Das Kreuzprodukt eines Vektors und sich selbst. Vektorprodukt von durch Koordinaten gegebenen Vektoren

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Definition. Das Vektorprodukt eines Vektors a (Multiplikator) mit einem dazu nicht kollinearen Vektor (Multiplikator) ist der dritte Vektor c (Produkt), der wie folgt aufgebaut ist:

1) sein Modul ist numerisch gleich der Fläche des Parallelogramms in Abb. 155), auf Vektoren aufgebaut, d. h. sie ist gleich der Richtung senkrecht zur Ebene des erwähnten Parallelogramms;

3) In diesem Fall wird die Richtung des Vektors c (aus zwei möglichen) so gewählt, dass die Vektoren c ein rechtshändiges System bilden (§ 110).

Bezeichnung: oder

Nachtrag zur Definition. Wenn die Vektoren kollinear sind und die Figur als (bedingtes) Parallelogramm betrachtet wird, ist es selbstverständlich, der Fläche Null zuzuweisen. Deshalb Vektorprodukt kollineare Vektoren werden als gleich dem Nullvektor angesehen.

Da dem Nullvektor jede beliebige Richtung zugeordnet werden kann, widerspricht diese Konvention nicht den Punkten 2 und 3 der Definition.

Anmerkung 1. Im Begriff „Vektorprodukt“ weist das erste Wort darauf hin, dass das Ergebnis einer Aktion ein Vektor ist (im Gegensatz zu einem Skalarprodukt; vgl. § 104, Anmerkung 1).

Beispiel 1. Finden Sie das Vektorprodukt, bei dem die Hauptvektoren des rechten Koordinatensystems liegen (Abb. 156).

1. Da die Längen der Hauptvektoren gleich der Skaleneinheit sind, ist die Fläche des Parallelogramms (Quadrats) numerisch gleich eins. Daher ist der Modul des Vektorprodukts gleich eins.

2. Da die Senkrechte zur Ebene die Achse ist, ist das gewünschte Vektorprodukt ein Vektor, der kollinear zum Vektor k ist; und da beide Modul 1 haben, ist das erforderliche Kreuzprodukt entweder k oder -k.

3. Von diesen beiden möglichen Vektoren muss der erste ausgewählt werden, da die Vektoren k ein rechtes System bilden (und die Vektoren ein linkes System).

Beispiel 2. Finden Sie das Kreuzprodukt

Lösung. Wie in Beispiel 1 schließen wir, dass der Vektor entweder k oder -k ist. Aber jetzt müssen wir -k wählen, da die Vektoren das rechte System bilden (und die Vektoren das linke). So,

Beispiel 3 Die Vektoren haben eine Länge von 80 bzw. 50 cm und bilden einen Winkel von 30°. Nehmen Sie einen Meter als Längeneinheit und ermitteln Sie die Länge des Vektorprodukts a

Lösung. Die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Parallelogramms ist gleich. Die Länge des gewünschten Vektorprodukts ist gleich

Beispiel 4. Ermitteln Sie die Länge des Kreuzprodukts derselben Vektoren, indem Sie einen Zentimeter als Längeneinheit verwenden.

Lösung. Da die Fläche des aus Vektoren aufgebauten Parallelogramms gleich der Länge des Vektorprodukts ist, beträgt sie 2000 cm, d.h.

Der Vergleich der Beispiele 3 und 4 zeigt, dass die Länge des Vektors nicht nur von den Längen der Faktoren abhängt, sondern auch von der Wahl der Längeneinheit.

Die physikalische Bedeutung des Vektorprodukts. Von den vielen physikalischen Größen, die durch das Vektorprodukt dargestellt werden, betrachten wir nur das Kraftmoment.

Sei A der Angriffspunkt der Kraft. Das Kraftmoment relativ zum Punkt O wird als Vektorprodukt bezeichnet. Da der Modul dieses Vektorprodukts numerisch gleich der Fläche des Parallelogramms ist (Abb. 157), Der Modul des Moments ist gleich dem Produkt der Grundfläche mit der Höhe, also der Kraft multipliziert mit dem Abstand vom Punkt O zur Geraden, entlang derer die Kraft wirkt.

