Чотиривимірний куб. Кіберкуб - перший крок у четвертий вимір

Еволюція людського мозку проходила у тривимірному просторі. Тому нам складно уявити собі простору з розмірністю понад три. Фактично людський мозок не може уявити геометричні об'єкти з розмірністю більше трьох. І в той же час ми легко уявляємо собі геометричні об'єкти з розмірністю не тільки три, але і з розмірністю два і один.

Відмінність і аналогія між одновимірним і двовимірним просторами, а також відмінність і аналогія між двовимірним і тривимірним просторами дозволяють нам трохи відкрити ширму таємничості, яка відгороджує нас від просторів більшої розмірності. Щоб зрозуміти, як використовується ця аналогія, розглянемо дуже простий чотиривимірний об'єкт – гіперкуб, тобто чотиривимірний куб. Нехай для визначеності, скажімо, ми хочемо вирішити конкретне завдання, а саме, порахувати кількість квадратних граней чотиривимірного куба. Весь розгляд далі буде дуже несуворим, без усіляких доказів, суто за аналогією.

Щоб зрозуміти, як будується гіперкуб із звичайного куба, треба спочатку подивитися, як будується звичайний куб із звичайного квадрата. Для оригінальності викладу цього матеріалу будемо тут звичайний квадрат називати СубКубом (і не плутатимемо його з суккубом).

Щоб побудувати куб із субкуба, треба протягнути субкуб у напрямку перпендикулярному до площини субкуба у напрямку третього виміру. При цьому з кожної сторони первісного субкуба виросте субкуб, який є бічною двовимірною гранню куба, які обмежать з чотирьох сторін тривимірний об'єм куба, по дві перпендикулярно кожному напрямку в площині субкуба. І вздовж нової третьої осі теж є два субкуби, що обмежують тривимірний об'єм куба. Це та двовимірна грань, де спочатку знаходився наш субкуб і та двовимірна грань куба, куди субкуб прийшов наприкінці будівництва куба.

Те, що Ви зараз прочитали, викладено дуже докладно і з масою уточнень. І не просто. Зараз ми зробимо такий фокус, замінимо у попередньому тексті деякі слова формально таким чином:
куб -> гіперкуб
субкуб -> куб
площина -> обсяг
третього -> четвертого
двовимірної -> тривимірної
чотирьох -> шести
тривимірний -> чотиривимірний
дві -> три
площині -> просторі

В результаті отримуємо наступний осмислений текст, який вже не здається надто докладним.

Щоб побудувати гіперкуб із куба, треба протягнути куб у напрямку перпендикулярному об'єму куба у напрямку четвертого виміру. При цьому з кожної сторони первісного куба виросте куб, який є бічною тривимірною гранню гіперкуба, які обмежать з шести сторін чотиривимірний об'єм гіперкуба, по три перпендикулярно кожному напрямку в просторі куба. І вздовж нової четвертої осі також є два куби, що обмежують чотиривимірний обсяг гіперкуба. Це та тривимірна грань, де спочатку був наш куб і та тривимірна грань гіперкуба, куди куб прийшов під кінець будівництва гіперкуба.

Чому в нас така впевненість, що ми отримали правильний опис побудови гіперкубу? Та тому що такою ж формальною заміною слів ми отримуємо опис побудови куба з опису побудови квадрата. (Перевірте це самі.)

Ось тепер зрозуміло, що якщо з кожної сторони куба має вирости ще один тривимірний куб, значить, з кожного ребра початкового куба має вирости грань. Усього у куба ребер 12, отже, з'явиться додатково 12 нових граней (субкубів) у тих 6 кубів, які обмежують чотиривимірний об'єм по трьох осях тривимірного простору. І залишилися ще два куби, які обмежують цей чотиривимірний об'єм знизу та зверху вздовж четвертої осі. У кожному із цих кубів є по 6 граней.

Разом отримуємо, що гиперкуб має 12+6+6=24 квадратних граней.

На наступному малюнку показано логічну будову гіперкуба. Це як би проекція гіперкуба на тривимірний простір. При цьому виходить тривимірний каркас із ребер. На малюнку, звісно, ​​Ви бачите проекцію цього каркаса ще й на площину.

