heim › Sonstig › Log 1 Basis 4. Definition des Logarithmus und seiner Eigenschaften: Theorie und Problemlösung

Log 1 Basis 4. Definition des Logarithmus und seiner Eigenschaften: Theorie und Problemlösung

Eines der Elemente der primitiven Algebra ist der Logarithmus. Der Name kam von griechisch von dem Wort „Zahl“ oder „Potenz“ und bezeichnet die Potenz, mit der die Zahl an der Basis erhöht werden muss, um die endgültige Zahl zu finden.

Arten von Logarithmen

log a b ist der Logarithmus der Zahl b zur Basis a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
lg b - dezimaler Logarithmus (Logarithmus zur Basis 10, a = 10);
ln b - natürlicher Logarithmus (Logarithmus zur Basis e, a = e).

Wie löst man Logarithmen?

Der Logarithmus der Zahl b zur Basis a ist ein Exponent, der erfordert, dass die Basis a zur Zahl b erhoben wird. Das Ergebnis wird so ausgesprochen: „Logarithmus von b zur Basis von a“. Die Lösung für logarithmische Probleme besteht darin, dass Sie den angegebenen Grad durch die Zahlen durch die angegebenen Zahlen bestimmen müssen. Es gibt einige Grundregeln, um den Logarithmus zu bestimmen oder zu lösen, sowie die Notation selbst umzuwandeln. Mit ihnen werden logarithmische Gleichungen gelöst, Ableitungen gefunden, Integrale gelöst und viele andere Operationen durchgeführt. Grundsätzlich ist die Lösung des Logarithmus selbst seine vereinfachte Notation. Nachfolgend sind die wichtigsten Formeln und Eigenschaften aufgeführt:

Für ein ; a > 0; a ≠ 1 und für jedes x ; y > 0.

a log a b = b - einfach logarithmische Identität
log a 1 = 0
log a a = 1
log a (x y ) = log a x + log a y
log a x/ y = log a x – log a y
log a 1/x = -log a x
log a x p = p log a x
log a k x = 1/k log a x , für k ≠ 0
log a x = log a c x c
log a x \u003d log b x / log b a - Formel für den Übergang zu einer neuen Basis
log a x = 1/log x a

Logarithmen lösen - Schritt-für-Schritt-Anleitung zum Lösen

Schreiben Sie zuerst die benötigte Gleichung auf.

Bitte beachten Sie: Wenn der Basislogarithmus 10 ist, wird der Datensatz gekürzt, es wird ein Dezimallogarithmus erhalten. Wenn es eine natürliche Zahl e gibt, schreiben wir sie auf und reduzieren sie auf einen natürlichen Logarithmus. Das bedeutet, dass das Ergebnis aller Logarithmen die Potenz ist, mit der die Basiszahl potenziert wird, um die Zahl b zu erhalten.

Die Lösung liegt direkt in der Berechnung dieses Grades. Bevor ein Ausdruck mit einem Logarithmus gelöst wird, muss er gemäß der Regel vereinfacht werden, dh mit Formeln. Sie können die wichtigsten Identitäten finden, indem Sie im Artikel ein wenig zurückgehen.

Logarithmen mit zwei addieren und subtrahieren verschiedene Nummern, aber mit denselben Basen, durch einen Logarithmus mit dem Produkt oder der Division der Zahlen b bzw. c ersetzen. In diesem Fall können Sie die Übergangsformel auf eine andere Basis anwenden (siehe oben).

Wenn Sie Ausdrücke verwenden, um den Logarithmus zu vereinfachen, müssen Sie einige Einschränkungen beachten. Und das heißt: Die Basis des Logarithmus a ist nur eine positive Zahl, aber nicht gleich eins. Die Zahl b muss wie a größer als Null sein.

Es gibt Fälle, in denen Sie nach Vereinfachung des Ausdrucks den Logarithmus nicht in numerischer Form berechnen können. Es kommt vor, dass ein solcher Ausdruck keinen Sinn ergibt, weil viele Grade irrationale Zahlen sind. Belassen Sie unter dieser Bedingung die Potenz der Zahl als Logarithmus.

Grundeigenschaften.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x:y).

gleiche Gründe

log6 4 + log6 9.

Jetzt komplizieren wir die Aufgabe ein wenig.

Beispiele zum Lösen von Logarithmen

Was ist, wenn in der Basis oder im Argument des Logarithmus ein Grad steht? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden:

All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x >

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Übergang in eine neue Stiftung

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Siehe auch:

Grundlegende Eigenschaften des Logarithmus

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Der Exponent ist 2,718281828…. Um sich an den Exponenten zu erinnern, können Sie die Regel studieren: Der Exponent ist 2,7 und das Doppelte des Geburtsjahres von Leo Tolstoi.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Wenn Sie diese Regel kennen, werden Sie wissen und genauer Wert Aussteller und das Geburtsdatum von Leo Tolstoi.

