Vierdimensionaler Würfel. Cybercube - der erste Schritt in die vierte Dimension

Die Evolution des menschlichen Gehirns fand im dreidimensionalen Raum statt. Daher ist es für uns schwierig, uns Räume mit Dimensionen größer als drei vorzustellen. Tatsächlich kann sich das menschliche Gehirn geometrische Objekte nicht mit mehr als drei Dimensionen vorstellen. Und gleichzeitig können wir uns leicht geometrische Objekte mit Dimensionen nicht nur drei, sondern auch mit Dimensionen zwei und eins vorstellen.

Der Unterschied und die Analogie zwischen eindimensionalen und zweidimensionalen Räumen und der Unterschied und die Analogie zwischen zweidimensionalen und dreidimensionalen Räumen erlauben es uns, den Schleier des Mysteriums ein wenig zu öffnen, der uns von Räumen höherer Dimensionen abschirmt. Um zu verstehen, wie diese Analogie verwendet wird, betrachten Sie ein sehr einfaches vierdimensionales Objekt - einen Hyperwürfel, dh einen vierdimensionalen Würfel. Nehmen wir zur Sicherheit an, wir wollen ein bestimmtes Problem lösen, nämlich die Anzahl der quadratischen Flächen eines vierdimensionalen Würfels zählen. Alle Überlegungen im Folgenden werden sehr locker sein, ohne Beweise, rein analog.

Um zu verstehen, wie aus einem gewöhnlichen Würfel ein Hyperwürfel entsteht, muss man sich zunächst ansehen, wie aus einem gewöhnlichen Quadrat ein gewöhnlicher Würfel entsteht. Für die Originalität der Präsentation dieses Materials werden wir hier einen gewöhnlichen quadratischen SubCube nennen (und wir werden ihn nicht mit einem Sukkubus verwechseln).

Um einen Würfel aus einem Teilwürfel zu konstruieren, ist es notwendig, den Teilwürfel in einer Richtung senkrecht zur Ebene des Teilwürfels in Richtung der dritten Dimension zu verlängern. Gleichzeitig wächst ein Teilwürfel von jeder Seite des anfänglichen Teilwürfels, der eine zweidimensionale Seitenfläche des Würfels ist, der das dreidimensionale Volumen des Würfels von vier Seiten begrenzt, zwei senkrecht zu jeder Richtung nach innen die Ebene des Teilwürfels. Und entlang der neuen dritten Achse gibt es auch zwei Teilwürfel, die das dreidimensionale Volumen des Würfels begrenzen. Dies ist die zweidimensionale Fläche, an der sich unser Teilwürfel ursprünglich befand, und die zweidimensionale Fläche des Würfels, an der der Teilwürfel am Ende der Würfelkonstruktion entstand.

Was Sie gerade gelesen haben, ist sehr detailliert und mit vielen Klarstellungen dargelegt. Und nicht nebenbei. Jetzt werden wir einen solchen Trick machen, wir werden einige Wörter im vorherigen Text formal auf diese Weise ersetzen:
Würfel -> Hyperwürfel
Teilwürfel -> Würfel
Flugzeug -> Volumen
dritte -> vierte
2D -> 3D
vier -> sechs
dreidimensional -> vierdimensional
zwei -> drei
Ebene -> Raum

Als Ergebnis erhalten wir folgenden aussagekräftigen Text, der nicht mehr allzu ausführlich erscheint.

Um aus einem Würfel einen Hyperwürfel zu bauen, müssen Sie den Würfel senkrecht zum Volumen des Würfels in Richtung der vierten Dimension strecken. Gleichzeitig wächst ein Würfel von jeder Seite des ursprünglichen Würfels, der die seitliche dreidimensionale Fläche des Hyperwürfels ist, der das vierdimensionale Volumen des Hyperwürfels von sechs Seiten begrenzt, drei senkrecht zu jeder Richtung nach innen der Raum des Würfels. Und entlang der neuen vierten Achse gibt es auch zwei Würfel, die das vierdimensionale Volumen des Hyperwürfels begrenzen. Dies ist die dreidimensionale Fläche, wo sich unser Würfel ursprünglich befand, und die dreidimensionale Fläche des Hyperwürfels, wo der Würfel am Ende der Konstruktion des Hyperwürfels entstand.