На цьому каркасі внутрішній куб це як би початковий куб, з якого почалося побудова і обмежує чотиривимірний об'єм гіперкуба по четвертій осі знизу. Ми цей початковий куб простягаємо вгору вздовж четвертої осі виміру і він переходить у зовнішній куб. Отже, зовнішній і внутрішній куби з цього малюнка обмежують гіперкуб по четвертій осі вимірювання.

А між цими двома кубами видно ще 6 нових кубів, які стикаються загальними гранями з першими двома. Ці шість кубів обмежують наш гіперкуб по трьох осях тривимірного простору. Як бачите, вони стикаються не лише з першими двома кубами, які на цьому тривимірному каркасі внутрішній та зовнішній, але вони ще стикаються один з одним.

Можна прямо на малюнку порахувати і переконатися, що гіперкуб дійсно має 24 грані. Але виникає таке питання. Цей каркас гіперкуба у тривимірному просторі заповнений вісьмома тривимірними кубами без жодних просвітів. Щоб із цієї тривимірної проекції гіперкуба зробити справжній гіперкуб, треба вивернути цей каркас навиворіт так, щоб усі 8 кубів обмежували 4-мірний об'єм.

Робиться це так. Запрошуємо в гості мешканця чотиривимірного простору та просимо його допомогти нам. Він вистачає внутрішній куб цього каркаса і зрушує його у напрямку четвертого виміру, який перпендикулярний нашому тривимірному простору. Ми в нашому тривимірному просторі сприймаємо це так, начебто весь внутрішній каркас зник і залишився тільки каркас зовнішнього куба.

Далі наш чотиривимірний помічник пропонує свою допомогу в пологових будинках по безболісних пологах, але наших вагітних жінок лякає перспектива того, що немовля просто зникне з живота і опиниться в паралельному тривимірному просторі. Тому чотиримерцю ввічливо відмовляють.

А ми спантеличуємося питанням, чи не розклеїлися деякі з наших кубів при вивертанні каркасу гіперкубу навиворіт. Адже якщо якісь тривимірні куби, що оточують гіперкуб, стикаються своїми гранями з сусідами на каркасі, то вони також стикатимуться цими ж гранями, якщо чотиримерець виверне каркас навиворіт.

Знову звернемося до аналогії з просторами меншої розмірності. Порівняйте зображення каркаса гіперкуба з проекцією тривимірного куба на площину, показану на наступному малюнку.

Мешканці двовимірного простору побудували на площині каркас проекції куба на площину та запросили нас, тривимірних мешканців, вивертати цей каркас навиворіт. Ми беремо чотири вершини внутрішнього квадрата і зсуваємо їх перпендикулярно до площини. Двовимірні жителі у своїй бачать повне зникнення всього внутрішнього каркаса, і вони залишається лише каркас зовнішнього квадрата. При такій операції всі квадрати, які стикалися своїми ребрами, продовжують, як і раніше, торкатися тими самими ребрами.

Тому ми сподіваємося, що і логічна схема гіперкуба також не буде порушена при вивертанні каркаса гіперкубу навиворіт, а кількість квадратних граней гіперкуба при цьому не збільшиться і буде як і дорівнює 24. Це, звичайно ж, ніякий не доказ, а суто здогад за аналогією .

Після всього прочитаного тут, Ви вже легко зможете намалювати логічні каркаси п'ятивимірного куба і підрахувати, яке у нього число вершин, ребер, граней, кубів і гіперкубів. Це зовсім не важко.

Якщо ви шанувальник фільмів про Месників, перше, що може спасти на думку, коли ви почуєте слово «Tesseract», це прозора кубоподібна посудина Кам'яна нескінченності, що містить безмежну силу.

Для шанувальників Всесвіту Marvel Тессеракт - це синій куб, що світиться, від якого люди з не тільки Землі, але й інших планет теж божеволіють. Ось чому всі месники об'єдналися, щоб захистити Землян від надзвичайно руйнівних сил Тессеракта.

Однак слід сказати таке: Тессеракт — це фактичне геометричне поняття, а точніше, форма, що існує в 4D. Це не просто синій куб від Мстителів... це реальна концепція.

Тессеракт - це об'єкт у 4 вимірах. Але перш ніж ми докладно пояснимо його, почнемо з самого початку.

Що таке «вимірювання»?

