Was heißt der Sinus eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks. Rechtwinkliges Dreieck
Anweisung
Wenn Sie den Kosinus finden müssen Ecke In einem beliebigen Dreieck muss der Kosinussatz verwendet werden:
wenn der Winkel spitz ist: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
wenn Winkel : cos? = (c2 - a2 - b2)/(2ab), wobei a, b die Längen der an die Ecke angrenzenden Seiten sind, c die Länge der der Ecke gegenüberliegenden Seite ist.
Die mathematische Notation für Kosinus ist cos.
Der Kosinuswert darf nicht größer als 1 und kleiner als -1 sein.
Quellen:
- wie berechnet man den cosinus eines winkels
- Trigonometrische Funktionen auf dem Einheitskreis
Kosinus ist die grundlegende trigonometrische Funktion des Winkels. Die Fähigkeit, den Kosinus zu bestimmen, ist in der Vektoralgebra nützlich, wenn die Projektionen von Vektoren auf verschiedene Achsen bestimmt werden.
Anweisung
cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)
Es gibt ein Dreieck mit den Seiten a, b, c gleich 3, 4 bzw. 5 mm.
Finden Kosinus der zwischen den großen Seiten eingeschlossene Winkel.
Bezeichnen wir den der Seite a gegenüberliegenden Winkel durch?, dann gilt nach der oben hergeleiteten Formel:
cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0,8
Antwort: 0,8.
Wenn das Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist, dann zu finden Kosinus und es reicht aus, die Längen von zwei beliebigen Seiten des Winkels zu kennen ( Kosinus rechter Winkel ist 0).
Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a, b, c, wobei c die Hypotenuse ist.
Ziehen Sie alle Optionen in Betracht:
Finden Sie cos?, wenn die Längen der Seiten a und b (eines Dreiecks) bekannt sind
Verwenden wir zusätzlich den Satz des Pythagoras:
cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(b?+b?+a?-a?)/(2*b*v(b?+a?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)
Damit die resultierende Formel richtig ist, setzen wir sie aus Beispiel 1 ein, d.h.
Nach elementaren Berechnungen erhalten wir:
Ebenso gibt es Kosinus im Rechteck Dreieck in anderen Fällen:
Bekanntes a und c (Hypotenuse und gegenüberliegendes Bein), cos finden?
cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(c?-a?+c?-a?)/(2*c*v(c?-a?)) =(2*s?-2*a?)/(2*s*v(s?-a?))=v(s?-a?)/s.
Setzen wir die Werte a=3 und c=5 aus dem Beispiel ein, erhalten wir:
b und c sind bekannt (die Hypotenuse und das angrenzende Bein).
Soso finden?
Nachdem wir ähnliche Transformationen durchgeführt haben (in den Beispielen 2 und 3 gezeigt), erhalten wir das in diesem Fall Kosinus v Dreieck nach einer ganz einfachen Formel berechnet:
Die Einfachheit der abgeleiteten Formel erklärt sich auf elementare Weise: in der Tat neben der Ecke? das Bein ist eine Projektion der Hypotenuse, seine Länge ist gleich der Länge der Hypotenuse multipliziert mit cos?.
Setzen wir die Werte b=4 und c=5 aus dem ersten Beispiel ein, erhalten wir:
Alle unsere Formeln sind also korrekt.
Tipp 5: So finden Sie einen spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck
Direkt Kohlensäure Das Dreieck ist aus historischer Sicht wahrscheinlich eines der berühmtesten, geometrische Formen. Pythagoräische "Hosen" können nur mit "Heureka" konkurrieren! Archimedes.
Du wirst brauchen
- - Zeichnen eines Dreiecks;
- - Herrscher;
- - Winkelmesser.
Anweisung
Die Summe der Winkel eines Dreiecks beträgt 180 Grad. im Rechteck Dreieck ein Winkel (rechts) ist immer 90 Grad, und der Rest ist spitz, d.h. jeweils weniger als 90 Grad. Um zu bestimmen, welcher Winkel in einem Rechteck ist Dreieck gerade ist, messen Sie die Seiten des Dreiecks mit einem Lineal und bestimmen Sie die größte. Es ist die Hypotenuse (AB) und liegt dem rechten Winkel (C) gegenüber. Die verbleibenden zwei Seiten bilden einen rechten Winkel und Beine (AC, BC).
Wenn du festgestellt hast, welcher Winkel spitz ist, kannst du entweder einen Winkelmesser verwenden, um den Winkel zu berechnen, oder ihn mit mathematischen Formeln berechnen.
Um den Wert des Winkels mit einem Winkelmesser zu bestimmen, richten Sie seine Oberseite (bezeichnen wir ihn mit dem Buchstaben A) an einer speziellen Markierung auf dem Lineal in der Mitte des Winkelmessers aus. Das AC-Bein muss mit seiner Oberkante übereinstimmen. Markieren Sie auf dem halbkreisförmigen Teil des Winkelmessers den Punkt, durch den die Hypotenuse AB verläuft. Der Wert an dieser Stelle entspricht dem Winkelwert in Grad. Wenn auf dem Winkelmesser 2 Größen angegeben sind, dann z spitzer Winkel Sie müssen einen kleineren wählen, für einen dummen - einen größeren.
Finden Sie den resultierenden Wert in den Referenz-Bradis und bestimmen Sie, welcher Winkel dem resultierenden Zahlenwert entspricht. Unsere Großmütter verwendeten diese Methode.