Beispiele für Logarithmen

Nimm den Logarithmus von Ausdrücken

Beispiel 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Bei Eigenschaften rechnen wir mit 3,5

4. Wo .

Beispiel 2 Finde x wenn

Beispiel 3. Gegeben sei der Wert von Logarithmen

Berechnen Sie log(x), wenn

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen können wie jede Zahl auf jede erdenkliche Weise addiert, subtrahiert und umgerechnet werden. Da Logarithmen aber keine ganz gewöhnlichen Zahlen sind, gibt es hier Regeln, die heißen Grundeigenschaften.

Diese Regeln müssen bekannt sein - ohne sie kann kein ernsthaftes logarithmisches Problem gelöst werden. Außerdem gibt es davon nur sehr wenige - alles kann an einem Tag gelernt werden. Also lasst uns anfangen.

Addition und Subtraktion von Logarithmen

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: logax und logay. Dann können sie addiert und subtrahiert werden, und:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x:y).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts, und die Differenz ist der Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist - gleiche Gründe. Wenn die Basen unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen Ihnen bei der Berechnung logarithmischer Ausdruck auch wenn seine Einzelteile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion „Was ist ein Logarithmus“). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Da die Basen von Logarithmen gleich sind, verwenden wir die Summenformel:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log2 48 − log2 3.

Die Basen sind gleich, wir verwenden die Differenzformel:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log3 135 − log3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus "schlechten" Logarithmen, die nicht gesondert betrachtet werden. Aber nach Transformationen ergeben sich ganz normale Zahlen. Basierend auf dieser Tatsache, viele Prüfungsunterlagen. Ja, Kontrolle - ähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal - praktisch ohne Änderungen) werden bei der Prüfung angeboten.

Entfernen des Exponenten vom Logarithmus

Das ist leicht zu sehen letzte Regel folgt den ersten beiden. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern - in einigen Fällen wird die Anzahl der Berechnungen erheblich reduziert.

All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt, d.h. Sie können die Zahlen vor dem Vorzeichen des Logarithmus in den Logarithmus selbst eingeben. Das wird am häufigsten verlangt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log7 496.

Lassen Sie uns den Grad im Argument nach der ersten Formel los:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner ein Logarithmus ist, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 24; 49 = 72. Wir haben:

ich denke an letztes Beispiel Klärung erforderlich. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner.

Formeln von Logarithmen. Logarithmen sind Beispiele für Lösungen.

Sie stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Graden dar und nahmen die Indikatoren heraus - sie erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Betrachten wir nun den Hauptteil. Zähler und Nenner haben die gleiche Zahl: log2 7. Da log2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch kürzen – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik kann die Vier auf den Zähler übertragen werden, was auch geschehen ist. Das Ergebnis ist die Antwort: 2.

Übergang in eine neue Stiftung

In Bezug auf die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen habe ich ausdrücklich betont, dass sie nur mit denselben Basen funktionieren. Was ist, wenn die Basen unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis kommen zur Rettung. Wir formulieren sie in Form eines Satzes:

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Aus der zweiten Formel folgt, dass es möglich ist, die Basis und das Argument des Logarithmus zu vertauschen, aber in diesem Fall wird der gesamte Ausdruck „umgedreht“, d.h. Der Logarithmus steht im Nenner.

Diese Formeln sind selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken zu finden. Wie praktisch sie sind, kann nur beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen bewertet werden.

Allerdings gibt es Aufgaben, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung zu lösen sind. Betrachten wir ein paar davon:

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log5 16 log2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Exponenten sind. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nun drehen wir den zweiten Logarithmus um:

Da sich das Produkt durch Permutation von Faktoren nicht ändert, haben wir ruhig vier und zwei multipliziert und dann die Logarithmen herausgefunden.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir es auf und beseitigen die Indikatoren:

Jetzt lass uns loswerden dezimaler Logarithmus, Umzug in eine neue Basis:

Grundlegende logarithmische Identität

Beim Lösen ist es oft erforderlich, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns die Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, weil es nur der Wert des Logarithmus ist.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. Es heißt so:

Was wird in der Tat passieren, wenn die Zahl b so weit erhöht wird, dass die Zahl b in diesem Grad die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Dies ist die gleiche Nummer a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal genau durch - viele Menschen „hängen“ daran.