Кожна людина чула терміни 2D та 3D, представляючи відповідно двовимірні або тривимірні об'єкти простору. Але що являють собою ці виміри?

Вимір - це просто напрямок, в якому ви можете піти. Наприклад, якщо ви малюєте лінію на аркуші паперу, ви можете йти або вліво / вправо (осі x), або в напрямку вгору / вниз (вісь y). Таким чином, ми говоримо, що папір двовимірний, тому що ви можете йти тільки у двох напрямках.

У 3D є відчуття глибини.

Тепер, у реальному світі, крім згаданих вище двох напрямків (ліворуч/праворуч і вгору/вниз), ви також можете піти «в/з». Отже, у 3D-просторі додається відчуття глибини. Тому ми говоримо, що реальне життя 3-мірна.

Точка може представляти 0 вимірів (оскільки вона не переміщається в будь-якому напрямку), лінія представляє 1 вимір (довжина), квадрат представляє 2 виміри (довжина та ширина), а куб представляє 3 виміри (довжина, ширина та висота).

Візьміть 3D-куб і замініть кожну його грань (яка є квадратом) кубом. І ось! Форма, яку ви отримуєте, — це тесеракт.

Що таке тесеракт?

Простіше кажучи, тесеракт – це куб у 4-мірному просторі. Ви також можете сказати, що це 4D-аналог куба. Це 4D-форма, де кожна грань є кубом.

3D-проекція тесеракта, що виконує подвійне обертання навколо двох ортогональних площин.
Зображення: Jason Hise

Ось простий спосіб концептуалізації розмірів: квадрат – двомірний; тому кожен із його кутів має 2 лінії, що відходять від нього під кутом 90 градусів один до одного. Куб - 3D, тому кожен з його кутів має 3 лінії, що сходять з нього. Аналогічним чином, тесеракт є 4D-формою, тому кожен кут має 4 лінії, що відходять від нього.

Чому важко уявити собі тесеракт?

Оскільки ми, як люди, еволюціонували, щоб візуалізувати об'єкти у трьох вимірах, все, що входить у додаткові виміри, такі як 4D, 5D, 6D тощо, не має для нас великого сенсутому, що ми взагалі не можемо їх уявити. Наш мозок не може зрозуміти 4-го виміру у просторі. Ми просто не можемо про це думати.

Однак тільки тому, що ми не можемо візуалізувати концепцію багатовимірних просторів, це не означає, що вона не може існувати.

September 19th, 2009
Тессеракт (від грец. τέσσερες ἀκτῖνες — чотири промені) — чотиривимірний гіперкуб — ​​аналог куба в чотиривимірному просторі.

Зображення є проекцією (перспективою) чотиривимірного кубана тривимірний простір.

Згідно з Оксфордським словником, слово «tesseract» було придумано і почало використовуватися в 1888 році Чарльзом Говардом Хінтоном (1853—1907) у його книзі « Нова ерадумки». Пізніше деякі люди назвали ту саму постать «тетракубом».

Геометрія

Звичайний тессеракт в евклідовому чотиривимірному просторі визначається як опукла оболонка крапок (±1, ±1, ±1, ±1). Інакше кажучи, він може бути представлений у вигляді наступної множини:

Тессеракт обмежений вісьмома гіперплощинами, перетин яких із самим тесерактом задає його тривимірні грані (які є звичайними кубами). Кожна пара непаралельних тривимірних граней перетинається, утворюючи двовимірні грані (квадрати), і таке інше. Остаточно, тессеракт має 8 тривимірними гранями, 24 двовимірними, 32 ребрами та 16 вершинами.

Популярний опис

Спробуємо уявити, як виглядатиме гіперкуб, не виходячи з тривимірного простору.