Bei uns reicht es aus, trigonometrische Formeln zu berechnen. Zum Beispiel der eingebaute Windows-Rechner. Starten Sie die Anwendung "Rechner", wählen Sie im Menüpunkt "Ansicht" den Punkt "Engineering". Berechnen Sie den Sinus des gewünschten Winkels, zum Beispiel sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5
Schalten Sie den Rechner in den Umkehrfunktionsmodus, indem Sie auf der Rechneranzeige auf die Schaltfläche INV klicken, und klicken Sie dann auf die Arcussinus-Funktionsschaltfläche (auf der Anzeige mit sin hoch minus eins bezeichnet). Im Berechnungsfenster erscheint die folgende Beschriftung: asind (0,5) = 30. Das heißt, der gewünschte Winkel beträgt 30 Grad.
Quellen:
- Bradis-Tabellen (Sinus, Cosinus)
Der Kosinussatz in der Mathematik wird am häufigsten verwendet, wenn es notwendig ist, die dritte Seite durch einen Winkel und zwei Seiten zu finden. Manchmal ist die Bedingung des Problems jedoch umgekehrt: Es ist erforderlich, den Winkel für drei gegebene Seiten zu finden.
Anweisung
Stellen Sie sich vor, Sie hätten ein Dreieck mit bekannter Länge von zwei Seiten und dem Wert eines Winkels. Alle Winkel dieses Dreiecks sind nicht gleich, und seine Seiten sind auch unterschiedlich groß. Der Winkel γ liegt der mit AB bezeichneten Seite des Dreiecks gegenüber, was diese Figur ist. Durch diesen Winkel sowie durch die restlichen Seiten AC und BC kann man mit dem Kosinussatz die unbekannte Seite des Dreiecks finden und daraus die folgende Formel ableiten:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, wobei a=BC, b=AB, c=AC
Der Kosinussatz wird auch als verallgemeinerter Satz des Pythagoras bezeichnet.
Stellen Sie sich nun vor, dass alle drei Seiten der Figur gegeben sind, aber ihr Winkel γ unbekannt ist. Wenn Sie wissen, dass die Form a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ ist, transformieren Sie diesen Ausdruck so, dass der gewünschte Wert der Winkel γ ist: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Bringen Sie dann die obige Gleichung in eine etwas andere Form: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Dann ist dieser Ausdruck wie folgt umzuformen: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Es bleibt, die Zahlen in der Formel zu ersetzen und die Berechnungen durchzuführen.
Um den Kosinus zu finden, der als γ bezeichnet wird, muss er durch die inverse Trigonometrie ausgedrückt werden, die als inverser Kosinus bezeichnet wird. Der Arkuskosinus der Zahl m ist der Wert des Winkels γ, für den der Kosinus des Winkels γ gleich m ist. Die Funktion y=arccos m ist fallend. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, dass der Kosinus des Winkels γ die Hälfte ist. Dann lässt sich der Winkel γ über den Arcuscosinus wie folgt definieren:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, wobei m = 1/2.
In ähnlicher Weise können Sie die verbleibenden Winkel eines Dreiecks mit zwei anderen unbekannten Seiten finden.
Sinus und Cosinus sind zwei trigonometrische Funktionen, die „Geraden“ genannt werden. Sie müssen häufiger als andere berechnet werden, und jeder von uns hat heute eine beträchtliche Auswahl an Optionen, um dieses Problem zu lösen. Unten sind ein paar der meisten einfache Wege.
Anweisung
Verwenden Sie einen Winkelmesser, Bleistift und Papier, wenn andere Berechnungsmethoden nicht verfügbar sind. Eine der Definitionen des Kosinus wird durch spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck gegeben - es ist gleich dem Verhältnis zwischen der Länge des diesem Winkel gegenüberliegenden Beins und der Länge. Zeichne ein Dreieck, bei dem einer der Winkel recht ist (90°) und der andere der Winkel ist, den du berechnen möchtest. Die Länge der Seiten spielt keine Rolle - zeichnen Sie sie so, dass Sie bequemer messen können. Messen Sie die Länge des gewünschten Beins und der Hypotenuse und teilen Sie die erste durch die zweite auf beliebige Weise.
Ergreifen Sie die Chance des Mehrwerts trigonometrische Funktionen Verwenden Sie den in die Nigma-Suchmaschine integrierten Rechner, wenn Sie über einen Internetzugang verfügen. Wenn Sie beispielsweise den Kosinus eines Winkels von 20° berechnen möchten, dann durch Laden Startseite Service http://nigma.ru geben Sie die Suchanfrage „Cosinus 20“ ein und klicken Sie auf die Schaltfläche „Find!“. Sie können „Grad“ weglassen und das Wort „Cosinus“ durch cos ersetzen – in jedem Fall zeigt die Suchmaschine das Ergebnis mit einer Genauigkeit von bis zu 15 Dezimalstellen an (0,939692620785908).
Öffnen Sie das Standardprogramm - installiert mit dem Betriebssystem Windows-System wenn kein Internetzugang vorhanden ist. Dies kann beispielsweise durch gleichzeitiges Drücken der Tasten win und r erfolgen, dann der Befehl calc eingegeben und auf die Schaltfläche OK geklickt werden. Um trigonometrische Funktionen zu berechnen, gibt es hier eine Schnittstelle namens "Engineering" oder "Scientific" (je nach Betriebssystemversion) - wählen Sie das gewünschte Element im Abschnitt "Ansicht" des Taschenrechnermenüs aus. Geben Sie danach den Wert des Winkels ein und klicken Sie auf die cos-Schaltfläche in der Programmoberfläche.
Ähnliche Videos
Tipp 8: So bestimmen Sie Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck
Rechteckig zeichnet sich durch bestimmte Verhältnisse zwischen Winkeln und Seiten aus. Wenn Sie die Werte einiger von ihnen kennen, können Sie andere berechnen. Dazu werden Formeln verwendet, die wiederum auf den Axiomen und Theoremen der Geometrie beruhen.