Warum sind wir uns so sicher, dass wir die richtige Beschreibung der Konstruktion des Hyperwürfels erhalten haben? Ja, denn durch genau denselben formalen Austausch von Wörtern erhalten wir eine Beschreibung der Konstruktion eines Würfels aus einer Beschreibung der Konstruktion eines Quadrats. (Überzeugen Sie sich selbst.)

Nun ist klar, wenn aus jeder Seite des Würfels ein weiterer dreidimensionaler Würfel wachsen soll, dann muss aus jeder Kante des ursprünglichen Würfels eine Fläche wachsen. Insgesamt hat der Würfel 12 Kanten, was bedeutet, dass es für die 6 Würfel, die das vierdimensionale Volumen entlang der drei Achsen des dreidimensionalen Raums begrenzen, weitere 12 neue Flächen (Teilwürfel) geben wird. Und es gibt zwei weitere Würfel, die dieses vierdimensionale Volumen von unten und von oben entlang der vierten Achse begrenzen. Jeder dieser Würfel hat 6 Seiten.

Insgesamt erhalten wir, dass der Hyperwürfel 12+6+6=24 quadratische Flächen hat.

Das folgende Bild zeigt den logischen Aufbau eines Hyperwürfels. Es ist wie eine Projektion eines Hyperwürfels auf den dreidimensionalen Raum. In diesem Fall wird ein dreidimensionales Rippengerüst erhalten. In der Abbildung sehen Sie natürlich auch die Projektion dieses Rahmens auf eine Ebene.

Auf diesem Rahmen ist der innere Würfel sozusagen der Ausgangswürfel, von dem aus die Konstruktion begonnen hat und der das vierdimensionale Volumen des Hyperwürfels entlang der vierten Achse von unten begrenzt. Wir strecken diesen anfänglichen Würfel entlang der Achse der vierten Dimension nach oben und er geht in den äußeren Würfel über. Der äußere und der innere Würfel dieser Figur begrenzen also den Hyperwürfel entlang der Achse der vierten Dimension.

Und zwischen diesen beiden Würfeln sind 6 weitere neue Würfel sichtbar, die mit den ersten beiden durch gemeinsame Flächen in Kontakt stehen. Diese sechs Würfel begrenzen unseren Hyperwürfel entlang dreier Achsen des dreidimensionalen Raums. Wie Sie sehen können, stehen sie nicht nur in Kontakt mit den ersten beiden Würfeln, die auf diesem dreidimensionalen Rahmen innen und außen liegen, sondern sie stehen immer noch in Kontakt miteinander.

Sie können direkt in der Abbildung rechnen und sich vergewissern, dass der Hyperwürfel wirklich 24 Flächen hat. Aber hier kommt die Frage. Dieser 3D-Hyperwürfelrahmen ist lückenlos mit acht 3D-Würfeln gefüllt. Um aus dieser 3D-Projektion eines Hyperwürfels einen echten Hyperwürfel zu machen, ist es notwendig, diesen Rahmen umzustülpen, damit alle 8 Würfel das 4D-Volumen begrenzen.

Es wird so gemacht. Wir laden einen Bewohner des vierdimensionalen Raums zu einem Besuch ein und bitten ihn, uns zu helfen. Es greift den inneren Würfel dieses Rahmens und verschiebt ihn in die vierte Dimension, die senkrecht zu unserem 3D-Raum steht. Wir nehmen es in unserem dreidimensionalen Raum so wahr, als wäre der gesamte innere Rahmen verschwunden und nur der Rahmen des äußeren Würfels geblieben.

Als nächstes bietet unser 4D-Assistent seine Hilfe in Entbindungskliniken für eine schmerzfreie Geburt an, aber unsere Schwangeren haben Angst vor der Aussicht, dass das Baby einfach aus dem Bauch verschwindet und in einem parallelen 3D-Raum landet. Daher wird das Vierfache höflich abgelehnt.