У одновимірному «просторі» — лінії — виділимо відрізок АВ довжиною L. На двовимірної площині з відривом L від АВ намалюємо паралельний йому відрізок DC і з'єднаємо їх кінці. Вийде квадрат ABCD. Повторивши цю операцію із площиною, отримаємо тривимірний куб ABCDHEFG. А зсунувши куб у четвертому вимірі (перпендикулярно першим трьом) на відстань L, ми отримаємо гіперкуб ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ua/1/13/Побудова_тесеракту.PNG

Одновимірний відрізок АВ є стороною двовимірного квадрата ABCD, квадрат — стороною куба ABCDHEFG, який, своєю чергою, буде стороною чотиривимірного гіперкуба. Відрізок прямий має дві граничні точки, квадрат – чотири вершини, куб – вісім. У чотиривимірному гіперкубі, таким чином, виявиться 16 вершин: 8 вершин вихідного куба і 8 зрушеного в четвертому вимірі. Він має 32 ребра - по 12 дають початкове і кінцеве положення вихідного куба, і ще 8 ребер "намалюють" вісім його вершин, що перемістилися в четвертий вимір. Ті ж міркування можна виконати і для граней гіперкуба. У двовимірному просторі вона одна (сам квадрат), у куба їх 6 (по дві грані від квадрата, що перемістився, і ще чотири опишуть його сторони). Чотиривимірний гіперкуб має 24 квадратні грані — 12 квадратів вихідного куба у двох положеннях та 12 квадратів від дванадцяти його ребер.

Аналогічним чином можна продовжити міркування для гіперкубів більшої кількості вимірювань, але набагато цікавіше подивитися, як для нас, мешканців тривимірного простору, виглядатиме чотиривимірний гіперкуб. Скористаємося для цього вже знайомим методом аналогій.

Розгортка тесеракту

Візьмемо дротяний куб ABCDHEFG і подивимось на нього одним оком з боку грані. Ми побачимо і можемо намалювати на площині два квадрати (ближню та далеку його грані), з'єднані чотирма лініями – бічними ребрами. Аналогічним чином чотиривимірний гіперкуб у просторі трьох вимірів буде виглядати як два кубічні «ящики», вставлені один в одного і з'єднані вісьмома ребрами. При цьому самі «шухляди» — тривимірні грані — проектуватимуться на «наш» простір, а лінії, що їх з'єднують, простягнуться у четвертому вимірі. Можна спробувати уявити собі куб над проекції, а просторовому зображенні.

Подібно до того, як тривимірний куб утворюється квадратом, зрушеним на довжину грані, куб, зрушений у четвертий вимір, сформує гіперкуб. Його обмежують вісім кубів, які в перспективі виглядатимуть як досить складна фігура. Її частина, що залишилася в нашому просторі, намальована суцільними лініями, а те, що пішло у гіперпростір, пунктирними. Сам же чотиривимірний гіперкуб складається з нескінченної кількості кубів, подібно до того, як тривимірний куб можна «нарізати» на нескінченну кількість плоских квадратів.

Розрізавши шість граней тривимірного куба, можна розкласти його в плоску фігуру- Розгортку. Вона матиме по квадрату з кожного боку вихідної грані плюс ще один - грань, протилежну їй. А тривимірна розгортка чотиривимірного гіперкуба складатиметься з вихідного куба, шести кубів, що «виростають» із нього, плюс ще одного — кінцевої «гіперграні».

Властивості тесеракта є продовженням властивостей геометричних фігурменшої розмірності у чотиривимірний простір.

Проекції

На двовимірний простір

Ця структура складна для уяви, але можна спроектувати тессеракт у двовимірні або тривимірні простори. Крім того, проектування на площину дозволяє легко зрозуміти розташування вершин гіперкубу. Таким чином, можна отримати зображення, які більше не відображають просторові відносини в межах тесеракту, але які ілюструють структуру зв'язку вершин, як у таких прикладах:


На тривимірний простір

Проекція тесеракта на тривимірний простір є двома вкладеними тривимірними кубами, відповідні вершини яких з'єднані між собою відрізками. Внутрішній та зовнішній куби мають різні розміриу тривимірному просторі, але у чотиривимірному просторі це рівні куби. Для розуміння рівності всіх кубів тессеракта була створена модель тессеракта, що обертається.



Шість усічених пірамід по краях тесеракту - це зображення рівних шести кубів.
Стереопара

Стереопара тесеракт зображується як дві проекції на тривимірний простір. Таке зображення тесеракта розроблялося з метою уявити глибину, як четвертий вимір. Стереопара розглядається так, щоб кожне око бачив лише одне з цих зображень, виникає стереоскопічна картина, яка відтворює глибину тесеракту.

Розгортка тесеракту

Поверхня тесеракт може бути розгорнута у вісім кубів (аналогічно тому, як поверхня куба може бути розгорнута в шість квадратів). Існує 261 різна розгортка тесеракту. Розгортки тесеракту можуть бути підраховані нанесенням на граф з'єднаних кутів.