Bezugsdaten für Tangens (tg x) und Kotangens (ctg x). Geometrische Definition, Eigenschaften, Diagramme, Formeln. Tabelle der Tangenten und Kotangenten, Ableitungen, Integrale, Reihenentwicklungen. Ausdrücke durch komplexe Variablen. Zusammenhang mit hyperbolischen Funktionen.
Geometrische Definition
|BD| - die Länge des Kreisbogens mit Mittelpunkt A.
α ist der im Bogenmaß ausgedrückte Winkel.
Tangente ( tga) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt, der gleich dem Verhältnis der Länge des gegenüberliegenden Schenkels |BC| ist auf die Länge des angrenzenden Schenkels |AB| .
Kotangens ( ctgα) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt, der gleich dem Verhältnis der Länge des benachbarten Schenkels |AB| ist auf die Länge des gegenüberliegenden Schenkels |BC| .
Tangente
Wo N- ganz.
In der westlichen Literatur wird die Tangente wie folgt bezeichnet:
.
;
;
.
Graph der Tangensfunktion, y = tg x
Kotangens
Wo N- ganz.
In der westlichen Literatur wird der Kotangens wie folgt bezeichnet:
.
Die folgende Notation wurde ebenfalls übernommen:
;
;
.
Graph der Kotangensfunktion, y = ctg x
Eigenschaften von Tangens und Kotangens
Periodizität
Funktionen y= tg x und y= ctg x sind periodisch mit der Periode π.
Parität
Die Funktionen Tangens und Kotangens sind ungerade.
Definitions- und Wertebereiche, aufsteigend, absteigend
Die Funktionen Tangens und Kotangens sind auf ihrem Definitionsbereich stetig (siehe Stetigkeitsbeweis). Die Haupteigenschaften von Tangens und Kotangens sind in der Tabelle dargestellt ( N- Ganzzahl).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Reichweite und Kontinuität | ||
| Wertebereich | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Aufsteigend | - | |
| Absteigend | - | |
| Extreme | - | - |
| Nullen, y= 0 | ||
| Schnittpunkte mit der y-Achse, x = 0 | y= 0 | - |
Formeln
Ausdrücke in Bezug auf Sinus und Cosinus
;
;
;
;
;
Formeln für Tangens und Kotangens von Summe und Differenz
Die restlichen Formeln sind beispielsweise leicht zu beschaffen
Produkt von Tangenten
Die Formel für die Summe und Differenz von Tangenten
Diese Tabelle zeigt die Werte von Tangenten und Kotangens für einige Werte des Arguments. 
Ausdrücke in Bezug auf komplexe Zahlen
Ausdrücke in Bezug auf hyperbolische Funktionen
;
;
Derivate
; .
.
Ableitung n-ter Ordnung nach der Variablen x der Funktion :
.
Herleitung von Formeln für Tangens > > > ; für Kotangens > > >
Integrale
Erweiterungen zur Serie
Um die Entwicklung des Tangens in Potenzen von x zu erhalten, müssen Sie für die Funktionen mehrere Terme der Entwicklung in eine Potenzreihe nehmen Sünde x Und cos x und dividiere diese Polynome ineinander , . Daraus ergeben sich die folgenden Formeln.
Bei .
bei .
Wo B n- Bernoulli-Zahlen. Sie werden entweder aus der Wiederholungsrelation bestimmt:
;
;
Wo .
Oder nach der Laplace-Formel: 
Umkehrfunktionen
Umkehrfunktionen zu Tangens und Kotangens sind Arkustangens bzw. Arkuskotangens.
Arctangens, arctg
, Wo N- ganz.
Bogentangente, arcctg
, Wo N- ganz.
Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.
G. Korn, Handbuch der Mathematik für Forscher und Ingenieure, 2012.
Der Sinus ist eine der trigonometrischen Grundfunktionen, deren Anwendung nicht nur auf die Geometrie beschränkt ist. Tabellen zur Berechnung trigonometrischer Funktionen sind wie technische Taschenrechner nicht immer zur Hand, und die Berechnung des Sinus ist manchmal erforderlich, um verschiedene Probleme zu lösen. Im Allgemeinen hilft die Berechnung des Sinus, zeichnerische Fähigkeiten und Kenntnisse über trigonometrische Identitäten zu festigen.
Lineal- und Bleistiftspiele
Eine einfache Aufgabe: Wie findet man den Sinus eines auf Papier gezeichneten Winkels? Zum Lösen benötigen Sie ein normales Lineal, ein Dreieck (oder einen Kompass) und einen Bleistift. Der einfachste Weg, den Sinus eines Winkels zu berechnen, besteht darin, das hintere Bein eines Dreiecks mit einem rechten Winkel durch die lange Seite – die Hypotenuse – zu teilen. Daher müssen Sie zuerst den spitzen Winkel zur Figur eines rechtwinkligen Dreiecks vervollständigen, indem Sie eine Linie senkrecht zu einem der Strahlen in einem beliebigen Abstand vom Scheitelpunkt des Winkels zeichnen. Es muss ein Winkel von genau 90 ° eingehalten werden, für den wir ein Bürodreieck benötigen.
Die Verwendung eines Kompasses ist etwas präziser, dauert aber länger. Auf einem der Strahlen müssen Sie 2 Punkte in einem bestimmten Abstand markieren, einen Radius auf dem Kompass festlegen, der ungefähr dem Abstand zwischen den Punkten entspricht, und Halbkreise mit Mittelpunkten an diesen Punkten zeichnen, bis sich diese Linien schneiden. Indem wir die Schnittpunkte unserer Kreise miteinander verbinden, erhalten wir eine strikte Senkrechte zum Strahl unseres Winkels. Es bleibt nur noch, die Linie zu verlängern, bis sie sich mit einem anderen Strahl schneidet.