Und wir fragen uns, ob sich einige unserer Würfel gelöst haben, als der Rahmen des Hyperwürfels umgestülpt wurde. Wenn einige dreidimensionale Würfel, die den Hyperwürfel umgeben, ihre Nachbarn auf dem Rahmen berühren, berühren sie schließlich auch dieselben Flächen, wenn der vierdimensionale den Rahmen umstülpt.

Wenden wir uns wieder der Analogie mit Räumen niedrigerer Dimension zu. Vergleichen Sie das Bild des Hyperwürfel-Drahtmodells mit der Projektion des 3D-Würfels auf die im folgenden Bild gezeigte Ebene.

Bewohner des zweidimensionalen Raums bauten auf einer Ebene ein Gerüst einer Würfelprojektion auf eine Ebene und luden uns, dreidimensionale Bewohner, ein, dieses Gerüst umzukrempeln. Wir nehmen die vier Eckpunkte des inneren Quadrats und verschieben sie senkrecht zur Ebene. Gleichzeitig sehen zweidimensionale Bewohner das vollständige Verschwinden des gesamten inneren Rahmens, und sie haben nur noch den Rahmen des äußeren Quadrats. Bei einer solchen Operation berühren sich alle Quadrate, die mit ihren Rändern in Kontakt waren, weiterhin wie zuvor mit denselben Rändern.

Daher hoffen wir, dass das logische Schema des Hyperwürfels auch nicht verletzt wird, wenn der Rahmen des Hyperwürfels umgestülpt wird, und die Anzahl der quadratischen Flächen des Hyperwürfels nicht zunimmt und gleich 24 bleibt. Dies ist natürlich der Fall überhaupt kein Beweis, sondern nur eine Analogievermutung .

Nach allem, was Sie hier gelesen haben, können Sie leicht das logische Gerüst eines fünfdimensionalen Würfels zeichnen und berechnen, wie viele Ecken, Kanten, Flächen, Würfel und Hyperwürfel er hat. Es ist überhaupt nicht schwierig.

Wenn Sie ein Fan der Avengers-Filme sind, fällt Ihnen beim Wort „Tesseract“ als erstes das transparente, würfelförmige Gefäß des Infinity-Steins ein, das grenzenlose Kraft enthält.

Für Fans des Marvel-Universums ist der Tesseract ein leuchtend blauer Würfel, der nicht nur Menschen von der Erde, sondern auch von anderen Planeten begeistert. Aus diesem Grund haben sich alle Avengers zusammengeschlossen, um die Grounder vor den extrem zerstörerischen Kräften des Tesseract zu schützen.

Was jedoch gesagt werden muss, ist Folgendes: Ein Tesserakt ist ein tatsächliches geometrisches Konzept, genauer gesagt eine Form, die in 4D existiert. Es ist nicht nur ein blauer Würfel aus The Avengers ... es ist ein echtes Konzept.

Ein Tesserakt ist ein Objekt in 4 Dimensionen. Aber bevor wir es im Detail erklären, fangen wir von vorne an.

Was ist eine „Messung“?

Jeder hat die Begriffe 2D und 3D gehört, die jeweils zweidimensionale oder dreidimensionale Objekte des Raums darstellen. Aber was sind das für Dimensionen?

Eine Dimension ist einfach eine Richtung, in die man gehen kann. Wenn Sie beispielsweise eine Linie auf einem Blatt Papier zeichnen, können Sie entweder nach links/rechts (x-Achse) oder nach oben/unten (y-Achse) gehen. Wir sagen also, das Papier ist zweidimensional, da man nur in zwei Richtungen gehen kann.

Es gibt ein Gefühl von Tiefe in 3D.

Jetzt in echte Welt, neben den beiden oben genannten Richtungen (links/rechts und oben/unten) kann man auch "rein/raus" gehen. Folglich wird im 3D-Raum ein Gefühl von Tiefe hinzugefügt. Deshalb sagen wir das wahres Leben 3-dimensional.