Тессеракт у мистецтві

У Едвін А. «Нова Рівнина Абботта», гіперкуб виступає оповідачем.
В одному епізоді «Пригод Джиммі Нейтрона»: «Хлопчик-геній» Джиммі винаходить чотиривимірний гіперкуб, ідентичний фолдбоксу з роману «Дорога слави» 1963 року Хайнлайна.
Роберт Е. Хайнлайн згадував гіперкуби, принаймні, у трьох науково-фантастичних оповіданнях. У «Будинку чотирьох вимірів» («Будинок, який збудував Тіл») (1940) він описав будинок, побудований як розгортка тесеракту.
У романі «Дорога слави» Хайнлайна описано гіперрозмірний посуд, який був зсередини більшим, ніж зовні.
Розповідь Генрі Каттнера "Mimsy Were the Borogoves" описує розвиваючу іграшку для дітей з далекого майбутнього, за будовою схожу на тесеракт.
У романі Алекса Гарленда (1999) термін «тессеракт» використовується для тривимірної розгортки чотиривимірного гіперкуба, а не гіперкуба безпосередньо. Це метафора, покликана показати, що система, що пізнає, повинна бути ширшою за пізнавану.
Сюжет фільму "Куб 2: Гіперкуб" зосереджується на восьми незнайомцях, спійманих у пастку в "гіперкубі", або мережі пов'язаних кубів.
Телесеріал "Андромеда" використовує тессеракт-генератори як пристрій змови. Вони передусім призначені, щоб керувати простором та часом.
Картина "Розп'яття на хресті" (Corpus Hypercubus) Сальвадора Далі (1954)
Комікси «Nextwave comic book» зображують засіб пересування, що включає 5 зон тессеракта.
В альбомі Voivod Nothingface одна з композицій названа «У моєму гіперкубі».
У романі Ентоні Пірса «Маршрут Куба» одна з орбітальних місяців Міжнародної асоціації розвитку називається тесерактом, який був стиснутий у 3 виміри.
У серіалі «Школа „ Чорна діра“” у третьому сезоні є серія “Тессеракт”. Лукас натискає на секретну кнопку і школа починає складатися як математичний тесеракт.
Термін "тессеракт" і похідний від нього термін "тесувати" зустрічається в повісті Мадлен Л'Енгл "Складка часу"

У геометрії гіперкуб- це n-мірна аналогія квадрата ( n= 2) та куба ( n= 3). Це замкнута опукла постать, що складається з груп паралельних ліній, розташованих на протилежних краях фігури, і з'єднаних один з одним під прямим кутом.

Ця фігура також відома під назвою тесеракт(Tesseract). Тессеракт відноситься до куба, як куб відноситься до квадрата. Більш формально, тессеракт може бути описаний як правильний опуклий чотиривимірний політоп (багатогранник), межа якого складається з восьми кубічних осередків.

Згідно з Окфордським словником англійської мови, слово "tesseract" було придумано в 1888 році Чарльзом Говардом Хінтоном (Charles Howard Hinton) і використано в його книзі "Нова ера думки" ("A New Era of Thought"). Слово було утворене від грецького "τεσσερες ακτινες" ("чотири промені"), є у вигляді чотири осі координат. Крім цього, у деяких джерелах, цю ж фігуру називали тетракубом(Tetracube).

n-мірний гіперкуб також називається n-кубом.

Точка - це гіперкуб розмірності 0. Якщо зрушити точку на одиницю довжини, вийде відрізок одиничної довжини - гіперкуб розмірності 1. Далі, якщо зрушити відрізок на одиницю довжини в напрямку перпендикулярному напрямку відрізка вийде куб - гіперкуб розмірності 2. Зсув квадрат на одиницю довжини в напрямку Перпендикулярна площині квадрата, виходить куб - гіперкуб розмірності 3. Цей процес може бути узагальнений на будь-яку кількість вимірювань. Наприклад, якщо зрушити куб на одиницю довжини четвертому вимірі, вийде тессеракт.

Сімейство гіперкубів є одним із небагатьох правильних багатогранників, які можуть бути представлені в будь-якому вимірі.