Im resultierenden Dreieck müssen Sie die der Ecke gegenüberliegende Seite und die lange Seite an einem der Strahlen mit einem Lineal messen. Das Verhältnis der ersten Messung zur zweiten ist der gewünschte Wert des Sinus des spitzen Winkels.
Finden Sie den Sinus für einen Winkel größer als 90°
Für einen stumpfen Winkel ist die Aufgabe nicht viel schwieriger. Es ist notwendig, mit einem Lineal einen Strahl vom Scheitelpunkt in die entgegengesetzte Richtung zu zeichnen, um mit einem der Strahlen des Winkels, an dem wir interessiert sind, eine gerade Linie zu bilden. Beim resultierenden spitzen Winkel sollten Sie wie oben beschrieben vorgehen, die Sinus benachbarter Winkel, die zusammen einen Abwicklungswinkel von 180° bilden, sind gleich groß.
Berechnung des Sinus aus anderen trigonometrischen Funktionen
Auch die Berechnung des Sinus ist möglich, wenn die Werte anderer trigonometrischer Funktionen des Winkels oder zumindest die Länge der Seiten des Dreiecks bekannt sind. Dabei helfen uns trigonometrische Identitäten. Schauen wir uns gängige Beispiele an.
Wie findet man den Sinus bei bekanntem Kosinus eines Winkels? Die erste trigonometrische Identität, die aus dem Satz des Pythagoras stammt, besagt, dass die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus desselben Winkels gleich eins ist.
Wie findet man den Sinus mit bekanntem Tangens eines Winkels? Den Tangens erhält man, indem man den fernen Schenkel durch den nahen teilt oder den Sinus durch den Kosinus dividiert. Somit ist der Sinus das Produkt aus Cosinus und Tangens, und das Quadrat des Sinus ist das Quadrat dieses Produkts. Wir ersetzen den quadrierten Kosinus durch die Differenz zwischen Eins und dem quadratischen Sinus gemäß der ersten trigonometrischen Identität und bringen durch einfache Manipulationen die Gleichung, um den quadratischen Sinus durch die Tangente zu berechnen, bzw. um den Sinus zu berechnen, müssen Sie Ziehen Sie die Wurzel aus dem erhaltenen Ergebnis.
Wie findet man den Sinus mit bekanntem Kotangens eines Winkels? Der Wert des Kotangens kann berechnet werden, indem die Länge des nahen vom Beinwinkel durch die Länge des fernen geteilt wird und auch der Kosinus durch den Sinus geteilt wird, dh der Kotangens ist die Umkehrfunktion des Tangens mit in Bezug auf die Zahl 1. Um den Sinus zu berechnen, können Sie den Tangens mit der Formel tg α \u003d 1 / ctg α berechnen und die Formel in der zweiten Option verwenden. Sie können auch eine direkte Formel in Analogie zur Tangente herleiten, die so aussehen wird.
So finden Sie den Sinus der drei Seiten eines Dreiecks
Es gibt eine Formel zum Ermitteln der Länge der unbekannten Seite eines beliebigen Dreiecks, nicht nur eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn zwei bekannte Seiten gegeben sind, indem die trigonometrische Funktion des Kosinus des gegenüberliegenden Winkels verwendet wird. Sie sieht so aus.
Die Begriffe Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens sind die Hauptkategorien der Trigonometrie – einem Zweig der Mathematik – und sind untrennbar mit der Definition eines Winkels verbunden. Der Besitz dieser mathematischen Wissenschaft erfordert das Auswendiglernen und Verstehen von Formeln und Theoremen sowie ein entwickeltes räumliches Denken. Deshalb bereiten trigonometrische Berechnungen Schülern und Studenten oft Schwierigkeiten. Um sie zu überwinden, sollten Sie sich mit trigonometrischen Funktionen und Formeln vertraut machen.
Begriffe in der Trigonometrie
Um die grundlegenden Konzepte der Trigonometrie zu verstehen, müssen Sie zunächst entscheiden, was ein rechtwinkliges Dreieck und ein Winkel in einem Kreis sind und warum alle grundlegenden trigonometrischen Berechnungen damit verbunden sind. Ein Dreieck, in dem einer der Winkel 90 Grad beträgt, ist ein rechtwinkliges Dreieck. Historisch gesehen wurde diese Figur oft von Menschen in Architektur, Navigation, Kunst und Astronomie verwendet. Dementsprechend kamen die Leute beim Studium und der Analyse der Eigenschaften dieser Figur zur Berechnung der entsprechenden Verhältnisse ihrer Parameter.
Die Hauptkategorien, die mit rechtwinkligen Dreiecken verbunden sind, sind die Hypotenuse und die Schenkel. Die Hypotenuse ist die Seite eines Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Die Beine sind jeweils die anderen beiden Seiten. Die Summe der Winkel eines Dreiecks beträgt immer 180 Grad.
Sphärische Trigonometrie ist ein Teilbereich der Trigonometrie, der nicht in der Schule studiert wird, aber in angewandten Wissenschaften wie Astronomie und Geodäsie von Wissenschaftlern verwendet wird. Ein Merkmal eines Dreiecks in der sphärischen Trigonometrie ist, dass es immer eine Winkelsumme von mehr als 180 Grad hat.