Wie die neuen Basisumrechnungsformeln ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass log25 64 = log5 8 - nur das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus herausgenommen hat. Angesichts der Regeln für die Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis erhalten wir:

Falls sich jemand nicht auskennt, das war eine echte Aufgabe vom Einheitlichen Staatsexamen 🙂

Logarithmische Einheit und logarithmische Null

Abschließend gebe ich zwei Identitäten an, die schwer Eigenschaften zu nennen sind – vielmehr sind dies Konsequenzen aus der Definition des Logarithmus. Sie sind ständig in Problemen zu finden und bereiten überraschenderweise selbst "fortgeschrittenen" Schülern Probleme.

logaa = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a von dieser Basis selbst ist gleich eins.
Loga 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins ist, ist der Logarithmus null! Denn a0 = 1 folgt direkt aus der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt, sie in die Praxis umzusetzen! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Siehe auch:

Der Logarithmus der Zahl b zur Basis a bezeichnet den Ausdruck. Den Logarithmus zu berechnen bedeutet, eine solche Potenz x () zu finden, bei der die Gleichheit wahr ist

Grundlegende Eigenschaften des Logarithmus

Die obigen Eigenschaften müssen bekannt sein, da auf ihrer Grundlage fast alle Probleme und Beispiele mit Logarithmen gelöst werden. Die restlichen exotischen Eigenschaften können durch mathematische Manipulationen mit diesen Formeln abgeleitet werden

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Bei der Berechnung der Formeln für die Summe und Differenz von Logarithmen (3.4) begegnet man recht häufig. Der Rest ist etwas komplex, aber bei einer Reihe von Aufgaben sind sie unverzichtbar, um komplexe Ausdrücke zu vereinfachen und ihre Werte zu berechnen.

Häufige Fälle von Logarithmen

Einige der gewöhnlichen Logarithmen sind solche, bei denen die Basis sogar zehn, exponentiell oder zwei ist.
Der Logarithmus zur Basis zehn wird normalerweise als Logarithmus zur Basis zehn bezeichnet und einfach mit lg(x) bezeichnet.

Aus dem Protokoll ist ersichtlich, dass die Grundlagen nicht im Protokoll festgehalten sind. Beispielsweise

Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus, dessen Basis der Exponent ist (als ln(x) bezeichnet).

Der Exponent ist 2,718281828…. Um sich an den Exponenten zu erinnern, können Sie die Regel studieren: Der Exponent ist 2,7 und das Doppelte des Geburtsjahres von Leo Tolstoi. Wenn Sie diese Regel kennen, kennen Sie sowohl den genauen Wert des Exponenten als auch das Geburtsdatum von Leo Tolstoi.

Und ein weiterer wichtiger Logarithmus zur Basis zwei ist

Die Ableitung des Logarithmus der Funktion ist gleich Eins dividiert durch die Variable

Der Integral- oder Stammlogarithmus wird durch die Abhängigkeit bestimmt

Das obige Material reicht aus, um eine breite Klasse von Problemen im Zusammenhang mit Logarithmen und Logarithmen zu lösen. Um das Material zu verstehen, werde ich nur einige gängige Beispiele geben Lehrplan und Universitäten.

Beispiele für Logarithmen

Nimm den Logarithmus von Ausdrücken

Beispiel 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Bei Eigenschaften rechnen wir mit 3,5

2.
Durch die Differenzeneigenschaft von Logarithmen haben wir

3.
Unter Verwendung der Eigenschaften 3.5 finden wir

4. Wo .

Ein scheinbar komplexer Ausdruck, der eine Reihe von Regeln verwendet, wird zur Form vereinfacht

Logarithmuswerte finden

Beispiel 2 Finde x wenn

Lösung. Für die Berechnung wenden wir die Eigenschaften 5 und 13 bis zum letzten Term an

Ersatz in der Aufzeichnung und trauern

Da die Basen gleich sind, setzen wir die Ausdrücke gleich

Logarithmen. Erste Ebene.

Gegeben seien die Werte der Logarithmen

Berechnen Sie log(x), wenn

Lösung: Nimm den Logarithmus der Variablen, um den Logarithmus durch die Summe der Terme zu schreiben

Dies ist nur der Anfang der Bekanntschaft mit Logarithmen und ihren Eigenschaften. Üben Sie Rechnen, bereichern Sie Ihre praktischen Fähigkeiten – schon bald benötigen Sie das erworbene Wissen, um logarithmische Gleichungen zu lösen. Nachdem wir die grundlegenden Methoden zum Lösen solcher Gleichungen studiert haben, erweitern wir Ihr Wissen um ein weiteres ebenso wichtiges Thema - logarithmische Ungleichungen ...

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Addition und Subtraktion von Logarithmen

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: logax und logay. Dann können sie addiert und subtrahiert werden, und:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x:y).

Diese Formeln helfen bei der Berechnung des logarithmischen Ausdrucks, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion "Was ist ein Logarithmus"). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log6 4 + log6 9.

Da die Basen von Logarithmen gleich sind, verwenden wir die Summenformel:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log2 48 − log2 3.

Die Basen sind gleich, wir verwenden die Differenzformel:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log3 135 − log3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus "schlechten" Logarithmen, die nicht gesondert betrachtet werden. Aber nach Transformationen ergeben sich ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, Kontrolle - ähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal - praktisch ohne Änderungen) werden bei der Prüfung angeboten.