Ein Punkt kann 0 Dimensionen darstellen (weil er sich in keine Richtung bewegt), eine Linie 1 Dimension (Länge), ein Quadrat 2 Dimensionen (Länge und Breite) und ein Würfel 3 Dimensionen (Länge, Breite und Höhe). ).

Nehmen Sie einen 3D-Würfel und ersetzen Sie jede Fläche (die derzeit ein Quadrat ist) durch einen Würfel. Und so! Die Form, die Sie erhalten, ist der Tesserakt.

Was ist ein Tesserakt?

Einfach ausgedrückt ist ein Tesserakt ein Würfel im 4-dimensionalen Raum. Man kann auch sagen, dass dies das 4D-Äquivalent eines Würfels ist. Dies ist eine 4D-Form, bei der jede Fläche ein Würfel ist.

Eine 3D-Projektion eines Tesserakts, der eine doppelte Drehung um zwei orthogonale Ebenen ausführt.
Bild: Jason Hise

Hier ist eine einfache Möglichkeit, Dimensionen zu konzeptualisieren: Ein Quadrat ist zweidimensional; also hat jede seiner Ecken 2 Linien, die sich von ihr aus im 90-Grad-Winkel zueinander erstrecken. Der Würfel ist 3D, also hat jede seiner Ecken 3 Linien, die von ihm abgehen. Ebenso ist der Tesserakt eine 4D-Form, also hat jede Ecke 4 Linien, die sich von ihr aus erstrecken.

Warum ist es schwierig, sich einen Tesserakt vorzustellen?

Da wir Menschen uns dazu entwickelt haben, Objekte in drei Dimensionen zu visualisieren, hat alles, was in zusätzliche Dimensionen wie 4D, 5D, 6D usw. geht, keine Bedeutung für uns. großartiger Sinn weil wir sie uns überhaupt nicht vorstellen können. Unser Gehirn kann die 4. Dimension im Raum nicht verstehen. Wir können einfach nicht daran denken.

Aber nur weil wir das Konzept multidimensionaler Räume nicht visualisieren können, heißt das nicht, dass es nicht existieren kann.

19.09.2009
Tesseract (von anderen griechischen τέσσερες ἀκτῖνες - vier Strahlen) - ein vierdimensionaler Hyperwürfel - ein Analogon eines Würfels im vierdimensionalen Raum.

Das Bild ist eine Projektion (Perspektive) vierdimensionaler Würfel zum dreidimensionalen Raum.

Laut dem Oxford Dictionary wurde das Wort „tesseract“ 1888 von Charles Howard Hinton (1853-1907) in seinem Buch „ neue Ära Gedanken". Später nannten einige Leute dieselbe Figur "Tetracube".

Geometrie

Ein gewöhnlicher Tesserakt im euklidischen vierdimensionalen Raum ist definiert als die konvexe Hülle von Punkten (±1, ±1, ±1, ±1). Mit anderen Worten, es kann als die folgende Menge dargestellt werden:

Der Tesserakt wird durch acht Hyperebenen begrenzt, deren Schnittpunkt mit dem Tesserakt selbst seine dreidimensionalen Flächen (die gewöhnliche Würfel sind) definiert. Jedes Paar nicht paralleler 3D-Flächen schneidet sich, um 2D-Flächen (Quadrate) zu bilden, und so weiter. Schließlich hat ein Tesserakt 8 3D-Flächen, 24 2D-Flächen, 32 Kanten und 16 Scheitelpunkte.

Beliebte Beschreibung

Versuchen wir uns vorzustellen, wie der Hyperwürfel aussehen wird, ohne den dreidimensionalen Raum zu verlassen.