Winkel eines Dreiecks
In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines Winkels das Verhältnis des Schenkels gegenüber dem gewünschten Winkel zur Hypotenuse des Dreiecks. Dementsprechend ist der Kosinus das Verhältnis des benachbarten Schenkels und der Hypotenuse. Diese beiden Werte haben immer einen Wert kleiner als eins, da die Hypotenuse immer länger ist als das Bein.
Der Tangens eines Winkels ist ein Wert, der dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten Schenkel des gewünschten Winkels oder Sinus zu Cosinus entspricht. Der Kotangens wiederum ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels des gewünschten Winkels zum gegenüberliegenden Kakteen. Den Kotangens eines Winkels erhält man auch, indem man die Einheit durch den Wert des Tangens dividiert.
Einheitskreis
Ein Einheitskreis in der Geometrie ist ein Kreis, dessen Radius gleich eins ist. Ein solcher Kreis wird im kartesischen Koordinatensystem konstruiert, wobei der Kreismittelpunkt mit dem Ursprungspunkt zusammenfällt und die Anfangslage des Radiusvektors durch die positive Richtung der X-Achse (Abszissenachse) bestimmt wird. Jeder Punkt des Kreises hat zwei Koordinaten: XX und YY, dh die Koordinaten der Abszisse und der Ordinate. Wenn wir einen beliebigen Punkt auf dem Kreis in der XX-Ebene auswählen und die Senkrechte von ihm auf die Abszissenachse fallen lassen, erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck, das durch einen Radius zum ausgewählten Punkt gebildet wird (lassen Sie uns ihn mit dem Buchstaben C bezeichnen), eine Senkrechte, die auf gezeichnet wird die X-Achse (der Schnittpunkt ist mit dem Buchstaben G bezeichnet) und ein Segment die Abszissenachse zwischen dem Ursprung (der Punkt ist mit dem Buchstaben A bezeichnet) und dem Schnittpunkt G. Das resultierende Dreieck ACG ist ein einbeschriebenes rechtwinkliges Dreieck ein Kreis, bei dem AG die Hypotenuse und AC und GC die Beine sind. Den Winkel zwischen dem Radius des Kreises AC und dem Segment der Abszissenachse mit der Bezeichnung AG definieren wir als α (Alpha). Also cos α = AG/AC. Da AC der Radius des Einheitskreises ist und gleich eins ist, stellt sich heraus, dass cos α = AG ist. In ähnlicher Weise ist sin α = CG.
Wenn Sie diese Daten kennen, können Sie außerdem die Koordinate von Punkt C auf dem Kreis bestimmen, da cos α \u003d AG und sin α \u003d CG, was bedeutet, dass Punkt C hat angegebenen Koordinaten(cos α; sin α). Da wir wissen, dass der Tangens gleich dem Verhältnis von Sinus zu Kosinus ist, können wir bestimmen, dass tg α \u003d y / x und ctg α \u003d x / y. Betrachtet man Winkel in einem negativen Koordinatensystem, kann man berechnen, dass die Sinus- und Kosinuswerte einiger Winkel negativ sein können.
Berechnungen und Grundformeln
Werte trigonometrischer Funktionen
Nachdem wir das Wesen trigonometrischer Funktionen durch den Einheitskreis betrachtet haben, können wir die Werte dieser Funktionen für einige Winkel ableiten. Die Werte sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.
Die einfachsten trigonometrischen Identitäten
Gleichungen, in denen unter dem Vorzeichen der trigonometrischen Funktion ein unbekannter Wert steht, heißen trigonometrisch. Identitäten mit dem Wert sin x = α, k ist eine beliebige ganze Zahl:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. Sünde x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
- sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
- sin x = a, |a| > 1, keine Lösungen.
- sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
Identitäten mit dem Wert cos x = a, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, keine Lösungen.
- cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.
Identitäten mit dem Wert tg x = a, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist:
- tg x = 0, x = π/2 + πk.
- tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.
Identitäten mit dem Wert ctg x = a, wobei k eine beliebige Ganzzahl ist:
- ctg x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.
Gießen Sie Formeln
Diese Kategorie konstanter Formeln bezeichnet Methoden, mit denen Sie von trigonometrischen Funktionen der Form zu Funktionen des Arguments wechseln können, dh Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels mit beliebigem Wert in die entsprechenden Indikatoren des Winkels umwandeln können das Intervall von 0 bis 90 Grad für eine einfachere Berechnung.
Die Formeln zum Reduzieren von Funktionen für den Sinus eines Winkels sehen folgendermaßen aus:
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = sin α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = sin α.
Für den Kosinus eines Winkels:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cosα;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cosα;
- cos(3600 + α) = cosα.
Die Verwendung der obigen Formeln ist unter Beachtung von zwei Regeln möglich. Erstens, wenn der Winkel als Wert (π/2 ± a) oder (3π/2 ± a) dargestellt werden kann, ändert sich der Wert der Funktion:
- von der Sünde zum cos;
- von Kose zu Sünde;
- von tg bis ctg;
- von ctg bis tg.
Der Wert der Funktion bleibt unverändert, wenn der Winkel als (π ± a) oder (2π ± a) dargestellt werden kann.
Zweitens ändert sich das Vorzeichen der reduzierten Funktion nicht: Wenn es anfangs positiv war, bleibt es so. Dasselbe gilt für negative Funktionen.
Additionsformeln
Diese Formeln drücken die Werte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens der Summe und Differenz zweier Drehwinkel in Bezug auf ihre trigonometrischen Funktionen aus. Winkel werden üblicherweise als α und β bezeichnet.
Die Formeln sehen so aus:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Diese Formeln gelten für beliebige Winkel α und β.