In der Mechanik ist bewiesen, dass es für das Gleichgewicht eines starren Körpers notwendig ist, dass nicht nur die Summe der Vektoren, die die auf den Körper ausgeübten Kräfte darstellen, sondern auch die Summe der Kraftmomente gleich Null sein muss. Wenn alle Kräfte parallel zur gleichen Ebene verlaufen, kann die Addition der die Momente darstellenden Vektoren durch die Addition und Subtraktion ihrer Moduli ersetzt werden. Für beliebige Kraftrichtungen ist ein solcher Ersatz jedoch nicht möglich. Demnach wird das Kreuzprodukt genau als Vektor und nicht als Zahl definiert.

Der Online-Rechner berechnet das Kreuzprodukt von Vektoren. Eine detaillierte Lösung wird gegeben. Um das Kreuzprodukt von Vektoren zu berechnen, geben Sie die Koordinaten der Vektoren in die Zellen ein und klicken Sie auf „Berechnen“.

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Anleitung zur Dateneingabe. Zahlen werden als ganze Zahlen (Beispiele: 487, 5, -7623 usw.), Dezimalzahlen (z. B. 67, 102,54 usw.) oder Brüche eingegeben. Der Bruch muss in der Form a/b eingegeben werden, wobei a und b (b>0) ganze Zahlen oder Dezimalzahlen sind. Beispiele 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 usw.

Kreuzprodukt von Vektoren

Bevor Sie mit der Definition des Vektorprodukts von Vektoren fortfahren, betrachten Sie die Konzepte geordnetes Vektortripel, linkes Vektortripel, rechtes Vektortripel.

Definition 1. Es werden drei Vektoren aufgerufen Dreifach bestellt(oder Tripel), wenn angegeben wird, welcher dieser Vektoren der erste, welcher der zweite und welcher der dritte ist.

Aufzeichnung cba- bedeutet - der erste ist ein Vektor C, der zweite ist der Vektor B und der dritte ist der Vektor A.

Definition 2. Ein Tripel nichtkoplanarer Vektoren ABC heißt rechts (links), wenn diese Vektoren, wenn sie auf einen gemeinsamen Anfang reduziert werden, so angeordnet sind, dass sie entsprechend groß, ungebogener Index und sind Mittelfinger rechte (linke) Hand.

Definition 2 kann auch anders formuliert werden.

Definition 2. Ein Tripel nichtkoplanarer Vektoren ABC heißt rechts (links), wenn der Vektor auf einen gemeinsamen Ursprung reduziert wird C befindet sich auf der anderen Seite der durch die Vektoren definierten Ebene A Und B, woher die kürzeste Abzweigung A Zu B gegen den Uhrzeigersinn (im Uhrzeigersinn) ausgeführt.

Vektortrio ABC in Abb. dargestellt. 1 ist richtig und dreifach ABC in Abb. dargestellt. 2 ist übrig.

Wenn zwei Vektortripel rechts oder links sind, dann sagt man, dass sie die gleiche Orientierung haben. Ansonsten spricht man von entgegengesetzter Orientierung.

Definition 3. Ein kartesisches oder affines Koordinatensystem heißt rechts (links), wenn die drei Basisvektoren ein rechtes (linkes) Tripel bilden.

Der Bestimmtheit halber betrachten wir im Folgenden nur rechtshändige Koordinatensysteme.

Definition 4. Vektorgrafiken Vektor A pro Vektor B Vektor genannt Mit, gekennzeichnet durch das Symbol c=[ab] (oder c=[a,b], oder c=a×b) und die folgenden drei Anforderungen erfüllen:

• Vektorlänge Mit ist gleich dem Produkt der Längen der Vektoren A Und B zum Sinus des Winkels φ zwischen ihnen:

|C|=|[ab]|=|A||B|Sündeφ;

(1)

• Vektor Mit orthogonal zu jedem der Vektoren A Und B;
• Vektor C so gerichtet, dass die drei ABC ist richtig.

Das Kreuzprodukt von Vektoren hat folgende Eigenschaften:

• [ab]=−[ba] (Antipermutabilität Faktoren);
• [(λa)B]=λ [ab] (Kompatibilität relativ zum numerischen Faktor);
• [(a+b)C]=[AC]+[BC] (Verteilung relativ zur Summe der Vektoren);
• [aa]=0 für jeden Vektor A.

Geometrische Eigenschaften des Kreuzprodukts von Vektoren

Satz 1. Damit zwei Vektoren kollinear sind, ist es notwendig und ausreichend, dass ihr Vektorprodukt gleich Null ist.