Im eindimensionalen "Raum" - auf einer Linie - wählen wir ein Segment AB der Länge L. Auf einer zweidimensionalen Ebene im Abstand L von AB zeichnen wir ein Segment DC parallel dazu und verbinden ihre Enden. Holen Sie sich das Quadrat ABCD. Wenn wir diese Operation mit einem Flugzeug wiederholen, erhalten wir einen dreidimensionalen Würfel ABCDHEFG. Und indem wir den Würfel in der vierten Dimension (senkrecht zu den ersten drei) um eine Distanz L verschieben, erhalten wir den Hyperwürfel ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Build_tesseract.PNG

Das eindimensionale Segment AB dient als Seite des zweidimensionalen Quadrats ABCD, das Quadrat ist die Seite des Würfels ABCDHEFG, der wiederum die Seite des vierdimensionalen Hyperwürfels sein wird. Ein gerades Liniensegment hat zwei Grenzpunkte, ein Quadrat hat vier Ecken und ein Würfel hat acht. Somit gibt es in einem vierdimensionalen Hyperwürfel 16 Scheitel: 8 Scheitel des ursprünglichen Würfels und 8 Scheitel, die in die vierte Dimension verschoben sind. Er hat 32 Kanten – 12 geben jeweils die Anfangs- und Endposition des ursprünglichen Würfels an, und 8 weitere Kanten „zeichnen“ acht seiner Eckpunkte, die sich in die vierte Dimension bewegt haben. Die gleiche Überlegung gilt für die Flächen des Hyperwürfels. Im zweidimensionalen Raum ist es eins (das Quadrat selbst), der Würfel hat 6 davon (zwei Flächen aus dem verschobenen Quadrat und vier weitere beschreiben seine Seiten). Ein vierdimensionaler Hyperwürfel hat 24 quadratische Flächen – 12 Quadrate des ursprünglichen Würfels an zwei Positionen und 12 Quadrate von zwölf seiner Kanten.

Auf ähnliche Weise können wir die Argumentation für Hyperwürfel mit einer größeren Anzahl von Dimensionen fortsetzen, aber es ist viel interessanter zu sehen, wie ein vierdimensionaler Hyperwürfel für uns Bewohner des dreidimensionalen Raums aussehen wird. Verwenden wir dazu die bereits bekannte Methode der Analogien.

Entfaltung des Tesserakts

Nehmen wir den Drahtwürfel ABCDHEFG und betrachten ihn mit einem Auge von der Seite des Gesichts. Wir werden zwei Quadrate auf der Ebene sehen und zeichnen können (seine nahen und fernen Seiten), die durch vier Linien verbunden sind - Seitenkanten. In ähnlicher Weise sieht ein vierdimensionaler Hyperwürfel im dreidimensionalen Raum wie zwei kubische "Kästen" aus, die ineinander gesteckt und durch acht Kanten verbunden sind. In diesem Fall werden die „Boxen“ selbst – dreidimensionale Gesichter – auf „unseren“ Raum projiziert und die sie verbindenden Linien in die vierte Dimension gedehnt. Sie können auch versuchen, sich einen Würfel nicht in Projektion, sondern in einem räumlichen Bild vorzustellen.

So wie ein dreidimensionaler Würfel durch ein um die Länge einer Fläche verschobenes Quadrat entsteht, bildet ein in die vierte Dimension verschobener Würfel einen Hyperwürfel. Es wird von acht Würfeln begrenzt, die in Zukunft noch ziemlich hübsch aussehen werden komplexe Figur. Sein Teil, der in "unserem" Raum verbleibt, wird gezeichnet durchgehende Linien, und was in den Hyperraum ging, ist gepunktet. Der vierdimensionale Hyperwürfel selbst besteht aus unendlich vielen Würfeln, genauso wie ein dreidimensionaler Würfel in unendlich viele flache Quadrate „geschnitten“ werden kann.

Indem man sechs Flächen eines dreidimensionalen Würfels schneidet, kann man ihn zerlegen flache Figur- ein Sweep. Es wird ein Quadrat auf jeder Seite des ursprünglichen Gesichts haben, plus ein weiteres - das Gesicht gegenüber. Eine dreidimensionale Entwicklung eines vierdimensionalen Hyperwürfels besteht aus dem ursprünglichen Würfel, sechs daraus „wachsenden“ Würfeln und einem weiteren - der endgültigen „Hyperfläche“.