Doppel- und Dreifachwinkelformeln
Die trigonometrischen Formeln eines Doppel- und Dreifachwinkels sind Formeln, die die Funktionen der Winkel 2α bzw. 3α mit den trigonometrischen Funktionen des Winkels α in Beziehung setzen. Abgeleitet aus Additionsformeln:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2α.
- tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
- cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Übergang von der Summe zum Produkt
In Anbetracht der Tatsache, dass 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) und diese Formel vereinfachen, erhalten wir die Identität sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Ähnlich ist sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Übergang vom Produkt zur Summe
Diese Formeln folgen aus den Identitäten für den Übergang der Summe zum Produkt:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Reduktionsformeln
In diesen Identitäten können die quadratischen und kubischen Potenzen von Sinus und Cosinus als Sinus und Cosinus der ersten Potenz eines Vielfachwinkels ausgedrückt werden:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Universelle Substitution
Die universellen trigonometrischen Substitutionsformeln drücken trigonometrische Funktionen in Bezug auf die Tangente eines halben Winkels aus.
- Sünde x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), während x \u003d π + 2πn;
- cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), wobei x = π + 2πn;
- tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), wobei x \u003d π + 2πn;
- ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), während x \u003d π + 2πn.
Sonderfälle
Sonderfälle der einfachsten trigonometrischen Gleichungen sind unten angegeben (k ist eine beliebige ganze Zahl).
Privat für Sinus:
| Sünde x Wert | x-Wert |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk oder 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk oder -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk oder 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk oder -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk oder 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk oder -2π/3 + 2πk |
Kosinusquotienten:
| cos x wert | x-Wert |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Privat für Tangente:
| tg x-Wert | x-Wert |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Kotangensquotienten:
| ctg x-Wert | x-Wert |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Sätze
Sinussatz
Es gibt zwei Versionen des Theorems - einfach und erweitert. Einfacher Sinussatz: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. In diesem Fall sind a, b, c die Seiten des Dreiecks und α, β, γ sind die entgegengesetzten Winkel.
Erweiterter Sinussatz für ein beliebiges Dreieck: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. In dieser Identität bezeichnet R den Radius des Kreises, in den das gegebene Dreieck eingeschrieben ist.
Kosinussatz
Die Identität wird folgendermaßen dargestellt: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. In der Formel sind a, b, c die Seiten des Dreiecks und α ist der Winkel gegenüber der Seite a.
Tangentensatz
Die Formel drückt die Beziehung zwischen den Tangenten zweier Winkel und der Länge der ihnen gegenüberliegenden Seiten aus. Die Seiten sind mit a, b, c bezeichnet und die entsprechenden gegenüberliegenden Winkel sind α, β, γ. Die Formel des Tangentensatzes: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).
Kotangenssatz
Ordnet den Radius eines in ein Dreieck eingeschriebenen Kreises der Länge seiner Seiten zu. Wenn a, b, c die Seiten eines Dreiecks sind und A, B, C jeweils ihre gegenüberliegenden Winkel, r der Radius des einbeschriebenen Kreises und p der halbe Umfang des Dreiecks sind, die folgenden Identitäten halten:
- ctgA/2 = (p-a)/r;
- ctgB/2 = (p-b)/r;
- ctg C/2 = (p-c)/r.
Anwendungen
Trigonometrie ist nicht nur theoretische Wissenschaft verbunden mit mathematischen Formeln. Seine Eigenschaften, Theoreme und Regeln werden in der Praxis von verschiedenen Branchen verwendet Menschliche Aktivität– Astronomie, Luft- und Seeschifffahrt, Musiktheorie, Geodäsie, Chemie, Akustik, Optik, Elektronik, Architektur, Wirtschaftswissenschaften, Maschinenbau, Messarbeiten, Computergrafik, Kartographie, Ozeanographie und viele andere.
Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens sind die Grundbegriffe der Trigonometrie, mit der man den Zusammenhang zwischen Winkeln und Seitenlängen in einem Dreieck mathematisch ausdrücken und durch Identitäten, Sätze und Regeln die gesuchten Größen finden kann.
Was der Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens eines Winkels ist, wird dir helfen, ein rechtwinkliges Dreieck zu verstehen.
Wie heißen die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? Richtig, Hypotenuse und Beine: Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt (in unserem Beispiel ist das die Seite \ (AC \) ); die Beine sind die beiden verbleibenden Seiten \ (AB \) und \ (BC \) (diejenigen, die an den rechten Winkel angrenzen), außerdem, wenn wir die Beine in Bezug auf den Winkel \ (BC \) betrachten, dann das Bein \ (AB \) ist das benachbarte Bein, und das Bein \ (BC \) ist das gegenüberliegende. Beantworten wir nun die Frage: Was sind Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels?
Sinus eines Winkels- Dies ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (fernen) Beins zur Hypotenuse.
In unserem Dreieck:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Kosinus eines Winkels- Dies ist das Verhältnis des angrenzenden (nahen) Beins zur Hypotenuse.
In unserem Dreieck:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Winkel Tangente- Dies ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (fernen) Beins zum benachbarten (nahen).
In unserem Dreieck:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Kotangens eines Winkels- Dies ist das Verhältnis des benachbarten (nahen) Beins zum gegenüberliegenden (fernen).
In unserem Dreieck:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC)\]
Diese Definitionen sind notwendig erinnern! Damit Sie sich leichter merken können, welches Bein durch was geteilt werden muss, müssen Sie das klar verstehen Tangente Und Kotangens nur die Beine sitzen, und die Hypotenuse erscheint nur in Sinus Und Kosinus. Und dann kann man sich eine Assoziationskette ausdenken. Zum Beispiel dieser:
Kosinus→Berührung→Berührung→benachbart;
Kotangens → Berührung → Berührung → benachbart.