Entfernen des Exponenten vom Logarithmus

Jetzt komplizieren wir die Aufgabe ein wenig. Was ist, wenn in der Basis oder im Argument des Logarithmus ein Grad steht? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden:

Es ist leicht zu sehen, dass die letzte Regel ihren ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern - in einigen Fällen wird die Anzahl der Berechnungen erheblich reduziert.

Logarithmen lösen

Das wird am häufigsten verlangt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log7 496.

Lassen Sie uns den Grad im Argument nach der ersten Formel los:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner ein Logarithmus ist, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 24; 49 = 72. Wir haben:

Ich denke, das letzte Beispiel muss geklärt werden. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Sie stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Graden dar und nahmen die Indikatoren heraus - sie erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Übergang in eine neue Stiftung

Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis kommen zur Rettung. Wir formulieren sie in Form eines Satzes:

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Diese Formeln sind selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken zu finden. Wie praktisch sie sind, kann nur beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen bewertet werden.

Allerdings gibt es Aufgaben, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung zu lösen sind. Betrachten wir ein paar davon:

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log5 16 log2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Exponenten sind. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nun drehen wir den zweiten Logarithmus um:

Da sich das Produkt durch Permutation von Faktoren nicht ändert, haben wir ruhig vier und zwei multipliziert und dann die Logarithmen herausgefunden.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir es auf und beseitigen die Indikatoren:

Lassen Sie uns nun den Dezimallogarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

Grundlegende logarithmische Identität

Beim Lösen ist es oft erforderlich, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns die Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, weil es nur der Wert des Logarithmus ist.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. Es heißt so:

Wie die neuen Basisumrechnungsformeln ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Falls sich jemand nicht auskennt, das war eine echte Aufgabe vom Einheitlichen Staatsexamen 🙂

Logarithmische Einheit und logarithmische Null

logaa = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a von dieser Basis selbst ist gleich eins.
Loga 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins ist, ist der Logarithmus null! Denn a0 = 1 folgt direkt aus der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt, sie in die Praxis umzusetzen! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Es werden die Haupteigenschaften des natürlichen Logarithmus, Graph, Definitionsbereich, Wertemenge, Grundformeln, Ableitung, Integral, Entwicklung in eine Potenzreihe und Darstellung der Funktion ln x durch komplexe Zahlen angegeben.

Definition

natürlicher Logarithmus ist die Funktion y = In x, invers zum Exponenten, x \u003d e y , und das ist der Logarithmus zur Basis der Zahl e: ln x = log e x.

Der natürliche Logarithmus ist in der Mathematik weit verbreitet, weil seine Ableitung die einfachste Form hat: (ln x)′ = 1/ x.

Ausgehend von Definitionen, die Basis des natürlichen Logarithmus ist die Zahl e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graph der Funktion y = In x.

Graph des natürlichen Logarithmus (Funktionen y = In x) wird aus dem Exponentendiagramm erhalten Spiegelbild relativ zur Geraden y = x .

Der natürliche Logarithmus ist für positive Werte von x definiert. Es wächst monoton auf seinem Definitionsbereich.

Als x → 0 der Grenzwert des natürlichen Logarithmus ist minus unendlich ( - ∞ ).

Da x → + ∞ ist, ist der Grenzwert des natürlichen Logarithmus plus unendlich ( + ∞ ). Für große x steigt der Logarithmus eher langsam an. Jede Potenzfunktion x a mit positivem Exponenten a wächst schneller als der Logarithmus.

Eigenschaften des natürlichen Logarithmus

Definitionsbereich, Wertemenge, Extrema, Zunahme, Abnahme

Der natürliche Logarithmus ist eine monoton steigende Funktion, hat also keine Extrema. Die wichtigsten Eigenschaften des natürlichen Logarithmus sind in der Tabelle dargestellt.

ln x-Werte

Protokoll 1 = 0

Grundformeln für natürliche Logarithmen

Formeln, die sich aus der Definition der Umkehrfunktion ergeben:

Die Haupteigenschaft von Logarithmen und ihre Konsequenzen

Basenersatzformel

Jeder Logarithmus kann in natürlichen Logarithmen ausgedrückt werden, indem die Basisänderungsformel verwendet wird:

Die Beweise dieser Formeln werden im Abschnitt "Logarithmus" vorgestellt.

Umkehrfunktion

Der Kehrwert des natürlichen Logarithmus ist der Exponent.

Wenn, dann

Wenn, dann .