Die Eigenschaften des Tesserakts sind eine Erweiterung der Eigenschaften geometrische Formen untere Dimension in einen vierdimensionalen Raum.

Projektionen

zum zweidimensionalen Raum

Diese Struktur ist schwer vorstellbar, aber es ist möglich, einen Tesserakt in 2D- oder 3D-Räume zu projizieren. Außerdem erleichtert die Projektion auf eine Ebene das Verständnis der Lage der Scheitelpunkte des Hyperwürfels. Auf diese Weise können Bilder erhalten werden, die nicht mehr die räumlichen Beziehungen innerhalb des Tesserakts widerspiegeln, sondern die Vertex-Link-Struktur veranschaulichen, wie in den folgenden Beispielen:


zum dreidimensionalen Raum

Die Projektion des Tesserakts auf den dreidimensionalen Raum sind zwei verschachtelte dreidimensionale Würfel, deren entsprechende Ecken durch Segmente verbunden sind. Die inneren und äußeren Würfel haben verschiedene Größen im 3D-Raum, aber im 4D-Raum sind sie gleiche Würfel. Um die Gleichheit aller Würfel des Tesserakts zu verstehen, wurde ein rotierendes Modell des Tesserakts erstellt.



Sechs Pyramidenstümpfe an den Rändern des Tesserakts sind Bilder von gleich sechs Würfeln.
Stereopaar

Ein Stereopaar eines Tesserakts wird als zwei Projektionen auf den dreidimensionalen Raum dargestellt. Diese Darstellung des Tesserakts wurde entwickelt, um die Tiefe als vierte Dimension darzustellen. Das Stereopaar wird so betrachtet, dass jedes Auge nur eines dieser Bilder sieht, es entsteht ein stereoskopisches Bild, das die Tiefe des Tesserakts wiedergibt.

Entfaltung des Tesserakts

Die Oberfläche eines Tesserakts kann in acht Würfel entfaltet werden (ähnlich wie die Oberfläche eines Würfels in sechs Quadrate entfaltet werden kann). Es gibt 261 verschiedene Entfaltungen des Tesserakts. Die Abwicklungen eines Tesserakts können berechnet werden, indem die verbundenen Ecken auf dem Diagramm aufgetragen werden.

Tesserakt in der Kunst

In Edwine A. Abbotts New Plain ist der Hyperwürfel der Erzähler.
In einer Episode von The Adventures of Jimmy Neutron: "Boy Genius" erfindet Jimmy einen vierdimensionalen Hyperwürfel, der mit der Faltschachtel aus Heinleins Glory Road von 1963 identisch ist.
Robert E. Heinlein hat Hyperwürfel in mindestens drei Science-Fiction-Geschichten erwähnt. In The House of Four Dimensions (The House That Teel Built) (1940) beschrieb er ein Haus, das als Entfaltung eines Tesserakts gebaut wurde.
In Heinleins Roman Glory Road werden übergroße Gerichte beschrieben, die innen größer waren als außen.
Henry Kuttners Kurzgeschichte „Mimsy Were the Borogoves“ beschreibt ein Lernspielzeug für Kinder aus ferner Zukunft, ähnlich aufgebaut wie der Tesserakt.
In dem Roman von Alex Garland (1999) wird der Begriff "Tesseract" eher für die dreidimensionale Entfaltung eines vierdimensionalen Hyperwürfels als für den Hyperwürfel selbst verwendet. Dies ist eine Metapher, die zeigen soll, dass das erkennende System breiter sein sollte als das erkennbare.
Die Handlung von Cube 2: Hypercube dreht sich um acht Fremde, die in einem „Hyperwürfel“ oder einem Netzwerk aus verbundenen Würfeln gefangen sind.
Die TV-Serie Andromeda verwendet Tesseract-Generatoren als Verschwörungsinstrument. Sie sollen in erster Linie Raum und Zeit kontrollieren.
Das Gemälde "Kreuzigung" (Corpus Hypercubus) von Salvador Dali (1954)
Das Nextwave-Comicbuch zeigt ein Fahrzeug mit 5 Tesseract-Zonen.
Auf dem Album Voivod Nothingface heißt einer der Songs "In my hypercube".
In Anthony Pierces Roman Route Cube wird einer der orbitalen Monde von IDA als Tesseract bezeichnet, der in 3 Dimensionen komprimiert wurde.
In der Serie „Schule“ Schwarzes Loch„“ In der dritten Staffel gibt es eine Folge „Tesseract“. Lucas drückt den geheimen Knopf und die Schule nimmt Gestalt an wie ein mathematischer Tesserakt.
Der Begriff „Tesseract“ und der davon abgeleitete Begriff „Tesse“ findet sich in Madeleine L’Engles Erzählung „Wrinkle of Time“