Zunächst ist zu beachten, dass Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens als Verhältnisse der Seiten eines Dreiecks nicht von der Länge dieser Seiten (in einem Winkel) abhängen. Glaubst du nicht? Dann stellen Sie sicher, indem Sie sich das Bild ansehen:
Betrachten wir zum Beispiel den Kosinus des Winkels \(\beta \) . Per Definition aus einem Dreieck \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), aber wir können den Kosinus des Winkels \(\beta \) aus dem Dreieck \(AHI \) berechnen: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Sie sehen, die Längen der Seiten sind unterschiedlich, aber der Wert des Kosinus eines Winkels ist gleich. Somit hängen die Werte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens ausschließlich von der Größe des Winkels ab.
Wenn Sie die Definitionen verstehen, dann machen Sie weiter und beheben Sie sie!
Für das in der Abbildung unten gezeigte Dreieck \(ABC \) finden wir \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)
Na, hast du es verstanden? Dann versuchen Sie es selbst: Berechnen Sie dasselbe für den Winkel \(\beta \) .
Antworten: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Einheitskreis (trigonometrischer Kreis).
Nachdem wir die Konzepte von Grad und Radiant verstanden hatten, betrachteten wir einen Kreis mit einem Radius gleich \ (1 \) . Ein solcher Kreis heißt einzel. Es ist sehr nützlich beim Studium der Trigonometrie. Deshalb gehen wir etwas ausführlicher darauf ein.
Wie Sie sehen, ist dieser Kreis im kartesischen Koordinatensystem aufgebaut. Der Radius des Kreises ist gleich eins, während der Mittelpunkt des Kreises im Ursprung liegt, ist die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der \(x \)-Achse festgelegt (in unserem Beispiel ist dies die Radius \(AB \) ).
Jeder Punkt auf dem Kreis entspricht zwei Zahlen: der Koordinate entlang der Achse \(x \) und der Koordinate entlang der Achse \(y \) . Was sind diese Koordinatenzahlen? Und überhaupt, was haben sie mit dem Thema zu tun? Denken Sie dazu an das betrachtete rechtwinklige Dreieck. In der obigen Abbildung sehen Sie zwei ganze rechtwinklige Dreiecke. Betrachten Sie das Dreieck \(ACG \) . Es ist rechteckig, weil \(CG \) senkrecht zur \(x \)-Achse steht.
Was ist \(\cos \ \alpha \) aus dem Dreieck \(ACG \) ? Alles ist richtig \(\cos\\alpha=\dfrac(AG)(AC)\). Außerdem wissen wir, dass \(AC \) der Radius des Einheitskreises ist, also \(AC=1 \) . Setzen Sie diesen Wert in unsere Kosinusformel ein. Folgendes passiert:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Und was ist \(\sin \ \alpha \) aus dem Dreieck \(ACG \) ? Nun, natürlich, \(\sin\alpha=\dfrac(CG)(AC)\)! Setzen Sie den Wert des Radius \ (AC \) in diese Formel ein und erhalten Sie:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Können Sie mir also sagen, was die Koordinaten des Punktes \(C \) sind, der zum Kreis gehört? Nun, auf keinen Fall? Aber was, wenn Sie erkennen, dass \(\cos \ \alpha \) und \(\sin \alpha \) nur Zahlen sind? Welcher Koordinate entspricht \(\cos \alpha \)? Nun, natürlich ist die Koordinate \(x \) ! Und welcher Koordinate entspricht \(\sin \alpha \)? Richtig, die \(y\)-Koordinate! Also der Punkt \(C(x;y)=C(\cos\alpha;\sin\alpha)\).
Was sind dann \(tg \alpha \) und \(ctg \alpha \) ? Das ist richtig, lass uns die entsprechenden Definitionen von Tangens und Kotangens verwenden und das bekommen \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Was ist, wenn der Winkel größer ist? Hier zum Beispiel, wie auf diesem Bild:
Was hat sich geändert in dieses Beispiel? Finden wir es heraus. Dazu wenden wir uns wieder einem rechtwinkligen Dreieck zu. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : ein Winkel (als Nebenwinkel \(\beta \) ). Welchen Wert haben Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens für einen Winkel? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Richtig, wir halten uns an die entsprechenden Definitionen trigonometrischer Funktionen:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)
Nun, wie Sie sehen können, entspricht der Wert des Sinus des Winkels immer noch der Koordinate \ (y \) ; der Wert des Kosinus des Winkels - die Koordinate \ (x \) ; und die Werte von Tangens und Kotangens zu den entsprechenden Verhältnissen. Somit sind diese Beziehungen auf beliebige Drehungen des Radiusvektors anwendbar.
Es wurde bereits erwähnt, dass die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der \(x \)-Achse liegt. Bisher haben wir diesen Vektor gegen den Uhrzeigersinn gedreht, aber was passiert, wenn wir ihn im Uhrzeigersinn drehen? Nichts Außergewöhnliches, Sie erhalten auch einen Winkel einer bestimmten Größe, aber nur er wird negativ sein. Wenn wir also den Radiusvektor gegen den Uhrzeigersinn drehen, erhalten wir positive Winkel, und beim Drehen im Uhrzeigersinn - Negativ.
Wir wissen also, dass die gesamte Umdrehung des Radiusvektors um den Kreis \(360()^\circ \) oder \(2\pi \) ist. Ist es möglich, den Radiusvektor um \(390()^\circ \) oder um \(-1140()^\circ \) zu drehen? Nun, natürlich können Sie! Im ersten Fall, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), also macht der Radiusvektor eine volle Umdrehung und stoppt bei \(30()^\circ \) oder \(\dfrac(\pi )(6) \) .