Ableitung ln x

Ableitung des natürlichen Logarithmus:
.
Ableitung des natürlichen Logarithmus von Modulo x:
.
Ableitung n-ter Ordnung:
.
Ableitung von Formeln > > >

Integral

Das Integral wird durch partielle Integration berechnet:
.
So,

Ausdrücke in Bezug auf komplexe Zahlen

Betrachten Sie eine Funktion einer komplexen Variablen z :
.
Lassen Sie uns die komplexe Variable ausdrücken züber Modul R und Argument φ :
.
Unter Verwendung der Eigenschaften des Logarithmus haben wir:
.
Oder
.
Das Argument φ ist nicht eindeutig definiert. Wenn wir setzen
, wobei n eine ganze Zahl ist,
dann wird es dieselbe Zahl für verschiedene n sein.

Daher ist der natürliche Logarithmus als Funktion einer komplexen Variablen keine einwertige Funktion.

Erweiterung der Potenzreihen

Für erfolgt die Erweiterung:

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Lass es uns einfacher erklären. Beispielsweise ist \(\log_(2)(8)\) gleich der Potenz, mit der \(2\) potenziert werden muss, um \(8\) zu erhalten. Daraus ist klar, dass \(\log_(2)(8)=3\).

Beispiele:	\(\log_(5)(25)=2\)	Weil \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	Weil \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	Weil \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument und Basis des Logarithmus

Jeder Logarithmus hat die folgende "Anatomie":

Das Argument des Logarithmus wird normalerweise auf seiner Ebene geschrieben, und die Basis wird tiefgestellt geschrieben, näher am Vorzeichen des Logarithmus. Und dieser Eintrag wird so gelesen: "der Logarithmus von fünfundzwanzig zur Basis von fünf."

Wie berechnet man den Logarithmus?

Um den Logarithmus zu berechnen, müssen Sie die Frage beantworten: Um wie viel muss die Basis angehoben werden, um das Argument zu erhalten?

Zum Beispiel, berechne den Logarithmus: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Mit welcher Potenz muss \(4\) potenziert werden, um \(16\) zu erhalten? Offensichtlich das Zweite. Deshalb:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Mit welcher Potenz muss \(\sqrt(5)\) potenziert werden, um \(1\) zu erhalten? Und welcher Grad macht eine beliebige Zahl zu einer Einheit? Null natürlich!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Mit welcher Potenz muss \(\sqrt(7)\) potenziert werden, um \(\sqrt(7)\) zu erhalten? Im ersten - jede Zahl im ersten Grad ist gleich sich selbst.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Mit welcher Potenz muss \(3\) potenziert werden, um \(\sqrt(3)\) zu erhalten? Von uns ist bekannt, dass es sich um eine gebrochene Potenz handelt, was bedeutet Quadratwurzel ist der Grad \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Beispiel : Berechne den Logarithmus \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Lösung :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Wir müssen den Wert des Logarithmus finden, bezeichnen wir ihn als x. Lassen Sie uns nun die Definition des Logarithmus verwenden: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Was verbindet \(4\sqrt(2)\) und \(8\)? Zwei, weil beide Zahlen durch Zweien dargestellt werden können: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Links verwenden wir die Gradeigenschaften: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) und \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Die Grundlagen sind gleich, wir fahren mit der Gleichheit der Indikatoren fort
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \(\frac(2)(5)\)
		Die resultierende Wurzel ist der Wert des Logarithmus

Antworten : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Warum wurde der Logarithmus erfunden?

Um dies zu verstehen, lösen wir die Gleichung: \(3^(x)=9\). Passen Sie einfach \(x\) an, damit die Gleichheit funktioniert. Natürlich \(x=2\).

Löse nun die Gleichung: \(3^(x)=8\) Wozu ist x gleich? Das ist der Punkt.

Die Genialsten werden sagen: "X ist etwas kleiner als zwei." Wie genau ist diese Zahl zu schreiben? Um diese Frage zu beantworten, haben sie sich den Logarithmus ausgedacht. Dank ihm kann die Antwort hier als \(x=\log_(3)(8)\) geschrieben werden.

Ich möchte betonen, dass sowohl \(\log_(3)(8)\), als auch Jeder Logarithmus ist nur eine Zahl. Ja, es sieht ungewöhnlich aus, aber es ist kurz. Denn wenn wir es als Dezimalzahl schreiben wollten, würde es so aussehen: \(1.892789260714.....\)

Beispiel : Löse die Gleichung \(4^(5x-4)=10\)

Lösung :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) und \(10\) können nicht auf dieselbe Basis reduziert werden. Hier kommt man also nicht ohne den Logarithmus aus. Verwenden wir die Definition des Logarithmus: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Drehe die Gleichung um, sodass x links steht
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Vor uns. Bewegen Sie \(4\) nach rechts. Und haben Sie keine Angst vor dem Logarithmus, behandeln Sie ihn wie eine normale Zahl.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Teilen Sie die Gleichung durch 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Hier ist unsere Wurzel. Ja, es sieht ungewöhnlich aus, aber die Antwort ist nicht gewählt.