In der Geometrie Hyperwürfel- Das N-dimensionale Analogie eines Quadrats ( N= 2) und Würfel ( N= 3). Dies ist eine geschlossene konvexe Figur, die aus Gruppen paralleler Linien besteht, die sich an gegenüberliegenden Kanten der Figur befinden und rechtwinklig miteinander verbunden sind.

Diese Zahl wird auch als bezeichnet Tesseract(Tesserakt). Der Tesserakt verhält sich zum Würfel wie der Würfel zum Quadrat. Formaler kann ein Tesserakt als ein regelmäßiges konvexes vierdimensionales Polytop (Polytop) beschrieben werden, dessen Grenze aus acht kubischen Zellen besteht.

Laut dem Oxford English Dictionary wurde das Wort „Tesseract“ 1888 von Charles Howard Hinton geprägt und in seinem Buch A New Era of Thought verwendet. Das Wort wurde aus dem Griechischen „τεσσερες ακτινες“ („vier Strahlen“) gebildet, hat die Form von vier Koordinatenachsen. Darüber hinaus wurde in einigen Quellen dieselbe Figur genannt Tetrawürfel(Tetrawürfel).

N-dimensionaler Hyperwürfel wird auch genannt n-Würfel.

Ein Punkt ist ein Hyperwürfel der Dimension 0. Wenn Sie einen Punkt um eine Längeneinheit verschieben, erhalten Sie ein Segment der Längeneinheit - einen Hyperwürfel der Dimension 1. Außerdem, wenn Sie ein Segment um eine Längeneinheit in einer senkrechten Richtung verschieben In Richtung des Segments erhalten Sie einen Würfel - einen Hyperwürfel der Dimension 2. Wenn Sie das Quadrat um eine Längeneinheit in der Richtung senkrecht zur Ebene des Quadrats verschieben, erhalten Sie einen Würfel - einen Hyperwürfel der Dimension 3. Dieser Vorgang kann auf beliebig viele Dimensionen verallgemeinert werden. Verschiebt man beispielsweise einen Würfel um eine Längeneinheit in der vierten Dimension, erhält man einen Tesserakt.

Die Familie der Hyperwürfel ist eines der wenigen regulären Polyeder, die in jeder Dimension dargestellt werden können.

Hypercube-Elemente

Dimension Hyperwürfel N hat 2 N"Seiten" (eindimensionale Linie hat 2 Punkte; zweidimensionales Quadrat - 4 Seiten; dreidimensionaler Würfel - 6 Flächen; vierdimensionaler Tesserakt - 8 Zellen). Die Anzahl der Ecken (Punkte) des Hyperwürfels ist 2 N(zum Beispiel für einen Würfel - 2 3 Eckpunkte).

Menge M-dimensionale Hyperwürfel am Rand N-Würfel gleich

Zum Beispiel gibt es am Rand eines Hyperwürfels 8 Würfel, 24 Quadrate, 32 Kanten und 16 Ecken.