Im zweiten Fall \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), das heißt, der Radiusvektor macht drei vollständige Umdrehungen und stoppt an der Position \(-60()^\circ \) oder \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Aus den obigen Beispielen können wir also schließen, dass Winkel, die sich um \(360()^\circ \cdot m \) oder \(2\pi \cdot m \) unterscheiden (wobei \(m \) eine beliebige ganze Zahl ist) entsprechen der gleichen Position des Radiusvektors.
Die folgende Abbildung zeigt den Winkel \(\beta =-60()^\circ \) . Dasselbe Bild entspricht der Ecke \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) usw. Diese Liste lässt sich beliebig fortführen. Alle diese Winkel können mit der allgemeinen Formel geschrieben werden \(\beta +360()^\circ \cdot m\) oder \(\beta +2\pi \cdot m \) (wobei \(m \) eine beliebige ganze Zahl ist)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Versuchen Sie nun, nachdem Sie die Definitionen der grundlegenden trigonometrischen Funktionen kennen und den Einheitskreis verwenden, zu beantworten, was die Werte gleich sind:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Hier ist ein Einheitskreis, der Ihnen hilft:
Irgendwelche Schwierigkeiten? Dann lass es uns herausfinden. Das wissen wir also:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array) \)
Von hier aus bestimmen wir die Koordinaten der Punkte, die bestimmten Winkelmaßen entsprechen. Nun, fangen wir der Reihe nach an: die Ecke rein \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) entspricht einem Punkt mit den Koordinaten \(\left(0;1 \right) \) , also:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- existiert nicht;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Wenn wir uns an die gleiche Logik halten, stellen wir außerdem fest, dass die Ecken innen sind \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) entsprechen Punkten mit Koordinaten \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \right) \), bzw. Mit diesem Wissen ist es einfach, die Werte trigonometrischer Funktionen an den entsprechenden Punkten zu bestimmen. Probieren Sie es zuerst selbst aus und überprüfen Sie dann die Antworten.
Antworten:
\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- existiert nicht
\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rechtspfeil \text(tg)\ 270()^\circ \)- existiert nicht
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin\360()^\circ=0\)
\(\cos\360()^\circ=1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- existiert nicht
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- existiert nicht
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Somit können wir folgende Tabelle erstellen:
Es ist nicht nötig, sich all diese Werte zu merken. Es reicht aus, sich an die Entsprechung zwischen den Koordinaten von Punkten auf dem Einheitskreis und den Werten trigonometrischer Funktionen zu erinnern:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Muss sich merken oder ausgeben können!! \) !}
Und hier sind die Werte der trigonometrischen Funktionen der Winkel in und \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) In der folgenden Tabelle müssen Sie Folgendes beachten:
Keine Angst, jetzt zeigen wir eines der Beispiele für ein ziemlich einfaches Auswendiglernen der entsprechenden Werte:
Um diese Methode zu verwenden, ist es wichtig, sich die Sinuswerte für alle drei Winkelmaße zu merken ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), sowie den Wert des Tangens des Winkels in \(30()^\circ \) . Wenn Sie diese \(4\)-Werte kennen, können Sie ganz einfach die gesamte Tabelle wiederherstellen - die Kosinuswerte werden gemäß den Pfeilen übertragen, das heißt:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \) Wenn Sie dies wissen, ist es möglich, die Werte für wiederherzustellen \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Der Zähler „\(1 \) “ entspricht \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , und der Nenner „\(\sqrt(\text(3)) \) “ entspricht \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangenswerte werden gemäß den in der Abbildung gezeigten Pfeilen übertragen. Wenn Sie dies verstehen und sich an das Schema mit Pfeilen erinnern, reicht es aus, sich nur \(4 \) Werte aus der Tabelle zu merken.
Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis
Ist es möglich, einen Punkt (seine Koordinaten) auf einem Kreis zu finden, wenn man die Koordinaten des Kreismittelpunkts, seinen Radius und seinen Rotationswinkel kennt? Nun, natürlich können Sie! Lassen Sie uns eine allgemeine Formel zum Ermitteln der Koordinaten eines Punktes herleiten. Hier haben wir zum Beispiel einen solchen Kreis:
Dieser Punkt ist uns gegeben \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) ist der Mittelpunkt des Kreises. Der Radius des Kreises ist \(1,5 \) . Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes \(P \) zu finden, die durch Drehen des Punktes \(O \) um \(\delta \) Grad erhalten werden.
Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, entspricht die Koordinate \ (x \) des Punktes \ (P \) der Länge des Segments \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Die Länge des Segments \ (UK \) entspricht der Koordinate \ (x \) des Kreismittelpunkts, dh sie ist gleich \ (3 \) . Die Länge des Segments \(KQ \) kann mit der Definition von Kosinus ausgedrückt werden:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Dann haben wir für den Punkt \(P\) die Koordinate \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Durch die gleiche Logik finden wir den Wert der y-Koordinate für den Punkt \(P\) . Auf diese Weise,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Also rein Gesamtansicht Punktkoordinaten werden durch die Formeln bestimmt:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Wo
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - Koordinaten des Kreismittelpunkts,
\(r\) - Kreisradius,
\(\delta \) - Rotationswinkel des Vektorradius.
Wie Sie sehen können, sind diese Formeln für den Einheitskreis, den wir betrachten, erheblich reduziert, da die Koordinaten des Zentrums Null sind und der Radius gleich Eins ist:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
Javascript ist in Ihrem Browser deaktiviert.ActiveX-Steuerelemente müssen aktiviert sein, um Berechnungen durchführen zu können!