Antworten : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Dezimal und natürlicher Logarithmus

Wie in der Definition des Logarithmus angegeben, kann seine Basis jede positive Zahl außer Eins \((a>0, a\neq1)\) sein. Und unter all den möglichen Basen gibt es zwei, die so häufig vorkommen, dass mit ihnen eine spezielle Kurzschreibweise für Logarithmen erfunden wurde:

Natürlicher Logarithmus: Ein Logarithmus, dessen Basis die Euler-Zahl \(e\) ist (ungefähr gleich \(2,7182818…\)), und der Logarithmus wird als \(\ln(a)\) geschrieben.

Also, \(\ln(a)\) ist dasselbe wie \(\log_(e)(a)\)

Dezimaler Logarithmus: Ein Logarithmus mit der Basis 10 wird \(\lg(a)\) geschrieben.

Also, \(\lg(a)\) ist dasselbe wie \(\log_(10)(a)\), wobei \(a\) eine Zahl ist.

Grundlegende logarithmische Identität

Logarithmen haben viele Eigenschaften. Eine davon heißt "Basic Logarithmic Identity" und sieht so aus:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Diese Eigenschaft folgt direkt aus der Definition. Mal sehen, wie diese Formel zustande kam.

Lass uns erinnern kurze Anmerkung Logarithmus-Definitionen:

wenn \(a^(b)=c\), dann \(\log_(a)(c)=b\)

Das heißt, \(b\) ist dasselbe wie \(\log_(a)(c)\). Dann können wir \(\log_(a)(c)\) statt \(b\) in die Formel \(a^(b)=c\) schreiben. Es stellte sich heraus, dass \(a^(\log_(a)(c))=c\) - die wichtigste logarithmische Identität.

Sie können den Rest der Eigenschaften von Logarithmen finden. Mit ihrer Hilfe können Sie die Werte von Ausdrücken mit Logarithmen vereinfachen und berechnen, die direkt schwer zu berechnen sind.

Beispiel : Finden Sie den Wert des Ausdrucks \(36^(\log_(6)(5))\)

Lösung :

Antworten : \(25\)

Wie schreibt man eine Zahl als Logarithmus?

Wie oben erwähnt, ist jeder Logarithmus nur eine Zahl. Auch die Umkehrung gilt: Jede Zahl kann als Logarithmus geschrieben werden. Zum Beispiel wissen wir, dass \(\log_(2)(4)\) gleich zwei ist. Dann können Sie statt zwei auch \(\log_(2)(4)\) schreiben.

Aber \(\log_(3)(9)\) ist auch gleich \(2\), also kannst du auch \(2=\log_(3)(9)\) schreiben. Ähnlich mit \(\log_(5)(25)\), und mit \(\log_(9)(81)\), usw. Das heißt, es stellt sich heraus

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Daher können wir bei Bedarf die beiden als Logarithmus mit jeder Basis irgendwo schreiben (sogar in einer Gleichung, sogar in einem Ausdruck, sogar in einer Ungleichung) - wir schreiben einfach die Basis zum Quadrat als Argument.

Dasselbe gilt für ein Tripel – es kann als \(\log_(2)(8)\), oder als \(\log_(3)(27)\), oder als \(\log_(4)( 64) \) ... Hier schreiben wir die Basis in den Würfel als Argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Und mit vier:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Und mit minus eins:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Und mit einem Drittel:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Jede Zahl \(a\) kann als Logarithmus mit Basis \(b\) dargestellt werden: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Beispiel : Finden Sie den Wert eines Ausdrucks \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Lösung :

Antworten : \(1\)

Im Verhältnis zu

Die Aufgabe, eine der drei Zahlen aus den anderen zwei gegebenen Zahlen zu finden, kann eingestellt werden. Gegeben a und dann N wird durch Potenzierung gefunden. Wenn N gegeben sind und dann a gefunden wird, indem die Wurzel aus der Potenz x (oder Potenzierung) gezogen wird. Betrachten Sie nun den Fall, dass es bei gegebenem a und N erforderlich ist, x zu finden.

Sei die Zahl N positiv: die Zahl a ist positiv und ungleich eins: .

Definition. Der Logarithmus der Zahl N zur Basis a ist der Exponent, auf den Sie a erhöhen müssen, um die Zahl N zu erhalten; der Logarithmus wird mit bezeichnet

Somit wird in Gleichung (26.1) der Exponent als Logarithmus von N zur Basis a gefunden. Einträge

haben die gleiche Bedeutung. Gleichheit (26.1) wird manchmal als die grundlegende Identität der Theorie der Logarithmen bezeichnet; Tatsächlich drückt es die Definition des Begriffs des Logarithmus aus. Von diese Definition die Basis des Logarithmus a ist immer positiv und von Eins verschieden; die logarithmierbare Zahl N ist positiv. Negative Zahlen und Null haben keinen Logarithmus. Es kann bewiesen werden, dass jede Zahl mit einer gegebenen Basis einen wohldefinierten Logarithmus hat. Daher bedeutet Gleichheit. Beachten Sie, dass die Bedingung hier wesentlich ist, da sonst die Schlussfolgerung nicht gerechtfertigt wäre, da die Gleichheit für beliebige Werte von x und y gilt.