Nachweisen. Notwendigkeit. Lassen Sie die Vektoren A Und B kollinear. Dann beträgt der Winkel zwischen ihnen 0 oder 180° und Sündeφ=Sünde180=Sünde 0=0. Berücksichtigen Sie daher Ausdruck (1), die Länge des Vektors C gleich Null. Dann C Nullvektor.

Angemessenheit. Sei das Kreuzprodukt von Vektoren A Und B Navigation auf Null: [ ab]=0. Beweisen wir, dass die Vektoren A Und B kollinear. Wenn mindestens einer der Vektoren A Und B Null, dann sind diese Vektoren kollinear (da der Nullvektor eine unbestimmte Richtung hat und als kollinear zu jedem Vektor betrachtet werden kann).

Wenn beide Vektoren A Und B ungleich Null, dann | A|>0, |B|>0. Dann von [ ab]=0 und aus (1) folgt das Sündeφ=0. Daher die Vektoren A Und B kollinear.

Der Satz ist bewiesen.

Satz 2. Die Länge (Modul) des Vektorprodukts [ ab] entspricht der Fläche S Parallelogramm, das auf auf einen gemeinsamen Ursprung reduzierten Vektoren aufgebaut ist A Und B.

Nachweisen. Wie Sie wissen, ist die Fläche eines Parallelogramms gleich dem Produkt der benachbarten Seiten dieses Parallelogramms und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen. Somit:

Dann hat das Kreuzprodukt dieser Vektoren die Form:

Wenn wir die Determinante über die Elemente der ersten Zeile erweitern, erhalten wir die Zerlegung des Vektors a×b Basis i, j, k, was der Formel (3) entspricht.

Beweis von Satz 3. Stellen Sie alle möglichen Paare von Basisvektoren zusammen i, j, k und berechnen Sie deren Vektorprodukt. Es sollte berücksichtigt werden, dass die Basisvektoren zueinander orthogonal sind, ein rechtes Tripel bilden und eine Einheitslänge haben (mit anderen Worten, das können wir annehmen). ich={1, 0, 0}, J={0, 1, 0}, k=(0, 0, 1)). Dann haben wir:

Aus der letzten Gleichheit und den Beziehungen (4) erhalten wir:

Erstellen Sie eine 3×3-Matrix, deren erste Zeile die Basisvektoren sind ich, j, k, und die restlichen Zeilen werden mit Elementen von Vektoren gefüllt A Und B.

Bevor wir das Konzept eines Vektorprodukts angeben, wenden wir uns der Frage nach der Orientierung des geordneten Vektortripels a → , b → , c → im dreidimensionalen Raum zu.

Lassen Sie uns zunächst die Vektoren a → , b → , c → von einem Punkt beiseite legen. Die Orientierung des Tripels a → , b → , c → ist rechts oder links, abhängig von der Richtung des Vektors c → . Aus der Richtung, in der die kürzeste Drehung vom Vektor a → nach b → vom Ende des Vektors c → erfolgt, wird die Form des Tripels a → , b → , c → bestimmt.

Wenn die kürzeste Drehung gegen den Uhrzeigersinn erfolgt, dann heißt das Vektortripel a → , b → , c → Rechts wenn im Uhrzeigersinn - links.

Nehmen Sie als nächstes zwei nichtkollineare Vektoren a → und b → . Verschieben wir dann die Vektoren A B → = a → und A C → = b → vom Punkt A. Konstruieren wir einen Vektor A D → = c → , der gleichzeitig senkrecht zu A B → und A C → steht. Wenn wir also den Vektor A D → = c → konstruieren, können wir zwei Dinge tun und ihm entweder eine Richtung oder die entgegengesetzte Richtung geben (siehe Abbildung).

Das geordnete Trio der Vektoren a → , b → , c → kann, wie wir herausgefunden haben, je nach Richtung des Vektors rechts oder links sein.

Aus dem Obigen können wir die Definition eines Vektorprodukts einführen. Diese Definition ist für zwei Vektoren gegeben, die in einem rechtwinkligen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums definiert sind.

Definition 1

Das Vektorprodukt zweier Vektoren a → und b → Wir nennen einen solchen Vektor, der in einem rechteckigen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums gegeben ist, so dass:

• wenn die Vektoren a → und b → kollinear sind, ist es Null;
• es wird sowohl zum Vektor a →​​ als auch zum Vektor b → senkrecht sein, d. h. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• seine Länge wird durch die Formel bestimmt: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• das Triplett der Vektoren a → , b → , c → hat die gleiche Orientierung wie das gegebene Koordinatensystem.