Elemente von Hyperwürfeln

n-Würfel	Name	Scheitel (0-Gesicht)	Rand (1-seitig)	Rand (2-seitig)	Zelle (3-seitig)	(4-seitig)	(5-flächig)	(6-fach)	(7-fach)	(8-fach)
0-Würfel	Punkt	1
1 Würfel	Liniensegment	2	1
2-Würfel	Quadrat	4	4	1
3-Würfel	Würfel	8	12	6	1
4-Würfel	Tesseract	16	32	24	8	1
5-Würfel	Penterakt	32	80	80	40	10	1
6-Würfel	Hexerakt	64	192	240	160	60	12	1
7-Würfel	Hepterakt	128	448	672	560	280	84	14	1
8-Würfel	Okterakt	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-Würfel	Energet	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Ebene Projektion

Die Bildung eines Hyperwürfels kann wie folgt dargestellt werden:

• Zwei Punkte A und B können zu einer Strecke AB verbunden werden.
• Zwei parallele Segmente AB und CD können zu einem Quadrat ABCD verbunden werden.
• Zwei parallele Quadrate ABCD und EFGH können zum Würfel ABCDEFGH verbunden werden.
• Zwei parallele Würfel ABCDEFGH und IJKLMNOP können zu einem Hyperwürfel ABCDEFGHIJKLMNOP verbunden werden.

Letztere Struktur ist nicht leicht vorstellbar, aber es ist möglich, ihre Projektion auf zwei oder drei Dimensionen darzustellen. Darüber hinaus können Projektionen auf eine 2D-Ebene nützlicher sein, indem die Positionen der projizierten Eckpunkte neu angeordnet werden. In diesem Fall können Bilder erhalten werden, die nicht mehr die räumlichen Beziehungen der Elemente innerhalb des Tesserakts widerspiegeln, sondern die Struktur der Scheitelpunktverbindungen veranschaulichen, wie in den folgenden Beispielen.

Die erste Abbildung zeigt, wie ein Tesserakt im Prinzip durch Zusammenfügen zweier Würfel entsteht. Dieses Schema ähnelt dem Schema zum Erstellen eines Würfels aus zwei Quadraten. Das zweite Diagramm zeigt, dass alle Kanten des Tesserakts gleich lang sind. Dieses Schema ist auch gezwungen, nach miteinander verbundenen Würfeln zu suchen. Im dritten Diagramm sind die Scheitelpunkte des Tesserakts in Übereinstimmung mit den Abständen entlang der Flächen relativ zum unteren Punkt angeordnet. Dieses Schema ist interessant, da es als Grundschema für die Netzwerktopologie zum Verbinden von Prozessoren beim Organisieren von parallelem Rechnen verwendet wird: Der Abstand zwischen zwei beliebigen Knoten überschreitet nicht 4 Kantenlängen, und es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, die Last auszugleichen.

Hyperwürfel in der Kunst

Der Hyperwürfel taucht seit 1940 in der Science-Fiction auf, als Robert Heinlein in der Geschichte „The House That Teal Built“ („And He Built a Crooked House“) ein Haus beschrieb, das in Form eines Tesserakts gebaut wurde. In der Geschichte dieses Weiters wird dieses Haus zusammengefaltet und verwandelt sich in einen vierdimensionalen Tesseract. Danach taucht der Hyperwürfel in vielen Büchern und Romanen auf.

Cube 2: Hypercube besteht aus ungefähr acht Personen, die in einem Netzwerk von Hypercubes gefangen sind.

Das Gemälde Crucifixion (Corpus Hypercubus), 1954 von Salvador Dali, zeigt den gekreuzigten Jesus auf einem Tesseract-Scan. Dieses Gemälde ist im Museum of Art (Metropolitan Museum of Art) in New York zu sehen.

Abschluss

Der Hyperwürfel ist eines der einfachsten vierdimensionalen Objekte, an dessen Beispiel Sie die ganze Komplexität und Ungewöhnlichkeit der vierten Dimension sehen können. Und was in drei Dimensionen unmöglich erscheint, ist zum Beispiel in vier unmöglichen Figuren möglich. So werden zum Beispiel die Stäbe eines unmöglichen Dreiecks in vier Dimensionen rechtwinklig verbunden. Und diese Figur wird aus allen Blickwinkeln so aussehen und nicht verzerrt sein, im Gegensatz zu den Implementierungen des unmöglichen Dreiecks im dreidimensionalen Raum (siehe Abb.