Beispiel 1. Finden

Lösung. Um die Zahl zu erhalten, müssen Sie daher die Basis 2 potenzieren.

Sie können beim Lösen solcher Beispiele in folgender Form aufzeichnen:

Beispiel 2. Finden Sie .

Lösung. Wir haben

In den Beispielen 1 und 2 haben wir den gesuchten Logarithmus leicht gefunden, indem wir die logarithmierbare Zahl als Basisgrad mit rationalem Exponenten dargestellt haben. Im allgemeinen Fall, z. B. für etc., geht das nicht, da der Logarithmus einen irrationalen Wert hat. Lassen Sie uns auf eine Frage im Zusammenhang mit dieser Aussage achten. In Abschnitt 12 haben wir den Begriff der Möglichkeit eingeführt, jede reale Potenz eines Gegebenen zu definieren positive Zahl. Dies war notwendig für die Einführung von Logarithmen, die im Allgemeinen irrationale Zahlen sein können.

Betrachten Sie einige Eigenschaften von Logarithmen.

Eigenschaft 1. Wenn Zahl und Basis gleich sind, dann ist der Logarithmus gleich eins, und umgekehrt, wenn der Logarithmus gleich eins ist, dann sind Zahl und Basis gleich.

Nachweisen. Seien Nach der Definition des Logarithmus haben wir und woher

Umgekehrt sei Then per Definition

Eigenschaft 2. Der Logarithmus der Einheit zu jeder Basis ist gleich Null.

Nachweisen. Durch die Definition des Logarithmus (die Nullpotenz jeder positiven Basis ist gleich Eins, siehe (10.1)). Von hier

Q.E.D.

Die umgekehrte Aussage ist auch wahr: Wenn , dann N = 1. Tatsächlich haben wir .

Bevor wir die folgende Eigenschaft von Logarithmen angeben, wollen wir uns darauf einigen, dass zwei Zahlen a und b auf derselben Seite einer dritten Zahl c liegen, wenn sie beide entweder größer als c oder kleiner als c sind. Wenn eine dieser Zahlen größer als c und die andere kleiner als c ist, dann sagen wir, dass sie auf gegenüberliegenden Seiten von c liegen.

Eigenschaft 3. Wenn Zahl und Basis auf der gleichen Seite der Eins liegen, dann ist der Logarithmus positiv; wenn Zahl und Basis auf gegenüberliegenden Seiten der Eins liegen, dann ist der Logarithmus negativ.

Der Beweis der Eigenschaft 3 basiert darauf, dass der Grad von a größer als eins ist, wenn die Basis größer als eins und der Exponent positiv ist, oder die Basis kleiner als eins und der Exponent negativ ist. Der Grad ist kleiner als eins, wenn die Basis größer als eins und der Exponent negativ ist, oder die Basis kleiner als eins und der Exponent positiv ist.

Es sind vier Fälle zu betrachten:

Wir beschränken uns auf die Analyse des ersten von ihnen, den Rest wird der Leser selbst betrachten.

Der Gleichheitsexponent sei also weder negativ noch gleich Null, also positiv, d. h. was zu beweisen war.

Beispiel 3. Finden Sie heraus, welche der folgenden Logarithmen positiv und welche negativ sind:

Lösung, a) da sich die Nummer 15 und die Basis 12 auf der gleichen Seite der Einheit befinden;

b) , da sich 1000 und 2 auf der gleichen Seite der Einheit befinden; gleichzeitig ist es nicht wesentlich, dass die Basis größer als die logarithmische Zahl ist;

c), da 3.1 und 0.8 auf gegenüberliegenden Seiten der Eins liegen;

G) ; Warum?

e) ; Warum?

Die folgenden Eigenschaften 4-6 werden oft als Logarithmusregeln bezeichnet: Sie ermöglichen es, bei Kenntnis der Logarithmen einiger Zahlen die Logarithmen ihres Produkts, Quotienten und Grads jeder von ihnen zu finden.

Eigenschaft 4 (die Regel für den Logarithmus des Produkts). Der Logarithmus des Produkts mehrerer positiver Zahlen in einer bestimmten Basis ist gleich der Summe der Logarithmen dieser Zahlen in derselben Basis.

Nachweisen. Seien positive Zahlen gegeben.