Das Kreuzprodukt der Vektoren a → und b → hat die folgende Notation: a → × b → .

Kreuzproduktkoordinaten

Da jeder Vektor bestimmte Koordinaten im Koordinatensystem hat, ist es möglich, eine zweite Definition des Vektorprodukts einzuführen, die es Ihnen ermöglicht, seine Koordinaten aus den gegebenen Koordinaten der Vektoren zu ermitteln.

Definition 2

In einem rechteckigen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums Vektorprodukt zweier Vektoren a → = (a x ; a y ; a z) und b → = (b x ; b y ; b z) Nennen Sie den Vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , wobei i → , j → , k → Koordinatenvektoren sind.

Das Vektorprodukt kann als Determinante einer quadratischen Matrix dritter Ordnung dargestellt werden, wobei die erste Zeile die Orta-Vektoren i → , j → , k → enthält, die zweite Zeile die Koordinaten des Vektors a → enthält und die dritte sind die Koordinaten des Vektors b → in einem gegebenen rechtwinkligen Koordinatensystem, diese Matrixdeterminante sieht folgendermaßen aus: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Wenn wir diese Determinante über die Elemente der ersten Zeile erweitern, erhalten wir die Gleichheit: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → × b → = ( a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Produktübergreifende Eigenschaften

Es ist bekannt, dass das Vektorprodukt in Koordinaten als Determinante der Matrix c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , dann auf der Basis dargestellt wird Matrixdeterminanteneigenschaften die folgende Vektorprodukteigenschaften:

1. Antikommutativität a → × b → = - b → × a → ;
2. Distributivität a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → oder a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. Assoziativität λ a → × b → = λ a → × b → oder a → × (λ b →) = λ a → × b → , wobei λ eine beliebige reelle Zahl ist.

Für diese Eigenschaften gibt es keine komplizierten Beweise.

Beispielsweise können wir die Antikommutativitätseigenschaft eines Vektorprodukts beweisen.

Beweis der Antikommutativität

Per Definition ist a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z und b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Und wenn zwei Zeilen der Matrix vertauscht werden, sollte sich der Wert der Determinante der Matrix ins Gegenteil ändern, also a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , was die Antikommutativität des Vektorprodukts beweist.

Vektorprodukt – Beispiele und Lösungen

In den meisten Fällen gibt es drei Arten von Aufgaben.

Bei Problemen des ersten Typs werden normalerweise die Längen zweier Vektoren und der Winkel zwischen ihnen angegeben, Sie müssen jedoch die Länge des Kreuzprodukts ermitteln. Verwenden Sie in diesem Fall die folgende Formel c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Beispiel 1

Bestimmen Sie die Länge des Kreuzprodukts der Vektoren a → und b →, wenn a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 bekannt ist.

Lösung

Mit der Definition der Länge des Vektorprodukts der Vektoren a → und b → lösen wir dieses Problem: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Antworten: 15 2 2 .

Aufgaben der zweiten Art haben einen Zusammenhang mit den Koordinaten von Vektoren, sie enthalten ein Vektorprodukt, seine Länge usw. durchsucht anhand bekannter Koordinaten gegebene Vektoren a → = (a x ; a y ; a z) Und b → = (b x ; b y ; b z) .

Für diese Art von Aufgabe können Sie viele Aufgabenvarianten lösen. Zum Beispiel nicht die Koordinaten der Vektoren a → und b → , sondern ihre Entwicklungen in Koordinatenvektoren der Form b → = b x i → + b y j → + b z k → und c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , oder die Vektoren a → und b → können durch die Koordinaten ihrer gegeben werden Start- und Endpunkte.

Betrachten Sie die folgenden Beispiele.

Beispiel 2

Zwei Vektoren sind in einem rechtwinkligen Koordinatensystem a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) angegeben. Finden Sie ihr Vektorprodukt.

Lösung

Gemäß der zweiten Definition finden wir das Vektorprodukt zweier Vektoren in gegebenen Koordinaten: a → × b → = (a y b z – a z by y) i → + (a z b x – a x b z) j → + (a x b y – a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Wenn wir das Kreuzprodukt in Form der Matrixdeterminante schreiben, dann ist die Lösung dieses Beispiel sieht so aus: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Antworten: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Beispiel 3

Ermitteln Sie die Länge des Kreuzprodukts der Vektoren i → - j → und i → + j → + k → , wobei i → , j → , k → - Orte eines rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystems sind.

