює лінії, а також займається змішуванням кольорів. А координати вершин тесеракту обчислюються таким чином:

Координати вершин лінії з центром на початку координат і довжиною 2 - (1) та (-1);
- " - " - квадрата - " - " - і ребром довжиною 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) та (-1; -1);
- " - " - куба - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Як можна було помітити, квадрат - одна лінія над віссю OY і одна лінія під віссю OY; куб - це один квадрат спереду від площини XOY, один за нею; Тессеракт - це один куб по той бік об'єму XOYZ, і один - по цю. Але куди легше сприйняти це чергування одиниць та мінус одиниць, якщо їх записати у стовпчик

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

У першому стовпчику один і мінус один чергуються. У другому стовпці спочатку йде два плюси, потім два мінуси. У третьому – чотири плюс одиниці, а потім чотири мінус одиниці. То були вершини куба. У тессеракта їх вдвічі більше, і тому потрібно було написати цикл для їхнього оголошення, інакше дуже легко заплутатися.

Моя програма також вміє малювати анагліф. Щасливі володарі 3D-окулярів можуть спостерігати стереоскопічну картинку. У малюванні картинки немає нічого хитрого, просто малюється дві проекції на площину для правого та лівого очей. Зате програма стає набагато наочнішою і цікавішою, а головне - дає краще уявлення про чотиривимірний світ.

Менш значні функції - підсвічування однієї з граней червоним, щоб краще можна було розглянути повороти, а так само дрібні зручності - регуляція координат точок-«очей», збільшення та зменшення швидкості повороту.

Архів із програмою, вихідником та інструкцією користування.

У геометрії гіперкуб- це n-мірна аналогія квадрата ( n= 2) та куба ( n= 3). Це замкнута опукла постать, що складається з груп паралельних ліній, розташованих на протилежних краях фігури, і з'єднаних один з одним під прямим кутом.

Ця фігура також відома під назвою тесеракт(Tesseract). Тессеракт відноситься до куба, як куб відноситься до квадрата. Більш формально, тессеракт може бути описаний як правильний опуклий чотиривимірний політоп (багатогранник), межа якого складається з восьми кубічних осередків.

Згідно з Окфордським словником англійської мови, слово "tesseract" було придумано в 1888 році Чарльзом Говардом Хінтоном (Charles Howard Hinton) і використано в його книзі "Нова ера думки" ("A New Era of Thought"). Слово було утворене від грецького "τεσσερες ακτινες" ("чотири промені"), є у вигляді чотири осі координат. Крім цього, у деяких джерелах, цю ж фігуру називали тетракубом(Tetracube).

n-мірний гіперкуб також називається n-кубом.

Точка - це гіперкуб розмірності 0. Якщо зрушити точку на одиницю довжини, вийде відрізок одиничної довжини - гіперкуб розмірності 1. Далі, якщо зрушити відрізок на одиницю довжини в напрямку перпендикулярному напрямку відрізка вийде куб - гіперкуб розмірності 2. Зсув квадрат на одиницю довжини в напрямку Перпендикулярна площині квадрата, виходить куб - гіперкуб розмірності 3. Цей процес може бути узагальнений на будь-яку кількість вимірювань. Наприклад, якщо зрушити куб на одиницю довжини четвертому вимірі, вийде тессеракт.

Сімейство гіперкубів є одним із небагатьох правильних багатогранників, які можуть бути представлені в будь-якому вимірі.

Елементи гіперкубу

Гіперкуб розмірності nмає 2 n"сторон" (одномірна лінія має 2 точки; двомірний квадрат - 4 сторони; тривимірний куб - 6 граней; чотиривимірний тесеракт - 8 осередків). Кількість вершин (точок) гіперкубу дорівнює 2 n(Наприклад, для куба - 2 3 вершин).

Кількість m-мірних гіперкубів на кордоні n-куба одно

Наприклад, на кордоні гіперкуба знаходяться 8 кубів, 24 квадрати, 32 ребра та 16 вершин.

Елементи гіперкубів

n-куб	Назва	Вершина (0-грань)	Ребро (1-грань)	Грань (2-грань)	Комірка (3-грань)	(4-грань)	(5-грань)	(6-грань)	(7-грань)	(8-грань)
0-куб	Крапка	1
1-куб	Відрізок	2	1
2-куб	Квадрат	4	4	1
3-куб	Куб	8	12	6	1
4-куб	Тессеракт	16	32	24	8	1
5-куб	Пентеракт	32	80	80	40	10	1
6-куб	Хексеракт	64	192	240	160	60	12	1
7-куб	Хептеракт	128	448	672	560	280	84	14	1
8-куб	Октеракт	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-куб	Ененеракт	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Проекція на площину

Формування гіперкуба може бути представлене в такий спосіб:

• Дві точки A та B можуть бути з'єднані, утворюючи відрізок AB.
• Два паралельні відрізки AB і CD можуть бути з'єднані, утворюючи квадрат ABCD.
• Два паралельні квадрати ABCD і EFGH можуть бути з'єднані, утворюючи куб ABCDEFGH.
• Два паралельні куби ABCDEFGH і IJKLMNOP можуть бути з'єднані, утворюючи гіперкуб ABCDEFGHIJKLMNOP.

Останню структуру нелегко уявити, але можна зобразити її проекцію на двовимірний або тривимірний простір. Більше того, проекції на двомірну площину можуть бути кориснішими можливістю перестановки позицій спроектованих вершин. У цьому випадку можна отримати зображення, які більше не відображають просторові відносини елементів усередині тесеракту, але ілюструють структуру з'єднань вершин, як на прикладах нижче.

На першій ілюстрації показано, як у принципі утворюється тессеракт шляхом з'єднання двох кубів. Ця схема схожа на схему створення куба із двох квадратів. На другій схемі показано, що всі ребра тесеракта мають однакову довжину. Ця схема також змушують шукати з'єднані один з одним куби. На третій схемі вершини тессеракта розташовані відповідно до відстаней уздовж граней щодо нижньої точки. Ця схема цікава тим, що вона використовується як базова схема для мережевої топології з'єднання процесорів при організації паралельних обчислень: відстань між будь-якими двома вузлами не перевищує 4 довжин ребер і існує багато різних шляхів для врівноваження навантаження.

Гіперкуб у мистецтві

Гіперкуб з'явився в науково-фантастичній літературі з 1940 року, коли Роберт Хайнлайн в оповіданні "Будинок, який збудував Тіл" ("And He Built a Crooked House") описав будинок, збудований за формою розгортки тесеракту. У оповіданні цей Далі цей будинок згортається, перетворюючись на чотиривимірний тесеракт. Після цього гіперкуб з'являється у багатьох книгах та новелах.

У фільмі "Куб 2: Гіперкуб" розповідається про вісім людей, замкнених у мережі гіперкубів.

На картині Сальвадора Далі "Розп'яття" ("Crucifixion (Corpus Hypercubus)", 1954) зображено Ісуса розп'ятого на розгортці тесеракта. Цю картину можна побачити у Музеї Мистецтв (Metropolitan Museum of Art) у Нью-Йорку.

Висновок

Гіперкуб - один із найпростіших чотиривимірних об'єктів, на прикладі якого можна побачити всю складність і незвичайність четвертого виміру. І те, що виглядає неможливим у трьох вимірах, можливо у чотирьох, наприклад, неможливих фігур. Так, наприклад, бруски неможливого трикутника у чотирьох вимірах будуть з'єднані під прямими кутами. І ця фігура виглядатиме так з усіх точок огляду, і не спотворюватиметься на відміну від реалізацій неможливого трикутника у тривимірному просторі (див.