Für den Logarithmus ihres Produkts schreiben wir die Gleichung (26.1), die den Logarithmus definiert:

Ab hier finden wir

Wenn wir die Exponenten des ersten und des letzten Ausdrucks vergleichen, erhalten wir die erforderliche Gleichheit:

Beachten Sie, dass die Bedingung wesentlich ist; Der Logarithmus des Produkts zweier negativer Zahlen ist sinnvoll, aber in diesem Fall erhalten wir

Wenn das Produkt mehrerer Faktoren positiv ist, ist sein Logarithmus im Allgemeinen gleich der Summe der Logarithmen der Module dieser Faktoren.

Eigenschaft 5 (Quotient-Logarithmus-Regel). Der Logarithmus eines Quotienten positiver Zahlen ist gleich der Differenz zwischen den Logarithmen des Dividenden und des Divisors, genommen in derselben Basis. Nachweisen. Konsequent finden

Q.E.D.

Eigenschaft 6 (Regel des Logarithmus des Grades). Der Logarithmus der Potenz einer beliebigen positiven Zahl ist gleich dem Logarithmus dieser Zahl multipliziert mit dem Exponenten.

Nachweisen. Wir schreiben wieder die Hauptidentität (26.1) für die Zahl :

Q.E.D.

Folge. Der Logarithmus der Wurzel einer positiven Zahl ist gleich dem Logarithmus der Wurzelzahl dividiert durch den Exponenten der Wurzel:

Wir können die Gültigkeit dieses Korollars beweisen, indem wir zeigen, wie und wie Eigenschaft 6 verwendet wird.

Beispiel 4. Logarithmus zur Basis a:

a) (es wird angenommen, dass alle Werte b, c, d, e positiv sind);

b) (es wird angenommen, dass ).

Lösung, a) Es ist bequem, diesen Ausdruck auf gebrochene Potenzen zu übertragen:

Basierend auf den Gleichungen (26.5)-(26.7) können wir nun schreiben:

Wir stellen fest, dass mit den Logarithmen von Zahlen einfachere Operationen durchgeführt werden als mit den Zahlen selbst: Beim Multiplizieren von Zahlen werden ihre Logarithmen addiert, beim Dividieren werden sie subtrahiert usw.

Aus diesem Grund wurden in der Rechenpraxis Logarithmen verwendet (siehe Abschnitt 29).

Die zum Logarithmus inverse Aktion heißt Potenzierung, nämlich: Potenzierung ist die Aktion, durch die diese Zahl selbst durch den gegebenen Logarithmus einer Zahl gefunden wird. Im Wesentlichen ist die Potenzierung keine besondere Aktion: Es läuft darauf hinaus, die Basis zu potenzieren ( gleich dem Logarithmus Zahlen). Der Begriff "Potenzierung" kann als Synonym zum Begriff "Potenzierung" angesehen werden.

Beim Potenzieren müssen die den Logarithmusregeln entgegengesetzten Regeln angewendet werden: Ersetzen Sie die Summe der Logarithmen durch den Logarithmus des Produkts, die Differenz der Logarithmen durch den Logarithmus des Quotienten usw. Insbesondere, wenn es eine gibt irgendein Faktor vor dem Vorzeichen des Logarithmus, dann muss er beim Potenzieren auf die Indikatorgrade unter dem Vorzeichen des Logarithmus übertragen werden.

Beispiel 5. Finden Sie N, wenn das bekannt ist

Lösung. Im Zusammenhang mit der eben genannten Potenzierungsregel werden die Faktoren 2/3 und 1/3, die vor den Vorzeichen der Logarithmen auf der rechten Seite dieser Gleichheit stehen, auf die Exponenten unter den Vorzeichen dieser Logarithmen übertragen; wir bekommen

Jetzt ersetzen wir die Differenz der Logarithmen durch den Logarithmus des Quotienten:

Um den letzten Bruch in dieser Gleichheitskette zu erhalten, haben wir den vorherigen Bruch im Nenner von der Irrationalität befreit (Abschnitt 25).

Eigenschaft 7. Wenn die Basis größer als eins ist, dann hat die größere Zahl einen größeren Logarithmus (und die kleinere einen kleineren), wenn die Basis kleiner als eins ist, dann hat die größere Zahl einen kleineren Logarithmus (und die kleinere einer hat einen größeren).

Diese Eigenschaft wird auch als Regel für den Logarithmus von Ungleichungen formuliert, deren beide Anteile positiv sind:

Bei der Logarithmierung von Ungleichungen mit einer Basis größer als eins bleibt das Ungleichheitszeichen erhalten, bei einer Logarithmierung mit einer Basis kleiner als eins wird das Vorzeichen der Ungleichung umgekehrt (siehe auch Punkt 80).

Der Beweis basiert auf den Eigenschaften 5 und 3. Betrachten Sie den Fall, wenn Wenn , dann und Logarithmiert wird, erhalten wir

(a und N/M liegen auf der gleichen Seite der Eins). Von hier