Елементи гіперкубу

Гіперкуб розмірності nмає 2 n"сторон" (одномірна лінія має 2 точки; двомірний квадрат - 4 сторони; тривимірний куб - 6 граней; чотиривимірний тесеракт - 8 осередків). Кількість вершин (точок) гіперкубу дорівнює 2 n(Наприклад, для куба - 2 3 вершин).

Кількість m-мірних гіперкубів на кордоні n-куба одно

Наприклад, на кордоні гіперкуба знаходяться 8 кубів, 24 квадрати, 32 ребра та 16 вершин.

Елементи гіперкубів

n-куб	Назва	Вершина (0-грань)	Ребро (1-грань)	Грань (2-грань)	Комірка (3-грань)	(4-грань)	(5-грань)	(6-грань)	(7-грань)	(8-грань)
0-куб	Крапка	1
1-куб	Відрізок	2	1
2-куб	Квадрат	4	4	1
3-куб	Куб	8	12	6	1
4-куб	Тессеракт	16	32	24	8	1
5-куб	Пентеракт	32	80	80	40	10	1
6-куб	Хексеракт	64	192	240	160	60	12	1
7-куб	Хептеракт	128	448	672	560	280	84	14	1
8-куб	Октеракт	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-куб	Ененеракт	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Проекція на площину

Формування гіперкуба може бути представлене в такий спосіб:

• Дві точки A та B можуть бути з'єднані, утворюючи відрізок AB.
• Два паралельні відрізки AB і CD можуть бути з'єднані, утворюючи квадрат ABCD.
• Два паралельні квадрати ABCD і EFGH можуть бути з'єднані, утворюючи куб ABCDEFGH.
• Два паралельні куби ABCDEFGH і IJKLMNOP можуть бути з'єднані, утворюючи гіперкуб ABCDEFGHIJKLMNOP.

Останню структуру нелегко уявити, але можна зобразити її проекцію на двовимірний або тривимірний простір. Більше того, проекції на двомірну площину можуть бути кориснішими можливістю перестановки позицій спроектованих вершин. У цьому випадку можна отримати зображення, які більше не відображають просторові відносини елементів усередині тесеракту, але ілюструють структуру з'єднань вершин, як на прикладах нижче.

На першій ілюстрації показано, як у принципі утворюється тессеракт шляхом з'єднання двох кубів. Ця схема схожа на схему створення куба із двох квадратів. На другій схемі показано, що всі ребра тесеракта мають однакову довжину. Ця схема також змушують шукати з'єднані один з одним куби. На третій схемі вершини тессеракта розташовані відповідно до відстаней уздовж граней щодо нижньої точки. Ця схема цікава тим, що вона використовується як базова схема для мережевої топології з'єднання процесорів при організації паралельних обчислень: відстань між будь-якими двома вузлами не перевищує 4 довжин ребер і існує багато різних шляхів для врівноваження навантаження.

Гіперкуб у мистецтві

Гіперкуб з'явився в науково-фантастичній літературі з 1940 року, коли Роберт Хайнлайн в оповіданні "Будинок, який збудував Тіл" ("And He Built a Crooked House") описав будинок, збудований за формою розгортки тесеракту. У оповіданні цей Далі цей будинок згортається, перетворюючись на чотиривимірний тесеракт. Після цього гіперкуб з'являється у багатьох книгах та новелах.

У фільмі "Куб 2: Гіперкуб" розповідається про вісім людей, замкнених у мережі гіперкубів.

На картині Сальвадора Далі "Розп'яття" ("Crucifixion (Corpus Hypercubus)", 1954) зображено Ісуса розп'ятого на розгортці тесеракта. Цю картину можна побачити у Музеї Мистецтв (Metropolitan Museum of Art) у Нью-Йорку.

Висновок

Гіперкуб - один із найпростіших чотиривимірних об'єктів, на прикладі якого можна побачити всю складність і незвичайність четвертого виміру. І те, що виглядає неможливим у трьох вимірах, можливо у чотирьох, наприклад, неможливих фігур. Так, наприклад, бруски неможливого трикутника у чотирьох вимірах будуть з'єднані під прямими кутами. І ця фігура виглядатиме так з усіх точок огляду, і не спотворюватиметься на відміну від реалізацій неможливого трикутника у тривимірному просторі (див.