Lösung

Suchen wir zunächst die Koordinaten des gegebenen Vektorprodukts i → - j → × i → + j → + k → im gegebenen rechtwinkligen Koordinatensystem.

Es ist bekannt, dass die Vektoren i → - j → und i → + j → + k → die Koordinaten (1 ; - 1 ; 0) bzw. (1 ; 1 ; 1) haben. Finden Sie die Länge des Vektorprodukts mithilfe der Matrixdeterminante, dann gilt i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Daher hat das Vektorprodukt i → - j → × i → + j → + k → Koordinaten (- 1 ; - 1 ; 2) im gegebenen Koordinatensystem.

Wir ermitteln die Länge des Vektorprodukts nach der Formel (siehe Abschnitt zum Ermitteln der Länge des Vektors): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Antworten: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Beispiel 4

Die Koordinaten von drei Punkten A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) werden in einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem angegeben. Finden Sie gleichzeitig einen Vektor senkrecht zu A B → und A C →.

Lösung

Die Vektoren A B → und A C → haben die folgenden Koordinaten (- 1 ; 2 ; 2) bzw. (0 ; 4 ; 1). Nachdem wir das Vektorprodukt der Vektoren A B → und A C → gefunden haben, ist es offensichtlich, dass es per Definition ein senkrechter Vektor sowohl zu A B → als auch zu A C → ist, das heißt, es ist die Lösung unseres Problems. Finden Sie es A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Antworten: - 6 i → + j → - 4 k → . ist einer der senkrechten Vektoren.

Probleme des dritten Typs konzentrieren sich auf die Verwendung der Eigenschaften des Vektorprodukts von Vektoren. Nach deren Anwendung erhalten wir eine Lösung für das gegebene Problem.

Beispiel 5

Die Vektoren a → und b → stehen senkrecht zueinander und ihre Längen betragen 3 bzw. 4. Finden Sie die Länge des Kreuzprodukts 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Lösung

Durch die Distributivitätseigenschaft des Vektorprodukts können wir schreiben: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Durch die Eigenschaft der Assoziativität ermitteln wir die numerischen Koeffizienten jenseits des Vorzeichens der Vektorprodukte im letzten Ausdruck: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Die Vektorprodukte a → × a → und b → × b → sind gleich 0, da a → × a → = a → a → sin 0 = 0 und b → × b → = b → b → sin 0 = 0. dann 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Aus der Antikommutativität des Vektorprodukts folgt - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Unter Verwendung der Eigenschaften des Vektorprodukts erhalten wir die Gleichung 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Gemäß der Bedingung sind die Vektoren a → und b → senkrecht, d. h. der Winkel zwischen ihnen ist gleich π 2 . Jetzt müssen nur noch die gefundenen Werte in die entsprechenden Formeln eingesetzt werden: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Antworten: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Die Länge des Kreuzprodukts von Vektoren ist per Definition a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Denn es ist bereits (aus dem Schulkurs) bekannt, dass die Fläche eines Dreiecks gleich der Hälfte des Produkts der Längen seiner beiden Seiten multipliziert mit dem Sinus des Winkels zwischen diesen Seiten ist. Daher ist die Länge des Vektorprodukts gleich der Fläche eines Parallelogramms – eines doppelten Dreiecks, nämlich dem Produkt der Seiten in Form von Vektoren a → und b → , von einem Punkt abgezogen, durch den Sinus des Winkels zwischen ihnen sin ∠ a → , b → .

Dies ist die geometrische Bedeutung des Vektorprodukts.

Die physikalische Bedeutung des Vektorprodukts

In der Mechanik, einem Zweig der Physik, kann man dank des Vektorprodukts das Kraftmoment relativ zu einem Punkt im Raum bestimmen.

Definition 3

Unter dem Kraftmoment F → , das auf Punkt B relativ zu Punkt A ausgeübt wird, verstehen wir das folgende Vektorprodukt A B → × F → .

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Punktprodukteigenschaften

Skalarprodukt von Vektoren, Definition, Eigenschaften

Lineare Operationen an Vektoren.

Vektoren, Grundkonzepte, Definitionen, lineare Operationen darauf

Ein Vektor auf einer Ebene ist ein geordnetes Paar seiner Punkte, wobei der erste Punkt als Anfang und der zweite als Ende des Vektors bezeichnet wird

Zwei Vektoren heißen gleich, wenn sie gleich und gleichgerichtet sind.

Vektoren, die auf derselben Linie liegen, werden als kodirektional bezeichnet, wenn sie mit einem Teil desselben Vektors, der nicht auf dieser Linie liegt, kodirektional sind.

Vektoren, die auf derselben Geraden oder auf parallelen Geraden liegen, heißen kollinear, und kollineare, aber nicht gleichgerichtete Vektoren heißen entgegengesetzt gerichtet.

Vektoren, die auf senkrechten Linien liegen, heißen orthogonal.

Definition 5.4. Summe a+b Vektoren A Und B heißt der Vektor, der vom Anfang des Vektors kommt A bis zum Ende des Vektors B , wenn der Anfang des Vektors B fällt mit dem Ende des Vektors zusammen A .

Definition 5.5. Unterschied a - b Vektoren A Und B ein solcher Vektor heißt Mit , die zusammen mit dem Vektor B gibt einen Vektor A .

Definition 5.6. arbeitenk A Vektor A pro Nummer k Vektor genannt B , kollinearer Vektor A , dessen Modul gleich | ist k||A | und eine Richtung, die mit der Richtung übereinstimmt A bei k>0 und umgekehrt A bei k<0.

Eigenschaften der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl:

Eigentum 1. k(a+b ) = k A+ k B.

Eigentum 2. (k+m)A = k A+ m A.

Eigentum 3. k(m A) = (km)A .

Folge. Wenn Vektoren ungleich Null A Und B kollinear sind, dann gibt es eine Zahl k, Was b= k A.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ungleich Null A Und B eine Zahl (Skalar) genannt, die dem Produkt der Längen dieser Vektoren und dem Kosinus des Winkels φ zwischen ihnen entspricht. Das Skalarprodukt kann auf verschiedene Arten ausgedrückt werden, beispielsweise als ab, A · B, (A , B), (A · B). Das Skalarprodukt ist also:

A · B = |A| · | B| cos φ

Wenn mindestens einer der Vektoren gleich Null ist, ist das Skalarprodukt gleich Null.

Permutationseigenschaft: A · B = B · A(das Skalarprodukt ändert sich nicht durch Permutation von Faktoren);

Verteilungseigentum: A · ( B · C) = (A · B) · C(das Ergebnis hängt nicht von der Reihenfolge der Multiplikation ab);

Kombinationseigenschaft (in Bezug auf den Skalarfaktor): (λ A) · B = λ ( A · B).

Eigenschaft der Orthogonalität (Rechtwinkligkeit): wenn der Vektor A Und B ungleich Null, dann ist ihr Skalarprodukt nur dann Null, wenn diese Vektoren orthogonal (senkrecht zueinander) sind. A ┴ B;

Quadratisches Grundstück: A · A = A 2 = |A| 2 (das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist gleich dem Quadrat seines Moduls);

Wenn die Koordinaten der Vektoren A=(x 1 , y 1 , z 1 ) und B=(x 2 , y 2 , z 2 ), dann ist das Skalarprodukt A · B= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

Vektor, der Vektoren hält. Definition: Das Vektorprodukt zweier Vektoren und wird als Vektor verstanden, für den:

Der Modul ist gleich der Fläche des auf diesen Vektoren aufgebauten Parallelogramms, d.h. , wobei der Winkel zwischen den Vektoren und ist

Dieser Vektor steht senkrecht zu den multiplizierten Vektoren, d.h.

Wenn die Vektoren nicht kollinear sind, bilden sie ein rechtes Vektortripel.

Produktübergreifende Eigenschaften:

1. Wenn die Reihenfolge der Faktoren geändert wird, ändert das Vektorprodukt sein Vorzeichen in das Gegenteil, wobei der Modul erhalten bleibt, d. h.

2 .Vektorquadrat ist gleich Nullvektor, d.h.

3 .Der Skalarfaktor kann aus dem Vorzeichen des Vektorprodukts entnommen werden, d.h.

4 .Für drei beliebige Vektoren gilt die Gleichheit

5 .Notwendige und ausreichende Bedingung für die Kollinearität zweier Vektoren und :